专题04 导数及其应用（复习讲义）（天津专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦导数及其应用专题，涵盖导数运算、切线问题、单调性、极值最值、恒成立与零点等核心考点，按小题基础应用到大题综合探究的逻辑架构，结合天津高考考情，通过考情精解、知能框架、题型攻坚环节，系统梳理知识、指导方法、训练真题，助力学生突破难点。 资料突出数学思维与表达，如切线问题分“在点”“过点”模型建构，恒成立问题转化为最值的逻辑推理，设置分层练习（真题+模拟题）。通过分类讨论、规范证明培养理性精神，帮助学生高效提升应考能力，为教师把控复习节奏提供精准指导。

专题04 导数及其应用 目录 01 析·考情精解 2 02 构·知能框架 3 03 破·题型攻坚 3 考点一 导数小题 3 真题动向 必备知识 知识1导数运算问题 知识2利用导数研究曲线的切线问题 知识3有关可导函数单调性问题 命题预测 题型1求已知函数的极值或最值 题型2 由函数在区间上的单调性求参数 题型3 求曲线上一点处的切线方程 考点二 导数大题 11 真题动向 必备知识 知识1讨论单调区间问题 知识2函数的极值与最值 知识3函数恒成立与能成立问题 命题预测 题型1讨论单调区间问题 题型2函数恒成立与能成立问题 题型3函数零点与不等式证明问题 命题轨迹透视 有关导数的天津高考试题，导数小题一般以课程学习情境为主,突出基础性;大题一般以探索创新情境为主,突出综合性,作为载体的指数函数、对数函数、三角函数应引起足够的重视.在备考时应注意以下两点: (1)利用导数的几何意义解决与函数的切线有关的问题、利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题要侧重通性通法,含参的讨论要准确把握住分类标准,有条不紊地进行分类讨论;(2)不等式恒(能)成立问题、利用导数证明不等式、利用导数研究零点或方程解的问题,要侧重函数与方程、数形结合、分类讨论的思想方法的渗透,加强逻辑思维能力、运算求解能力、创新能力的训练,突出理性思维和数学探索的学科素养的培养。 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 导数小题 T4，5分 导数大题 T20，16分 T22，16分 T20，16分 2026命题预测 预计在2026年高考中，导数小题一般切线最值及极值,突出基础性，大题一般侧重单调性、恒成立问题、利用导数证明不等式、利用导数研究零点或方程解的问题 考点一 导数小题 1．（2019·天津·高考真题，12，5分） 曲线在点处的切线方程为 . 2．（2018·天津·高考真题，12，5分）已知函数f(x)=exlnx，为f(x)的导函数，则的值为 ． 3．（2017·天津·高考真题，12，5分）已知，设函数的图象在点（1，）处的切线为l，则l在y轴上的截距为 . 4．（2016·天津·高考真题，12，5分）已知函数为的导函数，则的值为 . 5．（2015·天津·高考真题，12，5分）已知函数，其中为实数，为的导函数，若，则的值为 ． 6．（2010·天津·高考真题，15，5分）设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是 . 7．（2012·天津·高考真题，6，5分）函数在区间(0,1)内的零点个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 8．（2013·天津·高考真题，7，5分）设函数，若实数满足，则 A． B． C． D． 知识1导数运算问题 ①几个常用函数的导数 (c为常数) ②基本初等函数的导数公式 ③简单函数导数的运算法则 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘上分母减去分子乘上分母的导数，再除以分母的平方 ④复合函数的导数 定义：一般地，对于两个函数和，如果通过变量可以表示成的函数，那么称这个函数为和的复合函数，记作 求导：复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积 简称：由外到内依次求导 知识2利用导数研究曲线的切线问题 （1）函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标． （2）切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点． （3）曲线“在”点处的切线与“过”点的切线的区别：曲线在点处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为，是唯一的一条切线；曲线过点的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． ①在点的切线方程 切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键． ②过点的切线方程 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 知识3集合的运算性质 ①．求可导函数单调区间的一般步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数； （3）把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间； （4）确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性. 注①使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数. ②若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立.因为，即或，当时，函数在区间上单调递增.当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论： 单调递增；单调递增；单调递减；单调递减. ②利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路 ①由函数在区间上单调递增(减)可知 ()在区间上恒成立列出不等式； ②利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题； ③对等号单独检验，检验参数的取值能否使在整个区间恒等于0，若恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有，则参数可取这个值． 【易错提醒】　 1．求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点： 连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元 2．利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点： （1）函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标． （2）切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点． （3）曲线“在”点处的切线与“过”点的切线的区别：曲线在点处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为，是唯一的一条切线；曲线过点的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 3．利用导数的几何意义求参数的基本方法 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围． 4．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点 （1）注意曲线上横坐标的取值范围； （2）谨记切点既在切线上又在曲线上． 题型1 求已知函数的极值或最值 1．（2025·天津河西·二模）已知函数有四个不同的零点，且，则的取值范围是 . 2．（2025·天津河东·二模）设函数，，若存在，使得，则的最小值为 . 3．（2025·天津·一模）已知，函数若关于的方程，恰有2个互异的实数解，则的取值范围是 ． 4．（2025·天津武清·模拟预测）已知，，则最小值为 . 5．（2025·天津河西·模拟预测）已知定义在上的奇函数，当时，，给出下列命题： ①当时，；    ②函数有2个零点； ③的解集为；    ④，都有． 其中正确的命题个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2024·天津河东·一模）已知偶函数，则下列结论中正确的个数为（    ） ①；②在上是单调函数； ③的最小值为；④方程有两个不相等的实数根 A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2025·天津和平·二模）曲线与曲线在点处的切线互相垂直，则实数（    ） A．2 B．0 C． D． 8．（2025·天津河北·一模）函数的导数为，则的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 题型2由函数在区间上的单调性求参数 9．（2025·天津·二模）已知函数的图象如图所示，则该图象所对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 10．（2025·天津红桥·二模）已知向量是夹角为60°的单位向量，若对任意的 且 则取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．（2025·天津·一模）设，，，则（   ） A． B． C． D． 12．（2025·天津·模拟预测）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．（2025·天津·二模）设，函数.若在区间上恰有2个不同的零点，则的取值范围是 ；若在定义域内恰有2个零点，则的取值范围是 . 14．（2025·天津河北·一模）设，函数，若恰有两个零点，则的取值范围是 15．（2023·天津滨海新·三模）已知正实数m，n，满足，则的最小值为 . 16．（2025·天津·三模）已知函数，则函数存在 个极值点；若方程有两个不等实根，则的取值范围是 题型3求曲线上一点处的切线方程 17．（2025·天津武清·一模）函数  关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 . 18．（2024·天津和平·二模）过点作曲线的切线，则切点的坐标为 ． 19．（2024·天津红桥·二模）函数有且只有一个零点，则m的取值范围是 ． 20．（2024·天津·一模）已知定义在上的函数满足，当时，.若在区间内，函数有三个不同零点，则实数的取值范围为 . 21．（2025·天津·一模）函数（）的图象关于点成中心对称，则下列结论正确的个数是（   ） ①在单调递减；②在有2个极值点； ③直线是一条对称轴；④直线是一条切线. A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 22．（2024·天津和平·二模）已知抛物线：的焦点为点，双曲线的右焦点为点，线段与在第一象限的交点为点，若的焦距为6，且在点处的切线平行于的一条渐近线，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 23．（2023·天津和平·二模）函数的部分图象如图所示，，则下列四个选项中正确的个数为（    ） ① ②函数在上单调递减； ③函数在上的值域为； ④曲线在处的切线斜率为． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 24．（2020·天津·二模）已知函数 函数.若关于的方程有个互异的实数根，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 考点二 导数大题 1．（2025·天津·高考真题，20，16分）已知函数 (1)时，求在点处的切线方程； (2)有3个零点，且. （i）求a的取值范围； （ii）证明． 2．（2024·天津·高考真题，20，16分）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意成立，求实数的值； (3)若，求证：． 3．（2023·天津·高考真题，20，16分）已知函数． (1)求曲线在处的切线斜率； (2)求证：当时，； (3)证明：． 4．（2022·天津·高考真题，20，16分）已知，函数 (1)求曲线在处的切线方程； (2)若曲线和有公共点， （i）当时，求的取值范围； （ii）求证：． 5．（2021·天津·高考真题，20，16分）已知，函数． （I）求曲线在点处的切线方程： （II）证明存在唯一的极值点 （III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围． 6．（2020·天津·高考真题，20，16分）已知函数，为的导函数． （Ⅰ）当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）求函数的单调区间和极值； （Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有． 7．（2019·天津·高考真题，20，16分）设函数，其中. （Ⅰ）若，讨论的单调性； （Ⅱ）若， （i）证明恰有两个零点 （ii）设为的极值点，为的零点，且，证明. 8．（2019·天津·高考真题，20，16分）设函数为的导函数. （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）当时，证明； （Ⅲ）设为函数在区间内的零点，其中，证明. 知识1讨论单调区间问题 类型一：不含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)； （2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)； （3）求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)； （4）未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)； （5）正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)； （6）一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)； 求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导． （7）借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)； 类型二：含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间)； （2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)； （3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根； （4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)； （5）导数图像定区间； 知识2函数的切线极值与最值问题 函数的极值 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点． 求可导函数极值的一般步骤 （1）先确定函数的定义域；（2）求导数；（3）求方程的根； （4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值． 函数的最值 函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者． 导函数为 （1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者． （2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者． 一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行： （1）求在内的极值（极大值或极小值）； （2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 知识3函数恒成立与能成立问题 恒成立问题 （1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； （2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则 不等式在区间D上恒成立． 不等式在区间D上恒成立． （3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； （4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解 不等式在区间D上有解 （5）对于任意的，总存在，使得； （6）对于任意的，总存在，使得； （7）若存在，对于任意的，使得； （8）若存在，对于任意的，使得； （9）对于任意的，使得； （10）对于任意的，使得； （11）若存在，总存在，使得 （12）若存在，总存在，使得． 【易错提醒】 （1）①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号． ②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点． （2）①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值； ②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点； ③函数的最值必在极值点或区间端点处取得. 题型1讨论单调区间问题 1．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若在内的最大值为2，求的值； (3)若，求的取值范围． 2．（2025·天津宁河·模拟预测）已知函数， (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值； (2)当时，讨论函数单调性 (3)当时，若对任意，不等式恒成立，求的最小值； (4)若存在两个不同的极值点，且，求实数取值范围． 3．（2025·天津·二模）已知函数，其中. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求证：在上单调递增； (3)求证：，且，. 4．（2025·天津和平·三模）已知函数，的导函数为，函数． (1)求函数的单调递减区间； (2)若，对于给定实数，总存在4个不同实数，，，，使得关于的方程恰有3个不同的实数根． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）记，求证：． 5．（2025·天津·一模）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若对，函数恰有两个零点，求实数m的取值范围； (3)求证：对于任意正整数n，有． 6．（2025·天津·一模）已知函数 (1)若曲线在点处的切线在轴上的截距为，求的值； (2)若函数存在唯一极值点，求的取值范围； (3)若函数存在极大值，记作，求证：. 7．（2025·天津河西·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)已知，证明：（其中是自然对数的底数）. 8．（2025·天津·二模）已知函数，，且曲线在处的切线的倾斜角为. (1)若函数在区间上单调递增，求实数的最大值； (2)当时，（，为的导函数），求的取值范围； (3)设函数，若，证明：. 题型2函数恒成立与能成立问题 9．（2025·天津·二模）已知函数. (1)若曲线在处的切线斜率为0，求实数的值； (2)若，对，不等式恒成立（a,b均为实数），求的最大值； (3)实数满足对任意的，函数总有两个不同的零点，证明：. 10．（2025·天津河北·二模）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，若不等式恒成立，求a的取值范围； (3)若有两个零点，且，证明：． 11．（2025·天津红桥·二模）已知函数，其中为自然对数的底数， (1)当时，求函数在点处的切线方程; (2)证明:恒成立； (3)证明: 12．（2025·天津南开·二模）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)解关于的不等式（其中为的导数）. 13．（2025·天津红桥·一模）已知函数，． (1)求函数在点处的切线方程； (2)当时，，求实数a的取值范围； (3)已知，证明：． 14．（2025·天津南开·一模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间上恒成立，求实数的取值范围； (3)若方程有两个不同的实数解，证明：． 题型3函数零点与不等式证明问题 15．（2025·天津·一模）已知函数，． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)设，，若存在，使得．证明：． 16．（2025·天津和平·一模）已知函数. (1)若，函数在点处的切线斜率为，求函数的单调区间和极值； (2)试利用（1）结论，证明：； (3)若，且，不等式恒成立，求的取值范围. 17．（2025·天津·一模）已知函数，，其中． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)是否存在，使得函数在区间上的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)设是函数的极小值点，且，证明：． 18．（2025·天津滨海新·模拟预测）已知函数， (1)若与的图象恰好相切，求实数的值； (2)时，证明：当时， (3)若有三个零点，，，且． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求证：． 19．（2025·天津武清·一模）已知 曲线在点处的切线为. (1)当 时，求直线 的方程； (2)证明: 与曲线有一个异于点P的交点且； (3)在（2）的条件下， 令 求k的取值范围. 20．（2025·天津·模拟预测）已知函数，. (1)求函数在处的切线方程； (2)若， （i）当时，求函数的最小值； （ii）若有两个实根，，且，证明：. 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司/ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 导数及其应用 目录 01 析·考情精解 2 02 构·知能框架 3 03 破·题型攻坚 3 考点一 导数小题 3 真题动向 必备知识 知识1导数运算问题 知识2利用导数研究曲线的切线问题 知识3有关可导函数单调性问题 命题预测 题型1求已知函数的极值或最值 题型2 由函数在区间上的单调性求参数 题型3 求曲线上一点处的切线方程 考点二 导数大题 30 真题动向 必备知识 知识1讨论单调区间问题 知识2函数的极值与最值 知识3函数恒成立与能成立问题 命题预测 题型1讨论单调区间问题 题型2函数恒成立与能成立问题 题型3函数零点与不等式证明问题 命题轨迹透视 有关导数的天津高考试题，导数小题一般以课程学习情境为主,突出基础性;大题一般以探索创新情境为主,突出综合性,作为载体的指数函数、对数函数、三角函数应引起足够的重视.在备考时应注意以下两点: (1)利用导数的几何意义解决与函数的切线有关的问题、利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题要侧重通性通法,含参的讨论要准确把握住分类标准,有条不紊地进行分类讨论;(2)不等式恒(能)成立问题、利用导数证明不等式、利用导数研究零点或方程解的问题,要侧重函数与方程、数形结合、分类讨论的思想方法的渗透,加强逻辑思维能力、运算求解能力、创新能力的训练,突出理性思维和数学探索的学科素养的培养。 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 导数小题 T4，5分 导数大题 T20，16分 T22，16分 T20，16分 2026命题预测 预计在2026年高考中，导数小题一般切线最值及极值,突出基础性，大题一般侧重单调性、恒成立问题、利用导数证明不等式、利用导数研究零点或方程解的问题 考点一 导数小题 1．（2019·天津·高考真题，12，5分） 曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【分析】利用导数值确定切线斜率，再用点斜式写出切线方程． 【详解】， 当时其值为， 故所求的切线方程为，即． 2．（2018·天津·高考真题，12，5分）已知函数f(x)=exlnx，为f(x)的导函数，则的值为 ． 【答案】e 【详解】由函数的解析式可得：， 则， 即的值为e，故答案为. 3．（2017·天津·高考真题，12，5分）已知，设函数的图象在点（1，）处的切线为l，则l在y轴上的截距为 . 【答案】1 【详解】函数f(x)=ax−lnx,可得,切线的斜率为：， 切点坐标(1,a),切线方程l为：y−a=(a−1)(x−1)， l在y轴上的截距为：a+(a−1)(−1)=1. 故答案为1. 4．（2016·天津·高考真题，12，5分）已知函数为的导函数，则的值为 . 【答案】3 【详解】试题分析： 5．（2015·天津·高考真题，12，5分）已知函数，其中为实数，为的导函数，若，则的值为 ． 【答案】3 【详解】试题分析：，所以． 考点：导数的运算． 6．（2010·天津·高考真题，15，5分）设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】根据题意，由于函数，对任意，恒成立，，分离参数的思想可知，, 递增，最小值为， 即可知满足即可成立故答案为． 7．（2012·天津·高考真题，6，5分）函数在区间(0,1)内的零点个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】恒成立，所以单调递增， 故函数在区间(0,1)内的零点个数1个. 8．（2013·天津·高考真题，7，5分）设函数，若实数满足，则 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：对函数求导得，函数单调递增，，由知，同理对函数求导，知在定义域内单调递增，，由知，所以. 知识1导数运算问题 ①几个常用函数的导数 (c为常数) ②基本初等函数的导数公式 ③简单函数导数的运算法则 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘上分母减去分子乘上分母的导数，再除以分母的平方 ④复合函数的导数 定义：一般地，对于两个函数和，如果通过变量可以表示成的函数，那么称这个函数为和的复合函数，记作 求导：复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积 简称：由外到内依次求导 知识2利用导数研究曲线的切线问题 （1）函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标． （2）切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点． （3）曲线“在”点处的切线与“过”点的切线的区别：曲线在点处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为，是唯一的一条切线；曲线过点的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． ①在点的切线方程 切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键． ②过点的切线方程 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 知识3集合的运算性质 ①．求可导函数单调区间的一般步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数； （3）把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间； （4）确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性. 注①使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数. ②若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立.因为，即或，当时，函数在区间上单调递增.当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论： 单调递增；单调递增；单调递减；单调递减. ②利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路 ①由函数在区间上单调递增(减)可知 ()在区间上恒成立列出不等式； ②利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题； ③对等号单独检验，检验参数的取值能否使在整个区间恒等于0，若恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有，则参数可取这个值． 【易错提醒】　 1．求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点： 连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元 2．利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点： （1）函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标． （2）切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点． （3）曲线“在”点处的切线与“过”点的切线的区别：曲线在点处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为，是唯一的一条切线；曲线过点的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 3．利用导数的几何意义求参数的基本方法 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围． 4．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点 （1）注意曲线上横坐标的取值范围； （2）谨记切点既在切线上又在曲线上． 题型1 求已知函数的极值或最值 1．（2025·天津河西·二模）已知函数有四个不同的零点，且，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意可知，由可得， 可得， 所以，直线与函数的图象有四个交点，如下图所示： 由可得或， 结合图象可知，、为方程的两根，即方程的两根， ，由韦达定理可得，， 因为，则， 、为方程的两根，即方程的两根， ，可得，故， 由韦达定理可得，， 因为，所以， 所以， 令，， 所以， 对任意的，，则， 即对任意的恒成立， 所以，函数在上单调递减，且，， 故当时，， 因此，的取值范围是. 故答案为：. 2．（2025·天津河东·二模）设函数，，若存在，使得，则的最小值为 . 【答案】1 【详解】因为，所以恒成立， 所以在上单调递增， 又因为， 且存在，使得，所以， 所以，令， 则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，所以,即,当时取等号. 所以（当时取等号，此时满足题意）， 所以的最小值为1. 故答案为：1. 3．（2025·天津·一模）已知，函数若关于的方程，恰有2个互异的实数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由， 可得当时，即，所以； 当时，，所以， 令，，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，所以， 令，则与有两个交点， ①当时，，则在上单调递增，且； ②当时，则， 令，则， 所以当时，则在上单调递增， 当时，则在上单调递减， 所以，所以恒成立， 所以恒成立，所以在上单调递减， 又，因为，所以， 且当时，，所以； 所以，即的取值范围是. 故答案为： 4．（2025·天津武清·模拟预测）已知，，则最小值为 . 【答案】6 【分析】利用对数运算找出，的关系，利用导数求出的最小值，再利用基本不等式即可求出最值. 【详解】由，，， 得，所以，即， 因为，所以； 所以， 即， 令，，则， 当时，，为减函数；当时，，为增函数； 所以时，取最小值3，即. 因为，所以， 因为， 当且仅当，且， 即，，时等号成立； 故的最小值为. 故答案为：. 5．（2025·天津河西·模拟预测）已知定义在上的奇函数，当时，，给出下列命题： ①当时，；    ②函数有2个零点； ③的解集为；    ④，都有． 其中正确的命题个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】不妨令，则 因为为奇函数，所以，即①错误； 由上可知， 令可得或0，有三个零点，即②错误； 对于， 显然时，此时单调递减， 时，此时单调递增， 不难发现时，，时， 所以，时，， 所以时，， 由奇函数的性质可知的解集为； 且时，，故时有， 则，都有， 所以恒成立，即③④正确； 故选：B 6．（2024·天津河东·一模）已知偶函数，则下列结论中正确的个数为（    ） ①；②在上是单调函数； ③的最小值为；④方程有两个不相等的实数根 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】函数是偶函数， 则有， 即， ，①正确； 则， 设，由于，易知在上单调递增，则， 所以在上为增函数， 而为增函数，则在上是单调函数，②正确； ，当且仅当时，等号成立， 则的最小值为，③正确； 为偶函数且在上为增函数，其最小值为， 由于，所以，故方程没有实数根；④错误． 故选：C． 7．（2025·天津和平·二模）曲线与曲线在点处的切线互相垂直，则实数（    ） A．2 B．0 C． D． 【答案】D 【详解】， 则， 由可得，故， 由于两切线互相垂直，因此，所以， 故选：D 8．（2025·天津河北·一模）函数的导数为，则的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意可得， 易知的定义域为，且满足， 即可得为奇函数，图象应关于原点对称，可排除BD； 利用余弦函数图象性质可知，当时，，该部分图象在轴的上方，可排除A， C选项符合题意. 故选：C 题型2由函数在区间上的单调性求参数 9．（2025·天津·二模）已知函数的图象如图所示，则该图象所对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A：，当时， ，故排除A； 对于B：当时，函数为增函数，当时，函数为减函数，故排除B； 对于D，当时，，，所以在上单调递增，故排除D； 对于C，为偶函数，由可得，满足图象，故C正确. 故选：C． 10．（2025·天津红桥·二模）已知向量是夹角为60°的单位向量，若对任意的 且 则取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知向量的夹角为的单位向量，则， 所以， 所以对任意的，且，则， 所以，即， 设，即在上单调递减， 又时，，解得， 所以在上单调递增； 在上单调递减，所以， 故选：A． 11．（2025·天津·一模）设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据常见不等式，结合对数与指数的运算，可得答案. 【详解】由在上恒成立，当且仅当时等号成立，则， 即，综上可得， 故选：B. 12．（2025·天津·模拟预测）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】对应，有，故在R上单调递增， 若，即， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 13．（2025·天津·二模）设，函数.若在区间上恰有2个不同的零点，则的取值范围是 ；若在定义域内恰有2个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由于在区间上恰有2个零点，故 在有两个实数根， 故在有两个实数根， 记， 则，解得或， 接下来求解在定义域内恰有2个零点时的范围. ①当时，，此时在无零点，故需要在区间上有2个零点，故， ②当时，，此时没有零点，不符合题意， ③当时，， 若时，此时在有两个零点，故只需要在无零点， 令， 即，记 由于， 且而，故， ， 因此在有两个零点，不符合题意， 若时，，， 此时有两个根，有一个实数根， 不满足题意，舍去， 接下来只需要考虑的情况， 此时对于来说，， 故在没有零点， 因此需要在有两个零点， 故，即， 即， 故当在单调递增，当在单调递减，， 因此对任意的，均有，故且 综上可得在定义域内恰有2个零点，则， 故答案为：， 14．（2025·天津河北·一模）设，函数，若恰有两个零点，则的取值范围是 【答案】 【详解】∵，∴. 当时，由得，， 当时，由得，， 令，则直线与函数的图象有两个交点， 当时，，函数在上是减函数， 当时，， 由得，由得， ∴在上为减函数，在上为增函数，且当时，函数极小值为， 当时，，当时，，函数图象如图所示， 由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，此时函数有两个零点， ∴实数的取值范围是. 故答案为：. 15．（2023·天津滨海新·三模）已知正实数m，n，满足，则的最小值为 . 【答案】 【详解】，构造函数，则，即在上单调递增， 则.则， 当且仅当，即时取等号. 故答案为：. 16．（2025·天津·三模）已知函数，则函数存在 个极值点；若方程有两个不等实根，则的取值范围是 【答案】 4； 【详解】对于函数． 当时，． 令，解得：或；令，解得：； 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 而，；，． 当时，． 令，解得：；令，解得：； 所以在上单调递减，在上单调递增． 而；，，． 作出的图象如图所示： 所以函数存在4个极值点. 解关于的方程有两个不相等的实数根, 即关于的方程有两个不相等的实数根， 只有一个实数根，所以关于的方程有一个非零的实数根， 即函数与有一个交点，横坐标． 结合图象可得：或， 所以的取值范围是． 故答案为：4；. 题型3求曲线上一点处的切线方程 17．（2025·天津武清·一模）函数  关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】如图画出函数的图象， 直线表示过点的直线，表示直线的斜率， ，，，， 所以在点处的切线方程为，此时斜率为1， 如图，若与，有一个交点，则， ，，， 所以在点处的切线方程为，此时斜率为， 如图，若与，有一个交点，则， 如图，当时，与有两个交点， 综上可知，的取值范围是. 故答案为： 18．（2024·天津和平·二模）过点作曲线的切线，则切点的坐标为 ． 【答案】 【详解】设切点的坐标为，由，， 所以过切点的切线方程为：， 把代入得：，即， 所以，则切点坐标为：即. 故答案为： 19．（2024·天津红桥·二模）函数有且只有一个零点，则m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意可得，问题等价于与有且只有一个交点. 分别作图如下： 考虑他们的临界情况，即与相切时，如上图，即与相切时，仅有一个交点. 设切点为， 则， 所以，， 所以，即， 但因为与有且仅有一个交点， 所以，即， 故答案为：. 20．（2024·天津·一模）已知定义在上的函数满足，当时，.若在区间内，函数有三个不同零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】函数满足，当， 所以当， 故， ， 画出函数图像，如图所示，观察图像可知，要使函数有三个不同零点， 则直线应在图中的两条虚线之间， 上方的虚线为直线与 相切时， 下方的虚线是直线经过点时，      当直线与相切时， ，设切点为， 则斜率 ，此时 ， 当直线经过点时，， 故答案为：. 21．（2025·天津·一模）函数（）的图象关于点成中心对称，则下列结论正确的个数是（   ） ①在单调递减；②在有2个极值点； ③直线是一条对称轴；④直线是一条切线. A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【详解】因为的图象关于点对称， 所以，，解得，， 因为，所以，故， 对于①，令，解得，故在单调递减，故① 正确； 对于②，由，可得，根据正弦函数的图象，可知在区间只有一个极值点，故②不正确； 对于③，因，故③不正确； 对于④，由，求导可得，， 因为， 故在点处的切线方程为，即， 故直线是曲线的一条切线，故④正确． 故选：B． 22．（2024·天津和平·二模）已知抛物线：的焦点为点，双曲线的右焦点为点，线段与在第一象限的交点为点，若的焦距为6，且在点处的切线平行于的一条渐近线，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】抛物线：的焦点为，依题意可得， 直线方程为，即， 联立，可得，解得或， 又线段与在第一象限的交点为点，的横坐标为， 由，所以， 在点处的切线斜率为， 又在点处的切线平行于的一条渐近线， 双曲线的一条渐近线的斜率为， 双曲线的渐近线方程为． 故选：D． 23．（2023·天津和平·二模）函数的部分图象如图所示，，则下列四个选项中正确的个数为（    ） ① ②函数在上单调递减； ③函数在上的值域为； ④曲线在处的切线斜率为． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【详解】由图可知：函数过点，则， 即，且，可得， 又因为函数过点，且为减区间的零点， 则，即， 则，解得， 注意到，即，则，解得， 故，解得，此时， 所以. 对于①：令，解得， 取，则， 即函数在y轴左侧离y轴最近的对称轴为， 由图可得，即， 且，即， 所以 ， 故①正确； 对于②：因为，则， 且在不单调，所以在上不单调， 故②错误； 对于③：因为，则，， 可得，所以函数在上的值域为， 故③错误； 对于④：∵， 可得， 曲线在处的切线斜率为，故④错误； 故选：B. 24．（2020·天津·二模）已知函数 函数.若关于的方程有个互异的实数根，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意作出函数的图象，如图： 要使关于的方程有个互异的实数根， 则要使直线与函数的图象有三个交点， 易知点，， 由图象可知，当时，不合题意； 当时，若直线与函数在y轴右侧的图象相切，设切点为， 由可得，解得，，切点恰为点， 所以当时，直线与函数在y轴右侧的图象只有一个交点； 若直线与函数在y轴左侧的图象相切，设切点为， 由，所以， 解得（舍去）或，， 当直线过点时，， 所以当时，直线与函数在y轴左侧的图象有两个交点； 综上，要使直线与函数的图象有三个交点，则. 即实数的取值范围是. 故选：B. 考点二 导数大题 1．（2025·天津·高考真题，20，16分）已知函数 (1)时，求在点处的切线方程； (2)有3个零点，且. （i）求a的取值范围； （ii）证明． 【答案】(1)(2)（i）；（ii）证明见解析. 【详解】（1）当时，，， 则，则，且， 则切点，且切线的斜率为， 故函数在点处的切线方程为； （2）（i）令，， 得， 设， 则， 由解得或，其中，； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 且当时，； 当时，； 如图作出函数的图象， 要使函数有3个零点， 则方程在内有个根，即直线与函数的图象有个交点. 结合图象可知，. 故的取值范围为； （ii）由图象可知，， 设，则， 满足，由可得， 两式作差可得， 则由对数均值不等式可得， 则，故要证， 即证，只需证， 即证，又因为，则， 所以，故只需证， 设函数，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 故，即. 而由， 可知成立，故命题得证. 2．（2024·天津·高考真题，20，16分）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意成立，求实数的值； (3)若，求证：． 【答案】(1) (2)2 (3)证明过程见解析 【详解】（1）由于，故. 所以，，所以所求的切线经过，且斜率为，故其方程为. （2）设，则，从而当时，当时. 所以在上递减，在上递增，这就说明，即，且等号成立当且仅当. 设，则 . 当时，的取值范围是，所以命题等价于对任意，都有. 一方面，若对任意，都有，则对有 ， 取，得，故. 再取，得，所以. 另一方面，若，则对任意都有，满足条件. 综合以上两个方面，知的值是2. （3）先证明一个结论：对，有. 证明：前面已经证明不等式，故， 且， 所以，即. 由，可知当时，当时. 所以在上递减，在上递增. 不妨设，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论. 情况一：当时，有，结论成立； 情况二：当时，有. 对任意的，设，则. 由于单调递增，且有 ， 且当，时，由可知 . 所以在上存在零点，再结合单调递增，即知时，时. 故在上递减，在上递增. ①当时，有； ②当时，由于，故我们可以取. 从而当时，由，可得 . 再根据在上递减，即知对都有； 综合①②可知对任意，都有，即. 根据和的任意性，取，，就得到. 所以. 情况三：当时，根据情况一和情况二的讨论，可得，. 而根据的单调性，知或. 故一定有成立. 综上，结论成立. 3．（2023·天津·高考真题，20，16分）已知函数． (1)求曲线在处的切线斜率； (2)求证：当时，； (3)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1），则， 所以，故处的切线斜率为； （2）要证时，即证， 令且，则， 所以在上递增，则，即. 所以时. （3）设，， 则， 由（2）知：，则， 所以，故在上递减，故； 下证， 令且，则， 当时，递增，当时，递减， 所以，故在上恒成立， 则， 所以，，…，， 累加得：，而， 因为，所以， 则， 所以，故； 综上，，即. 4．（2022·天津·高考真题，20，16分）已知，函数 (1)求曲线在处的切线方程； (2)若曲线和有公共点， （i）当时，求的取值范围； （ii）求证：． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【详解】（1），故，而， 曲线在点处的切线方程为即. （2）（i）当时， 因为曲线和有公共点，故有解， 设，故，故在上有解， 设，故在上有零点， 而， 若，则恒成立，此时在上无零点， 若，则在上恒成立，故在上为增函数， 而，，故在上无零点， 故， 设，则， 故在上为增函数， 而，， 故在上存在唯一零点， 且时，；时，； 故时，；时，； 所以在上为减函数，在上为增函数， 故， 因为在上有零点，故，故， 而，故即， 设，则， 故在上为增函数， 而，故. （ii）因为曲线和有公共点， 所以有解，其中， 若，则，该式不成立，故. 故，考虑直线， 表示原点与直线上的动点之间的距离， 故，所以， 下证：对任意，总有， 证明：当时，有，故成立. 当时，即证， 设，则（不恒为零）， 故在上为减函数，故即成立. 综上，成立. 下证：当时，恒成立， ，则， 故在上为增函数，故即恒成立. 下证：在上恒成立，即证：， 即证：，即证：， 而，故成立. 故，即成立. 5．（2021·天津·高考真题，20，16分）已知，函数． （I）求曲线在点处的切线方程： （II）证明存在唯一的极值点 （III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围． 【答案】（I）；（II）证明见解析；（III） 【详解】（I），则， 又，则切线方程为； （II）令，则， 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 当时，，，当时，，画出大致图像如下： 所以当时，与仅有一个交点，令，则，且， 当时，，则，单调递增， 当时，，则，单调递减， 为的极大值点，故存在唯一的极值点； （III）由（II）知，此时， 所以， 令， 若存在a，使得对任意成立，等价于存在，使得，即， ，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，故， 所以实数b的取值范围. 6．（2020·天津·高考真题，20，16分）已知函数，为的导函数． （Ⅰ）当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）求函数的单调区间和极值； （Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有． 【答案】（Ⅰ）（i）；（ii）的极小值为，无极大值；（Ⅱ）证明见解析. 【详解】(Ⅰ) (i) 当k=6时，，.可得，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. (ii) 依题意，. 从而可得， 整理可得：， 令，解得. 当x变化时，的变化情况如下表： 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)； g(x)的极小值为g(1)=1，无极大值. （Ⅱ）证明：由，得. 对任意的，且，令，则 .        ① 令. 当x>1时，， 由此可得在单调递增，所以当t>1时，，即. 因为，，， 所以 .        ② 由(Ⅰ)(ii)可知，当时，，即， 故         ③ 由①②③可得. 所以，当时，任意的，且，有 . 7．（2019·天津·高考真题，20，16分）设函数，其中. （Ⅰ）若，讨论的单调性； （Ⅱ）若， （i）证明恰有两个零点 （ii）设为的极值点，为的零点，且，证明. 【答案】（I）在内单调递增.； （II）（i）见解析；（ii）见解析. 【详解】（I）解：由已知，的定义域为， 且， 因此当时，，从而， 所以在内单调递增. （II）证明：（i）由（I）知，， 令，由，可知在内单调递减， 又，且， 故在内有唯一解， 从而在内有唯一解，不妨设为， 则，当时，， 所以在内单调递增； 当时，， 所以在内单调递减， 因此是的唯一极值点. 令，则当时，，故在内单调递减， 从而当时，，所以， 从而， 又因为，所以在内有唯一零点， 又在内有唯一零点1，从而，在内恰有两个零点. （ii）由题意，，即， 从而，即， 因为当时，，又，故， 两边取对数，得， 于是，整理得， 8．（2019·天津·高考真题，20，16分）设函数为的导函数. （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）当时，证明； （Ⅲ）设为函数在区间内的零点，其中，证明. 【答案】（Ⅰ）单调递增区间为的单调递减区间为.（Ⅱ）见证明；（Ⅲ）见证明 【详解】(Ⅰ)由已知，有. 当时，有，得，则单调递减; 当时，有，得，则单调递增. 所以，的单调递增区间为， 的单调递减区间为. (Ⅱ)记.依题意及(Ⅰ)有：， 从而.当时，，故 . 因此，在区间上单调递减，进而. 所以，当时，. (Ⅲ)依题意，，即. 记，则. 且. 由及(Ⅰ)得. 由(Ⅱ)知，当时，，所以在上为减函数， 因此. 又由(Ⅱ)知，故： . 所以. 知识1讨论单调区间问题 类型一：不含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)； （2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)； （3）求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)； （4）未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)； （5）正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)； （6）一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)； 求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导． （7）借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)； 类型二：含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间)； （2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)； （3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根； （4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)； （5）导数图像定区间； 知识2函数的切线极值与最值问题 函数的极值 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点． 求可导函数极值的一般步骤 （1）先确定函数的定义域；（2）求导数；（3）求方程的根； （4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值． 函数的最值 函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者． 导函数为 （1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者． （2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者． 一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行： （1）求在内的极值（极大值或极小值）； （2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 知识3函数恒成立与能成立问题 恒成立问题 （1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； （2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则 不等式在区间D上恒成立． 不等式在区间D上恒成立． （3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； （4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解 不等式在区间D上有解 （5）对于任意的，总存在，使得； （6）对于任意的，总存在，使得； （7）若存在，对于任意的，使得； （8）若存在，对于任意的，使得； （9）对于任意的，使得； （10）对于任意的，使得； （11）若存在，总存在，使得 （12）若存在，总存在，使得． 【易错提醒】 （1）①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号． ②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点． （2）①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值； ②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点； ③函数的最值必在极值点或区间端点处取得. 题型1讨论单调区间问题 1．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若在内的最大值为2，求的值； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析(2)；(3)． 【详解】（1）求导得， 当时，，则，得，，得， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当时，令，解得或， 当时，，则，得或，，得， 则在内单调递减，在和上单调递增； 当时，，，则在区间上单调递增； 当时，，则，得或，，得， 则在区间内单调递减，在和上单调递增， 综上，时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在内单调递减，在和上单调递增； 时，在区间上单调递增； 时，在区间内单调递减，在和上单调递增. （2）由（1）知，当时，在内单调递增， 则，解得与矛盾； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以，即， 令则， 则在上单调递减， 又，故； 综上，. （3）由可得， 即， 令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则，则， 故，令， 则，令，解得， 则当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 则，所以， 故的取值范围为． 2．（2025·天津宁河·模拟预测）已知函数， (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值； (2)当时，讨论函数单调性 (3)当时，若对任意，不等式恒成立，求的最小值； (4)若存在两个不同的极值点，且，求实数取值范围． 【答案】(1) (2)在区间上单调递增，在区间上单调递减(3) (4) 【详解】（1）由得：， 则，又由直线的斜率为， 根据题意可知：； （2）由（1）可知， 令，得，故函数在区间上单调递增， 令，得，故函数在区间上单调递减， 综上，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减； （3）当时，不等式可化为， 变形为 同构函数，求导得， 所以在上是增函数，而原不等式可化为， 根据单调性可得：， 再构造，则， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以，即满足不等式成立的, 所以的最小值为； （4）因为存在两个不同的极值点 所以由可得： ，， 因为，而的对称轴是，所以可得， 根据对称性可得另一个零点，此时有， 故， 又由可得， 而 令， 则， ，即，， 则， 即在区间上单调递减， 所以有， 即， 所以实数取值范围. 3．（2025·天津·二模）已知函数，其中. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求证：在上单调递增； (3)求证：，且，. 【答案】(1)(2)证明见详解(3)证明见详解 【详解】（1）当时， 又 曲线在点处的切线方程为： 即． （2） 在恒成立，在上单调递增. （3）令，则原不等式等价于 令 则 令， 则 由（2）知， 在恒成立 又在恒成立， 在单调递减， ， 在单调递减， ， 即， 4．（2025·天津和平·三模）已知函数，的导函数为，函数． (1)求函数的单调递减区间； (2)若，对于给定实数，总存在4个不同实数，，，，使得关于的方程恰有3个不同的实数根． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）记，求证：． 【答案】(1)答案见解析； (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析. 【详解】（1）依题意，，函数的定义域为， ，函数是偶函数， 当时，，求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数的递减区间是； 当时，函数的递减区间是. （2）（i）当时，，， ，令， 求导得，即， 令，求导得，令，得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 则，而， 当，即时，，函数在上递增，在上递增， 则至多2个不同实数根，不符合题意； 当，即时，当时，； 当时，，则有4个不同实根， 即当时，有2个不同实根，令， 求导得，当时，；当时，， 函数在处取得极大值， 设的4个实根为，则为极大值点， 为极小值点，为极大值点，为极小值点，而函数为奇函数， 因此极值关于原点对称，，即， ，则， 当时，有3个不同实数根，所以. （ii）由，得的四个根为，不妨设， 由为偶函数，得， 则，即，于是， 因此，令， 则，令，求导得， 函数在单调递增，则，即当时，， 因此，， 所以. 5．（2025·天津·一模）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若对，函数恰有两个零点，求实数m的取值范围； (3)求证：对于任意正整数n，有． 【答案】(1)答案见解析；(2)；(3)证明见解析. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）函数的定义域为，求导得， 而，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 又，当从大于0的方向趋近于0或趋近于正无穷大时，从大于0的方向趋近于0，， 要函数恰有两个零点，当且仅当，即， 即恒有，令函数， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，，则， 所以实数m的取值范围是. （3）取，由（1）知函数在上单调递减，在上单调递增， 则，当时，取，得，即， 因此； 设函数，求导得， 函数在上单调递增，则，即， 取，得，即， 因此， 所以对于任意正整数n，有. 6．（2025·天津·一模）已知函数 (1)若曲线在点处的切线在轴上的截距为，求的值； (2)若函数存在唯一极值点，求的取值范围； (3)若函数存在极大值，记作，求证：. 【答案】(1)(2)(3)证明见解析 【详解】（1）由，则，求导可得， 所以切线斜率，切线方程为， 整理可得，令，解得，则，解得. （2）由（1）可知函数的导数， 由函数存在唯一极值点，则导数存在唯一变号零点， 即方程存在唯一根，整理可得， 令，即函数的图像与直线存在唯一交点， 求导可得，由当时，当时， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 由当时，，当时，，当时，，则， 当时，设方程的唯一根为， 当时，，即，当时，， 则函数存在唯一极值点， 所以的取值范围为. （3）由（1）可知函数的导数，令，则， 当时，易知方程存在两个根，设为，则， 当时，，即，当时，，当时，， 则函数在处取得极大值，由，则， 所以， 故， 由，则，故. 7．（2025·天津河西·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)已知，证明：（其中是自然对数的底数）. 【答案】(1)(2)答案见解析(3)证明见解析 【详解】（1）当时，，， 当时，，， 切线方程为，整理得， 所以曲线在处的切线方程为. （2）函数的定义域为，， 对于关于的方程，有， 当时，，则恒成立，在上单调递减； 当时，方程有两根，， 若，则，， 当时，，所以在上单调递增； 时，，所以在上单调递减； 若，则， 当和时，，当时，； 即在与上单调递减，在上单调递增； 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在与上单调递减， 在上单调递增. （3）要证，即证， 因为，，所以， 当时，不等式显然成立； 当时，因为，则， 所以只需证，即证， 令，，则， 由得；由，得， 则在上为单调递增，在上单调递减，故； 令，，则， 所以当时，，当时，， 所以在上为单调递减，在上为单调递增， 所以， 所以恒成立，即. 8．（2025·天津·二模）已知函数，，且曲线在处的切线的倾斜角为. (1)若函数在区间上单调递增，求实数的最大值； (2)当时，（，为的导函数），求的取值范围； (3)设函数，若，证明：. 【答案】(1)；(2)(3)证明见解析 【详解】（1），， 所以，， 令，解得， 所以时，在区间上单调递增， 又因为在区间上单调递增，所以实数的最大值为； （2），令，， 则，， 令，则， ①当时，即时，在上恒成立， 故在上单调递增， 因为，所以在上恒成立， 所以在上单调递增，故， 即恒成立. ②当时，即时，则存在唯一，使得， 且函数在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以，即在上单调递减， 所以当时，，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围为. （3）由题意，， 则. 令，则. 令，得在上单调递增； ，得在上单调递减. 则 则，， 当且仅当时取等号. 得在上单调递增，而，， 则不妨设 令，其中. 则.令，. 则， 得在上单调递增， 则，得在上单调递增， 有，即时， 因，则， 又，则，又注意到在上单调递增， 则. 题型2函数恒成立与能成立问题 9．（2025·天津·二模）已知函数. (1)若曲线在处的切线斜率为0，求实数的值； (2)若，对，不等式恒成立（a,b均为实数），求的最大值； (3)实数满足对任意的，函数总有两个不同的零点，证明：. 【答案】(1)(2).(3)证明见解析 【详解】（1）因，则，解得. （2）［方法一］当时，不等式可化为恒成立， 不妨设，则， 当，即时，则在R上单调递增， 此时当时，，与矛盾，不合题意； 当时，则； 当时，由，解得， 于是当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减 故， 即， 由于，故， 于是，令， 则， 当时，则在上单调递增； 当时，则在上单调递减 所以，， 此时， 因此，当时，的最大值为. ［方法二］依题意，可得恒成立， 设，则， 当时，，则在上单调递增， 又，所以存在，使得，所以不符题意； 当时，要使恒成立，则，所以； 当且时，在上恒成立， 又因， 故可转化为恒成立，即恒成立， 令，则， 但时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以， 当且仅当时取得等号，即当时， 即的最大值为， 即当时，对任意满足恒成立， 所以当时，对任意恒成立， 当且时，， 所以的最大值为. （3）［方法一］有2个不同零点，则，因， 故函数的零点一定为正数. 由于函数有2个不同零点，， ， 设， 记，易知定义域上单调递增，又， 所以当时，，；当时，， 即在单调递减，单调递增， 故，又由知， 则， 要证，只需， 因且关于的函数在上单调递增， 则 所以只需证， 只需证， 只需证在时恒成立， ，只需证在时为正， 由于，故函数在上单调递增， 又，故在时为正， 从而题中的不等式得证. ［方法二］ 有2个不同零点， ，由得（其中） 且. 要证，只需证， 即证，只需证 又，所以，即 所以只需证，而， 所以，又，只需证 所以， 原命题得证. ［方法三］ 若， 同法二知有两个零点且 又，故进一步有 由可得且， 从而， 因为，所以，只需证 又因为在区间内单调递增， 故只需证，即， 注意时有，故不等式成立 10．（2025·天津河北·二模）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，若不等式恒成立，求a的取值范围； (3)若有两个零点，且，证明：． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）由题设，则，且，， 所以曲线在处的切线方程为，即； （2）由题设，即且， 令且，则， 令，则，故在上单调递增， 所以， 当，时，，则在上单调递增，，符合； 当，时，，时， 所以，使，即在上，在上单调递减，从而，不符合； 综上，； （3）由，则，，且， 所以，故， 要证，需证，即， 需证，令，即，即证， 最终只需证明，令且，则， 所以在上单调递增，所以，即， 所以得证. 11．（2025·天津红桥·二模）已知函数，其中为自然对数的底数， (1)当时，求函数在点处的切线方程; (2)证明:恒成立； (3)证明: 【答案】(1)(2)证明见解析；(3)证明见解析； 【详解】（1）当时，可得，所以； 可得，又， 所以在点处的切线方程为，即； （2）易知，要证明， 可得， 构造函数，可得， 可知当时，，即函数在上单调递增； 当时，，即函数在上单调递减； 因此函数在处取得极小值，也是最小值， 即可得恒成立，即； 当且仅当时，等号成立； 下面证明， 令，所以； 易知当时，，即函数在上单调递增； 当时，，即函数在上单调递减； 因此函数在处取得极小值，也是最小值， 即可得恒成立，即； 当且仅当时等号成立， 综上可得，，恒成立，但等号不在同一点处取得， 所以，即. （3）由（2）中结论可知； 所以， 因此； 可知 所以. 12．（2025·天津南开·二模）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)解关于的不等式（其中为的导数）. 【答案】(1)(2)或.(3) 【详解】（1），可得，又， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）当时，，，所以，在上单调递减， 当时，令， 因为，所以在上单调递增， 所以，即，所以在上单调递增， 所以， 若恒成立，则， 整理得，解得或. （3）由得， 即， 当时，，不等式成立； 当时，，不等式化为， 当时，不等式的左边右边，所以， ①当时，令， 所以函数在上单调递减， 所以，即， 令， 则单调递减；单调递增， 所以， 所以，故， ②当时，不等式化为， 令， ，函数在上单调递增， 所以， 由，得， 所以不等式成立， 综上，不等式的解集为. 13．（2025·天津红桥·一模）已知函数，． (1)求函数在点处的切线方程； (2)当时，，求实数a的取值范围； (3)已知，证明：． 【答案】(1)(2)(3)证明见解析 【详解】（1）因为， 则函数在点处的切线斜率为， 又， 所以函数在点处的切线方程； （2）设，， 所以当时，单调递减， 当时，单调递增， 则函数，所以， 当时，，即， 当时，取，观察的其中的一个零点为， 由于， 而，得， 即，不合题意， 综上所述，实数的取值范围是； （3）当时，由（2）得， 则，所以，即，则， 令，得，所以，即， 又， 令，则，且不恒为零， 所以在上单调递增，即，则， 所以， 即 ． 14．（2025·天津南开·一模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间上恒成立，求实数的取值范围； (3)若方程有两个不同的实数解，证明：． 【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析. 【详解】（1），则切线的斜率为，又， 所以处的切线方程为，即． （2）， 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减，则． 若在区间上恒成立，则的取值范围为． （3）由，得， 若有两个不同的实数解，则， 两式相减得，所以． 不妨设，则， 所以在上单调递增，此时，所以． 所以，即，所以①． 由，得有两个不同的实数解， 令， 当时单调递增，当时单调递减， 由，，所以． 令，则方程有两个不同的实数解． 由（2）知，则有． 设，则， 当时，单调递减，当时，单调递增， 此时，即，故，当且仅当时等号成立． 不妨设直线与直线交点的横坐标分别为，    则， 所以②． 综上，． 题型3函数零点与不等式证明问题 15．（2025·天津·一模）已知函数，． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)设，，若存在，使得．证明：． 【答案】(1)(2) (3)证明见解析 【详解】（1）当时，， ∴ 又∴ ∴切线方程为； （2）方法一： 设 只需在时恒成立即可 又，且 所以要使当时，， 必须满足，即． 下面证明时满足题意： ①当时，由，， 令， 由（1）知，在上单调递增， 所以， 所以当时，，即； ②当时，， 令，，则， 所以在上单调递增， 又，当时，， 所以存在，使得， 当时，，即在上单调递减， 当时，， 所以当时，不恒成立． 综上所述，实数的取值范围是． 方法二： 设， 则， 令，则， 当时，， ，在上单调递增， 即在上单调递增， 所以所以在上单调递增， 所以， 所以符合题意； 当时，令得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，即在上恒成立， 所以， 所以符合题意； 当时，在上恒成立， 在上单调递增， 即在上单调递增，又因为 当时，， 所以存在，使得， 当时，，即在上单调递减， 当时， 综上所述，实数的取值范围是． 方法三：参变分离得： 令，， ∵，∴ ∴在区间上单调递减 ∴ ∴ ∴在区间上单调递减 ∴ ∴ ∴在区间上单调递减 ∴ 由洛必达法则可得： 综上所述，实数的取值范围是． （3）由函数， 可得， 设，由， 可得， 则， 又由，可得， ∴函数为单调递增函数， ∴，即， ∴， 由（2）知，当时，，， ∴， 即， ∴， 代入可得： ， 则， ∴， 又因为时，， 所以， 所以. 16．（2025·天津和平·一模）已知函数. (1)若，函数在点处的切线斜率为，求函数的单调区间和极值； (2)试利用（1）结论，证明：； (3)若，且，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为，函数的单调递减区间为，极大值1，无极小值.(2)证明见解析(3). 【详解】（1）当时，， ，由已知，所以， 即，因为， 所以，当时，，当时，， 因此，的单调递增区间为，函数的单调递减区间为. 当时，函数取得极大值，无极小值. （2）证明：由（1）可得当时，，即 令，可得，所以， 所以， ，原式得证. （3）已知，则，不等式为， 即桓成立， （i）当时，任意，因此满足条件. （ii）当时，，不等式两侧同时取对数， 有，等价于①， 构建新函数，令，①式等价于恒成立， 而，函数在其定义域上单调递增，因此对任意，有 成立，即任意，有， 等价于②，设， 当时，，当时，， 所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调逆减， 所以，因此由（2）式可得. 综上，正实数的取值范围为. 17．（2025·天津·一模）已知函数，，其中． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)是否存在，使得函数在区间上的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)设是函数的极小值点，且，证明：． 【答案】(1)(2)不存在，理由见解析(3)证明见解析 【详解】（1）因为，所以，则，而，则， 所以在点处的切线方程是. （2）由题意，定义域为， 则， 因为，所以当时，所以在上单调递减， 当时，所以在上单调递增； 若，即时在上单调递增，则，不符合题意； 若，即时，则在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得，不符合题意； 若，即时，在上单调递减， 则，解得，不符合题意； 综上可得，不存在这样的正实数，使得在区间上的最小值为； （3）依题意，，定义域为， 则， 因为是函数的极小值点，所以，所以， 又，则， 因函数在上单调递减，而当时，，则由得， 令，则，当在上单调递减， 所以，，当且仅当时取“”,即，， 所以，所以，， 所以， 所以，得证. 18．（2025·天津滨海新·模拟预测）已知函数， (1)若与的图象恰好相切，求实数的值； (2)时，证明：当时， (3)若有三个零点，，，且． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求证：． 【答案】(1)(2)证明见解析(3)（i）；（ii）证明见解析 【详解】（1）由题意，， 设切点，又直线与图象相切， 所以，即， 得，即，代入， 得，解得，代入，解得. 经检验，符合题意. 所以的值为. （2）当时，， 要证，即证， 令，则， 令， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以； 令， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以； 而上面两个等号不是同时取到， 所以在上恒成立， 即当时，. （3）（i）由题意，， 由等价于， 令.注意到，，依题意，除了1之外，还有两个零点， 又由，令（）， 当时，恒成立，故这时在单调递减，不合题意； 当时，由题意，首先在上有两个零点， 故，解得， 设两个零点为和，有，，故可知，均大于0， 由此可得在单调递增，单调递减，单调递增， 而，即， 又因为， 故在内恰有一个零点，在内恰有一个零点， 又1为的一个零点，所以恰有3个零点，亦即恰有3个零点， 实数的取值范围是. （ii），由， 由此可得，要想证明， 只需证明，而， 因此只需要证明当时，， 令， 可得，故在上单调递增， 因此当时，，即当时，， 因此， 由，有，即， 两边同时除以，由，有， 即. 19．（2025·天津武清·一模）已知 曲线在点处的切线为. (1)当 时，求直线 的方程； (2)证明: 与曲线有一个异于点P的交点且； (3)在（2）的条件下， 令 求k的取值范围. 【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【详解】（1）当时，，而，所以. 所以的方程是，即 （2）由于，故的方程可化为. 设，则直线的方程为. 令， 设，则对有，所以在上单调递增. 记， 则. 由于， 且 ， 故一定存在，使得，即. 而，故是与曲线的交点，且 （3）对，设. 则， 令，则， 令，. 由于当时，的导数， 故在上单调递增. 若，则. 所以对有，从而在上单调递增； 所以对有，从而在上单调递增； 所以对有，从而在上单调递增； 所以对有，从而在上无零点. 若，则. 由于对有， 故. 从而存在使. 结合在上单调递增，知对有， 从而在上单调递减； 所以对有，从而在上单调递减； 所以对有，从而在上单调递减； 所以， 又由于对有 ， 故对有，从而当时， 有 . 结合，就知道在上存在零点，从而在上存在零点. 综上，对，函数在上存在零点的充要条件是. 最后，一方面因为，就有 ， 所以在上存在零点，故； 另一方面，对任意，取，则在上存在零点. 记该零点为，取，则 . 所以这样的满足原条件，且. 综上，的取值范围是. 20．（2025·天津·模拟预测）已知函数，. (1)求函数在处的切线方程； (2)若， （i）当时，求函数的最小值； （ii）若有两个实根，，且，证明：. 【答案】(1) (2)（i）1；（ii）证明见详解. 【详解】（1）因为，所以， 所以，又， 所以函数在处的切线方程为：，即. （2）（i）当时，，定义域为， ， 令， 则， 所以在上单调递增， 又因为， 所以使得，即，① 故当时，，即，此时在上单调递减； 当时，，即，此时在上单调递增， 所以当时，函数有最小值， 由①可得，即， 所以函数的最小值为. （ii）由题意，，定义域为， 由题意有两个不相等的实数根， 令，则， 所以在上递增，所以， 令， 所以有两个不相等的正的零点，且， 即，两式分别相加减得， . 所以② 要证，只需证， 即证，即需证， 由②知，， 故只需证， 不妨设，令， 则只需证，即， 故只需证， 令 则， 所以在上单调递增， 所以， 即当时，成立. 所以，即，故. 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司/ 学科网（北京）股份有限公司 $