安徽省六安市第九中学2025-2026学年九年级上学期定时作业数学试卷（三）

2025-2026学年安徽省六安九中九年级（上）定时作业数学试卷（三） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，则代数式的值为(    ) A. 1 B. C. D. 2.已知抛物线，下列说法正确的是(    ) A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 3.已知∽，若相似比，则(    ) A. B. 2 C. D. 4 4.已知三点，，都在反比例函数的图象上，若，则下列式子正确的是(    ) A. B. C. D. 5.如图，中，于点D，若，，，则的值为(    ) A. B. C. D. 6.如图，A、B、C、D、E、F、G均在方格纸的格点上，将点C与D、E、F、G中一点连结，交线段AB于点P，若使点P能够把线段AB分成1：2两部分，则这个点可以是(    ) A. D B. E C. F D. G 7.若抛物线与x轴只有一个交点，则m的值为(    ) A. 3 B. C. D. 8.如图，直线轴于点P，且与反比例函数及的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知的值为8，则的面积为(    ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 9.在同一坐标中，一次函数与二次函数的图象可能是(    ) A. B. C. D. 10.如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F是AD边上的一个动点，连接EF，将沿EF折叠得到，延长FH交BC于点M，连接下列结论错误的是(    ) A. 是直角三角形 B. ≌ C. 当点M与点C重合时， D. MF平分正方形ABCD的面积 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11.二次函数的顶点坐标是      . 12.已知线段b是线段a、c的比例中项，且，，那么      . 13.斜坡坡度：，将物体由斜面向上推进了20米，那么物体升高了      米. 14.如图，点D，E，F分别在的边AB，AC，BC上，，， ______； 若点M是DF的中点，连接CM并延长交AB于点N，则______填数字 三、解答题：本题共6小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题8分 计算： ； 16.本小题8分 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，， 以原点O为位似中心，在第一象限内画出的位似图形，使与的相似比为2：1； 写出点的坐标. 17.本小题8分 如图所示，九年级某班开展测量旗杆高度的活动，已知标杆的高度，人的眼睛与地面的高度，当A，C，E三点共线时，标杆与旗杆的水平距离，人与标杆CD的水平距离，求旗杆AB的高度. 18.本小题10分 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， 求一次函数与反比例函数的表达式； 根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； 连接OA、OB，求的面积. 19.本小题12分 【问题感知】如图，点D是的边BC上的一点，连接AD，点E是AD的中点，连接BE并延长交AC于点若，则不用证明 【问题解决】 填空：①若，则______填数字； ②若，则______填数字； … 论证：证明①的结论； 【猜想】根据上述规律，猜想，则______用含n的式子表示，不用证明 20.本小题14分 如图，在中，，，若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为 求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； 求出的面积S与x之间的函数关系式； 当x为何值时，的面积S有最大值，最大值为多少？ 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：， ， 故选： 根据比例的性质解答即可． 本题考查了比例的性质，掌握内项之积等于外项之积是解答本题的关键． 2.【答案】C  【解析】解：A，，开口向下，原说法错误，不符合题意； B，对称轴是直线，原说法错误，不符合题意； C，顶点坐标为，原说法正确，符合题意； D，当时，y随x的增大而增大，原说法错误，不符合题意； 故选： 由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴及顶点坐标、增减性，进而求解． 本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是关键． 3.【答案】C  【解析】解：∽，， 故选： 利用相似三角形的性质代入即可． 本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键． 4.【答案】D  【解析】解：点在反比例函数的图象上， ，解得， 反比例函数解析式为， 点，都在反比例函数的图象上，， ， 故选： 先求出反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质求解即可． 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 5.【答案】B  【解析】解：， ， 在中，，， ， ， ， 在中，， 故选： 根据垂直定义可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出BD的长，从而求出CD的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答． 本题考查了解直角三角形，含30度角的直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 6.【答案】C  【解析】解：设方格纸的边长为1，，， ， 如图，连接BC，AF，连接CF交AB与P， ，， ∽， ， 可得到AP：：2，满足条件； 同理，将点C与D连接，BC与AD不平行，也不能得到AP：：2，不满足条件； 同理，将点C与E连接，BC与AE不平行，也不能得到AP：：2，不满足条件； 同理，将点C与G连接，，得到AP：：1，不满足条件， 故选： 通过连接不同的点与C，构造出与线段AB相关的相似三角形，利用相似三角形对应边成比例来判断哪个点与C的连线能使P点把线段AB分成1：2两部分． 本题考查相似三角形，解题的关键是利用方格纸构造相似三角形，根据相似三角形的性质确定线段的比例关系． 7.【答案】D  【解析】解：抛物线与x轴只有一个交点， 方程中， 解得， 故选： 由方程中判别式求解． 本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握抛物线与x轴的交点个数与判别式的关系． 8.【答案】C  【解析】解：根据反比例函数k的几何意义可知：的面积为，的面积为， 的面积为， ， 的面积为 9.【答案】B  【解析】解：由一次函数可知，直线与y轴的交点为，故选项A、D不符合题意； 当时，二次函数的顶点在y轴正半轴，，一次函数经过一、二、四象限，选项C不符合题意； 当时，二次函数顶点在y轴负半轴，，一次函数经过一、二、三象限，选项B符合题意． 故选： 根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与y轴的交点为，二次函数的开口向上，然后根据k的大小判断图象即可． 本题考查了一次函数和二次函数的图象及其性质，熟练掌握各个系数与一次函数和二次函数的关系是解题的关键； 10.【答案】D  【解析】解：四边形ABCD为正方形， ，， 将沿EF折叠得到， ≌， ，， 为AB的中点， ， 在和中， ， ， 故选项B正确； ≌， ， ， ， ， 即， 是直角三角形． 故选项A正确； 如图，当点M与点C重合时，设，则， ， ， ， ∽， ， ， ， ，故选项C正确； 如图，当点F与点D重合时，显然直线MF不平分正方形的面积，故选项D错误． 故选： 由折叠的性质可得，，，由“HL”可证，可得，由平角的性质可求，故选项A，B正确；如图1，设，则，通过证明∽，可求，可得，故选项C正确；当点F与点D重合时，直线MF不平分正方形的面积，故选项D错误，即可求解． 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质等知识． 11.【答案】  【解析】解：配方得：， 该函数图象的顶点坐标为， 故答案为： 先将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的顶点坐标． 本题考查二次函数的性质，熟练掌握该知识点是关键． 12.【答案】4  【解析】解：线段b是线段a、c的比例中项，且，， ， ， 解得， 又线段的长度是正数， 故答案为：4 根据比例中项的概念，可得，可得，即可得到b的值，注意线段的长为正数． 本题考查了比例中项的概念，注意：求两个数的比例中项的时候，应开平方；求两条线段的比例中项的时候，负数应舍去．根据比例中项的概念列出比例式是解答本题的关键． 13.【答案】16  【解析】解： 由坡度可知：， ， ， 米， 米． 故答案为： 运用坡度的定义，即垂直高度与水平距离的比值，所以，再结合三角函数关系求出即可． 本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题关键在于对坡度的理解． 14.【答案】；   7  【解析】解：， ， ， ， ； 故答案为：； 如图，过点F作交AB于点G， 点M是DF的中点，， 是DG的中点， 是的中位线， ， 设， ， ， ∽， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 由得出，则可得出答案； 过点F作交AB于点G，证明∽，得出，由得，即可证出 本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，关键是根据相似三角形的判定得出∽解答． 15.【答案】0；     【解析】 ； 把特殊角的三角函数值代入计算即可； 把特殊角的三角函数值代入计算，得到答案． 本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 16.【答案】解：的位似图形，如图即为所求； 由图可知，点的坐标为  【解析】由题意可知，A，B，C分别为，，的中点，据此可确定，，的坐标，即可完成作图； 根据图形即可求解． 本题考查作图-位似变换，抓住位似比是解题关键． 17.【答案】解：过点E作于点H，交CD于点G， 由题意可得：， ， ，，， ， ∽， ， ， ， ， 即旗杆AB的高度为  【解析】过点E作于点H，交CD于点G，证明∽，得到，即，求出AH即可得到答案． 本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 18.【答案】解：把代入一次函数的图象与反比例函数中得： ， 解得， 一次函数解析式为，反比例函数解析式为； ，， ，， 关于x的不等式的解集为：或； 当时，， 直线与y轴的交点坐标为， 的面积为  【解析】把代入反比例和一次函数解析式求出m和n的值，进而确定一次函数和反比例函数的解析式； 确定B点坐标，然后根据图象写出关于x的不等式的解集即可； 求出直线与y轴的交点坐标，计算的面积即可． 本题考查了待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求点的坐标，注意数形结合思想的应用． 19.【答案】  选取①如图1，过点D作交BF于点M， ，， 点E是AD的中点， ， 在和中， ≌， ， ， ，， ∽， ， ， ， ， ， ；选取②如图2，过点D作交BF于点M， 由①得：≌， ， 由①得：∽， ， ， ， ， ， ；【猜想】  【解析】解：①点D是的边BC上的一点，点E是AD的中点，， 同理可知：， 故答案为：； ②点D是的边BC上的一点，点E是AD的中点，， 同理可得：， 故答案为：； 证明：选取①如图1，过点D作交BF于点M， ，， 点E是AD的中点， ， 在和中， ≌， ， ， ，， ∽， ， ， ， ， ， ； 选取②如图2，过点D作交BF于点M， 由①得：≌， ， 由①得：∽， ， ， ， ， ， ； 【猜想】解：， ， 由得：，， ， 故答案为： 根据[问题感知]即可得出①和②的结论； 选取①给予证明．如图，过点D作交BF于点M，证明≌，得，证明∽，得，由得，继而推出，可得结论； 选取②可按同样的方法证明； 【猜想】结合的证明及结论即可得出答案． 本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，中点的定义，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题． 20.【答案】解：， ∽ 又，，，， 自变量x的取值范围为 当时，S有最大值，且最大值为  【解析】由平行线得∽，根据相似形的性质得关系式； ； 运用函数性质求解． 此题为代数和几何的综合题，考查学生综合运用知识的能力． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $