内蒙古自治区呼和浩特市第四中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年内蒙古呼和浩特四中九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.习近平总书记指出：发展新能源汽车是我国从汽车大国走向汽车强国的必由之路.下列四款新能源汽车的标志中，是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.当时，方程的根的情况是(    ) A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 以上结论都不对 3.甲、乙两个二次函数分别为、，判断下列叙述正确的是(    ) A. 当时，甲有最大值 B. 当时，甲有最小值 C. 当时，乙有最大值 D. 当时，乙有最小值 4.如图，圆O的直径，AB是圆O的弦，，垂足为M，OM：：5，则AB的长为(    ) A. B. 8cm C. 16cm D. 4cm 5.若点，，都在二次函数的图象上，则(    ) A. B. C. D. 6.广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势.某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元.设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为(    ) A. B. C. D. 7.如图，抛物线与x轴交于，两点，则方程的解是(    ) A. 或 B. 且 C. 或 D. 且 8.如图，在中，，，，将绕点B顺时针旋转角得到，此时点D落在AC的延长线上，连接CE，则CE长为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 9.在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移两个单位，再向上平移三个单位，得到的抛物线的解析式是        . 10.如图，AB为的直径，C为上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为若，则圆心角的度数为        . 11.若一元二次方程的两根为，，则的值是      . 12.如图，是地球的示意图，其中AB表示赤道，CD，EF分别表示北回归线和南回归线，夏至日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角即平行于GD的光线HF与的切线FI所成的锐角的大小为           13.如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动，过点A作轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为      . 14.飞机着陆后滑行的距离单位：关于滑行时间单位：的函数解析式是，飞机着陆至停下来共滑行______. 三、解答题：本题共8小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题6分 解方程： 因式分解法； 解法不限 16.本小题7分 平面直角坐标系中，抛物线为常数的顶点为 当抛物线经过点，求抛物线的函数表达式； 求顶点A的坐标用含字母a的代数式表示，判断顶点A是在x轴上方还是下方，并说明理由. 17.本小题7分 如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙墙的最大可用长度a为，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃. 现要围成面积为的花圃，则AB的长是多少米？ 现要围成面积为的花圃，能行吗？若能行，则AB的长是多少？若不能行，请说明理由. 18.本小题7分 请阅读下列材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍. 解：设所求方程的根为y，则，所以， 把代入已知方程，得 化简，得，故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”. 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：______； 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； 已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为3，，求一元二次方程的两根. 19.本小题7分 如图，AB是的直径，射线BC交于点D，E是劣弧AD上一点，且，过点E作于点F，延长FE和BA的延长线交于点 证明：GF是的切线； 若，，求的面积． 20.本小题7分 综合与实践在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究.请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题. 【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽.探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决. 【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度标准单位为自变量，种子的发芽率为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据： 生长素浓度标准单位 0 1 2 3 4 发芽率 【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系描出相应的点. 说明：①当生长素浓度时，种子的发芽率为自然发芽率； ②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽； ③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验. 【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题： 观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式； 请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围. 21.本小题7分 求证：任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴要求自行画草图，写出已知、求证再证明 22.本小题10分 在平面直角坐标系xOy中，抛物线 当抛物线过点时，求抛物线的表达式； 求这个二次函数的对称轴用含b的式子表示； 若抛物线上存在两点和，当时，求b的取值范围． 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：该图不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B.该图不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C.该图不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D.该图是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选： 2.【答案】B  【解析】解：， 而， ， 方程无实数根． 故选： 先计算根的判别式得到，然后根据已知条件得到，则根据根的判别式的意义可判断方程根的情况． 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根， 3.【答案】C  【解析】解：二次函数中，， 当时，甲有最小值， 、B错误； 二次函数中，， 当时，乙有最大值， 正确、D错误， 故选： 根据二次函数的最值问题解答即可． 本题考查的是二次函数的最值问题，熟知二次函数中，当时，函数图象有最低点，所以函数有最小值；当时，函数图象有最高点，所以函数有最大值是解题的关键． 4.【答案】C  【解析】解：连接OA， 的直径， 的半径为10cm， ， 又：：5， ， ， ， 在中，， 故选： 由于的直径，则的半径为10cm，又已知OM：：5，则可以求出，，连接OA，根据勾股定理和垂径定理可求得AB的长度． 此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 5.【答案】A  【解析】解：由抛物线解析式可知二次函数开口向上，对称轴为y轴，距离y轴越远函数值越大， ， 故选： 根据解析式判断出开口方向和对称轴，再判断出离对称轴越远函数值越大即可得到答案． 本题主要考查了比较二次函数值的大小，熟练掌握该知识点是关键． 6.【答案】A  【解析】解：设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x， 根据题意得： 故选： 设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，根据今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．即可得到结论． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7.【答案】A  【解析】解：与x轴交于点，两点， 方程的两个根为或， 故选： 利用抛物线与x轴的交点的横坐标与一元二次方程根的联系即可得出结论． 本题主要考查了抛物线与x轴的交点，一元二次方程的根与抛物线与x轴的交点的横坐标的关系，二次函数的性质等知识点，熟练掌握其性质，利用数形结合法是解决此题的关键． 8.【答案】D  【解析】解：过C作于F，如图： ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 将绕点B顺时针旋转角得到， ，，， ， ， ， ； 故选： 过C作于F，由，知是等腰直角三角形，可得，即得，，再由旋转性质可得，，，证明，根据勾股定理得 本题考查三角形的旋转问题，涉及勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是掌握旋转的性质． 9.【答案】  【解析】解：由题知， 将抛物线向右平移两个单位长度后，所得抛物线的解析式为， 再向上平移三个单位长度后，得到的抛物线的解析式是 故答案为： 根据“上加下减，左加右减”的平移法则即可解决问题． 本题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的平移法则是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：是的切线， ， ， ， ， ， ， 由圆周角定理得：， 故答案为： 根据切线的性质得到，得到，根据平行线的性质求出，再根据等腰三角形的性质、圆周角定理解答即可． 本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 11.【答案】3  【解析】解：由题知， 因为一元二次方程的两根为，， 则，， 所以 故答案为： 利用一元二次方程根与系数的关系进行计算即可． 本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 12.【答案】43  【解析】解：， ， ， ， 是的切线， ， ， ， 故答案为： 根据平行线的性质求出，根据切线的性质得到，进而求出 本题考查的是切线的性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 13.【答案】1  【解析】解：， 抛物线的顶点坐标为， 四边形ABCD为矩形， ，轴， 的长等于点A的纵坐标， 当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1， 对角线BD的最小值为 故答案为： 先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为，再根据矩形的性质得，由于AC的长等于点A的纵坐标，所以当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，从而得到BD的最小值． 本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握其相关知识点是解题的关键． 14.【答案】750m  【解析】解：， 当时，y取得最大值750， 即飞机着陆后滑行750m才能停下来， 故答案为： 将函数解析式配方成顶点式求出y的最大值即可得． 本题主要考查二次函数的应用，理解题意得出飞机滑行的距离即为y的最大值是解题的关键． 15.【答案】，  ，  【解析】解：， ， 则或， 所以，； ， ， ， ， 则， 所以， 利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可； 利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可． 本题主要考查了解一元二次方程-因式分解法及解一元二次方程-配方法，熟知因式分解法及配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 16.【答案】解：抛物线经过点， ， 解得， ，， 抛物线的函数表达式为 顶点A在x轴的上方，理由如下： ， 该抛物线的顶点A的坐标为， 顶点A的纵坐标为，且， 顶点A在x轴的上方．  【解析】将代入，得，求得，则抛物线的函数表达式为； 由，求得该抛物线的顶点A的坐标为，因为，所以顶点A在x轴的上方． 此题重点考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数表达式等知识与方法，正确地将抛物线的函数表达式配方成顶点式是解题的关键． 17.【答案】解：设花圃的宽AB为x米，则米， ， 解得：，， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， 答：AB的长应为5米． 依题意得：， 整理，得 ， 解得 则， 所以现要围成面积为的花圃，不能行．  【解析】设花圃的宽AB为x米，用总长减去三个宽即为BC的长，则米，再利用矩形的面积公式列出方程求解即可． 根据题意列出方程，求得AB的长度，然后根据墙的最大可用长度a为10m进行判断． 本题考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，表示出AB、BC的长，再找出题目中的等量关系，列出方程． 18.【答案】解：设所求方程的根是y，则，所以， 把代入， 得， 故答案为：； 设所求方程的根是y，则， 所以， 把代入方程，得 ， 化简，得； 一元二次方程整理后可得：， 令， ， 则方程的两根比两根大1， 所以方程的两根分别是4、  【解析】根据题意，设所求方程的根是y，则，所以，然后把代入原方程，化简可求； 根据题意，设所求方程的根是y，则，所以，然后把代入原方程，化简可求； 由可知，对方程两边同时除以，得，则方程的两根是两根的倒数，进而求解． 本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，解题的关键是掌握换根法的使用． 19.【答案】解：如图，连接OE， ， ， ， ， ， ， ， ， 又OE是的半径， 是的切线； 设， 在中，，， 由可得， 解得：，即， 则  【解析】本题主要考查切线的判定、圆周角定理、勾股定理及平行线的判定与性质，熟练掌握切线的判定是关键：连接半径，证明半径与直线垂直． 连接OE，由知，由可证，根据得，得证； 设，在中由勾股定理求得，即，再根据三角形的面积公式得解． 20.【答案】二次函数的解析式为；     【解析】观察上述各点的分布规律，y关于x的函数是二次函数， 设该二次函数的解析式为， 将，，代入得， ， 解得， 该二次函数的解析式为； 当时，， 种子自然发芽率为， 当时，， 解得，， 当时，， 解得舍去，， 抑制种子发芽时的生长素浓度范围为 先判断出y关于x的函数是二次函数，再利用待定系数法求解即可； 先计算出种子自然发芽率为35，令和时，分别求得x的值，再结合图象求解即可． 本题考查了二次函数的应用，熟练待定系数求函数解析式是解题的关键． 21.【答案】已知：设的直径为AB，直线AB为直线l； 求证：直线l是的对称轴； 证明：设P为上任意一点，作P关于直线l的对称点， 直线l是直径AB所在的直线， 圆心O在直线l上直径的中点为圆心， 是P关于直线l的对称点， 直线l垂直平分线段， 半径， 在上， 是上任意一点，其关于直线l的对称点也在上， 直线l是的对称轴．  【解析】解：已知：设的直径为AB，直线AB为直线l； 求证：直线l是的对称轴； 证明：设P为上任意一点，作P关于直线l的对称点， 直线l是直径AB所在的直线， 圆心O在直线l上直径的中点为圆心， 是P关于直线l的对称点， 直线l垂直平分线段， 半径， 在上， 是上任意一点，其关于直线l的对称点也在上， 直线l是的对称轴． 根据轴对称的性质写出已知、求证进而证明即可． 此题考查轴对称的性质，关键是根据轴对称的性质解答． 22.【答案】解：将代入得， 解得， ， 抛物线对称轴为直线 ， 抛物线开口向上，对称轴为直线， ， 点A与对称轴距离小于点B与对称轴距离， ， ， ，， 将代入得， 解得或， 将代入得， ， 或满足题意．  【解析】将代入解析式求解． 由抛物线对称轴为直线求解． 根据抛物线开口方向及点A，B到对称轴的距离可得，，将两点坐标代入解析式求解． 本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $