专题08 等差数列、等比数列（复习讲义）（天津专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

该高中数学讲义聚焦等差与等比数列核心考点，涵盖定义、通项公式、求和公式及性质应用，按“知识梳理-题型攻坚-真题演练”逻辑架构，通过考情精解、知能框架构建、分层题型训练等环节，帮助学生系统建立数列问题的分析与解题体系。 资料突出天津卷考情导向，融入情境化试题与跨模块综合题，如以本地赛事赛程设计等差数列模型，通过基本量计算、性质应用、开放题分层训练，培养数学思维与应用意识，配合即时反馈机制，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生应考能力。

专题08 等差数列、等比数列 目录 01 析·考情精解 2 02 构·知能框架 4 03 破·题型攻坚 5 考点一 等差数列通项与求和 5 真题动向 必备知识 知识1等差数列及中项 知识2等差数列的通项公式与性质 知识3等差数列求和及性质最值 命题预测 题型1等差数列通项公式的基本量计算 题型2等差数列前n项和的基本量计算 题型3等差数列性质（奇偶性、中项、片段和） 考点二 等比数列通项与求和 23 真题动向 必备知识 知识1等比数列及中项 知识2等比数列的通项公式与性质 知识3等比数列求和及性质最值 命题预测 题型1等比数列通项公式的基本量计算 题型2等比数列前n项和的基本量计算 题型3等比数列性质（奇偶性、中项、片段和） 命题轨迹透视 有关数列的天津高考试题，数列一般以课程学习基础内容为中心;以等差等比性质的灵活应用为考点，数列题一般以通项、求和及性质应用为主要考点.在备考时应注意以下两点:(1)求数列通项；等差、等比数列的前n项和；数列中最大（小）项；数列的单调性；基本量的计算；等差、等比中项；做到灵活驾驭;(2)数列新定义问题，理解题干所阐述的思想，选择合适的条件,快速求解，同学们也要加强逻辑思维能力、运算求解能力、创新能力的训练,突出理性思维和数学探索的学科素养的培养。 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 等差数列通项与求和 T6，5分 等比数列通项与求和 T5，5分 2026命题预测 结合天津卷历年考情和2025年新课标导向，2026年天津卷等差、等比数列命题会延续小题考基础、大题重综合的风格，同时强化情境与思维考查，具体预测如下： 1. 选填题聚焦基础，暗藏细节陷阱：选填题大概率还是以基本量运算为主，比如结合等差中项、等比下标和性质求某一项或前n项和，也可能考查等差、等比数列的判定。不过不会是简单公式套用，可能设置陷阱，比如等比数列中隐含公比为1的特殊情况，或是等差数列前n项和公式中n的取值范围陷阱，以此检验对概念本质的理解。 2. 解答题综合度高，跨模块深度融合：作为天津卷数列考查的重点，解答题难度会偏高。一方面会延续等差与等比数列交叉命题的模式，比如通过递推式推导数列是等差或等比数列，再结合裂项相消、错位相减等方法求和；另一方面会强化与其他模块的“跨章缝合”，大概率和函数性质、不等式证明融合，还可能要求用集合或函数语言描述数列，考验数学阅读与语言转化能力。 3. 融入真实情境，凸显应用价值：受2025天津卷“操场跑圈”等情境化试题的影响，2026年可能会将等差、等比数列嵌入本地生活或常见场景中。比如以天津本地赛事赛程安排、物流配送量变化等为背景构造等差数列，或依托产品销量衰减、存款复利等场景设计等比数列问题，要求将实际问题转化为数列模型求解。 4. 新增开放题型，强调逻辑表达：可能出现补充条件类开放题，比如“已知数列{aₙ}的部分项，补充一个条件使其为等比数列”。同时大题会更看重推理逻辑链，像2025年评分中出现的“逻辑链缺失扣分”情况大概率会延续，答题时需清晰呈现“已知—转化—结论”的推导过程，避免跳步导致失分。高。 考点一 等差数列通项与求和 1．（2025·天津·高考真题，6，5分），则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 【答案】C 【详解】因为， 所以当时，， 当时，， 经检验，满足上式， 所以，令，， 设数列的前n项和为， 则数列的前项和为 数列的前项和为 . 故选：C 2．（2006·天津·高考真题，6，5分）已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，．设，则数列的前10项和等于（    ）． A．55 B．70 C．85 D．100 【答案】C 【详解】数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、， 且，． 设，又都是公差为1的等差数列，所以数列也成等差， 则数列的前10项和等于， 又，， ∴， 故选：C． 3．（2004·天津·高考真题，6，5分）已知数列，那么“对任意的，点都在直线上”是“为等差数列”的（    ） A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【详解】当点都在直线上成立时，可得，因此当时， ，所以为等差数列； 当为等差数列成立时，例如，显然点都不在直线上，所以点都在直线上”是“为等差数列”的充分不必要条件. 故选：C 4．（2007·天津·高考真题）设等差数列的公差不为0，．若是与的等比中项，则（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】等差数列的公差d不为0，，是与的等比中项， 所以即， 所以，所以， 所以（负值舍去）. 故选：B. 5．（2014·天津·高考真题，6，5分）设是首项为，公差为-1的等差数列，为其前n项和，若成等比数列，则=（ ） A．2 B．-2 C． D． 【答案】D 【详解】因为成等比数列，所以，即 故选D. 6．（2014·天津·高考真题，12，5分）设是首项为，公差为的等差数列，为其前项和．若成等比数列，则的值为 ． 【答案】． 【详解】试题分析：依题意得，∴，解得． 7．（2011·天津·高考真题，11，5分）已知{an}为等差数列，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，若a3=16，S20=20，则S10值为 ． 【答案】110 【详解】由题意a3=16，故S5=5×a3=80， 由数列的性质S10﹣S5=80+25d，S15﹣S10=80+50d，S20﹣S15=80+75d， 故S20=20=320+150d，解之得d=﹣2 又S10= =80+80+25d=160﹣50=110 故答案为110 8．（2011·天津·高考真题，6，5分）已知为等差数列，其公差为，且是与的等比中项，为的前项和，，则的值为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：,又因为是与的等比中项,所以，即，解之得，所以，故选D. 考点：1.等差数列定义与性质；2.等比数列的定义与性质；3.等差数列的前项和. 9．（2008·天津·高考真题，6，5分）若等差数列的前5项之和，且，则 A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【详解】试题分析：由题意得，，又，则，又，所以等差数列的公差为，所以． 10．（2006·天津·高考真题，5，5分）设是等差数列，，，则这个数列的前6项之和等于 （　　） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【详解】本题主要考查的是等差数列．由条件可知，所以，应选B． 知识1等差数列及中项 对于数列，若（，，为常数）或（，为常数），则此数列是等差数列，其中常数叫做等差数列的公差． 等差中项 如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项，即． ①两个数的等差中项就是两个数的算术平均数．任意两实数，的等差中项存在且唯一． ②三个数，，成等差数列的充要条件是． 知识2等差数列的通项公式与性质 等差数列的通项公式 首相为，公差为的等差数列的通项公式为：， 等差数列通项公式的推广 已知等差数列中，第项为，公差为，则． 证明：因为， 所以 所以 等差数列的性质 等差数列中，公差为，则 ①若，且，则， 特别地，当时． ②下标成公差为的等差数列的项，，，…组成的新数列仍为等差数列，公差为． ③若数列也为等差数列，则，，（k，b为非零常数）也是等差数列． ④仍是等差数列． ⑤数列（为非零常数）也是等差数列． 知识3等差数列求和及性质最值 等差数列的前项和公式 公式一： 公式二： 证明：将代入可得： 等差数列的前项和的有关性质 等差数列中，公差为，则 ①连续项的和依然成等差数列，即，，，…成等差数列，且公差为． ②若项数为，则，， ③若项数为，则，，，， 等差数列中的函数关系 等差数列的通项公式是关于的一次函数（或常数函数） 等差数列中，，令，则：（，是常数且为公差） （1）当时，为常数函数，为常数列；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点． （2）当时，是的一次函数；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点． ①当时，一次函数单调增，为递增数列； ②当时，一次函数单调减，为递减数列． 等差数列的前项和公式是关于的一个常数项为零的二次函数（或一次函数） 由，令，，则：（，是常数） （1）当即时，，是关于的一个一次函数；它的图象是在直线上的一群孤立的点． （2）当即时，是关于的一个常数项为零的二次函数；它的图象是在抛物线上的一群孤立的点． ①当时有最小值②当时，有最大值 等差数列前项和的最值 等差数列前项和的最值 （1）在等差数列中， 当，时，有最大值，使取得最值的可由不等式组确定；当，时，有最少值，使取到最值的可由不等式组确定． （2），若，则从二次函数的角度看：当时，有最少值；当时，有最大值．当取最接近对称轴的正整数时，取到最值． 【易错提醒】　 数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时有时可以利用函数的性质，但是在利用函数单调性求解数列问题，要注意的取值不是连续实数，忽略这一点很容易出错. 题型1等差数列通项公式的基本量计算 1．（2025·天津河西·模拟预测）已知正项数列满足，且，则（   ） A．27 B．30 C．33 D．36 【答案】A 【详解】当时，，可得， 因①， 可知时，②， 用①-②得：， 等式两边同乘，得到，即， 即当时，数列是公差为3的等差数列， 所以，又，所以， 又因为，则 整理得，即， 因为数列是正项数列，所以， 所以，所以 故选：A 2．（2025·天津北辰·三模）已知等比数列的首项为1，公比为，则数列的前10项和为（    ） A．15 B．35 C．45 D．55 【答案】C 【详解】等比数列的首项为1，公比为，， ，，，且， 是首项为，公差为的等差数列， 数列的前10项和为. 故选：C. 3．（2025·天津·一模）已知数列和的通项公式分别为，在与之间插入数列的前m项，构成新数列，即，…．记数列的前n项和为，则（    ） A．30 B．4944 C．9876 D．14748 【答案】B 【详解】因为数列的通项公式为，所以数列为等差数列， 所以数列的前项和为， 数列的通项公式为，所以数列为等比数列， 所以数列的前项和为， 所以 ， ， 当时，. 故选：B. 4．（2025·天津武清·模拟预测）已知数列的通项公式为，其前n项和为，则数列的前2025项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】数列的通项公式为，其前n项和为， 所以， 则数列的前2025项和为 . 故选：D. 5．（2025·天津·一模）已知是各项均为正数的等比数列，且，，成等差数列，则的值是（   ） A． B． C．9 D．16 【答案】A 【详解】设正项等比数列的公比为，由，，成等差数列， 可得，即，所以，解得（舍去）或， 所以. 故选：A 6．（2025·天津北辰·三模）已知在等比数列中，，等差数列的前项和为，且，则（    ） A．60 B．54 C．42 D．36 【答案】C 【详解】由等比数列的性质可知，因为，所以，， 所以. 故选：C 7．（2025·天津滨海新·三模）已知数列为各项不为零的等差数列，为数列的前项和，，则的值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【详解】设等差数列公差为，∵， ∴当时，，解得， ∴， 当时，， ∴， ∴． 故选：D． 8．（2025·天津武清·模拟预测）在等差数列中，公差，若，则（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】D 【详解】因为，可得， 所以，即， 又因为，所以. 故选：D． 9．（2025·天津·一模）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．6 B．9 C．11 D．14 【答案】B 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 由， 则有，解得， 所以等差数列的通项公式为， 故． 故选：B． 10．（2025·天津和平·一模）已知等比数列的各项均为正数，若成等差数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为等比数列中的各项都是正数，设公比为q，得， 又成等差数列， 可得， 又，所以，解得或， 又，所以 则， 故选：A 题型2等差数列前n项和的基本量计算 11．（2025·天津·二模）数列的项是由1或2构成，且首项为1，在第个1和第个1之间有个2，即数列为：.记数列的前项和为，则 ： . 【答案】 【详解】由条件可知，前20项有4个1，2的个数为个， 所以数列的前20项的和为； 前个1之间有个2， 所以个1和个2的个数为，令，满足条件的最大为， 当时，个数，第45个1后面有个2， 所以 故答案为：； 12．已知等差数列中，，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【详解】在等差数列中，由于，故，所以. 故选：D. 13．单调递增的等差数列满足，当公差取最小值时，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设等差数列的公差为，，表示点到原点的距离，表示点到点的距离，表示点到点的距离； 已知， 根据绝对值的几何意义可知，数列中的项应满足，， 因为，由，可得，所以的最小值为， 当时，，， 解不等式可得；解不等式可得，所以. 故选:C． 14．已知数列是首项为1的等差数列，且，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】设数列的公差为，又，即， 整理得，解得或， 当时，；当时， 又， 因此或. 故选：B. 15．已知等差数列满足，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【详解】由题设，而， 所以. 故选：B 16．（2025·天津·二模）已知数列为等差数列，的前项和为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设等差数列的公差为, 则，即， 又，即， 则由解得， 则. 故选：B. 17．已知数列都是等差数列，且，，，则数列的前10项的和为（   ） A．550 B．450 C．1100 D．900 【答案】A 【详解】由等差数列的性质知：， 所以数列的前10项的和为: . 故选：A. 18．已知为等差数列，前项和为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以， 所以； 又因为， 即，解得， 所以等差数列的公差， 所以. 故选；A. 19．已知等差数列满足，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为数列为等差数列， 所以， 所以. 故选：. 20．已知是首项为2，公比为2的等比数列，记，其中，记数列的前项和为，则（    ） A．9143 B．9145 C．10009 D．10154 【答案】D 【详解】由题意得， ，，，所以， 当时，，共10项，这10项的和为,其余项有项， 当时，， 这些项的和为 ， 所以. 故选：. 题型3等差数列性质（奇偶性、中项、片段和） 21．（2025·天津·一模）记等差数列的前n项和为,,,则（   ） A．120 B．130 C．140 D．150 【答案】D 【详解】 故选：D. 22．（2025·天津·模拟预测）已知数列与均是公差不为0的等差数列，且数列也是等差数列，若，则（    ） A．24 B．21 C．18 D．15 【答案】A 【详解】设的公差为，的公差为， ，解得，所以， ， 因为数列也是等差数列， 所以，即， 解得（舍去）或， 所以，. 故选：A 23．（2025·天津·模拟预测）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．20 B．22 C．18 D．19 【答案】A 【详解】设等差数列的公差为， 由题意，得，解得， 所以. 故选：A 24．已知数列，，，3，，…，则是这个数列的第（   ）项 A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【详解】由题意可知，被开方数是首项为3，公差为2的等差数列， 则该数列的通项公式为，令，解得，故A正确. 故选：A 25．（2025·天津·一模）数列是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，，，.若存在常数a，b，使得对任意的都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，解得，， 所以，， 由，即对任意的正整数n都成立， 所以，解得，，所以. 故选：C 26．已知等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．48 B．63 C．80 D．96 【答案】A 【详解】解：设等差数列的公差为，， 所以，解得， 所以，由等差数列前项和公式得 故选：A 27．已知等差数列满足：，则前20项的和为（　　） A．190 B．360 C．400 D．440 【答案】C 【详解】设数列公差为，令得，， 令得，则，即， 解得，． 故选：C. 28．已知函数.若对于任意的等差数列，总有是等差数列，则称函数具有“保等差性”.函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】是等差数列，则需要满足， 对于A，取等差数列，则,，,则，故A不正确； 对于B，取等差数列，则,,，则，故B不正确； 对于C，取等差数列，则,,,则，故C不正确； 对于D, ,, 所以，， 由于为等差数列，则，所以，故D正确； 故选：D 29．（2025·天津·模拟预测）已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A．13 B．14 C．16 D．20 【答案】A 【详解】设等差数列的公差为， ， 所以， ， 故选：A 30．（2025·天津·模拟预测）若，数列满足，则的值是（    ） A．2024 B．4048 C．3036 D．2025 【答案】B 【详解】， ， 则. 因为 令，得 ； ； ； ………… 又. 故 故选：B 考点二 等比数列通项与求和 1．（2023·天津·高考真题，5，5分）已知数列的前n项和为，若，则（    ） A．16 B．32 C．54 D．162 【答案】C 【详解】当时，，所以，即， 当时，， 所以数列是首项为2，公比为3的等比数列， 则. 故选：C. 2．（2010·天津·高考真题，5，5分）已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列的前5项和为 A．或5 B．或5 C． D． 【答案】C 【详解】设等比数列的公比为q, ∵9S3=S6, ∴8(a1+a2+a3)=a4+a5+a6, ∴8=q3,即q=2, ∴an=2n-1, ∴=, ∴数列是首项为1,公比为的等比数列, 故数列的前5项和为=. 故选C. 3．（2010·天津·高考真题，12，5分）设 是等比数列，公比 ， 为 的前n项和，记 '，设 为数列 的最大项，则 ． 【答案】4 4．（2005·天津·高考真题，12，5分）在数列中，，且，则数列的前10项和 ． 【答案】35. 【详解】因为，且， 所以当n为奇数时，，所以； 当n为偶数时，， 又，所以. 所以 故答案为：35. 5．（2006·天津·高考真题，13，5分）设函数，点表示坐标原点，，若向量，是与的夹角，（其中）设，则 . 【答案】1 【详解】依题可得，，因为，所以的坐标为 ， 即， 故， ． 故答案为：1． 6．（2005·天津·高考真题，11，5分）数列的前项和为， 【答案】2600 【详解】 , , ， ， ， ， ， ， …………………….， . 7．（2008·天津·高考真题，11，5分）已知数列中，，则 . 【答案】 【详解】由题意，数列中，， 可得， 根据数列的极限的运算法则，可得. 故答案为：. 知识1等比数列及中项 公比通常用字母表示（），即：． 如果三个数、、成等比数列，那么称数为与的等比中项．其中． ①只有当与同号即时，与才有等比中项，且与有两个互为相反数的等比中项．当与异号或有一个为零即时，与没有等比中项． ②任意两个实数与都有等差中项，且当与确定时，等差中项唯一．但任意两个实数与不一定有等比中项，且当与有等比中项时，等比中项不唯一． ③当时，、、成等比数列． ④是、、成等比数列的必要不充分条件． 知识2等比数列的通项公式与性质 等比数列的通项公式 首相为，公比为的等比数列的通项公式为： 等比数列的通项公式的推广 已知等比数列中，第项为，公比为，则： 证明：∵，∴∴ 由上可知，等比数列的通项公式可以用数列中的任一项与公比来表示，通项公式可以看成是时的特殊情况． 等比数列的性质 设等比数列的公比为 ①若，且，则， 特别地，当时． ②下标成等差数列且公差为的项，，，…组成的新数列仍为等比数列，公比为． ③若，是项数相同的等比数列，则、、（是常数且）、、（，是常数）、、也是等比数列； ④连续项和（不为零）仍是等比数列．即，，，…成等比数列． 知识3等比数列求和及性质最值 等比数列中的函数关系 等比数列中，，若设，则： （1）当时，，等比数列是非零常数列．它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点． （2）当时，等比数列的通项公式是关于的指数型函数；它的图象是分布在曲线（）上的一些孤立的点． ①当且时，等比数列是递增数列；②当且时，等比数列是递减数列； ③当且时，等比数列是递减数列；④当且时，等比数列是递增数列． （3）当时，等比数列是摆动数列． 等比数列的前项和公式 由等比数列的定义，有 根据等比性质，有 所以当时，或． 等比数列前项和的函数特征 1、与的关系 （1）当公比时，等比数列的前项和公式是， 它可以变形为，设，则上式可以写成的形式， 由此可见，数列的图象是函数图象上的一群孤立的点； （2）当公比时，等比数列的前项和公式是，则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点． 2、与的关系 当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为 设，，则上式可写成的形式，则是的一次函数． 等比数列前项和的性质 1、等比数列中，若项数为，则；若项数为，则． 2、若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）． 3、若一个非常数列的前n项和，则数列为等比数列． 【易错提醒】 若成等比数列，则为和的等比中项。只有同号的两数才有等比中项， “”仅是“为和的等比中项”的必要不充分条件，在解题时务必要注意此点。 题型1等比数列通项公式的基本量计算 1．（2025·天津和平·一模）已知正项数列的前项和满足，则 . 【答案】 【详解】由题知，即，因为，解得， 时，，即，因为，解得， 时，，即，即，因为，解得， 同理可得，. 故答案为：. 2．（2025·天津和平·二模）已知数列满足，则数列的通项公式为 ，若数列的前项和为，记，则数列的最大项为第 项． 【答案】 【详解】因为， 当时，，解得； 当时，， 两式相减得，即， 经检验当时也成立，所以； 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号． 所以数列的最大项为第项. 故答案为：；． 3．（2025·全国·模拟预测）已知正项数列的前项和为，，若存在非零常数，使得对任意的正整数均成立，则 ，的最小值为 . 【答案】 1 /0.5 【详解】当时，，即，又，所以. 由①，得：当时，②，①②得，故， 所以数列是以1为首项，为公比的等比数列， 所以，则，解得； 故数列的公比为2，，则，，则. 解法一  令，则，， 由对勾函数的性质可得在区间上单调递增， 所以当，即时，取得最小值. 解法二  令，则，单调递增， 所以当时，取得最小值，即的最小值为. 故答案为：1， 4．（2025·天津·二模）已知实数满足条件：，且是与的等比中项，又是与的等差中项，则 . 【答案】 【详解】根据题意：，，故，，故. . 故答案为：. 5．（2025·天津滨海新·模拟预测）已知等差数列的前项为，若，，则 . 【答案】 【详解】由题知：， 解得：，. . 故答案为： 6．（2025·天津·二模）已知数列的前项和为，若，，则的最大值为 . 【答案】57 【详解】因为，， 所以， 所以数列为等差数列， 令，解得. 所以 则的最大值为. 故答案为：57. 7．（2025·天津·一模）设，，若a与的等差中项是2，则的最大值是 ． 【答案】 【详解】因为a与的等差中项是2， 所以， 又，， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 8．（2025·天津河北·二模）已知首项与公比相等的等比数列中，若，，满足，则的最小值为 ． 【答案】1 【详解】设等比数列公比为，则首项 由得： 则：          则（当且仅当，即时取等号） 本题正确结果： 9．（2025·天津河东·二模）中国古代数学有着辉煌和灿烂的历史，成书于公元一世纪的数学著作《九章算术》中有一道关于数列的题目：“今有良马与驽马发长安至齐．齐去长安三千里．良马初日行一百九十三里，日增十三里．驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马．问几何日相逢及各行几何？”根据你所学数列知识和数学运算技巧计算两马相逢时是在出发后的第 天（写出整数即可）． 【答案】16 详解：良马每日所行里数构成一等差数列，其通项公式为an=193+13（n﹣1）=13n+180， 驽马每日所行走里数也构成一等差数列，其通项公式为bn=97﹣（n﹣1）=﹣， 因为二马相逢时所走路程之和为2×3000=6000， ∴+=6000， ∴=6000， 解得n≈16． 故答案为16 10．（2025·天津河西·模拟预测）甲、乙、丙三个人去做相互传球训练，训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出．如果第一次由甲将球传出，设次传球后球在甲手中的概率为，则 ； ． 【答案】 /0.25 【详解】设“经过次传球后，球在甲的手中”，则事件的概率即，则 依题意，，则 ， 即，(*) 因代入解得，，； 由（*）可得，，且， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 于是，，则得，. 故答案为：；. 11．（2025·天津河西·模拟预测）已知等比数列的前项和为，公比，，，数列满足且，. （1）则 ； ； （2）将和中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列，则数列的前50项和 ； （3）设数列的通项公式为：，，则 . 【答案】 【详解】（1）由题，，，两式作差可得，即， 因为，则，又，解得， 所以，解得，所以. 因为，故数列为等差数列，设该数列的公差为， 由于，可得，，所以， 所以； （2）当时，，当时，， 所以数列的前项中，有项，有项， 所以； （3）由（1），，， 设，即， 则， 则， 则， 两式作差可得 即， 故. 12．（2025·天津·一模）已知等比数列满足：.设，记数列的前项和为，则（    ） A．149 B．153 C．155 D．157 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为，则， 则，可得，所以， 则， 所以. 故选：B. 13．（2025·天津·模拟预测）在等比数列中，，若不等式成立，则的最小值为（    ） A．24 B．25 C．26 D．27 【答案】D 【详解】设的公比为， 记， 由， 得， 所以．令， 则． 当为偶数时，，无正整数解； 当为大于2的奇数时，， 由，解得， 又为奇数，所以的最小值为27． 故选：D． 题型2等比数列前n项和的基本量计算 14．（2025·天津·一模）设为正项等比数列的前n项和，若，，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】设等比数列的公比为，∵，∴. 由得，∴. 故选：C 15．（2025·天津·模拟预测）设数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，若，则（   ） A．15 B．16 C．31 D． 【答案】C 【详解】因为数列是各项均为正数的等比数列，且， 故，联立可得，化简可得， 解得或， 当时，,不符合题意，舍去； 当时，， . 故选：. 16．（2025·天津·模拟预测）已知正项数列为等比数列，且是与的等差中项，若，则该数列的前5项和为（    ） A．10 B．15 C．30 D．31 【答案】D 【详解】因为数列为正项等比数列，设公比为， 又是与的等差中项，所以，即， 解得或（舍去）， 所以由解得， 所以该数列的前5项和， 故选：D 17．设等比数列的各项均为正数，其前项和为，则“”是“数列是递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由得，所以， 又，所以是递增数列， 反之，等比数列的各项均为正数，且数列是递增数列，所以，即有， 所以，即， 所以是数列是递增数列的充要条件． 故选：C． 18．（2025·天津·模拟预测）已知数列满足，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，知， 所以，即， 故，又适合上式，故． 故选：C. 19．（2025·天津·模拟预测）牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数有两个零点1，2，数列为的牛顿数列．设，已知，的前项和为，则等于（   ） A．2025 B．2026 C． D． 【答案】D 【详解】有两个零点1，2， 则，解之得， 则，则， 则， 则， 由，可得， 即， 又，则数列是首项为2，公比为2的等比数列，则， 前n项和，则. 故选：D． 20．（2025·天津·三模）设函数 的定义域为 ，若 ，且对任意 ，满足 ，则 的值为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由 ，可得 ， 因为 ， 所以 ， 又因为 ，所以 ， 所以 . 故选: D. 21．（2025·天津·模拟预测）等比数列的前项和为，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设等比数列的公比为，则，解得， 因此，. 故选：C. 22．（2025·天津·模拟预测）已知为各项均为整数的等比数列，且，记为的前项和，则（   ） A．43 B．85 C．110 D．127 【答案】A 【详解】根据题意，已知，且各项均为整数， 得到， 解得．则． 故． 故选：A． 23．（2025·天津·三模）九江银行·2025“庐山杯”九江马拉松于3月23日上午鸣枪开跑．此前，为备战此次马拉松，小宝同学制定了一个为期20周的跑步训练计划．计划第1周跑步2公里，之后一段时间每周的跑步量是前一周的2倍；当周跑步量首次超过30公里后，每周比前一周多跑2公里；当周跑步量首次超过全马里程（公里）后，保持这个周训练量直至训练结束．请问：训练计划结束时，小宝同学跑步的总量是（   ） A．736公里 B．724公里 C．692公里 D．660公里 【答案】C 【详解】记第一周跑步量为，则，所以前4周的跑步量为等比数列， 所以则，故第5周到第10周的跑步量为等差数列，则， 第11周到第20周每周44公里，总和为440公里，所以小宝同学跑步的总量是公里. 故选：C. 题型3等比数列性质（奇偶性、中项、片段和） 24．设等比数列的前项和为，若，则（　　） A．8 B．10 C．14 D．18 【答案】A 【详解】等比数列中，成等比数列， 成等比数列， ， 故选：A． 25．（2025·天津·一模）记为等比数列的前项和，若，则的公比为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】设等比数列的公比为， 根据等比数列前项和的性质，成等比，且公比为， 又，即，所以， 解得. 故选：D. 26．（2025·天津·二模）记为等比数列的前项和，若，则（    ） A．81 B．71 C．61 D．51 【答案】C 【详解】由题可知，，成等比数列， 所以，即，得， 则此等比数列的首项是1，公比是，那么， ， 所以. 故选：C 27．已知等比数列的前项和为，若公比，，则（   ） A．49 B．56 C．63 D．112 【答案】B 【详解】∵，∴. 故选：B. 28．已知等比数列的前n项和为，则（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】A 【详解】解：由等比数列性质有，即，解得， 则， 故选：A． 29．已知等比数列的前项和为，公比为，则下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】A选项，由，即，解得，错误； B选项，，正确； C选项，由得，解得或， 当时，，； 当时，，，错误； D选项，（舍去）或或， 故或，错误. 故选：B 30．（2025·全国·模拟预测）等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．3 D．12 【答案】A 【详解】设等比数列的公比为，当时，，不合题意； 当时，等比数列前项和公式， 依题意，得：，解得：. 故选：A 31．（2025·天津·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，且，则（    ） A．40 B．-30 C．30 D．-30或40 【答案】A 【详解】因为，且， 所以，，故， 所以，即，解得或（舍去）， 由等比数列性质可知，成等比数列，公比为 所以，解得， 故选：A 32．（2025·全国·模拟预测）已知等比数列的前项和为，满足，则数列的公比为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】设等比数列的公比为，由题设得 ， 解得． 故选：C． 33．（2025·全国·模拟预测）设等比数列的前项和是．已知，，则（    ） A．900 B．1200 C． D． 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为，因为，， 所以，， 得，所以， 所以， 所以． 故选：． 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司/ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 等差数列、等比数列 目录 01 析·考情精解 2 02 构·知能框架 4 03 破·题型攻坚 5 考点一 等差数列通项与求和 5 真题动向 必备知识 知识1等差数列及中项 知识2等差数列的通项公式与性质 知识3等差数列求和及性质最值 命题预测 题型1等差数列通项公式的基本量计算 题型2等差数列前n项和的基本量计算 题型3等差数列性质（奇偶性、中项、片段和） 考点二 等比数列通项与求和 11 真题动向 必备知识 知识1等比数列及中项 知识2等比数列的通项公式与性质 知识3等比数列求和及性质最值 命题预测 题型1等比数列通项公式的基本量计算 题型2等比数列前n项和的基本量计算 题型3等比数列性质（奇偶性、中项、片段和） 命题轨迹透视 有关数列的天津高考试题，数列一般以课程学习基础内容为中心;以等差等比性质的灵活应用为考点，数列题一般以通项、求和及性质应用为主要考点.在备考时应注意以下两点:(1)求数列通项；等差、等比数列的前n项和；数列中最大（小）项；数列的单调性；基本量的计算；等差、等比中项；做到灵活驾驭;(2)数列新定义问题，理解题干所阐述的思想，选择合适的条件,快速求解，同学们也要加强逻辑思维能力、运算求解能力、创新能力的训练,突出理性思维和数学探索的学科素养的培养。 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 等差数列通项与求和 T6，5分 等比数列通项与求和 T5，5分 2026命题预测 结合天津卷历年考情和2025年新课标导向，2026年天津卷等差、等比数列命题会延续小题考基础、大题重综合的风格，同时强化情境与思维考查，具体预测如下： 1. 选填题聚焦基础，暗藏细节陷阱：选填题大概率还是以基本量运算为主，比如结合等差中项、等比下标和性质求某一项或前n项和，也可能考查等差、等比数列的判定。不过不会是简单公式套用，可能设置陷阱，比如等比数列中隐含公比为1的特殊情况，或是等差数列前n项和公式中n的取值范围陷阱，以此检验对概念本质的理解。 2. 解答题综合度高，跨模块深度融合：作为天津卷数列考查的重点，解答题难度会偏高。一方面会延续等差与等比数列交叉命题的模式，比如通过递推式推导数列是等差或等比数列，再结合裂项相消、错位相减等方法求和；另一方面会强化与其他模块的“跨章缝合”，大概率和函数性质、不等式证明融合，还可能要求用集合或函数语言描述数列，考验数学阅读与语言转化能力。 3. 融入真实情境，凸显应用价值：受2025天津卷“操场跑圈”等情境化试题的影响，2026年可能会将等差、等比数列嵌入本地生活或常见场景中。比如以天津本地赛事赛程安排、物流配送量变化等为背景构造等差数列，或依托产品销量衰减、存款复利等场景设计等比数列问题，要求将实际问题转化为数列模型求解。 4. 新增开放题型，强调逻辑表达：可能出现补充条件类开放题，比如“已知数列{aₙ}的部分项，补充一个条件使其为等比数列”。同时大题会更看重推理逻辑链，像2025年评分中出现的“逻辑链缺失扣分”情况大概率会延续，答题时需清晰呈现“已知—转化—结论”的推导过程，避免跳步导致失分。高。 考点一 等差数列通项与求和 1．（2025·天津·高考真题，6，5分），则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 2．（2006·天津·高考真题，6，5分）已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，．设，则数列的前10项和等于（    ）． A．55 B．70 C．85 D．100 3．（2004·天津·高考真题，6，5分）已知数列，那么“对任意的，点都在直线上”是“为等差数列”的（    ） A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件 4．（2007·天津·高考真题）设等差数列的公差不为0，．若是与的等比中项，则（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 5．（2014·天津·高考真题，6，5分）设是首项为，公差为-1的等差数列，为其前n项和，若成等比数列，则=（ ） A．2 B．-2 C． D． 6．（2014·天津·高考真题，12，5分）设是首项为，公差为的等差数列，为其前项和．若成等比数列，则的值为 ． 7．（2011·天津·高考真题，11，5分）已知{an}为等差数列，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，若a3=16，S20=20，则S10值为 ． 8．（2011·天津·高考真题，6，5分）已知为等差数列，其公差为，且是与的等比中项，为的前项和，，则的值为 A． B． C． D． 9．（2008·天津·高考真题，6，5分）若等差数列的前5项之和，且，则 A．12 B．13 C．14 D．15 10．（2006·天津·高考真题，5，5分）设是等差数列，，，则这个数列的前6项之和等于 （　　） A．12 B．24 C．36 D．48 知识1等差数列及中项 对于数列，若（，，为常数）或（，为常数），则此数列是等差数列，其中常数叫做等差数列的公差． 等差中项 如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项，即． ①两个数的等差中项就是两个数的算术平均数．任意两实数，的等差中项存在且唯一． ②三个数，，成等差数列的充要条件是． 知识2等差数列的通项公式与性质 等差数列的通项公式 首相为，公差为的等差数列的通项公式为：， 等差数列通项公式的推广 已知等差数列中，第项为，公差为，则． 证明：因为， 所以 所以 等差数列的性质 等差数列中，公差为，则 ①若，且，则， 特别地，当时． ②下标成公差为的等差数列的项，，，…组成的新数列仍为等差数列，公差为． ③若数列也为等差数列，则，，（k，b为非零常数）也是等差数列． ④仍是等差数列． ⑤数列（为非零常数）也是等差数列． 知识3等差数列求和及性质最值 等差数列的前项和公式 公式一： 公式二： 证明：将代入可得： 等差数列的前项和的有关性质 等差数列中，公差为，则 ①连续项的和依然成等差数列，即，，，…成等差数列，且公差为． ②若项数为，则，， ③若项数为，则，，，， 等差数列中的函数关系 等差数列的通项公式是关于的一次函数（或常数函数） 等差数列中，，令，则：（，是常数且为公差） （1）当时，为常数函数，为常数列；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点． （2）当时，是的一次函数；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点． ①当时，一次函数单调增，为递增数列； ②当时，一次函数单调减，为递减数列． 等差数列的前项和公式是关于的一个常数项为零的二次函数（或一次函数） 由，令，，则：（，是常数） （1）当即时，，是关于的一个一次函数；它的图象是在直线上的一群孤立的点． （2）当即时，是关于的一个常数项为零的二次函数；它的图象是在抛物线上的一群孤立的点． ①当时有最小值②当时，有最大值 等差数列前项和的最值 等差数列前项和的最值 （1）在等差数列中， 当，时，有最大值，使取得最值的可由不等式组确定；当，时，有最少值，使取到最值的可由不等式组确定． （2），若，则从二次函数的角度看：当时，有最少值；当时，有最大值．当取最接近对称轴的正整数时，取到最值． 【易错提醒】　 数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时有时可以利用函数的性质，但是在利用函数单调性求解数列问题，要注意的取值不是连续实数，忽略这一点很容易出错. 题型1等差数列通项公式的基本量计算 1．（2025·天津河西·模拟预测）已知正项数列满足，且，则（   ） A．27 B．30 C．33 D．36 2．（2025·天津北辰·三模）已知等比数列的首项为1，公比为，则数列的前10项和为（    ） A．15 B．35 C．45 D．55 3．（2025·天津·一模）已知数列和的通项公式分别为，在与之间插入数列的前m项，构成新数列，即，…．记数列的前n项和为，则（    ） A．30 B．4944 C．9876 D．14748 4．（2025·天津武清·模拟预测）已知数列的通项公式为，其前n项和为，则数列的前2025项和为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·天津·一模）已知是各项均为正数的等比数列，且，，成等差数列，则的值是（   ） A． B． C．9 D．16 6．（2025·天津北辰·三模）已知在等比数列中，，等差数列的前项和为，且，则（    ） A．60 B．54 C．42 D．36 7．（2025·天津滨海新·三模）已知数列为各项不为零的等差数列，为数列的前项和，，则的值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 8．（2025·天津武清·模拟预测）在等差数列中，公差，若，则（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 9．（2025·天津·一模）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．6 B．9 C．11 D．14 10．（2025·天津和平·一模）已知等比数列的各项均为正数，若成等差数列，则（    ） A． B． C． D． 题型2等差数列前n项和的基本量计算 11．（2025·天津·二模）数列的项是由1或2构成，且首项为1，在第个1和第个1之间有个2，即数列为：.记数列的前项和为，则 ： . 12．已知等差数列中，，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 13．单调递增的等差数列满足，当公差取最小值时，（   ） A． B． C． D． 14．已知数列是首项为1的等差数列，且，则（    ） A． B．或 C． D．或 15．已知等差数列满足，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 16．（2025·天津·二模）已知数列为等差数列，的前项和为，，，则（    ） A． B． C． D． 17．已知数列都是等差数列，且，，，则数列的前10项的和为（   ） A．550 B．450 C．1100 D．900 18．已知为等差数列，前项和为，，，则（    ） A． B． C． D． 19．已知等差数列满足，则（　　） A． B． C． D． 20．已知是首项为2，公比为2的等比数列，记，其中，记数列的前项和为，则（    ） A．9143 B．9145 C．10009 D．10154 题型3等差数列性质（奇偶性、中项、片段和） 21．（2025·天津·一模）记等差数列的前n项和为,,,则（   ） A．120 B．130 C．140 D．150 22．（2025·天津·模拟预测）已知数列与均是公差不为0的等差数列，且数列也是等差数列，若，则（    ） A．24 B．21 C．18 D．15 23．（2025·天津·模拟预测）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．20 B．22 C．18 D．19 24．已知数列，，，3，，…，则是这个数列的第（   ）项 A．10 B．11 C．12 D．13 25．（2025·天津·一模）数列是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，，，.若存在常数a，b，使得对任意的都有，则（   ） A． B． C． D． 26．已知等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．48 B．63 C．80 D．96 27．已知等差数列满足：，则前20项的和为（　　） A．190 B．360 C．400 D．440 28．已知函数.若对于任意的等差数列，总有是等差数列，则称函数具有“保等差性”.函数可能是（    ） A． B． C． D． 29．（2025·天津·模拟预测）已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A．13 B．14 C．16 D．20 30．（2025·天津·模拟预测）若，数列满足，则的值是（    ） A．2024 B．4048 C．3036 D．2025 考点二 等比数列通项与求和 1．（2023·天津·高考真题，5，5分）已知数列的前n项和为，若，则（    ） A．16 B．32 C．54 D．162 2．（2010·天津·高考真题，5，5分）已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列的前5项和为 A．或5 B．或5 C． D． 3．（2010·天津·高考真题，12，5分）设 是等比数列，公比 ， 为 的前n项和，记 '，设 为数列 的最大项，则 ． 4．（2005·天津·高考真题，12，5分）在数列中，，且，则数列的前10项和 ． 5．（2006·天津·高考真题，13，5分）设函数，点表示坐标原点，，若向量，是与的夹角，（其中）设，则 . 6．（2005·天津·高考真题，11，5分）数列的前项和为， 7．（2008·天津·高考真题，11，5分）已知数列中，，则 . 知识1等比数列及中项 公比通常用字母表示（），即：． 如果三个数、、成等比数列，那么称数为与的等比中项．其中． ①只有当与同号即时，与才有等比中项，且与有两个互为相反数的等比中项．当与异号或有一个为零即时，与没有等比中项． ②任意两个实数与都有等差中项，且当与确定时，等差中项唯一．但任意两个实数与不一定有等比中项，且当与有等比中项时，等比中项不唯一． ③当时，、、成等比数列． ④是、、成等比数列的必要不充分条件． 知识2等比数列的通项公式与性质 等比数列的通项公式 首相为，公比为的等比数列的通项公式为： 等比数列的通项公式的推广 已知等比数列中，第项为，公比为，则： 证明：∵，∴∴ 由上可知，等比数列的通项公式可以用数列中的任一项与公比来表示，通项公式可以看成是时的特殊情况． 等比数列的性质 设等比数列的公比为 ①若，且，则， 特别地，当时． ②下标成等差数列且公差为的项，，，…组成的新数列仍为等比数列，公比为． ③若，是项数相同的等比数列，则、、（是常数且）、、（，是常数）、、也是等比数列； ④连续项和（不为零）仍是等比数列．即，，，…成等比数列． 知识3等比数列求和及性质最值 等比数列中的函数关系 等比数列中，，若设，则： （1）当时，，等比数列是非零常数列．它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点． （2）当时，等比数列的通项公式是关于的指数型函数；它的图象是分布在曲线（）上的一些孤立的点． ①当且时，等比数列是递增数列；②当且时，等比数列是递减数列； ③当且时，等比数列是递减数列；④当且时，等比数列是递增数列． （3）当时，等比数列是摆动数列． 等比数列的前项和公式 由等比数列的定义，有 根据等比性质，有 所以当时，或． 等比数列前项和的函数特征 1、与的关系 （1）当公比时，等比数列的前项和公式是， 它可以变形为，设，则上式可以写成的形式， 由此可见，数列的图象是函数图象上的一群孤立的点； （2）当公比时，等比数列的前项和公式是，则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点． 2、与的关系 当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为 设，，则上式可写成的形式，则是的一次函数． 等比数列前项和的性质 1、等比数列中，若项数为，则；若项数为，则． 2、若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）． 3、若一个非常数列的前n项和，则数列为等比数列． 【易错提醒】 若成等比数列，则为和的等比中项。只有同号的两数才有等比中项， “”仅是“为和的等比中项”的必要不充分条件，在解题时务必要注意此点。 题型1等比数列通项公式的基本量计算 1．（2025·天津和平·一模）已知正项数列的前项和满足，则 . 2．（2025·天津和平·二模）已知数列满足，则数列的通项公式为 ，若数列的前项和为，记，则数列的最大项为第 项． 3．（2025·全国·模拟预测）已知正项数列的前项和为，，若存在非零常数，使得对任意的正整数均成立，则 ，的最小值为 . 4．（2025·天津·二模）已知实数满足条件：，且是与的等比中项，又是与的等差中项，则 . 5．（2025·天津滨海新·模拟预测）已知等差数列的前项为，若，，则 . 6．（2025·天津·二模）已知数列的前项和为，若，，则的最大值为 . 7．（2025·天津·一模）设，，若a与的等差中项是2，则的最大值是 ． 8．（2025·天津河北·二模）已知首项与公比相等的等比数列中，若，，满足，则的最小值为 ． 9．（2025·天津河东·二模）中国古代数学有着辉煌和灿烂的历史，成书于公元一世纪的数学著作《九章算术》中有一道关于数列的题目：“今有良马与驽马发长安至齐．齐去长安三千里．良马初日行一百九十三里，日增十三里．驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马．问几何日相逢及各行几何？”根据你所学数列知识和数学运算技巧计算两马相逢时是在出发后的第 天（写出整数即可）． 10．（2025·天津河西·模拟预测）甲、乙、丙三个人去做相互传球训练，训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出．如果第一次由甲将球传出，设次传球后球在甲手中的概率为，则 ； ． 11．（2025·天津河西·模拟预测）已知等比数列的前项和为，公比，，，数列满足且，. （1）则 ； ； （2）将和中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列，则数列的前50项和 ； （3）设数列的通项公式为：，，则 . 12．（2025·天津·一模）已知等比数列满足：.设，记数列的前项和为，则（    ） A．149 B．153 C．155 D．157 13．（2025·天津·模拟预测）在等比数列中，，若不等式成立，则的最小值为（    ） A．24 B．25 C．26 D．27 题型2等比数列前n项和的基本量计算 14．（2025·天津·一模）设为正项等比数列的前n项和，若，，则（   ） A． B． C． D．2 15．（2025·天津·模拟预测）设数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，若，则（   ） A．15 B．16 C．31 D． 16．（2025·天津·模拟预测）已知正项数列为等比数列，且是与的等差中项，若，则该数列的前5项和为（    ） A．10 B．15 C．30 D．31 17．设等比数列的各项均为正数，其前项和为，则“”是“数列是递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 18．（2025·天津·模拟预测）已知数列满足，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 19．（2025·天津·模拟预测）牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数有两个零点1，2，数列为的牛顿数列．设，已知，的前项和为，则等于（   ） A．2025 B．2026 C． D． 20．（2025·天津·三模）设函数 的定义域为 ，若 ，且对任意 ，满足 ，则 的值为 （    ） A． B． C． D． 21．（2025·天津·模拟预测）等比数列的前项和为，且，，则（    ） A． B． C． D． 22．（2025·天津·模拟预测）已知为各项均为整数的等比数列，且，记为的前项和，则（   ） A．43 B．85 C．110 D．127 23．（2025·天津·三模）九江银行·2025“庐山杯”九江马拉松于3月23日上午鸣枪开跑．此前，为备战此次马拉松，小宝同学制定了一个为期20周的跑步训练计划．计划第1周跑步2公里，之后一段时间每周的跑步量是前一周的2倍；当周跑步量首次超过30公里后，每周比前一周多跑2公里；当周跑步量首次超过全马里程（公里）后，保持这个周训练量直至训练结束．请问：训练计划结束时，小宝同学跑步的总量是（   ） A．736公里 B．724公里 C．692公里 D．660公里 题型3等比数列性质（奇偶性、中项、片段和） 24．设等比数列的前项和为，若，则（　　） A．8 B．10 C．14 D．18 25．（2025·天津·一模）记为等比数列的前项和，若，则的公比为（   ） A．2 B． C． D． 26．（2025·天津·二模）记为等比数列的前项和，若，则（    ） A．81 B．71 C．61 D．51 27．已知等比数列的前项和为，若公比，，则（   ） A．49 B．56 C．63 D．112 28．已知等比数列的前n项和为，则（   ） A．2 B． C． D．4 29．已知等比数列的前项和为，公比为，则下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 30．（2025·全国·模拟预测）等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．3 D．12 31．（2025·天津·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，且，则（    ） A．40 B．-30 C．30 D．-30或40 32．（2025·全国·模拟预测）已知等比数列的前项和为，满足，则数列的公比为（    ） A． B．2 C．3 D．4 33．（2025·全国·模拟预测）设等比数列的前项和是．已知，，则（    ） A．900 B．1200 C． D． 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