第05讲 分式方程及其应用（复习讲义）（江苏专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦分式方程及其应用，覆盖中考核心考点：分式方程的解法（去分母、解整式方程、验根）和应用（行程、工程、销售等场景），贴合课标“掌握解法、检验合理性”要求。通过“考情剖析-知识导航-考点解析-命题洞悉-分层训练”五维架构，梳理知识网络，结合近三年江苏中考真题，指导学生突破易错点，实现系统复习。 亮点在于“问题导向-防错策略-情境建模”教学创新，如针对解法设计“三步防错法”（找公分母防漏乘、解后必验根）培养运算能力，应用模块以2025年无锡骑行、常州机器人购买等真题情境，引导学生抽象等量关系发展模型意识。分层练习含基础巩固、能力提升、全国新趋势三级，配合即时反馈机制，助力教师精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

第二章 方程与不等式 第05讲 分式方程及其应用 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 1 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 9 命题点一 分式方程的解法 题型01 分式方程的解法 命题点二 分式方程的应用 题型01 用分式方程解决实际问题 05·重难突破·思维进阶难 15 突破一 分式方程的解法 突破二 用分式方程解决实际问题 06·优题精选·练能提分 22 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 分式方程的解法 徐州T12 镇江T18 连云港T18 无锡T3 南京T11 徐州T14 南通19 镇江T20 无锡T20 苏州T11 无锡T13 淮安T10 泰州T17 镇江T20 连云港T19 掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法； 分式方程的应用 无锡T8 常州T23 扬州T23 宿迁T26 扬州T23 南通T24 徐州T23 盐城T25 扬州T23 能根据具体问题列出方程，能根据具体问题的实际意义，检验方程解合理性。 命题预测 根据2023-2025近三年江苏中考数学对分式方程的考查情况分析，可以看出中考数学中对分式方程的考查就两个考点，其要求如下： 一、考查分式方程解法（去分母、解整式方程、验根），通常为填空或解答；要拿到这部分分，必须做好三个防范： · 防范漏乘：去分母时每一项都要乘最简公分母 · 防范忘验根：分式方程必须检验，舍去增根 二、考查分式方程的应用： · 高频场景：行程问题、工程问题、销售问题等 · 命题趋势：情境更贴近生活，如环保、科技、经济等热点话题； 2026年中考对分式方程的考查重点把握这两个考点，题型稳定，注意关注生活新闻热点。 考点一 分式方程的解法 1．分式方程的概念 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据． 2.分式方程的解法 （1）基本思路：将分式方程化为整式方程．（转化思想） （2）解分式方程的具体步骤： ①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式； ②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； ③解整式方程； ④检验． 易错提醒： ①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项，尤其是常数项； ②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 3.分式方程的增根 增根：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根． 注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解． 1．（2025·江苏徐州·中考真题）分式方程的解为 ． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是将分式方程化为整式方程求解，最后要检验所得的根是否为增根．通过交叉相乘将分式方程化为整式方程，然后解整式方程，最后检验所得的根． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项：， ∴， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 故答案为：． 2．（2025·江苏镇江·中考真题）解方程：． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．方程两边同乘以化成整式方程，再解一元一次方程，然后进行检验即可得． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是分式方程的解， 所以方程的解为． 3．（2025·江苏南京·模拟预测）已知分式的值为，那么 ． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程；由题意得分式方程，再进行计算求解． 【详解】解：由题意得， 两边都乘以，得， 解得， 检验：当时，， 是原方程的解， 故答案为：． 4．（2025·江苏苏州·模拟预测）解方程：． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程是解题的关键．先去分母将分式方程化成整式方程，求整式方程的解，最后进行检验即可． 【详解】解： 方程两边同乘以，得，即， 解得：， 经检验，是原方程的解． 5．（2025·江苏南京·模拟预测）解分式方程：． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了分式方程，解题的关键是掌握相应的运算法则，需要对根进行检验，先将分式方程转化为一元一次方程求解，再对根进行检验即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘，得， 解得：， 检验：当时，， 分式方程的解为． 考点二 分式方程的应用 1.分式方程的应用 利用分式方程解决实际问题的一般步骤： ①设未知数； ②找等量关系； ③列分式方程； ④解分式方程； ⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）； ⑥写答案． 2.应用分式方程解决实际问题的常见原因分析： 原因之一：等量关系分析错误导致方程列错； 原因之二：解方程过程中，去分母时，不含分母的项漏乘分母的最小公倍数导致错误； 原因之三：方程解完后，忘记检验，导致错误。 1．（2025·江苏无锡·中考真题）小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设小红的骑行速度为，则小亮的速度为，根据“两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了”列出方程即可． 【详解】解：设小红的骑行速度为，则小亮的速度为， 根据题意，可得． 故选：A． 2．（2025·江苏盐城·中考真题）某公司为节约成本，提高效率，计划购买、两款机器人．已知款机器人的单价比款机器人的单价多1万元，用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同． (1)求、两款机器人的单价分别是多少万元？ (2)如果购买、两款机器人共12台，且购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案． 【答案】(1)款机器人的单价为5万元，款机器人的单价为4万元 (2)购买成本最少的方案是购买款机器人4台，款机器人8台 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的经济问题、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． （1）设款机器人的单价为万元，则款机器人的单价为万元，根据用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买款机器人台，则购买款机器人台，根据购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，列出一元一次不等式，解得，再设购买成本为万元，根据题意列出关于的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：设款机器人的单价为万元，则款机器人的单价为万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：款机器人的单价为5万元，则款机器人的单价为4万元； （2）解：设购买款机器人台，则购买款机器人台， 根据题意得：， 解得：， 设购买成本为万元， 根据题意得：， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值， 此时，， 答：购买成本最少的方案是购买款机器人4台，款机器人8台． 3．（2024·江苏宿迁·中考真题）某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高10元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同． (1)求纪念品A、B的单价分别是多少元？ (2)商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？ 【答案】(1)纪念品A、B的单价分别是元和元 (2)A种纪念品购进件，B种纪念品购进件，两种纪念品使总费用最少 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、分式方程的经济问题、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． （1）设A种纪念品的单价是x元，则B种纪念品的单价是元，利用数量总价单价，结合“用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同”，可得出关于x的分式方程，解之即可； （2）设购买a件A种纪念品，总费用为元，利用总价单价数量，可得出关于a的一次函数，求出a的取值范围，根据函数的增减性解题即可． 【详解】（1）解：设A种纪念品的单价为元，则B种纪念品的单价为元， ， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴B种纪念品的单价为元， 答：纪念品A、B的单价分别是元和元． （2）解：设A种纪念品购进件，总费用为元， 则， 又∵， 解得， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，购买这两种纪念品使总费用最少， 这时A种纪念品购进件，B种纪念品购进件，两种纪念品使总费用最少． 4．（2024·江苏扬州·中考真题）为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A、B两种机器，A型机器比B型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等．B型机器每天处理多少吨垃圾？ 【答案】B型机器每天处理60吨垃圾 【知识点】分式方程的其它实际问题 【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型． 设型机器每天处理吨垃圾，则型机器每天处理吨垃圾，根据题意列出方程即可求出答案． 【详解】解：设型机器每天处理吨垃圾，则型机器每天处理吨垃圾， 根据题意，得， 解得． 经检验，是所列方程的解． 答：B型机器每天处理60吨垃圾． 5．（2025·江苏常州·中考真题）某块绿地改进浇水方式，将漫灌方式全部改为喷灌方式，平均每天用水量减少1吨，20吨水可以使用的天数是原来的2倍．问浇水方式改进后平均每天用水多少吨？ 【答案】浇水方式改进后平均每天用水1吨 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】本题考查分式方程的应用．理解题意，找准等量关系，列出方程是解题的关键． 设浇水方式改进后平均每天用水x吨，则浇水方式改进前平均每天用水吨，根据“20吨水可以使用的天数是原来的2倍”列出方程求解即可． 【详解】设浇水方式改进后平均每天用水x吨，则浇水方式改进前平均每天用水吨， 根据题意，得 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：浇水方式改进后平均每天用水1吨． 命题点一 分式方程的解法 ►题型01 分式方程的解法 / 【典例】．（2025·江苏连云港·中考真题）解方程． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．利用解分式方程的步骤求解即可，注意验根． 【详解】解：去分母，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 【变式】 1．（2025·江苏无锡·模拟预测）解方程：； 【答案】； 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用解分式方程的步骤求解即可，注意验根； 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并，得， 系数化为1，得， 经检验是分式方程的解， ∴分式方程的解是； 2．（2025·江苏泰州·三模）解方程： 【答案】无解 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， 解得：， 检验：当时，， 是原方程的增根， 原方程无解． 3．（2025·江苏常州·模拟预测）解下列方程：； 【答案】方程无解 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程，是解题的关键． 先去分母化为整式方程，再解整式方程，然后检验即可； 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 解得：； 检验：时，， 是增根，该方程无解； 4．（2025·江苏扬州·三模）已知关于的分式方程解为正数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】根据分式方程解的情况求值、求不等式组的解集 【分析】本题考查利用分式方程的解的情况求参数，掌握分式方程的解法是解题的关键． 先解分式方程可得，再根据解为正数，结合方程的增根建立关于的不等式组，求解即可． 【详解】解： 去分母，得， 解得：， 分式方程的增根为： ∵分式方程的解为正数， ∴， 解得：，且． 故答案为：且． 命题点二 分式方程的应用 ►题型01 利用分式方程解决实际问题 / 【典例】．（2025·江苏无锡·模拟预测）2025年5月16日，“无锡有点甜”无锡美食进校园系列活动走进天一中学．主办方除了为同学们准备了无锡排骨、罗氏醉虾、松子拉糕、银鱼炒蛋等还贴心提供抽奖环节．规则是：准备3张大小一样，背面完全相同的卡片，3张卡片的正面所写内容分别是《人才周历》、《定制团扇》、《“糕粽”jellycat》，将它们背面朝上洗匀后任意抽出一张，抽到卡片后可以免费领取相应的礼品． (1)在上述活动中，如果从中随机抽出一张卡片，记下内容后放回，再随机抽出一张卡片，求恰好抽到2张卡片都是《定制团扇》的概率，用列表法或画树状图的方法． (2)再添加几张和原来一样的《“糕粽”jellycat》卡片，将所有卡片背面朝上洗匀后，任意抽出一张，使得抽到《“糕粽”jellycat》卡片的概率为，那么应该添加《“糕粽”jellycat》卡片的数量是___________． 【答案】(1) (2)4 【知识点】列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率、分式方程的其它实际问题 【分析】本题考查了列表或画树状图法求概率，及分式方程的应用，准确理解题意是解题的关键． （1）分别记《人才周历》、《定制团扇》、《“糕粽”jellycat》为A，B，C，列出表格，可得一共有9种等可能结果，其中恰好抽到2张卡片都是《定制团扇》的有1种，由概率公式求解即可； （2）设添加《“糕粽”jellycat》卡片的数量是x张，由概率公式得到方程，解方程即可． 【详解】（1）解：分别记《人才周历》、《定制团扇》、《“糕粽”jellycat》为A，B，C，列出表格，如下： A B C A （A，A） （B，A） （C，A） B （A，B） （B，B） （C，B） C （A，C） （B，C） （C，C） 一共有9种等可能结果，其中恰好抽到2张卡片都是《定制团扇》的有1种， 所以恰好抽到2张卡片都是《定制团扇》的概率为； （2）解：设添加《“糕粽”jellycat》卡片的数量是x张，根据题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 即添加《“糕粽”jellycat》卡片的数量是4张． 故答案为：4 【变式】 1．（2025·江苏扬州·三模）宇树公司设计的人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某快递公司采用A、B两种型号的数控机器人分拣快递．已知A型数控机器人每小时分拣快递件数是B型数控机器人每小时分拣快递件数的1.5倍．一项分拣600件快递的任务中，一台B型数控机器人分拣了420件后，由一台A型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成．两种数控机器人每小时分别分拣多少件快递？ 【答案】A型数控机器人每小时分拣快递90件，B型数控机器人每小时分拣快递60件． 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】设B型数控机器人每小时分拣x件快递，先用x表示出A型数控机器人每小时分拣快递的数量，再根据“一项分拣600件快递的任务中，一台B型数控机器人分拣了420件后，由一台A型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成”列出分式方程求解，并检验根． 本题考查了分式方程的实际应用，解题关键是正确列出方程． 【详解】解：设一台B型数控机器人每小时分拣x件快递，则一台A型数控机器人每小时分拣件快递，根据题意，得 ， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴． 答：A型数控机器人每小时分拣快递90件，B型数控机器人每小时分拣快递60件． 2．（2025·江苏扬州·三模）今年，中小学启动实施“足球进校园”，开设了“足球大课间”特色社团活动．某校打算用12000元购进某种品牌的足球供学生使用．经调查发现，该品牌足球单价比原来上涨了，这样购买的足球数量比原计划减少了20个，求足球原来的价格． 【答案】足球原来的价格是100元/个 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】本题考查分式方程解决实际问题，设足球原来的价格是x元/个，根据“该品牌足球单价比原来上涨了，这样购买的足球数量比原计划减少了20个”列出分式方程，求解并检验即可． 【详解】解：设足球原来的价格是x元/个，根据题意，得 ， 解得， 经检验，是该分式方程的解，且符合实际， 答：足球原来的价格是100元/个． 3．（2025·江苏淮安·二模）淮安马拉松全程的总赛程约为千米，途经众多历史人文景观和现代都市区域，参赛者将领略“伟人故里”“运河之都”“美食之都”“文化名城”四张城市名片的独特魅力（如图）．在同一场比赛中选手甲的平均速度是选手乙的倍，最终甲冲刺终点的时间比乙提早分钟，若乙的平均速度为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查了分式方程的应用，设乙的平均速度为，由题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设乙的平均速度为，则甲的平均速度为， 由题意得：， 故选：． 4．（2025·江苏盐城·一模）2025年3月14日是第六个“国际数学日”，鹿鸣“博・约”数学兴趣小组在今年“国际数学日”举行了数学游园活动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品．在前期询价时，通过电话询问文具店了解到，钢笔的价格比自动铅笔贵，且花450元购买的自动铅笔比花600元购买的钢笔多15支．求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少元? 【答案】钢笔的单价为8元，自动铅笔的单价为5元 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】本题考查分式方程的应用，理解题意，正确列出分式方程是解答的关键．设自动铅笔的单价为x元，则钢笔的单价为元，根据“花450元购买的自动铅笔比花600元购买的钢笔多15支”列方程求解即可． 【详解】解：设自动铅笔的单价为x元，则钢笔的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合实际， ∴（元）， 答：钢笔的单价为8元，自动铅笔的单价为5元． 突破一 分式方程的解 【典例】．（2025·江苏南通·二模）已知关于x的方程的解大于1，则a的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了分式方程的解，将分式方程转化为整式方程后得出不等式是解题的关键． 分式方程去分母转化成整式方程，表示出整式方程的解，根据分式方程的解大于1结合分式有意义的条件即可求出a的取值范围． 【详解】解：， 去分母得：， 解得： ， ∵关于x的方程的解大于1， ∴得到 ，且， 解得：且． 故答案为：且． 【变式】 1．（2025·江苏南京·二模）（1）解方程：； （2）若关于x的方程无解，则a的值是 ． 【答案】（1）；（2）2 【知识点】分式方程无解问题、解分式方程（化为一元一次） 【分析】此题考查了解分式方程和分式方程的无解问题，熟练掌握解分式方程是关键． （1）去分母化为整式方程，解方程并检验即可； （2）根据分式方程无解的情况进行分析即可． 【详解】解：（1） 去分母得到， 解得， 当时，， ∴是分式方程的解； （2）∵， 方程两边同时乘以，得 ， ∴； 当时，无解，即关于的方程无解， 当时，， ∵原分式方程无解， ∴， 此时无解， ∴a的值是 故答案为： 2．（2025·江苏宿迁·二模）已知关于的分式方程的解为负数，则字母的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查分式方程的解；熟练掌握分式方程的解法，对分式方程切勿遗漏增根的情况是解题的关键． 解分式方程得，由题意可知，当时，，方程有增根．即可求出答案． 【详解】解： 方程两边同时乘以，得 ， 解得：， ∵解为负数， ∴， ∴， 当时，， ∴且， 故答案为：且． 3．（2025·江苏宿迁·三模）若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是 ． 【答案】，且 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题主要考查了分式方程的求解，一元一次不等式等知识点，解题的关键是熟练掌握分式方程求解的步骤． 利用分式方程求解的步骤求得，根据方程的解为负数，且分式有意义即可求出的取值范围． 【详解】解： 根据分式方程的解为负数可得，且，即， 解得，且， 故答案为：，且． 4．（2025·江苏扬州·一模）若关于x的方程的解为正数，且使关于y的不等式组 的解集为，则符合条件的所有整数a的和为 ． 【答案】5 【知识点】根据分式方程解的情况求值、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解集，考核学生的计算能力，注意分式方程一定要检验．解分式方程，检验根得出的范围；根据分式方程的解为正数，列出不等式求得的范围；解不等式组，根据解集为，得出的范围；根据为整数，得出的值，最后求和即可． 【详解】解：分式方程的两边都乘以得：， 解得， ， ， ， 方程的解为正数， ， 且； ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， ． 且 整数的和为； 故答案为：5． 突破二 分式方程的应用 【典例】．（2025·江苏扬州·一模）为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获50条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，过了一段时间，待有标记的鱼完全混合于鱼群后，再从鱼塘中捕捞鱼．通过多次捕捞实验后，发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在，据此可估计该鱼塘中鱼的条数为 ． 【答案】1000 【知识点】列分式方程、由样本所占百分比估计总体的数量 【分析】本题考查了利用样本频率估计总体，设鱼塘中有鱼条，利用频率估计概率得到，然后解方程即可． 【详解】解：设鱼塘中有鱼条， 根据题意得， 解得， 所以估计鱼塘中有鱼条． 故答案为：． 【变式】 1．（2025·江苏徐州·模拟预测）A、B两个商场以相同价格分别购进一批运动服，其标价、售价情况见下表： 商场 标价 售价 A 进价的2倍 打7折 B 进价的1.5倍 打8折 一个月后，A、B两个商场的这种运动服销售额分别为5600元，3600元，且A商场比B商场多售出5套，求每套运动服的进价是多少元？ 【答案】200元 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，设每套运动服的进价是x元，根据“A、B两个商场的这种运动服销售额分别为5600元，3600元，且A商场比B商场多售出5套”列方程求解即可． 【详解】解∶设每套运动服的进价是x元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：每套运动服的进价是200元 2．（2025·江苏扬州·三模）某校举行“二十大知识竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品．甲、乙两家商店的售价不同，但每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）．若小华在甲商店购买，她发现：用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同．求甲商店硬面笔记本的单价． 【答案】16元 【知识点】分式方程和差倍分问题、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意正确列方程是解题关键．设甲商店硬面笔记本的单价为x元，则甲商店软面笔记本的单价为元，根据“用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同”，即可列方程求解． 【详解】解：设甲商店硬面笔记本的单价为x元，则甲商店软面笔记本的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：甲商店硬面笔记本的单价为16元． 3．（2025·江苏镇江·二模）在某班级开展的读书活动中，同学们设计了一个抽奖活动．规则是：准备3张大小一样，背面完全相同的卡片，3张卡片的正面所写内容分别是《我的阿勒泰》《额尔古纳河右岸》《额尔古纳河右岸》，将它们背面朝上洗匀后任意抽出一张，抽到卡片后可以免费领取相应的书籍． (1)在上述活动中，如果从中随机抽出一张卡片，记下内容后不放回，再随机抽出一张卡片，求恰好抽到2张卡片都是《额尔古纳河右岸》的概率，用列表法或画树状图的方法． (2)再添加几张和原来一样的《我的阿勒泰》卡片，将所有卡片背面朝上洗匀后，任意抽出一张，使得抽到《我的阿勒泰》卡片的概率为，那么应该添加《我的阿勒泰》卡片的数量是______． 【答案】(1) (2)4 【知识点】列表法或树状图法求概率、解分式方程（化为一元一次）、已知概率求数量、分式方程的其它实际问题 【分析】本题考查了列表法或画树状图法以及概率公式；列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．概率所求情况数与总情况数之比． （1）画出树状图，由概率公式即可得出答案； （2）设应添加x张《我的阿勒泰》卡片，由概率公式得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：把《我的阿勒泰》《额尔古纳河右岸》《额尔古纳河右岸》分别记为A、B、C， 画树状图如图： 共有6个等可能的结果，恰好抽到2张卡片都是《额尔古纳河右岸》的结果有2个， ∴恰好抽到2张卡片都是《额尔古纳河右岸》的概率为； （2）解：设应添加x张《我的阿勒泰》卡片， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解； 答：应添加4张《我的阿勒泰》卡片． 故答案为：4． 4．（2025·江苏盐城·二模）某公司需向甲地紧急运送的货物，决定使用、两种型号的无人机运送．已知每台型无人机的单次最高载货量比每台型无人机的单次最高载货量多；在满载情况下，某次用相同数量的无人机一次性运送货物，型无人机共载货，型无人机共载货． (1)每台型无人机和型无人机的单次最高载货量分别是多少？ (2)该公司决定使用台型无人机（）和台型无人机载货，在每台无人机都满载的情况下，刚好一次性完成的货物运送： ①求满足条件的、值； ②若型无人机单次运费为型无人机单次运费的倍．为了节省成本，该公司应使用两种型号的无人机各多少台？ 【答案】(1)每台型号无人机单次最高载货量为，每台型号无人机单次最高载货量为； (2)①或；②该公司应使用4台A型号无人机，5台B型号无人机． 【知识点】二元一次方程的解、分式方程的其它实际问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，二元一次方程的应用． （1）设每台A型号无人机的单次最高载货量为，则B型无人机的单次最高载货量为，根据“用相同数量的无人机一次性运送货物，A型无人机共载货，B型无人机共载货”列出分式方程求解即可； （2）①根据题意得，，再根据m的取值范围求解即可； ②根据①的结论，分别求出两种方案的总费用进行比较即可． 【详解】（1）解：设每台A型号无人机的单次最高载货量为，则每台B型号无人机的单次最高载货量为， 根据题意得， 解得， 经检验，是所列方程的根，且符合题意， ∴， 答：每台A型号无人机单次最高载货量为，每台B型号无人机单次最高载货量为； （2）解：①∵， ∴， ∵，m、n为整数， ∴或； ②设B型无人机单次运费为元，则A型无人机单次运费为元， 当，时，（元）， 当，时，（元）， ∵， ∴该公司应使用4台A型号无人机，5台B型号无人机． 1．（2025·江苏无锡·一模）方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查解分式方程，去分母，将分式方程化为整式方程，再解整式方程，验根即可． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 经检验得，是该方程的解， 故选：D． 2．（2025·江苏无锡·一模）解分式方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查解分式方程-去分母，将原方程两边同乘最简公分母进行去分母即可． 【详解】解：原方程两边同乘得：， 故选：D． 3．（2025·江苏南通·模拟预测）援建位于巴基斯坦的瓜德尔港是我国实施“一带一路”倡议构想的重要一步，为了增进中巴友谊，促进全球经济一体化发展，我国施工队计划把距离港口的普通公路升级成同等长度的高速公路，如果升级后汽车行驶的平均速度将比原来提高，行驶时间缩短，那么汽车原来的平均速度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．求的汽车原来的平均速度，路程为，一定是根据时间来列等量关系，本题的关键描述语是：从甲地到乙地的时间缩短了．等量关系为：原来时间现在时间2． 【详解】解：设汽车原来的平均速度是， 根据题意得： 解得： 经检验：是原方程的解， 所以，汽车原来的平均速度是． 故选：B． 4．（2025·江苏宿迁·三模）《九章算术》中记载：“今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里．问善行者几何里及之？”．译文为：“今有不善行者先行10里，善行者追之，走100里时，超过了不善行者20里．问善行者走多少里时就赶上了不善行者？设善行者走里时就赶上了不善行者，则根据题意，可列出方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列分式方程 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设善行者走里时就赶上了不善行者，当善行者开始出发到善行者追上不善行者时，不善行者所走的路程为里，当善行者走100里时，不善行者走了里，据此列出方程即可． 【详解】解：设善行者走里时就赶上了不善行者， 根据题意得， 故选：A． 1．（2025·江苏苏州·模拟预测）《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽（椽，承载屋面用的木构件），这批椽的总价钱为6210文．由于每株椽要另外支付3文运费，于是就少买一株椽，剩下的购买这株椽的钱正好可以支付所购买的椽的全部运费．设这批椽有x株，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列分式方程、分式方程的经济问题 【分析】本题主要考查了列分式方程，由“少买一株椽，剩下的购买这株椽的钱正好可以支付所购买的椽的全部运费”，可得出一株椽的价格为文，结合单价总价数量，即可得出关于的分式方程，此题得解． 【详解】解：由题意得一株椽的价格：文， 则． 故选：A． 2．（2024·江苏无锡·模拟预测）若关于的方程有增根，则的值是（   ） A．3 B． C．5 D． 【答案】A 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查解分式方程，理解增根是解题的关键． 先把分式方程转化为整式方程，再确定增根，并把增根代入整式方程求解即可． 【详解】解：，两边都乘以得：， 关于的方程有增根， ， 解得：， ∴， ． 故选：A． 3．（2024·江苏苏州·一模）算经之首《九章算术》中有这样一题：“今有邑方不知大小，各中开门． 出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何？”其大意为“今有正方形小城，不知其大小，东南西北城墙正中央各开有一城门．出北城门20步处有一棵树，出南城门14步，转而西行1775步恰好能看见那棵树．问正方形小城的边长是多少？”若设正方形小城的边长为步，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列分式方程、相似三角形实际应用 【分析】本题考查了分式方程以及相似三角形的实际应用问题，根据题意，画出图形找到等量关系是解题的关键． 设正方形小城的边长为x步，根据出北城门20步处有一棵树，出南城门14步，转而西行1775步恰好能看见那棵树列方程即可得到结论． 【详解】解：设小城的边长为x步，如图所示， 根据题意，，，，，， ， ， ， ， 故选：D． 4．（2024·江苏宿迁·一模）关于x的方程的解是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【知识点】根据分式方程解的情况求值、解分式方程（化为一元一次）、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查根据分式方程的解求参数，掌握解分式方程的方法，不等式的性质是解题的关键． 根据解分式方程的方法用含a的式子表示分式方程的解，再根据解为正数，不等式的性质求解即可． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，， ∵解为正数，且， ∴，且 ∴且， 故选：． 5．（2025·江苏苏州·中考真题）一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、已知概率求数量 【分析】本题考查了根据概率求数量，熟练掌握概率公式是解题的关键． 设红球有个，根据摸到白球的概率公式列方程求解． 【详解】解：设红球有个，则袋中总球数为个， ∴摸到白球的概率为， 根据题意得：， 解得：， 因此，红球的个数为2个． 故选：B． 6．（2025·江苏宿迁·二模）李师傅与张师傅为艺术节做手工艺品，张师傅比李师傅每小时少做4件，已知张师傅做40件与李师傅做50件所用时间相等，问张师傅、李师傅每小时各做手工艺品多少件？设张师傅每小时做手工艺品件，则根据题意，可列出方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查了分式方程的应用根据题意正确列出方程是解题的关键． 根据题意列方程，即可得到答案． 【详解】解：根据题意列方程得：， 故选：D． 1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】此题考查了解分式方程，去分母将分式方程转化为整式方程，然后求解并验证分母不为零． 【详解】∵ ， 去分母得，， ， 解得， 检验：当时，，满足条件． 故方程的解为． 故选：B． 2．（2025·海南·中考真题）分式方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查了解分式方程．先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：． 检验：当时，， ∴原方程的解为． 故选：C 3．（2025·广东深圳·中考真题）某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵．若设原计划人数为人，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，设原计划人数为人，则实际人数为人，原计划平均每人种树棵，实际平均每人种树棵，根据题意，实际平均每人种树比原计划少3棵，由此建立方程． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：A． 4．（2025·黑龙江绥化·中考真题）用A，两种货车运输化工原料，A货车比货车每小时多运输15吨，A货车运输450吨所用时间与货车运输300吨所用时间相等．若设货车每小时运输化工原料吨，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列分式方程、分式方程的工程问题 【分析】本题考查了分式方程的应用．熟练掌握工作量与工作效率和工作时间的关系，是解题的关键． 设B货车每小时运输x吨，则A货车每小时运输吨．根据A运输450吨的时间等于B运输300吨的时间，列方程． 【详解】解：设B货车每小时运输x吨，则A货车每小时运输吨． ∵A货车运输450吨的时间为，B货车运输300吨的时间为， ∴， 即． 故选：C． 5．（2025·黑龙江·中考真题）已知关于的分式方程解为负数，则的值为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了分式方程，首先将分式方程转化为整式方程，求出解关于的表达式，再结合解为负数及分母不为零的条件确定的范围． 【详解】解：， 得， 得， 解得：， 根据题意，解， 即， 解得：， 分母， 即， 即， 解得：， ， 故选：A． 6．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（   ） A． B． C．或 D．且 【答案】C 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查分式方程无解，分式方程无解的情况有两种：解为增根或变形后整式方程无解．需将原方程化简，分别讨论这两种情况对应的m值即可． 【详解】解：方程去分母，得：， 整理，得：； ∵原方程无解， ∴①整式方程无解，则：，解得：； ②分式方程有增根，则：，解得：； 把代入，得：，解得：； 综上：或 故选C． 7．（2025·湖南·中考真题）将分式方程去分母后得到的整式方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解． 将分式方程两边同时乘以最简公分母，消去分母，转化为整式方程． 【详解】解：． 方程两边同时乘以，得：． 故选：A． 8．（2025·四川遂宁·中考真题）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．2 B．3 C．0或2 D．或3 【答案】D 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程无解问题，掌握求解的方法是解题的关键； 将分式方程转化为整式方程，分析无解的两种情况：整式方程无解或解为增根（使分母为零），分别求解即可． 【详解】解：原方程两边同乘，得： 化简得：， 即； 当整式方程无解时：即当且时，即，此时方程无解； 当解为增根时：即当解时， 解得，此时使原方程分母为零，无意义； 综上，的值为或； 故选：D． 9．（2025·上海·模拟预测）假设有一项工程总量为1，甲独做需10天完成，乙独做需6天完成． 现由甲先做3天乙再加入合作，完成此项工程共需天，对于列方程错误的说法是（　　） A．甲的工作效率为 B．乙总共做了天 C．列方程 D．列方程 【答案】C 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，掌握“利用各部分的工作量之和等于1列方程”是解本题的关键.先得出甲的工作效率为，设完成此项工程需天，则乙总共做了天，甲先做3天完成， 再合作天，完成， 据此列出方程即可. 【详解】解：∵假设有一项工程总量为1，甲独做需10天完成， ∴甲的工作效率为， 故A选项不符合题意； ∵现由甲先做3天乙再加入合作，完成此项工程共需天， ∴乙总共做了天 故B选项不符合题意； 设完成此项工程需天，甲先做3天完成再合作天，完成 由题意得方程：， 故C选项符合题意；D选项不符合题意； 故选：C. 10．（2025·四川成都·模拟预测）《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题∶“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿1株椽后，剩下的椽的运费恰好等于1株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽有x株，则符合题意的方程是（   ）(椽，装于屋顶以支持屋顶材料的木杆) A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列分式方程 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，根据每株椽的运费是3文，那么少拿1株椽后，剩下的椽的运费恰好等于1株椽的价钱，以及这批椽的价钱为6210文可分别表示出1株椽的价钱，据此可建立方程． 【详解】解：∵每株椽的运费是3文，那么少拿1株椽后，剩下的椽的运费恰好等于1株椽的价钱， ∴1株椽的价钱为文， ∵这批椽的价钱为6210文， ∴1株椽的价钱为文， ∴， 故选：D． 1 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 方程与不等式 第05讲 分式方程及其应用 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 1 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 6 命题点一 分式方程的解法 题型01 分式方程的解法 命题点二 分式方程的应用 题型01 用分式方程解决实际问题 05·重难突破·思维进阶难 9 突破一 分式方程的解法 突破二 用分式方程解决实际问题 06·优题精选·练能提分 10 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 分式方程的解法 徐州T12 镇江T18 连云港T18 无锡T3 南京T11 徐州T14 南通19 镇江T20 无锡T20 苏州T11 无锡T13 淮安T10 泰州T17 镇江T20 连云港T19 掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法； 分式方程的应用 无锡T8 常州T23 扬州T23 宿迁T26 扬州T23 南通T24 徐州T23 盐城T25 扬州T23 能根据具体问题列出方程，能根据具体问题的实际意义，检验方程解合理性。 命题预测 根据2023-2025近三年江苏中考数学对分式方程的考查情况分析，可以看出中考数学中对分式方程的考查就两个考点，其要求如下： 一、考查分式方程解法（去分母、解整式方程、验根），通常为填空或解答；要拿到这部分分，必须做好三个防范： · 防范漏乘：去分母时每一项都要乘最简公分母 · 防范忘验根：分式方程必须检验，舍去增根 二、考查分式方程的应用： · 高频场景：行程问题、工程问题、销售问题等 · 命题趋势：情境更贴近生活，如环保、科技、经济等热点话题； 2026年中考对分式方程的考查重点把握这两个考点，题型稳定，注意关注生活新闻热点。 考点一 分式方程的解法 1．分式方程的概念 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据． 2.分式方程的解法 （1）基本思路：将分式方程化为整式方程．（转化思想） （2）解分式方程的具体步骤： ①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式； ②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； ③解整式方程； ④检验． 易错提醒： ①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项，尤其是常数项； ②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 3.分式方程的增根 增根：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根． 注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解． 1．（2025·江苏徐州·中考真题）分式方程的解为 ． 2．（2025·江苏镇江·中考真题）解方程：． 3．（2025·江苏南京·模拟预测）已知分式的值为，那么 ． 4．（2025·江苏苏州·模拟预测）解方程：． 5．（2025·江苏南京·模拟预测）解分式方程：． 考点二 分式方程的应用 1.分式方程的应用 利用分式方程解决实际问题的一般步骤： ①设未知数； ②找等量关系； ③列分式方程； ④解分式方程； ⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）； ⑥写答案． 2.应用分式方程解决实际问题的常见原因分析： 原因之一：等量关系分析错误导致方程列错； 原因之二：解方程过程中，去分母时，不含分母的项漏乘分母的最小公倍数导致错误； 原因之三：方程解完后，忘记检验，导致错误。 1．（2025·江苏无锡·中考真题）小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·江苏盐城·中考真题）某公司为节约成本，提高效率，计划购买、两款机器人．已知款机器人的单价比款机器人的单价多1万元，用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同． (1)求、两款机器人的单价分别是多少万元？ (2)如果购买、两款机器人共12台，且购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案． 3．（2024·江苏宿迁·中考真题）某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高10元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同． (1)求纪念品A、B的单价分别是多少元？ (2)商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？ 4．（2024·江苏扬州·中考真题）为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A、B两种机器，A型机器比B型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等．B型机器每天处理多少吨垃圾？ 5．（2025·江苏常州·中考真题）某块绿地改进浇水方式，将漫灌方式全部改为喷灌方式，平均每天用水量减少1吨，20吨水可以使用的天数是原来的2倍．问浇水方式改进后平均每天用水多少吨？ 命题点一 分式方程的解法 ►题型01 分式方程的解法 / 【典例】．（2025·江苏连云港·中考真题）解方程． 【变式】 1．（2025·江苏无锡·模拟预测）解方程：； 2．（2025·江苏泰州·三模）解方程： 3．（2025·江苏常州·模拟预测）解下列方程：； 4．（2025·江苏扬州·三模）已知关于的分式方程解为正数，则的取值范围是 ． 命题点二 分式方程的应用 ►题型01 利用分式方程解决实际问题 / 【典例】．（2025·江苏无锡·模拟预测）2025年5月16日，“无锡有点甜”无锡美食进校园系列活动走进天一中学．主办方除了为同学们准备了无锡排骨、罗氏醉虾、松子拉糕、银鱼炒蛋等还贴心提供抽奖环节．规则是：准备3张大小一样，背面完全相同的卡片，3张卡片的正面所写内容分别是《人才周历》、《定制团扇》、《“糕粽”jellycat》，将它们背面朝上洗匀后任意抽出一张，抽到卡片后可以免费领取相应的礼品． (1)在上述活动中，如果从中随机抽出一张卡片，记下内容后放回，再随机抽出一张卡片，求恰好抽到2张卡片都是《定制团扇》的概率，用列表法或画树状图的方法． (2)再添加几张和原来一样的《“糕粽”jellycat》卡片，将所有卡片背面朝上洗匀后，任意抽出一张，使得抽到《“糕粽”jellycat》卡片的概率为，那么应该添加《“糕粽”jellycat》卡片的数量是___________． 【变式】 1．（2025·江苏扬州·三模）宇树公司设计的人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某快递公司采用A、B两种型号的数控机器人分拣快递．已知A型数控机器人每小时分拣快递件数是B型数控机器人每小时分拣快递件数的1.5倍．一项分拣600件快递的任务中，一台B型数控机器人分拣了420件后，由一台A型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成．两种数控机器人每小时分别分拣多少件快递？ 2．（2025·江苏扬州·三模）今年，中小学启动实施“足球进校园”，开设了“足球大课间”特色社团活动．某校打算用12000元购进某种品牌的足球供学生使用．经调查发现，该品牌足球单价比原来上涨了，这样购买的足球数量比原计划减少了20个，求足球原来的价格． 3．（2025·江苏淮安·二模）淮安马拉松全程的总赛程约为千米，途经众多历史人文景观和现代都市区域，参赛者将领略“伟人故里”“运河之都”“美食之都”“文化名城”四张城市名片的独特魅力（如图）．在同一场比赛中选手甲的平均速度是选手乙的倍，最终甲冲刺终点的时间比乙提早分钟，若乙的平均速度为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏盐城·一模）2025年3月14日是第六个“国际数学日”，鹿鸣“博・约”数学兴趣小组在今年“国际数学日”举行了数学游园活动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品．在前期询价时，通过电话询问文具店了解到，钢笔的价格比自动铅笔贵，且花450元购买的自动铅笔比花600元购买的钢笔多15支．求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少元? 突破一 分式方程的解 【典例】．（2025·江苏南通·二模）已知关于x的方程的解大于1，则a的取值范围是 ． 【变式】 1．（2025·江苏南京·二模）（1）解方程：； （2）若关于x的方程无解，则a的值是 ． 2．（2025·江苏宿迁·二模）已知关于的分式方程的解为负数，则字母的取值范围是 ． 3．（2025·江苏宿迁·三模）若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是 ． 4．（2025·江苏扬州·一模）若关于x的方程的解为正数，且使关于y的不等式组 的解集为，则符合条件的所有整数a的和为 ． 突破二 分式方程的应用 【典例】．（2025·江苏扬州·一模）为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获50条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，过了一段时间，待有标记的鱼完全混合于鱼群后，再从鱼塘中捕捞鱼．通过多次捕捞实验后，发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在，据此可估计该鱼塘中鱼的条数为 ． 【变式】 1．（2025·江苏徐州·模拟预测）A、B两个商场以相同价格分别购进一批运动服，其标价、售价情况见下表： 商场 标价 售价 A 进价的2倍 打7折 B 进价的1.5倍 打8折 一个月后，A、B两个商场的这种运动服销售额分别为5600元，3600元，且A商场比B商场多售出5套，求每套运动服的进价是多少元？ 2．（2025·江苏扬州·三模）某校举行“二十大知识竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品．甲、乙两家商店的售价不同，但每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）．若小华在甲商店购买，她发现：用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同．求甲商店硬面笔记本的单价． 3．（2025·江苏镇江·二模）在某班级开展的读书活动中，同学们设计了一个抽奖活动．规则是：准备3张大小一样，背面完全相同的卡片，3张卡片的正面所写内容分别是《我的阿勒泰》《额尔古纳河右岸》《额尔古纳河右岸》，将它们背面朝上洗匀后任意抽出一张，抽到卡片后可以免费领取相应的书籍． (1)在上述活动中，如果从中随机抽出一张卡片，记下内容后不放回，再随机抽出一张卡片，求恰好抽到2张卡片都是《额尔古纳河右岸》的概率，用列表法或画树状图的方法． (2)再添加几张和原来一样的《我的阿勒泰》卡片，将所有卡片背面朝上洗匀后，任意抽出一张，使得抽到《我的阿勒泰》卡片的概率为，那么应该添加《我的阿勒泰》卡片的数量是______． 4．（2025·江苏盐城·二模）某公司需向甲地紧急运送的货物，决定使用、两种型号的无人机运送．已知每台型无人机的单次最高载货量比每台型无人机的单次最高载货量多；在满载情况下，某次用相同数量的无人机一次性运送货物，型无人机共载货，型无人机共载货． (1)每台型无人机和型无人机的单次最高载货量分别是多少？ (2)该公司决定使用台型无人机（）和台型无人机载货，在每台无人机都满载的情况下，刚好一次性完成的货物运送： ①求满足条件的、值； ②若型无人机单次运费为型无人机单次运费的倍．为了节省成本，该公司应使用两种型号的无人机各多少台？ 1．（2025·江苏无锡·一模）方程的解为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏无锡·一模）解分式方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏南通·模拟预测）援建位于巴基斯坦的瓜德尔港是我国实施“一带一路”倡议构想的重要一步，为了增进中巴友谊，促进全球经济一体化发展，我国施工队计划把距离港口的普通公路升级成同等长度的高速公路，如果升级后汽车行驶的平均速度将比原来提高，行驶时间缩短，那么汽车原来的平均速度为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏宿迁·三模）《九章算术》中记载：“今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里．问善行者几何里及之？”．译文为：“今有不善行者先行10里，善行者追之，走100里时，超过了不善行者20里．问善行者走多少里时就赶上了不善行者？设善行者走里时就赶上了不善行者，则根据题意，可列出方程是（    ） A． B． C． D． 1．（2025·江苏苏州·模拟预测）《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽（椽，承载屋面用的木构件），这批椽的总价钱为6210文．由于每株椽要另外支付3文运费，于是就少买一株椽，剩下的购买这株椽的钱正好可以支付所购买的椽的全部运费．设这批椽有x株，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏无锡·模拟预测）若关于的方程有增根，则的值是（   ） A．3 B． C．5 D． 3．（2024·江苏苏州·一模）算经之首《九章算术》中有这样一题：“今有邑方不知大小，各中开门． 出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何？”其大意为“今有正方形小城，不知其大小，东南西北城墙正中央各开有一城门．出北城门20步处有一棵树，出南城门14步，转而西行1775步恰好能看见那棵树．问正方形小城的边长是多少？”若设正方形小城的边长为步，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏宿迁·一模）关于x的方程的解是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 5．（2025·江苏苏州·中考真题）一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2025·江苏宿迁·二模）李师傅与张师傅为艺术节做手工艺品，张师傅比李师傅每小时少做4件，已知张师傅做40件与李师傅做50件所用时间相等，问张师傅、李师傅每小时各做手工艺品多少件？设张师傅每小时做手工艺品件，则根据题意，可列出方程是（   ） A． B． C． D． 1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）方程的解为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·海南·中考真题）分式方程的解是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广东深圳·中考真题）某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵．若设原计划人数为人，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·黑龙江绥化·中考真题）用A，两种货车运输化工原料，A货车比货车每小时多运输15吨，A货车运输450吨所用时间与货车运输300吨所用时间相等．若设货车每小时运输化工原料吨，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·黑龙江·中考真题）已知关于的分式方程解为负数，则的值为（   ） A． B． C．且 D．且 6．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（   ） A． B． C．或 D．且 7．（2025·湖南·中考真题）将分式方程去分母后得到的整式方程为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·四川遂宁·中考真题）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．2 B．3 C．0或2 D．或3 9．（2025·上海·模拟预测）假设有一项工程总量为1，甲独做需10天完成，乙独做需6天完成． 现由甲先做3天乙再加入合作，完成此项工程共需天，对于列方程错误的说法是（　　） A．甲的工作效率为 B．乙总共做了天 C．列方程 D．列方程 10．（2025·四川成都·模拟预测）《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题∶“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿1株椽后，剩下的椽的运费恰好等于1株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽有x株，则符合题意的方程是（   ）(椽，装于屋顶以支持屋顶材料的木杆) A． B． C． D． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $