精品解析：广东省广州市番禺区富丽中学2025-2026学年上学期月九年级期中考数学试卷

2025学年第一学期九年级数学科期中检测试题 一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据中心对称图形与轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C、是轴对称图形，是中心对称图形，故符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：C． 2. 小吴用描点法画二次函数图象时，得到了如下表格，则方程的其中一个解是（ ） 1 2 3 4 0 5 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，掌握二者之间的关系是解本题的关键． 由表格信息得出当时的函数值为0，再利用二次函数与一元二次方程的关系即可得出结果． 【详解】解：由表格信息可得：当时的函数值为0， ∴当时，则，即， ∴是的一个解， 故选：B 3. 如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，先根据垂径定理得到，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，弦的长为8，圆心O到的距离， ∴，， 在中，， 故选：B． 4. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程——配方法．把两边同时加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：， 配方得，即， 故选：A． 5. 将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位， ∴根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线是， 故选：． 6. 关于二次函数，下列叙述正确的是（ ） A. 函数的图象开口向下 B. 对称轴是轴 C. 当时，有最大值 D. 当时，随的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，根据二次项系数大于0可得开口向上，一次项系数为0，可得对称轴为轴，进而得到当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，则当时，有最小值，据此可得答案． 【详解】解；∵二次函数解析式为，， ∴二次函数开口向上，对称轴为y轴，故A说法错误，B说法正确， ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，故D说法错误， ∴当时，有最小值，故C说法错误， 故选B． 7. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，交于点D，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质以及三角形的外角性质，先由旋转性质得，，结合外角性质，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 8. 抛物线y＝x2﹣2x＋1与坐标轴的交点个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】当时，求出与轴的纵坐标；当时，求出关于的一元二次方程的根的判别式的符号，从而确定该方程的根的个数，即抛物线与轴的交点个数． 【详解】解：当时，，则与轴的交点坐标为， 当时，， ， 所以，该方程有两个相等的解，即抛物线与轴有1个点． 综上所述，抛物线与坐标轴的交点个数是2个． 故选C． 【点睛】此题考查了抛物线与坐标轴的交点，其中令抛物线解析式中，求出的值即为抛物线与轴交点的纵坐标；令，求出对应的的值，即为抛物线与轴交点的横坐标． 9. 某商品经过两次连续提价，每件售价由原来的100元上涨到了121元，设平均每次涨价的百分率为x，则下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均变化率的等量关系：，列出方程即可． 【详解】解：由题意得：， 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用．根据题意正确的列出方程是解题的关键． 10. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象的综合分析，解题的关键是熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质． 先根据题干可得抛物线开口向下，则；直线经过第一、二、三象限，则，再判断的图象即可． 【详解】解：由图可得图象开口向下，则；直线经过第一、二、三象限，则， ∴抛物线开口向下， ∵， ∴对称轴 ∴对称轴在y轴右侧， ∵， ∴抛物线与y轴的正半轴相交， 故选：D． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，根据“两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数”解答． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 12. 一元二次方程的解为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解求一元二次方程的方法是解题的关键． 运用因式分解法求一元二次方程即可． 【详解】解：， 提取公因式得，， ∴或， 解得，， 故答案为： ． 13. 抛物线y=x2+2x+3的顶点坐标是_____________． 【答案】（﹣1，2） 【解析】 【分析】由抛物线解析式求解． 【详解】解：将二次函数转化成顶点式可得：y=， 则函数的顶点坐标为(－1，2) 故答案为：（-1，2） 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 14. 小王去参加聚会，每两人都互相赠送礼物，他发现参会人共送出礼物20件，若有人参加聚会，根据题意可列出方程为_____________________． 【答案】 【解析】 【分析】设有人参加聚会，则每人送出件礼物，根据“共送礼物20件”，列出方程即可． 【详解】解：设有人参加聚会，则每人送出件礼物， 由题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，正确列出一元二次方程，是解题的关键． 15. 已知抛物线如图所示，当时，x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题，关键是看图象找出抛物线与轴的交点坐标，进而得到不等式的解集； 由图象在轴上方的部分对应的的取值范围即可得出答案． 【详解】解：依题意，由图象可知抛物线与轴的一个交点为，且对称轴为直线，开口方向向下， ∴抛物线与轴的另一个交点是， ∵， ∴， 故答案为：． 16. 如图，长方形中，，，E为上一点，且，F为上一个动点，连接，将绕着点E顺时针旋转到的位置，连接和，则点C到直线的距离为________，的最小值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接交于J．首先证明，推出点G的在射线上运动，推出当时，的值最小． 【详解】解：如图，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接交于J． ∵四边形是矩形， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴点G在射线上运动， ∴当时，的值最小， ∵， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题（共9小题） 17. 解方程：2x2﹣4x﹣1＝0． 【答案】x1=，x2=． 【解析】 【分析】用配方法解一元二次方程即可. 【详解】解：∵2x2﹣4x﹣1=0， ∴2x2﹣4x=1， 则x2﹣2x=， ∴x2﹣2x+1=，即（x﹣1）2=， 则x﹣1=±， ∴x1=，x2=． 【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程, 解题时要注意解题步骤的准确使用, 把左边配成完全平方式, 右边化为常数. 18. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根，得到判断式大于0，进行求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． 19. 如图，三个顶点的坐标分别为． （1）请画出关于原点对称的，并写出的坐标； （2）请画出绕点B逆时针旋转后的． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求，的坐标为； （2） 如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】此题考查了旋转和中心对称的作图． （1）找到关于原点对称的对应点，顺次连接即可得到，写出的坐标即可； （2）找到绕点B逆时针旋转后的对应点，顺次连接即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，点D在等边三角形的边上，将绕点A旋转，使得旋转后点B的对应点为点C，点D的对应点是点E． （1）用尺规作图法在图中作出旋转后的图形： （2）判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） 解：如下图，即为旋转后所得图形， （2） 解：连接，如图， 由旋转可得，， ， 又， 是等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图、旋转的性质、全等三角形的判定和性质和等边三角形的判定，解题关键是熟练掌握全等三角形的性质． （1）以为原点，为半径画圆弧交以C点为圆心，为半径画的圆弧，交点为E，连接、，即为旋转后所得图形； （2）连接，根据旋转性质得到，再根据全等三角形的性质得到、，结合等边三角形的判定即可证明是等边三角形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y，的对应值如下表： x … -2 -1 0 1 2 … y … 0 -4 -4 0 8 … （1）根据上表填空： ①抛物线与x轴的交点坐标是_________和_________； ②抛物线经过点（-3，_________）； （2）试确定抛物线y=ax2+bx+c的解析式． 【答案】（1）①（-2，0），（1，0）；②8； （2）所求抛物线解析式为y=2x2+2x-4． 【解析】 【分析】(1)①根据表格中函数值y=0即可得到与x轴的交点坐标；②观察表格可知抛物线的对称轴为x=，由此可知（2，8）与（-3，8）关于对称轴对称，从而可得； （2）依题意设抛物线解析式为y=a（x+2）（x-1），代入点（0，-4）即可求得． 【小问1详解】 解：①观察表格可知当y=0时，x=-2或x=1，所以抛物线与x轴的交点坐标是（-2，0），（1，0）， 故答案为（-2，0），（1，0）； ②观察表格可知抛物线的对称轴为x=，由此可知（2，8）与（-3，8）关于对称轴对称，所以抛物线经过（-3，8）， 故答案为8； 【小问2详解】 解：依题意设抛物线解析式为y=a（x+2）（x-1）， 由点（0，-4）在函数图象上，得-4=a（0+2）×（0-1）， 解得a=2， ∴y=2（x+2）（x-1）， 即所求抛物线解析式为y=2x2+2x-4． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点∶把求二次函数y=ax2 +bx+c ( a，b，c是常数， a≠0 )与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题的关键． 22. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修建两条小路，竖直方向的小路宽与水平方向的小路宽之比为，余下部分作为草地，草地面积为． （1）若水平方向小路宽，则竖直方向小路宽________，两条小路重叠部分的面积________ （2）求两条小路的宽分别是多少米？ 【答案】（1），； （2）竖直方向的小路宽与水平方向的小路宽分别为米和米． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键． （1）根据竖直方向的小路宽与水平方向的小路宽之比为，即可求解； （2）设竖直方向的小路宽为米，水平方向的小路宽为米，根据草地面积列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，竖直方向的小路宽与水平方向的小路宽之比为， 若水平方向小路宽，则竖直方向小路宽， 两条小路重叠部分的面积为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：根据题意，设竖直方向的小路宽为米，水平方向的小路宽为米， 则， 解得：或， 当时，此时，，不符合题意， 则，， 答：竖直方向的小路宽与水平方向的小路宽分别为米和米． 23. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米． （1）以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系，请在图中画出坐标系，并求出抛物线的解析式； （2）当水面下降1米时，水面宽度增加了多少米？ 【答案】（1） （2）当水面下降1米时，水面宽度增加了米 【解析】 【分析】（1）根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式； （2）再根据通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【小问1详解】 解：建立平面直角坐标系如图所示， 由题意可得：顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 把点坐标代入得出：， 所以抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：当水面下降1米， 即当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离， 可以通过把代入抛物线解析式得出： ， 解得：， 所以水面宽度增加到米， 答：当水面下降1米时，水面宽度增加了米． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式． 24. （1）数学兴趣小组同学将制作的和摆放成如图①所示的位置，且，，则AD和BE的数量关系为______； （2）如图②，在中，，将线段CA绕点C顺时针旋转（），得到线段CD，连接AD、BD．小组同学发现无论为何值，的大小不变，请你计算这个定值，并写出计算过程； （3）在第（2）问的基础上，在图③中作的平分线CE交BD于点F，交DA的延长线于点E，连接BE．用等式表示线段AD、CE、BE之间的数量关系；并证明． 【答案】 （1）AD=BE，理由如下： ∵在和中，， ∴∠ACB=∠DCE=90°， ∴∠DCE-∠DCB=∠ACB-∠DCB，即∠BCE=∠ACD， ∴△BCE≌△ACD（SAS）， ∴AD=BE； （2），过程如下： 由旋转的性质可得， ∵AC=BC， ∴AC=BC=CD， ∴， ∵在中，， ∴， ∴ ， ∴ ； （3），理由如下： 如图所示，将△ACE绕点C旋转90度得到△BCM，设， 由（2）得BC=CD， ∴∠EAC=∠MBC，∠ECM=90°，EC=CM，AE=BM， ∵CE平分∠BCD， ∴CE垂直平分BD， ∴BE=DE，∠EFD=∠EFB=90°，BF=DF， ∵EF=EF， ∴△BFE≌△DFE（SAS） ∵∠ADB=45°， ∴∠EBF=∠EDF=∠BEF=∠DEF=45°， ∴EF=BF=DF，∠BED=90°， ∵∠BEA+∠EAC+∠ACB+∠EBC=360°， ∴∠EAC+∠EBC=180°， ∴∠EBC+∠MBC=180°，即E、B、M三点共线， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴； 【解析】 【分析】（1）只需要利用SAS证明△BCE≌△ACD即可得到AD=BE； （2）由旋转的性质可得，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，，由此求解即可； （3）如图所示，将△ACE绕点C旋转90度得到△BCM，设，由（2）得BC=CD，根据三线和一定理得到CE垂直平分BD，则BE=DE，∠EFD=∠EFB=90°，BF=DF，证明△BFE≌△DFE进而得到EF=BF=DF，∠BED=90°，证明∠EBC+∠MBC=180°，得到E、B、M三点共线，利用勾股定理求出，，则，，即可证明； 【详解】解：略． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等腰三角形的性质与判定，四边形内角和定理，三角形内角和定理，勾股定理，线段垂直平分线的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 25. 已知直线经过点，与轴交于点． （1）用含有的式子表示； （2）过点的抛物线与轴交点为，其顶点为． 当为何值时，顶点到达最高处？ 当时，该抛物线上是否存在点，使四边形为平行四边形？若存在，求此时顶点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）当时，有最大值，即顶点到达最高处；顶点的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的性质，平行四边形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据一次函数的性质即可求解； （）由抛物线，其顶点的坐标为，又抛物线经过点，则有，然后通过二次函数的性质即可求解； 由（）知直线，令，可得，求出，，由平行四边形性质可得，，即点到点的平移方式与点到点的平移方式相同，因为，，所以的水平距离为，垂直距离为，又，则点的横坐标为，纵坐标为，即，代入得，然后求出的值即可． 【小问1详解】 解：∵直线经过点， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：对于抛物线，其顶点的坐标为， ∵抛物线经过点， ∴， ， ∴顶点的纵坐标为， ∴， ∵二次项系数， ∴当时，有最大值，即顶点到达最高处； 由（）知直线，令，可得， ∴， 由抛物线，令可得， 又∵， ∴，即， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 即点到点的平移方式与点到点的平移方式相同， ∵，， ∴的水平距离为，垂直距离为， 即点到点的平移方式是向右平移1个单位长度，向上平移个单位长度， 也即点到点的平移方式是向右平移1个单位长度，向上平移个单位长度， ∵， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即， ∵点在抛物线上，且， ∴， ∴ ， ， 解得， 当时，， ∴顶点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期九年级数学科期中检测试题 一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 小吴用描点法画二次函数图象时，得到了如下表格，则方程的其中一个解是（ ） 1 2 3 4 0 5 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 3. 如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 4. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（　　） A. B. C. D. 5. 将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 关于二次函数，下列叙述正确的是（ ） A. 函数的图象开口向下 B. 对称轴是轴 C. 当时，有最大值 D. 当时，随的增大而增大 7. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，交于点D，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 抛物线y＝x2﹣2x＋1与坐标轴的交点个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9. 某商品经过两次连续提价，每件售价由原来的100元上涨到了121元，设平均每次涨价的百分率为x，则下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 12. 一元二次方程的解为_______． 13. 抛物线y=x2+2x+3的顶点坐标是_____________． 14. 小王去参加聚会，每两人都互相赠送礼物，他发现参会人共送出礼物20件，若有人参加聚会，根据题意可列出方程为_____________________． 15. 已知抛物线如图所示，当时，x的取值范围是________． 16. 如图，长方形中，，，E为上一点，且，F为上一个动点，连接，将绕着点E顺时针旋转到的位置，连接和，则点C到直线的距离为________，的最小值为________． 三、解答题（共9小题） 17. 解方程：2x2﹣4x﹣1＝0． 18. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 19. 如图，三个顶点的坐标分别为． （1）请画出关于原点对称的，并写出的坐标； （2）请画出绕点B逆时针旋转后的． 20. 如图，点D在等边三角形的边上，将绕点A旋转，使得旋转后点B的对应点为点C，点D的对应点是点E． （1）用尺规作图法在图中作出旋转后的图形： （2）判断的形状，并说明理由． 21. 抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y，的对应值如下表： x … -2 -1 0 1 2 … y … 0 -4 -4 0 8 … （1）根据上表填空： ①抛物线与x轴的交点坐标是_________和_________； ②抛物线经过点（-3，_________）； （2）试确定抛物线y=ax2+bx+c的解析式． 22. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修建两条小路，竖直方向的小路宽与水平方向的小路宽之比为，余下部分作为草地，草地面积为． （1）若水平方向小路宽，则竖直方向小路宽________，两条小路重叠部分的面积________ （2）求两条小路的宽分别是多少米？ 23. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米． （1）以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系，请在图中画出坐标系，并求出抛物线的解析式； （2）当水面下降1米时，水面宽度增加了多少米？ 24. （1）数学兴趣小组同学将制作的和摆放成如图①所示的位置，且，，则AD和BE的数量关系为______； （2）如图②，在中，，将线段CA绕点C顺时针旋转（），得到线段CD，连接AD、BD．小组同学发现无论为何值，的大小不变，请你计算这个定值，并写出计算过程； （3）在第（2）问的基础上，在图③中作的平分线CE交BD于点F，交DA的延长线于点E，连接BE．用等式表示线段AD、CE、BE之间的数量关系；并证明． 25. 已知直线经过点，与轴交于点． （1）用含有的式子表示； （2）过点的抛物线与轴交点为，其顶点为． 当为何值时，顶点到达最高处？ 当时，该抛物线上是否存在点，使四边形为平行四边形？若存在，求此时顶点的坐标：若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $