专题01 函数的性质与图像综合8大题型（专题专练）（上海专用） 2026年高考数学二轮复习讲练测

专题01 函数的性质与图像综合 目录 第一部分 考向速递 洞察考向，感知前沿 第二部分 题型归纳 梳理题型，突破重难 题型01 函数的单调性 题型02函数的奇偶性 题型03函数的周期性与对称性 题型04函数的值域 题型05函数的图像 题型06函数新定义 题型07函数性质综合 题型08 数学二建模-函数的应用 第三部分 分层突破 固本培优，精准提分 A组·基础保分练 B组·重难提升练 1．（函数值）《面朝大海，春暖花开》是中国当代诗人海子于1989年创作的抒情诗，诗中写道： 从明天起，做一个幸福的人 喂马、劈柴，周游世界 从明天起，关心粮食和蔬菜 我有一所房子，面朝大海，春暖花开 从明天起，和每一个亲人通信 告诉他们我的幸福 那幸福的闪电告诉我的 我将告诉每一个人 给每一条河每一座山取一个温暖的名字 陌生人，我也为你祝福 愿你有一个灿烂的前程 愿你有情人终成眷属 愿你在尘世获得幸福 我只愿面朝大海，春暖花开 若定义该诗的第n行的字数（标点符号不计入字数）为，则 . 2．（函数图像）已知向量，，则函数的大致图象不可能为（ ） A．B．C．D． 3．（函数单调性）设函数的定义域为D，对于区间，当且仅当函数满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间I是的一个“美好区间”． 性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有． (1)已知，分别判断区间和区间是否为函数的“美好区间”，并说明理由； (2)已知且，若区间是函数的一个“美好区间”，求实数m的取值范围； 01函数的单调性 1．下列函数中，对任意的、时，均有的是（   ） A． B． C． D． 2．函数的单调递增区间为 ． 3．已知函数则不等式的解集是 . 4．设函数对任意有成立，则实数a的取值范围是 ． 5． 已知函数 是 上的增函数，则 的取值范围是 . 02函数的奇偶性 6．设为定义在R上的奇函数，当时，（b为常数），则 . 7．函数是偶函数，且定义域是，则 ． 8．已知，若定义在上的函数是奇函数，则实数的值为 . 9．设常数，是定义域为的偶函数.当时，；若对一切成立，则的取值范围是 . 10.已知幂函数为偶函数，． (1)求的解析式； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)若函数在上是严格增函数，求k的取值范围． 03函数的周期性与对称性 11．已知定义在R上的奇函数满足，且当时，，则 ． 12．定义在实数集R上的函数满足，，且当时，，则满足的取值范围为 . 13．已知函数，若方程有2个根，则的范围是 ． 14．设定义在上的偶函数满足，它在区间上的图像为如图所示的线段，则方程的最大实数根的值为 ． 15． 定义在上的偶函数满足，则 ； . 04函数的值域 16．设函数，则 ． 18．若函数为奇函数，则函数，的值域为 . 19．若函数的值域是，则函数的值域为 ． 20．若函数存在最小值，则实数的取值范围为 ． 05函数的图像 21．已知函数，其中，，其中，则图象如图所示的函数可能是（    ）． A． B． C． D． 22．已知函数的图像如图所示，则函数的表达式可能为（    ）. A． B． C． D． 23.已知定义在区间上的函数是偶函数，其导函数的大致图像如图.若，则不等式的解集为 . 06函数新定义 24．设函数和的定义域为D，若存在非零实数，使得，则称函数和在D上具有性质P．现有三组函数：①，；②，；③，．其中具有性质P的组数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 25．设，用表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，如:. 现有关于“取整函数”的两个命题: ① 集合是单元素集: ②对于任意成立，则以下说法正确的是（     ） A．①②都是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①②都是真命题 26．在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数.双曲正切函数是一种激励函数，定义双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数，有如下四个结论：①双曲正弦函数是增函数；②双曲余弦函数是增函数；③双曲正切函数是增函数；④则正确的结论是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①③ D．①④ 27．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”，已知函数在上为“局部奇函数”，则实数的最小值为 . 28．设是定义在上的偶函数，且对任意整数、，都有，其中表示实数、中的较大者.若，，则的所有可能取值组成的集合为 . 07函数性质综合 29．已知函数和的定义域都为，且图象都是连续不断的，则“和都是奇函数”是“存在最大值或存在最小值”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 30．已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 31．已知定义在上的函数满足，且，则（ ） A． B．为奇函数 C．有零点 D． 32．已知函数，若有四个不同的解，且，则的最小值为 . 08数学建模-函数的应用 33．研究发现：汽车在高速公路上行驶，发现紧急情况需要刹车时，刹车距离反应距离+制动距离．其中反应距离与汽车行驶速度成正比，比例系数为；制动距离与汽车行驶速度的平方成正比，比例系数为．下表是通过试验观测得到的、、的对应关系： 56 11.9 0.213 16.0 0.00510 64 13.4 0.209 21.9 0.00535 72 15.2 0.211 28.2 0.00544 80 16.7 0.209 36.0 0.00563 89 18.6 0.209 45.3 0.00572 97 20.1 0.207 55.5 0.00590 105 21.9 0.209 67.2 0.00610 用表中比例系数与的平均数作为参数、的估计值．那么根据上表数据，估计时，刹车距离约为 ．（结果精确到0.1） 34．1798年，人口学家马尔萨斯假设：单位时间内的人口增长量与人口数成正比，进而建立马尔萨斯人口增长模型.19世纪中叶的生物学家们发现，由于人类生存条件的限制，存在人口最大瞬时增长率，当达到时，人口增长率会随着的增长而下降，因此需要改进马尔萨斯的假设．他们假设：①是随着时间连续变化的函数；②存在最大人口数，人口数达到时，；③仅与和有关；④，那么在这些条件下建立的人口增长模型 ．（用含有、、的式子表示） 35．在研究“人在雨中行走，如何让被淋雨的程度尽可能低”时，可以将人体视为一个长方体.如图，长方体在雨中沿面（面积为）的垂直方向作匀速移动，速度为，雨速沿移动方向的分速度为.移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：①或的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与成正比，比例系数为；②其它面的淋雨量之和，其值为，记移动距离为d，y为移动过程中的总淋雨量. (1)求总淋雨量的表达式（用含有v、d、S、c的表达式表示）； (2)已知且，设，试根据的不同取值范围，确定移动速度，使总淋雨量最少. 36．某公园有一块如图所示的区域OACB，该场地由线段OA，OB，AC及曲线段BC围成.经测量，，米，曲线BC是以OB为对称轴的抛物线的一部分，点C到OA和OB的距离都是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场OEDF，其中点D在线段AC或曲线段BC上，点E，F分别在线段OA，OB上，且该游乐场最短边长不低于30米.设米，游乐场的面积为S平方米. (1)试建立平面直角坐标系，求曲线段BC的方程； (2)求面积S关于x的函数解析式； (3)试确定点D的位置，使得游乐场的面积S最大.（结果精确到0.1米） 1．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 2．设，若为偶函数，则 ． 3．已知函数，则 ． 4．已知为实数，且函数，是偶函数，则 . 5．已知函数，则 ， 6．设，若，则实数的取值范围是 . 7．已知函数的表达式为，则的解集为 . 8．已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域为 ． 9．设函数，则使得成立的的取值范围是 . 10．设为常数，若，则函数的图象必定不经过第 象限 1．函数在的图象大致为（    ） A． B． C． D．          2．若函数 在区间上的最大值是 ，最小值是 ，则 的值（        ） A．与 有关， 且与 有关 B．与 有关， 但与 无关 C．与 无关， 且与 无关 D．与 无关， 但与 有关 3．已知函数的定义域为，则命题“是偶函数”是命题“对一切实数都成立”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 4．已知定义在R上的偶函数，其周期为4，当时，，对于下列两个命题：①②的值域为.判断正确的是（    ）. A．①②都对 B．①②都错 C．①对②错 D．①错②对 5．已知幂函数f(x)的图象经过点，则不等式的解集是 . 6．已知函数在上为严格减函数，则实数的取值范围为 . 7．已知函数，则函数的值域为 ． 8．若函数为上严格增函数，则实数的取值范围是 ． 9．已知函数，满足对任意，都有成立，则的取值范围是 . 10．已知，且，则实数的取值范围是 . 11．比较两数的大小： ． 12．某同学根据数学家牛顿的物体冷却模型：若物体原来的温度为（单位：），环境温度为，单位），物体的温度冷却到，单位：）需用时（单位：分钟），推导出函数关系为为正的常数.现有一壶开水（）放在室温为的房间里，下面三个选项中正确的是 ． （1）函数关系也可作为这壶开水的冷却模型； （2）当时，这壶开水冷却到大约需要28分钟； （3）这壶水从冷却到所需时间比从冷却到所需时间短. 13．已知函数，其中为奇函数，为实数. (1)求的值，指出函数的单调性并说明理由； (2)若存在实数，使得成立，求实数的取值范围． 14．已知函数. (1)若函数为奇函数，求的最大值. (2)若函数为偶函数，且在上恒成立，求实数的取值范围. 15．若存在实数常数k，m，对任意，不等式恒成立，则称直线是函数和函数在上的分界线． (1)请写出函数和函数在上的一条斜率为1的分界线；（不必证明） (2)求证：函数和函数在上过坐标原点的分界线有且只有一条； 16．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”. (1)已知，试判断是否为“类函数”. (2)设是定义在上的“类函数”，求实数m的最小值； (3)若为其定义域上的“类函数”，求实数m的取值范围. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 函数的性质与图像综合 目录 第一部分 考向速递 洞察考向，感知前沿 第二部分 题型归纳 梳理题型，突破重难 题型01 函数的单调性 题型02函数的奇偶性 题型03函数的周期性与对称性 题型04函数的值域 题型05函数的图像 题型06函数新定义 题型07函数性质综合 题型08 数学二建模-函数的应用 第三部分 分层突破 固本培优，精准提分 A组·基础保分练 B组·重难提升练 1．（函数值）《面朝大海，春暖花开》是中国当代诗人海子于1989年创作的抒情诗，诗中写道： 从明天起，做一个幸福的人 喂马、劈柴，周游世界 从明天起，关心粮食和蔬菜 我有一所房子，面朝大海，春暖花开 从明天起，和每一个亲人通信 告诉他们我的幸福 那幸福的闪电告诉我的 我将告诉每一个人 给每一条河每一座山取一个温暖的名字 陌生人，我也为你祝福 愿你有一个灿烂的前程 愿你有情人终成眷属 愿你在尘世获得幸福 我只愿面朝大海，春暖花开 若定义该诗的第n行的字数（标点符号不计入字数）为，则 . 【答案】 【解析】由题意，则. 故答案为： 2．（函数图像）已知向量，，则函数的大致图象不可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据向量数量积的坐标运算得函数解析式，然后分，，讨论即可. 【精细解析】因为，所以. 当时，，故A符合题意； 当时，二次函数的图象开口向上， 由，解得或， 所以，的零点为0和，且，故B符合题意，C与题意不符； 当时，二次函数的图象开口向下，的零点为0和，且，故D符合题意. 故选：C. 3．（函数单调性）设函数的定义域为D，对于区间，当且仅当函数满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间I是的一个“美好区间”． 性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有． (1)已知，分别判断区间和区间是否为函数的“美好区间”，并说明理由； (2)已知且，若区间是函数的一个“美好区间”，求实数m的取值范围； 【答案】(1)是，不是，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【解析】（1）区间是，区间不是，理由如下： 由， 当时，， 所以区间是函数的“美好区间”； 当时，，不是的子集，且， 所以不是的“美好区间”. （2）由题意，，故只能满足性质①， 而，令，得，令，得或， 所以函数在上单调递增，在和上单调递减， 令或， 令或， 由，故取为m的最小值，故． 01函数的单调性 1．下列函数中，对任意的、时，均有的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，对任意的、时，均有，所以函数在上单调递增. 对A：因为，所以幂函数在上单调递减，不合题意； 对B：因为函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，不合题意； 对C：因为，所以指数函数在上单调递增，在上就是单调递增，符合题意； 对D：因为，所以对数函数在上单调递减，不合题意. 故选：C 2．函数的单调递增区间为 ． 【答案】 【解析】由，得或，所以函数的定义域为， 令，则，因为在上单调递减， 且在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数的单调性可知函数的单调递增区间为． 故答案为：． 3．已知函数则不等式的解集是 . 【答案】 【解析】由函数 可得当时，递增，当时，递增；且时函数连续， 故函数在上递增， 则不等式，等价于，即， 解得或， 即原不等式的解集为. 故答案为：. 4．设函数对任意有成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】对任意有，则函数为R上的增函数， 又易知在上单调递增， 则，解得，即实数a的取值范围是. 故答案为： 5．已知函数 是 上的增函数，则 的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为在R上是增函数， 所以时，单调递增，则； 时，单调递增，则； 且在处，左段函数值不大于右段函数值， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 02函数的奇偶性 6．设为定义在R上的奇函数，当时，（b为常数），则 . 【答案】-1 【解析】解：∵为定义在R上的奇函数， ∴， 当时，（b为常数）， ∴，得， 即当时，， 则， 故答案为：-1. 7．函数是偶函数，且定义域是，则 ． 【答案】2 【解析】是偶函数，且定义域是， 且，则， 又， ，故， . 故答案为：2. 8．已知，若定义在上的函数是奇函数，则实数的值为 . 【答案】 【解析】因为函数是定义在上的奇函数， 当时，，，则， 因为函数为奇函数，则，即，解得， 所以，， 当时，，，，满足，合乎题意， 所以，若函数为奇函数，则. 故答案为：. 9．设常数，是定义域为的偶函数.当时，；若对一切成立，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为是定义域为的偶函数，当时，， 所以当时，则； 因为对一切成立，即对一切成立，整理得对一切成立， 对于，由基本不等式，当且仅当，即时取等号， 因为对一切成立，所以，解得， 又因为，所以的取值范围是. 故答案为：. 10.已知幂函数为偶函数，． (1)求的解析式； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)若函数在上是严格增函数，求k的取值范围． 【答案】(1)； (2)当时， 为偶函数，当时，为非奇非偶函数； (3). 【解析】（1）因为为偶函数，所以 解得或 当时，为偶函数，满足题意 当时，是非奇非偶函数，不满足题意 所以 （2）因为，所以 所以当时，，为偶函数， 当时，，为非奇非偶函数， （3）因为函数在上是严格增函数， 所以当时，，即 所以， 因为，所以，所以 因为，所以，所以 03函数的周期性与对称性 11．已知定义在R上的奇函数满足，且当时，，则 ． 【答案】/ 【解析】因为定义在R上的奇函数，且时，， 所以，解得，即时，. 因为， 所以，则函数的周期为， 所以. 因为， 所以. 故答案为： 12．定义在实数集R上的函数满足，，且当时，，则满足的取值范围为 . 【答案】 【解析】由，可得函数周期为4，当时，，又得关于对称， 作出函数在上图象， 由图像可得，在上满足的取值范围是，又函数周期为4， 所以函数满足的取值范围是. 故答案为：. 13．已知函数，若方程有2个根，则的范围是 ． 【答案】 【解析】因为， 当时，由单调递增， ∴在上单调递增， ∴当时，， 当时，所以， 综上，函数的值域为， 作出函数的图象与直线如图所示：    函数有2个零点，即与有2个交点， 所以，即. 故答案为：. 14．设定义在上的偶函数满足，它在区间上的图像为如图所示的线段，则方程的最大实数根的值为 ． 【答案】 【解析】由图象知，设的方程为，则， 则的方程为：（）， 又因为是偶函数， 所以当时，则， 所以， 由，可得的图象关于直线对称， 又，所以， 所以的周期． 因为，所以， 则方程的根为交点的横坐标. 则作出函数和的大致图象如图， 由图象知，，， 则当时，方程取得最大根， 当时，，， 由得，即， 解得（舍）或. 故答案为：. 15．定义在上的偶函数满足，则 ； . 【答案】 【解析】因为，令，可得，则； 由函数为偶函数，则， 由， 令，则，即， 所以，则， 又，所以，则， 因此可得，故函数是一个周期为的函数； 在中，令，可得， 又，所以， 在中，令，可得， 又，所以， 则， 所以 . 故答案为：；. 04函数的值域 16．设函数，则 ． 【答案】 【解析】由题知，， 所以， 所以. 故答案为： 17．设，若，则 . 【答案】 【解析】由题意知， 所以， 所以. 故答案为：3. 18．若函数为奇函数，则函数，的值域为 . 【答案】 【解析】当时，，因为为奇函数，则，所以，所以，时值域为. 故答案为：. 19．若函数的值域是，则函数的值域为 ． 【答案】 【解析】因为函数的值域是， 所以函数的值域为， 则的值域为， 所以函数的值域为． 故答案为：． 20．若函数存在最小值，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】当时，， 若时，；若时，， 故当时，函数的最小值为0； 当时，函数在上单调递增，且， 所以函数不存在最小值； 当时，函数在上单调递减，此时， 若且时，， 因为函数存在最小值，则，解得， 所以； 若且时，函数在上单调递增， 则， 因为函数存在最小值，则，即，该不等式无解； 综上，实数t的取值范围是， 故答案是：. 05函数的图像 21．已知函数，其中，，其中，则图象如图所示的函数可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】易知是偶函数， 是奇函数，给出的函数图象对应的是奇函数， A. ，定义域为R， 又，所以是奇函数，符合题意，故正确； B. ，，不符合图象，故错误； C. ，定义域为R， 但，故函数是非奇非偶函数，故错误； D. ，定义域为R， 但，故函数是非奇非偶函数，故错误， 故选：A 22．已知函数的图像如图所示，则函数的表达式可能为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由函数的图象可得函数的定义域，且为偶函数， 对于A，函数定义域，且， 所以函数为定义域上的奇函数，所以A不符合题意； 对于B，函数定义域，且， 所以函数为定义域上的奇函数，所以B不符合题意； 对于C，由函数，当时，可得与图象不符，所以C不符合题意； 对于D，函数定义域为，且， 所以函数为偶函数， 当时，；当时，，所以D符合题意. 故选：D. 23.已知定义在区间上的函数是偶函数，其导函数的大致图像如图.若，则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】在区间上的函数是偶函数， 由图知在单调递增，单调递减. 不等式， 当时，，则有， 当时，，则有， 所以不等式的解集为. 故答案为： 06函数新定义 24．设函数和的定义域为D，若存在非零实数，使得，则称函数和在D上具有性质P．现有三组函数：①，；②，；③，．其中具有性质P的组数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】对于①：显然存在，满足，具有性质P； 对于②：若存在，使得，则， 所以，解得，不具有性质P； 对于③令，则（当且仅当时取等号）恒成立， 所以在上单调递增有唯一零点，又，所以这组函数不具有性质； 故具有性质的只有①组. 故选：B. 25．设，用表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，如:. 现有关于“取整函数”的两个命题: ① 集合是单元素集: ②对于任意成立，则以下说法正确的是（     ） A．①②都是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①②都是真命题 【答案】B 【解析】对于①，当时，，方程化为，则； 当时，，方程化为，则； 当时，，方程化为，无解， 因此，①是假命题； 对于②，令，则，， 当时，，， 则，； 当时，，， 则，， 因此对任意，，②是真命题， 故选：B 26．在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数.双曲正切函数是一种激励函数，定义双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数，有如下四个结论：①双曲正弦函数是增函数；②双曲余弦函数是增函数；③双曲正切函数是增函数；④则正确的结论是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①③ D．①④ 【答案】B 【解析】令，则恒成立，故为增函数，①正确； 对于函数，和时，函数值相等，显然不是增函数，②错误； ，显然递增，③正确； 因为， ，④正确. 故选：B. 27．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”，已知函数在上为“局部奇函数”，则实数的最小值为 . 【答案】 【解析】函数的定义域为， 由题意可知，存在，使得，即， 可得，所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，实数的最小值为1. 故答案为：1. 28．设是定义在上的偶函数，且对任意整数、，都有，其中表示实数、中的较大者.若，，则的所有可能取值组成的集合为 . 【答案】 【解析】，， ，即； ，即； ，即； …… ，即； ，即； 所以由偶函数性质可得，是任意整数， 由偶函数性质知， 故对任意整数，与两者中至少有一个为“1”， 又，则. 故答案为： 07函数性质综合 29．已知函数和的定义域都为，且图象都是连续不断的，则“和都是奇函数”是“存在最大值或存在最小值”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】当时，满足函数和的定义域都为， 且图象都是连续不断的，也满足“和都是奇函数”， 所以， 又函数和的定义域都为，且图象都是连续不断的， 所以函数定义域为，且图象是连续不断的， 所以函数是偶函数， 但因为函数，其函数值周期性出现， 于是函数的函数值在之间周期性震荡，如图所示，    所以“不存在最大值或存在最小值”，故充分性不成立； 当时，满足函数和的定义域都为， 且图象都是连续不断的，也满足存在最值， 但此时均不是奇函数，故必要性不成立. 所以“和都是奇函数”是“存在最大值或存在最小值”的既不充分也不必要条件. 故选：D 30．已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得， 取，则，充分性成立； 取，，则对任意，一定存在，使得， 取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立； 所以“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件. 故选：A. 31．已知定义在上的函数满足，且，则（ ） A． B．为奇函数 C．有零点 D． 【答案】D 【解析】对于A，因为，令，可得， 因为，所以，所以A不正确； 对于B，由函数的定义域为，且，显然函数的图象不过坐标原点，所以函数不是奇函数，所以B不正确； 对于C，令，得，即， 解得或，显然函数没有零点，所以C不正确； 对于D，令，可得，即， 所以，所以D正确. 故选：D. 32．已知函数，若有四个不同的解，且，则的最小值为 . 【答案】-63 【解析】当时，为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因为有四个不同的解， 所以图象与图象有四个不同的交点，如图所示 根据二次函数的对称性可得，即， 又， 所以，解得， 又，所以， 当时，，解得，所以， 则所求， 因为在单调递减，则最小值为， 所以的最小值为. 故答案为：-63 08数学建模-函数的应用 33．研究发现：汽车在高速公路上行驶，发现紧急情况需要刹车时，刹车距离反应距离+制动距离．其中反应距离与汽车行驶速度成正比，比例系数为；制动距离与汽车行驶速度的平方成正比，比例系数为．下表是通过试验观测得到的、、的对应关系： 56 11.9 0.213 16.0 0.00510 64 13.4 0.209 21.9 0.00535 72 15.2 0.211 28.2 0.00544 80 16.7 0.209 36.0 0.00563 89 18.6 0.209 45.3 0.00572 97 20.1 0.207 55.5 0.00590 105 21.9 0.209 67.2 0.00610 用表中比例系数与的平均数作为参数、的估计值．那么根据上表数据，估计时，刹车距离约为 ．（结果精确到0.1） 【答案】 【解析】设刹车距离为，由题意可得， 由表格中的数据可得， ， 所以，，故. 所以，当时，刹车距离约为. 故答案为：. 34．1798年，人口学家马尔萨斯假设：单位时间内的人口增长量与人口数成正比，进而建立马尔萨斯人口增长模型.19世纪中叶的生物学家们发现，由于人类生存条件的限制，存在人口最大瞬时增长率，当达到时，人口增长率会随着的增长而下降，因此需要改进马尔萨斯的假设．他们假设：①是随着时间连续变化的函数；②存在最大人口数，人口数达到时，；③仅与和有关；④，那么在这些条件下建立的人口增长模型 ．（用含有、、的式子表示） 【答案】 【解析】根据假设，可得， 当时，，代入可得，解得， 由单位时间内的人口增长量与成正比，可得， 将，代入可得， 所以假设下建立的人口增长模型. 故答案为：. 35．在研究“人在雨中行走，如何让被淋雨的程度尽可能低”时，可以将人体视为一个长方体.如图，长方体在雨中沿面（面积为）的垂直方向作匀速移动，速度为，雨速沿移动方向的分速度为.移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：①或的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与成正比，比例系数为；②其它面的淋雨量之和，其值为，记移动距离为d，y为移动过程中的总淋雨量. (1)求总淋雨量的表达式（用含有v、d、S、c的表达式表示）； (2)已知且，设，试根据的不同取值范围，确定移动速度，使总淋雨量最少. 【答案】(1)，其中. (2)答案见解析 【解析】（1）解：由题意知，移动时单位时间内淋雨量为， 所以总淋雨量的表达式，其中. （2）解：当且，设， 由（1）得，总淋雨量的表达式， 当时，可得； 当时，可得， 所以， 当时，函数是关于的减函数，所以当时，； 当时，函数是关于的函数，在上为减函数，在上为增函数， 所以当时，， 综上，当时，；若时，. 36．某公园有一块如图所示的区域OACB，该场地由线段OA，OB，AC及曲线段BC围成.经测量，，米，曲线BC是以OB为对称轴的抛物线的一部分，点C到OA和OB的距离都是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场OEDF，其中点D在线段AC或曲线段BC上，点E，F分别在线段OA，OB上，且该游乐场最短边长不低于30米.设米，游乐场的面积为S平方米. (1)试建立平面直角坐标系，求曲线段BC的方程； (2)求面积S关于x的函数解析式； (3)试确定点D的位置，使得游乐场的面积S最大.（结果精确到0.1米） 【答案】(1) (2) (3)当点D在曲线段BC上且其到OA的距离约为66.7米时，游乐场的面积S最大 【解析】（1）以O为坐标原点，OA、OB所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系.如图所示，则，，. 设曲线段BC所在抛物线的方程为. 由题意可知，点和在此抛物线上， 故， 所以曲线段BC的方程为： （2）由题意，线段AC的方程为. 当点D在曲线段BC上时，. 当点D在线段AC上时，. 所以 （3）当时，，令，得，（舍去）. 当时，；当时，. 因此当时，是极大值，也是最大值 当时， 当时，是最大值 因为 所以当时，S取得最大值，此时 所以当点D在曲线段BC上且其到OA的距离约为66.7米时，游乐场的面积S最大 1．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A：是非奇非偶函数，不是奇函数，故A错误； 对于B：是奇函数又是增函数，故B正确； 对于C：是非奇非偶函数，不是奇函数，故C错误； 对于D：是非奇非偶函数，不是奇函数，故D错误； 故选：B 2．设，若为偶函数，则 ． 【答案】 【解析】解：由题可知，当时，，满足， ∴是偶函数； 当时，不满足， ， 故答案为：． 3．已知函数，则 ． 【答案】1 【解析】函数，所以. 故答案为：1 4．已知为实数，且函数，是偶函数，则 . 【答案】1 【解析】因为二次函数，是偶函数，则，解得. 故答案为：1. 5．已知函数，则 ， 【答案】 【解析】解：∵函数， ∴， ． 故答案为． 6．设，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】当时，函数在上单调递减， 不等式，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 7．已知函数的表达式为，则的解集为 . 【答案】 【解析】因为，对于不等式， 则或， 解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 8．已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域为 ． 【答案】 【解析】将点代入可得，即， 可得， 因为，可得，所以该幂函数的值域是. 故答案为：. 9．设函数，则使得成立的的取值范围是 . 【答案】 【解析】，定义域为， 因为， 所以为奇函数. 因为，所以在上为增函数. 所以， 即，解得. 故答案为： 10．设为常数，若，则函数的图象必定不经过第 象限 【答案】二 【解析】已知, 则指数函数单调递增，过定点，且， 函数的图象是由函数函数向下平移个单位， 作出函数的图象，可知图象必定不经过第二象限. 故答案为：二. 1．函数在的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于轴对称， 因为， 所以排除选项； 当时，有一零点，设为，当时，为减函数， 当时，为增函数． 故选：D.          2．若函数 在区间上的最大值是 ，最小值是 ，则 的值（        ） A．与 有关， 且与 有关 B．与 有关， 但与 无关 C．与 无关， 且与 无关 D．与 无关， 但与 有关 【答案】B 【解析】由的对称轴为， 当时，即时，在单调递增， 所以， 所以， 当时，即时，在单调递减， 所以， 所以， 当时，即时， ， 所以， 当时，即时， ， 所以， 所以， 所以与 有关， 但与 无关， 故选：B. 3．已知函数的定义域为，则命题“是偶函数”是命题“对一切实数都成立”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【解析】解：根据题意，若是偶函数，即，必有成立， 反之，若，当时，有，则函数为偶函数， 故题“是偶函数”是命题“对一切实数都成立”的充分必要条件， 故选：C． 4．已知定义在R上的偶函数，其周期为4，当时，，对于下列两个命题：①②的值域为.判断正确的是（    ）. A．①②都对 B．①②都错 C．①对②错 D．①错②对 【答案】D 【解析】因为函数是周期为4的周期函数， 所以，故①错. 当时，，所以，即， 又因为函数是偶函数，所以，可得， 所以当时，， 又因为函数是周期为4的周期函数，所以的值域为，故②对. 故选：D. 5．已知幂函数f(x)的图象经过点，则不等式的解集是 . 【答案】 【解析】设幂函数为，代入可得， 即，解得，所以， 由函数在上单调递增，得，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 6．已知函数在上为严格减函数，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】令，函数在上单调递增， 而函数在上为严格减函数， 则，，且在上单调递减， 因此，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 7．已知函数，则函数的值域为 ． 【答案】 【解析】因为在单调递增，所以， 而当时，由基本不等式可得，等号成立当且仅当， 综上所述，函数的值域为. 故答案为：. 8．若函数为上严格增函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由于函数为上严格增函数， 令，则在时单调递增，令， 即在时恒成立，只需， 从而要使函数为上严格增函数，需满足，解得. 故答案为：. 9．已知函数，满足对任意，都有成立，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】对任意，都有成立，可知函数在上单调递减， 则，解得， 故答案为：. 10．已知，且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】令，等价于，可得，解得， 可知函数的定义域为， 因为，即， 可知函数为奇函数， 且， 因为在内单调递增，则在内单调递减， 且在定义域内单调递增，可知函数在内单调递减， 若，则， 可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 11．比较两数的大小： ． 【答案】 【解析】设函数， 由，令，解得： 当， 当， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以， 即， 即， 所以， 因为函数在单调递增， 所以， 故答案为：. 12．某同学根据数学家牛顿的物体冷却模型：若物体原来的温度为（单位：），环境温度为，单位），物体的温度冷却到，单位：）需用时（单位：分钟），推导出函数关系为为正的常数.现有一壶开水（）放在室温为的房间里，下面三个选项中正确的是 ． （1）函数关系也可作为这壶开水的冷却模型； （2）当时，这壶开水冷却到大约需要28分钟； （3）这壶水从冷却到所需时间比从冷却到所需时间短. 【答案】（2）（3） 【解析】对于（1），由于， 得，整理得，所以（1）错误； 对于（2），时，所以（2）正确； 对于（3），设壶水从到所需时间为，则 设壶水从到所需时间为，则， ，所以，故（3）正确； 故答案为：（2）（3）． 13．已知函数，其中为奇函数，为实数. (1)求的值，指出函数的单调性并说明理由； (2)若存在实数，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，为单调递减函数，理由见解析， (2) 【解析】（1）由于函数的定义域为,且为奇函数， 故，故， 当时，，满足题意， 故， 为单调递减函数，理由如下： ，由于为单调递增，且恒为正，故为单调递减函数，因此为单调递减函数， （2）由可得， 由于为单调递减函数，故，即， 故存在实数，使得，所以， 由于，故， 14．已知函数. (1)若函数为奇函数，求的最大值. (2)若函数为偶函数，且在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)9 (2) 【解析】（1）当函数为奇函数， 则，∵，则， ∴ 故的最大值为9. （2）函数为偶函数， 则，∵不恒为0，∴， 令， ， 令中， ∴，当且仅当，即时取等号， ∴，， 即，令函数， ∵在上单调递减，在上单调递减， ∴在上单调递减， ∴， 即. 15．若存在实数常数k，m，对任意，不等式恒成立，则称直线是函数和函数在上的分界线． (1)请写出函数和函数在上的一条斜率为1的分界线；（不必证明） (2)求证：函数和函数在上过坐标原点的分界线有且只有一条； 【答案】(1)；（答案不唯一，满足的均可） (2)证明见解析 【解析】（1）由题意直线是函数和函数在上的一条分界线， 则在上恒成立， 即在上恒成立， 因为，所以， 令，则， 令，则，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 综上所述，， 所以满足题意的直线可以是；（答案不唯一，满足的均可） （2）由题意，设是函数和函数在上过坐标原点的分界线， 则在上恒成立，即在上恒成立， 因为，所以， 因为，所以， 综上所述， 所以函数和函数在上过坐标原点的分界线有且只有一条. 16．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”. (1)已知，试判断是否为“类函数”. (2)设是定义在上的“类函数”，求实数m的最小值； (3)若为其定义域上的“类函数”，求实数m的取值范围. 【答案】(1)是“类函数” (2) 【解析】（1）函数的定义域为， 若在定义域内存在实数，满足，则， 解得或1，所以是“类函数”； （2）因为是定义在上的“类函数”， 所以存在实数满足， 即方程在上有解， 令，则， 因为在上递增，在上递减， 所以当或时，取最小值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $