精品解析：江苏省南京市第一中学2025-2026学年高二上学期数学周测（8）

2024级高二第一学期数学周测（8） 时间：50分钟 满分：87分 一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 1. 以直线恒过的定点为圆心，半径为的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 13 B. 14 C. 16 D. 20 3. 下列直线被椭圆截得的弦长大于被C截得的弦长的是（ ） A. B. C. D. 4. 过原点的直线l与双曲线E：交于A，B两点（点A在第一象限），交x轴于C点，直线BC交双曲线于点D，且，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 某同学研究如下数表时，发现其特点是每行每列都成等差数列，在表中，数41出现的次数为（ ） 2 3 4 5 6 … 3 5 7 9 11 … 4 7 10 13 16 … 5 9 13 17 21 … … … … … … … A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 6. 设直线l：，圆C：，若在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在点M，使，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，每小题6分，共12分．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7. 已知为等差数列，其前项和为，，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 当且仅当时，最大 D. 满足的最大整数n为14 8. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点是椭圆C上异于左、右顶点的一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的周长为 B. 的面积的最大值为2 C. 若，则的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 9. 已知数列的通项公式为，则数列的最小项是_________________________． 10. 已知两定点，，若直线上的一点满足，则实数的取值范围是______． 11. 已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，（，）是双曲线C上的一点，直线与y轴交于点N，若，且，则双曲线的离心率为__________. 四、解答题：本题共2小题，每小题15分，共30分．解答应写出文字说明、证明过程戓演算步骤． 12. 已知双曲线的中心为原点，左､右焦点分别为，离心率为，且过点，又点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足. （1）求双曲线的方程； （2）证明：直线与直线的斜率之积是定值. 13. 已知抛物线：，直线交抛物线于两点，，，且. （1）求坐标原点到直线的距离的取值范围； （2）设直线与轴交于点，过点作与直线垂直的直线交椭圆：于，两点，求四边形的面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高二第一学期数学周测（8） 时间：50分钟 满分：87分 一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 1. 以直线恒过的定点为圆心，半径为的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出直线所过定点，再由圆的标准形式即可求出圆的标准方程，再转化成一般式即可. 【详解】由得， 令，则，，所以直线恒过定点， 则圆的方程为，即. 故选：D. 2. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 13 B. 14 C. 16 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】由，及即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， ， 所以， ， 故选：A 3. 下列直线被椭圆截得的弦长大于被C截得的弦长的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出草图，运用椭圆的对称性，数形结合分析判断即可得解. 【详解】解：易知椭圆关于x轴、y轴、原点对称， 直线与直线关于x轴对称， 直线与直线关于原点对称， 所以椭圆被直线、、所截得的弦长相等，故排除B、C； 根据椭圆的对称性可知原点到直线的距离越远，直线被椭圆截得的弦长越小， 过原点比到原点的距离远， 故截椭圆所得的弦长比截椭圆的弦长要短，故排除D， 故截椭圆所得的弦长比截椭圆的弦长要长， 故选： 4. 过原点的直线l与双曲线E：交于A，B两点（点A在第一象限），交x轴于C点，直线BC交双曲线于点D，且，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可设，，，分别表示出，逐步转化，即可求得本题答案. 【详解】因为直线过原点，所以关于原点对称，设， 因为与轴垂直，所以， 设， 则， 而 所以，， 所以， 所以渐近线方程为. 故选：D 5. 某同学研究如下数表时，发现其特点是每行每列都成等差数列，在表中，数41出现的次数为（ ） 2 3 4 5 6 … 3 5 7 9 11 … 4 7 10 13 16 … 5 9 13 17 21 … … … … … … … A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】记第行第列的数为，根据第一行组成的数可得，再由第列数组成的数列可得，令，解出对应的的值即可得答案. 【详解】解：记第行第列的数为， 由题意可知第一行组成的数列是以2为首项，1为公差的数列， 所以， 所以第列数组成的数列是以为首项，公差为的等差数列， 所以， 令， 所以， 解得， 共8组解， 所以数41出现共出现8次. 故选：A. 6. 设直线l：，圆C：，若在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在点M，使，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把问题转化成点到直线的距离的范围问题求解. 【详解】圆：，所以，圆的半径为：. “在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在点M，使”可转化为“圆心到直线的距离不大于2”. 由. 故选：B 【点睛】方法点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法. 二、多选题：本题共2小题，每小题6分，共12分．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7. 已知为等差数列，其前项和为，，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 当且仅当时，最大 D. 满足的最大整数n为14 【答案】AB 【解析】 【分析】借助与的关系及等差数列性质计算可得A；计算出数列的公差后利用等差数列求和公式计算即可得B；利用等差数列性质及等差数列求和公式计算可得C、D. 【详解】对A：，故，故A正确； 对B：，故的公差为， 故， 则，故B正确； 对C：由，故，当时，，当时，， 故当或时，最大，故C错误； 对D：当时，，当时，， 又，故， 则当时，，当时，， 故满足的最大整数为，故D错误. 故选：AB. 8. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点是椭圆C上异于左、右顶点的一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的周长为 B. 的面积的最大值为2 C. 若，则的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，由定义可得；选项B，，数形结合当点到的距离最大，即高最大时面积最大；选项C，设点表达，利用椭圆方程消元求函数最值即可；选项D，利用的斜率意义，转化为直线与椭圆有公共点求斜率范围，从而求得最小值. 【详解】选项A，由椭圆方程可知，， 所以的周长，故A正确； 选项B，因为点是椭圆C上异于左、右顶点的一点， 所以， 所以的面积， 当，即时， 即点位于短轴端点时，的面积最大，最大为2，故B正确； 选项C，由，点，且， 因为， 当时，取最小值，且最小值为，故C错误； 选项D，的几何意义为与点两点连线的斜率，设为， 由得， ， 解得， 如图，当直线与椭圆C相切时，， 所以的最小值为.故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 9. 已知数列的通项公式为，则数列的最小项是_________________________． 【答案】 【解析】 【分析】由题设，结合分式型函数的性质分析数列的单调性，进而可求解. 【详解】由，， 当时，，即， 当时，，即， 数列在上都单调递减， 所以最小项为，即. 故答案为：. 10. 已知两定点，，若直线上的一点满足，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据两点距离公式列出等式，然后化简，确定点的轨迹方程，进而根据直线与圆的位置关系求出的取值范围. 【详解】设，因为，所以， 化简得，此即为点的轨迹方程． 由于点在直线上，也在圆上，因此直线与圆至少有一个公共点． 所以圆心到直线的距离，解得，所以或． 故答案为： . 11. 已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，（，）是双曲线C上的一点，直线与y轴交于点N，若，且，则双曲线的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设点在双曲线的第一象限，设，，根据，由勾股定理，求得，在中，由余弦定理，列出方程，求得，进而得到双曲线的离心率. 【详解】设点在双曲线的第一象限，由轴为线段的中垂线，可得， 因为，所以， 由双曲线定义，可得， 设，，代入可得， 因为，可得，所以是直角三角形，且， 由勾股定理得，即， 即，解得或（舍去）， 所以， 在直角中，可得， 在中，由余弦定理得， 即，整理得， 所以双曲线的离心率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共2小题，每小题15分，共30分．解答应写出文字说明、证明过程戓演算步骤． 12. 已知双曲线的中心为原点，左､右焦点分别为，离心率为，且过点，又点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足. （1）求双曲线的方程； （2）证明：直线与直线的斜率之积是定值. 【答案】（1）； （2）证明：由（1）知，由点是直线上任意一点，设， 设双曲线上点，则，即， ，则，即， 则， 所以直线与直线的斜率之积是定值. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列出关于的方程组求解即得. （2）设出点的坐标，利用向量垂直的坐标表示及斜率的坐标表示列式计算得证. 【小问1详解】 双曲线的离心率为，得，则， 由点在双曲线，得，解得，， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 略 13. 已知抛物线：，直线交抛物线于两点，，，且. （1）求坐标原点到直线的距离的取值范围； （2）设直线与轴交于点，过点作与直线垂直的直线交椭圆：于，两点，求四边形的面积的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件设出直线的方程，与抛物线联立，利用根与系数的关系及判别式，结合点到直线的距离公式及不等式的性质即可求解； （2）由（1）的结论及弦长公式，得出弦长，根据已知条件及直线的斜截式方程，联立方程组，根据根与系数的关系及弦长公式，结合四边形的面积公式及对勾函数的性质即可求解. 【小问1详解】 显然直线的斜率不为0，设直线的方程为. 联立，消去，整理得，所以， 所以，解得， 所以直线的方程为，即， 所以原点到直线的距离为， 又， 所以，所以，即， 所以坐标原点到直线的距离的取值范围为. 【小问2详解】 由（1）可知. 由题意及（1）可知直线的方程为. 设， 联立，消去，整理得， 则根据根与系数的关系，得， 所以， 所以四边形， 设则 四边形， 因为在上单调递增， 所以四边形, 所以四边形的面积的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $