精品解析：广东省肇庆市封开县封川中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

封开县封川中学2025-2026学年第一学期期中学情评估题 九年级数学 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的． 1. 母亲节当天，花店推出“康乃馨买9送2”优惠活动，但只送黄色或白色的．小丽给妈妈选了5枝红色和4枝粉色的康乃馨，又在送的两种颜色中选了2枝，她送给妈妈的花束中有黄色康乃馨的概率是（ ） A. B. C. 0 D. 以上都有可能 2. 下列不是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果，那么代数式的值是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，若，，则DF的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果． 下面有三个推断： ①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616； ②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618； ③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620． 其中合理的是（　　） A. ① B. ② C. ①② D. ①③ 6. 一元二次方程 的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 7. 点P是△ABC中AB边上一点（不与A、B重合），过P作直线截△ABC使得截得的三角形与△ABC相似，这样的直线最多作（　　） A. 2条 B. 3条 C. 4条 D. 5条 8. 方程  的两根为，则的值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 0 9. 如图，已知正方形，点E为的中点，连接交于F，则的值为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，，点为射线上一动点（不与点重合），将沿所在直线折叠，点落在点处，连接，当为直角三角形时，的长为（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 在比例尺为的地图上，相距5厘米的两地实际距离为______千米． 12. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是_______． 13. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，，分别为，的中点，连接，则的长为________． 14. 在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为______米． 15. 在平面直角坐标系中，点(2,3)到x轴的距离是________. 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16. 用直接开平方法解下列方程： （1）； （2）． 17. 珠海博物馆于年3月5日至4月6日展出四件国宝级文物（清代圆明园海晏堂部分十二生肖兽首文物原件）．小明、小华分别从离博物馆和的两地同时出发前往博物馆，小明、小华的平均速度比是，结果小明比小华提前分钟到达博物馆． （1）求小明、小华的平均速度； （2）进入博物馆后，由于即将闭馆．两人决定在四件兽首A，B，C，D中随机选择其中一件兽首参观，请用列表或画树状图法求出他们选中同一件兽首参观的概率． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）以为位似中心，在的下方画出，使与位似，且相似比为； （2）直接写出点和点的坐标． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 已知，四边形中，，，点E，F是对角线所在直线上的两点，且，． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，延长交于点N，若，求的值． 20. 如图，在正方形的内部作等边三角形，连接，对角线交于点F． （1）求证：； （2）求的度数． 21. 【项目式学习】制作“”形视力表， 【课题实施】根据标准对数视力表（测试距离为米），以小组合作方式，制作变更测试距离的视力表． 【课题结论】 （1）如图1，利用“”的高度与它到眼睛的水平距离之比（即）来刻画视力． （2）大小不同的“”，只要它们这一比值（即）相同，那么用他们测得的视力就相同． 【课题应用】 问题1：根据图2所示，水平桌面上依次放着①号和②号大小不一样的两个“”字，将②号“”沿水平桌面向右移动，直至从观测点看去，对应顶点，，在同一直线上为止，其中是①号“”字的高度，是②号“”字的高度，请用所学知识证明：此时①号字“”与②号“”字测试的视力相同． 问题2：小明想制作一张测试距离为3米的“”形视力表．以图2所示，①号“”是标准对数视力表中视力为的“”字，其高度为，求小明在制作视力为的②号“”字时，②号“”的高度应为多少?（、、在一条直线上，、、在一条直线上） 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 如图，某市近郊有一块长为，宽为的长方形荒地，政府准备在此建一个运动场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个长方形区域将铺设塑胶地面作为运动场地． （1）设通道的宽为，则_____；（用含x的代AI数式表示） （2）若塑胶运动场地总占地面积为，则通道的宽为多少米． 23. 已知在中，，，，D为边上的一点．过点D作射线，分别交边于点E、F． （1）当D为的中点时： ①如图1，若，，与的数量关系是________；与是否相等？________（填“是”或“否”）； ②将绕点D旋转到图2位置时，①中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由； （2）改变点D的位置，当点D是的三等分点时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 封开县封川中学2025-2026学年第一学期期中学情评估题 九年级数学 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的． 1. 母亲节当天，花店推出“康乃馨买9送2”优惠活动，但只送黄色或白色的．小丽给妈妈选了5枝红色和4枝粉色的康乃馨，又在送的两种颜色中选了2枝，她送给妈妈的花束中有黄色康乃馨的概率是（ ） A. B. C. 0 D. 以上都有可能 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据概率公式计算概率，根据“康乃馨买9送2”优惠活动，但只送黄色或白色，结合小丽送的两种颜色中选了2枝，进行分类讨论，即可作答． 【详解】解：由题意可知，小丽给妈妈选了5枝红色和4枝粉色的康乃馨，花店送出2枝黄色或白色的康乃馨， 当选一支黄色康乃馨时，她送给妈妈的花束中有黄色康乃馨的概率是； 当选两支黄色康乃馨时，她送给妈妈的花束中有黄色康乃馨的概率是； 当选零支黄色康乃馨时，她送给妈妈的花束中有黄色康乃馨的概率是； 综上：她送给妈妈的花束中有黄色康乃馨的概率是或或0， 故选：D 2. 下列不是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程． 【详解】A．是一元二次方程，不符合题意； B．是一元二次方程，不符合题意； C．是一元一次方程，符合题意； D．是一元二次方程，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解得定义是解答本题的关键． 3. 如果，那么代数式的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值和比例的性质，设，将x、y、z用k表示，代入求值即可． 【详解】解：设，则， ， 故选：B． 4. 如图，已知，若，，则DF的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例得，即可得出值． 【详解】解：∵直线， ∴， ， 即， ． 故选：． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 5. 如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果． 下面有三个推断： ①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616； ②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618； ③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620． 其中合理的是（　　） A. ① B. ② C. ①② D. ①③ 【答案】B 【解析】 【详解】①当频数增大时，频率逐渐稳定的值即为概率，500次的实验次数偏低，而频率稳定在了0.618，错误；②由图可知频数稳定在了0.618，所以估计频率为0.618，正确；③.这个实验是一个随机试验，当投掷次数为1000时，钉尖向上”的概率不一定是0.620.错误, 故选B. 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，能正确理解相关概念是解题的关键. 6. 一元二次方程 的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．求出根的判别式即可解答． 【详解】解：∵， ∴方程无实数根． 故选C． 7. 点P是△ABC中AB边上一点（不与A、B重合），过P作直线截△ABC使得截得的三角形与△ABC相似，这样的直线最多作（　　） A. 2条 B. 3条 C. 4条 D. 5条 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定方法分析，即可做出判断． 【详解】满足条件的直线有4条，如图所示： 如图1，过P作PE∥AC，则有△BPE∽△BAC； 如图2，过P作PE∥BC，则有△APE∽△ABC； 如图3，过P作∠AEP=∠B，又∠A=∠A，则有△APE∽△ACB； 如图4，过P作∠BEP=∠A，又∠B=∠B，则有△BEP∽△BAC， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解答的关键是对相似三角形的判定方法的理解与灵活运用． 8. 方程  的两根为，则的值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，对于方程，两根之和为，直接应用此关系即可求解． 【详解】解：∵方程 可化为标准形式 ， ∴， ， ∴． 故选：C． 9. 如图，已知正方形，点E为的中点，连接交于F，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的性质得到，证明，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 10. 如图，在矩形中，，，点为射线上一动点（不与点重合），将沿所在直线折叠，点落在点处，连接，当为直角三角形时，的长为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等知识；由矩形的性质得出，，，由折叠的性质得，，证、、三点共线，设，①点在线段上时，由勾股定理得出，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②点在线段的延长线上时，由勾股定理得出，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 由折叠的性质得：，，， 设， 当为直角三角形时，则， ， 、、三点共线， 分两种情况： ①点在线段上时，如图1所示： 则， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 解得：， ； ②点在线段的延长线上时，如图2所示： 则， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 解得：， ； 综上所述，当为直角三角形时，的长为或； 故选：C． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 在比例尺为的地图上，相距5厘米的两地实际距离为______千米． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了比例线段，根据比例尺正确进行计算并注意单位的转换是解题的关键．因为比例尺图上距离：实际距离，根据题意列出关系式即可得出实际的距离． 【详解】解：因为比例尺图上距离：实际距离， 设两地实际距离为厘米，得：， 所以相距5厘米的两地的实际距离是（厘米）（千米）， 故答案为：0.5． 12. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 画树状图得出所有等可能的结果数以及小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：设“立春”用A表示，“立夏”用B表示，“秋分”用C表示，“大寒”用D表示，画树状图如下： 由图可得，一共有12种等可能性的结果，其中小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的可能性有2种， ∴小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是=． 13. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，，分别为，的中点，连接，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、三角形中位线定理和勾股定理，熟练掌握菱形对角线互相垂直平分的性质以及中位线定理是解题的关键．先利用菱形对角线的性质求出线段长度，再通过构造中位线得到相关线段的长度，最后用勾股定理计算的长． 【详解】解：如图，过点作交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵点是的中点，， ∴， ∴点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵是中点， ∴，， ∴根据勾股定理，得． 故答案为：． 14. 在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为______米． 【答案】## 【解析】 【分析】根据点E是AB的黄金分割点，可得，代入数值得出答案． 【详解】∵点E是AB的黄金分割点， ∴． ∵AB=2米， ∴米． 故答案为：（）． 【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键． 15. 在平面直角坐标系中，点(2,3)到x轴的距离是________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的长度解答． 【详解】解：点到x轴的距离是3， 故答案为3． 【点睛】考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度是解题的关键． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16. 用直接开平方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程、平方差公式的应用，熟练掌握直接开平方法的步骤（将方程化为完全平方式，再开平方求解）是解题的关键． （1）先利用平方差公式化简方程，再通过直接开平方法求解； （2）先整理方程得到完全平方式，再通过直接开平方法求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ． 17. 珠海博物馆于年3月5日至4月6日展出四件国宝级文物（清代圆明园海晏堂部分十二生肖兽首文物原件）．小明、小华分别从离博物馆和的两地同时出发前往博物馆，小明、小华的平均速度比是，结果小明比小华提前分钟到达博物馆． （1）求小明、小华的平均速度； （2）进入博物馆后，由于即将闭馆．两人决定在四件兽首A，B，C，D中随机选择其中一件兽首参观，请用列表或画树状图法求出他们选中同一件兽首参观的概率． 【答案】（1）小明的平均速度为 ，小华的平均速度为； （2）． 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法求概率、分式方程的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据题意，设小明的平均速度为，小华的平均速度为，则可列方程为求出x的值，即可得出答案； （2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及他们选中同一件兽首参观的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：小明的平均速度为，则小华的平均速度为， 由题意得 解得． 经检验，是原方程的解且符合题意． ，． ∴小明的平均速度为 ，小华的平均速度为； 【小问2详解】 解：画树状图如答案图： 共有种等可能的结果，其中他们选中同一件兽首参观的结果有4种， ∴他们选中同一件兽首参观的概率为  ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）以为位似中心，在的下方画出，使与位似，且相似比为； （2）直接写出点和点的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了位似作图、图形与坐标等知识点，掌握位似的性质是解题的关键． （1）先在网格中作出A、C的对应点、，然后顺次连接即可解答； （2）根据（1）作图中点、的位置，直接写出坐标即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：由图可得，，． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 已知，四边形中，，，点E，F是对角线所在直线上的两点，且，． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，延长交于点N，若，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，勾股定理以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是： （1）先证明四边形是平行四边形，得出，，进而得出，然后证明四边形是平行四边形，最后根据矩形的判定即可得证； （2）设，则，根据勾股定理求出，根据等面积法求出，再根据勾股定理求出，，证明，然后根据相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：连接交于O， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 又， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是矩形； 【小问2详解】 解：设，则， 在矩形中，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∴， ∴． 20. 如图，在正方形的内部作等边三角形，连接，对角线交于点F． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到，根据等边三角形的性质得到，进而证明，接着证明，则； （2）证明，由，求出，则． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理等等，熟知正方形的性质和等边三角形的性质是解题的关键． 21. 【项目式学习】制作“”形视力表， 【课题实施】根据标准对数视力表（测试距离为米），以小组合作方式，制作变更测试距离的视力表． 【课题结论】 （1）如图1，利用“”的高度与它到眼睛的水平距离之比（即）来刻画视力． （2）大小不同的“”，只要它们这一比值（即）相同，那么用他们测得的视力就相同． 【课题应用】 问题1：根据图2所示，水平桌面上依次放着①号和②号大小不一样的两个“”字，将②号“”沿水平桌面向右移动，直至从观测点看去，对应顶点，，在同一直线上为止，其中是①号“”字的高度，是②号“”字的高度，请用所学知识证明：此时①号字“”与②号“”字测试的视力相同． 问题2：小明想制作一张测试距离为3米的“”形视力表．以图2所示，①号“”是标准对数视力表中视力为的“”字，其高度为，求小明在制作视力为的②号“”字时，②号“”的高度应为多少?（、、在一条直线上，、、在一条直线上） 【答案】问题1：证明：由题可得 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴①号“”字与②号“字”测试的视力相同 问题2： 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用；问题1：证明，根据相似三角形的性质可得； 问题2：根据相似三角形的性质，将数据代入比例式，即可求解． 【详解】问题1：略 问题2：由（1）可得 ∵ ∴ ∴ 答：②号“”的高度应为 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 如图，某市近郊有一块长为，宽为的长方形荒地，政府准备在此建一个运动场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个长方形区域将铺设塑胶地面作为运动场地． （1）设通道的宽为，则_____；（用含x的代AI数式表示） （2）若塑胶运动场地总占地面积为，则通道的宽为多少米． 【答案】（1）； （2）通道的宽为． 【解析】 【分析】本题主要考查列代数式及一元二次方程的应用，理解题意，找准面积之间的关系是解题关键． （1）结合图形列代数式表示即可； （2）结合图形，利用整个长方形面积减去黑色部分的面积可得方程，求解即可得． 【小问1详解】 解：设通道的宽为，则； 【小问2详解】 解：根据题意得 ， 整理得， 解得 (不符合题意，舍去)． 即通道的宽为． 23. 已知在中，，，，D为边上的一点．过点D作射线，分别交边于点E、F． （1）当D为的中点时： ①如图1，若，，与的数量关系是________；与是否相等？________（填“是”或“否”）； ②将绕点D旋转到图2位置时，①中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由； （2）改变点D的位置，当点D是的三等分点时，直接写出的值． 【答案】（1）①，是； ②，理由： 如图，过点作于点，作于点， 则， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ， 由①知，， ， 即． （2）的值为1或4 【解析】 【分析】（1）①证明四边形是矩形，根据矩形的性质即可证明；证明，根据相似三角形的性质可得，即可得出答案； ②过点作于点，作于点，利用同角的余角相等得，则，可知，由①知，，即可证明； （2）过点作于点于点，根据，可得，再证明，得出，分为①当时，和②当时，分别计算即可； 【小问1详解】 解：①∵， ∴四边形是矩形， ∴； ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 则， 故答案为：，是； ②略 【小问2详解】 如图，过点作于点于点， ， ∴四边形是矩形， ∴， 由（1）②可得， ， ∵， ∴， ， ①当时， 则， ∴， ； ②当时， 则， ∴， ； 综上，的值为1或4． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $