专题06 三角函数的图象与性质、三角恒等变换（复习讲义）（天津专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数图象与性质、三角恒等变换核心考点，按“考情精解-知能框架-题型攻坚”逻辑架构，整合同角求值、图象解析式、单调区间等必备知识，通过考点梳理、方法指导（如“三剑客”知一求二）、真题与模拟题分层训练，帮助学生系统构建知识网络，突破由图象定解析式、零点问题等难点。 资料特色在于以核心素养为导向，创新“区域角四步求解”“卡根原理”等解题策略，如分析三角函数对称性时，结合五点作图法培养学生数学眼光与逻辑推理能力。设置小题（图象变换）与大题（性质应用）专项突破，配合命题轨迹透视与2026预测，确保复习针对性，助力学生高效提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

专题06 三角函数的图象与性质、三角恒等变换 目录 01 析·考情精解 2 02 构·知能框架 4 03 破·题型攻坚 5 考点一 三角函数小题考点 5 真题动向 必备知识 知识1同角三角函数求值 知识2三角函数三剑客及三角函数部分图象确定解析式 知识3诱导公式的超级应用 命题预测 题型1由图像确定三角函数的解析式 题型2三角函数图像变换及三角恒等变换化简求值 题型3三角函数零点问题 考点二 三角函数大题考点 18 真题动向 必备知识 知识1求正余切函数图象性质 知识2三角函数单调区间、对称中心、对称轴 知识3三角函数辅助角公式及两种情况卡根原理 命题预测 题型1求正余切函数图象性质 题型2三角函数单调区间、对称中心、对称轴 命题轨迹透视 有关三角函数的天津高考试题，三角函数作为高考的必考内容,在高考中选择、填空、解答三种题型都会涉及，大部分是考查基础知识和基本方法,考查内容涉及三角函数定义、诱导公式、同角三角函数基本关系式,图象变换、正弦型函数或余弦型函数的图象和性质、三角恒等变换.如果考查解答题,多数位于解答题第一题或者第二题,难度不大.三角函数中部分题目侧重于函数的图象和性质,主要考查学生的数学核心素养为逻辑推理、数学运算、数学建模. 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 三角函数小题考点 T8，5分 T7，5分 T6，5分 三角函数大题考点 T16，14分 T16，14分 T16，14分 2026命题预测 结合天津近5年高考数学真题的三角函数考情，2026年该模块命题大概率保持稳定，侧重基础与中档题，且三角恒等变换与解三角形仍会是核心考点，具体预测如下： 1. 三角恒等变换与解三角形：这是近5年必考考点，2026年大概率延续综合考查模式。可能会以应用题或计算题形式出现，先通过两角和差、二倍角公式进行凑角化简求值，再结合正弦定理、余弦定理求解三角形的边长、角度，或是与三角形的面积计算结合命题。 2. 三角函数的值域与最值：该考点近5年3考，热度较高。预计会依正弦（型）、余弦（型）函数出题，可能结合函数的单调性、周期性，或是给定区间条件，求解函数的最值，也可能穿插含参问题增加些许难度。 3. 三角函数的图象与性质：奇偶性近5年2考，周期性与对称性5年1考，后续可能加大周期性与对称性的考查力度。大概率出选择题，比如判断三角函数的奇偶性，或根据函数的对称轴、对称中心等条件求解参数，也可能考查图象的平移与伸缩变换，以此判断变换后函数的解析式或性质。 此外，该模块整体分值稳定在5分左右的基础题或中档题，题目不会过于复杂，侧重对公式应用和基础性质的考查，较少出现偏题、怪题。预测2026年高考，三角函数一般以三角函数线为基准,三角函数图像为导向考察，突出基础性，同时三角恒等变换灵活应用。 考点一 三角函数小题考点 1．（2025·天津·高考真题，8，5分），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 2．（2025·天津·高考真题，2，5分）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024·天津·高考真题，7，5分）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 4．（2024·天津·高考真题，4，5分）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 5．（2023·天津·高考真题，6，5分）已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 6．（2023·天津·高考真题，4，5分）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 7．（2022·天津·高考真题，8，5分）关于函数，给出下列结论： ①的最小正周期为； ②在上单调递增； ③当时，的取值范围为； ④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到． 其中正确结论的个数为（    ） A． B． C． D． 8．（2020·天津·高考真题，8，5分）已知函数．给出下列结论： ①的最小正周期为； ②是的最大值； ③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 9．（2019·天津·高考真题，8，5分）已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则（    ） A． B． C． D． 10．（2014·天津·高考真题，8，5分）已知函数在曲线与直线的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则的最小正周期为 A． B． C． D． 知识1同角三角函数求值 1.区域角的求解 区域角的求解遵循以下步骤： 第一步：在直角坐标系中标明两个边界（在范围内） 第二步：按逆时针方向标出阴影部分区域 第三步：若阴影区域为射线即： 若阴影区域为直线即： 2.三角函数值的比较大小 三角函数线： ①由于,所以MP就叫角的正弦线.正弦线的起点在垂足，终点在角的终边与单位圆的交点. ②由于,所以OM就叫角的余弦线.余弦线的起点在原点，终点在垂足. ③由于，所以AT就叫角的正切线.正切线的起点在单位圆与x轴正半轴的交点A，终点在过点A的切线与角的终边或反向延长线的交点. 3.同角三角函数求值 结论1：出现形式则采用对偶式处理 然后利用二元一次方程组快速求解 特殊情况：则 结论2：速记一些常见的勾股数，然后利用直角三角形处理 知识2三角函数三剑客及三角函数部分图象确定解析式 三角函数称为《三剑客》，《三剑客》中《知一求二》 理由如下： 如果已知求必须会判断的正负 判断如下： ①关于的符号判断 当角的终边在区域2、3、4、5则有 当角的终边在区域1、6、7、8则有 当角的终边在直线上时，则有 ②关于的符号判断 当角的终边在区域8、1、2、3则有 当角的终边在区域4、5、6、7则有 当角的终边在直线上时，则有 ③关于的符号判断 当角的终边在区域1、2、5、6则有 当角的终边在区域3、4、7、8则有 当角的终边在轴上时，则有 结论：④若则 Ⅰ当角在终边在区域1、2内时， Ⅱ当角在终边在区域3、8内时， Ⅲ当角在终边在区域4、7内时， Ⅳ当角在终边在区域5、6内时， ⑤若则 Ⅰ当角在终边在区域3、4内时， Ⅱ当角在终边在区域2、5内时， Ⅲ当角在终边在区域1、6内时， Ⅳ当角在终边在区域7、8内时， 知识3诱导公式的超级应用 秒杀：思路1：形如： 第一步：定A K,借助函数图象的最高点、最低点确定参数A K的值 第二步：定周期，借助函数图象及五点作图法中的“五点”确定函数的周期 第一点（即图象第一次上升时与轴的交点）横坐标满足 第二点（即图象的“峰点”）横坐标满足 第三点（即图象下降时与轴的交点）横坐标满足 第四点（即图象的“谷点”）横坐标满足 第五点（即图象第二次上升时与轴的交点）横坐标满足 求只需在部分图象中寻求“五点”中任意两点建立二元一次方程组即可 思路2：形如： 第一步：定A K,借助函数图象的最高点、最低点确定参数A K的值 第二步：定周期 ∵，∴往往通过求来确定，可以通过已知曲线及其与轴的交点来确定。 注意：①相邻的最高点与最低点之间的水平距离为 ②相邻的两个最高点（最低点）之间的水平距离为 ③相邻的最高点（最低点）与平衡点之间的水平距离为 第三步：求 求只需在部分图象中寻求“五点”中任意一点建立一元一次方程即可（同思路1第二步） 【易错提醒】　 （1）利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数赋值来求得所需的角． （2）确定的终边位置的方法 先写出或的范围，然后根据的可能取值确定或的终边所在位置． （3）利用三角函数的定义，已知角终边上一点的坐标可求的三角函数值；已知角的三角函数值，也可以求出角终边的位置． （4）判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况. 题型1由图像确定三角函数的解析式 1．（2025·天津河西·模拟预测）函数的部分图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且为等边三角形.若，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·天津滨海新·三模）已知函数的部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法：    ①在区间上单调递减 ②的图象可由的图象向左平移个单位得到 ③的对称轴为 ④在区间上的最小值为 以上四个说法中，正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2025·天津·一模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·天津南开·二模）函数的部分图象如图所示，则的单调递增区间为（   ）． A． B． C． D． 5．已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度，再把所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则（   ） A． B． C．1 D．0 6．（2025·天津和平·二模）函数（，，）的部分图象如图所示，要得到的图象，只需将函数的图象上所有的点（    ） A．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度 B．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 C．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度 D．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 7．函数 的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·天津红桥·一模）已知函数的部分图象如图所示，则下列正确个数有（    ） ①关于点对称； ②关于直线对称； ③在区间上单调递减； ④在区间上的值域为； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（2025·天津河北·二模）已知函数（，，）的部分图象如图所示，给出下列结论： ①；    ②当时，； ③函数的单调递减区间为，； ④将的图象向右平移个单位，得到的图象；其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型2三角函数图像变换及三角恒等变换化简求值 10．（2025·天津和平·三模）设定义在上的函数，，且在区间上有最大值，无最小值，则当取最小值时，的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 11．（2025·天津·一模）已知是函数图象的一个对称轴，则下列说法错误的是（    ） A．是函数图象的一个对称中心 B．函数的图象可由图象向左平移个单位长度得到 C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上有且仅有一个零点 12．（2025·天津·模拟预测）已知．给出下列判断： ①若，且，则； ②若在恰有9个零点，则的取值范围为； ③存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称； ④若在上是增函数，则的取值范围为． 其中，判断正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．（2025·天津·一模）函数（）的图象关于点成中心对称，则下列结论正确的个数是（   ） ①在单调递减；②在有2个极值点； ③直线是一条对称轴；④直线是一条切线. A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 14．（2025·天津河北·二模）已知函数在区间上单调递减，且将函数图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则t的最大值为（    ） A． B． C． D． 15．（2025·天津河西·二模）已知、是函数的两个零点，且的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 16．（2025·天津·二模）将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点向右平移个单位长度，得到图象对应的函数为，则下列结论正确的是（   ） A．的最小正周期是 B．是的一条对称轴 C．在区间上单调递减 D．当时，的取值范围为 题型3三角函数零点问题 17．（2025·天津·一模）设符号函数，已知函数，则（   ） A．为的最小正周期 B．图象的对称轴方程为 C．在上单调递增 D．函数在上有4个零点 18．（2025·天津河东·二模）关于函数，下列结论不正确的为（    ） A．时，的图象关于对称 B．时，的最小正周期为 C．时，在区间内有两个零点 D．时，在区间上的最大值为 19．（2025·天津·模拟预测）已知函数和的图象的对称轴完全相同，令，则下列结论错误的是（   ） A．的一个周期为 B．的图象关于直线对称 C．的一个零点为 D．在单调递减 20．（2025·天津·二模）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论中正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．在区间上单调递减 C．在区间没有零点 D．的图象关于点对称 21．（2024·天津·二模）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若相邻两条对称轴的距离为，则； B．若，则时，的值域为； C．若在上单调递增，则； D．若在上恰有2个零点，则. 22．（2025·天津·一模）函数在区间上有两个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点二 三角函数大题考点 1．（2016·天津·高考真题，16，14分）已知函数=4tan xsin（）cos（） . （Ⅰ）求f（x）的定义域与最小正周期； （Ⅱ）讨论f（x）在区间[]上的单调性. 2．（2015·天津·高考真题，16，14分）已知函数， (I)求最小正周期； (II)求在区间上的最大值和最小值. 3．（2014·天津·高考真题，16，14分）已知函数，． （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）求在上的最小值和最大值． 4．（2025·天津·高考真题，16，14分）在中，角的对边分别为．已知，，． (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求的值． 5．（2024·天津·高考真题，16，14分）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 6．（2023·天津·高考真题，16，14分）在中，角所对的边分别是．已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 7．（2022·天津·高考真题，16，14分）在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 8．（2021·天津·高考真题，16，14分）在，角所对的边分别为，已知，． （I）求a的值； （II）求的值； （III）求的值． 知识1求正余切函数图象性质 正弦、余弦、正切函数性质有单调性、周期性、对称轴、对称中心 大前提必须熟悉掌握三大基本图象的画法《基本函数法》 ①正弦图象 ②余弦图象 ③正切图象 知识2三角函数单调区间、对称中心、对称轴 3．与的图像与性质 （1）最小正周期：． （2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A，A]． （3）最值 假设． ①对于， ②对于， （4）对称轴与对称中心． 假设． ①对于， ②对于， 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置． （5）单调性． 假设． ①对于， ②对于， （6）平移与伸缩 由函数的图像变换为函数的图像的步骤； 方法一：．先相位变换，后周期变换． 方法二：．先周期变换，后相位变换，再振幅变换． 结论：关于三角函数对称的几个重要结论； （1）函数的对称轴为，对称中心为； （2）函数的对称轴为，对称中心为； （3）函数函数无对称轴，对称中心为； （4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得，即对称中心为． （5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为 知识3三角函数辅助角公式及两种情况卡根原理 ①由于对称轴和对称中心的水平距离为,设，构造出函数的形式，再根据单调区间或者最值区间所处的范围进行卡根. 第一步：卡的形式 第二步：卡周期求的范围 ②已知平移得到新函数表达式单调性 第一步：先将新函数括号内部看成整体，将已知单调区间代入求出整体单调区间. 第二步：整体单调区间属于基本函数图象哪一部分 第三步：建立不等式求解 【易错提醒】 在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少. 1．给角求值给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，从而得解． 2．给值求值：已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路： （1）先化简所求式子． （2）观察已知条件与所求式子之间的联系（从三角函数名及角入手）． （3）将已知条件代入所求式子，化简求值． 3．给值求角 通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则： （1）已知正切函数值，则选正切函数． （2）已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是，则选正、余弦皆可；若角的范围是，则选余弦较好；若角的范围为，则选正弦较好． 4．与三角函数的图象及性质相结合的综合问题 （1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式转化成或的形式． （2）利用公式求周期． （3）根据自变量的范围确定的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为二次函数的最值． （4）根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数或的单调区间． 题型1求正余切函数图象性质 1．（2025·天津河北·模拟预测）已知，α是第三象限角． (1)求和的值； (2)求的值． 2．（2025·天津·二模）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，． (1)求的值； (2)若，求c的值． 3．（2025·天津红桥·一模）在中，内角所对的边分别是，已知，， (1)求b，c的值； (2)求的值； (3)求的值． 4．（2025·天津南开·一模）在中，内角的对边分别为，且． (1)求边的长； (2)求的值； (3)求的值． 5．（2024·天津河北·模拟预测）已知，是第二象限角． (1)求和的值； (2)求的值． 6．（2024·天津南开·二模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，. (1)求证：； (2)求的值； (3)求的值. 7．（2024·天津河西·三模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，． (1)求的值； (2)设函数． （ⅰ）求的定义域和最小正周期； （ⅱ）求的值． 8．（2025·天津·二模）在中，内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，且面积， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求． 题型2三角函数单调区间、对称中心、对称轴 9．（2025·天津武清·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，. (1)求C的值； (2)求的值； (3)求的值. 10．（2025·天津北辰·三模）在中，角所对的边分别为.满足. (1)求角的大小； (2)若的面积为. ①求的值； ②求的值. 11．（2025·天津河西·模拟预测）在中，内角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若的面积为，，． （ⅰ）求和的值； （ⅱ）求的值． 12．（2025·天津·二模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，. (1)求边b的长； (2)求C的正切值； (3)求的值. 13．（2025·天津和平·三模）在中，角、、所对的边分别为、、，，， (1)求角的大小； (2)求的值与的面积； (3)求的值． 14．（2025·天津滨海新·三模）在中，内角，，所对的边分别，，，已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 15．（2025·天津·一模）在中，角所对的边分别为，且． (1)求c的值； (2)求的值； (3)求的值． 16．（2025·天津·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为． (1)求a的值； (2)求； (3)求的值． 17．（2025·天津南开·二模）在中，角的对边分别为．已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 18．（2025·天津红桥·二模）在△ABC中， 内角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 若 且 (1)求cosB； (2)求a的值; (3)求 的值. 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司/ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 三角函数的图象与性质、三角恒等变换 目录 01 析·考情精解 2 02 构·知能框架 4 03 破·题型攻坚 5 考点一 三角函数小题考点 5 真题动向 必备知识 知识1同角三角函数求值 知识2三角函数三剑客及三角函数部分图象确定解析式 知识3诱导公式的超级应用 命题预测 题型1由图像确定三角函数的解析式 题型2三角函数图像变换及三角恒等变换化简求值 题型3三角函数零点问题 考点二 三角函数大题考点 34 真题动向 必备知识 知识1求正余切函数图象性质 知识2三角函数单调区间、对称中心、对称轴 知识3三角函数辅助角公式及两种情况卡根原理 命题预测 题型1求正余切函数图象性质 题型2三角函数单调区间、对称中心、对称轴 命题轨迹透视 有关三角函数的天津高考试题，三角函数作为高考的必考内容,在高考中选择、填空、解答三种题型都会涉及，大部分是考查基础知识和基本方法,考查内容涉及三角函数定义、诱导公式、同角三角函数基本关系式,图象变换、正弦型函数或余弦型函数的图象和性质、三角恒等变换.如果考查解答题,多数位于解答题第一题或者第二题,难度不大.三角函数中部分题目侧重于函数的图象和性质,主要考查学生的数学核心素养为逻辑推理、数学运算、数学建模. 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 三角函数小题考点 T8，5分 T7，5分 T6，5分 三角函数大题考点 T16，14分 T16，14分 T16，14分 2026命题预测 结合天津近5年高考数学真题的三角函数考情，2026年该模块命题大概率保持稳定，侧重基础与中档题，且三角恒等变换与解三角形仍会是核心考点，具体预测如下： 1. 三角恒等变换与解三角形：这是近5年必考考点，2026年大概率延续综合考查模式。可能会以应用题或计算题形式出现，先通过两角和差、二倍角公式进行凑角化简求值，再结合正弦定理、余弦定理求解三角形的边长、角度，或是与三角形的面积计算结合命题。 2. 三角函数的值域与最值：该考点近5年3考，热度较高。预计会依正弦（型）、余弦（型）函数出题，可能结合函数的单调性、周期性，或是给定区间条件，求解函数的最值，也可能穿插含参问题增加些许难度。 3. 三角函数的图象与性质：奇偶性近5年2考，周期性与对称性5年1考，后续可能加大周期性与对称性的考查力度。大概率出选择题，比如判断三角函数的奇偶性，或根据函数的对称轴、对称中心等条件求解参数，也可能考查图象的平移与伸缩变换，以此判断变换后函数的解析式或性质。 此外，该模块整体分值稳定在5分左右的基础题或中档题，题目不会过于复杂，侧重对公式应用和基础性质的考查，较少出现偏题、怪题。预测2026年高考，三角函数一般以三角函数线为基准,三角函数图像为导向考察，突出基础性，同时三角恒等变换灵活应用。 考点一 三角函数小题考点 1．（2025·天津·高考真题，8，5分），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】A 【详解】因为函数在上单调递增，且为它的一条对称轴， 所以时函数取最大值， 又因为是它的一个对称中心， 所以，， 设的最小正周期为，由正弦函数的对称性可知， 即， 又在上单调递增，则， ∴，则，， ∵，∴时，，∴， 当时，， 由正弦函数的单调性可知. 故选：A 2．（2025·天津·高考真题，2，5分）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，则“”是“”的充分条件； 又当时，，可知， 故“”不是“”的必要条件， 综上可知，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．（2024·天津·高考真题，7，5分）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【详解】因为函数的最小正周期为，则，所以， 即，当时，， 所以当，即时， 故选：D 4．（2024·天津·高考真题，4，5分）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误； 对B，设，函数定义域为， 且，则为偶函数，故B正确； 对C，设，， ，则不是偶函数，故C错误； 对D，设，函数定义域为， 因为，且不恒为0， 则不是偶函数，故D错误. 故选：B. 5．（2023·天津·高考真题，6，5分）已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性： A选项中，B选项中， C选项中，D选项中， 排除选项CD， 对于A选项，当时，函数值，故是函数的一个对称中心，排除选项A， 对于B选项，当时，函数值，故是函数的一条对称轴， 故选：B. 6．（2023·天津·高考真题，4，5分）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且， 由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除； 当时、，即A、C中上函数值为正，排除； 故选：D 7．（2022·天津·高考真题，8，5分）关于函数，给出下列结论： ①的最小正周期为； ②在上单调递增； ③当时，的取值范围为； ④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到． 其中正确结论的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以的最小正周期为，①不正确； 令，而在上递增，所以在上单调递增，②正确；因为，，所以，③不正确； 由于，所以的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，④不正确． 故选：A． 8．（2020·天津·高考真题，8，5分）已知函数．给出下列结论： ①的最小正周期为； ②是的最大值； ③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【详解】因为，所以周期，故①正确； ，故②不正确； 将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象， 故③正确. 故选：B. 9．（2019·天津·高考真题，8，5分）已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为为奇函数，∴； 又 ，，又 ∴， 故选C． 10．（2014·天津·高考真题，8，5分）已知函数在曲线与直线的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则的最小正周期为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：因为原来函数即为，令，则，令，又因为若相邻交点距离的最小值为，则以正弦函数为研究对象，取符合要求的两角：，对应有，此时，所以. 知识1同角三角函数求值 1.区域角的求解 区域角的求解遵循以下步骤： 第一步：在直角坐标系中标明两个边界（在范围内） 第二步：按逆时针方向标出阴影部分区域 第三步：若阴影区域为射线即： 若阴影区域为直线即： 2.三角函数值的比较大小 三角函数线： ①由于,所以MP就叫角的正弦线.正弦线的起点在垂足，终点在角的终边与单位圆的交点. ②由于,所以OM就叫角的余弦线.余弦线的起点在原点，终点在垂足. ③由于，所以AT就叫角的正切线.正切线的起点在单位圆与x轴正半轴的交点A，终点在过点A的切线与角的终边或反向延长线的交点. 3.同角三角函数求值 结论1：出现形式则采用对偶式处理 然后利用二元一次方程组快速求解 特殊情况：则 结论2：速记一些常见的勾股数，然后利用直角三角形处理 知识2三角函数三剑客及三角函数部分图象确定解析式 三角函数称为《三剑客》，《三剑客》中《知一求二》 理由如下： 如果已知求必须会判断的正负 判断如下： ①关于的符号判断 当角的终边在区域2、3、4、5则有 当角的终边在区域1、6、7、8则有 当角的终边在直线上时，则有 ②关于的符号判断 当角的终边在区域8、1、2、3则有 当角的终边在区域4、5、6、7则有 当角的终边在直线上时，则有 ③关于的符号判断 当角的终边在区域1、2、5、6则有 当角的终边在区域3、4、7、8则有 当角的终边在轴上时，则有 结论：④若则 Ⅰ当角在终边在区域1、2内时， Ⅱ当角在终边在区域3、8内时， Ⅲ当角在终边在区域4、7内时， Ⅳ当角在终边在区域5、6内时， ⑤若则 Ⅰ当角在终边在区域3、4内时， Ⅱ当角在终边在区域2、5内时， Ⅲ当角在终边在区域1、6内时， Ⅳ当角在终边在区域7、8内时， 知识3诱导公式的超级应用 秒杀：思路1：形如： 第一步：定A K,借助函数图象的最高点、最低点确定参数A K的值 第二步：定周期，借助函数图象及五点作图法中的“五点”确定函数的周期 第一点（即图象第一次上升时与轴的交点）横坐标满足 第二点（即图象的“峰点”）横坐标满足 第三点（即图象下降时与轴的交点）横坐标满足 第四点（即图象的“谷点”）横坐标满足 第五点（即图象第二次上升时与轴的交点）横坐标满足 求只需在部分图象中寻求“五点”中任意两点建立二元一次方程组即可 思路2：形如： 第一步：定A K,借助函数图象的最高点、最低点确定参数A K的值 第二步：定周期 ∵，∴往往通过求来确定，可以通过已知曲线及其与轴的交点来确定。 注意：①相邻的最高点与最低点之间的水平距离为 ②相邻的两个最高点（最低点）之间的水平距离为 ③相邻的最高点（最低点）与平衡点之间的水平距离为 第三步：求 求只需在部分图象中寻求“五点”中任意一点建立一元一次方程即可（同思路1第二步） 【易错提醒】　 （1）利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数赋值来求得所需的角． （2）确定的终边位置的方法 先写出或的范围，然后根据的可能取值确定或的终边所在位置． （3）利用三角函数的定义，已知角终边上一点的坐标可求的三角函数值；已知角的三角函数值，也可以求出角终边的位置． （4）判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况. 题型1由图像确定三角函数的解析式 1．（2025·天津河西·模拟预测）函数的部分图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且为等边三角形.若，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由函数的部分图象知，等边底边上的高为，所以边长， 所以的最小正周期为，所以， 所以，由，得， 又，所以， 由，得， 所以， 所以 故选：. 2．（2025·天津滨海新·三模）已知函数的部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法：    ①在区间上单调递减 ②的图象可由的图象向左平移个单位得到 ③的对称轴为 ④在区间上的最小值为 以上四个说法中，正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由图可知，，即，则， 此时，又， 则，，即，， 又，所以，则. 对于①，当时，， 因为函数在上单调递减， 所以在区间上单调递减，故①正确； 对于②，的图象向左平移得到，故②正确； 对于③，令，解得， 所以的对称轴为，故③错误； 对于④，当时，，则， 则，则在区间上的最小值为，故④正确. 故选：C. 3．（2025·天津·一模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图象可知的图象关于原点对称，所以为奇函数，且， 对于A, ，故不符合，A错误， 对于B, ，则为奇函数，且满足，故B正确， 对于C, ，则为偶函数，不符合，C错误， 对于D, ，为偶函数，不符合，D错误， 故选：B 4．（2025·天津南开·二模）函数的部分图象如图所示，则的单调递增区间为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 由图可得：周期，所以， 代入最低点得：， 可得：，解得， 所以有， 再由，解得， 故函数的增区间为， 故选：A. 5．已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度，再把所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】C 【详解】观察函数图象，函数的最小正周期，解得， 由，得，又，则， ，将的图象向左平移个单位长度， 得的图象，因此， 所以. 故选：C 6．（2025·天津和平·二模）函数（，，）的部分图象如图所示，要得到的图象，只需将函数的图象上所有的点（    ） A．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度 B．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 C．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度 D．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 【答案】A 【详解】由图可知，，得， 又，由解得； 将点代入，得， 在函数单调减区间上，则，， 解得，又，所以，. 得. 将的图象上所有的点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度， 得的图象. 故选：A 7．函数 的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数，定义域为， 有， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，可排除B、D项； 又由，可排除C项， 所以函数的图象为选项A. 故选：A. 8．（2025·天津红桥·一模）已知函数的部分图象如图所示，则下列正确个数有（    ） ①关于点对称； ②关于直线对称； ③在区间上单调递减； ④在区间上的值域为； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】由函数的图象可知：，. 因为，又，所以. 因为， 所以，.所以，. 由图象可知：，即. 所以当时，. 所以. 对①：因为，所以的图象不关于对称，①错误； 对②：因为，所以的图象关于直线对称，②正确； 对③：当时，，因为在上单调递减，所以函数在上单调递减，③正确； 对④：当时，，所以，所以，④正确. 故选：C 9．（2025·天津河北·二模）已知函数（，，）的部分图象如图所示，给出下列结论： ①；    ②当时，； ③函数的单调递减区间为，； ④将的图象向右平移个单位，得到的图象；其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由图象可知：，. 由，又，所以. 所以. 因为，故①正确； 当时，，所以，所以，故②正确； 由，，， 所以函数的单调递减区间为，.故③正确； 将的图象向右平移个单位，得到的图象，故④错误. 故选：C 题型2三角函数图像变换及三角恒等变换化简求值 10．（2025·天津和平·三模）设定义在上的函数，，且在区间上有最大值，无最小值，则当取最小值时，的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以由二倍角公式得， 结合诱导公式得， 因为，所以关于对称， 令，则， 因为，所以当时，最小，此时，， 因为，所以， 令，则变为， 由正弦函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 则此时最大值为，无最小值， 得到此时有最大值，无最小值，符合题意， 由正弦函数的最小正周期公式得，故B正确. 故选：B 11．（2025·天津·一模）已知是函数图象的一个对称轴，则下列说法错误的是（    ） A．是函数图象的一个对称中心 B．函数的图象可由图象向左平移个单位长度得到 C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上有且仅有一个零点 【答案】D 【详解】由是函数图象的一个对称轴， 可得，可得，即， 因为，所以，所以， 对于A中，由， 所以是函数图象的一个对称中心，所以A正确； 对于B中，将函数图象向左平移个单位长度得到，所以B正确； 对于C中，由，可得， 因为函数在上单调递减，所以在区间上递减，所以C正确； 对于D中，，可得， 当时，即时，可得，即是的一个零点； 当时，即时，可得，即是的一个零点， 所以函数在上有两个零点，所以D错误. 故选：D. 12．（2025·天津·模拟预测）已知．给出下列判断： ①若，且，则； ②若在恰有9个零点，则的取值范围为； ③存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称； ④若在上是增函数，则的取值范围为． 其中，判断正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】根据二倍角余弦公式，对进行化简可得： . 对于①： 已知，，且，则，为函数的周期. 根据正弦函数周期公式，由可得，解得，所以①错误. 对于②： 令，则（），解得（）. 若在恰有9个零点，令，则. 解第一个不等式： ，，，解得. 解第二个不等式： ，，，解得. 所以的取值范围是，②正确. 对于③： 的图象向右平移个单位长度后得到的图象. 若该图象关于轴对称，则（）， ，（）。 当时，，不存在满足条件，所以③错误。 对于④： 令（），解关于的不等式得： （）. 若在上是增函数，则 解第一个不等式得：，，； 解第二个不等式得：，，，又， 所以的取值范围是，④错误. 综上，只有②正确，正确的个数是1个，答案是A. 故选：A. 13．（2025·天津·一模）函数（）的图象关于点成中心对称，则下列结论正确的个数是（   ） ①在单调递减；②在有2个极值点； ③直线是一条对称轴；④直线是一条切线. A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【详解】因为的图象关于点对称， 所以，，解得，， 因为，所以，故， 对于①，令，解得，故在单调递减，故① 正确； 对于②，由，可得，根据正弦函数的图象，可知在区间只有一个极值点，故②不正确； 对于③，因，故③不正确； 对于④，由，求导可得，， 因为， 故在点处的切线方程为，即， 故直线是曲线的一条切线，故④正确． 故选：B． 14．（2025·天津河北·二模）已知函数在区间上单调递减，且将函数图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则t的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，则的一条对称轴为，一个对称中心为， 又在上单调递减，则，故，可得， 所以，可得，，则， 所以，则， 又在区间上单调递增，则， 所以，显然，故t的最大值为. 故选：C 15．（2025·天津河西·二模）已知、是函数的两个零点，且的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知，函数的最小正周期为，所以， 所以， 将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于原点对称， 可得出函数为奇函数， 所以，，解得，A选项合乎题意. 故选：A. 16．（2025·天津·二模）将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点向右平移个单位长度，得到图象对应的函数为，则下列结论正确的是（   ） A．的最小正周期是 B．是的一条对称轴 C．在区间上单调递减 D．当时，的取值范围为 【答案】D 【详解】函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）得到新函数，再把所得图象上所有点向右平移个单位长度得到新函数，则. 对于A选项，，的最小正周期是，A错误； 对于B选项，时，，所以不是的一条对称轴，B错误； 对于C选项，则， 所以在上单调递减，在上单调递增，则在区间上不单调，C错误； 对于D选项，当时，， 时，时， 则，得的取值范围为，D正确. 故选：D. 题型3三角函数零点问题 17．（2025·天津·一模）设符号函数，已知函数，则（   ） A．为的最小正周期 B．图象的对称轴方程为 C．在上单调递增 D．函数在上有4个零点 【答案】D 【详解】由题意，画出函数的部分图象， 如图所示： 根据图象可知为的最小正周期，故A错误； 由图象知图象的对称轴方程为，故B错误； 在上先单调递增，再单调递减，故C错误； 函数在上的零点个数，转化为方程在上的解的个数， 转化为函数与的交点个数，由图知，函数与有6个交点， 所以，函数在上有4个零点，故D正确； 故选：D 18．（2025·天津河东·二模）关于函数，下列结论不正确的为（    ） A．时，的图象关于对称 B．时，的最小正周期为 C．时，在区间内有两个零点 D．时，在区间上的最大值为 【答案】C 【详解】因为， 所以， 当时，， 函数的对称轴方程为，， 所以函数的对称轴方程为，， 取可得，是函数的图象的一条对称轴，A正确； 函数的最小正周期，B正确； 当时，， 令可得，所以， 所以，，所以，， 所以函数在内的零点有，，，C错误； 由，可得， 所以，故， 所以时，在区间上的最大值为，此时，D正确. 故选：C. 19．（2025·天津·模拟预测）已知函数和的图象的对称轴完全相同，令，则下列结论错误的是（   ） A．的一个周期为 B．的图象关于直线对称 C．的一个零点为 D．在单调递减 【答案】D 【详解】令，则为的对称轴方程， 令，则为的对称轴方程， 由与的对称轴完全相同，则，即对称轴为， 所以且，则， 所以，其最小正周期，故也是一个周期，A对； ，故的图象关于直线对称，B对； ，当有， 所以的一个零点为，C对； ，则，显然在给定区间内不单调，D错. 故选：D 20．（2025·天津·二模）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论中正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．在区间上单调递减 C．在区间没有零点 D．的图象关于点对称 【答案】B 【详解】由题意得. 将代入中，得，故函数的图象关于点中心对称，故选项A错误； 当时，，因为余弦函数在上单调递减，所以函数在区间上单调递减，故选项B正确； 当时，，根据余弦函数的图象可知，当，即时，即在区间有一个零点，故选项C错误； 将代入中，得，故函数的图象关于直线对称，故选项D错误. 故选：B. 21．（2024·天津·二模）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若相邻两条对称轴的距离为，则； B．若，则时，的值域为； C．若在上单调递增，则； D．若在上恰有2个零点，则. 【答案】D 【详解】 ， 对于A：若相邻两条对称轴的距离为，则最小正周期为，故，选项A不正确； 对于B， 若，则， 当时，的值域为，选项B不正确； 对于C：若在上单调递增，则，选项C不正确； 对于D：，则，若在上恰有2个零点， 则，则，选项D正确. 故选：D. 22．（2025·天津·一模）函数在区间上有两个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为 ， 令，依题意与在上有两个交点， 由，则， 令，解得，所以在上单调递减， 且，； 令，解得，所以在上单调递增，且； 所以，解得，即实数的取值范围是. 故选：C 考点二 三角函数大题考点 1．（2016·天津·高考真题，16，14分）已知函数=4tan xsin（）cos（） . （Ⅰ）求f（x）的定义域与最小正周期； （Ⅱ）讨论f（x）在区间[]上的单调性. 【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）在区间上单调递增, 在区间上单调递减. 【详解】试题分析：（Ⅰ）先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式将函数化为基本三角函数：，再根据正弦函数的性质求定义域、最小正周期；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，研究函数f（x）在区间[]上单调性. 试题解析：（Ⅰ）的定义域为. . 所以, 的最小正周期 （Ⅱ）令函数的单调递增区间是 由,得 设，易知. 所以, 当时,在区间上单调递增,在区间上单调递减. 2．（2015·天津·高考真题，16，14分）已知函数， (I)求最小正周期； (II)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ） ,. 【详解】（Ⅰ） 由已知，有 . 所以的最小正周期. （Ⅱ）因为在区间上是减函数，在区间上是增函数， ，所以在区间上的最大值为，最小值为. 3．（2014·天津·高考真题，16，14分）已知函数，． （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）求在上的最小值和最大值． 【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）最小值和最大值． 【详解】试题分析：（1）由已知利用两角和与差的三角函数公式及倍角公式将的解析式化为一个复合角的三角函数式，再利用正弦型函数的最小正周期计算公式，即可求得函数的最小正周期；（2）由（1）得函数，分析它在闭区间上的单调性，可知函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，由此即可求得函数在闭区间上的最大值和最小值．也可以利用整体思想求函数在闭区间上的最大值和最小值． 由已知，有 的最小正周期． （2）∵在区间上是减函数，在区间上是增函数，，，∴函数在闭区间上的最大值为，最小值为． 4．（2025·天津·高考真题，16，14分）在中，角的对边分别为．已知，，． (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）已知，由正弦定理， 得，显然， 得，由， 故； （2）由（1）知，且，， 由余弦定理， 则， 解得（舍去）， 故； （3）由正弦定理，且， 得，且，则为锐角， 故，故， 且； 故. 5．（2024·天津·高考真题，16，14分）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）设，，则根据余弦定理得， 即，解得（负舍）； 则. （2）法一：因为为三角形内角，所以， 再根据正弦定理得，即，解得， 法二：由余弦定理得， 因为，则 （3）法一：因为，且，所以， 由（2）法一知， 因为，则，所以， 则， . 法二：， 则， 因为为三角形内角，所以， 所以 6．（2023·天津·高考真题，16，14分）在中，角所对的边分别是．已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）由正弦定理可得，，即，解得：； （2）由余弦定理可得，，即， 解得：或（舍去）． （3）由正弦定理可得，，即，解得：，而， 所以都为锐角，因此，， ． 7．（2022·天津·高考真题，16，14分）在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）因为，即，而，代入得，解得：． （2）由（1）可求出，而，所以，又，所以． （3）因为，所以，故，又， 所以，，而，所以， 故． 8．（2021·天津·高考真题，16，14分）在，角所对的边分别为，已知，． （I）求a的值； （II）求的值； （III）求的值． 【答案】（I）；（II）；（III） 【详解】（I）因为，由正弦定理可得， ，； （II）由余弦定理可得； （III），， ，， 所以. 知识1求正余切函数图象性质 正弦、余弦、正切函数性质有单调性、周期性、对称轴、对称中心 大前提必须熟悉掌握三大基本图象的画法《基本函数法》 ①正弦图象 ②余弦图象 ③正切图象 知识2三角函数单调区间、对称中心、对称轴 3．与的图像与性质 （1）最小正周期：． （2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A，A]． （3）最值 假设． ①对于， ②对于， （4）对称轴与对称中心． 假设． ①对于， ②对于， 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置． （5）单调性． 假设． ①对于， ②对于， （6）平移与伸缩 由函数的图像变换为函数的图像的步骤； 方法一：．先相位变换，后周期变换． 方法二：．先周期变换，后相位变换，再振幅变换． 结论：关于三角函数对称的几个重要结论； （1）函数的对称轴为，对称中心为； （2）函数的对称轴为，对称中心为； （3）函数函数无对称轴，对称中心为； （4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得，即对称中心为． （5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为 知识3三角函数辅助角公式及两种情况卡根原理 ①由于对称轴和对称中心的水平距离为,设，构造出函数的形式，再根据单调区间或者最值区间所处的范围进行卡根. 第一步：卡的形式 第二步：卡周期求的范围 ②已知平移得到新函数表达式单调性 第一步：先将新函数括号内部看成整体，将已知单调区间代入求出整体单调区间. 第二步：整体单调区间属于基本函数图象哪一部分 第三步：建立不等式求解 【易错提醒】 在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少. 1．给角求值给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，从而得解． 2．给值求值：已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路： （1）先化简所求式子． （2）观察已知条件与所求式子之间的联系（从三角函数名及角入手）． （3）将已知条件代入所求式子，化简求值． 3．给值求角 通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则： （1）已知正切函数值，则选正切函数． （2）已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是，则选正、余弦皆可；若角的范围是，则选余弦较好；若角的范围为，则选正弦较好． 4．与三角函数的图象及性质相结合的综合问题 （1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式转化成或的形式． （2）利用公式求周期． （3）根据自变量的范围确定的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为二次函数的最值． （4）根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数或的单调区间． 题型1求正余切函数图象性质 1．（2025·天津河北·模拟预测）已知，α是第三象限角． (1)求和的值； (2)求的值． 【答案】(1)，；(2). 【详解】（1）由，α是第三象限角，则， 所以； （2）. 2．（2025·天津·二模）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，． (1)求的值； (2)若，求c的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为， 由正弦定理，得， 即． 因为，，所以，． 由，得， 因为，所以． （2）由正弦定理，可得． 又， 由正弦定理，可得． 3．（2025·天津红桥·一模）在中，内角所对的边分别是，已知，， (1)求b，c的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）因为，，，则， 由余弦定理，，则， 解得，. （2）由（1）知， 由正弦定理，则. （3）由（2）知， 又，则， 所以， 则． 4．（2025·天津南开·一模）在中，内角的对边分别为，且． (1)求边的长； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)4(2)(3) 【详解】（1）因为，由正弦定理可知， 由余弦定理可得，即， 解得，故． （2）由及，得， 由正弦定理，得， 解得． （3）由（2）得，所以． 所以． 所以 5．（2024·天津河北·模拟预测）已知，是第二象限角． (1)求和的值； (2)求的值． 【答案】(1)，(2) 【详解】（1），是第二象限角， ， ． （2）由（1）可得， ． 6．（2024·天津南开·二模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，. (1)求证：； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1)证明见解析(2)(3)或 【详解】（1）因为， 又由余弦定理， 可得， 由知， 所以， （2）由（1）及正弦定理得， 又因为， 所以， 又因为， 解得． （3）由（2）知， 所以，， 因为，即， 则，或， 当时， ． 当，B为，此时． 7．（2024·天津河西·三模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，． (1)求的值； (2)设函数． （ⅰ）求的定义域和最小正周期； （ⅱ）求的值． 【答案】(1)2(2)（i），；（ii）7 【详解】（1）由题意知，则， 则，又， 故，则可得， 即，即， 即，故； （2）（i）由于, 令，则， 故的定义域为，最小正周期为； （ii）， 故. 8．（2025·天津·二模）在中，内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，且面积， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求． 【答案】(1)(2)（ⅰ）（ⅱ） 【详解】（1）因为， 所以，可得：， 由正弦定理可得：， 可得：， 因为，所以， 所以，即， 因为，所以 （2）（ⅰ）因为，且， 解得：，， 由余弦定理可得：，解得： ； （ⅱ）由余弦定理可得， 所以，，， 所以. 题型2三角函数单调区间、对称中心、对称轴 9．（2025·天津武清·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，. (1)求C的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）由余弦定理， 得， 又因为，所以； （2）因为，由正弦定理，得； （3）因为，所以，所以， 所以, . 10．（2025·天津北辰·三模）在中，角所对的边分别为.满足. (1)求角的大小； (2)若的面积为. ①求的值； ②求的值. 【答案】(1)(2)①；② 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 而，则，又， 所以. （2）①在中，， 由（1）及余弦定理得，即， 又，即，而， 所以. ②由余弦定理得 而，则， ， . 11．（2025·天津河西·模拟预测）在中，内角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若的面积为，，． （ⅰ）求和的值； （ⅱ）求的值． 【答案】(1)(2)（ⅰ），；（ⅱ） 【详解】（1）由余弦定理，， 由，得， 由正弦定理，得， 则，又，所以， 又，所以． （2）（ⅰ）由（1）知，，得①． 由余弦定理，所以②． 由①②，得，解得， 由，解得，． （ⅱ）由正弦定理，所以， 为锐角，， ． 12．（2025·天津·二模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，. (1)求边b的长； (2)求C的正切值； (3)求的值. 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）由余弦定理得 （2）过点作于点，在中， ， 在中，， （3）由（2）可知 因为，， 13．（2025·天津和平·三模）在中，角、、所对的边分别为、、，，， (1)求角的大小； (2)求的值与的面积； (3)求的值． 【答案】(1)(2)，(3) 【详解】（1）由可得，可得， 因为，则，所以，解得. （2）由正弦定理，有，所以， 由（1）知，由余弦定理得， 解得，， 所以的面积为. （3）由余弦定理可得， 所以， 所以 . 14．（2025·天津滨海新·三模）在中，内角，，所对的边分别，，，已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）方法一：由， 根据余弦定理可得，， 则，即， 由，根据正弦定理可得，则，即. 方法二：由， 根据正弦定理可得，，则， 则，即， 由，根据正弦定理可得，则，即. （2）由余弦定理可得， 又因为，可得. （3）由（2）知，，， 则，， 由正弦定理，则，即， 又，则，所以， 所以. 15．（2025·天津·一模）在中，角所对的边分别为，且． (1)求c的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)；(2)；(3). 【详解】（1）由题设及正弦边角关系得，又，则， 由余弦定理有，则； （2）由且，则， 由正弦定理，则； （3）由上，故为锐角，则， 所以，， 所以. 16．（2025·天津·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为． (1)求a的值； (2)求； (3)求的值． 【答案】(1)的值为6(2)(3) 【详解】（1）因为，，， 由余弦定理，可得， 可得，解得，或（舍去）， 即a的值为6． （2）由正弦定理，可得； （3）因为， 所以，， ． 17．（2025·天津南开·二模）在中，角的对边分别为．已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得，整理得， 由余弦定理可得， 又，故． （2）由（1）知，又，得， 由正弦定理可得， 又，解得． （3）因为，所以，故． 所以． 所以 ． 18．（2025·天津红桥·二模）在△ABC中， 内角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 若 且 (1)求cosB； (2)求a的值; (3)求 的值. 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）因为所以 由正弦定理可得：所以. （2）由余弦定理可得：， 所以，解得：或， 因为所以. （3）因为，所以，所以， ， ， 所以. 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司/ 学科网（北京）股份有限公司 $