专题02 不等式与复数（复习讲义）（天津专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦不等式与复数两大高考核心考点，覆盖不等式性质、基本不等式、函数综合及复数四则运算、概念、几何意义等内容，按考情精解、知能框架、题型攻坚逻辑架构知识体系。通过考点梳理（如基本不等式“一正二定三等”原则）、方法指导（双加配凑模型）、真题训练（近三年天津高考真题及模拟题）等环节，帮助学生突破重点难点，体现复习的系统性与针对性。 资料特色在于命题轨迹透视（分析2023-2025考情）与分层题型设计（基础考点与综合应用），创新采用“知识-题型-素养”三维教学法。例如在不等式求最值中强化逻辑推理（数学思维），复数运算中提升数学运算能力，通过“分式快速化简”技巧训练等具体策略，保障复习效率。助力学生短时间内掌握解题方法，为教师把控复习节奏提供精准指导。

专题02 不等式与复数 目录 01 析·考情精解 2 02 构·知能框架 3 03 破·题型攻坚 4 考点一 不等式 4 真题动向 必备知识 知识1利用基本不等式求最值 知识2利用基本不等式比较大小 知识3不等式与函数综合 命题预测 题型1利用基本不等式比较大小 题型2利用基本不等式求最值 考点二 复数 16 真题动向 必备知识 知识1复数的基础考点 知识2复数的高级考点 命题预测 题型1复数的基本考点 题型2复数的高级考点 命题轨迹透视 有关不等式和复数的天津高考试题，考查重点是不等式的性质和基本不等式及复数的四则运算，考试形式分别以一道选择题为主，分值5分．近年来试题关于《不等式》以不等式的性质为主,多与函数及其他有关最值等内容交汇,属于中档性题目，而关于《复数》以考查复数的四则运算为主,偶尔与其他知识交汇、难度较小,属于基础性题目，在解决这些问题时，要注意不等式性质及复数运算法则，复数基础性题目较多而不等式综合性题目居多.不等式主要考查考生的逻辑思维能力。提升考生的逻辑推理素养现。 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 不等式 T15，5分 T14，5分 复数 T10，5分 T10，5分 T10，5分 2026命题预测 预计在2026年高考中，①不等式的性质和基本不等式这部分内容主要以选择题或填空题的形式出现,这类题目主要考查逻辑思维能力和运算求解能力。 ②以考查复数的四则运算为主,偶尔与其他知识交汇、难度较小,考查代数运算的同时,主要涉及考查的概念有:复数的代数形式、共轭复数、复数的模、复数的几何意义等,考查学生的逻辑推理、数学运算等学科核心素养不高。 考点一 不等式 1．（2025·天津·高考真题，15，5分）若，对，均有恒成立，则的最小值为 【答案】 【详解】设，原题转化为求的最小值， 原不等式可化为对任意的，， 不妨代入，得，得， 当时，原不等式可化为， 即， 观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号， 此时，，说明时，均可取到，满足题意， 故的最小值为. 故答案为： 2．（2023·天津·高考真题，14，5分）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】空1：因为为的中点，则，可得， 两式相加，可得到， 即，则； 空2：因为，则，可得， 得到， 即，即. 于是. 记， 则， 在中，根据余弦定理：， 于是， 由和基本不等式，， 故，当且仅当取得等号， 则时，有最大值. 故答案为：；.    3．（2017·天津·高考真题，6，5分）设x∈R，则是 的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】设p：若，则， q：若，则； 则q表示的集合是p表示的集合真子集， 即是必要不充分条件， 故选：B． 4．（2021·天津·高考真题，11，5分）若，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】， ， 当且仅当且，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 5．（2019·天津·高考真题，11，5分） 设，，，则的最小值为 . 【答案】. 【详解】由，得，得 ， 等号当且仅当，即时成立． 故所求的最小值为． 6．（2019·天津·高考真题，11，5分） 设，使不等式成立的的取值范围为 . 【答案】 【详解】， 即， 即， 故的取值范围是． 7．（2019·天津·高考真题，12，5分）设，则的最小值为 . 【答案】 【详解】 ， 当且仅当，即或时成立， 故所求的最小值为． 知识1利用基本不等式求最值 1、基本不等式常用模型 形式一：，当且仅当时等号成立. 形式二：，当且仅当时等号成立. 形式三：，当且仅当时等号成立. 形式四：，当且仅当时等号成立. 2、双加配凑模型 模型：形如：已知，求的最值 第一步：将条件配凑成分母的形式 第二步：相乘利用基本不等式 3、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” （1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量. （3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点： ① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突） ② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围. 注意：形如的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解． 4、几个重要的不等式 （1） （2）基本不等式：如果，则(当且仅当“”时取“”). 特例：（同号）. （3）其他变形： ①(沟通两和与两平方和的不等关系式) ②(沟通两积与两平方和的不等关系式) ③(沟通两积与两和的不等关系式) ④重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 知识2 利用基本不等式比较大小 利用不等式的性质比较大小 思路1：核心技巧：应用不等式的性质时，注意保序和反序 如：①不等式两边同时乘以非负需要保序 ②不等式两边同时非负方需要保序 ③不等式两边同时乘以负数需要反序 ④同号取倒反序 ④同向不等式具有可加性，同向同正不等式具有可乘性 思路2：可以代值验证选项，有时需要代多组数据，相对麻烦，本人不推荐 知识3不等式与函数综合 1. 函数单调性与不等式结合：利用一次/二次/指数/对数函数单调性，解形如 f(g(x)) > f(h(x)) 的不等式（关键：先判断函数单调区间，再去掉对应法则 f）。 2. 函数最值与不等式恒成立/能成立问题： 恒成立： af(x) 等价于 a f(x)max} ； a f(x) 等价于 a f(x)min} 能成立： af(x) 等价于 af(x)min} ； a f(x) 等价于 a f(x)max} 。 3. 不等式与函数图像综合：通过函数图像（如二次函数抛物线、分式函数双曲线）判断自变量取值范围，或求解不等式对应的区间（核心：找图像交点、正负区间）。 4. 分段函数与不等式：按分段函数的定义域拆分不等式，分别求解后取并集（注意：分段点的取值验证）。 【易错提醒】　 基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号. 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致. 题型1 利用基本不等式比较大小 1．（2025·天津·一模）设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】，若， 则， 当且仅当时等号同时成立，充分性满足， 若，不一定成立，例如，时，， 但，必要性不满足， 故选：B． 2．（2025·天津武清·模拟预测）设且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由不等式，可得， 解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．（2025·天津河西·模拟预测）已知是边长2为正三角形，是的中心，过点的动直线交于点，交于点，设，，，，则 ；的最小值为 ． 【答案】 3 【详解】    连接AO，并延长交BC于点D，易知点D为BC的中点， 所以，. 又因为是的中心，所以是的重心，即， 所以. 因为，，所以，， 所以. 因为M，O，N三点共线，所以， 所以，. 因为，， 所以， ， 又，所以，. 由，得，， 令，当和重合时，为上中线，此时, 所以，则， 得. 根据对勾函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递增， 且，，所以， 所以，. 因为， 所以，根据二次函数的性质可知， 所以的最小值为. 故答案为：3，. 4．（2025·天津南开·一模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，如，但不成立，充分性不成立； 若，显然同号且不为0，则成立，必要性成立； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 5．（2024·天津·一模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为，当时，有，则成立，即充分性成立； 当时，，即成立，而，即不成立，进而必要性不成立. 所以，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 6．（2023·山西临汾·模拟预测）若a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【详解】当时，取，则，即充分性不成立； 当时，有，则，故， 所以，即，即必要性成立； 综上，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 7．（2023·天津·一模）设，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因为，，由可得，则，即， 因此，若，，则“”是“”的充要条件. 故选：C. 题型2 利用基本不等式求最值 8．（2025·天津红桥·模拟预测）已知二次函数的值域为，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】利用二次函数的性质得到，消去变量后利用基本不等式求解最值即可. 【详解】因为二次函数的值域为， 所以的最小值是，且，由二次函数性质得对称轴为， 所以的最小值为， 所以，即，而， 当且仅当时取等，此时. 故答案为：4 9．（2025·天津和平·三模）已知实数与满足，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】由于，故，且， 故 ， 当且仅当，结合，故当时等号取到， 故答案为： 10．（2025·天津河西·二模）在平行四边形中，，，，四边形的面积为6，则的最小值为 ；当在上的投影向量为时， . 【答案】 【详解】由条件可知，,， 所以，所以， ，， ， ， 当时等号成立， 所以的最小值为； 在上的投影向量为，则，即, 因为，所以，得，， 则. 故答案为：；. 11．（2025·天津和平·二模）在中，E为AC中点，G为线段BE上一点，且满足（），则 ，若，则当最大时，的值为 . 【答案】 / 【详解】由题意有，所以，由， 所以，所以， ，由有， 即， 即，所以， 即，当时，等号成立， 当最大时，，，由有， 所以， 所以， 故答案为：；. 12．（2025·天津红桥·一模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】D 【详解】因为， 所以， 当且仅当，且，即时，取等号， 所以的最小值为2. 故选：D. 13．（2025·天津和平·一模）已知平面四边形满足，且，为的中点，则 ，若、分别为线段、上的动点，且满足，则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为，可得， 因为，则， 因为，则，且，如下图所示： 以点为坐标原点，直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立如上图所示的平面直角坐标系， 则、、、、， ； 设点、，其中，， ，， 所以，，可得， 因为，则，则，， 所以，， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故答案为：；. 考点二 复数 1．（2025·天津·高考真题，10，5分）已知i是虚数单位，则 ． 【答案】 【详解】先由题得，所以. 故答案为： 2．（2024·天津·高考真题，10，5分）是虚数单位，复数 ． 【答案】 【详解】. 故答案为：. 3．（2023·天津·高考真题，10，5分）已知是虚数单位，化简的结果为 ． 【答案】/ 【详解】由题意可得. 故答案为：. 4．（2022·天津·高考真题，10，5分）已知是虚数单位，化简的结果为 ． 【答案】/ 【详解】． 故答案为：． 5．（2021·天津·高考真题，10，5分）是虚数单位，复数 ． 【答案】 【详解】. 故答案为：. 6．（2019·天津·高考真题，10，5分）是虚数单位，则的值为 . 【答案】 【详解】． 7．（2018·天津·高考真题，10，5分）i是虚数单位，复数 . 【答案】4–i     【详解】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：由复数的运算法则得：. 点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 8．（2017·天津·高考真题，10，5分）已知，为虚数单位，若为实数，则的值为 ． 【答案】-2 【详解】为实数， 则. 知识1复数的基础考点 （1）复数的概念： 形如的数叫复数，其中分别是它的实部和虚部.若，则为实数；若，则为虚数；若且，则为纯虚数. （2）复数相等：且. （3）共轭复数：与共轭. （4）复数的模： 向量的模叫做复数的模，记作或，即. 2.复数的几何意义 （1）复数复平面内的点. （2）复数平面向量. 3.复数的运算 设，则 （1）加法：； （2）减法：； （3）乘法：； 知识2复数的高级考点 1.分式快速化简 （分母相同，分子竖的加叉的减） 2.分式的模长快速求解： 【易错提醒】 1. 概念混淆类：误将虚数单位 i2 = 1 （正确为 i2 = -1 ），或混淆“复数 a+bi(a,bR}) 为实数/纯虚数”的条件（实数需b=0 ，纯虚数需a=0且 b0 ）。 2. 运算失误类： - 除法运算漏乘共轭复数（正确： ）； - 平方展开错误（如 (a+bi)2 = a2 + b2 ，忽略中间项2abi ）。 3. 几何意义误解类：误将复数 z=a+bi 对应坐标写为 (a,bi) （正确为 (a,b) ），或混淆“模长”与“绝对值”（模长 ，非 |a| + |b| ）。 题型1复数的基本考点 1．（2024·天津和平·二模）已知为虚数单位，复数，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为. 所以. 故选：C. 2．（2025·天津红桥·模拟预测）若i是虚数单位，则复数 . 【答案】 【详解】， 故答案为： 3．（2025·天津河北·模拟预测）i是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】由对应点为，即位于第一象限. 故选：A 4．（2025·天津静海·三模）已知，为虚数单位，若为实数，则的值为 . 【答案】 【详解】， 因为为实数，所以，解得. 故答案为：. 5．（2025·天津河西·模拟预测）若复数z满足，则 . 【答案】 【详解】由，得，则 故答案为： 6．（2025·天津河北·模拟预测）i是虚数单位，则复数 ． 【答案】 【详解】. 故答案为： 7．（2025·天津·模拟预测）已知i是虚数单位，化简的结果为 ． 【答案】 【详解】. 故答案为： 8．（2025·天津红桥·模拟预测）已知i是虚数单位，若复数是实数，则 . 【答案】/ 【详解】, 若复数是实数，则，解得：. 故答案为：. 题型2复数的高级考点 9．（2025·天津·二模）已知是虚数单位，复数 ． 【答案】 【详解】． 故答案为：. 10．（2025·天津北辰·三模）是虚数单位，若复数满足，则 . 【答案】 【详解】由，可得. 故答案为：. 11．（2025·天津滨海新·三模）已知复数满足（其中为虚数单位），则复数为 ． 【答案】 【详解】因为复数满足， 所以， 故答案为： 12．（2025·天津河北·二模）已知i是虚数单位，复数的虚部是 ． 【答案】/ 【详解】由，则虚部为. 故答案为： 13．（2025·天津河东·二模）i是复数单位，化简的结果为 . 【答案】 【详解】， 故答案为： 14．（2025·天津·二模）复数满足（其中i为虚数单位），则 . 【答案】 【详解】依题意，. 故答案为： 15．（2025·天津南开·一模）是虚数单位，若复数为纯虚数，则 ． 【答案】 【详解】由为纯虚数， 所以，则. 故答案为： 16．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）i是虚数单位，则 . 【答案】/ 【详解】 . 故答案为：. 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司/ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 不等式与复数 目录 01 析·考情精解 2 02 构·知能框架 3 03 破·题型攻坚 4 考点一 不等式 4 真题动向 必备知识 知识1利用基本不等式求最值 知识2利用基本不等式比较大小 知识3不等式与函数综合 命题预测 题型1利用基本不等式比较大小 题型2利用基本不等式求最值 考点二 复数 8 真题动向 必备知识 知识1复数的基础考点 知识2复数的高级考点 命题预测 题型1复数的基本考点 题型2复数的高级考点 命题轨迹透视 有关不等式和复数的天津高考试题，考查重点是不等式的性质和基本不等式及复数的四则运算，考试形式分别以一道选择题为主，分值5分．近年来试题关于《不等式》以不等式的性质为主,多与函数及其他有关最值等内容交汇,属于中档性题目，而关于《复数》以考查复数的四则运算为主,偶尔与其他知识交汇、难度较小,属于基础性题目，在解决这些问题时，要注意不等式性质及复数运算法则，复数基础性题目较多而不等式综合性题目居多.不等式主要考查考生的逻辑思维能力。提升考生的逻辑推理素养现。 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 不等式 T15，5分 T14，5分 复数 T10，5分 T10，5分 T10，5分 2026命题预测 预计在2026年高考中，①不等式的性质和基本不等式这部分内容主要以选择题或填空题的形式出现,这类题目主要考查逻辑思维能力和运算求解能力。 ②以考查复数的四则运算为主,偶尔与其他知识交汇、难度较小,考查代数运算的同时,主要涉及考查的概念有:复数的代数形式、共轭复数、复数的模、复数的几何意义等,考查学生的逻辑推理、数学运算等学科核心素养不高。 考点一 不等式 1．（2025·天津·高考真题，15，5分）若，对，均有恒成立，则的最小值为 2．（2023·天津·高考真题，14，5分）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ． 3．（2017·天津·高考真题，6，5分）设x∈R，则是 的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2021·天津·高考真题，11，5分）若，则的最小值为 ． 5．（2019·天津·高考真题，11，5分） 设，，，则的最小值为 . 6．（2019·天津·高考真题，11，5分） 设，使不等式成立的的取值范围为 . 7．（2019·天津·高考真题，12，5分）设，则的最小值为 . 知识1利用基本不等式求最值 1、基本不等式常用模型 形式一：，当且仅当时等号成立. 形式二：，当且仅当时等号成立. 形式三：，当且仅当时等号成立. 形式四：，当且仅当时等号成立. 2、双加配凑模型 模型：形如：已知，求的最值 第一步：将条件配凑成分母的形式 第二步：相乘利用基本不等式 3、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” （1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量. （3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点： ① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突） ② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围. 注意：形如的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解． 4、几个重要的不等式 （1） （2）基本不等式：如果，则(当且仅当“”时取“”). 特例：（同号）. （3）其他变形： ①(沟通两和与两平方和的不等关系式) ②(沟通两积与两平方和的不等关系式) ③(沟通两积与两和的不等关系式) ④重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 知识2 利用基本不等式比较大小 利用不等式的性质比较大小 思路1：核心技巧：应用不等式的性质时，注意保序和反序 如：①不等式两边同时乘以非负需要保序 ②不等式两边同时非负方需要保序 ③不等式两边同时乘以负数需要反序 ④同号取倒反序 ④同向不等式具有可加性，同向同正不等式具有可乘性 思路2：可以代值验证选项，有时需要代多组数据，相对麻烦，本人不推荐 知识3不等式与函数综合 1. 函数单调性与不等式结合：利用一次/二次/指数/对数函数单调性，解形如 f(g(x)) > f(h(x)) 的不等式（关键：先判断函数单调区间，再去掉对应法则 f）。 2. 函数最值与不等式恒成立/能成立问题： 恒成立： af(x) 等价于 a f(x)max} ； a f(x) 等价于 a f(x)min} 能成立： af(x) 等价于 af(x)min} ； a f(x) 等价于 a f(x)max} 。 3. 不等式与函数图像综合：通过函数图像（如二次函数抛物线、分式函数双曲线）判断自变量取值范围，或求解不等式对应的区间（核心：找图像交点、正负区间）。 4. 分段函数与不等式：按分段函数的定义域拆分不等式，分别求解后取并集（注意：分段点的取值验证）。 【易错提醒】　 基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号. 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致. 题型1 利用基本不等式比较大小 1．（2025·天津·一模）设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025·天津武清·模拟预测）设且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025·天津河西·模拟预测）已知是边长2为正三角形，是的中心，过点的动直线交于点，交于点，设，，，，则 ；的最小值为 ． 4．（2025·天津南开·一模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2024·天津·一模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2023·山西临汾·模拟预测）若a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 7．（2023·天津·一模）设，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型2 利用基本不等式求最值 8．（2025·天津红桥·模拟预测）已知二次函数的值域为，则的最小值为 . 9．（2025·天津和平·三模）已知实数与满足，且，则的最小值为 ． 10．（2025·天津河西·二模）在平行四边形中，，，，四边形的面积为6，则的最小值为 ；当在上的投影向量为时， . 11．（2025·天津和平·二模）在中，E为AC中点，G为线段BE上一点，且满足（），则 ，若，则当最大时，的值为 . 12．（2025·天津红桥·一模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 13．（2025·天津和平·一模）已知平面四边形满足，且，为的中点，则 ，若、分别为线段、上的动点，且满足，则的最小值为 . 考点二 复数 1．（2025·天津·高考真题，10，5分）已知i是虚数单位，则 ． 2．（2024·天津·高考真题，10，5分）是虚数单位，复数 ． 3．（2023·天津·高考真题，10，5分）已知是虚数单位，化简的结果为 ． 4．（2022·天津·高考真题，10，5分）已知是虚数单位，化简的结果为 ． 5．（2021·天津·高考真题，10，5分）是虚数单位，复数 ． 6．（2019·天津·高考真题，10，5分）是虚数单位，则的值为 . 7．（2018·天津·高考真题，10，5分）i是虚数单位，复数 . 8．（2017·天津·高考真题，10，5分）已知，为虚数单位，若为实数，则的值为 ． 知识1复数的基础考点 （1）复数的概念： 形如的数叫复数，其中分别是它的实部和虚部.若，则为实数；若，则为虚数；若且，则为纯虚数. （2）复数相等：且. （3）共轭复数：与共轭. （4）复数的模： 向量的模叫做复数的模，记作或，即. 2.复数的几何意义 （1）复数复平面内的点. （2）复数平面向量. 3.复数的运算 设，则 （1）加法：； （2）减法：； （3）乘法：； 知识2复数的高级考点 1.分式快速化简 （分母相同，分子竖的加叉的减） 2.分式的模长快速求解： 【易错提醒】 1. 概念混淆类：误将虚数单位 i2 = 1 （正确为 i2 = -1 ），或混淆“复数 a+bi(a,bR}) 为实数/纯虚数”的条件（实数需b=0 ，纯虚数需a=0且 b0 ）。 2. 运算失误类： - 除法运算漏乘共轭复数（正确： ）； - 平方展开错误（如 (a+bi)2 = a2 + b2 ，忽略中间项2abi ）。 3. 几何意义误解类：误将复数 z=a+bi 对应坐标写为 (a,bi) （正确为 (a,b) ），或混淆“模长”与“绝对值”（模长 ，非 |a| + |b| ）。 题型1复数的基本考点 1．（2024·天津和平·二模）已知为虚数单位，复数，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 2．（2025·天津红桥·模拟预测）若i是虚数单位，则复数 . 3．（2025·天津河北·模拟预测）i是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2025·天津静海·三模）已知，为虚数单位，若为实数，则的值为 . 5．（2025·天津河西·模拟预测）若复数z满足，则 . 6．（2025·天津河北·模拟预测）i是虚数单位，则复数 ． 7．（2025·天津·模拟预测）已知i是虚数单位，化简的结果为 ． 8．（2025·天津红桥·模拟预测）已知i是虚数单位，若复数是实数，则 . 题型2复数的高级考点 9．（2025·天津·二模）已知是虚数单位，复数 ． 10．（2025·天津北辰·三模）是虚数单位，若复数满足，则 . 11．（2025·天津滨海新·三模）已知复数满足（其中为虚数单位），则复数为 ． 12．（2025·天津河北·二模）已知i是虚数单位，复数的虚部是 ． 13．（2025·天津河东·二模）i是复数单位，化简的结果为 . 14．（2025·天津·二模）复数满足（其中i为虚数单位），则 . 15．（2025·天津南开·一模）是虚数单位，若复数为纯虚数，则 ． 16．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）i是虚数单位，则 . 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司/ 学科网（北京）股份有限公司 $