精品解析：甘肃省酒泉市部分中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

2025-2026学年高二年级12月阶段检测 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列的通项公式为，则下列各数是数列的项是（ ） A. 11 B. 22 C. 24 D. 44 【答案】B 【解析】 【分析】分别将选项中的数换，得到的等式，计算的值，若，则此数是数列中的项，否则，不是数列中的项. 【详解】解得，故A错误； 解得，故B正确； 解得，故C错误； 解得，故D错误． 故选:B． 2. 已知点，，若直线AB的斜率为2，则（ ） A. 7 B. 3 C. 1 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】由斜率的定义式计算即可. 【详解】因为点，， 所以直线AB的斜率为． 由题意得，解得. 故选：D． 3. 已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，则（ ） A. 4 B. 6 C. 5 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，结合代入法进行求解即可. 【详解】由抛物线方程，得，准线方程为． 因为点在抛物线上， 所以，解得． 由抛物线的定义，得， 故选：C 4. 已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由焦点坐标可得焦距，结合双曲线定义计算可得，即可得离心率. 【详解】由题意，设、、， 则，，， 则，则. 故选：C. 5. 已知椭圆的离心率为，则下列说法错误的是（ ） A. B. 短轴长为6 C. 焦距为 D. 点在椭圆C上 【答案】C 【解析】 【分析】由题意及椭圆的几何性质求得，从而得到，，由此对选项逐一检验分析即可. 【详解】因为，所以，结合可知，因为，故， 故椭圆C的方程为，，，所以焦距为. 因为，所以，所以短轴长为，可知A，B选项正确，C选项错误； 将点代入，得，所以点在椭圆C上，故D正确. 故选：C． 6. 双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线的渐近线方程结合两直线垂直斜率关系得到，再由离心率的齐次式计算可得. 【详解】由题意，得双曲线的渐近线方程为． 因为双曲线的一条渐近线与直线垂直， 所以渐近线为，且，解得， 所以双曲线的离心率． 故选：B． 7. 已知点为椭圆上一点，直线过：的圆心且与交于，两点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，由为的中点可得 ，由在椭圆上可知，由此得到的取值范围. 【详解】：的圆心为，半径为1. 椭圆中，，，， 所以，，所以圆心为椭圆的右焦点. 由题意，是圆的直径，所以为的中点， 且，所以. 如图，连接，可得 . 因为点为椭圆上任意一点， 所以，. 由，得. 故选：B. 8. 双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合第一定义再求出. 【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设， ，由，求得， 因为，所以，求得，即， ，由正弦定理可得：， 则由得， 由得， 则， 由双曲线第一定义可得：，， 所以双曲线的方程为. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆的焦距大于，则的取值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】讨论焦点的位置，结合已知列不等式求参数范围，即可得. 【详解】当椭圆的焦点在轴上时，焦距为，由题意得，解得， 当椭圆的焦点在轴上时，焦距为，由题意得，解得， 所以，实数的取值范围是. 故选：ACD. 10. 数列满足，，，则下列说法正确的有（ ） A. 数列是等比数列 B. C. 数列的前n项和 D. 数列是递增数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】借助等比数列定义及其性质可得A、B；借助等比数列与等差数列求和公式计算可得C；借助作差法可得，即可得D. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以数列是首项和公比都为2的等比数列，故A正确； 则，所以，故B正确； 因为，所以 ，故C错误； 因为，所以， 因为，所以，所以，即数列是递增数列，故D正确． 故选：ABD． 11. 已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，先判断得直线为抛物线的准线，再利用抛物线的定义即可判断；对于B，利用三角形相似证得，进而得以判断；对于C，利用直线的反设法（法一）与正设法（法二），联立直线与抛物线方程，结合韦达定理与焦点弦公式可判断C；利用利用三角形相似证得，，结合焦半径公式可判断D. 【详解】法一：对于A，对于抛物线， 则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，易知直线的斜率不为， 设直线的方程为，， 联立，得， 易知，则， 又，， 所以， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即， 同理， 又 ， ， 所以， 则，故D正确. 故选：ACD. 法二：对于A，对于抛物线， 则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，当直线的斜率不存在时，； 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 联立，消去，得， 易知，则， 所以 ， 综上，，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即， 同理， 当直线的斜率不存在时，，； 所以，即； 当直线的斜率存在时，， ， 所以， 则； 综上，，故D正确. 故选：ACD. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 12. 已知圆的圆心在y轴的正半轴上，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】将圆化为标准形式，结合已知列不等式求参数范围. 【详解】因为圆标准方程为， 所以，解得，即实数a的取值范围是． 故答案为： 13. 已知抛物线的焦点为F，点A在C上，过点A作C的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】先由直线BF的方程求出焦点、准线方程，则可得抛物线的方程，进而得点，从而求出点，再由焦半径公式即可得解. 【详解】在中，令，解得，所以， 因为，所以，解得， 所以抛物线C的方程为，其准线方程为， 在方程中，令，得，所以，所以点A的纵坐标为4， 在方程中，令，解得，所以， 由抛物线的定义，得． 故答案为：. 14. 设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出，结合双曲线第一定义求出，即可得到的值，从而求出离心率. 【详解】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入 得，即，故，， 又，得，解得，代入得， 故，即，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交C于A，B两点，过点F与l垂直的直线交C于D，E两点，M，N分别为AB，DE的中点，证明：直线MN过定点． 【答案】 证明：因为抛物线的焦点为F，所以， WSD    由题意可知：直线l与直线DE的斜率都存在，且均不为0， 设直线l的方程为，，， 联立方程，消去x化简得， 则，， 可得，，即， 同理可得：， 若点M，N的横坐标相等，即，解得， 此时直线MN的斜率不存在，直线MN的方程为； 若点M，N的横坐标不相等，即， 则直线MN的斜率， 可得直线MN的方程为， 所以直线MN过点． 综上所述：直线MN过定点． 【解析】 【分析】设出两点坐标，直曲联立，用韦达定理得到坐标，再得到直线方程，找到定点. 【详解】略 16. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4． （1）求C的方程； （2）过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据长轴长和离心率求出基本量后可得椭圆方程； （2）设出直线方程并联立椭圆方程后结合韦达定理用参数表示面积后可求的值，从而可求弦长. 【小问1详解】 因为长轴长为4，故，而离心率为，故， 故，故椭圆方程为：. 【小问2详解】 由题设直线的斜率不为0，故设直线，， 由可得， 故即， 且， 故， 解得， 故. 17. 已知圆C的半径为2，圆心在射线上，点在圆C上． （1）求圆C的标准方程； （2）若圆D与圆C关于直线对称，判断x轴与圆D的位置关系，若相交求弦长； （3）判断圆与（2）中圆D的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）x轴与圆D相交， （3）圆E与圆D外切，理由为： 由（2）可知圆D的圆心为，半径， 且圆的圆心为，半径． 则， 所以圆E与圆D外切． 【解析】 【分析】（1）根据题意可设圆心，结合圆的半径运算求解即可得，进而可得圆的方程； （2）分析可知圆D的半径，圆心与点关于直线对称，根据点关于直线对称运算求解即可； （3）根据题意可得圆心和半径，进而求圆心距判断两圆的位置关系. 【小问1详解】 因为圆C的圆心在射线上，可设圆心， 又因为圆C的半径为2，点在圆C上， 则，解得， 即圆心，所以圆C的标准方程为． 【小问2详解】 因为圆D与圆C关于直线对称， 则圆D的半径，圆心与点关于直线对称， 可知直线CD的斜率为1，且线段CD的中点在直线上， 则，解得，即， 因为点D到x轴的距离，可知x轴与圆D相交， 所以弦长为． 【小问3详解】 略 18. 已知在正项数列中，且，其中为数列的前n项和． （1）求数列的通项公式； （2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围； （3）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过前n项和的差与已知条件相除，推得是等差数列，求出后利用（）得到通项公式. （2）将恒成立问题转化为恒成立，构造数列，分析其单调性找到最大值，确定的取值范围. （3）先化简的表达式，再利用错位相减法（乘以公比后与原和式相减）计算数列的前项和. 【小问1详解】 在数列中，①， 又因为②，， 所以，得． 又因为，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以． 当时，， 当时，，也满足上式， 所以数列的通项公式为． 【小问2详解】 由（1）知，． 因为对于任意，恒成立，所以恒成立． 设，则， 当时，，； 当，时，， 所以， 所以数列的最大项是，所以， 即实数的取值范围为． 【小问3详解】 由（1）知， 所以． 所以．③ ．④ ，得 ． 所以． 19. 已知双曲线，其右顶点为，右焦点为. （1）求以为焦点的抛物线的标准方程； （2）已知点，设点是双曲线上任一点，求的最小值； （3）设直线过点，其法向量为，若在双曲线上恰有三个点到直线的距离均为，求的值. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）求出双曲线右焦点为，从而得抛物线方程； （2）利用两点间距离公式，结合双曲线上点的坐标范围求解； （3）由题意直线的斜率为1，设与直线平行的直线方程为，联立方程组，由可得的值，从而得的值. 【小问1详解】 由双曲线，可得， 则右焦点为，所以以为焦点的抛物线的标准方程为； 【小问2详解】 设，则有， =，由， 当时，. 【小问3详解】 由题意，直线法向量为，可得直线的斜率为1， 设与直线平行的直线方程为， 联立方程组，整理得， 令，解得， 当时，直线与的距离为； 当时，直线与的距离为， 所以的值或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二年级12月阶段检测 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列的通项公式为，则下列各数是数列的项是（ ） A. 11 B. 22 C. 24 D. 44 2. 已知点，，若直线AB的斜率为2，则（ ） A. 7 B. 3 C. 1 D. 9 3. 已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，则（ ） A. 4 B. 6 C. 5 D. 3 4. 已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 5. 已知椭圆的离心率为，则下列说法错误的是（ ） A. B. 短轴长为6 C. 焦距为 D. 点在椭圆C上 6. 双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点为椭圆上一点，直线过：的圆心且与交于，两点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆的焦距大于，则的取值可以为（ ） A. B. C. D. 10. 数列满足，，，则下列说法正确的有（ ） A. 数列是等比数列 B. C. 数列的前n项和 D. 数列是递增数列 11. 已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 12. 已知圆的圆心在y轴的正半轴上，则实数a的取值范围为________． 13. 已知抛物线的焦点为F，点A在C上，过点A作C的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为，则________． 14. 设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交C于A，B两点，过点F与l垂直的直线交C于D，E两点，M，N分别为AB，DE的中点，证明：直线MN过定点． 16. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4． （1）求C的方程； （2）过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 17. 已知圆C的半径为2，圆心在射线上，点在圆C上． （1）求圆C的标准方程； （2）若圆D与圆C关于直线对称，判断x轴与圆D的位置关系，若相交求弦长； （3）判断圆与（2）中圆D的位置关系，并说明理由． 18. 已知在正项数列中，且，其中为数列的前n项和． （1）求数列的通项公式； （2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围； （3）设，求数列的前n项和． 19. 已知双曲线，其右顶点为，右焦点为. （1）求以为焦点的抛物线的标准方程； （2）已知点，设点是双曲线上任一点，求的最小值； （3）设直线过点，其法向量为，若在双曲线上恰有三个点到直线的距离均为，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $