2026年中考数学复习分类训练23 切线的判定与性质

分类训练23 切线的判定与性质 考点1 与切线性质相关的简单计算 1.(2024 山西)如图，已知△ABC，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D，与AC 相切于点A，连接OD.若∠AOD=80°，则∠C 的度数为( ) A.30° B.40° C.45° D.50° 2.(2025 福建)如图，PA 与⊙O 相切于点A，PO 的延长线交⊙O 于点C.AB//PC，且交⊙O 于点B.若∠P=30°，则∠BCP 的大小为( ) A.30° B.45° C.60° D.75° 3.(2025 青岛)如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠ADC=90°，DC=BC，直线 EA 与⊙O 相切于点 A.若∠BCD=128°，则∠DAE 的度数为 ( ) A.52° B.54° C.64° D.74° 4.(2025 自贡)PA，PB 分别与⊙O 相切于A，B 两点，点C 在⊙O上，不与点A，B 重合。若∠P=80°，则∠ACB 的度数为 ( ) A.50° B.100° C.130° D.50°或130° 5.(2025 安徽)如图，AB 是⊙O 的弦，PB 与⊙O 相切于点 B，圆心O在线段 PA上。已知∠P=50°，则∠PAB 的大小为 °。 6.(2025龙东地区)如图,PA,PB是圆O 的切线,A,B为切点,AC是直径， 7.(2024 包头)如图,四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,点O 在四边形ABCD 内部，过点C作⊙O 的切线交AB 的延长线于点 P，连接OA,OB.若 ,则∠ADC 的度数为 8.(2024 泰安)如图,AB 是⊙O 的直径,AH 是⊙O 的切线,点 C 为⊙O 上任意一点，点D 为 的中点，连接BD 交AC于点 E，延长BD 与AH相交于点 F,连接AD.若 则AE的长为 . 9.(2025 泸州)如图,梯形ABCD中, ⊙O与梯形ABCD 的各边都相切，且⊙O 的面积为16π，则点B到CD的距离为 . 考点 2 与切线的判定与性质相关的证明与计算 10.(2025 广东)如图,O是 斜边AC边上的一点，以OA 为半径的⊙O 与边 BC 相切于点 D.求证:AD平分. 11.(2025 湖南)如图, 的顶点A，C在⊙O上，圆心O在边AB上， ,BC与⊙O 相切于点C,连接OC. (1)求 的度数. (2)求证:AC=BC. 12.(2025山东)如图,在 中,点A在⊙O上,边OB交⊙O 于点C, 于点D. AC是 的平分线. (1)求证:AB为⊙O 的切线; (2)若⊙O的半径为2,. 求CB的长. 13.(2025天津)已知AB与⊙O 相切于点C,( OB 与⊙O相交于点 D,E为⊙O 上一点. (Ⅰ)如图(1),求 的大小； (Ⅱ)如图(2),当 时，EC与OB相交于点F，延长BO与⊙O 相交于点 G,若⊙O的半径为3,求ED 和EG的长. 14.(2025 湖北)如图,⊙O是 的外接圆， 过点O作 垂足为E,交AC 于点D,交⊙O 于点 F.过点 F 作⊙O 的切线,交 CA 的延长线于点 G. (1)求证:FD=FG; (2)若AB=12,FG=10,,求⊙O 的半径. 15.(2025陕西)如图,点O 在. 的边AC上，以OC为半径的⊙O 与AB 相切于点 D,与BC 相交于点 E,EF 为⊙O 的直径,FD与AC相交于点 G, (1)求证:AB=AC; (2)若 求DG的长. 16.(2025 浙江)如图,在 中，AB=AC,点O 在边AB上，以点O 为圆心，OB长为半径的半圆，交BC于点 D，与AC 相切于点E,连接OD,OE. (1)求证:( (2)若 求四边形ODCE的面积. 17.(2025 贵州)如图,在⊙O 中, 是直角，D为 的中点，DE为⊙O 的切线交AB 的延长线于点 E.连接CD,BD. (1)点O 与AB 的位置关系是 ,线段 CD 与线段 BD的数量关系是 . (2)过E点作 与AD 的延长线交于点 F.根据题意补全图形，判断 的形状，并说明理由. (3)在(2)的条件下,若⊙O的半径为3,DE=4,,求 CD的长. 18.(2025 兰州)如图,⊙O是 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，过点B 的切线交AC 的延长线于点 D，连接DO 并延长，交⊙O于点 E,连接AE,CE. (1)求证: (2)若 求OD的长. 学科网（北京）股份有限公司 19.(2025 北京)如图,过点P作⊙O 的两条切线,切点分别为A,B,连接OA,OB,OP,取OP 的中点C,连接AC 并延长,交⊙O 于点D,连接BD. (1)求证: (2)延长OP 交DB 的延长线于点 E.若 求 DE的长. 20.(2025 甘肃)如图,四边形ABCO 的顶点A,B,C在⊙O 上, 直径BE与弦AC 相交于点 F,点 D 是 EB 延长线上的一点， (1)求证:CD是⊙O 的切线; (2)若四边形ABCO 是平行四边形，EF=3,,求 CD 的长. 21.(2025 南充)如图, 中， 于点 D,以CD为直径的⊙O交BC 于点E,交AC 于点 F,M 为线段 DB上一点，ME=MD,连接OM. (1)求证:ME 是⊙O 的切线. (2)若 求OM的长. 22.(2025成都)如图,点C在以AB为直径的半圆O 上,连接AC,BC，过点C作半圆O的切线，交.AB的延长线于点 D，在 上取点 E₃使 连接BE,交AC于点 F. (1)求证: (2)若 求半圆O 的半径及EF的长. 23.(2025 烟台)如图, 内接于⊙O， ，点D 在线段CB的延长线上，且.BD=AB,连接AD. (1)求证:AD 是⊙O的切线; (2)当AB=5,AC=8时，求BC的长及⊙O 的半径. 24.(2025 苏州)如图,在四边形ABCD 中, 以AB为直径的⊙O 经过点 D,且与边 CD 交于点 E,连接AE,BE. (1)求证:BC为⊙O 的切线; (2)若 求BE 的长. 分类训练23 切线的判定与性质 1 D 易得 ∵AB 是⊙O 的直径,AC 是⊙O 的切线,∴∠CAB=90°,∴∠C=90°-∠B=50°. 2 C 名师教解题 审④：由一个内角为60°的等腰三角 审③:由平行可得∠OAB=60°,形是等边三角形,得到AB=AO=OC 申⑤:由AB∥OC,AB=CO, 得到平行四边形OABC 审①：见切线，连半径，得垂直 φ⑥：由平行四边形的对角 相等,得到∠BCO=∠OAB 审②：在△APO中，由三角形 内角和定理得∠AOP=60° 如图,连接OA,则 OA⊥AP,∴ ∠POA =90°-∠P =60°.∵AB∥PC,∴∠OAB =∠POA =60°.连接OB,则 OB =OA,∴△AOB是等边三角形,∴AB=AO=OC.又∵AB∥OC,∴四边形OABC 是平行四边形,∴∠BCP=∠OAB=60°. 3 C 如图,连接AC.∵∠ADC=90°,∴AC是⊙O的直径(依据：90°的圆周角所对的弦是直径).∵EA 与⊙O 相切于点 A，∴∠EAC=90°(依据：圆的切线垂直于过切点的半径).∵四边形ABCD是⊙O 的内接四边形,∴∠BAD=180°-∠BCD= 26°,∴∠DAE=∠EAC-∠CAD=90°-26°=64°. 4 D 如图,连接OA,OB.∵PA,PB分别与⊙O 相切于A,B两点,∴∠OAP=∠OBP=90°,∴∠AOB =180°-∠P=180°-80°=100°.当点C在优弧AB上时, 100°=50°;当点C 在劣弧AB 上时,记为 C',则∠AC'B = .故∠ACB的度数是50°或130°.故选 D. 5.20 【解析】如图,连接OB.∵PB与⊙O 相切于点 B, ∴∠PBO= 6 .70° 【解析】∵ PA,PB 是圆O 的切线,∴PA =PB.∵AC 是圆 O的直径,PA 是圆O 的切线,∴∠PAC=90°.∵∠BAC=35°,∴∠PBA=∠PAB=90°-∠BAC=90°-35°=55°,∴ ∠P=180°-55°-55°=70°. 7.105° 8. 【解析】∵AB 是⊙O 的直径,∴ ∠ADF = ∠ADB =90°.∵AH是⊙O的切线,∴ ∠BAF = 90°,∴ ∠DAF = 90°-∠DAB=∠ABD,∴△DAF∽△DBA,.. DE=40BD= tan B= 又∵ ∵.点D为AC的中点，∴AD=CD,∴∠DAC=∠ABD=∠DAF.又∵∠ADE=∠ADF=90°,∴∠AED=∠AFD,∴AE=AF= (依据：等自对等边). 9.6 【解析】如图,过点A,D分别作AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为E,F,过点B作BM⊥CD于点M.易得AD=EF, BE=CF.∵⊙O的面积为16π,∴⊙O 的半径为4.∵⊙O 与梯形ABCD的各边都相切,且AD∥BC,∴AE=DF=4×2=8,AD+BC=CD + AB = 20. 在 Rt △ABE 中, ²-8²=6,∴ BC + AD =2BE +2AD = 12 +2AD =20.∴AD=4,∴BC=16.在Rt△CDF中, 在Rt△BCM中, 即点B到CD的距离为6 10证明:如图,连接OD. 巧作辅助线： 见切线，连半径，得垂直 ∵⊙O与边 BC相切于点 D, ∴OD⊥BC,即 ∴OD∥AB,∴∠1=∠3. ∵OD=OA,∴∠1=∠2,∴∠3=∠2, ∴AD平分∠BAC. 11(1)∵BC与⊙O相切于点 C,∴∠OCB=90°. ∵∠ACB=120°, ∴∠ACO=∠ACB-∠OCB=30°. (2)证明:由(1)知∠ACO=30°, ∵AO=CO, ∴∠CAO=∠ACO=30°,∴∠COB=60°. ∵∠OCB=90°,∴∠B=30°, ∴∠B=∠CAO,∴AC=BC. 12 (1)证明:∵AD⊥OB, ∴∠DAC+∠ACD=90°. ∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA. ∵AC平分∠BAD,∴∠DAC=∠BAC, ∴∠BAC+∠OAC=∠DAC+∠OCA=90°,即∠OAB =90°. 又∵OA为⊙O的半径, ∴AB为⊙O 的切线. (2)∵∠AOB=45°,∠OAB =90°, ∴△OAB为等腰直角三角形， 又∵OC=2, 13(Ⅰ)如图(1),连接OC. ∵AB与⊙O相切于点C,∴OC⊥AB. 又OA=OB, ∴OC平分∠AOB(依据：等腰三角形“三线合一”)， 学科网（北京）股份有限公司 ∵∠AOB=80°,∴∠COB=40°. 在⊙O中, ∴∠CED=20°. (Ⅱ)如图(2),连接OC. 同(Ⅰ),得∠CED=20°. ∵EC∥OA,∴∠EFG=∠AOB=80°. ∵∠EFG为△DEF的一个外角, ∴∠EDF=∠EFG-∠FED=60°. 根据题意，得DG为⊙O的直径， ∴∠GED=90°. ∵⊙O的半径为3,∴DG=6. 在Rt△GED中, 14 (1)证明:∵DF⊥AB,∠BAC=45°,∴∠ADE=45°. ∵GF与⊙O 相切于点 F, ∴DF⊥GF,即∠DFG=90°, ∴∠G=45°=∠FDG, ∴FD=FG. 由(1)知,∠ADE=∠BAC=45°, ∴ED=EA=6. 由(1)得FD=FG=10,∴EF=DF-DE=4. 如图，连接OA. 设OA=OF=x,则(OE=x-4. 在Rt△AOE中, (点拨：设无利用句股定理列方程系线段长), 解得 :.⊙O 的半径为1 15(1)证明:如图,连接OD. ∵⊙O与AB相切于点D,∴OD⊥AB. ∵∠F=45°, ∴∠DOE=2∠F=90°,即EF⊥OD, ∴AB∥EF, ∴∠OEC=∠B. ∵OE=OC,∴∠C=∠OEC, ∴∠B=∠C,∴AB=AC. (2)∵AB=8,AB=AC,∴AC=8. 设⊙O的半径为r,则AO=8-r,OD=r. ∴r=3,∴OF=OD=3,AO=5, ∵EF∥AB,∴△OFG∽△ADG(点拨:“X型”相似), 16 (1)证明:因为AB=AC,所以∠B=∠C. 因为OB=OD,所以∠B=∠ODB, 所以∠C=∠ODB,所以OD∥AC. 因为AC是切线,所以OE⊥AC, 所以OD⊥OE. (2)因为BC=AB=AC,所以△ABC 是等边三角形,所以∠A=∠B=∠C=60°. 又因为 所以 所以AB=BC=AC=OA+OB=2+ 所以CE=AC-AE=1+ 所以 17 (1)点O在AB上 DC=DB (2)补全图形如图所示，△DEF是等腰三角形. 理由:∵D为BC的中点,∴DC=DB. 如图,连接OD,∵DE是⊙O的切线, ∴∠ODE=90°,∴∠ADO+∠EDF=90°. ∵EF⊥AE,∴∠F+∠FAE=90°. ∵OA=OD,∴∠ADO=∠EAE, ∴∠EDF=∠F, ∴ED=EF,∴△DEF 是等腰三角形. (3)∵EF=ED=4,OD=3, ∵∠BAD=∠FAE,∠ADB=∠AEF=90°, ∴△ABD∽△AFE, 18(1)证明:∵AB是⊙O 的直径, ∴ ∠BCA=90°,∴∠BDC+∠DBC=90°. ∵DB与⊙O 相切于点 B,∴∠DBA=90°, ∴∠DBC+∠CBA=90°,∴∠BDC=∠CBA. 又∠CBA=∠AEC,∴∠ADB=∠AEC. (2)在Rt△ABC中, 在Rt△ABC中, ∵∠BDC=∠CBA,∠BCA=∠DCB=90°, 19 (1)证明:∵PA,PB为⊙O的两条切线, ∴∠PAO=∠PBO=90°. 又∵OP=OP,OA=OB, ∴Rt△PAO≌Rt△PBO(HL), 又∵ ∴∠ADB=∠AOP. (2)如图,延长AO 交⊙O 于点 F,连接DF,则∠ADF=90°(依据：直径所对的圆周自是直角). ∵在Rt△OAP中, ∴AO=2AP=20, ∵C是OP 的中点, ∴cos∠DAF =cos∠AOP, H ∵∠CDE=∠COA,∠DCE=∠OCA, ∴△CDE∽△COA, 艮 ∴DE=44. (2)如图,过点O作OH⊥DE于点H,则 BH=DH. ∴在Ru△OAP中, ∴OB=OA=2AP=20. ∵C是OP 的中点,∠OAP=90°,∴ PC=OC=AC, ∴∠2=∠1=∠3,∴DB∥AO, ∴∠E=∠1=∠4,∴BE=OB=20. 设OH=x,则EH=2x,∴BH=2x-20. 在Rt△BHO中，根据勾股定理，得 即 ,解得x₁=0(舍去),x₂=16, ∴BH=12,∴BD=2BH=24, ∴DE=BD+BE=44. 20(1)证明:如图,连接AE,可得 依据：国周角定(理). ∵∠BCD= ∠AOB,∴∠BCD=∠E. ∵OA=OE,∴∠OAE=∠E, ∴∠OAE=∠BCD. ∵BE是⊙O的直径, ∴∠BAE=90°, 即∠BAO+∠OAE=90°. ∵∠BAO=∠BCO, ∴∠BCO+∠BCD=90°,即OC⊥DC. 又∵OC为⊙O 的半径,∴CD是⊙O的切线. (用三角形内角和定理和等腰三角形的性质等方法证明，过程正确均可得分) (2)∵四边形ABCO是平行四边形,∴ 又∵OF+OE=EF=3,OB=OE, ∵OA=OC, ∴▱ABCO 是菱形(依据：一组邻边相等的平行四边形是量形)， ∴BC=OC=OB=2, ∴△BOC 为等边三角形,∴∠BOC=60°, ∴在 Rt△ODC中,CD=OC·tan∠DOC=2×tan60°=2 21 (1)证明:如图,连接OE. ∵CD⊥AB,∴∠ODM=90°. 在△ODM与△OEM中,OD=OE,OM=OM,DM=EM, ∴△ODM≌△OEM(SSS), ∴∠OEM=∠ODM=90°,∴ME为⊙O 的切线. (2)如图,连接DF. ∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴∠A+∠B=∠A+∠ACD=90°, ∴∠B=∠ACD,∴sin∠ACD= sin B= ∵CD为⊙O的直径, 设DF=4x,CD=5x,在 Rt△CDF中,根据勾股定理得 ∴x=1(负值已舍去), ∵△ODM≌△OEM,∴∠1=∠2. ∵∠1+∠2=∠3+∠4,∠3=∠4, ∴∠1=∠3,∴OM∥CB, 22 (1)证明:如图,连接OC,则OA=OC, ∴∠OAC=∠OCA. ∵CD是半圆O的切线,∴OC⊥CD, ∴∠BCD+∠OCB=90°. ∵AB 是直径, ∴∠ACB=90°, ∴∠OCA+∠OCB=90°, ∴∠OCA=∠BCD,∴∠CAB=∠BCD. ∴∠CBE=∠CAB(依据：同弧或等弧所对的圆周角相等)， ∴∠CBE=∠BCD,∴BE∥CD. 巧作辅助线：见切线，连半径，得垂直 (2)如图,设半圆O的半径为r,则OC=OB=r,∴OD=r+1. ∵OC⊥CD, ∴r=2, ∴AB=2r=4. 连接AE,则∠AEB=90°, ∵BE∥CD,∴∠ABE=∠D, ∴点 F到AE，AB的距离相等，都等于EF的长， 23 (1)证明:如图,连接AO 并延长交⊙O 于点E,连接BE. ∵BD=AB,∴∠D=∠BAD, ∴∠ABC=∠D+∠BAD=2∠BAD. 又∵ 又∵∠C=∠E, ∴∠BAD=∠E. ∵AE 是⊙O 的直径, ∴∠ABE=90°, 即∠BAE+∠E=90°, ∴∠BAE+∠BAD=90°,即AD⊥AE, ∴ AD 是⊙O 的切线. (2)∵∠D=∠D,∠DAB=∠C, ∵BD=AB,∴∠D=∠BAD, ∴∠D=∠C,∴AD=AC=8, 如图,过点A作AF⊥DC于点 F. ∵AD=AC, ∴⊙O的半径为2 24(1)证明:∵BD=CD,∴∠C=∠DBC. 又∵∠C=∠BAD,∴∠BAD=∠DBC. ∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°, ∴∠BAD+∠DBA=90°, ∴∠DBC+∠DBA=90°,即∠CBA=90°, ∴AB⊥BC,∴BC为⊙O 的切线. (2)如图,过点 D 作DF⊥BC,垂足为F. ∴∠ABD=∠AED. ∵△ABD中, ∴AD=1,∴BD=3. ∵DF⊥BC,AB⊥BC,∴DF∥AB, ∴∠BDF =∠ABD,∴sin∠BDF=sin∠ABD=-10. ∵ △BDF 中, ∠BFD = 90°, BD = 3, sin∠BDF =40°, ∵BD=CD,DF⊥BC,∴1BC=2BF=3、10. ∵四边形ABED 内接于⊙O,∴∠DAB+∠BED=180°, 又∵∠CEB+∠BED=180°,∴∠CEB=∠DAB. 又∵∠C=∠BAD,∴∠CEB=∠C, (2)如图,过点C作 CG⊥BD,垂足为G.. ∵△ABD 中, ∴AD=1,∴CD=BD=3. ∵∠DBC+∠DBA=90°,∠DBC+∠BCG=90°, ∴∠BCG=∠DBA, 设 BG=x. ∵△BCG中, ∵△CDG中,∠DGC=90°, 即 解得 或x=0(舍去), ∵四边形ABED 内接于⊙O,∴∠DAB+∠BED=180°. 又∵∠CEB+∠BED=180°,∴∠CEB=∠DAB. 又∵ 学科网（北京）股份有限公司 $