专题06 三角函数（专项训练）（全国通用）2027年春季高考数学

专题06 三角函数 内容导航 01 方法总结・技巧提炼 1 02 题型探究・深度突破 题型01 三角函数的定义与同角关系 2 题型02 诱导公式 2 题型03 三角函数图像性质 3 题型04 三角函数平移问题 4 题型05 三角恒等变换 5 03 分层训练・达标过关 巩固过关 6 能力提升 7 1、解决三角函数的基本思路是： （1）利用定义和诱导公式化简 三角函数定义用于已知终边上点求三角函数值；诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”，优先化简式子再计算。 （2）三角函数图像与性质 结合图像判断周期、最值、单调区间和对称轴。看到解析式先确定振幅、周期，抓住关键点坐标，利用图像数形结合求解参数或者不等式。 （3）三角恒等变换 使用两角和差、二倍角公式，统一角的形式。做题优先观察角度关系，把不同角换成相同角，化简表达式之后再求值，注意角的取值范围。 题型01 三角函数的定义与同角关系 三角函数的定义与同角关系的解题技巧 （1）三角函数定义求值 已知角终边上一点坐标，直接用定义求正弦、余弦、正切。横坐标对应余弦，纵坐标对应正弦，纵坐标除以横坐标为正切，计算时注意点所在象限，判断函数值正负。 （2）巧用平方关系和商数关系 平方关系用来实现正弦和余弦之间的互相转化；商数关系用于正弦、余弦与正切的转换。已知一个三角函数值求另外两个，先判断角所在象限，确定符号，避免漏解。 1．（2025·福建·合格考）已知是第一象限角，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东·合格考）已知，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2024·山东·合格考）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则的值为______． 4．（2026·广东·春季高考）已知角的终边过点，则______． 题型02 诱导公式 诱导公式的解题技巧 （1）先化简角，套用口诀判断变换 使用口诀奇变偶不变，符号看象限。先看角可以拆成二分之π的几倍，偶数倍函数名不变，奇数倍函数名换成对应名称；再假设原角是锐角，判断原式三角函数的正负。 （2）优先把负角、大角化为锐角 遇到负角可以先用奇偶性去掉负号；大于三百六十度的角，先减去三百六十度缩小角度，一步步把复杂角转化成0到90度之间的锐角，再写结果。 1．（2024·云南·学业水平考试）若，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26·云南·合格考）若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·广东·春季高考）已知，求______． 4．（2026·天津南开大学附属中学·模拟）的值为________． 题型03 三角函数图像性质 三角函数图像性质的解题技巧 （1）求周期与值域 把括号内的式子整体换元，先找到x的取值范围，算出整体变量的范围。周期只看x前面系数，用对应公式直接求出周期；对照基础正弦或者余弦图像，看整体变量范围内最高点、最低点，得到函数的值域。 （2）求单调区间 整体换元之后，先写出基础三角函数的单调区间，再把替换的整体式子代入，解关于x的不等式。注意正弦、余弦函数是分段增减，解完不等式还要结合题目x的范围，截取有效的单调区间。 （3）求对称轴和对称中心 整体换元，利用基础三角函数结论：正弦、余弦的对称轴在函数取最大或者最小值的位置；对称中心是图像和横轴交点。将整体式子代入对应的等式，解出x，就是对称轴方程或者对称中心横坐标，最后写上坐标。 1．（2024·山东·合格考）若，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26·云南·合格考）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·天津南开大学附属中学·模拟）已知函数，则（    ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 4．（25-26·云南·合格考）下列直线中，是函数图象对称轴的为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·福建·合格考）函数的图象是（    ） A． B． C． D． 题型04 三角函数平移问题 三角函数平移问题的解题技巧 （1）左右平移只针对单独的x 左右平移改变自变量，只能对x本身加减数值。如果x前面带有系数，要先把系数提取出来再平移。向左平移就在x上加，向右平移就在x上减，不要直接在括号外面加减数字。 （2）上下平移改变整个函数式子 上下平移作用在整个函数结果上，直接在解析式的末尾加减常数。图像向上平移就整体加，向下平移就整体减，上下平移不受x的系数影响。 （3）分清伸缩和平移的先后顺序 先伸缩再平移，和先平移再伸缩，左右平移的长度不一样。做题优先提取x的系数，避免平移量算错；做完变换可以代入特殊点验证，检查图像位置是否正确。 1．（2025·江苏·合格考）要得到函数的图像，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 2．（2026·天津南开大学附属中学·模拟）将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·广东·合格考模拟）要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 4．（2025·山东·学业水平考试）已知函数，将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象.求函数的最小正周期与值域. 题型05 三角恒等变换 三角恒等变换的解题技巧 （1）先看角，尽量减少角的种类，看清式子里面各个角的关系，能用和差、二倍角转化就转化，把多个不同角换成同一个角，再进行化简求值。 （2）选公式，统一三角函数名称，利用两角和差、二倍角公式，切换正弦、余弦。式子里面正弦余弦混在一起时，优先统一成同一种函数再计算。 （3）化简求值，注意角的范围定符号，展开公式之后合并整理；如果是求值题目，一定要看角的范围，以此判断三角函数最终结果的正负。 1．（24-25高二·云南·合格考）（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东·学业水平考试）（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏·合格考）已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·天津南开大学附属中学·模拟）已知，． (1)求的值； (2)求的值. 巩固过关 1．（2025·江苏·合格考）将时钟拨慢15分钟，分针转过的弧度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26·云南·合格考）已知，若是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏·合格考）已知角的终边经过点，且，则实数（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 4．（24-25高二·云南·合格考）已知为第一象限角.若，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·福建·合格考）已知，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 6．（2024·福建·合格考）已知，，则角的终边位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（24-25高二·云南·合格考）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 8．（2024·江苏·合格考）将函数的图象向上平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·云南·学业水平考试）（   ） A． B． C． D． 10．（2025·山东·学业水平考试）设则（    ） A． B． C． D． 11．（2025·云南·合格考）已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 12．（2026·广东·合格考模拟）若将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则_______． 能力提升 1．（2025·江苏·合格考）已知集合，则中元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·福建·合格考）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·福建·合格考）把函数的图像上的所有的点向右平移个单位，再把所有的点的横坐标缩短到原的一半，最后把所有的点的纵坐标伸长到原来的4倍，所得图像的表达式（    ） A． B． C． D． 4．（2026·广东·春季高考）为了得到的图像，只需将的图像（  ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 5．（2024·江苏·合格考）若，则（    ） A． B． C．3 D． 6．（2024·福建·合格考）（    ） A． B． C． D． 7．（2024·云南·学业水平考试）若函数的最小正周期为，则常数__________． 8．（2024·山东·合格考）已知函数． (1)求的值； (2)求的单调递增区间． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 三角函数 内容导航 01 方法总结・技巧提炼 1 02 题型探究・深度突破 题型01 三角函数的定义与同角关系 2 题型02 诱导公式 3 题型03 三角函数图像性质 4 题型04 三角函数平移问题 7 题型05 三角恒等变换 9 03 分层训练・达标过关0 巩固过关 10 能力提升 13 1、解决三角函数的基本思路是： （1）利用定义和诱导公式化简 三角函数定义用于已知终边上点求三角函数值；诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”，优先化简式子再计算。 （2）三角函数图像与性质 结合图像判断周期、最值、单调区间和对称轴。看到解析式先确定振幅、周期，抓住关键点坐标，利用图像数形结合求解参数或者不等式。 （3）三角恒等变换 使用两角和差、二倍角公式，统一角的形式。做题优先观察角度关系，把不同角换成相同角，化简表达式之后再求值，注意角的取值范围。 题型01 三角函数的定义与同角关系 三角函数的定义与同角关系的解题技巧 （1）三角函数定义求值 已知角终边上一点坐标，直接用定义求正弦、余弦、正切。横坐标对应余弦，纵坐标对应正弦，纵坐标除以横坐标为正切，计算时注意点所在象限，判断函数值正负。 （2）巧用平方关系和商数关系 平方关系用来实现正弦和余弦之间的互相转化；商数关系用于正弦、余弦与正切的转换。已知一个三角函数值求另外两个，先判断角所在象限，确定符号，避免漏解。 1．（2025·福建·合格考）已知是第一象限角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角三角函数的关系，即可得答案. 【详解】因为是第一象限角，所以. 2．（2024·山东·合格考）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，且知． 由和联立， 解得． 3．（2024·山东·合格考）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则的值为______． 【答案】/ 【分析】根据题意，利用三角函数的定义，即可求解. 【详解】因为角的终边过点，可得， 由三角函数的定义，可得. 4．（2026·广东·春季高考）已知角的终边过点，则______． 【答案】 【分析】根据三角函数的定义求三角函数值. 【详解】已知角的终边过点．可得，，则． 故答案为： 题型02 诱导公式 诱导公式的解题技巧 （1）先化简角，套用口诀判断变换 使用口诀奇变偶不变，符号看象限。先看角可以拆成二分之π的几倍，偶数倍函数名不变，奇数倍函数名换成对应名称；再假设原角是锐角，判断原式三角函数的正负。 （2）优先把负角、大角化为锐角 遇到负角可以先用奇偶性去掉负号；大于三百六十度的角，先减去三百六十度缩小角度，一步步把复杂角转化成0到90度之间的锐角，再写结果。 1．（2024·云南·学业水平考试）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式化简求解即可. 【详解】. 故选：A. 2．（25-26·云南·合格考）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式直接计算即可. 【详解】由诱导公式知. 故选：A 3．（2026·广东·春季高考）已知，求______． 【答案】 【分析】根据三角函数的诱导公式计算即可. 【详解】由三角函数的诱导公式可知，则． 故答案为：. 4．（2026·天津南开大学附属中学·模拟）的值为________． 【答案】 【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式化简即可得到结果. 【详解】. 题型03 三角函数图像性质 三角函数图像性质的解题技巧 （1）求周期与值域 把括号内的式子整体换元，先找到x的取值范围，算出整体变量的范围。周期只看x前面系数，用对应公式直接求出周期；对照基础正弦或者余弦图像，看整体变量范围内最高点、最低点，得到函数的值域。 （2）求单调区间 整体换元之后，先写出基础三角函数的单调区间，再把替换的整体式子代入，解关于x的不等式。注意正弦、余弦函数是分段增减，解完不等式还要结合题目x的范围，截取有效的单调区间。 （3）求对称轴和对称中心 整体换元，利用基础三角函数结论：正弦、余弦的对称轴在函数取最大或者最小值的位置；对称中心是图像和横轴交点。将整体式子代入对应的等式，解出x，就是对称轴方程或者对称中心横坐标，最后写上坐标。 1．（2024·山东·合格考）若，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据求得的范围，再根据，得到相应的值，从而得到答案. 【详解】因为， 所以，， 又因为，所以时，. 2．（25-26·云南·合格考）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用余弦型函数的性质，即可求解. 【详解】由函数，可得函数的最小正周期为. 故选：D. 3．（2026·天津南开大学附属中学·模拟）已知函数，则（    ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 【答案】A 【详解】令，得，. 当时可得的一个单调递减区间为. 令，得，. 当时可得的一个单调递增区间为. ， 在区间上单调递减. 4．（25-26·云南·合格考）下列直线中，是函数图象对称轴的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最值点与对称轴之间的关系，直接代入检验即可. 【详解】对于选项A：因为，不为最值， 所以不是函数的对称轴，故A错误； 对于选项B：因为，不为最值， 所以不是函数的对称轴，故B错误； 对于选项C：因为，为最大值， 所以是函数的对称轴，故C正确； 对于选项D：因为，不为最值， 所以不是函数的对称轴，故D错误； 故选：C. 5．（2025·福建·合格考）函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦函数的值域及函数图像的平移变换规律，结合特殊点坐标进行判断. 【详解】 由正弦函数的性质可知 ， 所以 ， 即函数 的值域为 ， 这意味着函数的图像应全部位于 轴上方（包含与 轴相切的情况），且最大值为 ， 观察四个选项： A 选项：图像过原点，且有负值，不符； B 选项：图像有负值，不符； D 选项：图像过原点，且有负值，不符； C 选项：图像全部在 轴上方，最大值为 ，且当 时 ，符合函数 的特征. 题型04 三角函数平移问题 三角函数平移问题的解题技巧 （1）左右平移只针对单独的x 左右平移改变自变量，只能对x本身加减数值。如果x前面带有系数，要先把系数提取出来再平移。向左平移就在x上加，向右平移就在x上减，不要直接在括号外面加减数字。 （2）上下平移改变整个函数式子 上下平移作用在整个函数结果上，直接在解析式的末尾加减常数。图像向上平移就整体加，向下平移就整体减，上下平移不受x的系数影响。 （3）分清伸缩和平移的先后顺序 先伸缩再平移，和先平移再伸缩，左右平移的长度不一样。做题优先提取x的系数，避免平移量算错；做完变换可以代入特殊点验证，检查图像位置是否正确。 1．（2025·江苏·合格考）要得到函数的图像，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【分析】根据平移变换“左加右减”的原则即可得解. 【详解】根据平移变换“左加右减”的原则， 要得到函数的图像，只需将函数的图象向左平移个单位长度即可. 故选：A. 2．（2026·天津南开大学附属中学·模拟）将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角函数图像的平移法则，结合诱导公式进行求解. 【详解】将函数的图像向右平移个单位，得到图像， 所以函数， 故选：A. 3．（2026·广东·合格考模拟）要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】D 【分析】根据解析式确定的图象平移过程即可. 【详解】由，则可由的图象向右平移个单位得到. 故选：D 4．（2025·山东·学业水平考试）已知函数，将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象.求函数的最小正周期与值域. 【答案】 最小正周期为，值域为. 【分析】根据平移规则求得的表达式，再由周期公式和余弦函数值域求解即可. 【详解】将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍， 得到 ，所以最小正周期 ； 又因，故. 题型05 三角恒等变换 三角恒等变换的解题技巧 （1）先看角，尽量减少角的种类，看清式子里面各个角的关系，能用和差、二倍角转化就转化，把多个不同角换成同一个角，再进行化简求值。 （2）选公式，统一三角函数名称，利用两角和差、二倍角公式，切换正弦、余弦。式子里面正弦余弦混在一起时，优先统一成同一种函数再计算。 （3）化简求值，注意角的范围定符号，展开公式之后合并整理；如果是求值题目，一定要看角的范围，以此判断三角函数最终结果的正负。 1．（24-25高二·云南·合格考）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】逆用两角和的正弦公式可得答案. 【详解】由两角和的正弦公式可得：. 故选：A 2．（2025·山东·学业水平考试）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 3．（2025·江苏·合格考）已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同角三角函数的基本关系结合两角和的正弦公式可得出的值. 【详解】因为，，，， 所以，， 所以. 故选：B. 4．（2026·天津南开大学附属中学·模拟）已知，． (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据已知条件求出的值，再利用二倍角公式计算. （2）利用两角差的余弦公式进行计算. 【详解】（1）因为，， 所以． 所以． （2） . 巩固过关 1．（2025·江苏·合格考）将时钟拨慢15分钟，分针转过的弧度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分针转一周为60分钟，转过的角度的大小为，根据分钟占分钟的比例，即可得解. 【详解】时间过去1小时，相当于分针转一圈，一圈的弧度为， 故将时钟拨慢15分钟，分针逆时针转过的弧度数为. 故选：D. 2．（25-26·云南·合格考）已知，若是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题得，再利用同角的平方关系化简即得解. 【详解】因为是第二象限角，所以. 故选：A. 3．（2025·江苏·合格考）已知角的终边经过点，且，则实数（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】根据正切的定义求解即可. 【详解】因为角的终边经过点， 所以，因为，所以， 解得. 故选：B. 4．（24-25高二·云南·合格考）已知为第一象限角.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角的平方和为1，结合为第一象限角，可求的值. 【详解】因为，，所以， 又因为为第一象限角，所以. 故选：D. 5．（2025·福建·合格考）已知，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】A 【分析】由三角函数的符号确定角所在的象限. 【详解】由三角函数的定义可知，为第一、二象限角或终边在轴正半轴上；由为第一、四象限角或终边在轴的正半轴上， 两个条件同时成立，则为第一象限角. 故选：A. 6．（2024·福建·合格考）已知，，则角的终边位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】由，， 根据三角函数的符号与角的象限间的关系， 可得角的终边位于第四象限. 7．（24-25高二·云南·合格考）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦型函数周期公式列式得解. 【详解】函数的最小正周期为. 故选：B 8．（2024·江苏·合格考）将函数的图象向上平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角函数图象的平移变换求解. 【详解】将函数的图象向上平移个单位长度，所得图象的函数解析式为. 故选：C. 9．（2024·云南·学业水平考试）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两角差的余弦公式可求解. 【详解】. 故选：A. 10．（2025·山东·学业水平考试）设则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合二倍角的余弦公式即可求出结果. 【详解】因此， 故选：D. 11．（2025·云南·合格考）已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用辅助角公式合成，再利用三角函数的值域求法可得答案. 【详解】 ， 因为，所以 的值域为 ， 故选：B. 12．（2026·广东·合格考模拟）若将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则_______． 【答案】 【分析】根据函数的平移规则可得函数解析式. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象． 故答案为： 能力提升 1．（2025·江苏·合格考）已知集合，则中元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据余弦函数的性质进行判断即可. 【详解】因为集合， 所以当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，， 可以看出的周期为4， 的取值集合为， 所以中元素的个数为3. 故选：C. 2．（2024·福建·合格考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式即可求解． 【详解】由得 所以 故选：A 3．（2024·福建·合格考）把函数的图像上的所有的点向右平移个单位，再把所有的点的横坐标缩短到原的一半，最后把所有的点的纵坐标伸长到原来的4倍，所得图像的表达式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可根据三角函数的图像变换得出结果. 【详解】把函数的图像上的所有的点向右平移个单位， 得到， 再把所有的点的横坐标缩短到原的一半， 得到， 最后把所有的点的纵坐标伸长到原来的4倍， 得到， 故选：D. 4．（2026·广东·春季高考）为了得到的图像，只需将的图像（  ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】C 【分析】根据三角函数平移变换求解即可. 【详解】解：因为 所以，为了得到的图像，只需将 的图像向左平移个单位长度． 故选：C． 5．（2024·江苏·合格考）若，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据两角和的正切公式运算求解. 【详解】由，即，解得. 故选：C. 6．（2024·福建·合格考）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二倍角公式，化简求值. 【详解】 故选：C 7．（2024·云南·学业水平考试）若函数的最小正周期为，则常数__________． 【答案】 【分析】直接利用三角函数的周期公式求解即可. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以，解得. 故答案为：. 8．（2024·山东·合格考）已知函数． (1)求的值； (2)求的单调递增区间． 【答案】(1)1 (2)单调增区间为， 【分析】（1）利用辅助角公式求出，代入即可求解； （2）结合正弦函数的单调区间即可求解. 【详解】（1）． ． （2）． 令，，解得， 所以的单调增区间为，． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $