专题02 基本不等式（题型专练）（全国通用）2026年高考数学二轮复习讲练测

专题02 基本不等式目录 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 【选填题破译】 题型01 直接法求最值 题型02 配凑法求最值 题型03 消元法求最值 题型04 双换元法求最值 题型05 “1”的代换 题型06 齐次化求最值 题型07 证明不等式 题型08 不等式的应用 第二部分 综合巩固 整合应用，模拟实战 题型01 直接法求最值 【例1-1】设实数，则的最小值为 . 【例1-2】已知实数满足，则的最小值为 ． 已知． （1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”． （2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”． 【变式1-1】（25-26高三上·福建厦门·期中）（多选）已知，，且，则（   ） A．的最大值为 B．的最小值为4 C．的最大值为 D．的最大值为 【变式1-2】（25-26高三上·云南昆明·期中）当时，的最小值为 ． 【变式1-3】（25-26高三上·重庆·开学考试）已知 ， ，则 的最小值为 . 题型02 配凑法求最值 【例2-1】当时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（25-26高三上·新疆·月考）已知，，函数，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式． 2、注意验证取得条件． 【变式2-1】（2025高三上·湖北黄冈·专题练习）已知且，则的最小值为 . 【变式2-2】（25-26高三上·重庆九龙坡·期中）已知，若正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高三上·福建宁德·期中）已知正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D．4 题型03消元法求最值 【例3-1】（25-26高三上·上海金山·月考）已知，，且，的最小值为 ． 【例3-2】（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知为正数，且，则的最大值为 . 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 【变式3-1】（25-26高三上·江西上饶·月考）已知正数满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【变式3-2】（25-26高三上·河南南阳·期中）已知正数满足，则的最大值是 ． 【变式3-3】（25-26高三上·上海·月考）已知正实数、满足，则的最大值为 . 题型04 双换元法求最值 【例4-1】已知实数满足，且，则的最小值为 . 【例4-2】已知且，则的最小值为 ． 如果条件（或者结论）可以因式分解，则可以通过对分解后因式双换元来转化求解 1.特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理 2.最常见的因式分解：a+b+ab+1=（a+1）（b+1） 【变式4-1】已知，，则的最小值为 . 【变式4-2】已知，，，则的最小值为 . 【变式4-3】若，，且，则的最小值为 ． 题型05 “1”的代换 【例5-1】（多选）下列说法正确的是（   ） A．若，则的值域为 B．若时，的最大值为 C．函数的最小值为 D．设为正实数，则的最小值为 【例5-2】（25-26高三上·江苏扬州·月考）的最小值是 . 利用常数代换法，可以代通过“分子分母相约和相乘”，相约去或者构造出“倒数”关系。多称之为“1”的代换 （1）条件和结论有“分子分母”特征； （2）可以乘积出现对构型，再用均值不等式。注意取等条件 结构形式： （1）求 （2）求 【变式5-1】（25-26高三上·江苏无锡·月考）（多选）已知，若，则（ ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为8 D．的最小值为 【变式5-2】（25-26高三上·贵州贵阳·月考）（多选）已知，，．则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为12 C．的最大值为 D．的最小值为 【变式5-3】（25-26高三上·上海·月考）已知随机变量，随机变量，正实数a，b满足，则的最小值为 ． 题型06 齐次化求最值 【例6-1】已知，，且，则的最小值是 . 【例6-2】已知正数，满足，则的最小值为 ． 齐次化构造型： 一般情况下，分式分子分母含有等，满足齐次型，则可以通过分子分母同除法，构造单变量型来转化计算求解 【变式6-1】（25-26高三上·上海徐汇·期中）已知，，的最小值为 【变式6-2】（2025高三上·江苏南通·专题练习）直线经过函数图象的对称中心，则的最大值为 . 题型07 证明不等式 【例7-1】（2026高三·全国·专题练习）已知a，b∈R，求证：. 