专题01 有理数（期末复习专项训练，10大题型）七年级数学上学期新教材苏科版

专题01 有理数 题型1 相反数、绝对值、倒数（常考点） 题型6 有理数的简单应用（重点） 题型2 科学记数法（常考点） 题型7 含字母的绝对值化简（重点） 题型3 有理数比较大小（常考点） 题型8 与数轴有关的动点问题（难点） 题型4 有理数的分类（常考点） 题型9 绝对值的最值问题（难点） 题型5 有理数的混合运算（重点） 题型10 数轴中的新定义（难点） 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 相反数、绝对值、倒数（常考点） 1．（22-23七年级下·重庆渝中·开学考试）的倒数是（    ） A． B．2025 C． D． 【答案】C 【分析】该题考查了倒数，倒数的定义：一个数的倒数是1除以这个数，负数的倒数仍为负数．根据倒数的定义求解即可． 【详解】解：的倒数为， 故选：C． 2．（2025·四川资阳·中考真题）的相反数是（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数即可求解． 【详解】解：的相反数为． 故选：D． 3．（24-25七年级上·福建南平·月考）的绝对值是 . 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的绝对值． 根据一个负数的绝对值是它的相反数作答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 题型二 科学记数法（常考点） 1．（19-20七年级上·北京·期末）是第五代移动通信技术的简称，网络理论下载速度可以达到每秒以上，这意味着下载一部高清电影只需要1秒．将1300000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．正确确定的值即可． 【详解】解：． 故选：A． 2．（24-25九年级上·江苏南通·期末）6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，标志着拥有全球知识产权的北斗导航系统全面建成，据统计：2019年，我国北斗卫星导航与位置服务产业总体产值达3450亿元，较2018年增长，其中，3450亿元用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：将数据3450亿用科学记数法表示为； 故选：D． 3．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）（新闻资料）根据乌克兰武装部队总参谋部的消息，自2022年2月24日至今，俄军在俄乌冲突中因战斗伤亡人数已经达到765000人，将765000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：将765000用科学记数法表示为． 故答案为：． 题型三 有理数比较大小（常考点） 1．（18-19七年级上·广东揭阳·阶段练习）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的含义和求法，以及有理数大小比较的方法，有理数大小比较的法则：①正数都大于；②负数都小于；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【详解】解：A. ，原式错误，不符合题意； B. ，原式错误，不符合题意； C. ，正确，符合题意； D. ，原式错误，不符合题意； 故选：C． 2．（22-23七年级上·北京海淀·期中）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴， 根据有理数a，b在数轴上的对应点的位置，一一判断即可． 【详解】解：．由数轴可知，，原结论错误，故该选项不符合题意； ．由数轴可知，，，则，原结论正确，故该选项符合题意； ．由数轴可知，，，则，原结论错误，故该选项不符合题意； ．由数轴可知，，，则，原结论错误，故该选项不符合题意； 故选：B． 3．（16-17七年级上·江苏南京·期中）比较大小： （填“<”，“>”或“=”）． 【答案】> 【分析】本题考查了有理数大小的比较．比较两个负数的大小，先比较它们的绝对值，绝对值较大的负数反而小． 【详解】解：，，， 所以， 故答案为：>． 题型四 有理数的分类（常考点） 1．（24-25七年级上·江苏南通·期末）下列各数中，属于正整数的是（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查正整数的概念的识别，熟练掌握正数和负数、整数的概念是解题的关键． 利用正整数的概念依次判别即可． 【详解】解∶A．0既不是负整数也不是正整数是整数，故该选项不符合题意； B．是负整数，故该选项不符合题意； C．是小数，故该选项不符合题意； D．2是正整数，故该选项符合题意； 故选∶D． 2．（24-25七年级上·江苏南通·期末）在0，，，四个数中，正有理数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方式是解答本题的关键．有理数可分为正有理数，零和负有理数，正有理数分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数． 【详解】解：0既不是正数，也不是负数； ，是负数； 是正数． 故选C． 3．（17-18七年级上·全国·课后作业）最大的负整数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数．根据小于零的整数是负整数可得答案． 【详解】解：最大的负整数是， 故答案为：． 题型五 有理数的混合运算（重点） 1．（19-20七年级上·江苏常州·期末）下列各式中，不相等的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，化简绝对值．通过直接计算每个选项中两个表达式的值，判断它们是否相等，即可作答． 【详解】解：A、，，∴该选项中的各式相等，故不符合题意； B、，，∴该选项中的各式不相等，故符合题意； C、，，∴该选项中的各式相等，故不符合题意； D、，，∴该选项中的各式相等，故不符合题意； 故选：B． 2．（12-13七年级上·江苏苏州·期末）如图所示是计算机某计算程序，若开始输入，则最后输出的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是结合程序框图的含义进行有理数的混合运算，先理解框图的含义是一个数，再把结果与比较大小，满足小于则输出，否则再按程序框图的含义再进行计算，再比较，从而可得答案． 【详解】解：当时，， ∵， ∴不能输出，继续计算， ∴当时，， ∵， ∴不能输出，继续计算， ∴当时，， ∵， ∴输出的数是． 故答案为：． 3．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，含乘方的有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用有理数的乘法运算律进行简便运算，即可作答． （2）先运算乘方再运算乘法，最后运算加减，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型六 有理数的简单应用（重点） 1．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）师生人外出春游，班主任要给所有师生（包括班主任）买一瓶矿泉水．当她来到超市时，发现了超市在做活动．她只需要买（　　）瓶矿泉水就可以保证每人有一瓶矿泉水． 重 磅 活 动 为了鼓励人们多喝水，本超市每个矿泉水空瓶子就可以兑换瓶矿泉水． 注：可以借一个空瓶！ A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了乘法、除法的应用，解答此题的关键是求出能分出几组．每个空瓶可以换瓶矿泉水，所以可以将人分成组，每组人，然后每组买瓶矿泉水，再借个空瓶子，就可以换到瓶矿泉水，所以每组购买瓶矿泉水加上换到瓶矿泉水得到瓶矿泉水，进而可以计算出需要买多少瓶矿泉水． 【详解】解：（组）， （瓶）， 故她只需要买瓶矿泉水就可以保证每人有一瓶矿泉水． 故选：D． 2．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）甲、乙、丙、丁四位医生轮流到农村卫生所义诊，但计划有所改变，当丙要第3次去义诊时因为生病而没有去，那天就由丁去义诊，之后按甲、乙、丙、丁的顺序继续轮流．丁第1次义诊是在星期四，当丁第8次去义诊时，是星期 ． 【答案】三 【分析】本题考查了周期性问题的应用，解题的关键在于确定丁每次义诊的周期规律． 由题知丁第八次去的时候是第31天，再结合第一次义诊时间和周期规律即可求解． 【详解】丁第1次去是星期四说明甲第一次去是星期一，由于丙那一次没去， 所以丁第八次去的时候是第（天），（天）， 所以是星期三． 故答案为：三． 3．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）近日，一个家电专卖店出了一个家电优惠表． 家电 电饭煲 冰箱 热水器 智能马桶 进价/元 150 2900 900 1200 原售价/元 310 ？ 1300 1900 现售价/元 230 3800 1110 1750 (1)冰箱原售价比智能马桶原售价贵了2100元，冰箱原售价是多少元？ (2)现卖出一个智能马桶，如果按原价售价，那么现营业额比原营业额少了多少元？ (3)老王家打算换热水器，趁着活动买了两个，店的利润是多少元？ (4)老板决定卖出去一个电饭煲就奖励营销员30元，如果卖出去了4台电饭煲后，那么老板可以赚多少元？ 【答案】(1)4000（元） (2)150（元） (3)420（元） (4)200（元） 【分析】本题考查了学生能根据统计表解决实际问题的能力 （1）根据加法的意义，用智能马桶原售价加上2100元即是冰箱原售价； （2）根据减法的意义，用一个智能马桶的原售价减去现售价即是所求； （3）根据“利润售价进价”求出一台的利润，乘2即是所求； （4）用每台电饭煲的利润减去奖励营业员的金额即是每台电饭煲的实际利润，然后乘4即可解答． 【详解】（1）（元）， 答：冰箱原售价是4000元． （2）（元）， 答：现营业额比原营业额少了150元． （3）（元）, （元）， 答：店的利润是420元． （4）（元）， （元）， 答：老板可以赚200元． 题型七 含字母的绝对值化简（重点） 1．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）已知a、b在数轴上的位置如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查绝对值的化简，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键．根据a、b在数轴上的位置进行化简即可． 【详解】解：根据a、b在数轴上的位置，得：且， ，， ． 故选A． 2．（23-24七年级上·江苏南京·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试化简： ．    【答案】 【分析】本题考查了绝对值的性质，去绝对值时先确定绝对值内代数式的正负性是解本题的关键．根据绝对值的性质去绝对值，再合并同类项即可． 【详解】解：由、、在数轴上的位置可知： ，， ． 故答案为：． 3．（22-23七年级上·江苏无锡·期中）已知数在数轴上的位置如图所示， (1)判断正负，用“>”或“<”填空：___________0，___________0，___________0． (2)化简： 【答案】(1)>，<，< (2) 【分析】（1）由图可知，,根据的符号解答即可； （2）结合（1），然后根据绝对值的性质化简即可． 【详解】（1）由数轴得， ∴ 故答案为：>，<，<； （2）∵ ∴ = = = 【点睛】本题主要考查数轴和绝对值的知识，熟练根据数轴得出的值是解题的关键． 题型八 与数轴有关的动点问题（难点） 1．（23-24七年级上·江苏南通·期末）如图，在数轴上，点A表示的数是a，点B表示的数是b，且．点P从点A出发以3个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时，点Q从点B出发、点R从原点O出发分别以1个单位长度/秒、2个单位长度/秒的速度向左匀速运动，点M为的中点，设点P运动的时间为t秒． (1)根据题意，可得______，______； (2)若，求t的值； (3)求的最小值． 【答案】(1)；2 (2)4或2 (3)1 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数轴上两点间距离公式，绝对值的非负性．用到的知识点为：两个非负数的和为0，这两个数均为0；数轴上两点的中点可表示为表示这两点的数的和的平均数；表示a和b之间的距离． （1）根据两个非负数的和为0，这两个数均为0解答即可； （2）分别表示出点P和点Q，进而可得它们的中点M，根据的长为1可得t的值； （3）整理的代数式，得到含t的绝对值，根据表示a和b之间的距离求解即可． 【详解】（1）解：， ∴，， 解得：，； （2）解：由题意得：点P表示的数为，点Q表示的数为：，点R表示的数为， 点M为的中点， 点M表示的数为：， ∴， ∴， ∴或， 解得：或； （3）解：， 又∵表示数轴上表示t的点到3和4的距离之和， ∴当时，的值最小， ∴的最小值为， ∴的最小值为1． 2．（18-19七年级上·江苏连云港·期末）如图已知数轴上点A、B分别表示a、b，且与互为相反数，O为原点． (1) ， ； (2)将数轴沿某个点折叠，使得点A与表示 的点重合，则此时与点B重合的点所表示的数为； (3)若点M、N分别从点A、B同时出发，点M以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点N以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，N到点A后立刻按原速向左运动，设运动时间为（ ）秒． ①点M表示的数是（用含t的代数式表示）； ②求t为何值时，； ③求t为何值时，点M与N相距3个单位长度． 【答案】(1) (2)5 (3)①；②或；③或6或12或18； 【分析】（1）根据与互为相反数列式计算得出与； （2）先计算得出点与表示的点重合时的折叠点，再根据对称性得到答案； （3）①根据点左右平移的规律即可解答； ②分两种情况，点在之间，点在点左侧，根据分别计算得出的值即可； ③先计算出点表示的数，再分三种情况求出的值． 【详解】（1）∵与互为相反数， 故答案为：； （2）∵点表示的数是9， ∴当折叠，使得点与表示的点重合时的折叠点是， ∴此时与点重合的点所表示的数为， 故答案为：5； （3）①点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴点表示的数是， 故答案为：； ②∵， ∴当点在之间时，即，解得； 当点在点左侧时，，解得； ∴当或时，， ③由题意知，， 当点床到达点，且与点床相遇时，，得； 当点床到达点，且与点相遇后，，得； 当点到达点后，，得， 当点到达点停止运动，时，， 综上，当或6或12或18时，点与相距3个单位长度． 【点睛】此题考查绝对值、平方的非负性，两点间的中点，利用线段的数量关系列方程，（3）是难点，注意题中点与点的运动条件，分情况解决问题． 3．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）阅读下面材料：若已知点表示数，点表示数，则、两点之间的距离表示为，则． 回答下列问题： (1)①点表示数，点表示数，则、两点之间的距离表示为______； ②点表示数，点表示数，如果，那么的值为______； (2)①如果，那么______，______； ②当代数式取最小值时，相应的整数的个数为______； (3)在数轴上，点表示的数是最大的负整数、是原点、在的右侧且到的距离是，动点沿数轴从点开始运动，到达点后立刻返回，再回到点时停止运动．在此过程中，点的运动速度始终保持每秒个单位长度，设点的运动时间为秒．在整个运动过程中，请直接用含的代数式表示． 【答案】(1)①②或 (2)①，② (3)当时，，当时，，当时，，当时， 【分析】此题主要考查有理数与数轴的应用， （）①根据、两点之间的距离公式即可求解； ②根据及、两点之间的距离公式分情况讨论即可求解； （）①根据绝对值的非负性即可求解； ②根据代数式的含义为点到和的距离之和，故可得到取最小值时，相应的整数的值，即可求解； （）根据点位置分情况讨论，用含的式子表示的长，即可求解． 解题的关键是根据题意分类讨论求解． 【详解】（1）①∵点表示数，点表示数， ∴、两点之间的距离表示为； ②点表示数，点表示数， ∵， ∴ ∴或 ∴或 故答案为：①；②或； （2）①∵， ∴，， ∴，， ②代数式的含义为点到和的距离之和， ∴当整数的值为这个值时，的最小值为， 即相应的整数的个数为个； 故答案为：①；；②； （3）在数轴上，点表示的数是最大的负整数、是原点、在的右侧且到的距离是， ∴点表示的数是，点表示的数是，、之间的距离， ∵点的运动速度始终保持每秒个单位长度，动点沿数轴从点开始运动，到达点后立刻返回，再回到点时停止运动， ∴ 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，，当时，，当时，，当时， 题型九 绝对值的最值问题（难点） 1．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，，分别用数，表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． (1)利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ，如果，那么x为 ． (2)探索规律： ①当有最小值是 ． ②当有最小值是 ． ③当有最小值是 ． (3)规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件箱应该放在哪个工作台处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短？最短路程是多少米？ (4)知识迁移 最大值是 ，最小值是 ． 【答案】(1)①3；4；②；1或 (2)①1；②2；③4 (3)当配件箱放在工作台E处时，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程为米 (4)， 【分析】此题主要考查了数轴上两点之间的距离，理解数轴上点所表示的数为，点所表示的数为，则及其几何意义，以及“两点之间，线段最短”是解答此题的关键，分类讨论是解答此题的易错点． （1）①理解并掌握及其几何意义，即可求解；②理解并掌握及其几何意义，即可求解； （2）①理解并掌握及其几何意义和“两点之间，线段最短”， 然后即可求解；②理解并掌握及其几何意义和“两点之间，线段最短”， 然后即可求解；③理解并掌握及其几何意义和“两点之间，线段最短”，然后即可求解； （3）根据（2）可知当配件箱放在工作台E处时，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，然后即可求解； （4）理解表示的几何意义，然后分类讨论数的点在表示数点的左侧、数的点在表示数，5两点之间、数的点在表示数点的右侧，然后即可求解最大值和最小值； 【详解】（1）解：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是：； 数轴上表示1和的两点之间的距离是：， 故答案为：3；4． ②数轴上表示和的两点A和B之间的距离是：， 当，则， ∴或， 由解得：， 由解得：， ∴的值为：1或， 故答案为：；1或． （2）解：①∵的几何意义是：在数轴上表示数、1两点间的距离； 的几何意义是：在数轴上表示数x、2两点间的距离； ∴的几何意义是：在数轴上表示数x、1两点间的距离与数轴上表示数、2两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： ∴当表示数的点在数轴上表示数1，2两点构成的线段上时，为最小，最小值为数轴上表示数1，2两点之间的距离，即为， 即有最小值是1． 故答案为：1． ②∵的几何意义是：在数轴上表示数、1两点间的距离、数轴上表示数、2两点间的距离、数轴上表示数、3两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： 当数轴上表示数的点与表示2的点重合时，为最小，最小值为数轴上表示数1，3两点之间的距离，即为， 即有最小值是2， 故答案为：2； ③∵的几何意义是：在数轴上表示数、1两点间的距离、数轴上表示数、2两点间的距离、数轴上表示数、3两点间的距离、数轴上表示数、4两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： 当表示数的点在数轴上表示数2，3两点构成的线段上时， 的值为最小值，最小值为数轴上表示数1，4两点之间的距离与数轴上表示数2，3两点之间的距离之和，即为， 即有最小值是4． 故答案为：4． （3）解：由（2）可知：当配件箱放在工作台E处时，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程为：（米）． （4）解：∵表示的几何意义是：在数轴上表示数、两点间的距离与数轴上表示数、5两点间的距离之差， ①当在数轴上表示数的点在表示数点的左侧时，即， 则，， ∴，， ∴； ②当在数轴上表示数的点在表示数，5两点之间时，即， 则，， ∴，， ∴， ③当在数轴上表示数的点在表示数点的右侧时，即， 则，， ∴，， ∴， ∴， ∴的最大值是，的最小值是． 故答案为：9；． 2．（22-23七年级上·江苏镇江·期末）人们通过长期观察发现如果早晨天空中棉絮的高积云，那么午后常有雷雨降临，于是有了“朝有破絮云，午后雷雨临”的谚语．在数学的学习过程中，通过对简单情形的观察、分析，从特殊到一般地探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳． 【数学问题】数轴上分别表示数a和数b的两个点A、B之间的距离该如何表示？ 【问题探究】 （1）观察分析（特殊）： ①当，时，A，B之间的距离； ②当，时，A，B之间的距离 ； ③当，时，A，B之间的距离 ； （2）一般结论： 数轴上分别表示有理数，的两点A，B之间的距离表示为 ； 【问题解决】 （3）应用： 数轴上，表示和3的两点A和B之间的距离是5，试求的值； 【问题拓展】 （4）拓展： ①若，则 ． ②若，则 ． ③若，满足，则代数式的最大值是 ，最小值是 ． 【答案】（1）7，3；（2）；（3）或；（4）①4②0或8③6，0 【分析】（1）利用数轴直接得到A，B之间的距离即可； （2）归纳总结得到：数轴上分别表示有理数，的两点A，B之间的距离表示为； （3）解绝对值方程即可； （4）①解绝对值方程即可；②分三种情况分类讨论解方程；先求出，的取值范围，然后计算解题． 【详解】（1）②；                   ③； 故答案为：7，3． （2）一般结论： 数轴上分别表示有理数，的两点A，B之间的距离表示为， 故答案为：． （3）∵ ∴， 解得： 或；               （4）①， 即， 解得：； 故答案为：4． ②若， 当时，，解得； 当时，，方程无解； 当时，，解得； 故答案为：8或0． ③由题可知，， 又∵， ∴，， 即，， ∴代数式的最大值是最小值是， 故答案为：6，0． 【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离，解题的关键是了解数轴上两点间的距离的含义，利用数形结合、从特殊到一般的数学思想结合解决问题． 3．（2021·山东青岛·二模）【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】 为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值． 我们先看表示的点可能的3种情况，如图所示： 如图①，在1的左边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1． 如图②，在1，2之间（包括在1，2上），可以看出到1和2的距离之和等于1． 如图③，在2的右边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1.因此，我们可以得出结论：当在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】 (1)的几何意义是 ，请你结合数轴研究：的最小值是 ； (2)请你结合图④探究的最小值是 ，由此可以得出a为 ； (3)的最小值是 ； (4)的最小值为 ； (5)如图⑤，已知a使到-1，2的距离之和小于4，请直接写出a的取值范围是 ． 【答案】(1)a在数轴上对应的点到4和7两个点的距离之和；3 (2)2；2 (3)6 (4)1021110 (5) 【分析】（1）由的几何意义以及有最小值1即可直接求得结果； （2）当a取中间值即a＝2时，求得最小值； （3）由题意可得出，取中间数即a=3时，绝对值最小； （4）由题意可得出，取中间值a＝ 1011时，求得最小值； （5）由已知得：，解出绝对值不等式即为a的取值范围． 【详解】（1）由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应点到4和7两个点的距离之和 当a在4和7之间时（包括4，7上），a到4和7的距离之和等于3，此时取得最小值是3 故答案为：a在数轴上对应的点到3和6两个点的距离之和；3 （2）当a取中间数2时，绝对值最小 的最小值是1＋0＋1＝2 故答案为：2；2 （3）当a取最中间数时，绝对值最小 的最小值是 ； （4）当a取中间数1011时，绝对值最小， 的最小值为： 故答案为：1021110 （5）a使它到－1，2的距离之和小于4 ①当时，则有 解得： ； ②当时，则有 ③当时，则有 解得： 综上，a的取值范围为： 故答案为： 【点睛】此题主要考查了绝对值的性质，解这类问题的基本步骤是：求零点、分区间、定性质、去符号，即令各绝对值代数式为0，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成几个区间，再在各区间内化简求值即可． 题型十 数轴中的新定义（难点） 1．（21-22七年级上·福建福州·期末）已知数轴上三点，若点在点之间且，则称点是的突点．例如，图1中，点表示的数分别为，1,0，，此时，，则点是的突点，点是的突点． (1)如图，数轴上点，表示的数分别为，，若点是的突点，则点表示的数是______；若点是的突点，则点表示的数是______； (2)如图，为数轴上两点，它们表示的数分别为，10，若点向数轴的负方向以每秒个单位长度运动,，同时点向数轴的正方向以每秒个单位长度运动，假设运动时间为秒，求使得原点是的突点的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3， (2)使得原点是的突点的值为4 【分析】（1）根据题意设出未知数，利用突点的定义，可写出和，则可列出方程，分别解出方程即可求出； （2）先根据题中点、点的运动方向和运动速度分别写出运动后点、点所表示的数，即可用含有的式子表示出、的长，根据原点是的突点，可得，列出方程，解出即可求出的值． 【详解】（1）解：设点表示的数为， 点是的突点， 点在点、之间且， ， 解得：； 设点表示的数为， 点是的突点， 点在点、之间且， ， 解得：； 综上所述：点表示的数是3，点表示的数是； 故答案为：3，； （2）解：点向数轴的负方向以每秒个单位长度运动，同时点向数轴的正方向以每秒个单位长度运动， 此时点表示的数为，点表示的数为， ，， 原点是的突点， ， ， 解得：， 综上所述：使得原点是的突点的值为4． 【点睛】本题考查了数轴新定义题型，解题关键是：一是理解题中什么叫做突点，二是根据题中给出的突点情况列出方程． 2．（20-21七年级上·北京·期末）在数轴上，点表示的数为1，点表示的数为3，对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作，线段；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作，线段． 例如：点表示的数为4，则点，线段点，线段．    已知点为数轴原点，点为数轴上的动点． (1)（点，线段)=_________，（点，线段）_________； (2)若点表示的数，点表示数(线段，线段，求的值； (3)点C从原点出发，以每秒2个单位长度沿轴正方向匀速运动，点从表示数的点出发，第1秒以每秒2个单位长度沿轴正方向匀速运动，第2秒以每秒4个单位长度沿轴负方向匀速运动，第3秒以每秒6个单位长度沿轴正方向匀速运动，第4秒以每秒8个单位长度沿轴负方向匀速运动，……，按此规律运动，两点同时出发，设运动的时间为秒，若(线段，线段)小于或等于6，直接写出的取值范围（可以等于0）． 【答案】(1)1，3 (2)或 (3)或 【分析】（1）根据目中所给定义进行计算即可； （2）分为线段在线段左侧或线段在线段右侧两种情况进行讨论即可； （3）分别分析出每一秒的情况，再进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵点O到线段AB的最小距离为：， ∴（点，线段)=1， ∵点O到线段AB的最小距离为：， ∴（点，线段)=3， 故答案为：1，3． （2）当线段在线段左侧时： （线段，线段）， 解得：， 当线段在线段右侧时： （线段，线段）， 解得：， 综上：或． （3）当时，点C表示的数为0，点D表示的数为-2，则， 当时，点C表示的数为2t,点D表示的数为,则，成立； 当时，点C表示：2，点D表示：， 此时：（线段，线段），符合题意； 当时，点C表示：4，点D表示：， 此时：（线段，线段），不符合题意； 当时，点C表示：，点D表示：， ∴此时：（线段，线段）， 解得：， ∴， ∵时，点C表示：6，点D表示：， ∴（线段，线段），符合题意； 当时，点C表示：，点D表示：， ∴此时：（线段，线段）， 解得：， ∵当时，点C表示：8，点D表示：， ∴（线段，线段），不符合题意； 当时，点C表示：，在6和8之间；点D表示：，在2和6之间， ∴此时：（线段，线段）， 或（线段，线段）， 解得：， ∴， 当时，点C表示：10，点D表示：， 此时：（线段，线段），不符合题意； 当时，点C表示：，在8和10之间；点D表示：，在和4之间， ∴此时，，则当时，（线段，线段）， 综上：或． 【点睛】本题主要考查了数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离，熟练掌握计算数轴上两点间的距离的方法，正确理解题意，进行分类讨论是解题的关键． 3．（21-22七年级上·山东青岛·期末）数轴上点A表示，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B、C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点A和点D在折线数轴上的和谐距离为个单位长度．动点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒． (1)当秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为__________； (2)当点M、N都运动到折线段上时，O、M两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；C、N两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；__________时，M、N两点相遇； (3)当__________时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度；当__________时，M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等． 【答案】(1)12 (2)，， (3)或；8或 【分析】（1）当秒时，M表示的数是，N表示的数是，即的M、N两点在折线数轴上的和谐距离为； （2）当点M、N都运动到折线段上，即时，M表示的数是，N表示的数是，而M、N两点相遇时，M、N表示的数相同，即得，可解得答案； （3）根据M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，得，可解得或，由时，M运动到O，同时N运动到C，可知时，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，当，即M在从点O运动到点C时，有，可解得或，当时，M在从C运动到D，速度变为4个单位/秒，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，即可得答案． 【详解】（1）当秒时，M表示的数是，N表示的数是， ∴M、N两点在折线数轴上的和谐距离为， 故答案为：12； （2）由（1）知，2秒时M运动到O，N运动到C， ∴当点M、N都运动到折线段上，即时，M表示的数是，N表示的数是， ∴O、M两点间的和谐距离，C、N两点间的和谐距离， ∵M、N两点相遇时，M、N表示的数相同， ∴， 解得， 故答案为：，，； （3）∵M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度， ∴，即， ∴或， 解得或， 由（1）知，时，M运动到O，同时N运动到C， ∴时，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等， 当，即M在从点O运动到点C时， ，即， ∴或， 解得或， 当时，M在从C运动到D，速度变为4个单位/秒，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等， 故答案为：或；8或． 【点睛】本题考查一次方程的应用，解题的关键是用含t的代数式表示点运动后表示的数及分类讨论． $专题01 有理数 题型1 相反数、绝对值、倒数（常考点） 题型6 有理数的简单应用（重点） 题型2 科学记数法（常考点） 题型7 含字母的绝对值化简（重点） 题型3 有理数比较大小（常考点） 题型8 与数轴有关的动点问题（难点） 题型4 有理数的分类（常考点） 题型9 绝对值的最值问题（难点） 题型5 有理数的混合运算（重点） 题型10 数轴中的新定义（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 相反数、绝对值、倒数（常考点） 1．（22-23七年级下·重庆渝中·开学考试）的倒数是（    ） A． B．2025 C． D． 2．（2025·四川资阳·中考真题）的相反数是（   ） A．4 B． C． D． 3．（24-25七年级上·福建南平·月考）的绝对值是 . 题型二 科学记数法（常考点） 1．（19-20七年级上·北京·期末）是第五代移动通信技术的简称，网络理论下载速度可以达到每秒以上，这意味着下载一部高清电影只需要1秒．将1300000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏南通·期末）6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，标志着拥有全球知识产权的北斗导航系统全面建成，据统计：2019年，我国北斗卫星导航与位置服务产业总体产值达3450亿元，较2018年增长，其中，3450亿元用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）（新闻资料）根据乌克兰武装部队总参谋部的消息，自2022年2月24日至今，俄军在俄乌冲突中因战斗伤亡人数已经达到765000人，将765000用科学记数法表示为 ． 题型三 有理数比较大小（常考点） 1．（18-19七年级上·广东揭阳·阶段练习）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·北京海淀·期中）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（16-17七年级上·江苏南京·期中）比较大小： （填“<”，“>”或“=”）． 题型四 有理数的分类（常考点） 1．（24-25七年级上·江苏南通·期末）下列各数中，属于正整数的是（    ） A．0 B． C． D．2 2．（24-25七年级上·江苏南通·期末）在0，，，四个数中，正有理数是（   ） A．0 B． C． D． 3．（17-18七年级上·全国·课后作业）最大的负整数是 ． 题型五 有理数的混合运算（重点） 1．（19-20七年级上·江苏常州·期末）下列各式中，不相等的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（12-13七年级上·江苏苏州·期末）如图所示是计算机某计算程序，若开始输入，则最后输出的结果是 ． 3．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）计算： (1)； (2)． 题型六 有理数的简单应用（重点） 1．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）师生人外出春游，班主任要给所有师生（包括班主任）买一瓶矿泉水．当她来到超市时，发现了超市在做活动．她只需要买（　　）瓶矿泉水就可以保证每人有一瓶矿泉水． 重 磅 活 动 为了鼓励人们多喝水，本超市每个矿泉水空瓶子就可以兑换瓶矿泉水． 注：可以借一个空瓶！ A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）甲、乙、丙、丁四位医生轮流到农村卫生所义诊，但计划有所改变，当丙要第3次去义诊时因为生病而没有去，那天就由丁去义诊，之后按甲、乙、丙、丁的顺序继续轮流．丁第1次义诊是在星期四，当丁第8次去义诊时，是星期 ． 3．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）近日，一个家电专卖店出了一个家电优惠表． 家电 电饭煲 冰箱 热水器 智能马桶 进价/元 150 2900 900 1200 原售价/元 310 ？ 1300 1900 现售价/元 230 3800 1110 1750 (1)冰箱原售价比智能马桶原售价贵了2100元，冰箱原售价是多少元？ (2)现卖出一个智能马桶，如果按原价售价，那么现营业额比原营业额少了多少元？ (3)老王家打算换热水器，趁着活动买了两个，店的利润是多少元？ (4)老板决定卖出去一个电饭煲就奖励营销员30元，如果卖出去了4台电饭煲后，那么老板可以赚多少元？ 题型七 含字母的绝对值化简（重点） 1．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）已知a、b在数轴上的位置如图所示，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·江苏南京·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试化简： ．    3．（22-23七年级上·江苏无锡·期中）已知数在数轴上的位置如图所示， (1)判断正负，用“>”或“<”填空：___________0，___________0，___________0． (2)化简： 题型八 与数轴有关的动点问题（难点） 1．（23-24七年级上·江苏南通·期末）如图，在数轴上，点A表示的数是a，点B表示的数是b，且．点P从点A出发以3个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时，点Q从点B出发、点R从原点O出发分别以1个单位长度/秒、2个单位长度/秒的速度向左匀速运动，点M为的中点，设点P运动的时间为t秒． (1)根据题意，可得______，______； (2)若，求t的值； (3)求的最小值． 2．（18-19七年级上·江苏连云港·期末）如图已知数轴上点A、B分别表示a、b，且与互为相反数，O为原点． (1) ， ； (2)将数轴沿某个点折叠，使得点A与表示 的点重合，则此时与点B重合的点所表示的数为； (3)若点M、N分别从点A、B同时出发，点M以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点N以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，N到点A后立刻按原速向左运动，设运动时间为（ ）秒． ①点M表示的数是（用含t的代数式表示）； ②求t为何值时，； ③求t为何值时，点M与N相距3个单位长度． 3．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）阅读下面材料：若已知点表示数，点表示数，则、两点之间的距离表示为，则． 回答下列问题： (1)①点表示数，点表示数，则、两点之间的距离表示为______； ②点表示数，点表示数，如果，那么的值为______； (2)①如果，那么______，______； ②当代数式取最小值时，相应的整数的个数为______； (3)在数轴上，点表示的数是最大的负整数、是原点、在的右侧且到的距离是，动点沿数轴从点开始运动，到达点后立刻返回，再回到点时停止运动．在此过程中，点的运动速度始终保持每秒个单位长度，设点的运动时间为秒．在整个运动过程中，请直接用含的代数式表示． 题型九 绝对值的最值问题（难点） 1．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，，分别用数，表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． (1)利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ，如果，那么x为 ． (2)探索规律： ①当有最小值是 ． ②当有最小值是 ． ③当有最小值是 ． (3)规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件箱应该放在哪个工作台处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短？最短路程是多少米？ (4)知识迁移 最大值是 ，最小值是 ． 2．（22-23七年级上·江苏镇江·期末）人们通过长期观察发现如果早晨天空中棉絮的高积云，那么午后常有雷雨降临，于是有了“朝有破絮云，午后雷雨临”的谚语．在数学的学习过程中，通过对简单情形的观察、分析，从特殊到一般地探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳． 【数学问题】数轴上分别表示数a和数b的两个点A、B之间的距离该如何表示？ 【问题探究】 （1）观察分析（特殊）： ①当，时，A，B之间的距离； ②当，时，A，B之间的距离 ； ③当，时，A，B之间的距离 ； （2）一般结论： 数轴上分别表示有理数，的两点A，B之间的距离表示为 ； 【问题解决】 （3）应用： 数轴上，表示和3的两点A和B之间的距离是5，试求的值； 【问题拓展】 （4）拓展： ①若，则 ． ②若，则 ． ③若，满足，则代数式的最大值是 ，最小值是 ． 3．（2021·山东青岛·二模）【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】 为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值． 我们先看表示的点可能的3种情况，如图所示： 如图①，在1的左边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1． 如图②，在1，2之间（包括在1，2上），可以看出到1和2的距离之和等于1． 如图③，在2的右边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1.因此，我们可以得出结论：当在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】 (1)的几何意义是 ，请你结合数轴研究：的最小值是 ； (2)请你结合图④探究的最小值是 ，由此可以得出a为 ； (3)的最小值是 ； (4)的最小值为 ； (5)如图⑤，已知a使到-1，2的距离之和小于4，请直接写出a的取值范围是 ． 题型十 数轴中的新定义（难点） 1．（21-22七年级上·福建福州·期末）已知数轴上三点，若点在点之间且，则称点是的突点．例如，图1中，点表示的数分别为，1,0，，此时，，则点是的突点，点是的突点． (1)如图，数轴上点，表示的数分别为，，若点是的突点，则点表示的数是______；若点是的突点，则点表示的数是______； (2)如图，为数轴上两点，它们表示的数分别为，10，若点向数轴的负方向以每秒个单位长度运动,，同时点向数轴的正方向以每秒个单位长度运动，假设运动时间为秒，求使得原点是的突点的值；若不存在，请说明理由． 2．（20-21七年级上·北京·期末）在数轴上，点表示的数为1，点表示的数为3，对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作，线段；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作，线段． 例如：点表示的数为4，则点，线段点，线段．    已知点为数轴原点，点为数轴上的动点． (1)（点，线段)=_________，（点，线段）_________； (2)若点表示的数，点表示数(线段，线段，求的值； (3)点C从原点出发，以每秒2个单位长度沿轴正方向匀速运动，点从表示数的点出发，第1秒以每秒2个单位长度沿轴正方向匀速运动，第2秒以每秒4个单位长度沿轴负方向匀速运动，第3秒以每秒6个单位长度沿轴正方向匀速运动，第4秒以每秒8个单位长度沿轴负方向匀速运动，……，按此规律运动，两点同时出发，设运动的时间为秒，若(线段，线段)小于或等于6，直接写出的取值范围（可以等于0）． 3．（21-22七年级上·山东青岛·期末）数轴上点A表示，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B、C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点A和点D在折线数轴上的和谐距离为个单位长度．动点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒． (1)当秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为__________； (2)当点M、N都运动到折线段上时，O、M两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；C、N两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；__________时，M、N两点相遇； (3)当__________时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度；当__________时，M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等． $