云南省普洱市景东彝族自治县第一中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

云南省景东彝族自治县第一中学2025-2026学年上学期期中考试 高一数学试卷 考试时间：120分钟；满分100分 注意事项： 1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2. 请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合A={x|x2-3x+a＞0，x∈R}，且1∉A，则实数a的取值范围是（　　） A. （-∞，2] B. [2，+∞） C. （-∞，-2] D. [-2，+∞） 2．已知集合A={x|2x2-x-15≤0}，B={-3，-1，1，3，5}，则A∩B=（　　） A. {1，3} B. {-3，-1，1} C. {-1，1} D. {-1，1，3} 3．设命题p：关于x的不等式x2+2ax+3＞0对一切x∈R恒成立，命题q：对数函数y=log（4-3a）x在（0，+∞）上单调递减，那么p是q的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4．已知1≤a+b≤4，-1≤a-b≤2，则4a-2b的取值范围是（　　） A. {x|-4＜x＜10} B. {x|-3＜x＜6} C. {x|-2＜x＜14} D. {x|-2≤x≤10} 5．已知f（x）是R上的奇函数，且满足f（2-x）=f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=2x2，则f（2021）等于（　　） A. -2 B. 2 C. -98 D. 98 6．已知函数是奇函数，则（　　） A. 2a+b=1 B. 2a-b=-1 C. a+b=1 D. a-b=-1 7．设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1+x）=f（1-x），当-1⩽x＜0时，f（x）=log2（-6x+2），则的值为（　　） A. -1 B. -2 C. 2 D. 1 8．已知函数f（x）=ax2-bx+c（a＜b＜c）有两个零点-1和m,若存在实数x0，使得f（x0）＞0，则实数m的值可能是（　　） A. x0-2 B. C. D. x0+3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列选项正确的有（　　） A. 当x∈（0，2）时，函数y=x2-2x+2的最小值为1 B. x∈（-∞，1），函数的最大值为 C. 函数的最小值为2 D. 当a＞0，b＞0时，若a+b=2ab,则a+2b的最小值为 10．已知函数，则下列说法正确的是（　　） A. B. 关于x的方程2nf（x）=1（n∈N*）有2n+3个不同的解 C. f（x）在[2n,2n+1]（n∈N*）上单调递减 D. 当x∈[1，+∞）时，xf（x）≤2恒成立． 11．下列命题为假命题的是（　　） A. 若a＞b,则 B. 若a＞b＞0且c＞0，则 C. 不等式kx2+kx-1＜0对一切实数x恒成立，则-4＜k＜0 D. “x＜5”是“”的一个必要不充分条件 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数的定义域为[1，3]，若f（a2-2a）＞f（2）恒成立，则a的取值范围为 _____． 13．已知函数f（x）=ex-e-x+2sinx+1，若实数x,y满足f（x2-4）+f（3y2）=2，则的最大值为 _____． 14．设a＞0，（e为自然对数的底数），，若x=a不是函数f（x）的极值点，则的最大值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15（13分）．设a为实数，函数f（x）=x2-2ax+a. （1）若函数f（x）在区间（-1，1）上单调递减，求a的取值范围； （2）若f（x）=0在区间（-1，1）上有两个不相等的实数解，求a的取值范围． 16（15分）．已知函数f（x）=（3m2-8m-2）xm（m∈R）为幂函数，且f（x）在（0，+∞）上单调递增． （1）求f（x）的解析式； （2）若f（a+4）+f（-a2+a-1）＜0，求实数a的取值范围． 17（15分）．设命题p：函数定义域为R；命题q：∃x＞0，使得不等式成立． （1）如果p是真命题，求实数a的取值范围； （2）如果p,q中只有一个真命题，求实数a的取值范围． 18（17分）．已知为偶函数，． （1）求实数k的值； （2）若x∈[-2，0]时，函数f（x）的图象恒在g（x）图象的上方，求实数a的取值范围； （3）已知函数y=-4f（x）+kx+g（2x+2）在x∈[-1，2]上的最大值与最小值之和为2025，求实数a的值． 19（17分）．数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维互相转化来解决问题．函数的单调性刻画函数的自变量与函数的增减关系．当一个函数为增函数时，还可研究其增加的快慢．例如：，当x＞0时是增函数，且随着x的增大y的变化越来越慢，我们称这个函数在x＞0时为“上凸函数”．此性质还可以表达为：成立，则称此函数在（a,b）内为“上凸函数”．已知函数f（x）=． （1）请说明f（x）的单调性（无需证明过程）； （2）证明此函数在（0，1）内是“上凸函数”； （3）已知a,b＞0，且2a+b=1，求的最大值． 试卷答案 1．A 2．D 3．B 4．D 5．B 6．B 7．B 8．C 9．AD 10．ACD 11．AC 12．【答案】[-1，1-）∪（+1，3] 【解析】根据y=x3在[1，3]上单调递增，y=sin在[1，3]上单调递减，得f（x）在[1，3]上的单调性，转化不等式f（a2-2a）＞f（2），求解即可． 解：因为函数y=x3在[1，3]上单调递增，函数y=sin在[1，3]上单调递减， 所以f（x）=x3-sin在[1，3]上单调递增． 由f（a2-2a）＞f（2），得2＜a2-2a≤3，解得-1≤a＜1-或+1＜a≤3， 所以a的取值范围是[-1，1-）∪（+1，3]． 故答案为：[-1，1-）∪（+1，3]． 13．【答案】 【解析】先求f（x） 的单调性，再利用f（x）+f（-x）=2可得x2-4+3y2=0，再利用消元法化简，利用一元二次函数求最值． 解：函数f（x）=ex-e-x+2sinx+1， 则f'（x）=ex+e-x+2cosx≥2+2cosx≥0，当且仅当ex=e-x，即x=0，且cosx=-1时，等号成立， 显然等号不能同时取到，则f'（x）＞0， 故f（x）在R上单调递增， 因为f（x）+f（-x）=ex-e-x+2sinx+1+e-x-ex-2sinx+1=2，且f（x2-4）+f（3y2）=2， 所以x2-4+3y2=0， 则， 欲求其最大值，故x＞0， 则，当且仅当，y=时，等号成立， 所以x的最大值为． 故答案为：． 14．【答案】 【解析】求导函数，根据题意得f′（x）=0的根为x1=x2=a,从而表示出，再令新函数，求导函数，判断单调性与最大值． 解：由题知，-bx2+（ab-1）x+2a=（x-a）（2lnx-bx）， 因x=a不是函数f（x）的极值点，所以f′（x）=（x-a）（2lnx-bx）=0的根为x1=x2=a, 所以2lna-ba=0，即， 则，令， ， 当时，h′（x）＞0，h（x）单调递增， 当时，h′（x）＜0，h（x）在上单调递减， 所以，即的最大值为． 故答案为：． 15．【解析】（1）由二次函数的性质，可得单调递减区间为（-∞，a），结合题干条件分析即得解； （2）利用二次函数根的分布列出不等式组，解出即可． 解：（1）由题意可得f（x）=x2-2ax+a在（-∞，a）上单调递减， 要使函数f（x）在区间（-1，1）上单调递减，则a≥1． （2）若f（x）=0在区间（-1，1）上有两个不相等的实数解， 则，解得：． 16．【解析】（1）根据幂函数的定义和单调性，可得不等式组，解之可得m=3，即得函数解析式； （2）利用函数f（x）=x3的奇偶性和单调性将抽象不等式化成一元二次不等式，解之即得． 解：（1）因函数f（x）=（3m2-8m-2）xm为幂函数，且f（x）在（0，+∞）上单调递增， 则，解得m=3，故f（x）=x3； （2）因为函数f（x）=x3为奇函数且在R上单调递增， 所以f（a+4）+f（-a2+a-1）＜0可化为f（a+4）＜-f（-a2+a-1）=f（a2-a+1）， 所以a+4＜a2-a+1， 解得a＜-1或a＞3， 故实数a的取值范围为（-∞，-1）∪（3，+∞）． 17．【解析】（1）设，得到g（x）＞0在x∈R上恒成立，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解； （2）由（1）知a＞2，再由命题q是真命题，得到a＞4，根据p,q中只有一个真命题，分类讨论，即可求解． 解：（1）由命题p：函数定义域为R， 设，则g（x）＞0在x∈R上恒成立， 当a≠0时，则满足，解得a＞2， 当a=0时，g（x）=x,不能恒成立，不符合题意（舍去）； 综上可得，实数a的取值范围为（2，+∞）． （2）由（1）知，命题p为真命题，则a＞2， 又由命题q：∃x＞0，使得不等式成立， 当x＞0时，可得，当且仅当时，即x=2时，等号成立，所以a＞4， 因为p,q中只有一个真命题， 当p为假命题，q为真命题时，可得，此时无解， 当p为真命题，q为假命题时，可得，解得2＜a≤4； 综上可得，实数a的取值范围为（2，4]． 18．【解析】（1）根据给定条件，利用偶函数的定义，列式求出k值． （2）问题转化为∀x∈[-2，0]，f（x）＞g（x）恒成立，分离参数求出最值即可得解． （3）求出函数解析式，结合指数函数、二次函数求出给定区间上的最值，再列式求解． 解：（1）依题意，恒成立， 而x不恒为0， 所以． （2）依题意，∀x∈[-2，0]，f（x）＞g（x）恒成立， 即， 则对x∈[-2，0]恒成立， 函数，x∈[-2，0]， 又函数在R上单调递减，y=log4u在（0，+∞）上单调递增， 则函数h（x）在[-2，0]上单调递减， ，于是，解得a＜1， 所以实数a的取值范围是（-∞，1）． （3）依题意，， 由x∈[-1，2]，得，则当2x=1时，，当2x=4时，， 于是，解得a=2034， 所以实数a的值为2034． 19．【解析】（1）根据对勾函数单调性求解． （2）根据题目定义代入证明． （3）根据（2）提示求解即可． 解：（1）函数f（x）在区间上单调递增，在区间，上单调递减． （2）∀x1，x2∈（0，1），∴， ====， ∵∀x1，x2∈（0，1）， ∴x1+x2＞0，，6-x1x2＞0． 所以． 故． ∴函数f（x）在区间（0，1）内是“上凸函数”． （3）由（2）得：∀x,x2∈（0，1），有， ∵a,b＞0，且2a+b=1． ∴2a,b∈（0，1），且， ∴． 当且仅当，取得最大值． ∴最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $