专题05 平面向量及其应用（复习讲义）（天津专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

该高中数学讲义聚焦平面向量高考核心考点，涵盖线性运算、坐标运算、数量积等基础内容，按考情精解、知能框架、题型攻坚逻辑架构知识，通过考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生构建向量工具应用体系，突破三点共线、最值等难点，体现复习系统性与针对性。 讲义特色在于紧密对接天津高考命题轨迹，突出向量工具功能，创新融入极化恒等式证明、坐标系建立模型等教学策略，如通过三角形模式极化恒等式解决数量积问题，培养学生数学思维与几何直观，设置分层真题演练，助力教师把控复习节奏，提升学生应考能力。

专题05 平面向量及其应用 目录 01 析·考情精解 2 02 构·知能框架 3 03 破·题型攻坚 4 考点一 平面向量常用结论 4 真题动向 必备知识 知识1向量数量积的性质 知识2极化恒等式 命题预测 题型1平面向量中三点共线简单应用及结论 题型2利用向量解决平面几何最值问题 考点二 平面向量极速建系 9 真题动向 必备知识 知识1常见的坐标系建立 知识2向量数量积的坐标表示 知识3两个向量的数量积 命题预测 题型1利用向量解决平面几何定值问题（常规与坐标） 题型2平面向量定义或坐标解决模、夹角、投影、数量积问题 命题轨迹透视 有关平面向量的天津高考试题，平面向量问题以基础性为主，突出向量的线性运算和坐标运算,特别是线性运算、夹角计算、数量积考查较多,模的计算、向量的垂直与平行也经常出现,向量的综合问题间隔考查.平面向量重点突出其工具功能.向量备考应重视基础知识,要求考生熟练掌握基本技能。 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 平面向量常用结论 T14，5分 T14，5分 平面向量极速建系 T14，5分 2026命题预测 预计在2026年高考中，平面向量主要以选择题形式出现，也有可能会将其渗透在填空题的表达之中．具体评估为： 以选择题或填空题形式出现，考查学生基础知识，熟练掌握向量基本技能． 考点一 平面向量常用结论 1．（2025·天津·高考真题，14，5分）中，D为AB边中点，，则 （用，表示），若，，则 2．（2024·天津·高考真题，14，5分）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为 ． 3．（2023·天津·高考真题，14，5分）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ． 4．（2022·天津·高考真题，14，5分）在中，点D为AC的中点，点E满足.记，用表示 ，若，则的最大值为 5．（2021·天津·高考真题，14，5分）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为 ；的最小值为 ． 6．（2020·天津·高考真题，14，5分）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为 ，若是线段上的动点，且，则的最小值为 ． 7．（2019·天津·高考真题，14，5分） 在四边形中，， ， ， ，点在线段的延长线上，且，则 . 知识1向量数量积的性质 设与为两个非零向量，是与同向的单位向量． ① ② ③当与同向时，；当与反向时，．特别的或 ④ ⑤ 知识2极化恒等式 向量方法证明:平行四边形的对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍. 证明：不妨说则， （1） （2） （1）（2）两式相加得： 结论：定理：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍. 将上面（1）（2）两式相减， 极化恒等式 即：（平行四边形模式）A B C M 在三角形中（为的中点），恒等式： 因为，所以（三角形模式） 极化恒等式的作用主要在于，它可以将两个向量的数量积转化为这两个向量的“和向量”与“差向量”，因此，当两个向量的“和向量”或“差向量”为定向量时，常常可以考虑利用极化恒等式进行转化. 常见的解决的题型:有中点或能构造中点的积的向量题。 【易错提醒】　 （1）向量表达式中的零向量写成，而不能写成0． （2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系． （3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件． （4）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：，，. 题型1平面向量中三点共线简单应用及结论 1．（2025·天津河北·模拟预测）如图，在中，D是边AB上一点，且，点E是CD的中点．设，，则可以表示为（    ）    A． B． C． D． 2．（2025·天津·二模）在边长为1的菱形ABCD中，，记，，点M是线段BD上一点，点N是线段DC上一点，且A，M，N三点共线．若，则用，表示 ；若，则的值为 ． 3．（2025·天津·二模）在中，点D在边BC上，且，E为线段AD的中点.已知，，则 （用，表示）；若，，且，则 . 4．（2025·天津·二模）已知抛物线的焦点为F，准线l交x轴于点D，过D的直线与抛物线交于A，B两点，且B在线段AD上，点P为A在l上的射影.若P，B，F共线，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 5．（2025·天津河北·二模）如图，在中，点D，E在边BC上，且，点F，M分别在线段AB，AD上，且，直线FM交AE于点G，且，则 ．若直线MC交AE于点N且是边长为1的等边三角形，则 ． 6．（2025·天津和平·二模）在中，E为AC中点，G为线段BE上一点，且满足（），则 ，若，则当最大时，的值为 . 7．（2025·天津南开·一模）在中，，若点为的中点，点满足，点为与的交点，用和表示 ；则的余弦值为 ． 题型2利用向量解决平面几何最值问题 8．（2025·天津和平·一模）已知平面四边形满足，且，为的中点，则 ，若、分别为线段、上的动点，且满足，则的最小值为 . 9．（2025·天津·一模）平面四边形中，，，，点为线段的中点． （I）若，则 ； （II）的取值范围是 ． 10．（2025·天津河北·二模）如图，已知矩形的边，，点，分别在边，上.若，，则用和表示 ；若，则的最小值为 . 11．（2025·天津·二模）在中，已知，且，则 ；若为线段的中点，点满足，且为线段上的动点，则的最小值为 . 12．（2025·天津和平·三模）若正方形的边长为1，中心为，过作直线与边，分别交于，两点，点满足．（ⅰ）当时， ；（ⅱ）的最小值为 ． 13．（2025·天津河东·二模）《哪吒2》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代，内饰充满了中国文化符号．某中学数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动．如图，正八边形ABCDEFGH，边长为2，，点P在线段CH上，且，则的值为 ；若点Q为线段CD上的动点，则的最小值为 ． 14．（2025·天津·一模）如图，在平行四边形中，，点E为中点，，点F为边上的点．若点F满足，且，则 ；若点F为线段上的动点，则的取值范围为 ．    15．（2025·天津南开·二模）在梯形中，，，，记，，用和表示 ；若点为上一动点，则的最大值为 ． 考点二 平面向量极速建系 1．（2025·天津·高考真题，18，14分）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分. 2．（2008·天津·高考真题，11，5分）已知平面向量，．若，则 ． 3．（2017·天津·高考真题，14，5分）在中，，，. 若，，且，则的值为 . 4．（2016·天津·高考真题，7，5分）是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2015·天津·高考真题，14，5分）在等腰梯形ABCD中,已知,点E和点F分别在线段BC和CD上,且 则的值为 ． 6．（2014·天津·高考真题，14，5分）已知菱形的边长为2，，点分别在边上，,.若，则等于(　　) A． B． C． D． 知识1常见的坐标系建立 ①边长为的等边三角形 ②知道夹角的任意三角形 ③正方形 ④矩形 ⑤平行四边形 ⑥ 直角梯形 ⑥ 等腰梯形 ⑦圆 建系原则：尽可能让多个点位于坐标轴上. 解题步骤：第一步： 将已知条件进行坐标处理；第二步： 利用平面向量共线坐标表示列式求解；第三步： 得出结论. 知识2向量数量积的坐标表示 ①已知两个非零向量，， ②设，则或 ③如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么（平面内两点间的距离公式）． 知识3向量在几何中的应用 ①线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件 ②垂直问题，常用垂直的充要条件 ③求夹角问题，利用 ④求线段的长度，可以利用或 【易错提醒】 （1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且． （2）当时，由不能推出一定是零向量，这是因为任一与垂直的非零向量都有． 当时，且时，也不能推出一定有，当是与垂直的非零向量，是另一与垂直的非零向量时，有，但． （3）数量积不满足结合律，即，这是因为是一个与共线的向量，而是一个与共线的向量，而与不一定共线，所以不一定等于，即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项． （4）非零向量夹角为锐角（或钝角）．当且仅当且（或，且. 题型1利用向量解决平面几何定值问题（常规与坐标） 1．在平面四边形中，，若的面积是的面积的2倍，则的长度为 . 2．如图，已知，是圆O的两条直径，E是的中点，F是的中点，若，则 . 3．已知中，点分别是的重心和外心，且，则边的长为 . 4．（2025·天津河东·二模）如图所示，正方形的边长为，正方形边长为1，则的值为 .若在线段上有一个动点，则的最小值为 . 5．（2024·天津·二模）已知中，，，记，则 ；若，当最大时， . 6．已知向量，，，为直线上的一个动点，当取最小值时，向量的坐标为 . 7．如图，在正方形中，，，若，则 ． 8．在直角梯形中，，，，E是的中点，若，则 . 9．已知内角的对边分别为，为的中点，为的中点，延长交于点，若，，则的面积为 ． 题型2平面向量定义或坐标解决模、夹角、投影、数量积问题 10．（2025·天津红桥·模拟预测）已知向量，，若，则y的值为（    ） A． B． C．2 D． 11．（2025·天津红桥·模拟预测）若向量，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 12．（2025·天津河北·模拟预测）已知向量，，． (1)求的坐标，的值； (2)若，求实数k的值； (3)若，求实数k的值． 13．（2025·天津河西·模拟预测）已知是边长2为正三角形，是的中心，过点的动直线交于点，交于点，设，，，，则 ；的最小值为 ． 14．（2025·天津·二模）在中，. （1）若，则向量在向量上的投影向量的模为 ； （2）边和的中点分别为，点为和的交点，为线段上靠近的三等分点，则的最小值为 . 15．（2025·天津河西·一模）如图所示，四边形内接于圆，，，则 ；设，且，则四边形的面积为 ． 16．（2025·天津河西·一模）如图，在体积为的正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，记四棱锥的体积为，则（   ） A． B． C． D． 17．（2025·天津·一模）在边长为的菱形中，，且，，则 ；若为线段上的动点，则的最小值为 ． 18．（2025·天津武清·一模）已知正方形的边长为，，若， 其中，为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则 的最小值为 . 19．（2024·天津北辰·模拟预测）在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点，满足，则点集所表示的区域的面积是（    ） A． B． C． D． 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司/ 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题05平面向量及其应用 目录 01析·考情精输解 02构·知能框架 3 03破。题型攻坚 考点一平面向量常用结论 真题动向 知识1向量数量积的性质 必备知识 知识2极化恒等式 题型1平面向量中三，点共线简单应用及结论 题型2利用向量解 命题预测 决平面几何最值问题 考点二 平面向量极速建系 26 真题动向 知识1常见的坐标系建立 必备知识 知识2向量数量积的坐标表示 知识3两个向量的数量积 题型1利用向量解决平面几何定值问题（常规与坐标) 命题预测 题型2平面向量定义或坐标解决模、夹角、投影、数量积问题 NO.1 析·考情精解 命题 有关平面向量的天津高考试题，平面向量问题以基础性为主，突出向量的线性运 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 轨迹 算和坐标运算，特别是线性运算、夹角计算、数量积考查较多，模的计算、向量的垂直 透视 与平行也经常出现，向量的综合问题间隔考查.平面向量重点突出其工具功能向量备 考应重视基础知识，要求考生熟练掌握基本技能。 考点 2025年 2024年 2023年 考点 T14,5分 平面向量常用结论 T14,5分 频次 总结 平面向量极速建系 T14,5分 2026 预计在2026年高考中，平面向量主要以选择题形式出现，也有可能会将其渗透 命题 在填空题的表达之中.具体评估为： 预测 以选择题或填空题形式出现，考查学生基础知识，熟练掌握向量基本技能， 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 N0.2 构·知能框架 分点恒等式 选择题 平面向量共线定理 简单极化恒等式 选择题 平面向量的基本运算公式 工具 三点共线的常用结论 选择题 平面向量的运算 求两向量的数量积 选择题 向量的模和夹角的计算问题 选择题 平面向量 平面向量的坐标表示 工具1 平面向量数乘运算的坐标表示 工具2 平面向量坐标大法 数量积的坐标运算 工具3 建系极速秒杀 重要工具4 平面向量坐标解决模、夹角、投影、数量积问题 选择题 简单极化恒等式（玩好中点） 选填题 利用向量解决平面几何最值问题 极速建系通过坐标处理 选填题 / 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 N0.3 破·题型攻坚 考点一平面向量常用结论 动 向 1. (2025·天津·高考真题，14,5分)ABC中，D为AB边中点，C正=CD,B=ā，4AC=6,则E= (用ā，五表示)，若AE=5,AE⊥CB,则AE.CD= 【答案】 a+2五 -15 3 【详解】如图， D 因为正=兮D,所以4正-4C=而-4C,所以征-0+号C】 2 因为D为线段AB的中点，所以正=B+AC=a+五， 6 又国为西-54征1c8,所以正-信0+号6+号06+号0=25， 9 正.丽=a+6a-列-+6-号6=0，所以+30-i=6 所以a2+4a.b=180, 所以正.而=-店+号-6方+后5-6-+2a6-5到 3 =(a+2a-6-2a-6a-列=-a-466j=-15 故答案为：a+ 2,15 3 2.(2024·天津·高考真题，14,5分)己知正方形ABCD的边长为1，DE=2EC,若BE=1BA+μBC, 其中μ为实数，则1+“=一；设F是线段BE上的动点，G为线段AF的中点，则AF.DG的最小值 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 为 【答案】 4 、5 3 18 【详解】解法：因为CE=DE,即C正-号8，则8E=8C+CE81+BC. 可得及=1，所以及+-有 由题意可知：BC=BA=1,BABC=0, 因为F为线段BE上的动点，设BF=kBE=,kBA+kBC,k∈[0,1， 则f=丽+F=而+E-（传-A+Bc, 又因为G为4r中点，侧D6=D1+G=-c+号F-}-81+}-c. 可特正.c-[得-a+ac非-jai传-c 20g-可+g-小引0 又因为ke0,l小，可知：当k=1时，正-DG取到最小值-8： 解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， B 则4-1o,a00,c0,D-,E(月 可得丽=(10.c=0,死-（ 因为BE=BA+uBC=(-元，4)，则 u=1 因为点F在线段5-[兮可上1aa[河 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 且G为AF中点， 则c 可将亦=a+h-3c-生0-小片 则r-小高 且ae[0小，所以当a=时，DG取到设小值为： 3 故答案为： 3. 2023·天津·高考真题，14,5分)在A8C中，BC=hA=60,而=孤，死=号CD,记 丽-，4C-万，用a,5表示花：一：者所号8C,则正的最大值为 【答案】 4+ 13 24 AE+ED=AD 【详解】空1：因为E为CD的中点，则ED+EC=0,可得 AE+EC=AC 两式相加，可得到2AE=AD+AC, 即2正=a+b,则亚=a+i: 4 2 空2：因为8F=】BC,则2FB+FC=0,可得 AF+FC=AC AF+FB=AB 得到AF+FC+2AF+FB)=AC+2AB, 即3F=2+6,即-名a+6 33 于是正.证-日+川号a+a+s+5列 记AB=x,AC=y, 则EF=a+5a+6）2+5ws60+22+受+2y月 在ABC中，根据余弦定理：BC2=x2+y2-2 xy cos60°=x2+y2-y=1, 于是正Fw受+罗+小 由x2+y2-xy=1和基本不等式，x2+y2-xy=1≥2xy-xy=xy, 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故y≤1，当且仅当x=y=1取得等号， 则x=少=1时，正乐有最大值号 战特为：0+：品 2 D 4.(2022·天津·高考真题，14,5分)在ABC中，点D为AC的中点，点E满足CB=2BE.记 CA=a,CB=b,用a,b表示DE= ,若AB⊥DE,则∠ACB的最大值为 【答案】 2 6 【详解】方法一： D DE-CE-CD=36-1a a, 22 B AB=CB-CA=b-a,AB⊥DE→(3b-a)(b-a=0, 36+a=4a.6→cos∠ACB= a-6.362+a、255_5 丽4丽 当且仅当a=5时取等号，而 45 0<LACB<π，所以∠ACB∈(O,] 61 救答案为：3五-a: 22 6 方法二：如图所示，建立坐标系： 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D E(0,0),B1,0),C(3,0),A(x,y), M E B C D正=(+3，-台，AB=1-x,-), 2,-2 正上西→产生-小+号=0=+旷+少：4，所以点4的航迹是以M0为心：以，-2为半轻的 2 图，当且仅当C450M相切时，4C最大，此时snC片2C区 6 故答案为： 5. (2021·天津·高考真题，14,5分)在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点， DE⊥AB且交AB于点E.DFI∥AB且交AC于点F,则I2BE+DFI的值为 ;(DE+DF)DA的最小 值为 【答案】 11 20 【详解】设BE=x, xe0,2 :△ABC为边长为1的等边三角形，DE⊥AB, ∠BDE=30°，BD=2x,DE=V3x,DC=1-2x, :DFI∥AB,△DFC为边长为l-2x的等边三角形，DE⊥DF, .(2BE+DF)2=4BE+4BE.DF+DF=4x2+4x1-2x)×cos0°+(1-2x)2=1, 2BE+DF|=1, (DE+DE).DA=(DE+DE)(DE+EA)=DE+DF.EA .3211 =65xy+0-2x0-)=5x2-3x+1=5xi0)+20 所以当x= 时，DE,0丽D所的最小值为号 0 故答案为：1：20 11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A B D 6.(2020·天津·高考真题，14,5分)如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，AB=3,BC=6,且 D=28C,而-8=多，则实数2的值为 ， 若M,N是线段BC上的动点，且MN=1,则 DM.DN的最小值为」 【答案】 1 0 【详解】AD=BC,AD∥BC,.∠BAD=180°-∠B=120°， AB.AD=元BC.AB=元BC.4Bcost120 =元x6×3× 解得元= 6 以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy, BC=6,C(6,0), B MNC衣 :AB=3,∠ABC=60°，A的坐标为A 33V3 2’2 又：A0=1Bc,则D,3 22 设M(x,0),则N(x+1,0)(其中0≤x≤5)， 6 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 mm-(-引--4--+号 所以，当x=2时，DM.DN取得最小值 3 故答案为：6：2 113 7.(2019·天津·高考真题，14,5分)在四边形ABCD中，AD∥BC,AB=23,AD=5, ∠A=30°，点E在线段CB的延长线上，且AE=BE,则BD.AE= 【答案】-1. 【详解】建立如图所示的直角坐标系，则8(2V5,0),D55,5 22 因为AD‖BC,∠BAD=30°，所以∠CBA=150°， 因为AE=BE,所以LBAE=∠ABE=30°， 所以直线E的斜率为5，其方程为y=5K-2V5, 3 直线E的斜率为-5，其方程为y=5, 3 3. =5x-2 3 由 得x=V3,y=-1, J=- 3 所以E(5,-1) 所以BDE=5,N5,-)=-1. 22 0 B