【例7-2】（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高三上·重庆·月考）（多选）已知正数满足，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】已知，均为正数，且，设，，，则下列关系中不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】(1)已知均为正实数，求证：； (2)已知，求证：. 题型08不等式的应用 【例8-1】已知数列是等差数列，数列是等比数列，，，为正数且不等，则下列不等关系中错误的是（    ） A． B． C． D． 【例8-2】（25-26高三上·重庆·月考）在 中，角 的对边分别为 ，已知角 的内角平分线长为 ，若 ，则 的最小值为 （   ） A．6 B． C． D． 【变式8-1】（25-26高三上·上海松江·期末）某社区为扩大居民的活动区域，计划将社区内原有的半径为10m的圆形花坛扩建成一个矩形花园．若要求扩建前的圆与扩建后矩形的两邻边和一条对角线都相切，则矩形花园占地面积的最小值为 ．（结果精确到） 【变式8-2】（2025·四川眉山·一模）卡西尼卵形线是由到两个定点（叫做焦点）距离之积为常数的所有点连接形成的图形，设一条卡西尼卵形线方程为，其两焦点直角坐标系坐标为和，动点是上一点，则最小值为 . 【变式8-3】（25-26高三上·山东青岛·期中）在矩形中，，为边上的两个点，，当在线段上运动时，记，，则的最大值为 . 一、单选题 1．已知是正数，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．某工厂建造一个无盖贮水池，其容积为，深度为.池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，设计水池的最低总造价约为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 3．在中，，点为三角形的外接圆的圆心，若，且，则的面积的最大值为（　　） A．2 B．8 C．16 D．18 4．已知，以下结论正确的有（    ） ① ②的最大值为26 ③的最大值是 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．（2026高三·全国·专题练习）已知正实数满足，则的最小值是（    ） A．5 B．9 C．13 D．18 6．已知函数（）的图象过函数图象的定点，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 二、多选题 7．（25-26高三上·河北沧州·月考）设实数，满足，则的可能取值有（   ） A． B． C． D． 8．已知，，，则下列结论中正确的结论是（　　） A．0 B．的最大值为2 C．的最大值为 D． 9．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知中，是边上靠近的三等分点，为的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则下列结论正确的是：（   ） A． B． C． D．的最小值为 三、填空题 10．在中，角所对的边分别为，若，边上一点满足，则的最小值为 . 11．若正数x，y满足，则的最小值是 . 12．已知正实数 满足 ，则的最小值是 . 13．已知正数a，b满足，，则的最小值为 . 四、解答题 14．（25-26高一上·广东湛江·期中）已知，，. (1)求的最小值； (2)求的最小值； (3)求的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 基本不等式目录 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 【选填题破译】 题型01 直接法求最值 题型02 配凑法求最值 题型03 消元法求最值 题型04 双换元法求最值 题型05 “1”的代换 题型06 齐次化求最值 题型07 证明不等式 题型08 不等式的应用 第二部分 综合巩固 整合应用，模拟实战 题型01 直接法求最值 【例1-1】设实数，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据均值不等式，代入计算即可. 【详解】因为,所以,当且仅当时成立，即当时， 故答案为： 【例1-2】已知实数满足，则的最小值为 ． 【答案】24 【分析】由题设结合对数运算法则可得，再根据基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由题意，，， 则，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为24. 故答案为：24. 已知． （1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”． （2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”． 【变式1-1】（25-26高三上·福建厦门·期中）（多选）已知，，且，则（   ） A．的最大值为 B．的最小值为4 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用基本不等式逐项求解判断. 【详解】对于A，由，且，得，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，，当且仅当时取等号，C错误； 对于D，，当且仅当时取等号，D正确. 故选：ABD 【变式1-2】（25-26高三上·云南昆明·期中）当时，的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用均值不等式即可求最小值. 【详解】因为，所以，则， 当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 【变式1-3】（25-26高三上·重庆·开学考试）已知 ， ，则 的最小值为 . 【答案】 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 题型02 配凑法求最值 【例2-1】当时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式“”的代换求最小值，注意取值条件即可． 【详解】由，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为9. 故选：B 【例2-2】（25-26高三上·新疆·月考）已知，，函数，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得且是函数的一个零点，则由，再借助基本不等式中“1”的活用计算即可得. 【详解】， 则，且是函数的一个零点，即， ， 当且仅当，时，等号成立， 故的最小值为. 故选：D. 1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式． 2、注意验证取得条件． 【变式2-1】（2025高三上·湖北黄冈·专题练习）已知且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由待定系数法可得，则，然后由基本不等式可得答案. 【详解】因，则，设， 则，. 则 ， 当且仅当，结合，即时取等号. 故答案为： 【变式2-2】（25-26高三上·重庆九龙坡·期中）已知，若正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先判断函数的奇偶性单调性，即可得到，则，再由乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】函数的定义域为， 又， 所以为奇函数， 又，因为，， 所以，当且仅当且时等号成立，但此二条件不能同时满足， 故恒成立，所以在上为增函数 又正实数满足， 所以，故， 所以，即， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号. 故选：D 【变式2-3】（25-26高三上·福建宁德·期中）已知正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D．4 【答案】B 【分析】根据题意得，再利用基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】解：因为正实数，满足， 所以，即， 所以 ，当且仅当，即， 又因为，所以时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B 题型03消元法求最值 【例3-1】（25-26高三上·上海金山·月考）已知，，且，的最小值为 ． 【答案】5 【分析】将利用“1”的代换变形为，再利用基本不等式求解. 【详解】将变形为，由基本不等式， 故，当且仅当时取等号． 故答案为：. 【例3-2】（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知为正数，且，则的最大值为 . 【答案】/0.125 【分析】结合已知条件，利用基本不等式即可求解. 【详解】因为， ，即，可得， 当且仅当且，即时等号成立. 故答案为：. 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 【变式3-1】（25-26高三上·江西上饶·月考）已知正数满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】设，结合基本不等式可得，再结合可得，可得，即可求解. 【详解】由题意，，设， 则，当且仅当时等号成立， 因为，所以，解得， 当时，，即时等号成立， 故的最大值为2. 故选：B. 【变式3-2】（25-26高三上·河南南阳·期中）已知正数满足，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】由题可知，根据求解即可． 【详解】根据题意， 所以，（当且仅当，即时取等号）， 即最大值为． 故答案为：． 【变式3-3】（25-26高三上·上海·月考）已知正实数、满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最大值. 【详解】正实数、满足，则，即， 当且仅当时取等号， 所以当时，取得最大值. 故答案为： 题型04 双换元法求最值 【例4-1】已知实数满足，且，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据常数变换，转化，展开后利用基本不等式求最值. 【详解】由条件可知，，， 由可知，， 所以， ， 当时，即等号成立， 当，且，得，， 所以的最小值为. 故答案为： 【例4-2】已知且，则的最小值为 ． 【答案】9 【分析】通过换元，令，得，将问题转化为求的最小值.再通过“1”的代换结合基本不等式即可得解. 【详解】由，得，令，则， 故， 当且仅当即时等号成立， 也即，即时，等号成立， 故的最小值为9． 故答案为：9. 如果条件（或者结论）可以因式分解，则可以通过对分解后因式双换元来转化求解 1.特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理 2.最常见的因式分解：a+b+ab+1=（a+1）（b+1） 【变式4-1】已知，，则的最小值为 . 【答案】12 【分析】令，把已知式用表示，也用表示后，利用基本不等式求得最小值． 【详解】令，则，且，所以． 又，所以， 当且仅当，即，时等号成立． 故答案为：12. 【变式4-2】已知，，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为，且，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时等号成立. 故的最小值为. 故答案为： 【变式4-3】若，，且，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】根据“1”的变形技巧，再由均值不等式求最小值即可. 【详解】由题意得，，， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立． 故答案为：3 题型05 “1”的代换 【例5-1】（多选）下列说法正确的是（   ） A．若，则的值域为 B．若时，的最大值为 C．函数的最小值为 D．设为正实数，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】需要逐一分析每个选项的正确性，涉及函数值域、最值的求解，主要运用基本不等式求解即可. 【详解】对于A，当时，，故选项A错误； 对于B，， 所以有，故， 当且仅当时等号成立；故选项B正确； 对于C， ， 当且仅当时，即时等号成立，故C正确； 对于D，因为为正数，令则， 且，根据基本不等式可得， 当且仅当时，即时，等号成立，此时，解得.该条件符合为正实数的要求，故最小值可以取到.故D正确. 故选：. 【例5-2】（25-26高三上·江苏扬州·月考）的最小值是 . 【答案】9 【分析】由并根据基本不等式中“1”的应用计算即可. 【详解】依题意易知，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立； 此时的最小值为9. 故答案为：9 利用常数代换法，可以代通过“分子分母相约和相乘”，相约去或者构造出“倒数”关系。多称之为“1”的代换 （1）条件和结论有“分子分母”特征； （2）可以乘积出现对构型，再用均值不等式。注意取等条件 结构形式： （1）求 （2）求 【变式5-1】（25-26高三上·江苏无锡·月考）（多选）已知，若，则（ ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为8 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】AD选项，由基本不等式求出最值；B选项，化为，求出最小值；C选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】对于，由于，则，即， 当且仅当，且，即时，取等号，所以A正确； 对于，因为， 当且仅当时，取到最小值，所以B错误； 对于C，因为，所以， 当且仅当，且，即，时，取等号，所以C正确； 对于，当且仅当，且， 即时，取等号，所以正确. 故选：ACD. 【变式5-2】（25-26高三上·贵州贵阳·月考）（多选）已知，，．则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为12 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】AC 【分析】借助基本不等式计算可得A、B、D，消元后构造函数，借助导数研究单调性后可得C. 【详解】选项A，由，，，则，∴， 当，时取“＝”，故的最大值为，A正确； 选项B，， 若用基本不等式，，取不到等号，B错误； 选项C，令，， 由在上单调递减，且当时，， 则当，，函数单调递增，当，，函数单调递减， 所以当，有最大值，C正确； 选项D， ， 当且仅当，即时取等号，所以D错误， 故选：AC． 【变式5-3】（25-26高三上·上海·月考）已知随机变量，随机变量，正实数a，b满足，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】根据两图象的对称性得到，由“1”的代换求最值. 【详解】由题意，随机变量X的分布图象关于直线对称，随机变量Y的分布图象关于直线对称， 且随机变量X的分布图象与随机变量Y的分布图象形状相同，所以两图象关于直线，即对称， 因为正实数a，b满足，所以，解得， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为3． 故答案为：3. 题型06 齐次化求最值 【例6-1】已知，，且，则的最小值是 . 【答案】 【分析】利用“1”的代换化简式子中的3和1，进而利用基本不等式即可. 【详解】由题意可得，， 等号成立时，即. 故的最小值是. 故答案为： 【例6-2】已知正数，满足，则的最小值为 ． 【答案】16 【分析】由结合均值不等式得出结果. 【详解】由得，即， 则 ， 当，且时，即时取等号. 所以的最小值为16. 故答案为：16. 齐次化构造型： 一般情况下，分式分子分母含有等，满足齐次型，则可以通过分子分母同除法，构造单变量型来转化计算求解 【变式6-1】（25-26高三上·上海徐汇·期中）已知，，的最小值为 【答案】 【分析】由，结合基本不等式即可求解. 【详解】 ， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为， 故答案为： 【变式6-2】（2025高三上·江苏南通·专题练习）直线经过函数图象的对称中心，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据解析式可得，即可得函数的对称中心，再由已知有，将目标式化简为，应用“1”的代换和基本不等式求最大值. 【详解】由，得且，所以函数的定义域为 又， 所以的图象关于点对称，故直线经过点， 即，所以， 因为， 而， 当且仅当，且，即时等号成立. 故答案为： 题型07 证明不等式 【例7-1】（2026高三·全国·专题练习）已知a，b∈R，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】将化简为，利用基本不等式进而求出最大值为，再利用配方法求出最小值为，即可证明. 【详解】， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以； ， 所以. 【例7-2】（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据题意，结合不等式的基本性质和基本不等式，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由，根据不等式的性质，可得，所以A正确； 对于B，取，可得，所以B不正确； 对于C，取，可得，此时，所以C不正确； 对于D，由，可得，又由， 当且仅当时，即时，显然等号不成立，所以，所以D正确. 故选：AD. 【变式7-1】（25-26高三上·重庆·月考）（多选）已知正数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】将已知不等式变形可得，构造函数，，利用导数以及复合函数的单调性可得在上单调递增，从而可得，然后再利用不等式的基本性质逐一判断即可求得结论. 【详解】因为正数，满足， 所以， 构造函数，， 令，恒成立， 所以在上单调递增，所以对任意恒成立， 由复合函数的单调性可知在上单调递增， 所以在上单调递增， 由，可得， 对于A，由，可得，所以，故A正确； 对于B，由，可得，则，故B错误； 对于C，，当且仅当时等号成立，但不等于， 故等号无法取到，则，所以，故C正确； 对于D，令， ， 再令， ， 令，，易得：在上单调递增且, 故在上小于0，在上大于0； 即在上单调递减，在上单调递增， 又， 所以对任意恒成立， 所以在上单调递增， 所以对任意恒成立 所以对任意恒成立， 所以在上单调递增， 又由 ，得： ，即， 即，故D正确. 故选：ACD. 【变式7-2】已知，均为正数，且，设，，，则下列关系中不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式可得，再按，，分类讨论可判断ABD，对于C：利用完全平方式可得到，再令，可计算出，进而可判断C. 【详解】已知，均为正数，且， 因为，即， 由基本不等式可知：，所以， 由于 ，考虑 相对于 2 的位置： 当时，选项A可能成立，选项D不成立； 当时，选项B可能成立，选项D不成立； 当时，则，， 若选项D成立，则成立，即，此时， 同时成立，即， 当 ，则 ，要求 ，即 ，但 ，矛盾； 当 ，则 ，要求 ，即 ， 由 得 ，与 矛盾； 故选项 D 在所有情况下均不可能成立. 对于C， 由，，得： ， 所以，令得，故此时 ，，， 故：，故选项C可能成立. 故选：D 【变式7-3】(1)已知均为正实数，求证：； (2)已知，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）将，，三式相加再转化即可证明； （2）由利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）因为均为正实数， 所以（当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， 以上三式相加，得（当且仅当时等号成立）， 所以（当且仅当时等号成立）， 即（当且仅当时等号成立）． （2）因为, 则， 因为，，由得 当且仅当时等号成立. 所以. 题型08不等式的应用 【例8-1】已知数列是等差数列，数列是等比数列，，，为正数且不等，则下列不等关系中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得到数列的公差和公比，构造函数，用导数分析函数的最值，可判断AD的真假；利用基本不等式的推广结论，可判断BC的真假. 【详解】设数列的公差为d，数列的公比为q， 因为，所以有，， 又，所以. 对A：因为，， 设函数，，则，. 由； 由. 所以在上单调递减，在上单调递增，且. 所以当且时，，即（且），即， 所以，即，故A正确； 对B：因为，， 因为（因为，故等号不能成立），所以.故B正确； 对C：，. 因为（因为，故等号不能成立），所以.故C错误； 对D：因为，. 设，，则，. 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增，且. 所以当且时，. 即，即，故D正确. 故选：C 【例8-2】（25-26高三上·重庆·月考）在 中，角 的对边分别为 ，已知角 的内角平分线长为 ，若 ，则 的最小值为 （   ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据三角形面积公式求出，然后利用基本不等式的性质求出最小值即可. 【详解】根据三角形面积公式可得： ， 则有，化简得 ，即. 所以， 当且仅当即时等号成立， 此时取最小值为. 故选：C.    【变式8-1】（25-26高三上·上海松江·期末）某社区为扩大居民的活动区域，计划将社区内原有的半径为10m的圆形花坛扩建成一个矩形花园．若要求扩建前的圆与扩建后矩形的两邻边和一条对角线都相切，则矩形花园占地面积的最小值为 ．（结果精确到） 【答案】. 【分析】设，，可得圆的半径m，利用基本不等式运算求解即可. 【详解】如图，在矩形中，设，，， 则，圆的半径m， 因为，，即， 当且仅当时，等号成立， 可得， 即，解得， 所以矩形花园占地面积的最小值为. 故答案为：. 【变式8-2】（2025·四川眉山·一模）卡西尼卵形线是由到两个定点（叫做焦点）距离之积为常数的所有点连接形成的图形，设一条卡西尼卵形线方程为，其两焦点直角坐标系坐标为和，动点是上一点，则最小值为 . 【答案】 【分析】由题中方程得到点在曲线上，根据卡西尼卵形线的定义，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由卡西尼卵形线的定义，可得卡西尼卵形线上的点有为定值， 因为西尼卵形线方程为，可得点在卡西尼卵形线上， 则由 所以，当时，等号成立， 所以最小值为. 故答案为：. 【变式8-3】（25-26高三上·山东青岛·期中）在矩形中，，为边上的两个点，，当在线段上运动时，记，，则的最大值为 . 【答案】 【分析】设，，用表示，最后借助基本不等式求得最大值. 【详解】设，作于H，    由对称性，不妨设， 设，， 则有，，则， ， ①当H在上时，； ②当H在上时，； 故. 所以 ，（令） ，（令） ， 当且仅当，即时等号成立，故. 故答案为：. 一、单选题 1．已知是正数，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据题意，得到，化简得，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由是正数，且，可得，即， 则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为. 故选：D. 2．某工厂建造一个无盖贮水池，其容积为，深度为.池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，设计水池的最低总造价约为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】设无盖贮水池的底面长为，宽为，列出总造价关于的关系式，利用基本不等式即可求解. 【详解】设无盖贮水池的底面长为，宽为， 又其深度为，容积为，所以，化简得， 令池底面积为，则，解得， 又池底每平方米的造价为元，则池底总造价为元， 池壁由四个侧面组成，面积为， 又池壁每平方米的造价为元，则池壁总造价为元， 综上所述，水池的总造价为元， 令，又， 所以， 根据基本不等式，可得， 当且仅当，即时，取得最小值. 故选：C 3．在中，，点为三角形的外接圆的圆心，若，且，则的面积的最大值为（　　） A．2 B．8 C．16 D．18 【答案】A 【分析】首先取的中点，则，根据平面向量基本定理确定点三点共线，再结合条件和平面几何关系，确定，再表示的面积，求最大值. 【详解】取的中点，如图． 因为，所以， 因为，所以三点共线， 因为是三角形的外接圆的圆心，所以， 设，则， 所以． 当且仅当，即时取得等号，故面积最大值为2． 故选：A． 4．已知，以下结论正确的有（    ） ① ②的最大值为26 ③的最大值是 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】先把代数问题转化为几何问题，再借数形结合思想，可求解并作出判断. 【详解】由， 因为可看成圆上的动点与定点的斜率， 再结合图形可得： 设过点的切线， 由相切可得：，解得：或， 所以由图可得斜率范围，即，故①正确； 因为，所以， 而，所以，故②正确； 因为，所以， 而可看成圆上的动点与两定点的距离之差， 如图： 由，当且仅当三点共线且在延长线上时取等号， 所以的最大值是,故③正确； 故选：D 5．（2026高三·全国·专题练习）已知正实数满足，则的最小值是（    ） A．5 B．9 C．13 D．18 【答案】B 【分析】由题可得，且，再根据基本不等式“1”的妙用求最小值即可． 【详解】由，可得，所以， 即，且， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为9． 故选：B． 6．已知函数（）的图象过函数图象的定点，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】先求得图象的定点，得到，再由，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由函数，令，可得，所以图象的定点， 又由函数的图象过函数图象的定点， 可得，即，且， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为. 故选：D. 二、多选题 7．（25-26高三上·河北沧州·月考）设实数，满足，则的可能取值有（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】将式子进行化简得到，利用不等式将代入，解不等式即可得到答案. 【详解】由得，因为，所以，解得. 故选：AD. 8．已知，，，则下列结论中正确的结论是（　　） A．0 B．的最大值为2 C．的最大值为 D． 【答案】ACD 【分析】根据不等式的性质判断A的真假；根据二次函数的值域判断B的真假，根据基本不等式可判断CD的真假. 【详解】对A：因为，所以，又，所以，故A正确； 对B：因为， 因为，所以，所以，故B错误； 对C：因为，当且仅当，即，时取等号.故C正确； 对D：因为，当且仅当即时取等号.故D正确. 故选：ACD 9．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知中，是边上靠近的三等分点，为的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则下列结论正确的是：（   ） A． B． C． D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】对于AB，根据平面向量的线性运算求解判断即可；对于C，由A知，，利用三点共线可得，即可判断；对于D，由C知，，根据基本不等式“1”的妙用求解判断即可. 【详解】对于A，由题意得，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由A知，， 由于M、O、N三点共线，可知，即，故C正确； 对于D，由C知，，且，， 所以， 当且仅当 ，即时取得等号， 所以的最小值为，故D错误. 故选：ABC    三、填空题 10．在中，角所对的边分别为，若，边上一点满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先由余弦定理和正弦定理结合题设可得，由可得为角的平分线，再利用等面积法可得，进而利用基本不等式求解即可. 【详解】由，根据正弦定理得， 则，即，所以， 又，所以， 因为，即，故为角的平分线，且， 由，则， 故，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为. 故答案为：． 11．若正数x，y满足，则的最小值是 . 【答案】 【分析】将已知等式化简为，结合基本不等式“1”的巧用求解最值即可. 【详解】正数x，y满足，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是. 故答案为：. 12．已知正实数 满足 ，则的最小值是 . 【答案】 【分析】先对已知条件变形因式分解，令，解出然后换元化简利用基本不等式求其最值. 【详解】对已知变形有因式分解得，设，则，因为都是正实数， 所以，联立方程组，解得，因为所以，故， 所以 ，当且仅当，时取最小值. 故答案为: 13．已知正数a，b满足，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由，，平方得到，代入目标式化简变形通过两次运用基本不等式计算即可求出最小值． 【详解】解：由，得， 因为，， 所以 ， 当且仅当，即时取“等号”， 所以当，，时，的最小值为 故答案为： 四、解答题 14．（25-26高一上·广东湛江·期中）已知，，. (1)求的最小值； (2)求的最小值； (3)求的最小值. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）（2）应用基本不等式计算，再换元结合一元二次不等式求解； （3）先换元，再应用基本不等式计算求解. 【详解】（1）因为，， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以. 令，则，解得或（舍去）， 故的最小值为（此时）. （2）因为，当且仅当时，等号成立， 所以. 令，则，解得或（舍去）， 故的最小值为（此时）. （3）因为，所以，， 所以. 因为，所以， 当且仅当，即，时，等号成立. 故的最小值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $