专题06 三角函数的图象与性质（热点专练）（天津专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

专题06 三角函数的图象与性质 内容导航 热点聚焦 方法精讲 能力突破 热点聚焦·析考情 锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 题型引领·讲方法 系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 能力突破·限时练 实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：1. 考频与位置每年必考，选择/填空（第5-9题）+解答题（第15/16题） 双线布局，分值占比约10-12分，属于基础中档必拿分板块。 2. 核心考法拆解图像类性质类：解答题中连续三年考查单调性、最值、奇偶性、周期性的综合应用，均以含参或三角恒等变换后的函数为载体；2025年新增对称性与零点结合的考法，要求判断函数对称轴/对称中心与零点的关系。命题特点：侧重三角恒等变换与图像性质的结合，计算量适中，易错点集中在 \varphi 的求解（忽略相位平移方向）、周期计算（含绝对值函数周期减半）、定义域对值域的限制。 预测2026年：1. 核心考点稳定，考法更灵活选择填空仍会考查图像变换、解析式求解、性质判断，大概率加入分段三角函数的图像与性质分析，或结合不等式考查函数值域。解答题延续“恒等变换→求性质→最值/范围”的阶梯式设问，可能新增导数辅助判断三角函数单调性的考法（如利用导数求 f(x)=sin x + cos x 在某区间的单调区间），增强与导数板块的联动。 2. 参数考查更隐蔽的求解可能不再直接给出图像上的特殊点，而是通过对称轴、对称中心等条件间接推导；含参函数的性质讨论（如 \omega 对周期、单调性的影响）会成为区分度所在。3. 实际应用概率提升 可能结合物理简谐运动、潮汐现象等实际场景，考查三角函数模型的建立与性质分析，强调数学建模能力。 题型01 三角函数的识图问题 解｜题｜策｜略 图象辨识题的主要解题思想是“对比选项，找寻差异，排除筛选” （1）求函数定义域（若各选项定义域相同，则无需求解）； （2）判断奇偶性（若各选项奇偶性相同，则无需判断）； （3）找特殊值：①对比各选项，计算横纵坐标标记的数值；②对比各选项，函数值符号的差别，自主取值（必要时可取极限判断符号）； （4）判断单调性：可取特殊值判断单调性. 例1（2026·天津·月考）关于函数的四个结论： ①最大值为； ②将的图象向左平移个单位长度，向上平移个单位长度，得到； ③在单调递增； ④图象的对称中心为，其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 例2（2026·天津·期中）已知函数. (1)求函数的解析式及对称中心； (2)求函数在的最值； (3)若将函数的图象向右平移个单位长度后，横坐标伸长到原来的2倍，得到的图象，当时，若，求的值. 【变式1】（2026·天津滨海新·月考）已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（    ） A． B．在区间上的最大值为2 C．关于点对称 D．将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于原点对称 【变式2】（2025·天津武清·月考）将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．对于下列四种说法，正确的是（   ） ①函数的图象关于点成中心对称 ②的图象关于对称 ③函数在区间上的最大值为，最小值为 ④函数在区间上单调递增 A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④ 题型02 由三角函数的图象求解析式 解｜题｜策｜略 已知的部分图象求其解析式时，比较容易看图得出，困难的是求待定系数和，常用如下两种方法： （1）由即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的“零点”横坐标，则令（或），即可求出； （2）代入点的坐标，利用一些已知点（最高点、最低点或“零点”）坐标代入解析式，再结合图形解出和，若对，的符号或对的范围有要求，可用诱导公式变换使其符合要求。 例1（2026·天津·调研）已知函数（，，），若函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数的部分图象如图所示，则下列说法： ①是函数的一条对称轴； ②函数在区间的值域为； ③不等式的解集为（）； ④若在有两个极值点，则， 其中正确的有 .（填序号） 例2（2026·天津西青·调研）已知函数的部分图象如图所示，给出下列结论：    ①的最小正周期为； ②在区间上单调递增； ③当时，的取值范围为； ④的图象可以由函数的图象向左平移个单位长度得到． 其中错误结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（2026·天津河西·调研）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．将的图象向右平移个单位，再将所有点的横坐标变为原来2倍，得到的图象，则 C．的对称中心为 D．若，且，则 【变式2】（2026·天津滨海新·月考）已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（   ） A． B．将函数图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于原点对称 C．关于点对称 D．在区间上的最大值为2 题型03 三角函数的图象变换问题 解｜题｜策｜略 函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)中，参数A，ω，φ，k的变化引起图象的变换： （1）A的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换； （2）ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换； （3）φ的变化引起左右平移变换，k的变化引起上下平移变换． 图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”． 【注意】（1）平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值； （2）余弦型、正切型函数的图象变换过程与正弦型函数的图象变换过程相同。 例1（2026·天津·模拟预测）如果是函数图象上的一点，那么就是函数图象上的点，则的一个单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 例2（2026·天津西青·月考）已知函数，其图象距离轴最近的一条对称轴方程为，最近的一个对称中心为，则下列结论错误的是（    ） A． B．的图象在区间内有个对称中心 C．在区间上单调递增 D．的图象上所有点向右平移个单位长度得到函数的图象 【变式1】（2026·天津·调研）已知将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（   ） A．函数图象关于对称 B．函数图象在内有3个极值点 C．函数在上单调递增 D．函数图象关于中心对称 【变式2】（2026·天津·月考）已知函数在上单调递增，则的取值范围是 . 题型04 三角函数的单调性及应用 解｜题｜策｜略 1、求三角函数单调区间的2种方法 （1）代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解； （2）图象法：画出三角函数的正、余弦和正切曲线，结合图象求它的单调区间 求解三角函数的单调区间时，若x的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域． 2、已知单调区间求参数范围的3种方法 （1）子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解； （2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解； （3）周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解。 例1（2026·天津·月考）已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递增 D．在上单调递减 例2（2026·天津静海·月考）已知函数图象的最小正周期是，则正确的有 . ①的图象关于点对称 ②将的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于轴对称 ③在上的值域为 ④在上单调递增 【变式1】（2026·天津北辰·月考）已知函数（）的最小正周期为， (1)求的值和函数的对称轴方程； (2)当时，求的最大值与最小值； (3)若，求的值． 【变式2】（2026·天津北辰·月考）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．是偶函数，且周期为 B．是奇函数，且周期为 C．是偶函数，且周期为 D．是奇函数，且周期为 题型05 三角函数的周期性及应用 解｜题｜策｜略 周期的计算公式： 函数的周期为， 函数的周期为求解. 例1（2026·天津南开·月考）已知函数在区间上有且仅有一个零点，且，则（   ） A．2 B． C． D．1 例2（2026·天津·月考）已知． (1)求的最小正周期及单调递减区间； (2)已知锐角的内角的对边分别为，且，求面积的最大值． 【变式1】（2026·天津·月考）下列说法： ①正切函数在定义域内是增函数； ②函数是奇函数； ③是函数的一条对称轴方程； ④函数不是周期函数； ⑤是函数的图象的一个对称中心 其中正确的是 （写出所有正确答案的序号） 【变式2】（2026·天津静海·月考）已知函数，函数的最小正周期为 (1)求的值及此时的对称中心. (2)将向左平移个单位后得到一个偶函数，求的最小值. (3)若为锐角的内角，且，，求面积的取值范围. 题型06 三角函数的奇偶性及应用 解｜题｜策｜略 与三角函数奇偶性相关的结论 三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．常见的结论有： （1）若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． （2）若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)． （3）若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． 例1（2026·天津滨海新·月考）已知函数的最小正周期为，且函数为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 例2（2026·天津红桥·开学考试）函数， 将其图象向左平移个单位长度得到函数的图象，且函数的图象关于轴对称，若是使变换成立的最小正值，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·天津武清·月考）已知函数，有下列命题： ①为函数图象的一条对称轴； ②将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上的最大值为，则的最大值为； ③在上恰有3个零点，则实数的取值范围是； ④函数在上单调递减，其中错误的命题个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（2026·天津河北·月考）已知函数，则下列结论 ①若，则在上单调递增 ②若，则正整数的最小值为 ③若，函数的图象向右平移个单位长度得到的图象.则为奇函数 其中判断正确的个数为（    ） A． B． C． D． 题型07 三角函数的对称性及应用 解｜题｜策｜略 三角函数对称性问题的2种求解方法 1、定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点； 2、公式法： （1）函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为x＝－＋，对称中心为； （2）函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴为x＝－，对称中心为； （3）函数y＝Atan(ωx＋φ)的对称中心为.上述k∈Z 例1（2026·天津河北·调研）函数的最小正周期为.若，且函数的图象关于点中心对称，则（   ） A． B． C． D．1 例2（2025·天津·月考）将函数的图象，向右平移个单位长度，再把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数，则下列说法正确的个数是（    ） ①函数的最小正周期为 ②函数在区间上单调递增 ③函数在区间上的最小值为 ④是函数的一条对称轴 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（2025·天津·二模）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论中正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．在区间上单调递减 C．在区间没有零点 D．的图象关于点对称 【变式2】（2025·天津和平·调研）已知函数. (1)当时，求的最大值和最小值，以及相应的值； (2)若，，求的值； (3)已知函数在上存在零点，求实数的取值范围. 题型08 三角函数的最值问题 解｜题｜策｜略 三角函数值域或最值的3种求法 1、直接法：形如y＝asin x＋k或y＝acos x＋k的三角函数，直接利用sin x，cos x的值域求出； 2、化一法：形如y＝asin x＋bcos x＋k的三角函数，化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)； 3、换元法： （1）形如y＝asin2x＋bsin x＋k的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)； （2）形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值) 例1（2025·天津·月考）已知函数 (1)求的对称中心坐标； (2)当时， ①求函数的单调递减区间； ②求函数的最大值、最小值，并分别求出使该函数取得最大值、最小值时的自变量x的值． 例2（2024·天津河北·一模）关于函数有下述四个结论： ①是偶函数； ②在区间上单调； ③的最大值为，最小值为，则； ④最小正周期是. 其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（2025·天津·月考）已知的最大值为，其图像相邻两条对称轴之间的距离为，且的图像关于点对称，则下列判断错误的是（    ） A．要得到函数的图像，只需要现将的图像保持纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，再向右平移个单位 B．函数的图像关于直线对称 C．函数在上单调递减 D．当时，函数的最小值为 【变式2】（2026·天津武清·月考）已知函数的最小正周期为，则在区间上的最小值是（    ） A． B． C．0 D． 题型09 三角函数零点综合 解｜题｜策｜略 三角函数零点综合问题的核心解题策略是 “化归为基本三角函数 + 数形结合 + 分类讨论（含参时）”，具体步骤与技巧如下： 1. 第一步：化简函数解析式 利用三角恒等变换（和差角、二倍角、辅助角公式），将复杂三角函数化为标准形式，同时注意定义域限制（如对数、分式对 x 的要求）。 2. 第二步：转化零点问题将问题转化为 “方程解的个数”或“函数图象交点个数” 问题。 3. 第三步：数形结合分析 方法一：画出 y=sin t的图象，结合 t 的取值范围，确定\sin t = m 的解的个数； 方法二：直接画出的图象，观察其与 x 轴的交点个数，重点关注周期、相位、最值对交点的影响。 4. 第四步：含参问题分类讨论 若函数含参数，需按参数范围分类：分类依据是参数对函数周期、最值、图象位置的影响，确保不重不漏。 例1（2026·天津蓟州·月考）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的个数是（  ） ① ② 函数的图象关于点对称 ③ 函数在区间上单调递减 ④ 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，若函数在区间上有且仅有两个零点和两个极值点，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例2（2026·天津·月考）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论中正确的个数是（    ） ①的图象关于直线对称 ②在区间上单调递减 ③在区间没有零点 ④的图象关于点对称 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（2026·天津和平·开学考试）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求在上的单调递增区间； (3)求的对称轴方程； (4)求在上的零点． 【变式2】（2025·天津滨海新·调研）设函数，若函数在区间上恰有4个零点，则实数的取值范围为 ． 题型10 三角函数图象性质综合 解｜题｜策｜略 三角函数图像与性质综合题的核心解题策略是 “先化简标准化，再数形结合破题，最后抓参数与定义域限制”，具体分三步落实： 1. 第一步：解析式标准化 利用三角恒等变换公式（和差角、二倍角、辅助角公式），将任意三角函数式转化标准形式，同时优先确定函数的定义域（尤其是含对数、分式、根式的情况），这是后续分析性质的前提。 2. 第二步：数形结合关联性质与图像 由标准式直接提取核心参数：振幅 |A| 对应最值，周期，相位对应图像平移方向； 用五点法快速画简图：锁定等关键五点，结合平移、伸缩变换规律，直观判断单调性、对称性、零点的分布；逆向问题（由图像求解析式）：先定 A,k（看最值），再算w（看周期），最后用特殊点（优先选上升沿零点） 求其他字母，避免相位偏差。 3. 第三步：抓参数分类讨论与跨板块联动 含参问题：按参数对周期、相位的影响分类，重点讨论“参数范围→图像位置→性质变化”的逻辑链，比； 跨板块综合（如与导数、不等式结合）：用导数求三角函数在某区间的单调区间，或结合不等式求解解集，此时需兼顾三角函数的周期性与导数的符号变化。 例1（2025·天津·月考）已知函数，在区间上恰有5个零点，在下述四个结论中：①在区间有三个极大值点；②在区间有三个极小值点；③在区间一定单调递增；④的取值范围是．所有正确的结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例2（2024·天津·一模）已知函数（其中）的部分图象如图所示，有以下结论： ①  ②函数为偶函数 ③  ④在上单调递增 所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③④ C．③④ D．①④ 【变式1】（2025·天津河东·期中）已知，给出下列结论： 若，，且，则； 存在，使得的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称； 若，则在上单调递增； 若在上恰有个零点，则的取值范围为． 其中，所有正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·天津滨海新·模拟预测）设函数，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论： ①在有且仅有3个极大值点 ②在有且仅有2个极小值点 ③在单调递增 ④的取值范围是 其中所有正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 （建议用时：20分钟） 1．（2025·天津红桥·模拟预测）下列函数中为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·天津红桥·模拟预测）函数，的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·天津河北·模拟预测）函数的最大值为 ． 4．（2025·天津河西·模拟预测）函数的部分图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且为等边三角形.若，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·天津·二模）已知函数，对任意，恒有，且在上单调递增，则下列选项中不正确的是（    ） A． B．为奇函数 C．函数图像向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩为原来的得到函数，函数的对称轴方程为， D．在上的最小值为 6．（2025·天津武清·模拟预测）已知函数，，某函数的部分图象如图所示，则该函数可能是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·天津·二模）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，． (1)求的值； (2)若，求c的值． 8．（2025·天津·二模）已知函数，，则下列描述正确的是（   ） A．的最小正周期是 B．在上单调递增 C．是的一条对称轴 D．的最大值是 9．（2025·天津北辰·三模）记为中的较大值，则关于函数有如下四个命题： ①的最小正周期为； ②的图象关于直线对称； ③的值域为； ④在区间上单调递增. 其中真命题的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（2025·天津河西·模拟预测）已知角的顶点与原点重合，它的始边与轴的非负半轴重合，终边过点，定义：，对于函数，有下列四个说法： ①函数的图象关于点对称；②在区间上单调递增； ③将函数的图象向左平移个单位长度后得到一个偶函数的图象； ④方程在区间上有两个不同的实数解． 以上四个说法中，正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．（2025·天津和平·三模）设定义在上的函数，，且在区间上有最大值，无最小值，则当取最小值时，的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 12．（2025·天津和平·三模）函数在区间的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   13．（2025·天津滨海新·三模）已知函数的部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法：    ①在区间上单调递减 ②的图象可由的图象向左平移个单位得到 ③的对称轴为 ④在区间上的最小值为 以上四个说法中，正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．（2025·天津·一模）已知是函数图象的一个对称轴，则下列说法错误的是（    ） A．是函数图象的一个对称中心 B．函数的图象可由图象向左平移个单位长度得到 C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上有且仅有一个零点 15．（2025·天津·模拟预测）已知．给出下列判断： ①若，且，则； ②若在恰有9个零点，则的取值范围为； ③存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称； ④若在上是增函数，则的取值范围为． 其中，判断正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 三角函数的图象与性质 内容导航 热点聚焦 方法精讲 能力突破 热点聚焦·析考情 锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 题型引领·讲方法 系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 能力突破·限时练 实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：1. 考频与位置每年必考，选择/填空（第5-9题）+解答题（第15/16题） 双线布局，分值占比约10-12分，属于基础中档必拿分板块。 2. 核心考法拆解图像类性质类：解答题中连续三年考查单调性、最值、奇偶性、周期性的综合应用，均以含参或三角恒等变换后的函数为载体；2025年新增对称性与零点结合的考法，要求判断函数对称轴/对称中心与零点的关系。命题特点：侧重三角恒等变换与图像性质的结合，计算量适中，易错点集中在 \varphi 的求解（忽略相位平移方向）、周期计算（含绝对值函数周期减半）、定义域对值域的限制。 预测2026年：1. 核心考点稳定，考法更灵活选择填空仍会考查图像变换、解析式求解、性质判断，大概率加入分段三角函数的图像与性质分析，或结合不等式考查函数值域。解答题延续“恒等变换→求性质→最值/范围”的阶梯式设问，可能新增导数辅助判断三角函数单调性的考法（如利用导数求 f(x)=sin x + cos x 在某区间的单调区间），增强与导数板块的联动。 2. 参数考查更隐蔽的求解可能不再直接给出图像上的特殊点，而是通过对称轴、对称中心等条件间接推导；含参函数的性质讨论（如 \omega 对周期、单调性的影响）会成为区分度所在。3. 实际应用概率提升 可能结合物理简谐运动、潮汐现象等实际场景，考查三角函数模型的建立与性质分析，强调数学建模能力。 题型01 三角函数的识图问题 解｜题｜策｜略 图象辨识题的主要解题思想是“对比选项，找寻差异，排除筛选” （1）求函数定义域（若各选项定义域相同，则无需求解）； （2）判断奇偶性（若各选项奇偶性相同，则无需判断）； （3）找特殊值：①对比各选项，计算横纵坐标标记的数值；②对比各选项，函数值符号的差别，自主取值（必要时可取极限判断符号）； （4）判断单调性：可取特殊值判断单调性. 例1（2026·天津·月考）关于函数的四个结论： ①最大值为； ②将的图象向左平移个单位长度，向上平移个单位长度，得到； ③在单调递增； ④图象的对称中心为，其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦型函数的有界性可判断①；利用三角函数图象变换可判断②；利用正弦型函数的单调性可判断③；利用正弦型函数的对称性可判断④. 【详解】对于①， ， 所以，①错； 对于②，将的图象向左平移个单位长度，向上平移个单位长度， 可得到函数的图象，②错； 对于③，当时，， 所以函数在上单调递增，③对； 对于④，由可得， 因此函数的图象的对称中心为，④错. 故选：A. 例2（2026·天津·期中）已知函数. (1)求函数的解析式及对称中心； (2)求函数在的最值； (3)若将函数的图象向右平移个单位长度后，横坐标伸长到原来的2倍，得到的图象，当时，若，求的值. 【答案】(1)，对称中心为（） (2)最大值为3，最小值为0 (3) 【分析】（1）应用两角差余弦公式结合辅助角公式化简再应用对称中心计算求解； （2）应用正弦函数的值域计算求解； （3）先根据平移伸缩计算得出，再应用同角三角函数及两角和的正弦公式计算解题. 【详解】（1） ， 令（），， 所以对称中心为（）； （2）， 当，即时，函数单调递增， 当，即时，函数单调递减， ，，， 所以最大值为3，最小值为0； （3）， ， 且， ，， ， ， . 【变式1】（2026·天津滨海新·月考）已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（    ） A． B．在区间上的最大值为2 C．关于点对称 D．将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于原点对称 【答案】B 【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，由正弦型函数的周期公式求出判断选项A；由函数解析式结合正弦函数的性质求区间内函数的最大值判断选项B；验证函数对称中心判断选项C；求出平移后函数的解析式得到图象对称性判断选项D. 【详解】的周期为， 由，有，故，，A错误； 当时，， 根据正弦函数的性质可知，当，即时，函数取得最大值2，B正确． ，则，C错误； 将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数为偶函数， 图象关于轴对称，D错误； 故选：B 【变式2】（2025·天津武清·月考）将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．对于下列四种说法，正确的是（   ） ①函数的图象关于点成中心对称 ②的图象关于对称 ③函数在区间上的最大值为，最小值为 ④函数在区间上单调递增 A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】先根据三角恒等变换公式化简，再根据函数的伸缩变换得到，进而根据正弦函数的性质求解判断各选项即可. 【详解】由， 将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变， 得到的图象. 对于①，因为， 所以函数的图象不关于点成中心对称，故①错误； 对于②，因为， 所以的图象关于对称，故②正确； 对于③，当时，， 则，即， 所以的最大值为，最小值为，故③正确； 对于④，当时，， 因为函数在上不单调， 所以函数在区间上不单调，故④错误. 故选：B． 题型02 由三角函数的图象求解析式 解｜题｜策｜略 已知的部分图象求其解析式时，比较容易看图得出，困难的是求待定系数和，常用如下两种方法： （1）由即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的“零点”横坐标，则令（或），即可求出； （2）代入点的坐标，利用一些已知点（最高点、最低点或“零点”）坐标代入解析式，再结合图形解出和，若对，的符号或对的范围有要求，可用诱导公式变换使其符合要求。 例1（2026·天津·调研）已知函数（，，），若函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数的部分图象如图所示，则下列说法： ①是函数的一条对称轴； ②函数在区间的值域为； ③不等式的解集为（）； ④若在有两个极值点，则， 其中正确的有 .（填序号） 【答案】①③ 【分析】由函数图象求得平移后的函数解析式，从而求得函数，然后求出函数的对称轴判断①，由区间求出函数值域判断②，由函数图象解不等式得到解集判断③，通过三角函数的最大值和最小值点得到函数的极值点，然后判断④. 【详解】令平移后的函数为， 由图可知，， ∴，则， 又∵当时，令，即， ∴，则. 令，则为函数的对称轴， 令，则，①正确； 时，，∴，②错误； ，即，则， 即，③正确； 令，即，则， 令，即，则， 即在右边的极值点依次是， 若在有两个极值点，则，④错误. 故答案为：①③ 例2（2026·天津西青·调研）已知函数的部分图象如图所示，给出下列结论：    ①的最小正周期为； ②在区间上单调递增； ③当时，的取值范围为； ④的图象可以由函数的图象向左平移个单位长度得到． 其中错误结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由图象中两个零点间的距离，可直接求得的最小正周期，判断①；求得的解析式，用整体代换的思想判断②，③；由图象平移的规则知函数的图象向左平移个单位长度得到函数的解析式，可判断④. 【详解】对于①，由图可知的最小正周期为.所以①错误； 对于②，由①知，，所以. 根据图象有，即，所以 解得，所以. 当时，. 令，因为是增函数，在是增函数，所以在区间上单调递增； 所以②正确； 对于③，由②知，. 当时，，所以. 所以③错误； 对于④，函数的图象向左平移个单位长度得到函数，所以④错误. 所以四个结论中错误的个数为3. 故选：C. 【变式1】（2026·天津河西·调研）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．将的图象向右平移个单位，再将所有点的横坐标变为原来2倍，得到的图象，则 C．的对称中心为 D．若，且，则 【答案】D 【分析】根据函数图象确定相关参数，可求出函数解析式，判断A；利用正弦函数图象平移、伸缩变换可判断B；根据正弦函数的对称性可判断C；对于D，根据正弦函数图象的对称性结合已知图象得到，代入求值，即可判断. 【详解】已知函数. 由图知，，故， 又过点，且该点在函数增区间上， 故，则， 则，故A错误； 将的图象向右平移个单位，可得的图象，再将所有点的横坐标变为原来2倍，可得的图象，即，故B错误； 令，则，即对称中心为，故C错误； 因为，且，根据正弦函数图象的对称性结合已知图象，可知， 则，则，故D正确. 故选：D 【变式2】（2026·天津滨海新·月考）已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（   ） A． B．将函数图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于原点对称 C．关于点对称 D．在区间上的最大值为2 【答案】D 【分析】由辅助角公式可得，然后由正弦函数最小正周期，图像变换，对称性，单调性可判断选项正误. 【详解】. 对于A，由题可得，则，故A错误； 对于B，由A分析，，将图象向左平移个单位， 对应的解析为， 则得到的新函数为偶函数，图像不关于原点对称，故B错误； 对于C，代入，得， 则在时取得最大值，图像关于对称， 不关于中心对称，故C错误； 对于D，时，， 注意到在上单调递增，在上单调递减， 则，，故D正确. 故选：D 题型03 三角函数的图象变换问题 解｜题｜策｜略 函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)中，参数A，ω，φ，k的变化引起图象的变换： （1）A的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换； （2）ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换； （3）φ的变化引起左右平移变换，k的变化引起上下平移变换． 图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”． 【注意】（1）平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值； （2）余弦型、正切型函数的图象变换过程与正弦型函数的图象变换过程相同。 例1（2026·天津·模拟预测）如果是函数图象上的一点，那么就是函数图象上的点，则的一个单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先结合题意求得，再求解的增区间并判断各选项即可得答案. 【详解】因为是函数图象上的一点，所以， 设点，因为就是函数图象上的点 所以，即， 所以， 所以， 求的减区间，即求的增区间， 令，解得，， 令，得一个减区间为，故D正确； 对于选项AB，函数在和上不单调， 对于C选项，函数在上单调递增， 故选：D 例2（2026·天津西青·月考）已知函数，其图象距离轴最近的一条对称轴方程为，最近的一个对称中心为，则下列结论错误的是（    ） A． B．的图象在区间内有个对称中心 C．在区间上单调递增 D．的图象上所有点向右平移个单位长度得到函数的图象 【答案】C 【分析】选项A，由，其图象距离轴最近的一条对称轴方程为，最近的一个对称中心为，得到，根据最小正周期公式得到，由一条对称轴方程为，得到，又，求得的值；选项B，令和解出的值，即可得解；选项C，由，求出的范围，结合余弦函数的图像得到在区间上单调递减；选项D，的图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数，利用诱导公式得解. 【详解】选项A，， 其图象距离轴最近的一条对称轴方程为，最近的一个对称中心为， 则函数的周期满足，，，， 一条对称轴方程为，， ，，故A正确； 选项B，，，， ，由，可得或， 的图象在区间内有个对称中心，故B正确； 选项C，，， 在区间上单调递减，故C错误； 选项D，的图象上所有点向右平移个单位长度， 得到函数，故D正确. 故选：C. 【变式1】（2026·天津·调研）已知将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（   ） A．函数图象关于对称 B．函数图象在内有3个极值点 C．函数在上单调递增 D．函数图象关于中心对称 【答案】C 【分析】本题考查三角函数的图象变换、性质，解题的关键在于先对函数进行化简，再根据图象平移规律得到的表达式，最后逐一分析选项. 【详解】由题意可得 因为将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象， 所以； 当时，或0， 所以不是对称轴，选项A错误； 令,解得， 当时， ；当时， ； 所以函数图象在内有2个极值点，选项B错误； 当时，，在内单调递增，选项C正确； 当时，， 所以是对称中心,图象关于中心对称，选项D错误. 故选：C 【变式2】（2026·天津·月考）已知函数在上单调递增，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据正弦函数的单调性，计算解得参数的取值范围. 【详解】正弦函数的单调递增区间为， 因为函数，， 所以， 要使函数在上单调递增， 所以，解得，结合，故的取值范围是 故答案为：. 题型04 三角函数的单调性及应用 解｜题｜策｜略 1、求三角函数单调区间的2种方法 （1）代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解； （2）图象法：画出三角函数的正、余弦和正切曲线，结合图象求它的单调区间 求解三角函数的单调区间时，若x的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域． 2、已知单调区间求参数范围的3种方法 （1）子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解； （2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解； （3）周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解。 例1（2026·天津·月考）已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】D 【分析】根据正弦函数的性质，利用代入验证的方法，可判断A、B；求出函数的单调区间，即可判断C、D. 【详解】A：，所以的图象关于点对称，正确； B：是函数的最大值，故直线是图象的一条对称轴，正确； C、D：由，解得， 所以的单调递增区间为， 当时，在上单调递增，而，故C正确，D错误. 故选：D 例2（2026·天津静海·月考）已知函数图象的最小正周期是，则正确的有 . ①的图象关于点对称 ②将的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于轴对称 ③在上的值域为 ④在上单调递增 【答案】①②④ 【分析】利用辅助角公式将函数化简，再根据函数的最小正周期求出，即可得到函数的解析式，由正弦函数的对称性可判断①；由函数图象的平移变换，结合余弦函数的性质可判断②；根据的范围和正弦函数的性质直接求解可判断③；根据正弦函数单调性通过解不等式可判断④. 【详解】因为， 函数的最小正周期， ∴，， ， ∴关于点对称，故①正确. ， ∴关于轴对称，故②正确. 当时，有，则， 所以，则，故③错误. 由，解得， 所以的一个单调增区间为，而， ∴在上单调递增，故④正确. 故答案为：①②④. 【变式1】（2026·天津北辰·月考）已知函数（）的最小正周期为， (1)求的值和函数的对称轴方程； (2)当时，求的最大值与最小值； (3)若，求的值． 【答案】(1)，，； (2)，； (3) 【分析】（1）先根据最小正周期为得出，再应用对称轴方程计算求解； （2）由得，可得在上的最大值和最小值； （3）先化简表达式，再利用诱导公式结合同角三角函数关系计算即可. 【详解】（1）因为的最小正周期，所以，且，即得，所以， 令，，    解得，. 所以图象的对称轴方程为，. （2）由（1）知， 当时，. 可得， 当，即时，， 当，即时，； （3）由，知 ，即， ∴ 【变式2】（2026·天津北辰·月考）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．是偶函数，且周期为 B．是奇函数，且周期为 C．是偶函数，且周期为 D．是奇函数，且周期为 【答案】A 【分析】根据偶函数定义判断函数奇偶性，再应用周期定义判断即可. 【详解】函数，定义域为， 因为，所以为偶函数， 又因为，所以的最小正周期为， 故选：A. 题型05 三角函数的周期性及应用 解｜题｜策｜略 周期的计算公式： 函数的周期为， 函数的周期为求解. 例1（2026·天津南开·月考）已知函数在区间上有且仅有一个零点，且，则（   ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】由题意得，令，可得，求得或，求得所以或，再由在上有且仅有一个零点，求得，进而得到时，化简得到，结合三角函数的周期性，即可求解. 【详解】由函数， 因为，可得， 即， 令，可得， 整理得，解得或， 则或， 所以或， 当，可得， 由函数在上有且仅有一个零点，可得，即， 若，当时，，可得， 此时或，使得，不符合题意； 若，当时，；当时，， 当时，可得，函数在上无零点； 当时，可得，当且仅当时，，符合题意， 所以，则， 可得， ， ， ， 又由， 所以. 故选：B. 例2（2026·天津·月考）已知． (1)求的最小正周期及单调递减区间； (2)已知锐角的内角的对边分别为，且，求面积的最大值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用诱导公式先化简，再利用三角恒等变换化简得，利用正弦型函数求周期和单调减区间即可求解； （2）先求，再利用余弦定理和基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意有：， 所以， 令，解得， 所以的单调递减区间； （2）由，即， 又，所以， 所以，即， 由余弦定理得：，即， 当且仅当时，等号成立， 所以， 所以的面积的最大值为. 【变式1】（2026·天津·月考）下列说法： ①正切函数在定义域内是增函数； ②函数是奇函数； ③是函数的一条对称轴方程； ④函数不是周期函数； ⑤是函数的图象的一个对称中心 其中正确的是 （写出所有正确答案的序号） 【答案】②③④⑤ 【分析】根据正切函数的定义域及单调区间，分析即可判断①的正误；利用诱导公式，结合正弦函数的奇偶性，可判断②的正误；将代入解析式，根据正弦函数的对称性，可判断③的正误；根据周期性的定义，结合解析式，分析计算，可判断④的正误；求出的对称中心，赋值检验，可判断⑤的正误. 【详解】对于①：的定义域为， 在每个区间单调递增，在整个定义域内不是增函数，故①错误； 对于②：，为奇函数，故②正确； 对于③：当时，，， 所以是函数的一条对称轴方程，故③正确； 对于④：假设是周期函数，设最小正周期为， 则，即， 取，得，则， 取，得，则， 联立方程无解，故不存在非零实数T，满足， 即函数不是周期函数，故④正确； 对于⑤：令，解得， 所以函数的图象的对称中心为， 令得一个对称中心为，故⑤正确. 故答案为：②③④⑤ 【变式2】（2026·天津静海·月考）已知函数，函数的最小正周期为 (1)求的值及此时的对称中心. (2)将向左平移个单位后得到一个偶函数，求的最小值. (3)若为锐角的内角，且，，求面积的取值范围. 【答案】(1)，对称中心为； (2) (3) 【分析】（1）首先利用三角恒等变换公式将函数化简，结合函数的周期求出，即可得到函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）首先求出平移后的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得； （3）首项求出，再求出的范围，利用正弦定理表示出，根据三角形面积公式将三角形面积表示为关于的三角函数并利用三角恒等变换公式化简，根据三角函数值域即可求三角形面积． 【详解】（1）因为 ， 由的最小正周期为且，所以，解得， 所以， 令，解得， 所以函数的对称中心为； （2）将向左平移个单位得到， 又为偶函数，所以， 解得， 所以的最小值为； （3）因为，即， 又，所以，所以，则， ∵，，∴，， ∵， 由正弦定理，所以， ∴ ， ∵，∴，∴， ∴，即面积的取值范围为． 题型06 三角函数的奇偶性及应用 解｜题｜策｜略 与三角函数奇偶性相关的结论 三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．常见的结论有： （1）若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． （2）若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)． （3）若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． 例1（2026·天津滨海新·月考）已知函数的最小正周期为，且函数为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由条件可得，再由函数为偶函数可得，代入计算，即可得到结果. 【详解】由函数的最小正周期为可得， 即，则， 即， 又函数为偶函数，即， 解得，且， 当时，. 故选：B 例2（2026·天津红桥·开学考试）函数， 将其图象向左平移个单位长度得到函数的图象，且函数的图象关于轴对称，若是使变换成立的最小正值，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦型函数的图象变换及对称性求解得，，从而可求最小正值. 【详解】∵将函数的图象向左平移个单位，可得函数的图象， 又函数的图象关于轴对称，即函数为偶函数， 由可得，，解得：，， 因为是使变换成立的最小正值，由时，可得． 故选：C． 【变式1】（2026·天津武清·月考）已知函数，有下列命题： ①为函数图象的一条对称轴； ②将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上的最大值为，则的最大值为； ③在上恰有3个零点，则实数的取值范围是； ④函数在上单调递减，其中错误的命题个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据三角恒等变换化简，根据对称轴处取得最值判断①；先求出，再根据余弦函数的性质判断②；根据零点求值判断③；根据正弦函数的单调区间判断④. 【详解】由 . 对于①，， 则为函数图象的一条对称轴，故①正确； 对于②，， 当时，， 由于在上的最大值为，所以，则， 所以的最大值为，故②正确； 对于③，当时，， 因为在上恰有3个零点， 所以，解得，故③错误； 对于④，当时，， 因为在上单调递减， 所以函数在上单调递减，故④正确. 故选：A. 【变式2】（2026·天津河北·月考）已知函数，则下列结论 ①若，则在上单调递增 ②若，则正整数的最小值为 ③若，函数的图象向右平移个单位长度得到的图象.则为奇函数 其中判断正确的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦型函数图象的单调性判断①,对称性判断②,由图像变换的性质判断③. 【详解】①当时，， 当时，，且，， 所以函数在上单调递增，正确； ②若，则函数关于直线对称， 即，，解得，， 又，所以，即，所以正整数的最小值为，正确； ③由，得，则函数的图象向右平移个单位长度得到 ，则，不满足奇函数性质，错误； 综上所述，正确结论的个数为， 故选：C. 题型07 三角函数的对称性及应用 解｜题｜策｜略 三角函数对称性问题的2种求解方法 1、定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点； 2、公式法： （1）函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为x＝－＋，对称中心为； （2）函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴为x＝－，对称中心为； （3）函数y＝Atan(ωx＋φ)的对称中心为.上述k∈Z 例1（2026·天津河北·调研）函数的最小正周期为.若，且函数的图象关于点中心对称，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由三角函数的图像与性质可求得参数值，进而可得函数解析式，代入即可得解. 【详解】由函数的最小正周期满足，得，解得：. 又因为函数图像关于点对称，所以， 所以，，所以，因此可得：， 所以. 故选：A 例2（2025·天津·月考）将函数的图象，向右平移个单位长度，再把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数，则下列说法正确的个数是（    ） ①函数的最小正周期为 ②函数在区间上单调递增 ③函数在区间上的最小值为 ④是函数的一条对称轴 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】首先对化简，然后根据图像变换得到，再逐一分析关于的性质即可. 【详解】根据二倍角公式，得， 再向右平移个单位长度，得到， 再把纵坐标伸长到原来的2倍，得到，即， 对于①，的最小正周期,故①正确， 对于②，令,解得, 令，则单调递增区间为，不是的子集，在区间上不是单调递增，故②错误， 对于③，，，由余弦函数的图像可知，故③正确， 对于④，令，解得,令，则，是函数的一条对称轴，故④正确. 故选：. 【变式1】（2025·天津·二模）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论中正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．在区间上单调递减 C．在区间没有零点 D．的图象关于点对称 【答案】B 【分析】根据平移变换可得.将代入的解析式得，即可判断选项A；当时，，因为余弦函数在上的单调性，即可判断选项B；当时，，根据余弦函数的图象，即可判断选项C；将代入的解析式得，即可判断选项D. 【详解】由题意得. 将代入中，得，故函数的图象关于点中心对称，故选项A错误； 当时，，因为余弦函数在上单调递减，所以函数在区间上单调递减，故选项B正确； 当时，，根据余弦函数的图象可知，当，即时，即在区间有一个零点，故选项C错误； 将代入中，得，故函数的图象关于直线对称，故选项D错误. 故选：B. 【变式2】（2025·天津和平·调研）已知函数. (1)当时，求的最大值和最小值，以及相应的值； (2)若，，求的值； (3)已知函数在上存在零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)时，； 时，. (2) (3) 【分析】（1）利用整体法结合三角函数性质求最值即可； （2）先化简求值得出，再应用两角和差公式得出三角函数值； （3）利用换元法结合参变分离可求参数的取值范围. 【详解】（1）， ∵，∴， 当，即时，； 当，即时，. （2）∵， ∴，∵，∴， ∴， （3）当时，，故，故， 设，则在上有解， 故在上有解， 而当时，，故， 所以. 题型08 三角函数的最值问题 解｜题｜策｜略 三角函数值域或最值的3种求法 1、直接法：形如y＝asin x＋k或y＝acos x＋k的三角函数，直接利用sin x，cos x的值域求出； 2、化一法：形如y＝asin x＋bcos x＋k的三角函数，化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)； 3、换元法： （1）形如y＝asin2x＋bsin x＋k的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)； （2）形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值) 例1（2025·天津·月考）已知函数 (1)求的对称中心坐标； (2)当时， ①求函数的单调递减区间； ②求函数的最大值、最小值，并分别求出使该函数取得最大值、最小值时的自变量x的值． 【答案】(1) (2)① ②当时，取得最大值为，当时，取得最小值为. 【分析】（1）根据二倍角公式与辅助角公式化简可得，即可求解； （2）①由正弦函数单调性求得的取值范围解不等式即可求得结果；②根据①中的单调区间求解即可得出答案. 【详解】（1）易知 ； 由可得， 所以的对称中心坐标为 （2）①时，可得， 而正弦函数在上单调递减， 由可得； 所以函数的单调递减区间为； ②由①知函数在上单调递增，在单调递减， 因此，而， 所以， 即当时，取得最大值为，当时，取得最小值为. 例2（2024·天津河北·一模）关于函数有下述四个结论： ①是偶函数； ②在区间上单调； ③的最大值为，最小值为，则； ④最小正周期是. 其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①由偶函数的概念可判断；②先整理当时，，根据的单调性可得；③先去绝对值，分别根据单调性求函数的最值即可；④根据周期函数的概念可得. 【详解】函数的定义域为，因为， 故是偶函数； 当时，，此时， 对于，令，得， 令，得， 又，故在上单调递增，在上单调递减，故②错误； 当时，， 由②可知，在上单调递增，在上单调递减， 此时的最大值为，最小值为， 当时，，， 令，得， 令，得， 故在上单调递增，在上单调递减， 此时的最大值为，最小值为， 故，，，故③正确； 由③可知， 又， 故④正确； 故选 ：C 【变式1】（2025·天津·月考）已知的最大值为，其图像相邻两条对称轴之间的距离为，且的图像关于点对称，则下列判断错误的是（    ） A．要得到函数的图像，只需要现将的图像保持纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，再向右平移个单位 B．函数的图像关于直线对称 C．函数在上单调递减 D．当时，函数的最小值为 【答案】D 【解析】根据正弦型函数的性质可求得的解析式；根据三角函数平移变换原则可知正确；利用代入检验法可知正确；利用正弦型函数求值域的方法可确定错误. 【详解】，，， 相邻两条对称轴之间距离为，最小正周期，， ，，， 又，，. 对于，横坐标变为原来一半得到；再向右平移个单位得到，又，可知正确； 对于，当时，， 是的对称轴，是的对称轴，正确； 对于，当时，， 在上单调递减，在上单调递减，正确； 对于，当时，，，错误. 故选：D. 【变式2】（2026·天津武清·月考）已知函数的最小正周期为，则在区间上的最小值是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的最小正周期为，求出值，从而得到的解析式，再根据自变量所在区间和正弦函数的单调性判断即可. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以周期，解得， 所以，因为，所以， 所以当，即时，函数在区间上取得最小值. 故选：D. 题型09 三角函数零点综合 解｜题｜策｜略 三角函数零点综合问题的核心解题策略是 “化归为基本三角函数 + 数形结合 + 分类讨论（含参时）”，具体步骤与技巧如下： 1. 第一步：化简函数解析式 利用三角恒等变换（和差角、二倍角、辅助角公式），将复杂三角函数化为标准形式，同时注意定义域限制（如对数、分式对 x 的要求）。 2. 第二步：转化零点问题将问题转化为 “方程解的个数”或“函数图象交点个数” 问题。 3. 第三步：数形结合分析 方法一：画出 y=sin t的图象，结合 t 的取值范围，确定\sin t = m 的解的个数； 方法二：直接画出的图象，观察其与 x 轴的交点个数，重点关注周期、相位、最值对交点的影响。 4. 第四步：含参问题分类讨论 若函数含参数，需按参数范围分类：分类依据是参数对函数周期、最值、图象位置的影响，确保不重不漏。 例1（2026·天津蓟州·月考）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的个数是（  ） ① ② 函数的图象关于点对称 ③ 函数在区间上单调递减 ④ 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，若函数在区间上有且仅有两个零点和两个极值点，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据图象，求出，即可判断①的正误，再利用三角函数的图象及性质对②③④逐一分析判断即可求解. 【详解】由题图得，所以，故①正确； 则， 由，得， 解得， 又，所以，故， 因为， 所以函数的图象关于点对称，故②正确； 令，解得， 故函数的单调递减区间为， 令，得到的一个减区间为，又 则函数在区间上先单调递减再单调递增，故③错误； 因为， 所以．由，得， 若函数在区间上有且仅有两个零点和两个极值点， 则，解得，故④错误． 故选：B. 例2（2026·天津·月考）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论中正确的个数是（    ） ①的图象关于直线对称 ②在区间上单调递减 ③在区间没有零点 ④的图象关于点对称 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据图象平移可得.对于①④：代入检验，结合最值与对称轴之间的关系分析判断；对于②③：以为整体，结合余弦函数性质分析判断. 【详解】由题意可得：. 对于①：因为不为最值， 所以的图象不关于直线对称，故①错误； 对于②：若，则，且在上单调递减， 所以函数在区间上单调递减，故②正确； 对于③：若，则， 可知当且仅当，即时，， 所以在区间有一个零点，故③错误； 对于④：因为为最小值， 所以函数的图象关于直线对称，故④错误. 综上所述：正确的个数是1. 故选：A. 【变式1】（2026·天津和平·开学考试）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求在上的单调递增区间； (3)求的对称轴方程； (4)求在上的零点． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二倍角公式及辅助角公式将函数化简为正弦型函数，利用周期公式求解； （2）先求出函数在上的单调递增区间，再找出时的递增区间即可； （3）整体代入法结合正弦函数的对称轴求解； （4）利用函数零点定义和正弦函数的性质，结合角的范围计算求解. 【详解】（1） 所以最小正周期为. （2）令, 解得, 因为, 所以在上的单调递增区间为. （3）令, 即对称轴方程为. （4）令，则， 所以, 所以在上的零点为. 【变式2】（2025·天津滨海新·调研）设函数，若函数在区间上恰有4个零点，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】首先化简函数，再求的范围，再结合正弦函数的图象，即可列式求解. 【详解】，， 当，， 若函数在区间上恰有4个零点，则， 得， 所以的取值范围是. 故答案为： 题型10 三角函数图象性质综合 解｜题｜策｜略 三角函数图像与性质综合题的核心解题策略是 “先化简标准化，再数形结合破题，最后抓参数与定义域限制”，具体分三步落实： 1. 第一步：解析式标准化 利用三角恒等变换公式（和差角、二倍角、辅助角公式），将任意三角函数式转化标准形式，同时优先确定函数的定义域（尤其是含对数、分式、根式的情况），这是后续分析性质的前提。 2. 第二步：数形结合关联性质与图像 由标准式直接提取核心参数：振幅 |A| 对应最值，周期，相位对应图像平移方向； 用五点法快速画简图：锁定等关键五点，结合平移、伸缩变换规律，直观判断单调性、对称性、零点的分布；逆向问题（由图像求解析式）：先定 A,k（看最值），再算w（看周期），最后用特殊点（优先选上升沿零点） 求其他字母，避免相位偏差。 3. 第三步：抓参数分类讨论与跨板块联动 含参问题：按参数对周期、相位的影响分类，重点讨论“参数范围→图像位置→性质变化”的逻辑链，比； 跨板块综合（如与导数、不等式结合）：用导数求三角函数在某区间的单调区间，或结合不等式求解解集，此时需兼顾三角函数的周期性与导数的符号变化。 例1（2025·天津·月考）已知函数，在区间上恰有5个零点，在下述四个结论中：①在区间有三个极大值点；②在区间有三个极小值点；③在区间一定单调递增；④的取值范围是．所有正确的结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用正弦函数的性质先计算的范围，结合题意一一判定结论即可. 【详解】由题意知时有，则， 解之得，即④正确； 作出部分图象如下，显然在区间上函数有3个极大值点，但不一定有3个极小值点，即①正确，②错误； 时， 因为，所以， 显然，此时单调递增，即③正确. 故选：C 例2（2024·天津·一模）已知函数（其中）的部分图象如图所示，有以下结论： ①  ②函数为偶函数 ③  ④在上单调递增 所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③④ C．③④ D．①④ 【答案】B 【分析】借助图象可得解析式，结合正弦函数的单调性、最值、奇偶性等逐项判断即可得. 【详解】由图可得，， 且，则，即， ，即， 又，故，即， 对①：，由时，函数取最大值， 故是函数的最大值，故①正确； 对②：，故②错误； 对③：， 则，故③正确； 对④：当时，， 由函数在上单调递增， 故函数在上单调递增，故④正确. 故选：B. 【变式1】（2025·天津河东·期中）已知，给出下列结论： 若，，且，则； 存在，使得的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称； 若，则在上单调递增； 若在上恰有个零点，则的取值范围为． 其中，所有正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由二倍角公式得，利用余弦函数的图象和性质判断各选项即可. 【详解】①由题意可得， 由，，且得两相邻对称轴间的距离为， 所以，解得，故①错误； ②的图象向左平移个单位长度得 ， 若关于轴对称，则，即， 解得，所以当时符合题意，故②正确； ③当时，，所以当时，， 因为在上单调递减，上单调递增， 所以在上单调递增，上单调递减，故③错误； ④设，当时，， 在上恰有5个零点，即在上恰有5个零点， 则，解得，故④错误． 故选：A． 【变式2】（2025·天津滨海新·模拟预测）设函数，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论： ①在有且仅有3个极大值点 ②在有且仅有2个极小值点 ③在单调递增 ④的取值范围是 其中所有正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】画出图象，根据在有且仅有5个零点，求出，④正确；数形结合得到有且仅有3个极大值点，可能有2个极小值点，也有可能有3个极小值点，①正确，②错误；整体法求出在单调递增. 【详解】第④，因为，故当时，，画出函数的图象如下： 因为在有且仅有5个零点，故， 解得，④正确； 第①，当，或，即，或时，取得极大值，故在有且仅有3个极大值点，①正确； 第②，当，即时， 当，，即，时，取得极小值，此时在有且仅有2个极小值点 当，即时， 当，或，即，或时，取得极小值，此时在有且仅有3个极小值点，②错误； 第③，当时，， 因为，所以，由于， 故在单调递增，③正确. 故选：C （建议用时：20分钟） 1．（2025·天津红桥·模拟预测）下列函数中为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据常见函数的奇偶性判断即可. 【详解】为偶函数，为非奇非偶函数， 为奇函数，为非奇非偶函数. 故选：A. 2．（2025·天津红桥·模拟预测）函数，的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接用公式计算函数的最小正周期即可. 【详解】由，所以函数的最小正周期为. 故选：B 3．（2025·天津河北·模拟预测）函数的最大值为 ． 【答案】3 【分析】根据余弦函数的值域及已知函数的解析式确定的最大值即可. 【详解】由余弦函数的性质知，则， 当时，函数有最大值为3. 故答案为：3 4．（2025·天津河西·模拟预测）函数的部分图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且为等边三角形.若，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的部分图象知等边底边上的高和边长，求出的最小正周期和，根据求出，利用，结合正弦函数的图象与性质，得出的范围，求出即可计算的值． 【详解】由函数的部分图象知，等边底边上的高为，所以边长， 所以的最小正周期为，所以， 所以，由，得， 又，所以， 由，得， 所以， 所以 故选：. 5．（2025·天津·二模）已知函数，对任意，恒有，且在上单调递增，则下列选项中不正确的是（    ） A． B．为奇函数 C．函数图像向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩为原来的得到函数，函数的对称轴方程为， D．在上的最小值为 【答案】D 【分析】由题意先求，再逐项验证即可. 【详解】因为对任意，恒有，所以为的一条对称轴， 所以， 又在上单调递增，所以， 所以当时，，故A正确；所以， 由为奇函数，故B正确； 由函数图像向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩为原来的得到函数， 令，解得，，故C正确； 由，所以，当，即时，故D错误； 故选：D. 6．（2025·天津武清·模拟预测）已知函数，，某函数的部分图象如图所示，则该函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合函数的奇偶性及特值法可判断. 【详解】对于A，令，由，则，， 所以是非奇非偶函数，由图象不符，故A错误； 对于B，令，由，则，， 所以是非奇非偶函数，由图象不符，故B错误； 对于D，，当时，，与图象不符，排除D，故C正确. 故选：C. 7．（2025·天津·二模）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，． (1)求的值； (2)若，求c的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦公式化简可得，再由同角三角函数的基本关系即可得出答案； （2）由正弦定理可求出，再由两角和的正弦公式求出，最后由正弦定理即可得出答案. 【详解】（1）因为， 由正弦定理，得， 即． 因为，，所以，． 由，得， 因为，所以． （2）由正弦定理，可得． 又， 由正弦定理，可得． 8．（2025·天津·二模）已知函数，，则下列描述正确的是（   ） A．的最小正周期是 B．在上单调递增 C．是的一条对称轴 D．的最大值是 【答案】B 【分析】运用二倍角公式、两角和与差的正弦公式化简，逐一判断四个选项即可得到正确答案. 【详解】 ， 对于A，的最小正周期是，故A错误； 对于B，当时，， 故在上单调递增，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，的最大值是4，故D错误． 故选：B． 9．（2025·天津北辰·三模）记为中的较大值，则关于函数有如下四个命题： ①的最小正周期为； ②的图象关于直线对称； ③的值域为； ④在区间上单调递增. 其中真命题的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用辅助角公式化简函数，画出函数的图象，利用图象判断各个命题. 【详解】设，， 则， 函数的图象如下所示： 对于①，由图知，函数的最小正周期为，①正确； 对于②，由图知，为函数的对称轴，②正确； 对于③，，由图知，函数的值域为，③错误； 对于④，由图知，函数在区间上单调递减，④错误. 所以真命题的个数为2个. 故选：B 10．（2025·天津河西·模拟预测）已知角的顶点与原点重合，它的始边与轴的非负半轴重合，终边过点，定义：，对于函数，有下列四个说法： ①函数的图象关于点对称；②在区间上单调递增； ③将函数的图象向左平移个单位长度后得到一个偶函数的图象； ④方程在区间上有两个不同的实数解． 以上四个说法中，正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由三角函数定义可得，根据题意，可得，利用正切函数的性质依次判断求解各个选项． 【详解】根据题意，，， 对于①，令，，解得， 取，可得， 所以函数的图象关于点对称，故①正确； 对于②，，， 由正切函数的性质可知在上单调递增，故②正确； 对于③，将的图象向左平移个单位可得，为奇函数，故③错误； 对于④，，，令， 由正切函数的性质可知在上单调递增，且，在上单调递增，且， 所以方程在区间上只有一个实数解，故④错误； 故选：B． 11．（2025·天津和平·三模）设定义在上的函数，，且在区间上有最大值，无最小值，则当取最小值时，的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用二倍角公式和诱导公式化简原函数，得到，再结合题意并利用正弦函数的对称性得到，进而求出的最小值，检验其符合题意，最后利用正弦函数的最小正周期公式求出结果即可. 【详解】因为， 所以由二倍角公式得， 结合诱导公式得， 因为，所以关于对称， 令，则， 因为，所以当时，最小，此时，， 因为，所以， 令，则变为， 由正弦函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 则此时最大值为，无最小值， 得到此时有最大值，无最小值，符合题意， 由正弦函数的最小正周期公式得，故B正确. 故选：B 12．（2025·天津和平·三模）函数在区间的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性以及函数值的正负即可排除求解. 【详解】由于， 故为奇函数，其图象关于原点对称，此时可排除CD, 又，故排除B， 故选：A 13．（2025·天津滨海新·三模）已知函数的部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法：    ①在区间上单调递减 ②的图象可由的图象向左平移个单位得到 ③的对称轴为 ④在区间上的最小值为 以上四个说法中，正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题中给定图象可得函数解析式，然后利用正弦函数的性质和图象变换对各个选项进行判断即可． 【详解】由图可知，，即，则， 此时，又， 则，，即，， 又，所以，则. 对于①，当时，， 因为函数在上单调递减， 所以在区间上单调递减，故①正确； 对于②，的图象向左平移得到，故②正确； 对于③，令，解得， 所以的对称轴为，故③错误； 对于④，当时，，则， 则，则在区间上的最小值为，故④正确. 故选：C. 14．（2025·天津·一模）已知是函数图象的一个对称轴，则下列说法错误的是（    ） A．是函数图象的一个对称中心 B．函数的图象可由图象向左平移个单位长度得到 C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上有且仅有一个零点 【答案】D 【分析】根据题意，求得，结合正弦型函数的图象与性质，逐项分析求解，即可得到答案. 【详解】由是函数图象的一个对称轴， 可得，可得，即， 因为，所以，所以， 对于A中，由， 所以是函数图象的一个对称中心，所以A正确； 对于B中，将函数图象向左平移个单位长度得到，所以B正确； 对于C中，由，可得， 因为函数在上单调递减，所以在区间上递减，所以C正确； 对于D中，，可得， 当时，即时，可得，即是的一个零点； 当时，即时，可得，即是的一个零点， 所以函数在上有两个零点，所以D错误. 故选：D. 15．（2025·天津·模拟预测）已知．给出下列判断： ①若，且，则； ②若在恰有9个零点，则的取值范围为； ③存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称； ④若在上是增函数，则的取值范围为． 其中，判断正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】首先对函数进行化简，然后分别针对每个判断，利用三角函数的周期、零点、对称轴以及单调性等性质和条件列出式子求解，判断正确性. 【详解】根据二倍角余弦公式，对进行化简可得： . 对于①： 已知，，且，则，为函数的周期. 根据正弦函数周期公式，由可得，解得，所以①错误. 对于②： 令，则（），解得（）. 若在恰有9个零点，令，则. 解第一个不等式： ，，，解得. 解第二个不等式： ，，，解得. 所以的取值范围是，②正确. 对于③： 的图象向右平移个单位长度后得到的图象. 若该图象关于轴对称，则（）， ，（）。 当时，，不存在满足条件，所以③错误。 对于④： 令（），解关于的不等式得： （）. 若在上是增函数，则 解第一个不等式得：，，； 解第二个不等式得：，，，又， 所以的取值范围是，④错误. 综上，只有②正确，正确的个数是1个，答案是A. 故选：A. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $