精品解析：广东省深圳实验学校坂田部2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025－2026深实验坂田部第一学期期中阶段测试九年级数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列温度最低的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查有理数的大小比较． 通过比较温度数值，找出最小值；正数温度高于负数，故排除C；负数中数值越小温度越低． 【详解】解：温度最低即数值最小，而C为，故排除； 比较A、B、D： ， D选项温度最低． 故选D． 2. 在中，，那么的值是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了特殊三角函数的值，三角形内角和定理，根据三角形内角和定义求出，再由特殊三角函数的值即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， 故选：A． 3. 科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最短的并且最平稳的． 种类 甲种类 乙种类 丙种类 丁种类 平均数 2.3 2.3 2.8 3.1 方差 1.05 0.78 1.05 0.78 A. 甲种类 B. 乙种类 C. 丙种类 D. 丁种类 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用平均数和方差做决策，根据平均数的定义以及方差的定义做决策即可． 解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 【详解】解：∵由表格可知四种花开花时间最短的为甲种类和乙种类， 四种花的方差最小的为乙种类和丁种类，方差越小越稳定， ∴乙种类开花时间最短的并且最平稳的， 故选：B． 4. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的性质及正方形的判定来添加合适的条件即可解答． 【详解】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角，（2）对角线相等．即满足条件． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、正方形的判定等知识点，根据菱形的性质及正方形的判定是解题的关键． 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：， 解不等式①得，x≤3 解不等式②得，x＞﹣2 在数轴上表示为： 故选D． 【点睛】本题考查在数轴上表示不等式组的解集． 6. 如图，已知．现按如下步骤作图：①以为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于，；②分别以，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接交于；③以为圆心，长为半径画弧，交于点；④以为圆心，长为半径画弧，交前弧于点；⑤作射线交OA于点I．若测得，则点E到的距离为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图所示，过点作交的延长线于点，根据作图得出，则，进而根据含30度角的直角三角形的性质得出，根据平行线间的距离处处相等，即可求解． 【详解】根据作图可知为的角平分线，， ∴ 如图所示，过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴点E到的距离为 故选：B． 【点睛】本题考查了基本作图，作角平分线，作一个角等于已知角，平行线的判定，平行线之间的距离，含30度角的直角三角形的性质，证明是解题的关键． 7. 华罗庚说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非．”请运用这句话中提到的思想方法判断方程的根的情况是（ ） A. 有三个实数根 B. 有两个实数根 C. 有一个实数根 D. 无实数根 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知，方程的根的情况是函数与的交点情况，画出函数图象草图即可求解． 【详解】解：依题意，函数与的函数图象如图所示， 根据函数图象可知图象共有3个交点，即方程有3个根， 故选:A． 【点睛】本题考查了方程的根与函数图象交点的关系．数形结合的思想是解题的关键． 8. 如图①，在平行四边形中，，连接，，与相交于点，点从点出发，沿以的速度匀速运动到点，图②是点运动时，线段的长随时间变化的函数关系图象，其中，分别是两段曲线的最低点，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象．根据图②中点的纵坐标为，可得此时时的值为；根据点的纵坐标为可得时的值为，由平行线的性质知，由此可得的长，即为的长．结合图象得到动点在相应位置时的长度是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，分别是两段曲线的最低点，点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∴中边上的高为，中边上的高为， ∵， ∴， 解得：， ∴， 即的长为． 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 从0，，，，五个数中随机抽取一个数，则抽出的数是有理数的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先找出有理数的个数，再根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：在0，，，，这五个数中，有理数有0，，这3个， ∴抽出的数是有理数的概率为． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了概率公式，正确得出有理数的个数是解题关键． 10. 抛物线顶点坐标______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的一般式与顶点式之间的转换是解题的关键． 通过配方法将二次函数解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标． 【详解】解：将函数解析式进行配方：， 所以顶点坐标为 ． 故答案为 ． 11. 如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查求角的正切值，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定，解题关键是利用辅助线构造等腰三角形．连接，利用平行线的性质和全等三角形的判定得出、及是等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， 和中， ， ，， ， ，即， 是等腰直角三角形， ． 故答案为：． 12. 如图，A，C是反比例函数图象上的点，过点A，C分别作轴，轴，垂足分别是点B，D，连接，线段交于点E，且E恰好是的中点．当的面积为3时，k的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的性质等知识点，根据三角形的中线的性质求出的面积，根据相似三角形的性质求出，根据反比例函数系数k的几何意义解答即可，掌握反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】∵点E为的中点， ∴， ∵点A，C为函数图象上的两点， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， ∴． 故答案为：． 13. 如图，在正方形中，对角线，相交于点，点是的中点，连接并延长交于点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，点为的中点．连接，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】以为原点，平行于的直线为轴，建立直角坐标系，过作于，过作，交延长线于，设正方形的边长为2，待定系数法可得直线解析式为，即可得，，证明，可得，，即得，，从而，故． 【详解】解：以为原点，平行于的直线为轴，建立直角坐标系，过作于，过作，如图， 设正方形的边长为2，则，， ∵为中点， ∴， 设直线解析式为，把，，代入得： ， 解得， ∴直线解析式为， 在中，令得， ∴， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形中的旋转变换，涉及全等三角形的判定与性质，一次函数，中点坐标公式等知识，解题的关键是建立直角坐标系，设正方形的边长为2，表示出相关点的坐标，从而求出相关线段的长度． 三、解答题（本题共7小题，共61分） 14. （1）计算： （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算以及因式分解解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简绝对值、零次幂、正弦值，再计算加减，即可作答． （2）先进行因式分解，再解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：． （2）解：原方程因式分解得， 即或， ，． 15. 化简分式：，并从1，2，3这三个数中取一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式，当时，原式． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 先根据分式混合运算的相关运算法则将原式化简，再在所给的值中选取一个使原式有意义的值代入计算即可． 【详解】解： ， 要使原分式有意义， 的值不能取、2， 可取的值为1或3， 当时，原式， 当时，原式． 16. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为10°． （1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（参考数据：，，） 【答案】（1）酒精灯与铁架台的水平距离的长度为 （2）线段的长度为 【解析】 【分析】（1）过点作于点，直接利用的余弦即可求出，从而得到的长度； （2）过点作于点，于点，过点作于点，先在中求出，，进而求出，，利用即可解决问题． 【小问1详解】 解：过点作于点， ，， ，， ， ， ， 答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度为； 【小问2详解】 过点作于点，于点，过点作于点， 则，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 答：线段的长度为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． 17. “十一黄金周”期间，影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量（单位：张）与售价（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价x（元/张） 40 50 售出电影票数量y（张） 164 124 （1）请求出与之间的函数关系式； （2）设该影院每天的利润（利润=票房收入－运营成本)为(单位：元)，该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）（，且是整数） （2）40或41元，4560元 【解析】 【分析】（1）设，将，代入，得，解方程组即可求出与的值，进而得出与之间的函数关系式； （2）根据“每日利润每张电影票售价每天售出的电影票数量每天的运营成本”得出二次函数解析式，先将其化成顶点式，然后求二次函数的最值即可． 【小问1详解】 解：设， 将，代入，得： ， 解得：， （，且是整数）； 【小问2详解】 解：根据题意，得： ， ， 抛物线开口向下， 又，且是整数， 或时，取得最大值，， 答：该影院将电影票售价定为40或41元时每天获利最大，最大利润是4560元． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用（其他问题），实际问题与二次函数（销售问题），求一次函数解析式，解二元一次方程组，把化成顶点式，二次函数的图象与系数的关系，二次函数的最值等知识点，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式并根据题中的数量关系正确列出二次函数解析式是解题的关键． 18. 如图，已知菱形，点是上的点，连接，将沿翻折，点恰好落在边上的点上，连接，延长，交延长线于点． （1）求证：； （2）若菱形的边长为，，求的长 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵将沿翻折，点恰好落在边上的点上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质判断出，，再由翻折的性质得出，得出，即可得出结论； （2）由翻折知：，利用相似三角形的判定与性质可得，，最后由线段的和差关系可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵菱形的边长为，将沿翻折，点恰好落在边上的点上， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴,, ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了菱形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，判断出是解本题的关键． 19. 在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“不动点” 例如、、都是“不动点”，已知双曲线 （1）下列说法不正确的是（ ） A．直线的图象上有无数个“不动点” B．函数的图象上没有“不动点” C．直线的图象上有无数个“不动点” D．函数的图象上有两个“不动点” （2）求双曲线上的“不动点”； （3）若抛物线（、为常数）上有且只有一个“不动点”， ①当时，求的取值范围． ②如果，过双曲线图象上第一象限的“不动点”作平行于轴的直线，若抛物线上有四个点到的距离为，直接写出的取值范围． 【答案】（1）C （2）和 （3）①；② 【解析】 【分析】(1)首先根据“不动点”的定义，可知，据此再根据方程的解的性质，即可一一判定； (2)首先根据“不动点”的定义，可知，据此再解方程，即可求得； (3)①根据“不动点”的定义，可知，可得方程，再根据该函数图象上有且只有一个“不动点”，利用一元二次方程根的判别式可得，再根据a的范围即可求解； ②首先由，，可求得，据此即可求得该二次函数的顶点坐标，再由(2)可知：双曲线图象上第一象限的“不动点”为，可得抛物线与直线有两个交点，据此即可解答． 【小问1详解】 解：A．直线的图象上有无数个“不动点”，故该说法正确，不符合题意； B．当时，可得，此方程无解，故函数的图象上没有“不动点”， 故该说法正确，不符合题意； C．当时，可得，此方程无解，故直线的图象上没有“不动点”，故该说法不正确，符合题意； D．当时，可得，解得，，故函数的图象上有两个“不动点”， 故该说法正确，不符合题意； 故选：C； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 解得或， 故双曲线上的“不动点”为和； 【小问3详解】 解：①抛物线（、为常数）上有且只有一个“不动点”， 方程组只有一组解， 方程有两个相等的实数根， ， 解得， ， 故的取值范围为； ②，， ， ， 该抛物线的开口向上，顶点坐标为， 由(2)知：双曲线图象上第一象限的“不动点”为， 过双曲线图象上第一象限的“不动点”做平行于轴的直线，且， 抛物线与直线有两个交点， 如图： 抛物线上有四个点到的距离为， 的取值范围为． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，新定义，一元二次方程根的判别式，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，并与二次函数的性质结合解题是关键． 20. 已知矩形，点E为直线上的一个动点（点E不与点B重合），连接，以为一边构造矩形（A，E，F，G按逆时针方向排列），连接． （1）如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系与位置关系； （2）如图2，当时，请猜想线段与线段的数量关系与位置关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，，分别取线段，的中点M，N，连接，，，若，，请直接写出的面积． 【答案】（1）， （2） ，，理由如下： 由（1）得：， ， ， ，， ， ， ； （3）或 【解析】 【分析】（1）证明，进一步得出结论； （2）证明，进一步得出结论； （3）当点在线段上时，解斜三角形，求得，根据（2）可得，从而得出三角形的面积，可证得，与的面积比等于，进而求得结果；同理可得点在的延长线时的情形． 【小问1详解】 ，理由如下： 由题意得：四边形和四边形是正方形， ，，， ， ， ， ，， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图， 当在线段上时， 作于， ， 设，， 在中， ， ，， 在中， ， ， ， ， ， ， 由（2）得：，， ， ， 在和中，点是的中点，点是的中点， ， ， ， 是的中位线， ， ， ， ， 如图， 同上可得：， ， ， ， 综上所述：的面积是或． 【点睛】本题主要考查了正方形，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是类比的方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026深实验坂田部第一学期期中阶段测试九年级数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列温度最低的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，那么的值是（ ） A. B. 1 C. D. 3. 科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最短的并且最平稳的． 种类 甲种类 乙种类 丙种类 丁种类 平均数 2.3 2.3 2.8 3.1 方差 1.05 0.78 1.05 0.78 A. 甲种类 B. 乙种类 C. 丙种类 D. 丁种类 4. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，已知．现按如下步骤作图：①以为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于，；②分别以，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接交于；③以为圆心，长为半径画弧，交于点；④以为圆心，长为半径画弧，交前弧于点；⑤作射线交OA于点I．若测得，则点E到的距离为（ ） A. B. 3 C. D. 7. 华罗庚说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非．”请运用这句话中提到的思想方法判断方程的根的情况是（ ） A. 有三个实数根 B. 有两个实数根 C. 有一个实数根 D. 无实数根 8. 如图①，在平行四边形中，，连接，，与相交于点，点从点出发，沿以的速度匀速运动到点，图②是点运动时，线段的长随时间变化的函数关系图象，其中，分别是两段曲线的最低点，则的长为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 从0，，，，五个数中随机抽取一个数，则抽出的数是有理数的概率为______． 10. 抛物线顶点坐标______． 11. 如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，则______． 12. 如图，A，C是反比例函数图象上的点，过点A，C分别作轴，轴，垂足分别是点B，D，连接，线段交于点E，且E恰好是的中点．当的面积为3时，k的值是______． 13. 如图，在正方形中，对角线，相交于点，点是的中点，连接并延长交于点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，点为的中点．连接，则的值为______． 三、解答题（本题共7小题，共61分） 14. （1）计算： （2）解方程：． 15. 化简分式：，并从1，2，3这三个数中取一个合适的数作为的值代入求值． 16. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为10°． （1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（参考数据：，，） 17. “十一黄金周”期间，影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量（单位：张）与售价（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价x（元/张） 40 50 售出电影票数量y（张） 164 124 （1）请求出与之间的函数关系式； （2）设该影院每天的利润（利润=票房收入－运营成本)为(单位：元)，该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 18. 如图，已知菱形，点是上的点，连接，将沿翻折，点恰好落在边上的点上，连接，延长，交延长线于点． （1）求证：； （2）若菱形的边长为，，求的长 19. 在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“不动点” 例如、、都是“不动点”，已知双曲线 （1）下列说法不正确的是（ ） A．直线的图象上有无数个“不动点” B．函数的图象上没有“不动点” C．直线的图象上有无数个“不动点” D．函数的图象上有两个“不动点” （2）求双曲线上的“不动点”； （3）若抛物线（、为常数）上有且只有一个“不动点”， ①当时，求的取值范围． ②如果，过双曲线图象上第一象限的“不动点”作平行于轴的直线，若抛物线上有四个点到的距离为，直接写出的取值范围． 20. 已知矩形，点E为直线上的一个动点（点E不与点B重合），连接，以为一边构造矩形（A，E，F，G按逆时针方向排列），连接． （1）如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系与位置关系； （2）如图2，当时，请猜想线段与线段的数量关系与位置关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，，分别取线段，的中点M，N，连接，，，若，，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $