第06讲 一元二次方程及其应用（复习讲义）（江苏专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“一元二次方程及其应用”，覆盖解法、根的判别式、根与系数关系、应用四大中考核心考点，构建“概念-解法-根的性质-实际应用”递进知识体系。通过考情剖析明确命题方向，考点解析结合2023-2025年江苏中考真题梳理方法，命题洞悉以典例+变式强化题型突破，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于“真题导向+分层突破”策略，如用增长率问题实例引导学生从实际情境抽象方程，培养数学眼光与建模意识。重难突破环节针对参数取值范围问题设计推理训练，提升数学思维能力。分层练习适配不同学情，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生中考应考能力。

第二章 方程与不等式 第06讲 一元二次方程及其应用 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 1 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 2 04·命题洞悉·题型预测 7 命题点一 一元二次方程的解法 题型01 一元二次方程的解法 命题点二 一元二次方程根的判别式 题型01 利用根的判别式判断根的情况 题型02根据根的情况求参数的值或取值范围 命题点三 一元二次方程根的根与系数关系 题型01 根据一元二次方程根与系数关系求值 命题点四 一元二次方程的应用 题型 01 根据生活实际背景问题列方程 题型02 利用一元二次方程解决实际问题 05·重难突破·思维进阶难 10 突破一 一元二次方程根的情况求参数的值或范围 突破二 一元二次方程的应用 06·优题精选·练能提分 13 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 一元二次方程的解法 徐州T20 无锡T19 扬州T4 苏州T13 常州T14 镇江T14 宿迁T7 淮安T6 镇江T10 南京T16 南通T13 徐州T16 连云港T12 徐州T20 徐州T13 镇江T6 连云港T12 扬州T13 无锡T20 无锡20 理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程; 会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等。 根与系数关系 宿迁T17 / 泰州T13 了解一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的应用 淮安T23 南通T6 无锡T6 淮安T22 能根据具体问题列方程，能根据具体问题的实际意义，检验方程解合理性。 命题预测 根据23-25 年一元二次方程考查情况分析可知，中考数学中，重点考查解法、根的情况及根与系数关系、应用等四个方面；26年中考大概率的还会保持前几年的情况，重点考查一元二次方程的解法和根的判别式，重点把握一元二次方程的解法、根的判别式、根与系数关系、以及一元二次方程的应用，根本原因是《课程标准》的要求。 考点一 一元二次方程的概念及解法 1.一元二次方程的概念 一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 三个条件：①一个未知数；②最高次数为2次；③整式方程。 一般形式：（其中为常数，），其中分别叫做二次项、一次项和常数项，分别称为二次项系数和一次项系数． 2.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法：适合于或形式的方程． （2）配方法： · 整理成一般式，并化二次项系数为1； · 移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项； · 方程两边同时加上一次项系数一半的平方； · 把方程整理成的形式； · 运用直接开平方法解方程． （3）公式法： · 把方程化为一般形式，即； · 确定的值； · 求出的值，判断有解无解； · 将的值代入求解即可． 4．因式分解法：基本思想是把方程化成的形式，可得或． 1．（2025·江苏无锡·中考真题）解方程：； 2．（2025·江苏徐州·中考真题）解方程；     3．（2024·江苏无锡·中考真题）解方程：； 4．（2023·江苏无锡·中考真题）解方程：       5．（2024·江苏徐州·中考真题）解方程：； 考点二 一元二次方程根的情况与判别式 1.一元二次方程根的情况判断 （1）根的判别式：一元二次方程是否有实数根，由的符号来确定，我们把叫做一元二次方程根的判别式． （2）一元二次方程根的情况与判别式的关系 · 当时，方程有两个不相等的实数根； · 当时，方程有两个相等的实数根； · 当时，方程没有实数根． 1．（2025·江苏扬州·中考真题）关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 2．（2025·江苏镇江·中考真题）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 3．（2025·江苏常州·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数 ． 4．（2024·江苏徐州·中考真题）关于x的方程有两个相等的实数根，则k值为 ． 5．（2024·江苏南通·中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值： ． 考点三 一元二次方程根与系数关系 1.一元二次方程根与系数关系（韦达定理） 根与系数关系： 设（其中为常数，），两根分别为，， 则，． 注意：要求一元二次方程的两根之和、两根之积，必须先把方程化成一般式再利用，．求解两根之和、两根之积，否则会导致错误。 1．（2025·江苏宿迁·中考真题）方程的两个根分别是，则 2．（2025·江苏苏州·中考真题）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则 ． 3．（2023·江苏泰州·中考真题）关于x的一元二次方程的两根之和为 ． 考点四 一元二次方程的应用 1.一元二次方程的应用主要类型及常用数量关系式： （1）增长率问题（传播型问题） 增长率=增长量÷基础量． 设为原来量，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量，则； 当为平均下降率时，则有． （2）销售问题：（1）利润=售价－成本．（2）利润率=×100％． （3）图形面积问题 （4）动点问题：主要借助勾股定理或面积列一元二次方程求解。 1．（2024·江苏南通·中考真题）红星村种的水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x．列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·江苏无锡·中考真题）2020年一2022年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长至6.58万元，设人均可支配收入的年平均增长率为x，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·江苏·中考真题）如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），上、下，左、右页边距分别为．若纸张大小为，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的，则需如何设置页边距？    4．（2023·江苏无锡·中考真题）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽：有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺：竖放，竿比门高长出2尺：斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是 尺． 5．（2025·江苏南通·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 命题点一 一元二次方程的解法 ►题型01 一元二次方程的解法 / 【典例】．（2025·江苏南京·一模）解方程：． 【变式】 1．（2025·江苏徐州·模拟预测）解方程： 2．（2025·江苏淮安·二模）解方程： (1)； (2)． 3．（2025·江苏淮安·二模）解方程： (1)． (2)． 4．（2025·江苏连云港·三模）解方程： 命题点二 一元二次方程根的判别式 ►题型01 利用根的判别式判断根的情况 / 【典例】．（2025·江苏南京·模拟预测）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根且两根异号 C．有两个不相等的实数根且两根同号 D．没有实数根 【变式】 1．（2025·江苏宿迁·一模）已知关于的一元二次方程，其中满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（   ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 2．（2025·江苏·二模）一元二次方程的实数根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．无实数根 C．有两个相等的实数根 D．有实数根 ►题型02 根据根的情况求参数的值或取值范围 / 【典例】．（2025·江苏南通·模拟预测）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 【变式】 1．（2025·江苏盐城·二模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数k的值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 2．（2025·江苏淮安·一模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（   ） A． B． C．且 D．且 命题点三 一元二次方程根与系数关系 ►题型01 根据一元二次方程根与系数关系求值 / 【典例】．（2025·江苏南京·一模）已知关于x的方程的两个不相等的实数根分别是p，q，那么的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式】 1．（2025·江苏镇江·一模）已知一元二次方程 的一个根是2，则另一个根是 ． 2．（2025·江苏南通·模拟预测）若一元二次方程的两根为，，则的值为 ． 3．（2025·江苏徐州·模拟预测）已知、是方程的两个根，则 ． 4．（2025·江苏南通·一模）设、是方程的两个根，且，则 ． 5．（2025·江苏南京·三模）设是方程的两个根，若，则 ． 突破一 一元二次方程根的情况求参数的值或范围 【典例】．（2025·江苏淮安·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ． 【变式】 1．（2025·江苏扬州·三模）关于x的方程有实数根，则m的取值范围是 ． 2．（2025·江苏徐州·模拟预测）关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 3．（2025·江苏宿迁·三模）已知，，且（是常数），则称点是“关联点”．若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则的取值范围是 ． 4．（2025·江苏泰州·三模）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则直线不经过第 象限． 突破二 一元二次方程的应用 【典例】．（2025·江苏无锡·模拟预测）为充分利用现有资源，某校“牧春园”计划用一块矩形地种植两种花卉，如图，矩形地一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积相等的矩形，已知栅栏的总长度为． (1)若矩形地的面积为，求的长： (2)当边为多少时，矩形地的面积最大，最大面积是多少？ 【变式】 1．（2025·江苏苏州·二模）在“多‘盔’有你”交通安全宣传月期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶，商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元但不低于进价，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶． (1)若每顶头盔降价10元，则平均每周售出_______顶，共获利________元； (2)若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶头盔应降价多少？ (3)商店降价销售后，决定每销售1顶头盗就向某慈善机构捐赠m元（m为整数，且）帮助做“交通安全”宣传．捐赠后发现，该商店每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，求m的值． 2．（2025·江苏扬州·二模）北京冬季奥运会的吉祥物冰墩墩在冬奥会期间火遍全国．某网店也借机售卖一款冰墩墩，进价为30元／个，规定单个销售利润不低于10元，且不高于31元，试销售期间发现：当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，该网店决定提价销售，设销售单价为元，每天销售量为个． (1)直接写出与的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当销售单价为多少元时，每日销售利润为8910元？ (3)网店为响应“助力奥运，回馈社会”活动，决定每销售1个冰墩墩就捐赠元（）给希望工程，若每天扣除捐赠后可获得最大利润为7830元，则的值是多少？ 3．（2025·江苏无锡·二模）某水果店对一款成本价为每盒30元的车厘子进行销售，如果按每盒40元销售，每天可卖出50盒．通过市场调查发现，每盒售价每上涨1元，则日销售量减少1盒． (1)若该水果店某天销售车厘子的盈利为800元，求每盒车厘子的售价； (2)当每盒车厘子的售价定为多少元时，该水果店销售车厘子可以获得最大日利润？并求出最大日利润． 4．（2025·江苏苏州·一模）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，尽可能减少库存，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件． (1)如果商场通过销售这批衬衫每天盈利1050元，那么衬衫的单价降了多少元？ (2)单价降了多少元时，销售这批衬衫每天盈利最大？最大盈利是多少元？ 1．（2025·江苏常州·一模）若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏苏州·一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则可能的值是（    ） A．0 B． C． D． 3．（2025·江苏连云港·模拟预测）若一个直角三角形斜边为3，则它的周长可能是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 4．（2025·江苏·三模）关于x的一元二次方程中，则该一元二次方程根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 5．（2025·江苏淮安·二模）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D． 6．（2025·江苏南通·二模）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·江苏泰州·三模）关于的方程有两个实数根，则的最大值为 ． 8．（2025·江苏扬州·二模）如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是 ． 9．（2025·江苏·一模）解方程：． 10．（2025·江苏常州·二模）如图，在长宽比为的矩形场地修筑同样宽为的道路(道路与矩形边平行或垂直)，余下的部分种上草坪，且草坪的面积为，应选择的矩形场地的长和宽分别是多少? 11．（2025·江苏南京·二模）命题：已知矩形A两边长分别为m，n，存在一个矩形B，它的周长与面积都是矩形A的k倍（k为大于1的正整数）． (1)当，，时，命题是否成立．若成立，求出矩形B的两边长；若不成立，请说明理由． (2)判断命题的真假，并说明理由． 12．（2025·江苏宿迁·三模）近两年直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在网络平台上对一款成本价为120元的商品进行直播销售，如果按每件200元销售，每天可卖出40件．通过市场调查，该商品售价每降低1元，日销售量增加2件，设每件商品降价元． (1)每件商品降价元时，日销售量为______件： (2)若日销售盈利为4800元，为尽快减少库存，的值应为多少； (3)设日销售盈利为元，当为何值时，取值最大，最大值是多少？ 13．（2025·江苏徐州·一模）如图①，一张长方形纸板的长为24，宽为12，将其剪掉四角并折叠成如图②的有盖长方体盒子，若该长方体盒子的底面积为32，求该长方体盒子的高． 14．（2025·江苏常州·一模）某商店销售乌馒头，通过分析销售情况发现，乌馒头的日销售量y（盒）是销售单价x（元/盒）的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表，已知销售单价不低于成本价且不高于20元，每天销售乌馒头的固定损耗为20元，且成本价为12元/盒． 销售单价x（元/盒） 15 13 日销售量y（盒） 500 700 (1)直接写出乌馒头的日销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）的函数表达式并写出自变量的范围； (2)“端午乌馒重阳粽”是慈城的习俗，端午节期间，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，在顾客获得最大实惠的前提下，当乌馒头每盒定价多少元时，商店日销售纯利润为1480元． 1．（2025·江苏无锡·二模）定义：若，满足，，且（是常数），则称点是“关联点”．若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 2．（2025·江苏苏州·二模）在平面直角坐标系中，二次函数（其中m为常数）的图像经过点，其对称轴在y轴的右侧，则该二次函数有（    ） A．最大值4 B．最大值7 C．最小值4 D．最小值7 3．（2025·江苏扬州·二模）若关于的一元二次方程没有实数根，则直线不经过的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2025·江苏南通·二模）某件商品原价1000元，连续两次都降价后售价为640元，则x的值为（    ） A．68 B．64 C．36 D．20 5．（2025·江苏宿迁·一模）疫情得到有效控制后，各大中小型企业复工复产在有序展开，经济开始复苏．阳光超市三月份的营业额为36万元，五月份的营业额为49万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 6．（2025·江苏南通·一模）甲乙两个正方形的面积和为10，按图1放置，阴影部分面积为8，则按图2放置，阴影部分面积为（   ） A． B． C．8 D．10 7．（2025·江苏镇江·二模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 8．（2025·江苏淮安·一模）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值为 ． 9．（2025·江苏宿迁·三模）已知满足，则的最小值为 ． 1．（2025·贵州·一模）解方程：． 2．（2025·广西·一模）解方程： 3．（2025·北京·一模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·天津·一模）一元二次方程的两个根是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．（2025·山西·一模）一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 6．（2025·天津·一模）设方程的两实数根为，则的值为（    ） A． B．2 C． D．5 7．（2025·四川雅安·一模）对方程进行配方，正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·北京·一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·辽宁抚顺·一模）数学小组同学进行如下操作：把一根长为的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．设其中较短的一段铁丝长为厘米； (1)如果围成的两个正方形的面积之和等于，那么是多少厘米？ (2)组长小红对组员说：“无论怎么剪，这两个正方形的面积之和不可能为．”小红的说法对吗？请说明理由． 10．（2025·安徽·模拟预测）某风扇进价为80元，卖家按照100元每台进行售出，一天可卖出100台．若该风扇每降价1元，可多卖出10台．问若想一天获利2160元，从顾客的角度考虑，每台风扇应该降价多少元？ 11．（2025·河南郑州·一模）某农场要建一个饲养场（长方形），饲养场的一面靠墙（墙最大可用长度为米），另三边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地，并在如图所示的三处各留米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长米，设饲养场（长方形）的宽为米． (1)饲养场的长__________．（用含的代数式表示） (2)若饲养场的面积为，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 方程与不等式 第06讲 一元二次方程及其应用 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 1 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 2 04·命题洞悉·题型预测 12 命题点一 一元二次方程的解法 题型01 一元二次方程的解法 命题点二 一元二次方程根的判别式 题型01 利用根的判别式判断根的情况 题型02根据根的情况求参数的值或取值范围 命题点三 一元二次方程根的根与系数关系 题型01 根据一元二次方程根与系数关系求值 命题点四 一元二次方程的应用 题型 01 根据生活实际背景问题列方程 题型02 利用一元二次方程解决实际问题 05·重难突破·思维进阶难 21 突破一 一元二次方程根的情况求参数的值或范围 突破二 一元二次方程的应用 06·优题精选·练能提分 28 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 一元二次方程的解法 徐州T20 无锡T19 扬州T4 苏州T13 常州T14 镇江T14 宿迁T7 淮安T6 镇江T10 南京T16 南通T13 徐州T16 连云港T12 徐州T20 徐州T13 镇江T6 连云港T12 扬州T13 无锡T20 无锡20 理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程; 会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等。 根与系数关系 宿迁T17 / 泰州T13 了解一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的应用 淮安T23 南通T6 无锡T6 淮安T22 能根据具体问题列方程，能根据具体问题的实际意义，检验方程解合理性。 命题预测 根据23-25 年一元二次方程考查情况分析可知，中考数学中，重点考查解法、根的情况及根与系数关系、应用等四个方面；26年中考大概率的还会保持前几年的情况，重点考查一元二次方程的解法和根的判别式，重点把握一元二次方程的解法、根的判别式、根与系数关系、以及一元二次方程的应用，根本原因是《课程标准》的要求。 考点一 一元二次方程的概念及解法 1.一元二次方程的概念 一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 三个条件：①一个未知数；②最高次数为2次；③整式方程。 一般形式：（其中为常数，），其中分别叫做二次项、一次项和常数项，分别称为二次项系数和一次项系数． 2.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法：适合于或形式的方程． （2）配方法： · 整理成一般式，并化二次项系数为1； · 移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项； · 方程两边同时加上一次项系数一半的平方； · 把方程整理成的形式； · 运用直接开平方法解方程． （3）公式法： · 把方程化为一般形式，即； · 确定的值； · 求出的值，判断有解无解； · 将的值代入求解即可． 4．因式分解法：基本思想是把方程化成的形式，可得或． 1．（2025·江苏无锡·中考真题）解方程：； 【答案】，； 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法．把方程化为，再进一步解方程即可． 【详解】解： ， 方程移项得：， 配方得：，即， 开方得：， 解得：，． 2．（2025·江苏徐州·中考真题）解方程；     【答案】，； 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查解一元二次方程．利用配方法求解； 【详解】解： ， 移项，得， 配方，得，即， 开平方，得， 解得， 即， 3．（2024·江苏无锡·中考真题）解方程：； 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了解一元二次方程．先移项，再用直接开平方法即可求解； 【详解】解：， ， 或， 解得：． 4．（2023·江苏无锡·中考真题）解方程：       【答案】，； 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】根据公式法解一元二次方程即可求解； 【详解】 解：∵， ∴， ∴ 解得：，； 5．（2024·江苏徐州·中考真题）解方程：； 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握解法是解题的关键．用配方法解方程即可； 【详解】解： ， ， ， ， ， ∴，； 考点二 一元二次方程根的情况与判别式 1.一元二次方程根的情况判断 （1）根的判别式：一元二次方程是否有实数根，由的符号来确定，我们把叫做一元二次方程根的判别式． （2）一元二次方程根的情况与判别式的关系 · 当时，方程有两个不相等的实数根； · 当时，方程有两个相等的实数根； · 当时，方程没有实数根． 1．（2025·江苏扬州·中考真题）关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 通过计算一元二次方程的判别式，即可判断方程根的情况． 【详解】解：， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 2．（2025·江苏镇江·中考真题）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意，一元二次方程的，据此计算解答即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 即， 解得：． 故答案为：． 3．（2025·江苏常州·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数 ． 【答案】1 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有，得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， 解得． 故答案为：1． 4．（2024·江苏徐州·中考真题）关于x的方程有两个相等的实数根，则k值为 ． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 5．（2024·江苏南通·中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值： ． 【答案】0（答案不唯一） 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先根据判别式的意义得到，解不等式得到的范围，然后在此范围内取一个值即可． 【详解】解∶∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∴当k取0时，方程有两个不相等的实数根． 故答案为：0（答案不唯一）． 考点三 一元二次方程根与系数关系 1.一元二次方程根与系数关系（韦达定理） 根与系数关系： 设（其中为常数，），两根分别为，， 则，． 注意：要求一元二次方程的两根之和、两根之积，必须先把方程化成一般式再利用，．求解两根之和、两根之积，否则会导致错误。 1．（2025·江苏宿迁·中考真题）方程的两个根分别是，则 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握：如果一元二次方程的两根为，，则． 根据根与系数的关系和方程的解得到，，，代入，并再将原式化简为，即可求解． 【详解】解：∵方程的两个根分别是， ∴，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 2．（2025·江苏苏州·中考真题）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，结合，进行求解即可，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 3．（2023·江苏泰州·中考真题）关于x的一元二次方程的两根之和为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】利用根与系数的关系进行求值． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，熟练掌握． 考点四 一元二次方程的应用 1.一元二次方程的应用主要类型及常用数量关系式： （1）增长率问题（传播型问题） 增长率=增长量÷基础量． 设为原来量，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量，则； 当为平均下降率时，则有． （2）销售问题：（1）利润=售价－成本．（2）利润率=×100％． （3）图形面积问题 （4）动点问题：主要借助勾股定理或面积列一元二次方程求解。 1．（2024·江苏南通·中考真题）红星村种的水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x．列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每公顷，则2023年平均每公顷产，根据题意列出一元二次方程即可． 【详解】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每公顷产， 则2023年平均每公顷产， 根据题意有：， 故选：A． 2．（2023·江苏无锡·中考真题）2020年一2022年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长至6.58万元，设人均可支配收入的年平均增长率为x，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据2020年的人均可支配收入和2022年的人均可支配收入，列出一元二次方程即可． 【详解】解：由题意得：． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．（2023·江苏·中考真题）如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），上、下，左、右页边距分别为．若纸张大小为，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的，则需如何设置页边距？ 【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】设页边距为，根据题意找出等量关系列方程，解方程即可解题． 【详解】解：设页边距为 则列方程为：， 解得：，（舍去）， 答：页边距为． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系列方程式解题的关键． 4．（2023·江苏无锡·中考真题）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽：有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺：竖放，竿比门高长出2尺：斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是 尺． 【答案】8 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理构造图形解决问题 【分析】设门高尺，则竿长为尺，门的对角线长为尺，门宽为尺，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：设门高尺，依题意，竿长为尺，门的对角线长为尺，门宽为尺， ∴， 解得：或（舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，根据题意建立方程是解题的关键． 5．（2025·江苏南通·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 【答案】(1)15米； (2)当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】考查了一元二次方程的应用以及二次函数的实际应用，熟练掌握矩形的周长、面积公式，以及二次函数的性质（如顶点式求最值）是解题的关键． （1）设与墙垂直的边为，根据矩形周长（栅栏总长）表示出与墙平行的边，再结合面积公式列方程求解． （2）设与墙平行的边为，根据栅栏总长和出口情况表示出与墙垂直的边，从而得出面积函数，利用二次函数性质求最大值时的值． 【详解】（1）解：设与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为， 根据题意得， 解得 答：与墙垂直的边的长度为15米； （2）解：设与墙平行的长度为，花圃的面积为， 根据题意得 ∴ ∵， ∴当时，有最大值363， 答：当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 命题点一 一元二次方程的解法 ►题型01 一元二次方程的解法 / 【典例】．（2025·江苏南京·一模）解方程：． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ，，， ， ， 解得． 【变式】 1．（2025·江苏徐州·模拟预测）解方程： 【答案】，； 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了解一元二次方程，注意正确计算．根据配方法求解即可； 【详解】解：， 移项，得． 配方，得，即． 两边开平方，得． 解得，； 2．（2025·江苏淮安·二模）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元二次方程——配方法、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用配方法求解； （2）利用因式分解法求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 解得：； （2）解：， ， 或 解得：． 3．（2025·江苏淮安·二模）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元二次方程——配方法、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键． （1）方程的左边可以因式分解为，利用因式分解法解方程即可得； （2）方程可以配方为，再两边同时开平方解方程即可得． 【详解】（1）解：， ， 或， 或， 所以方程的解为． （2）解：， ， ， ， ， ， 所以方程的解为． 4．（2025·江苏连云港·三模）解方程： 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】利用直接开平方法解一元二次方程即可，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． 本题考查了解一元二次方程−直接开平方法，掌握解一元二次方程的步骤是关键． 【详解】解：， ， ， ， 解得：，． 命题点二 一元二次方程根的判别式 ►题型01 利用根的判别式判断根的情况 / 【典例】．（2025·江苏南京·模拟预测）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根且两根异号 C．有两个不相等的实数根且两根同号 D．没有实数根 【答案】B 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了一元二次方程根的判别式．先计算根的判别式的值得到，则，则根据根的判别式的意义得到方程有两个不相等的实数根，再根据根与系数的关系得到方程的两根之积为，则可得到方程的两根异号，从而可对各选项进行判断． 【详解】解：， 方程有两个不相等的实数根， 设方程的两根分别为，， ， 方程的两根异号． 故选：B． 【变式】 1．（2025·江苏宿迁·一模）已知关于的一元二次方程，其中满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（   ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程根的判别式判断根的情况是解题的关键．由得到，代入到关于的方程整理得到，再利用一元二次方程根的判别式即可得出结论． 【详解】解：， ， 代入到关于的方程得，， 整理得：， ， 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 2．（2025·江苏·二模）一元二次方程的实数根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．无实数根 C．有两个相等的实数根 D．有实数根 【答案】B 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟知判别式小于0时，方程无实数根是解题的关键； 根据一元二次方程的判别式进行解答即可. 【详解】解：因为方程的判别式， 所以一元二次方程无实数根； 故选：B. ►题型02 根据根的情况求参数的值或取值范围 / 【典例】．（2025·江苏南通·模拟预测）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，其根的判别式求解即可． 本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】解：由题意可知：， ， 解得． 故选：D． 【变式】 1．（2025·江苏盐城·二模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数k的值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟知方程有两个相等的实数根时，判别式为0是解题的关键； 根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得方程的判别式为0，即可得到关于k的方程，解方程即可. 【详解】解：根据题意可得，方程的判别式， 即， 解得：； 故选：A. 2．（2025·江苏淮安·一模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；由题意易得，然后进行求解即可． 【详解】解：由题意得： ， 解得：； 故选B． 命题点三 一元二次方程根与系数关系 ►题型01 根据一元二次方程根与系数关系求值 / 【典例】．（2025·江苏南京·一模）已知关于x的方程的两个不相等的实数根分别是p，q，那么的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系为，是解题的关键．根据题意得到，即可求解． 【详解】解：方程有两个不相等的实数根分别是p，q， ，， 当时，成立，此时，即，不符合题意， ， 又， ∴， ， 故选：A． 【变式】 1．（2025·江苏镇江·一模）已知一元二次方程 的一个根是2，则另一个根是 ． 【答案】1 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：，根据题意，列式，进行计算，即可作答． 【详解】解：设另一个根是， ∵一元二次方程有一个根是2， ∴ ∴ 故答案为：1． 2．（2025·江苏南通·模拟预测）若一元二次方程的两根为，，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，完全平方公式，一元二次方程的解． 由一元二次方程根与系数的关系，可得，，从而可得，结合，即可得的值． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴，，， ∴，， ∴ ， ∴的值为． 故答案为：． 3．（2025·江苏徐州·模拟预测）已知、是方程的两个根，则 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是根据根与系数的关系进行列式计算 根据两根之积等于进行列式计算． 【详解】解：方程的两个根分别为，， ， 故答案为：． 4．（2025·江苏南通·一模）设、是方程的两个根，且，则 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．根据一元二次方程根与系数的关系可知，，再求解即可． 【详解】解：∵、是方程的两个根， ∴，． ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 5．（2025·江苏南京·三模）设是方程的两个根，若，则 ． 【答案】5 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，由根与系数的关系可得，则，可得原方程为，再解原方程求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴原方程为， ∴， ∴或， 解得， ∴， 故答案为：． 突破一 一元二次方程根的情况求参数的值或范围 【典例】．（2025·江苏淮安·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程有两个不相等的实数根，直接得到判别式，即可求解本题． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； 故答案为：． 【变式】 1．（2025·江苏扬州·三模）关于x的方程有实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查方程的解，一元二次方程根的判别式，掌握分类讨论思想是解题的关键． 分情况讨论：当时，方程为一元一次方程，有实数根，符合题意；当时，方程为一元二次方程，根据根的判别式得到关于m的不等式，求解即可． 【详解】解：当，即时，方程为， 解得， ∴方程有实数根，符合题意． 当，即时，方程为一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴， ∴． 综上所述，m的取值范围为． 2．（2025·江苏徐州·模拟预测）关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）根的判别式的意义．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据根的判别式的意义可得，然后解不等式即可． 【详解】解：∵方程，即有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 3．（2025·江苏宿迁·三模）已知，，且（是常数），则称点是“关联点”．若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则的取值范围是 ． 【答案】或 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、反比例函数与几何综合 【分析】本题主要考查了关联点“关联点”的含义、因式分解，一元二次方程根的判别式，反比例函数等知识点，根据题意建立参数方程成为解题的关键． 由，以及相应字母的取值范围可得，然后根据题意得到关于x的方程，再结合求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴，即 ∵反比例函数的图象上总存在两个关联点， ∴，即且有两个不相等实数根， ∴，解得：， 当，即时，方程可化为，解得或0，但，则仅有，不符合题意． 综上，的取值范围是或． 故答案为：或． 4．（2025·江苏泰州·三模）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则直线不经过第 象限． 【答案】三 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一次函数的图像与性质，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式，一次函数的图像与性质．先利用一元二次方程根的判别式的意义得到，然后根据一次函数的性质解决问题． 【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， ， 函数过第一、二、四象限，不经过第三象限 故答案为：三． 突破二 一元二次方程的应用 【典例】．（2025·江苏无锡·模拟预测）为充分利用现有资源，某校“牧春园”计划用一块矩形地种植两种花卉，如图，矩形地一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积相等的矩形，已知栅栏的总长度为． (1)若矩形地的面积为，求的长： (2)当边为多少时，矩形地的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1)的长为 (2)当时，S有最大值，最大值为 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，求二次函数的最值等知识，解题关键是列出函数关系式． （１）设的长为，先用表示出的长，再列出关于为的一元二次方程求解，然后通过验根后作答； （２）设矩形的面积为，列出二次函数关系式，配方后结合自变量的范围求出最值． 【详解】（1）解：设的长为，则的长为， 根据题意得：， 解得或， 当时，，不合题意，舍去， 当时，，符合题意， ， 答：的长为； （2）设矩形的面积为， 则， ， ， ， 当时，y随x的增大而减小 ∴当时，S有最大值，最大值为． 【变式】 1．（2025·江苏苏州·二模）在“多‘盔’有你”交通安全宣传月期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶，商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元但不低于进价，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶． (1)若每顶头盔降价10元，则平均每周售出_______顶，共获利________元； (2)若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶头盔应降价多少？ (3)商店降价销售后，决定每销售1顶头盗就向某慈善机构捐赠m元（m为整数，且）帮助做“交通安全”宣传．捐赠后发现，该商店每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，求m的值． 【答案】(1)300，5400 (2)每顶头盔应降价20元 (3)或4 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、营销问题(一元二次方程的应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算、一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识，正确理解题意是解题关键． （1）根据“每降价2元，平均每周可多售出40顶”列式求解即可； （2）设每顶头盔应降价元，根据题意列出关于的一元二次方程并求解，结合题意即可获得答案； （3）设每周扣除捐赠后可获得利润为元，每顶头盔售价元，根据题意可得，知该函数图像的对称轴为，开口向下，根据当时，利润仍随售价的增大而增大，可知，进而解得，结合题意即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，可知若每顶头盔降价10元， 则平均每周售出顶， 共获利元． 故答案为：300，5400． （2）设每顶头盔应降价元， 根据题意，可得， 整理可得，， 解得，， 当时时，售价为元； 当时时，售价为元； ∵每顶售价不高于58元， ∴每顶头盔应降价20元． （3）设每周扣除捐赠后可获得利润为元，每顶头盔售价元， 根据题意，得 ， 则该函数图像的对称轴为，开口向下， 当时，利润仍随售价的增大而增大， ∴，解得， ∵，且为整数， 或4． 2．（2025·江苏扬州·二模）北京冬季奥运会的吉祥物冰墩墩在冬奥会期间火遍全国．某网店也借机售卖一款冰墩墩，进价为30元／个，规定单个销售利润不低于10元，且不高于31元，试销售期间发现：当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，该网店决定提价销售，设销售单价为元，每天销售量为个． (1)直接写出与的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当销售单价为多少元时，每日销售利润为8910元？ (3)网店为响应“助力奥运，回馈社会”活动，决定每销售1个冰墩墩就捐赠元（）给希望工程，若每天扣除捐赠后可获得最大利润为7830元，则的值是多少？ 【答案】(1)； (2)当销售单价是57元时，网店每天获利8910元； (3)． 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一次函数的实际应用)、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出关系式或方程． （1）根据当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，列出函数解析式即可，根据单个销售利润不低于10元，且不高于31元，求出x的取值范围即可； （2）根据每日销售利润为8910元，列出方程，解方程即可； （3）设每天扣除捐赠后可获得利润为元，得出，求出抛物线的对称轴为直线，根据，得出，根据二次函数的增减性得出当时，取得最大值，求出m的值即可． 【详解】（1）解：∵当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个， ∴， ∵单个销售利润不低于10元，且不高于31元， ∴， ∴． 即，其中． （2）根据题意，得， 解得， ， ， 答：当销售单价是57元时，网店每天获利8910元； （3）设每天扣除捐赠后可获得利润为元， 则 对称轴为 ， ， 当时，随的增大而增大， 时，取得最大值， ， 解得． 3．（2025·江苏无锡·二模）某水果店对一款成本价为每盒30元的车厘子进行销售，如果按每盒40元销售，每天可卖出50盒．通过市场调查发现，每盒售价每上涨1元，则日销售量减少1盒． (1)若该水果店某天销售车厘子的盈利为800元，求每盒车厘子的售价； (2)当每盒车厘子的售价定为多少元时，该水果店销售车厘子可以获得最大日利润？并求出最大日利润． 【答案】(1)50元或70元 (2)当每盒车厘子售价60元时，可以获得最大日利润为900元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）设每盒车厘子售价元，由题意得：，解方程即可． （2）设每盒车厘子售价为元，利润为元，构造二次函数解答即可． 本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值，最大利润问题，熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的最值是解题的关键． 【详解】（1）解：设每盒车厘子售价元， 由题意得：， 解得， 答：每盒车厘子售价为50元或70元． （2）解：设每盒车厘子售价为元，利润为元 因为 根据图像性质当时，有最大值900 答：当每盒车厘子售价60元时，可以获得最大日利润为900元． 4．（2025·江苏苏州·一模）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，尽可能减少库存，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件． (1)如果商场通过销售这批衬衫每天盈利1050元，那么衬衫的单价降了多少元？ (2)单价降了多少元时，销售这批衬衫每天盈利最大？最大盈利是多少元？ 【答案】(1)衬衫的单价应下降25元 (2)单价降了15元时，销售这批衬衫每天盈利最大，最大盈利是1250元． 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，找出数量关系列出方程和函数解析式是解答本题的关键． （1）根据“总利润每件利润销售量”列方程，求解即可； （2）设每天利润为w元，每件衬衫应降价x元，根据题意可得利润表达式，运用函数的性质求最值． 【详解】（1）设衬衫的单价应下降x元，由题意得： ， 解得：， 经检验都符合题意． ∵为了扩大销售，尽可能减少库存，增加盈利， ∴x应取25元． 答：衬衫的单价应下降25元． （2）设每天利润为w元， 由题意，得： ， ， 当时，盈利最多为1250元， 所以单价降了15元时，销售这批衬衫每天盈利最大，最大盈利是1250元． 1．（2025·江苏常州·一模）若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、因式分解法解一元二次方程 【分析】根据得到且a，b同号，结合得到，整理后，解方程即可． 本题考查了非负性，解方程，求代数式的值，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：由得到且a，b同号， ∵ ∴ ∴， ∴， 又， ∴， 解得， 故或， 当时，； 当时，； 故选：A． 2．（2025·江苏苏州·一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则可能的值是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有2个不相等的实数根，得到，列出不等式求出的范围，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴或， ∴可能的值是； 故选B． 3．（2025·江苏连云港·模拟预测）若一个直角三角形斜边为3，则它的周长可能是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理及完全平方公式的应用，一元二次方程的判别式，设直角三角形的直角边为，，根据勾股定理得到，再求出的取值范围即可． 【详解】解：设直角三角形的直角边为，， ∵直角三角形斜边为3， ∴，， ∴三角形周长，故排除A、B选项， ∴当时，，代入，整理得，，方程有解；故C选项符合题意； 当时，，代入，整理得，，方程无解；故D选项不合题意； 故选：C． 4．（2025·江苏·三模）关于x的一元二次方程中，则该一元二次方程根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 先计算判别式的值，再利用根据判别式的意义进行判断即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程中，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 5．（2025·江苏淮安·二模）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D． 【答案】A 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据解答即可求解，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 故选：． 6．（2025·江苏南通·二模）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，理解方程有两个相等的实数根是关键． 根据方程有两个相等的实数根得到，由此即可求解． 【详解】解：关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得，， 故选：A ． 7．（2025·江苏泰州·三模）关于的方程有两个实数根，则的最大值为 ． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．由题意知，，解得，即可得解． 【详解】解：由题意知，， 解得， ∴的最大值为， 故答案为：． 8．（2025·江苏扬州·二模）如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是 ．    【答案】1 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．设这个数为，根据“先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同”列出方程即可求解． 【详解】解：设这个数为，则有， ， ， ， 解得． 故答案为：1． 9．（2025·江苏·一模）解方程：． 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．先把方程化为可得，再利用直接开平方法解方程即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：，． 10．（2025·江苏常州·二模）如图，在长宽比为的矩形场地修筑同样宽为的道路(道路与矩形边平行或垂直)，余下的部分种上草坪，且草坪的面积为，应选择的矩形场地的长和宽分别是多少? 【答案】应选择的矩形场地的长和宽分别是和． 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设矩形长为，宽为，根据草坪的面积为，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】 解：根据题意，设矩形长为，宽为． 根据题意得， 整理得， 解得：(舍去)，， ∴，． 答：应选择的矩形场地的长和宽分别是和． 11．（2025·江苏南京·二模）命题：已知矩形A两边长分别为m，n，存在一个矩形B，它的周长与面积都是矩形A的k倍（k为大于1的正整数）． (1)当，，时，命题是否成立．若成立，求出矩形B的两边长；若不成立，请说明理由． (2)判断命题的真假，并说明理由． 【答案】(1)成立，矩形B的两边长为，， (2)成立，见解析 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、根据矩形的性质求线段长、判断命题真假 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及其解法． （1）根据矩形的长和宽表示出新矩形的长和宽，再根据面积的关系列出一元二次方程，进一步求解即可； （2）设矩形A两边长分别为m，n，此时矩形B的周长为，面积为，设矩形B的长为x，则宽为．再根据面积的关系列出一元二次方程，利用根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：当，，时， 此时矩形B的周长为18，面积为6， 设矩形B的长为x，则宽为． 根据题意列方程，得：， ∴， 解之得：，； ∴此时命题成立． （2）解：若矩形A两边长分别为m，n，此时矩形B的周长为，面积为，设矩形B的长为x，则宽为． 根据题意列方程，得：， 即， 根据求根公式得：， ∵， ∴ 又， ∴， ∴存在矩形B， ∴此命题成立． 12．（2025·江苏宿迁·三模）近两年直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在网络平台上对一款成本价为120元的商品进行直播销售，如果按每件200元销售，每天可卖出40件．通过市场调查，该商品售价每降低1元，日销售量增加2件，设每件商品降价元． (1)每件商品降价元时，日销售量为______件： (2)若日销售盈利为4800元，为尽快减少库存，的值应为多少； (3)设日销售盈利为元，当为何值时，取值最大，最大值是多少？ 【答案】(1) (2)的值应为40； (3)当时，取最大值，最大值是5000． 【知识点】列代数式、营销问题(一元二次方程的应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确理解题意列出对应的解析式和方程是解题的关键． （1）根据售价每降低1元，日销售量增加2件列出对应的代数式即可； （2）根据利润（售价成本价）数量列出方程求解即可； （3）根据利润（售价成本价）数量列出关于x的二次函数关系，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，每件商品降价x元时，日销售量为件， 故答案为：； （2）解：由题意得，， ∴， 解得， ∵为尽快减少库存， ∴的值应为40； （3）解：由题意得，， ， ∴当时，取最大值，最大值是5000． 13．（2025·江苏徐州·一模）如图①，一张长方形纸板的长为24，宽为12，将其剪掉四角并折叠成如图②的有盖长方体盒子，若该长方体盒子的底面积为32，求该长方体盒子的高． 【答案】4 【知识点】因式分解法解一元二次方程、与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设该长方体盒子的高为，则该长方形盒子的底面为长，宽的长方形，根据该长方体盒子的底面积为32，即可得出关于一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】 解：设该长方体盒子的高为，则该长方形盒子的底面为长，宽的长方形， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又， ， ． 答：该长方体盒子的高为4． 14．（2025·江苏常州·一模）某商店销售乌馒头，通过分析销售情况发现，乌馒头的日销售量y（盒）是销售单价x（元/盒）的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表，已知销售单价不低于成本价且不高于20元，每天销售乌馒头的固定损耗为20元，且成本价为12元/盒． 销售单价x（元/盒） 15 13 日销售量y（盒） 500 700 (1)直接写出乌馒头的日销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）的函数表达式并写出自变量的范围； (2)“端午乌馒重阳粽”是慈城的习俗，端午节期间，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，在顾客获得最大实惠的前提下，当乌馒头每盒定价多少元时，商店日销售纯利润为1480元． 【答案】(1) (2)当乌馒头每盒定价15元时，商店日销售纯利润为1480元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程的应用，弄清题意，理清各量间关系是解题的关键． （1）设乌馒头的日销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）的函数表达式为，待定系数法即可求解； （2）根据销售量单价损耗费用销售总利润，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设函数表达式为，将，；，代入得： ， 解得：， ∵销售单价不低于成本价且不高于20元， ∴， ∴乌馒头的日销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）的函数表达式为； （2）解：由题意得：， 解得：，， ∵顾客获得最大实惠， ∴， ∴当乌馒头每盒定价15元时，商店日销售纯利润为1480元． 1．（2025·江苏无锡·二模）定义：若，满足，，且（是常数），则称点是“关联点”．若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题考查了反比例函数的性质、一元二次方程根的判别式，先根据题意得出，联立得出，由一元二次方程根的判别式计算得出，结合反比例函数的定义即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， 由可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 联立可得：， ∴， ∵反比例函数的图象上总存在两个关联点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或， 故选：D． 2．（2025·江苏苏州·二模）在平面直角坐标系中，二次函数（其中m为常数）的图像经过点，其对称轴在y轴的右侧，则该二次函数有（    ） A．最大值4 B．最大值7 C．最小值4 D．最小值7 【答案】D 【知识点】因式分解法解一元二次方程、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，待定系数法求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先把代入得出，结合对称轴在y轴的右侧，得，则在时，最小值，代入计算，即可作答． 【详解】解：∵二次函数（其中m为常数）的图像经过点， ∴， ∴， ∴， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴对称轴为直线 ∴， ∴， 则二次函数，且 ∴开口向上，对称轴为直线， ∴在时，最小值， 把代入， 得， ∴该二次函数有最小值7， 故选：D 3．（2025·江苏扬州·二模）若关于的一元二次方程没有实数根，则直线不经过的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，以及一次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握以上性质． 根据一元二次方程根与判别式的关系，求得的取值范围，再根据一次函数的图象与系数的关系求解即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 则直线，随着的增大而减小，且直线与轴交于正半轴， 所以，直线经过第一、第二和第四象限，不经过第三象限， 故选：C． 4．（2025·江苏南通·二模）某件商品原价1000元，连续两次都降价后售价为640元，则x的值为（    ） A．68 B．64 C．36 D．20 【答案】D 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确列出方程．根据两次降价后的价钱为640元，列出方程，求解即可． 【详解】解：由题意可得，两次降价后的价格为：， 解得或（舍去）． 故选：D． 5．（2025·江苏宿迁·一模）疫情得到有效控制后，各大中小型企业复工复产在有序展开，经济开始复苏．阳光超市三月份的营业额为36万元，五月份的营业额为49万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率），如果设每月的平均增长率为，根据“五月份的营业额为49万元”，即可得出方程． 【详解】解：设每月的平均增长率为x，则可列方程为， 故选：D． 6．（2025·江苏南通·一模）甲乙两个正方形的面积和为10，按图1放置，阴影部分面积为8，则按图2放置，阴影部分面积为（   ） A． B． C．8 D．10 【答案】C 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据已知图1可得，进而求出，再由甲乙两个正方形的面积和为10列方程求出当时，，即可求解． 【详解】解：甲乙两个正方形的边长分别为，，且 依题意得：， 由图1得：， ∴， ∴，（不合题意舍去） ∴， ∴， 解得：，， 当时，，， 当时，，不合题意舍去， 综上所述：按图2放置，阴影部分面积为8， 故选C． 7．（2025·江苏镇江·二模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 【答案】2 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有，得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， 解得． 故答案为：． 8．（2025·江苏淮安·一模）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值为 ． 【答案】2 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根时列出方程，解之可得答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即 解得，， 故答案为：． 9．（2025·江苏宿迁·三模）已知满足，则的最小值为 ． 【答案】/0.6 【知识点】运用完全平方公式进行运算、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了根的判别式，完全平方公式，设，又，则，所以，整理为，然后根据根的判别式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 解得：， 即， ∴的最小值为， 故答案为：． 1．（2025·贵州·一模）解方程：． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，先计算，得到方程有两个不相等的实数根，代入求根公式即可求解． 【详解】解：， ， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ． 2．（2025·广西·一模）解方程： 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，先移项，再用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， ， 或， ∴，． 3．（2025·北京·一模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】此题考查了根的判别式，根据关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则，然后求出的值即可，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：． 4．（2025·天津·一模）一元二次方程的两个根是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般方法，是解题的关键．通过因式分解法求解一元二次方程，找到两个根即可． 【详解】解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：或， 故方程的两个根为，． 故选：A． 5．（2025·山西·一模）一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 通过计算一元二次方程的判别式，判断根的情况即可． 【详解】解：∵ 方程中，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选A． 6．（2025·天津·一模）设方程的两实数根为，则的值为（    ） A． B．2 C． D．5 【答案】A 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再计算它们的和． 【详解】解：∵ 方程 中，，，， ∴ ， ， ∴ ， 故选：A． 7．（2025·四川雅安·一模）对方程进行配方，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，准确的计算是解决本题的关键． 通过配方法将方程转化为完全平方形式即可． 【详解】解： ， 故选：B． 8．（2025·北京·一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程有两个不相等的实数根的条件是判别式大于零，且二次项系数不为零．本题中二次项系数为1，已满足，故只需判别式大于零． 【详解】解：∵ 方程 有两个不相等的实数根， ∴， ∴ ，即， ∴ 实数的取值范围为． 故选：A． 9．（2025·辽宁抚顺·一模）数学小组同学进行如下操作：把一根长为的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．设其中较短的一段铁丝长为厘米； (1)如果围成的两个正方形的面积之和等于，那么是多少厘米？ (2)组长小红对组员说：“无论怎么剪，这两个正方形的面积之和不可能为．”小红的说法对吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)小红的说法正确，理由见解析 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，根的判别式的运用，解答本题时找到等量关系建立方程和运用根的判别式是关键． （1）设其中较短一段长为，则另一段长为，就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于，建立方程求出其解即可； （2）根据题意，判断方程解的情况即可． 【详解】（1）解：其中较短一段长为，则另一段长为， 依题意得， 解得， 因为是较短的一段， 所以，即， 故不合题意，舍去， 答：的值为时，围成的两个正方形面积之和为； （2）解：小红的说法正确 ， 整理得，， ，原方程无实数根， 两个正方形的面积之和不可能等于， 答：小红的说法正确． 10．（2025·安徽·模拟预测）某风扇进价为80元，卖家按照100元每台进行售出，一天可卖出100台．若该风扇每降价1元，可多卖出10台．问若想一天获利2160元，从顾客的角度考虑，每台风扇应该降价多少元？ 【答案】降价8元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、销售问题，解决问题的关键是找到等量关系准确地列出方程． 设每台风扇降价x元，根据题意列出方程，解方程，舍去不符合题意的解，再作答即可． 【详解】解析：设每台风扇降价x元，可得： 解得：， 因为从顾客的角度考虑， 故， 答：每台风扇应该降价8元． 11．（2025·河南郑州·一模）某农场要建一个饲养场（长方形），饲养场的一面靠墙（墙最大可用长度为米），另三边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地，并在如图所示的三处各留米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长米，设饲养场（长方形）的宽为米． (1)饲养场的长__________．（用含的代数式表示） (2)若饲养场的面积为，求的值． 【答案】(1)米 (2) 【知识点】列代数式、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】（）用总长减去再加上三个米宽的门即可求解； （）根据矩形的面积公式列出一元二次方程，解方程即可求解； 本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，饲养场的长米， 故答案为：米； （2）解：由题意得，， 整理得，， 解得，， 当时，，不合题意； 当时，，符合题意； ∴的值为． 2 / 46 学科网（北京）股份有限公司 $