专题03 函数图象及性质应用（复习讲义）（天津专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

专题03 函数图象及性质应用 目录 01 析·考情精解 2 02 构·知能框架 3 03 破·题型攻坚 4 考点一 函数的性质 4 真题动向 必备知识 知识1函数的单调性 知识2函数的奇偶性 知识3函数的周期性 命题预测 题型1 函数定义域、值域、解析式 题型2 函数单调性、周期性、奇偶性、对称性 题型3函数零点所在区间及分段函数值域求参问题 考点二 基本初等函数 18 真题动向 必备知识 知识1指数运算及指数函数 知识2对数运算及对数函数 命题预测 题型1对数的实际应用 题型2指对幂比较大小 题型3指对幂运算及解不等式、方程根问题 命题轨迹透视 函数作为高中数学内容的一条主线,对整个高中数学有着重要的意义,题目分布在选择题和填空题居多,有关函数图像与性质的北天津高考试题，考查重点是以基本初等函数、基本初等函数组成的复合函数为载体，以函数内容和性质为主导，考查函数的定义域、值域,函数的表示方法、图象及性质(单调性、奇偶性、对称性、周期性)。通常与不等式、方程等必备知识结合,考查数形结合、分类讨论、转化与化归和函数与方程等思想.考查学生运算求解能力、逻辑思维能力、空间想象能力和数学建模等关键能力,尤其加大了对数学建模的考查力度,根据实际问题,建立函数模型或用已知模型解决实际问题。 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 函数的性质 T3，5分 T4，5分 T4，5分 T6，5分 基本初等函数 T7，5分 T5，5分 T3，5分 2026命题预测 预测2026年高考，函数图像与性质主要以小题形式出现，通常与不等式、方程等必备知识结合具体评估为： （1）以选择题或填空题形式出现，数形结合、分类讨论、转化与化归和函数与方程等思想． （2）热点是函数用于新定义中，加强学生的逻辑推理思维能力。 考点一 函数的性质 1．（2025·天津·高考真题，3，5分）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·天津·高考真题，4，5分）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 3．（2023·天津·高考真题，4，5分）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 4．（2022·天津·高考真题，4，5分）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 5．（2020·天津·高考真题，4，5分）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 6．（2019·天津·高考真题，6，5分）已知函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则的取值范围为 A． B． C． D． 7．（2018·天津·高考真题，13，5分）已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是 ． 8．（2017·天津·高考真题，8，5分）已知函数．设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是 A． B． C． D． 知识1函数基础及单调性 1.已知函数解析式求定义域 在函数的三要素中，函数的定义域是函数的灵魂，对应法则相同的函数只有在定义域相同时才算同一函数.定义域问题始终是函数中最重要的问题，许多问题的解决都是必须先解决定义域，不要就会出现问题.通过对近几年高考试题的分析看出，本讲内容也是高考考查的重点之一，题型是选择题、填空题．试题难度较小. 若函数f(x)的解析式为已知函数的形式采用直接法. 解题模板如下： 第一步：找出使函数f(x)所含每个部分有意义的条件，主要考虑以下几种情形： (1)分式中分母不为0；(2)偶次方根中被开方数非负；(3)的底数不为零； (4)的底数不为零； (5)对数式中的底数大于0、且不等于1，真数大于0； (6)正切函数y=tanx的定义域为 . (7)指数式中底数大于零且不等于1. (8)正弦函数、余弦函数、多项式函数（一次函数、二次函数、三次函数,…）的定义域为R. (9)对于幂函数： m为偶数，n为偶数，函数的定义域为R，m为偶数，n为奇数，函数的定义域为R， m为奇数，n为偶数，函数的定义域为[0,+∞)，m为奇数，n为奇数，函数的定义域为R. 注：的定义域为[0,+∞)，而的定义域为R. 第二步：列出不等式（组） 第三步：解不等式（组），即不等式（组）的解集即为函数f(x)的定义域. 2.求函数解析式五大思路 模型一：待定系数法求函数解析式 适用条件：已知函数解析式的类型 步骤如下： 第一步：先设出第二步：再利用题目中给的已知条件，列出等式 第三步：列出关于待定系数的方程组（左右对应匹配），进而求出待定的系数. 模型二：换元法求函数解析式 适用条件：已知函数且能够很轻松的将用表示出来. 步骤如下： 第一步：令，解出且注意新元的取值范围 第二步：然后代入中即可求得 第三步：从而求得. 模型三：配凑法求函数解析式 适用条件：已知函数且不能够很轻松的将用表示出来. 步骤如下： 第一步：将等号右边先出现 第二步：将题干等号右边形式变形成的形式. 第三步：从而求得的解析式. 模型四：方程组法求函数解析式 适用条件：已知与、与（为常数）等之间的关系式 步骤如下： 第一步：将原式抄写一遍，如 第二步：将交换，再写一遍. 第三步：建立二元一次方程组，进行消元从而求得的解析式. 模型五：分段函数求函数解析式 适用条件：已知的解析式求的解析式. 步骤如下： 第一步：明确函数的奇偶性 第二步：，代入已知函数解析式 第三步：利用奇偶性从而求得的解析式. 3.各种函数的值域 形如①：或采用判别式法. 解题步骤： 第一步：观察函数解析式的形式，型如的函数； 第二步：将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数的取值范围，即得函数的值域. 形式1： 形式2： 移项继续利用形式1进行处理. 4.复合函数分析单调性 技巧总结 使用前提：简单的复合函数类型 解题步骤： 第一步：先求函数的定义域； 第二步：分解复合函数，分别判断内外层函数的单调性； 第三步：根据同增异减，确定原函数的增减区间. 剖析：若函数在内单调，在内单调，且集合. (1)若是增函数，是增(减)函数，则是增(减)函数 (2)若是减函数，是增(减)函数，则是减(增)函数 口诀：同则增，异则减(同增异减). 5.结论法(函数性质法)分析单调性 技巧总结 使用前提：将所给的函数进行“庖丁解牛”后每一部分都是一个很明显可以判断单调性的函数. 解题步骤： 第一步：确定所给函数是由哪些可以判断单调性的简单函数组合而成的. 第二步：结合函数的性质即可确定函数的单调性. 常见的结论(函数性质)包括： (1)与单调性相同.(为常数) (2)当时，与具有相同的单调性；当时，与具有相反的单调性 (3)当恒不等于零时，与其有相反的单调性. (4)当、在上都是增(减)函数时，则在上是增(减)函数. (5)当、在上都是增(减)函数，且两者都恒大于0时，在上是增(减)函数；当、在上都是增(减)函数，且两者都恒小于0时，在上是减(增)函数. (6)设为严格增(减)函数，则函数必有反函数，且反函数在其定义域上也是严格增(减)函数. (7)奇(或偶)函数的单调性： 由奇偶函数定义易知：奇函数在对称的区间上有相同的单调性；偶函数在对称的区间上有相反的单调性. (8)周期函数的单调性： 若是周期为的函数，且在单调递增或单调递减，则在上单调递增或单调递减. 知识2函数的奇偶性 1.根据函数奇偶性的规律判定 使用前提：函数解析式比较复杂，由若干基本函数经过运算之后的函数判定奇偶性. 解题步骤： 第一步：确定所给函数的结构特征，应用奇函数的性质进行判断； 第二步：结合基本函数的奇偶性和函数奇偶性的相关结论确定所给函数的奇偶性. 常见的结论包括： (1)几个奇函数的代数和是奇函数；几个偶函数的代数和是偶函数；奇函数与偶函数的代数和是非奇非偶函数. (2)奇函数的乘积或商是偶函数，偶函数的乘积或商是偶函数，奇函数与偶函数的乘积或商是奇函数. 常见基本函数的奇偶性： (1)一次函数，当时，是奇函数，当时，是非奇非偶函数. (2)二次函数，当时，是偶函数；当时，是非奇非偶函数. (3)反比例函数是奇函数. (4)指数函数(且)是非奇非偶函数 (5)对数函数(且，)是非奇非偶函数. (6)三角函数是奇函数，是偶函数，是奇函数. (7)常值函数，当时，是偶函数，当时，既是奇函数又是偶函数. 特殊函数的奇偶性： 奇函数：两指两对 ⑴， ⑵函数 ⑶， ⑷函数，函数 ⑸函数 偶函数： ⑴函数 ⑵函数 ⑶函数类型的一切函数. 知识3函数的周期性、对称性 15.函数周期性的妙解 技巧总结 类型一：抽象函数的周期性 使用前提：函数的解析式不确定，给出抽象函数的性质，来确定函数的周期 解题步骤： 第一步：合理利用已知函数关系并进行适当地变形； 第二步：熟记常见结论，准确求出函数的周期性； 常见的结论包括： 结论1：若对于非零常数和任意实数，等式恒成立，则是周期函数，且是它的一个周期. 结论2：定义在上的函数，对任意的，若有(其中为常数，)，则函数是周期函数，是函数的一个周期. 结论3：定义在上的函数，对任意的，若有(其中为常数，)，则函数是周期函数，是函数的一个周期. 结论4：定义在上的函数，对任意的，若有，(或)(其中为常数，)，则函数是周期函数，是函数的一个周期. 结论5:定义在上的函数，对任意的，有且， (其中是常数，)则函数是周期函数，是函数的一个周期. 另一种题干出现的信息：①若的图象关于直线都对称，则等价于且，则为周期函数且. ②若为偶函数且图象关于直线对称，则为周期函数且 结论6:若定义在上的函数对任意实数，恒有成立()，则是周期函数，且是它的一个周期. 结论7:若对于非零常数和任意实数，等式成立，则是周期函数，且是它的一个周期. 结论8:若对于非零常数和任意实数，等式成立，则是周期函数，且是它的一个周期. 结论9:若对于非零常数和任意实数，等式成立，则是周期函数，且是它的一个周期. 结论10:①若定义在上的函数的图象关于两点都对称，则是周期函数，且是它的一个周期. ②若奇函数的图象关于点对称，则是周期函数，且是它的一个周期. 结论11:①若定义在上的函数的图象关于点和直线都对称，则是周期函数，且是它的一个周期. ②若奇函数的图象关于直线对称，则是周期函数，且是它的一个周期. 2.函数对称性的妙解 类型一：函数自身的对称性 使用前提：单一的函数本身具有轴对称或中心对称的特征 解题步骤： 第一步：由所给的函数性质确定函数的对称性 常见函数的对称性包括： 定理1：函数的图像关于点对称的充要条件是.或或 推论1：函数的图像关于原点对称的充要条件是. 定理2：函数的图像关于直线对称的充要条件是，即. 推论2：函数的图像关于轴对称的充要条件是. 【易错提醒】　 1.函数的概念 ①一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数.记作：，.集合叫做函数的定义域，记为，集合叫做值域，记为. ②函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.③函数表示法：函数书写方式为， ④函数三要素：定义域、值域、对应法则.⑤同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同. 2.基本的函数定义域限制 求解函数的定义域应注意： ①分式的分母不为零；②偶次方根的被开方数大于或等于零：③对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； ④零次幂或负指数次幂的底数不为零；⑤三角函数中的正切的定义域是且；⑥已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同； ⑦对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域. 3.基本初等函数的值域 ①的值域是. ②的值域是：当时，值域为；当时，值域为． ③的值域是.④且的值域是. ⑤且的值域是. 分段函数的应用 分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决． 4.函数的单调性 （1）单调函数的定义 一般地，设函数的定义域为，区间： 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，符号一致那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，符号相反那么就说在区间上是减函数． ①属于定义域内某个区间上；②任意两个自变量，且；③都有或； ④图象特征：在单调区间上增函数的图象上坡路，减函数的图象下坡路． （2）单调性与单调区间 ①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间． ②函数的单调性是函数在某个区间上的性质． （3）复合函数的单调性 复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数. 函数的最值 前提：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足 条件：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得结论为最大值 （1）对于任意的，都有；（2）存在，使得结论为最小值 题型1函数定义域、值域、解析式 1．（2025·天津·模拟预测）函数的大致图象是（    ）． A．B．C． D． 2．（2024·天津·一模）已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·天津·一模）下列函数中，是奇函数且在定义域内是增函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·天津·模拟预测）函数的大致图像为（    ） A． B． C． D． 5．（2022·天津·模拟预测）已知某函数图象如图所示，则下列解析式中与此图象最为符合的是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·天津河北·一模）设函数是定义在上以1为周期的函数，若在区间上的值域为，则函数在上的值域为 ． 题型2函数单调性、周期性、奇偶性、对称性 7．（2025·天津红桥·模拟预测）下列函数中为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·天津·二模）函数的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 9．（2025·天津河北·模拟预测）已知函数是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 10．（2025·天津武清·模拟预测）已知定义在R上的函数，，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 11．（2025·天津武清·模拟预测）已知函数，，某函数的部分图象如图所示，则该函数可能是（    ） A． B． C． D． 12．（2025·天津·二模）已知函数的图象如图所示，则该图象所对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 13．（2025·天津·二模）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 14．（2025·天津和平·三模）定义域为的函数满足，当时，，若时，，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型3函数零点所在区间及分段函数值域求参问题 15．（2025·天津武清·模拟预测）设，已知方程恰有3个不同的实数解，则实数a的取值范围是 . 16．（2025·天津南开·模拟预测）设，已知函数，，若方程有两个实数解，则实数的取值范围为 ． 17．（2025·天津·三模）设函数，记函数有且仅有个互不相同的零点，则当取到最大值时，实数的取值范围是 . 18．（2025·天津·一模）已知函数．若函数恰有四个零点，则实数a的取值范围为 ． 19．（2025·天津·二模）记表示不大于x的最大整数，例如，，则方程所有解的和为 ． 20．（2025·天津·二模）已知函数，若方程有且只有一个解，则实数a的取值范围是 . 21．（2025·天津河西·二模）已知函数有四个不同的零点，且，则的取值范围是 . 22．（2025·天津南开·二模）已知函数的图象与直线有三个交点，则实数的取值范围是 ． 考点二 基本初等函数 1．（2025·天津·高考真题，7，5分）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·天津·高考真题，5，5分）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·天津·高考真题，2，5分）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2023·天津·高考真题，3，5分）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．（2022·天津·高考真题，3，5分）化简（         ） A．1 B． C．2 D． 6．（2022·天津·高考真题，5，5分）设，，，则的大小关系为（      ） A． B． C． D． 7．（2021·天津·高考真题，3，5分）若，则（    ） A． B． C．1 D． 8．（2020·天津·高考真题，3，5分）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 9．（2019·天津·高考真题，3，5分）已知，，，则的大小关系为 A． B． C． D． 10．（2019·天津·高考真题，3，5分）已知，，，则的大小关系为 A． B． C． D． 知识1指数运算及指数函数 1.指数基本运算 1、有理数指数幂的分类 ⑴正整数指数幂⑵零指数幂 ⑶负整数指数幂⑷0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2、有理数指数幂的性质 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ②全称量词命题和存在量词命题的求参数问题相对较难，要注重端点出点是否可以取到. 3.指数函数的图象及其性质 指数函数及其性质 Ⅰ概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数. Ⅱ指数函数的图象与性质 函数 a>1 0<a<1 图象 最特殊点 即图象都过 性质 ①定义域R 值域 ②即当图象都过定点(0，1)， ③即不是奇函数也不是偶函数 ④当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1 ④当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1 ⑤在(－∞，＋∞)上是增函数 ⑤在(－∞，＋∞)上是减函数 注意：①当底数大小不确定时，必须进行两种形式讨论. ②当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快. 当时，的值越小，图象越靠近轴，递减速度越快. 4.涉及指数分段函数判断参数的取值范围 形如： ①如果为单调递增函数，满足：为递增函数，为递增函数，. ②如果为单调递减函数，满足：为递减函数，为递减函数，. ③如果由最大值，满足：为递增函数，为递减函数，. ④如果由最小值，满足：为递减函数，为递增函数，. 知识2对数运算及对数函数 1.对数基本运算 1、 对数运算法则 ①外和内乘：②外差内除： ③提公次方法：④特殊对数： ⑤指中有对，没心没肺，真数为几，直接取几： 2、对数的定义 一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记,其中叫做对数的底数，叫做对数的真数 3、换底公式 ①常用换底②倒数原理 ③约分技巧④具体数字归一处理： 2.对数函数的图象及其性质 对数函数及其性质 Ⅰ概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). Ⅱ对数函数的图象与性质 由于对数图象是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只需由相应的指数函数图象关于对称即可，当然也分和两种情况讨论，讨论如下 a>1 0<a<1 图象 性质 ①定义域：(0，＋∞) ②值域：R ③当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) ④当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0 ④当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0 ⑤在(0，＋∞)上是增函数 ⑤在(0，＋∞)上是减函数 注意：①当底数大小不确定时，必须进行两种形式讨论. ②当时，的值越大，图象越靠近轴.当时，的值越小，图象越靠近轴. 3.指对数大小比较问题 指对数大小比较问题已经成为高考的重难点问题，我们这里介绍五大核心思想. 核心思想一：同步《升降》次法 形如： 注意：一般情况下以为底的对数比较大小，底数真数次方一起同升同降. 口诀：为底眼睛亮，底真次方同升降. 核心思想二：先分离常数再比大小 当底数与真数出现倍数关系，必须先将对数分离常数后作比较. ① ② 口诀：底真出现倍数时，分离常数用起来 核心思想三：利用糖水变甜不等式比较大小 当对数比较大小形式中出现底数与真数成等差数列时，可以采用糖水不等式放缩处理. 形如：则存在，或 模型演练：①比较与的大小 根据糖水不等式，令，即 故 ②比较与的大小 根据糖水不等式，令，即 故 口诀：底大真小底大者大，底小真大底小者大. 核心思想四：由引出的大小比较问题 如图所示： ①在在，在时，取得最大值且为 ②极大值左偏，且 ③若，则 若，则 口诀：大指小底永为大（大小指） 4.涉及对数分段函数判断参数的取值范围 形如： ①如果为单调递增函数，满足：为递增函数，为递增函数，. ②如果为单调递减函数，满足：为递减函数，为递减函数，. ③如果由最大值，满足：为递增函数，为递减函数，. ④如果由最小值，满足：为递减函数，为递增函数，. 【易错提醒】 幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数 ①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数. 掌握二次函数解析式的三种形式（不能忘记最后一种） （1）一般式：； （2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程. （3）两点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标. 与轴相交的弦长 当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，. 件 题型1对数的实际应用 1．（2025·天津·二模）目前很多手机都具有快充功能，其电池电量Q（单位：%）与充电时间（单位：分钟）的关系可表示为.现在一个手机用到没电了，应用快充方式要使电量达到80%以上，则最少的充电时间约为（参考数据）（    ） A．128分钟 B．64分钟 C．32分钟 D．16分钟 2．（2025·天津河东·二模）我们知道，任何一个正实数N可以表示成，此时，当时，N是位数，小明利用上述方法，根据判断是m位数，则m为（    ） A．36 B．33 C．32 D．31 3．（2025·天津红桥·一模）已知命题，命题，则命题p是命题q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．数列是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，，，.若存在常数a，b，使得对任意的都有，则（   ） A． B． C． D． 5．大气压强，它的单位是“帕斯卡”（Pa），它随海拔高度h（m）的变化规律可以近似的表示为（其中e为自然对数的底数，是海平面大气压强，为常数）.已知宁波市海拔最高的是四明山的主峰，主峰上一处的海拔约为1018m，大气压强为90900Pa，宁波城区一处的海拔约为4m，大气压强为101000Pa.现测得某山峰上一处的大气压强为80800Pa，请估计该处的海拔高度（单位：m）位于以下哪个范围内？（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 6．（2025·天津·一模）在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长.若增长为原来的2.5倍经过了10天，则增长为原来的5倍需要经过的天数约为（    ）（参考数据：） A．12 B．15 C．18 D．20 7．（2025·天津·模拟预测）在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位：W）可表示为，其中为初始光功率，为衰减系数，为接收信号处与发射器之间的距离（单位：km）．已知距离发射器km处的光功率衰减为初始光功率的一半，若某处光功率衰减为初始光功率的，则此处到发射器的距离为（   ） A．km B．km C．km D．km 8．（2024·天津·一模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．某天，驾驶员张某在家喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量达到了，如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能安全驾驶？（结果取整数，参考数据：（　　），） A．1 B．2 C．3 D．4 题型2指对幂比较大小 9．（2025·天津红桥·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 10．（2025·天津河北·模拟预测）已知，，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 11．（2025·天津南开·模拟预测）若，，则实数、、的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 12．（2025·天津·二模）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 13．（2025·天津北辰·三模）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 14．（2025·天津河西·模拟预测）设，，，则 的大小关系为（    ） A． B． C． D． 15．（2025·天津·二模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 16．（2025·天津·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 17．（2025·天津滨海新·三模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 18．（2025·天津南开·二模）已知，则（   ）． A． B． C． D． 题型3指对幂运算及解不等式、方程根问题 19．（2025·天津·模拟预测）已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 20．（2025·天津南开·一模）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 21．（2025·天津·模拟预测）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 22．（2025·天津·模拟预测）关于的不等式（其中，为自然对数的底数）的解集是（   ） A． B． C． D． 23．已知全集，集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．（2025·天津·二模）已知定义在上的函数，其中是奇函数且在上单调递减，的解集为（    ） A． B． C． D． 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司/ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数图象及性质应用 目录 01 析·考情精解 2 02 构·知能框架 3 03 破·题型攻坚 4 考点一 函数的性质 4 真题动向 必备知识 知识1函数的单调性 知识2函数的奇偶性 知识3函数的周期性 命题预测 题型1 函数定义域、值域、解析式 题型2 函数单调性、周期性、奇偶性、对称性 题型3函数零点所在区间及分段函数值域求参问题 考点二 基本初等函数 36 真题动向 必备知识 知识1指数运算及指数函数 知识2对数运算及对数函数 命题预测 题型1对数的实际应用 题型2指对幂比较大小 题型3指对幂运算及解不等式、方程根问题 命题轨迹透视 函数作为高中数学内容的一条主线,对整个高中数学有着重要的意义,题目分布在选择题和填空题居多,有关函数图像与性质的北天津高考试题，考查重点是以基本初等函数、基本初等函数组成的复合函数为载体，以函数内容和性质为主导，考查函数的定义域、值域,函数的表示方法、图象及性质(单调性、奇偶性、对称性、周期性)。通常与不等式、方程等必备知识结合,考查数形结合、分类讨论、转化与化归和函数与方程等思想.考查学生运算求解能力、逻辑思维能力、空间想象能力和数学建模等关键能力,尤其加大了对数学建模的考查力度,根据实际问题,建立函数模型或用已知模型解决实际问题。 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 函数的性质 T3，5分 T4，5分 T4，5分 T6，5分 基本初等函数 T7，5分 T5，5分 T3，5分 2026命题预测 预测2026年高考，函数图像与性质主要以小题形式出现，通常与不等式、方程等必备知识结合具体评估为： （1）以选择题或填空题形式出现，数形结合、分类讨论、转化与化归和函数与方程等思想． （2）热点是函数用于新定义中，加强学生的逻辑推理思维能力。 考点一 函数的性质 1．（2025·天津·高考真题，3，5分）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D 2．（2024·天津·高考真题，4，5分）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误； 对B，设，函数定义域为， 且，则为偶函数，故B正确； 对C，设，， ，则不是偶函数，故C错误； 对D，设，函数定义域为， 因为，且不恒为0， 则不是偶函数，故D错误. 故选：B. 3．（2023·天津·高考真题，4，5分）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且， 由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除； 当时、，即A、C中上函数值为正，排除； 故选：D 4．（2022·天津·高考真题，4，5分）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为， 且， 函数为奇函数，CD选项错误； 又当时，，B选项错误. 故选：A. 5．（2020·天津·高考真题，4，5分）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误； 当时，，选项B错误. 故选：A. 6．（2019·天津·高考真题，6，5分）已知函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，当直线位于点及其上方且位于点及其下方， 或者直线与曲线相切在第一象限时符合要求． 即，即， 或者，得，，即，得， 所以的取值范围是． 故选D． 7．（2018·天津·高考真题，13，5分）已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】分类讨论：①当时，即：， 整理可得：， 由恒成立的条件可知：， 结合二次函数的性质可知： 当时，，则； ②当时，即：，整理可得：， 由恒成立的条件可知：， 结合二次函数的性质可知： 当或时，，则； 综合①②可得的取值范围是，故答案为. 8．（2017·天津·高考真题，8，5分）已知函数．设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】满足题意时的图象恒不在函数下方， 当时，函数图象如图所示，排除C,D选项； 当时，函数图象如图所示，排除B选项， 本题选择A选项. 知识1函数基础及单调性 1.已知函数解析式求定义域 在函数的三要素中，函数的定义域是函数的灵魂，对应法则相同的函数只有在定义域相同时才算同一函数.定义域问题始终是函数中最重要的问题，许多问题的解决都是必须先解决定义域，不要就会出现问题.通过对近几年高考试题的分析看出，本讲内容也是高考考查的重点之一，题型是选择题、填空题．试题难度较小. 若函数f(x)的解析式为已知函数的形式采用直接法. 解题模板如下： 第一步：找出使函数f(x)所含每个部分有意义的条件，主要考虑以下几种情形： (1)分式中分母不为0；(2)偶次方根中被开方数非负；(3)的底数不为零； (4)的底数不为零； (5)对数式中的底数大于0、且不等于1，真数大于0； (6)正切函数y=tanx的定义域为 . (7)指数式中底数大于零且不等于1. (8)正弦函数、余弦函数、多项式函数（一次函数、二次函数、三次函数,…）的定义域为R. (9)对于幂函数： m为偶数，n为偶数，函数的定义域为R，m为偶数，n为奇数，函数的定义域为R， m为奇数，n为偶数，函数的定义域为[0,+∞)，m为奇数，n为奇数，函数的定义域为R. 注：的定义域为[0,+∞)，而的定义域为R. 第二步：列出不等式（组） 第三步：解不等式（组），即不等式（组）的解集即为函数f(x)的定义域. 2.求函数解析式五大思路 模型一：待定系数法求函数解析式 适用条件：已知函数解析式的类型 步骤如下： 第一步：先设出第二步：再利用题目中给的已知条件，列出等式 第三步：列出关于待定系数的方程组（左右对应匹配），进而求出待定的系数. 模型二：换元法求函数解析式 适用条件：已知函数且能够很轻松的将用表示出来. 步骤如下： 第一步：令，解出且注意新元的取值范围 第二步：然后代入中即可求得 第三步：从而求得. 模型三：配凑法求函数解析式 适用条件：已知函数且不能够很轻松的将用表示出来. 步骤如下： 第一步：将等号右边先出现 第二步：将题干等号右边形式变形成的形式. 第三步：从而求得的解析式. 模型四：方程组法求函数解析式 适用条件：已知与、与（为常数）等之间的关系式 步骤如下： 第一步：将原式抄写一遍，如 第二步：将交换，再写一遍. 第三步：建立二元一次方程组，进行消元从而求得的解析式. 模型五：分段函数求函数解析式 适用条件：已知的解析式求的解析式. 步骤如下： 第一步：明确函数的奇偶性 第二步：，代入已知函数解析式 第三步：利用奇偶性从而求得的解析式. 3.各种函数的值域 形如①：或采用判别式法. 解题步骤： 第一步：观察函数解析式的形式，型如的函数； 第二步：将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数的取值范围，即得函数的值域. 形式1： 形式2： 移项继续利用形式1进行处理. 4.复合函数分析单调性 技巧总结 使用前提：简单的复合函数类型 解题步骤： 第一步：先求函数的定义域； 第二步：分解复合函数，分别判断内外层函数的单调性； 第三步：根据同增异减，确定原函数的增减区间. 剖析：若函数在内单调，在内单调，且集合. (1)若是增函数，是增(减)函数，则是增(减)函数 (2)若是减函数，是增(减)函数，则是减(增)函数 口诀：同则增，异则减(同增异减). 5.结论法(函数性质法)分析单调性 技巧总结 使用前提：将所给的函数进行“庖丁解牛”后每一部分都是一个很明显可以判断单调性的函数. 解题步骤： 第一步：确定所给函数是由哪些可以判断单调性的简单函数组合而成的. 第二步：结合函数的性质即可确定函数的单调性. 常见的结论(函数性质)包括： (1)与单调性相同.(为常数) (2)当时，与具有相同的单调性；当时，与具有相反的单调性 (3)当恒不等于零时，与其有相反的单调性. (4)当、在上都是增(减)函数时，则在上是增(减)函数. (5)当、在上都是增(减)函数，且两者都恒大于0时，在上是增(减)函数；当、在上都是增(减)函数，且两者都恒小于0时，在上是减(增)函数. (6)设为严格增(减)函数，则函数必有反函数，且反函数在其定义域上也是严格增(减)函数. (7)奇(或偶)函数的单调性： 由奇偶函数定义易知：奇函数在对称的区间上有相同的单调性；偶函数在对称的区间上有相反的单调性. (8)周期函数的单调性： 若是周期为的函数，且在单调递增或单调递减，则在上单调递增或单调递减. 知识2函数的奇偶性 1.根据函数奇偶性的规律判定 使用前提：函数解析式比较复杂，由若干基本函数经过运算之后的函数判定奇偶性. 解题步骤： 第一步：确定所给函数的结构特征，应用奇函数的性质进行判断； 第二步：结合基本函数的奇偶性和函数奇偶性的相关结论确定所给函数的奇偶性. 常见的结论包括： (1)几个奇函数的代数和是奇函数；几个偶函数的代数和是偶函数；奇函数与偶函数的代数和是非奇非偶函数. (2)奇函数的乘积或商是偶函数，偶函数的乘积或商是偶函数，奇函数与偶函数的乘积或商是奇函数. 常见基本函数的奇偶性： (1)一次函数，当时，是奇函数，当时，是非奇非偶函数. (2)二次函数，当时，是偶函数；当时，是非奇非偶函数. (3)反比例函数是奇函数. (4)指数函数(且)是非奇非偶函数 (5)对数函数(且，)是非奇非偶函数. (6)三角函数是奇函数，是偶函数，是奇函数. (7)常值函数，当时，是偶函数，当时，既是奇函数又是偶函数. 特殊函数的奇偶性： 奇函数：两指两对 ⑴， ⑵函数 ⑶， ⑷函数，函数 ⑸函数 偶函数： ⑴函数 ⑵函数 ⑶函数类型的一切函数. 知识3函数的周期性、对称性 15.函数周期性的妙解 技巧总结 类型一：抽象函数的周期性 使用前提：函数的解析式不确定，给出抽象函数的性质，来确定函数的周期 解题步骤： 第一步：合理利用已知函数关系并进行适当地变形； 第二步：熟记常见结论，准确求出函数的周期性； 常见的结论包括： 结论1：若对于非零常数和任意实数，等式恒成立，则是周期函数，且是它的一个周期. 结论2：定义在上的函数，对任意的，若有(其中为常数，)，则函数是周期函数，是函数的一个周期. 结论3：定义在上的函数，对任意的，若有(其中为常数，)，则函数是周期函数，是函数的一个周期. 结论4：定义在上的函数，对任意的，若有，(或)(其中为常数，)，则函数是周期函数，是函数的一个周期. 结论5:定义在上的函数，对任意的，有且， (其中是常数，)则函数是周期函数，是函数的一个周期. 另一种题干出现的信息：①若的图象关于直线都对称，则等价于且，则为周期函数且. ②若为偶函数且图象关于直线对称，则为周期函数且 结论6:若定义在上的函数对任意实数，恒有成立()，则是周期函数，且是它的一个周期. 结论7:若对于非零常数和任意实数，等式成立，则是周期函数，且是它的一个周期. 结论8:若对于非零常数和任意实数，等式成立，则是周期函数，且是它的一个周期. 结论9:若对于非零常数和任意实数，等式成立，则是周期函数，且是它的一个周期. 结论10:①若定义在上的函数的图象关于两点都对称，则是周期函数，且是它的一个周期. ②若奇函数的图象关于点对称，则是周期函数，且是它的一个周期. 结论11:①若定义在上的函数的图象关于点和直线都对称，则是周期函数，且是它的一个周期. ②若奇函数的图象关于直线对称，则是周期函数，且是它的一个周期. 2.函数对称性的妙解 类型一：函数自身的对称性 使用前提：单一的函数本身具有轴对称或中心对称的特征 解题步骤： 第一步：由所给的函数性质确定函数的对称性 常见函数的对称性包括： 定理1：函数的图像关于点对称的充要条件是.或或 推论1：函数的图像关于原点对称的充要条件是. 定理2：函数的图像关于直线对称的充要条件是，即. 推论2：函数的图像关于轴对称的充要条件是. 【易错提醒】　 1.函数的概念 ①一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数.记作：，.集合叫做函数的定义域，记为，集合叫做值域，记为. ②函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.③函数表示法：函数书写方式为， ④函数三要素：定义域、值域、对应法则.⑤同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同. 2.基本的函数定义域限制 求解函数的定义域应注意： ①分式的分母不为零；②偶次方根的被开方数大于或等于零：③对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； ④零次幂或负指数次幂的底数不为零；⑤三角函数中的正切的定义域是且；⑥已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同； ⑦对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域. 3.基本初等函数的值域 ①的值域是. ②的值域是：当时，值域为；当时，值域为． ③的值域是.④且的值域是. ⑤且的值域是. 分段函数的应用 分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决． 4.函数的单调性 （1）单调函数的定义 一般地，设函数的定义域为，区间： 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，符号一致那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，符号相反那么就说在区间上是减函数． ①属于定义域内某个区间上；②任意两个自变量，且；③都有或； ④图象特征：在单调区间上增函数的图象上坡路，减函数的图象下坡路． （2）单调性与单调区间 ①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间． ②函数的单调性是函数在某个区间上的性质． （3）复合函数的单调性 复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数. 函数的最值 前提：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足 条件：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得结论为最大值 （1）对于任意的，都有；（2）存在，使得结论为最小值 题型1函数定义域、值域、解析式 1．（2025·天津·模拟预测）函数的大致图象是（    ）． A．B．C． D． 【答案】B 【详解】函数的定义域为，排除选项D； ， 故函数为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A； 当时，； 当时，，排除选项C； 综上所得，选项B符合题意． 故选：B． 2．（2024·天津·一模）已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于B，当时，，易知，， 则，不满足图象，故B错误； 对于C，，定义域为， 又，则的图象关于轴对称，故C错误； 对于D，当时，， 由反比例函数的性质可知，在上单调递减，故D错误； 检验选项A，满足图中性质，故A正确. 故选：A. 3．（2024·天津·一模）下列函数中，是奇函数且在定义域内是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A选项：函数定义为，，是偶函数，A选项不正确； B选项：函数定义为，，是奇函数， 函数在上单调递增，在上单调递减，B选项不正确； C选项：函数定义为，，是奇函数， 因为，所以函数在定义域内单调递增，C选项正确； D选项：函数定义为，，是奇函数， 因为在上单调递减， 所以函数在上单调递减，D选项不正确. 故选：C. 4．（2023·天津·模拟预测）函数的大致图像为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由知，，排除C选项； 函数没有定义，排除B； 时，，根据指数函数的单调性可知，， 又弧度是第二象限角，故，于是时，，排除D. 故选：A. 5．（2022·天津·模拟预测）已知某函数图象如图所示，则下列解析式中与此图象最为符合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A选项，的定义域为，故和图象不合，舍去； B选项，当时，，与图象不合，舍去； C选项，定义域为，， 当，时，，单调递增， 当，时，，单调递减， 与图象符合， D选项，定义域为， 在上恒成立， 故在上均单调递减，与图象不合，舍去； 故选：C 6．（2025·天津河北·一模）设函数是定义在上以1为周期的函数，若在区间上的值域为，则函数在上的值域为 ． 【答案】 【详解】由在区间[2,3]上的值域为[−2,6], 可设 , - 因为是定义在上以1为周期的函数， 所以, 同理，， ，于是在上的最小值是， ，于是在上的最大值是, 所以函数在上的值域为. 故答案为; 题型2函数单调性、周期性、奇偶性、对称性 7．（2025·天津红桥·模拟预测）下列函数中为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】为偶函数，为非奇非偶函数， 为奇函数，为非奇非偶函数. 故选：A. 8．（2025·天津·二模）函数的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的定义域为R， 则， 所以为偶函数，图象关于y轴对称，故排除C，D选项； 又因为，故排除B选项. 故选：A． 9．（2025·天津河北·模拟预测）已知函数是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为的定义域为R，又因为，所以是偶函数，不符合题意； 令，则，所以是偶函数，不符合题意； 令，则，所以是偶函数，不符合题意； 令，则，所以是奇函数，符合题意． 故选：D． 10．（2025·天津武清·模拟预测）已知定义在R上的函数，，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，定义域为，关于原点对称， 且，所以函数为奇函数， 所以， 又， 任取，且，则，则， 故在上单调递增， 又由对数函数的单调性可得， 所以，即. 故选：D 11．（2025·天津武清·模拟预测）已知函数，，某函数的部分图象如图所示，则该函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，令，由，则，， 所以是非奇非偶函数，由图象不符，故A错误； 对于B，令，由，则，， 所以是非奇非偶函数，由图象不符，故B错误； 对于D，，当时，，与图象不符，排除D，故C正确. 故选：C. 12．（2025·天津·二模）已知函数的图象如图所示，则该图象所对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A：，当时， ，故排除A； 对于B：当时，函数为增函数，当时，函数为减函数，故排除B； 对于D，当时，，，所以在上单调递增，故排除D； 对于C，为偶函数，由可得，满足图象，故C正确. 故选：C． 13．（2025·天津·二模）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据图象可以看出，函数的定义域不包括， 这说明函数在这两个点上无意义，而选项C,D的定义域包括，所以排除C,D. 由图象可以看出，函数关于原点对称，是奇函数，而选项B中， 因为，说明选项B中的函数为偶函数，不符合图象，所以排除. 故选：A. 14．（2025·天津和平·三模）定义域为的函数满足，当时，，若时，，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，恒成立，则， 因为定义域为的函数满足， 当时，， 当时，， 则 ， 因为，此时； 当时，， 则， 因为，则，则，所以， 所以，函数在上的最小值为， 所以，，即，即，解得或. 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 题型3函数零点所在区间及分段函数值域求参问题 15．（2025·天津武清·模拟预测）设，已知方程恰有3个不同的实数解，则实数a的取值范围是 . 【答案】或 【详解】当时，方程为，不成立， 所以恰有3个不同的实数解，； 原方程可化为恰有3个不同的实数解， 令，即的图象有3个不同的交点， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ，的图象如下， 由图可知， 当，且与相切时， 由，所以，, 所以（另一解舍去），若要有3个不同的交点，则； ，的图象没有3个不同的交点； 当，且与相切时，由同理可得（另一解舍去）， 当过时，，当，不符合题意； 若要有3个不同的交点，则； 综上所述，或. 故答案为：或. 16．（2025·天津南开·模拟预测）设，已知函数，，若方程有两个实数解，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为, 所以，即， 整理得． 因为方程有两个实数解，所以方程有两个实数解. 令， 则函数与的图象有两个交点. ①当时，，由图象可知，两函数有4个交点，故不合题意； ②当时，易知，且， 令,得, ，令, 得, 若与的图象有两个交点，需满足，解得． ③当时，易知． 由②的分析可得，若与的图象有两交点，需满足解得． 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 17．（2025·天津·三模）设函数，记函数有且仅有个互不相同的零点，则当取到最大值时，实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】，即， 当时，，即，故满足要求， 若，则无解，若，则，解得不满足； 若，则的解， 若，则的解，且当时，， 故当时，在上有两个零点， 当取其他值时，只有1个零点， 时，， 显然当时，无解， 当且时，， 令， ， 当时，，当时，， 当时，，当时，，当时，， 故在，，上单调递增， 在，上单调递减， 又时，，其中，，，， 画出的图象如下： 当或或或时，有一个零点， 当时，有2个零点， 当时，有3个零点， 当时，无零点， 综上：最多有4个零点， 则. 故答案为：. 18．（2025·天津·一模）已知函数．若函数恰有四个零点，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】若，则等价于，解得或， 当或时，函数是二次函数， 其零点不超过两个， 从而必然有且， 的零点有四个等价于的图象与的图象的交点个数为4， 如图，当时，设直线与的图象相切，直线经过点，其中的横坐标是的较小的那个根， 且经过直线所过的那个定点， 由求根公式可求得点的横坐标为，从而， 所以要满足题意的话，那么当且仅当，其中分别表示直线的斜率， 显然有， 联立直线与得， ，从而有，解得或（舍去）， 舍去是因为理论上来说与可能有两种相切的情况， 一种是相切于对称轴左边的一点，一种是相切于对称轴右边一点， 从而， 所以时，， 即，解得， 当时，设直线与的图象相切，直线经过点，其中的横坐标是的较大的那个根， 且经过直线所过的那个定点， 由求根公式可求得点的横坐标为，从而， 所以要满足题意的话，那么当且仅当，其中分别表示直线的斜率， 显然有， 联立直线与得， ，从而有，解得或（舍去）， 舍去是因为理论上来说与可能有两种相切的情况， 一种是相切于对称轴左边的靠上面的一点，一种是相切于对称轴左边的靠下面的一点， 从而， 所以时，， 即，解得或， 综上所述，所求为. 故答案为：. 19．（2025·天津·二模）记表示不大于x的最大整数，例如，，则方程所有解的和为 ． 【答案】 【详解】由已知有，即， 则由，可得， 即，解得． 同理，有， 解得，或， 故，或， 因此． 当时，有，解得，满足题意； 当时，有，解得，满足题意； 当时，有，不符合题意； 当时，有，不符合题意． 综上，方程所有解的和为． 故答案为： 20．（2025·天津·二模）已知函数，若方程有且只有一个解，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】设，则， 情形一：当时，，解得或， 因为，故不可能有， 从而只能是有唯一的解， 这就要求， 当时，，解得， 当时，，解得，这与矛盾， 此时满足题意的的取值范围是； 情形二：当时，，解得， 这就要求， 由于，故只能是，解得， 这就要求， 此时满足题意的的取值范围是； 综上所述，满足题意的的取值范围是. 故答案为：. 21．（2025·天津河西·二模）已知函数有四个不同的零点，且，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意可知，由可得， 可得， 所以，直线与函数的图象有四个交点，如下图所示： 由可得或， 结合图象可知，、为方程的两根，即方程的两根， ，由韦达定理可得，， 因为，则， 、为方程的两根，即方程的两根， ，可得，故， 由韦达定理可得，， 因为，所以， 所以， 令，， 所以， 对任意的，，则， 即对任意的恒成立， 所以，函数在上单调递减，且，， 故当时，， 因此，的取值范围是. 故答案为：. 22．（2025·天津南开·二模）已知函数的图象与直线有三个交点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】， 即， 当，，，所以不是交点横坐标； 当时，，即， 令，则， 所以的图象与有3个交点， 即函数与的图象有3个交点， 函数恒过点， 当，即， ，即， 解得或， 当，解得或， 所以函数与相切时的最小值为或， 由图象可知当（1）时，即； （2），即时函数与的图象有3个交点， 综上：当时，的图象与有3个交点， 故答案为：. 考点二 基本初等函数 1．（2025·天津·高考真题，7，5分）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B 2．（2024·天津·高考真题，5，5分）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在上递增，且， 所以， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，即， 所以， 故选：D 3．（2024·天津·高考真题，2，5分）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件. 故选：C. 4．（2023·天津·高考真题，3，5分）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由在R上递增，则， 由在上递增，则. 所以. 故选：D 5．（2022·天津·高考真题，3，5分）化简（         ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】原式 ， 故选：C 6．（2022·天津·高考真题，5，5分）设，，，则的大小关系为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，故. 故选：D. 7．（2021·天津·高考真题，3，5分）若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【详解】，， . 故选：C. 8．（2020·天津·高考真题，3，5分）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， ， ， 所以. 故选：D. 9．（2019·天津·高考真题，3，5分）已知，，，则的大小关系为 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】； ； ． 故． 故选A． 10．（2019·天津·高考真题，3，5分）已知，，，则的大小关系为 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， ， ，故， 所以． 故选A． 知识1指数运算及指数函数 1.指数基本运算 1、有理数指数幂的分类 ⑴正整数指数幂⑵零指数幂 ⑶负整数指数幂⑷0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2、有理数指数幂的性质 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ②全称量词命题和存在量词命题的求参数问题相对较难，要注重端点出点是否可以取到. 3.指数函数的图象及其性质 指数函数及其性质 Ⅰ概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数. Ⅱ指数函数的图象与性质 函数 a>1 0<a<1 图象 最特殊点 即图象都过 性质 ①定义域R 值域 ②即当图象都过定点(0，1)， ③即不是奇函数也不是偶函数 ④当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1 ④当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1 ⑤在(－∞，＋∞)上是增函数 ⑤在(－∞，＋∞)上是减函数 注意：①当底数大小不确定时，必须进行两种形式讨论. ②当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快. 当时，的值越小，图象越靠近轴，递减速度越快. 4.涉及指数分段函数判断参数的取值范围 形如： ①如果为单调递增函数，满足：为递增函数，为递增函数，. ②如果为单调递减函数，满足：为递减函数，为递减函数，. ③如果由最大值，满足：为递增函数，为递减函数，. ④如果由最小值，满足：为递减函数，为递增函数，. 知识2对数运算及对数函数 1.对数基本运算 1、 对数运算法则 ①外和内乘：②外差内除： ③提公次方法：④特殊对数： ⑤指中有对，没心没肺，真数为几，直接取几： 2、对数的定义 一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记,其中叫做对数的底数，叫做对数的真数 3、换底公式 ①常用换底②倒数原理 ③约分技巧④具体数字归一处理： 2.对数函数的图象及其性质 对数函数及其性质 Ⅰ概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). Ⅱ对数函数的图象与性质 由于对数图象是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只需由相应的指数函数图象关于对称即可，当然也分和两种情况讨论，讨论如下 a>1 0<a<1 图象 性质 ①定义域：(0，＋∞) ②值域：R ③当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) ④当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0 ④当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0 ⑤在(0，＋∞)上是增函数 ⑤在(0，＋∞)上是减函数 注意：①当底数大小不确定时，必须进行两种形式讨论. ②当时，的值越大，图象越靠近轴.当时，的值越小，图象越靠近轴. 3.指对数大小比较问题 指对数大小比较问题已经成为高考的重难点问题，我们这里介绍五大核心思想. 核心思想一：同步《升降》次法 形如： 注意：一般情况下以为底的对数比较大小，底数真数次方一起同升同降. 口诀：为底眼睛亮，底真次方同升降. 核心思想二：先分离常数再比大小 当底数与真数出现倍数关系，必须先将对数分离常数后作比较. ① ② 口诀：底真出现倍数时，分离常数用起来 核心思想三：利用糖水变甜不等式比较大小 当对数比较大小形式中出现底数与真数成等差数列时，可以采用糖水不等式放缩处理. 形如：则存在，或 模型演练：①比较与的大小 根据糖水不等式，令，即 故 ②比较与的大小 根据糖水不等式，令，即 故 口诀：底大真小底大者大，底小真大底小者大. 核心思想四：由引出的大小比较问题 如图所示： ①在在，在时，取得最大值且为 ②极大值左偏，且 ③若，则 若，则 口诀：大指小底永为大（大小指） 4.涉及对数分段函数判断参数的取值范围 形如： ①如果为单调递增函数，满足：为递增函数，为递增函数，. ②如果为单调递减函数，满足：为递减函数，为递减函数，. ③如果由最大值，满足：为递增函数，为递减函数，. ④如果由最小值，满足：为递减函数，为递增函数，. 【易错提醒】 幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数 ①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数. 掌握二次函数解析式的三种形式（不能忘记最后一种） （1）一般式：； （2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程. （3）两点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标. 与轴相交的弦长 当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，. 件 题型1对数的实际应用 1．（2025·天津·二模）目前很多手机都具有快充功能，其电池电量Q（单位：%）与充电时间（单位：分钟）的关系可表示为.现在一个手机用到没电了，应用快充方式要使电量达到80%以上，则最少的充电时间约为（参考数据）（    ） A．128分钟 B．64分钟 C．32分钟 D．16分钟 【答案】C 【详解】设充电时间为分钟，所以，即， 同时取自然对数，因此最少需要约32分钟， 故选：C 2．（2025·天津河东·二模）我们知道，任何一个正实数N可以表示成，此时，当时，N是位数，小明利用上述方法，根据判断是m位数，则m为（    ） A．36 B．33 C．32 D．31 【答案】D 【详解】∵， ∴，∴是31位数. 故选：D. 3．（2025·天津红桥·一模）已知命题，命题，则命题p是命题q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由可得， 由可得， 因此，但， 因此命题p是命题q的充分不必要条件， 故选：A 4．数列是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，，，.若存在常数a，b，使得对任意的都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，解得，， 所以，， 由，即对任意的正整数n都成立， 所以，解得，，所以. 故选：C 5．大气压强，它的单位是“帕斯卡”（Pa），它随海拔高度h（m）的变化规律可以近似的表示为（其中e为自然对数的底数，是海平面大气压强，为常数）.已知宁波市海拔最高的是四明山的主峰，主峰上一处的海拔约为1018m，大气压强为90900Pa，宁波城区一处的海拔约为4m，大气压强为101000Pa.现测得某山峰上一处的大气压强为80800Pa，请估计该处的海拔高度（单位：m）位于以下哪个范围内？（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设城区的压强为，四明山的压强为， 由题意得，， 两式作除法可得，解得， 对于目标点，可得，由已知得， 两式作除法可得，解得， 则 ，在内，故C正确. 故选：C 6．（2025·天津·一模）在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长.若增长为原来的2.5倍经过了10天，则增长为原来的5倍需要经过的天数约为（    ）（参考数据：） A．12 B．15 C．18 D．20 【答案】C 【详解】若原来蓝藻数量为，则，可得， 令经过天后蓝藻增长为原来的5倍，则，即， 可得天. 故选：C 7．（2025·天津·模拟预测）在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位：W）可表示为，其中为初始光功率，为衰减系数，为接收信号处与发射器之间的距离（单位：km）．已知距离发射器km处的光功率衰减为初始光功率的一半，若某处光功率衰减为初始光功率的，则此处到发射器的距离为（   ） A．km B．km C．km D．km 【答案】B 【详解】由题意得，即，化简得，解得， 代入得，当时，得， 化简得，两边取对数得，解得. 故选：B. 8．（2024·天津·一模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．某天，驾驶员张某在家喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量达到了，如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能安全驾驶？（结果取整数，参考数据：（　　），） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】设至少经过小时后才能安全驾驶， 则满足：，化简得：， 根据是增函数可得：，即， 因为，所以， 所以他至少要经过2小时后才能驾驶. 故选：B. 题型2指对幂比较大小 9．（2025·天津红桥·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，，， 所以. 故选：B. 10．（2025·天津河北·模拟预测）已知，，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由对数运算性质可得， 故选：D． 11．（2025·天津南开·模拟预测）若，，则实数、、的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，，可得，， 因为对数函数为上的增函数，则， 幂函数在上为增函数，则， 故. 故选：D. 12．（2025·天津·二模）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以，即； 又，所以， 故选：D． 13．（2025·天津北辰·三模）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，则，， ，即， ， 接下来比较和的大小关系，因为，而， 则，根据幂函数在上单调递增得， 即. 故. 故选：D. 14．（2025·天津河西·模拟预测）设，，，则 的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，， ，，故，所以， ，所以. 故选：D 15．（2025·天津·二模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】是增函数，， 在是增函数，，故， 在是增函数，， 即， 故选：D. 16．（2025·天津·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， ， ， 所以， 故选：A 17．（2025·天津滨海新·三模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意. 故选：A. 18．（2025·天津南开·二模）已知，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 ，， 所以满足， 故选：C. 题型3指对幂运算及解不等式、方程根问题 19．（2025·天津·模拟预测）已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，根据对数函数的性质可知：函数在上单调递增，符合题意； 当时，由换底公式可得， 因为函数在上单调递增，且函数在上单调递增，所以. 又，所以，，所以，所以，即，解得. 综上，a的取值范围为. 故选：A. 20．（2025·天津南开·一模）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，因为且，所以函数为单调递增函数， 要使得函数在上单调递减， 则满足，解得，所以实数的取值范围为. 故选：A. 21．（2025·天津·模拟预测）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，，令，即， 解得或，结合可知，此时； 当时，，令，解得， 综合上可知不等式的解集为， 故选：C 22．（2025·天津·模拟预测）关于的不等式（其中，为自然对数的底数）的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】题中式子变形为. 令，则在定义域上单调递增， 且原不等式等价于. 所以，.即 故选：C. 23．已知全集，集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，，，或， 由，得，解得， 所以a的取值范围是. 故选：B 24．（2025·天津·二模）已知定义在上的函数，其中是奇函数且在上单调递减，的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，，， 则函数是上的奇函数，而函数在上都单调递减， 因此在上单调递减，不等式，则， 解得，所以所求解集是. 故选：B 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司/ 学科网（北京）股份有限公司 $