专题01 整式的加减全章6大常考题型汇总（期末复习专项训练）七年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题01整式的加减 题型1 整式的相关概念（常考点） 题型4 整式的加减中的化简求值（重点） 题型2 合并同类项（常考点） 题型5 规律探索（难点） 题型3 整式的加减运算（重点） 题型6 整式加减的应用（难点） 26 / 27 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 整式的相关概念（共7小题） 1．（24-25七年级上·上海普陀·期末）单项式的次数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题考查了单项式次数的定义．根据单项式次数的定义来求解．单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：根据单项式定义得： 的次数为：． 故选：B． 2．（24-25七年级上·上海松江·期末）下列说法正确的是（   ） A．的次数是2 B．的系数是1 C．是二次三项式 D．的一次项是 【答案】C 【知识点】多项式的项、项数或次数、单项式的系数、次数 【分析】此题主要考查了多项式和单项式的含义，关键是掌握单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，多项式中每个单项式是多项式的项，最高次项的次数是多项式的次数．利用单项式的系数与次数和多项式的项与次数的含义进行解答即可． 【详解】解：A． 的次数是3，故选项A说法错误； B． 是多项式，故选项B说法错误； C． 是二次三项式，故选项C说法正确； D． 的一次项是，故选项D说法错误． 故选：C． 3．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）下列叙述中，正确的是（    ） A．0是单项式 B．单项式的次数是5； C．单项式的系数为． D．多项式是六次二项式． 【答案】A 【知识点】多项式的项、项数或次数、单项式的系数、次数 【分析】本题考查了单项式的知识，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握单项式、单项式次数、单项式的系数的定义．根据单项式、单项式次数、单项式的系数的定义，结合各选项判断即可． 【详解】A．0是单项式，此选项正确； B．单项式的次数是2，此选项错误； C．单项式的系数为，此选项错误； D．多项式是四次二项式，此选项错误； 故选A． 4．（22-23七年级上·上海·期末）代数式，，，，中是整式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】整式的判断 【分析】根据单项式和多项式统称为整式，进而判断得出答案． 【详解】解：的分母含有字母，不是整式； 是整式；是整式；是整式；是整式； 综上，整式的个数是4个． 故选：D． 【点睛】本题考查了整式的定义．解题的关键是熟练掌握整式的定义．要注意虽然有分数线，但是分母中不含有表示未知数的字母，所以它仍是整式．在整式中除式不能含有字母． 5．（24-25七年级上·上海·期末）下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6），其中整式的个数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【知识点】整式的判断 【分析】本题主要考查了整式的概念．要能准确的分清什么是整式．整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．判断整式时，式子中含有等号和分母中含有字母的式子一定不是整式． 根据整式的定义分析判断各个式子，从而得到正确选项． 【详解】解：在（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）中， 整式有：（1）；（2）；（5）；（6），共4个， 故选：B． 6．（23-24七年级上·上海青浦·期末）单项式的次数是 ． 【答案】6 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题主要考查单项式的次数，熟练掌握单项式的次数是解题的关键；因此此题可根据“单项式的次数是所有字母指数的和”进行求解即可． 【详解】解：单项式的次数是6； 故答案为：6． 7．（24-25七年级上·上海普陀·期末）将整式按降幂排列后，第二项的系数为 ． 【答案】 【知识点】单项式的系数、次数、将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【分析】本题主要考查了多项式，先把整式的各项按y降幂排列后，找出第二项，从而找出其系数即可． 【详解】解：整式按y降幂排列为：， ∵第二项是， ∴第二项的系数是， 故答案为：． 题型二 合并同类项（共7小题） 8．（22-23七年级上·上海静安·期末）化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】去括号、合并同类项 【分析】先去括号，再根据合并同类项法则计算即可． 【详解】解： ，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，是解答本题的关键． 9．（24-25七年级上·上海宝山·期末）如图，长为，宽为的大长方形被分割为6块，除阴影外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为1，那么阴影的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列代数式、合并同类项 【分析】本题考查的是列代数式，合并同类项，先标注字母，求解，，，再利用周长公式列式计算即可． 【详解】解：标注字母如图所示： 由题意可得：，，， 阴影的周长为：， 故选：C． 10．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）计算： ． 【答案】 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查合并同类项，根据合并同类项法则进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 11．（24-25七年级上·上海·期末）与的和是 ． 【答案】 【详解】解：x与的和是． 故答案为：． 12．（23-24七年级上·上海松江·期末）化简： ． 【答案】 【详解】解：原式； 故答案：． 13．（24-25七年级上·上海宝山·期末）计算： ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 14．（24-25七年级上·上海·期末）计算：． 【答案】 【知识点】合并同类项、去括号 【分析】本题考查了去括号、合并同类项，熟练掌握去括号、合并同类项的运算法则是解题的关键．根据去括号、合并同类项的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 题型三 整式的加减运算（共11小题） 15．（22-23七年级上·上海杨浦·期末）一个多项式减去的差是，则这个多项式是 . 【答案】 【分析】本题考查整式加减运算．根据题意，由多项式减去的差是可得这个多项式为，去括号、合并同类项即可得到答案． 【详解】解：∵多项式减去的差是， ∴这个多项式为 ， 故答案为：． 16．（22-23七年级上·上海静安·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】先去括号，然后合并同类项即可． 【详解】解： ． 17．（25-26七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减，先去括号，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 18．（25-26七年级上·上海虹口·期中）计算：． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查整式的加减运算，去括号，合并同类项进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 19．（25-26七年级上·上海普陀·期中）计算：． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题主要考查了整式加减，合并同类项时，只对同类项的系数进行加减计算，字母和字母的指数保持不变，据此求解即可． 【详解】解：原式 ． 20．（25-26七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，先去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． 21．（22-23七年级上·上海·期末）已知一个多项式与的和是，求这个多项式． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】根据整式的加减运算即可求解 【详解】解：一个多项式与的和是， 这个多项式为： ． 22．（25-26七年级上·上海普陀·期中）已知整式，，求． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减，把，代入，然后去括号合并同类项即可． 【详解】解： ． 23．（21-22七年级上·上海·期末）若一个多项式减去的差是，求这个多项式． 【答案】﹣a2﹣ab﹣7b2 【知识点】整式的加减运算 【分析】根据题意，可以列出算式，然后去括号，合并同类项即可． 【详解】 即这个多项式是． 24．（23-24七年级上·上海·期末）多项式减去一个多项式A的差是，求这个多项式A． 【答案】 【知识点】整式的加减运算、去括号、合并同类项 【分析】本题主要考查了整式加减运算，解题的关键是熟练掌握去括号合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将括号和负号去掉后，括号内每一项的符号要发生改变． 【详解】解：∵多项式减去一个多项式A的差是， ∴这个多项式为： ． 25．（25-26七年级上·上海·期中）小吴做一道题：已知两个整式，求的值．他误将看成，求得结果为，已知，求正确的答案． 【答案】 【详解】，， ， ， ． 题型四 整式的加减中的化简求值 （共8小题） 26．（24-25七年级上·上海静安·期末）已知，，当取任意数值时，的值一定是定值，请求出这个定值. 【答案】 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查整式的加减，代数式求值，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题； 本题先求出的代数式，然后根据取任意数值时，的值一定是定值，求得和的值，进而求解定值； 【详解】解： ， ∵当取任意数值时，的值一定是定值， ∴，， ∴，， 即当，时，取任意数值时，的值一定是定值，定值. 27．（24-25七年级上·上海·期中）求代数式的值：，其中，． 【答案】， 【知识点】整式的加减中的化简求值、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了整式的化简求值，先对整式进行化简，再求出的值，最后代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握整体代入法是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ∵，， ∴， 原式 ， ， ． 28．（25-26七年级上·上海金山·期中）已知整式，求代数式的值． 【答案】 【知识点】整式的加减中的化简求值、绝对值非负性、有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，非负数的性质，先由非负数的性质求出x、y的值，再根据知识的加减计算法则把所求式子去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 29．（25-26七年级上·上海崇明·期中）化简后求值：，其中． 【答案】， 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，首先去括号、合并同类项，把整式化简，可得：原式，再把，代入化简后的代数式求值． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 30．（25-26七年级上·上海奉贤·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，首先根据去括号法则、合并同类项法则把整式化简，再把字母的值代入化简后的代数式计算求值． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 31．（24-25七年级上·上海闵行·期中）已知整式．整式，． (1)求整式； (2)若满足，求整式的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减中的化简求值、绝对值非负性 【分析】本题主要考查整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （1）将，代入中，先去括号，再合并同类项化简即可得； （2）根据绝对值和平方的非负性先求得的值，再代入原式求解即可． 【详解】（1），， 且， ． （2）由（1）可得， ， ， ， ． 32．（24-25七年级上·上海·期中）已知，，， (1)求： (2)当，求（1）中结果的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减中的化简求值、整式的加减运算 【详解】（1）解： ； （2）解：当时， ． 33．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）化简与求值： (1)化简：； (2)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1) (2)， 【知识点】整式的加减运算、整式的加减中的化简求值、合并同类项、去括号 【分析】本题主要考查了整式化简求值，准确利用去括号法则化简是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先进行去括号、合并同类项化简，再代入求值即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ， 把，代入上式， 原式 ． 题型五 规律探索（共4小题） 34．（24-25七年级上·上海静安·期末）如图，用长度相等的小木棒按一定规律摆放成图案，图案①中有6根小木棒，图案③中有16根小木棒，⋯，那么第n个图案中小木棒的根数为 ．（用含字母n的式子表示） 【答案】 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现小棒的根数依次增加5是解题的关键． 根据所给图形，依次求出图形中小木棒的根数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 第1个图案中小木棒的根数为：， 第2个图案中小木棒的根数为：， 第3个图案中小木棒的根数为：， …， 所以第n个图案中小木棒的根数为根． 故答案为：． 35．（24-25七年级上·上海青浦·期末）探索规律，并回答问题：观察下面各图形，我们会发现：图①空白部分小正方形的个数是；图②空白部分小正方形的个数是；图③空白部分小正方形的个数是；像这样继续排列下去，可以用含有字母的代数式表示为： ．（其中为正整数） 【答案】 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了图形变化的规律，能根据所给等式写出图n空白部分小正方形个数满足的等式是解题的关键．根据所给图形，依次求出图形中空白小正方形的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 题①空白部分小正方形的个数为：； 题②空白部分小正方形的个数为：； 题③空白部分小正方形的个数为：； …， 所以图n空白部分小正方形的个数： 故答案为：． 36．（25-26七年级上·上海·期中）观察下面三行数： 2，，8，，32，，…； 4，，10，，34，，…； ，3，，15，，63，…． (1)每一行的第8个数分别为________，________，________； (2)第一行中相邻三个数的和为1536，求这三个数； (3)取每行数的第n个数，这3个数中最大的数记为a，最小的数记为b，若，求n的值． 【答案】(1) ，，255 (2)512，，2048 (3)8 【知识点】数字类规律探索、数字问题(一元一次方程的应用)、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查数字规律的探索和代数式的求解。第一行数的规律是第n个数为，第二行数的规律是第一行对应数加2，第三行第n个数为． （1）直接计算第8个数； （2）通过设未知数，利用相邻三个数的和列方程求解； （3）需要分n为奇数和偶数两种情况讨论大小关系，再解方程． 【详解】（1）解：第一行第n个数为，第8个数为； 第二行第n个数为第一行第n个数加2，第8个数为； 第三行第n个数为，第8个数为． 故答案为：，，255． （2）设第一行第n个数为，则相邻三个数之和为． 令， 解得． ∵且， ∴． 这三个数分别为： 第9个数， 第10个数， 第11个数． （3）设第一行第n个数为， 第二行第n个数为， 第三行第n个数为． 当n为奇数时，，，，最大数，最小数． 则， 解得，无整数解． 当n为偶数时，，最大数，最小数． 则， 解得，， ∴． 37．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）阅读与理解： (1)观察一组有规律的等式：①，②，③发现规律，第⑳个等式是 ； (2)利用第（1）小题发现的规律计算：； (3)已知一组有规律的数：，，，，…，它们的和为，试探究这组数共有几个？ 【答案】(1) (2) (3)9个 【知识点】数字类规律探索、有理数四则混合运算 【分析】本题是材料阅读问题，考查了列代数式，有理数的四则混合运算，关键根据题中前几个式子得到规律，并能应用此规律进行计算． （1）根据规律即可求解； （2）利用第（1）小题发现的规律进行计算； （3）先找到，，，，这组数的规律，然后利用规律进行加法计算． 【详解】（1）第⑳个等式是； （2） ； （3） ∵，，，，…，它们的和为， ∴， ∴， ∴ ∴这组数共有9个． 题型六 整式加减的应用（共7小题） 38．（22-23七年级上·上海·期中）如图，正方形和正方形的边长分别为a和6，点C，D，E在一条直线上，点B、C、G在一条直线上，将依次连接D、E、F、B所围成的阴影部分的面积记为． (1)试用含a的代数式表示； (2)当时，比较与面积的大小． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式加减的应用、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，代数式求值： （1）根据列式求解即可； （2）根据，结合（1）所求分别计算出与面积即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得 ； （2）解：当时，， ， ∴． 39．（24-25七年级上·上海·期中）某超市在国庆期间对顾客实行优惠政策，规定如下： 一次性购物 标价低于200元 标价低于500元但不低于200元 标价大于或等于500元 优惠方法 不予优惠 九折优惠 其中标价500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠 (1)若一名顾客在该超市一次性购物标价x元，当x低于500元但不低于200元时，他实际付款_______元；当x大于或等于500元时，他实际付款_________元．（用含x的式子表示） (2)若一名顾客一次购物标价合计1000元，他实际付款多少元？ 【答案】(1)； (2)他实际付款850元 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式加减的应用、列代数式 【分析】本题考查列代数式、整式加减的实际应用、代数式求值，理解题意，正确列出代数式是解答的关键． （1）当x低于500但不低于200时，根据九折优惠计算即可；当x大于或等于500时，根据其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠计算即可； （2）根据（1）中代数式，将代入对应代数式中求值即可． 【详解】（1）解：根据题意，若一名顾客在该超市一次性购物标价x元， 当x低于500元但不低于200元时，他实际付款元； 当x大于或等于500元时，他实际付款元． 故答案为：；； （2）解：∵， ∴当时，， 答：实际付款850元． 40．（25-26七年级上·上海松江·期中）某超市在国庆期间对顾客实行优惠政策，规定如下： 一次性购物 金额低于200元 金额低于500元但不低于200元 金额大于或等于500元 优惠方法 不予优惠 九折优惠 其中金额500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠 (1)若一名顾客在该超市一次性购物的总金额和为元，当低于500但不低于200时，他实际付款__________元；当大于或等于500时，他实际付款__________元．（用含的式子表示） (2)若一名顾客一次性购物的金额合计2000元，他实际付款多少元？ 【答案】(1)； (2)1650 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式加减的应用、列代数式 【分析】本题考查了列代数式，整式加减的实际应用，代数式求值，理解题意，正确列出代数式是解答的关键． （1）当x低于500但不低于200时，根据九折优惠计算即可；当x大于或等于500时，根据其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠计算即可； （2）根据（1）中代数式，将代入对应代数式中求值即可． 【详解】（1）解：当低于500但不低于200时，获得九折优惠，他实际付款为元； 当大于或等于500时，其中金额500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠，他实际付款为（元）． 故答案为：；． （2）解：， 当时， ， 他实际付款1650元． 41．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）综合实践 （一）问题情境  田径比赛中，在进行400米比赛时，运动员的起跑点并不处在同一条直线上，为什么这样呢？如果比赛的起点和终点同在一条直线上，显然，对内侧跑道上的运动员较为有利．原因是内侧跑道的一周长较短，因此，为了公平比赛，在外侧跑道的运动员的起跑点必须前移．如图1是某学校新建操场示意图，每条跑道由两条平行直道和两个半径相等的半圆形弯道组成，直道长度为米，第一分道（跑道）的弯道直径为米，每条跑道宽米，共有8条跑道．如图2，径赛规则规定，第一分道（跑道）周长的测量线是距离内突沿的外沿米处，其余各条分道的周长测量线是距离里侧分道线的外沿0.20米处．在进行400米跑步时，第一分道（跑道）的起跑点和终点在同一位置，且规定第一分道（跑道）的起跑点在直道和弯道的交接处点A． （二）数据计算  下表中是综合实践活动小组用列表方式呈现的相关数据：（单位：米） （三）问题解决  请根据综合实践活动经历及体会，解答下列问题（π取，结果保留两位小数）． 道次 两条弯道总长 两条直道总长 第一分道（跑道） 第二分道（跑道） 第三分道（跑道） … …… …… (1)第一分道的弯道总长为________米，第八分道总长为________米； (2)如图1，该学校在操场举行400米比赛，如果第一分道的起跑点设在点A处，第六分道的起跑点设在点A左侧弯道前方点E处，那么第六分道的起跑点比第一分道的起跑点前移________米，________度． 【答案】(1)；452.91 (2)； 【分析】本题考查了整式的实际应用，规律探索，圆的弧长公式等知识点，合理分析提议获取相关信息是解题的关键． （1）根据题中所给的数据规律解答即可； （2）求出第六道的周长，即可得出第六分道的起跑点比第一分道的起跑点前移了多少米，再利用弧长公式运算角度即可． 【详解】（1）解：第一分道的弯道总长为：； 第八分道总长为：； 故答案为：；452.91 （2）解：第六分道总长为：， ∴第六分道的起跑点比第一分道的起跑点前移：； 射的度数为，此时第六道的半径为：， ∴，即， 解得：； 故答案为：；． 42．（22-23七年级上·上海·期中）已知矩形中，点E、F分别是、上的点，，，，且，连接、、， (1)如果和都是等腰直角三角形，求的面积； (2)延长到点M，使得，连接、，求出的面积；（结果都可用含a、b的代数式表示，并化简） (3)如果点P是线段的中点，连接、得到，求的面积并与（1）中的三角形面积相比哪个大，大多少？ 【答案】(1) (2) (3)，的面积比的面积大，大 【知识点】整式加减的应用 【分析】（1）根据即可求解； （2）根据即可求解； （3）根据计算出，再与作差即可． 【详解】（1）解：根据和都是等腰直角三角形，可知，， 由矩形的性质可知，． ； （2）解：如图， 由题意知，， 故 ； （3）解：如果点P是线段的中点，则， 故 ， ， 因此的面积比的面积大，大． 43．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）记，令，我们称为这列数的“理想数”．例如：，则，，则． （1）请直接写出 ． （2）如果，那么 ． （3）已知的“理想数”为2004，那么8，的“理想数”是多少？ 【答案】（1）；（2）80；（3）2008． 【知识点】整式加减的应用 【分析】（1）先根据“理想数”的定义列出式子，再计算整式的加法即可得； （2）先根据“理想数”的定义列出式子，再计算整式的加法，结合即可得； （3）先根据“理想数”的定义可得一个关于的等式，再根据“理想数”的定义列出式子进行计算即可得． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， ， ， ， ， 解得， 故答案为：80； （3）由题意得：， 则， 即， 所以， 设的“理想数”是， 则， ， ， ， ， ， 故的“理想数”是2008． 44．（24-25七年级上·上海普陀·期末）如图1，四个底面形状、大小都相同且材质相同、均匀的长方体积木对齐叠放，从上至下编号依次为①、②、③、④，积木②、③、④的高度相同，都是积木①高度的2倍．设长方形积木的初始边缘所在直线为． 【预备知识】 1．两个长方体积木组合叠在一起组成一个新的组合，当上方组合的重心在水平方向上超过下方组合的边缘时，就会倒下． 2．一个长方体积木组合的重心偏移的水平距离，等于组合中各个长方体积木重心偏移的水平距离分别乘其各自的质量，再把它们相加所得的和除以长方体积木组合的总质量所得的结果． 3．积木的质量比等于它们的高度比． 假设每块积木长为，在不倾倒的前提下按照要求推动积木． (1)如图2，推动积木①至最远， ①积木①的最远延伸长度为________； ②此时积木①②组合的重心偏移的距离为________．（结果用含的代数表示）（提示：请结合预备知识解决） (2)在（1）的基础上，保持积木①②组合的相对位置不变，先按图3中食指所指的方向推动积木①②组合至最远，再继续推动积木③，求积木①②③组合的最远延伸长度． 【答案】(1)①；② (2) 【知识点】图形类规律探索、整式加减的应用 【分析】本题考查了图形类规律探究，列代数式，理解预备知识的说明是解答本题的关键． （1）①根据预备知识1列式计算即可；②根据预备知识2列式计算即可； （2）由（1）中②的计算发现规律求解即可． 【详解】（1）解：①积木①的重心偏离积木②的重心的距离为； ②设积木①质量为m，则积木②的质量为， 则积木①②组合的重心偏移的距离为， 故答案为：①；②． （2）解：设积木①的质量为，根据题意可得积木②、③、④的质量为． 由（1）可得积木①②的组合的最远推动距离为 ． 根据预备知识2可得将积木①②的组合推至最远时， 积木①②③组合的重心偏移的水平距离 ． 根据预备知识可得积木组合的重心偏移的水平距离为时，积木会倒下． 所以积木③的最远推动距离为． 所以积木①②③组合的延伸长度为． $专题01整式的加减 题型1 整式的相关概念（常考点） 题型4 整式的加减中的化简求值（重点） 题型2 合并同类项（常考点） 题型5 规律探索（难点） 题型3 整式的加减运算（重点） 题型6 整式加减的应用（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 整式的相关概念（共7小题） 1．（24-25七年级上·上海普陀·期末）单项式的次数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（24-25七年级上·上海松江·期末）下列说法正确的是（   ） A．的次数是2 B．的系数是1 C．是二次三项式 D．的一次项是 3．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）下列叙述中，正确的是（    ） A．0是单项式 B．单项式的次数是5； C．单项式的系数为． D．多项式是六次二项式． 4．（22-23七年级上·上海·期末）代数式，，，，中是整式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25七年级上·上海·期末）下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6），其中整式的个数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 6．（23-24七年级上·上海青浦·期末）单项式的次数是 ． 7．（24-25七年级上·上海普陀·期末）将整式按降幂排列后，第二项的系数为 ． 题型二 合并同类项（共7小题） 8．（22-23七年级上·上海静安·期末）化简的结果为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级上·上海宝山·期末）如图，长为，宽为的大长方形被分割为6块，除阴影外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为1，那么阴影的周长是（   ） A． B． C． D． 10．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）计算： ． 11．（24-25七年级上·上海·期末）与的和是 ． 12．（23-24七年级上·上海松江·期末）化简： ． 13．（24-25七年级上·上海宝山·期末）计算： ． 14．（24-25七年级上·上海·期末）计算：． 题型三 整式的加减运算（共11小题） 15．（22-23七年级上·上海杨浦·期末）一个多项式减去的差是，则这个多项式是 . 16．（22-23七年级上·上海静安·期末）计算： ． 17．（25-26七年级上·上海·期中）计算： 18．（25-26七年级上·上海虹口·期中）计算：． 19．（25-26七年级上·上海普陀·期中）计算：． 20．（25-26七年级上·上海·期中）计算： 21．（22-23七年级上·上海·期末）已知一个多项式与的和是，求这个多项式． 22．（25-26七年级上·上海普陀·期中）已知整式，，求． 23．（23-24七年级上·上海·期末）若一个多项式减去的差是，求这个多项式． 24．（23-24七年级上·上海·期末）多项式减去一个多项式A的差是，求这个多项式A． 25．（25-26七年级上·上海·期中）小吴做一道题：已知两个整式，求的值．他误将看成，求得结果为，已知，求正确的答案． 题型四 整式的加减中的化简求值 （共8小题） 26．（24-25七年级上·上海静安·期末）已知，，当取任意数值时，的值一定是定值，请求出这个定值. 27．（24-25七年级上·上海·期中）求代数式的值：，其中，． 28．（25-26七年级上·上海金山·期中）已知整式，求代数式的值． 29．（25-26七年级上·上海崇明·期中）化简后求值：，其中． 30．（25-26七年级上·上海奉贤·期中）先化简，再求值：，其中，． 31．（24-25七年级上·上海闵行·期中）已知整式．整式，． (1)求整式； (2)若满足，求整式的值． 32．（24-25七年级上·上海·期中）已知，，， (1)求： (2)当，求（1）中结果的值． 33．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）化简与求值： (1)化简：； (2)先化简，再求值：，其中，． 题型五 规律探索（共4小题） 34．（24-25七年级上·上海静安·期末）如图，用长度相等的小木棒按一定规律摆放成图案，图案①中有6根小木棒，图案③中有16根小木棒，⋯，那么第n个图案中小木棒的根数为 ．（用含字母n的式子表示） 35．（24-25七年级上·上海青浦·期末）探索规律，并回答问题：观察下面各图形，我们会发现：图①空白部分小正方形的个数是；图②空白部分小正方形的个数是；图③空白部分小正方形的个数是；像这样继续排列下去，可以用含有字母的代数式表示为： ．（其中为正整数） 36．（25-26七年级上·上海·期中）观察下面三行数： 2，，8，，32，，…； 4，，10，，34，，…； ，3，，15，，63，…． (1)每一行的第8个数分别为________，________，________； (2)第一行中相邻三个数的和为1536，求这三个数； (3)取每行数的第n个数，这3个数中最大的数记为a，最小的数记为b，若，求n的值． 37．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）阅读与理解： (1)观察一组有规律的等式：①，②，③发现规律，第⑳个等式是 ； (2)利用第（1）小题发现的规律计算：； (3)已知一组有规律的数：，，，，…，它们的和为，试探究这组数共有几个？ 题型六 整式加减的应用（共7小题） 38．（22-23七年级上·上海·期中）如图，正方形和正方形的边长分别为a和6，点C，D，E在一条直线上，点B、C、G在一条直线上，将依次连接D、E、F、B所围成的阴影部分的面积记为． (1)试用含a的代数式表示； (2)当时，比较与面积的大小． 39．（24-25七年级上·上海·期中）某超市在国庆期间对顾客实行优惠政策，规定如下： 一次性购物 标价低于200元 标价低于500元但不低于200元 标价大于或等于500元 优惠方法 不予优惠 九折优惠 其中标价500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠 (1)若一名顾客在该超市一次性购物标价x元，当x低于500元但不低于200元时，他实际付款_______元；当x大于或等于500元时，他实际付款_________元．（用含x的式子表示） (2)若一名顾客一次购物标价合计1000元，他实际付款多少元？ 40．（25-26七年级上·上海松江·期中）某超市在国庆期间对顾客实行优惠政策，规定如下： 一次性购物 金额低于200元 金额低于500元但不低于200元 金额大于或等于500元 优惠方法 不予优惠 九折优惠 其中金额500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠 (1)若一名顾客在该超市一次性购物的总金额和为元，当低于500但不低于200时，他实际付款__________元；当大于或等于500时，他实际付款__________元．（用含的式子表示） (2)若一名顾客一次性购物的金额合计2000元，他实际付款多少元？ 41．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）综合实践 （一）问题情境  田径比赛中，在进行400米比赛时，运动员的起跑点并不处在同一条直线上，为什么这样呢？如果比赛的起点和终点同在一条直线上，显然，对内侧跑道上的运动员较为有利．原因是内侧跑道的一周长较短，因此，为了公平比赛，在外侧跑道的运动员的起跑点必须前移．如图1是某学校新建操场示意图，每条跑道由两条平行直道和两个半径相等的半圆形弯道组成，直道长度为米，第一分道（跑道）的弯道直径为米，每条跑道宽米，共有8条跑道．如图2，径赛规则规定，第一分道（跑道）周长的测量线是距离内突沿的外沿米处，其余各条分道的周长测量线是距离里侧分道线的外沿0.20米处．在进行400米跑步时，第一分道（跑道）的起跑点和终点在同一位置，且规定第一分道（跑道）的起跑点在直道和弯道的交接处点A． （二）数据计算  下表中是综合实践活动小组用列表方式呈现的相关数据：（单位：米） （三）问题解决  请根据综合实践活动经历及体会，解答下列问题（π取，结果保留两位小数）． 道次 两条弯道总长 两条直道总长 第一分道（跑道） 第二分道（跑道） 第三分道（跑道） … …… …… (1)第一分道的弯道总长为________米，第八分道总长为________米； (2)如图1，该学校在操场举行400米比赛，如果第一分道的起跑点设在点A处，第六分道的起跑点设在点A左侧弯道前方点E处，那么第六分道的起跑点比第一分道的起跑点前移________米，________度． 42．（22-23七年级上·上海·期中）已知矩形中，点E、F分别是、上的点，，，，且，连接、、， (1)如果和都是等腰直角三角形，求的面积； (2)延长到点M，使得，连接、，求出的面积；（结果都可用含a、b的代数式表示，并化简） (3)如果点P是线段的中点，连接、得到，求的面积并与（1）中的三角形面积相比哪个大，大多少？ 43．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）记，令，我们称为这列数的“理想数”．例如：，则，，则． （1）请直接写出 ． （2）如果，那么 ． （3）已知的“理想数”为2004，那么8，的“理想数”是多少？ 44．（24-25七年级上·上海普陀·期末）如图1，四个底面形状、大小都相同且材质相同、均匀的长方体积木对齐叠放，从上至下编号依次为①、②、③、④，积木②、③、④的高度相同，都是积木①高度的2倍．设长方形积木的初始边缘所在直线为． 【预备知识】 1．两个长方体积木组合叠在一起组成一个新的组合，当上方组合的重心在水平方向上超过下方组合的边缘时，就会倒下． 2．一个长方体积木组合的重心偏移的水平距离，等于组合中各个长方体积木重心偏移的水平距离分别乘其各自的质量，再把它们相加所得的和除以长方体积木组合的总质量所得的结果． 3．积木的质量比等于它们的高度比． 假设每块积木长为，在不倾倒的前提下按照要求推动积木． (1)如图2，推动积木①至最远， ①积木①的最远延伸长度为________； ②此时积木①②组合的重心偏移的距离为________．（结果用含的代数表示）（提示：请结合预备知识解决） (2)在（1）的基础上，保持积木①②组合的相对位置不变，先按图3中食指所指的方向推动积木①②组合至最远，再继续推动积木③，求积木①②③组合的最远延伸长度． $