河北省强基联盟2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

2025—2026学年上学期高二期中考试 数 学 全卷满分150分，考试时间 120 分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.平行直线 与 之间的距离是 A.1 B.2 C.3 D.4 2.设x,y∈R,向量a=(1,x,y),b=(2,-4,2),a∥b,则2x+y= A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 3.已知抛物线C 的焦点为F,点M在C上,|MF|=3,则点M到直线x=-3的距离为 A.3 B.4 C.5 D.6 4.已知圆 与圆 相交于A，B两点，则直线AB的方程为 A.2x+2y-1=0 B.2x+2y+1=0 C.2x-2y-1=0 D.2x-2y+1=0 5.在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中,点E,F分别在棱BB₁,DD₁上,且 若 则x+y+z= B. 6.已知等比数列{an}的首项 且满足 则公比q为 A. B.2 C. 或2 D.3 7.阅读材料：在空间直角坐标系O-xyz中，过点 且一个法向量为n=(a，b，c)的平面α的方程为 根据上述材料，解决下面问题：直线 l是两平面x-2y+5=0与4x+2z+1=0的交线，则下列向量可以作为直线l的方向向量的是 A.(3,1,2) B.(1,1,-2) C.(2,1,3) D.(2,1,-4) 8.已知椭圆 的左右焦点分别为 ，过原点的直线与椭圆 C相交于P,Q两点,且 的面积为 ，则椭圆C的离心率是 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知数列{an}是公比为q的等比数列，且a₂，a₄，a₃成等差数列，则q= B. C.-1 D.1 10.如图，已知正方体 的边长为2, E ,F,G,H分别为CC₁,BC,CD,BB₁的中点，则下列结论中正确的是 A. B₁G⊥EF B. A₁H∥平面AEF C.异面直线A₁H与 EF所成角的余弦值为 D.点 B₁ 到平面 AEF 的距离为2 11.已知O为坐标原点，过抛物线( 焦点 F 的直线l 与抛物线C 交于A、B两点，则下列选项正确的是 A.|AF|的最小值为1 B.△OAB面积的最小值为2 D.∠AOB 可能为直角 三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分. 12.已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n 项和，若 则 13.已知圆 与圆 没有公共点，则r的取值范围是 . 14.已知点 F₁ 是双曲线 的左焦点，动点 A 在双曲线右支上，若直线l₁: tx-y+t-2=0与直线 的交点为B，则 |的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.(本小题满分13分) 已知数列 为等差数列， 为其前n项和， (1)求数列 的通项公式； (2)若 数列 的前 n项和为 求证： 16.(本小题满分15分) 已知椭圆C的方程为 上顶点为A(0，2)，离心率为 (1)求椭圆C的方程； (2)若斜率为2的直线l经过椭圆C的左焦点，且与椭圆C相交于M，N两点，求MN的长. 17.(本小题满分15分) 已知圆C经过点A(1,5)和B(-2,2),且圆心C在直线3x-y-1=0上. (1)求圆C的标准方程； (2)若直线l经过点D(4，1)且与圆C相切，求直线l的方程； (3)若直线 与圆C相交于E、F两点，且 求实数a的值. 学科网（北京）股份有限公司 18.(本小题满分17分) 如图，已知矩形ABCD所在平面与直角梯形ABPE所在平面相交于直线 AB，AB=BP=2, 且 (1)若点 M 为棱 PD 的中点,求证: (2)求二面角C-PD-E的正弦值； (3)线段PD上是否存在一点N(包括两端点)，使得直线 BN与平面PCD 所成的角的正弦值为 若存在，试确定点 N 的位置；若不存在，请说明理由. 19.(本小题满分17分) 已知点 A，B分别是双曲线( 的左、右顶点，P是双曲线C 上异于A，B的一点，直线 PA，PB的斜率分别为 且 (1)求双曲线C的方程； (2)已知过点(4,0)的直线l:x=my+4分别交双曲线C的左，右两支于 D，E两点(异于A，B). (i)求m的取值范围； (ii)若直线AD与直线BE 交于点Q，求证：点 Q在定直线上. 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案、提示及评分细则 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B B C A B B 题号 8 9 10 11 答案 D A AD ABD BC 1.B【解析】因为直线3x十y-1=0与3x十y十3=0平行，所以由平行线间的距离公式可得d= 1-1-3 /(5)2+12 号-2故选B 2B【解折】由@/，则子-4-号解得x=-2,y=1,放2x+y=-3做选B 3.C【解析】抛物线C:y2=4x,其准线方程为：x=一1，因为MF1=3,且点M在抛物线C上，由抛物线定义 可知，点M到直线x=一1的距离为3，因为x=一3与x=一1平行，且距离为2，所以点M到直线x=一3的 距离为5.故选C. 4.A【解析】(x-1)2+y2=1即x2+y2-2x=0①，x2十y2-4x-2y+1=0②，②-①化简可得直线AB的方 程为2x十2y一1=0.故选A. 5.B【解析】在平行六面体ABCD-A:BCD,中，硫=BB,D-号DD,则E康-E成+Bi+A市+ D亦=-AR-A恋+A市+号AA=-A店+A市+2AA,而E萨=xA店+yA市+之AA,因此x=-1, y=1,=立，所以x十y十=2故选B 6B【折打以为a的前项>0，所2一会等品g者号一骨化满得专-号 ,解得g=2 或9=7，当g=2时，a1=1,当g=合时，0=-16，又因为a1>0,所以g=2.故选B 7.D【解析】由题意得：平面x一2y十5=0一个的法向量为n=(1,一2,0)，平面4x十22十1=0的一个法向量为 m=(4,0,2),设直线l的方向向量为a=(x,y,x),有{ Q.4十220令y=1,得a=2,1,一4).故选D. 8.A【解析】不妨假设P在第一象限，因为P·QF=0,所以PF1⊥QF1.由图形的对称性知四边形 PFQF2为矩形. 因为△PE,Q的面积为7e,所以△PR,R的面积为7c,所以号PE·PE=弓c,即PE,·PF=心. 又因为|PF1|十|PF2|=2a,所以|PF1|=a,|PF2|=-a,在Rt△PF1F2中，a2十a2=(2c)2,则a2=2c2,所以 e=。-故选A 9.AD【解析】由题意知，a2十ag=2a4,由等比数列通项公式可得a2(1十q)=2a2q,因为a2≠0，所以2d一1一q=0, 即(2g+1D(g一D=0,解得g=一方或g=1.故选AD, 【高二数学参考答案第1页（共5页）】 10.ABD【解析】以D为坐标原点，以DA,DC,DD所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系， z个 D B R:3:- 则B1(2,2,2),G(0,1,0),E(0,2,1),F(1,2,0),A(2,0,0),A1(2,0,2),H(2,2,1). 对于A,因B1G=(-2,-1,-2),E=(1,0,-1),则B1亡·E=-2十2=0，故BG⊥EF,故A正确； 对于B,A1i=(0,2,-1),AF=(-1,2,0),E泸=(1,0，-1).设平面AEF的一个法向量为n=(x,y,z),则 n·EF=x-x=0 n·A亦=一z十2y=0可取n=(2,1,2),因为A直·n=2-2=0,所以A1i1m,又因为AHt平面AEF, 所以A1H∥平面AEF,故B正确； 对于C,国为不立一哥：高店一要侧异面直线AH与旺所减角的徐获位苏 1 =V10 ,故C错误， 对于D,B1A=(0,一2，一2)，由上分析已得平面AEF的一个法向量为n=(2,1,2),则点B1到平面AEF的 匝离为"=日三2，故D正确，故选ABD 3 11.BC【解析】对于A,由题意得，AF|=xA十1>1，所以|AF无最小值，故A错误； B 对于B,因为直线1的斜率不可能为0，故可设1：x=my十1，与y2=4x联立消元得：y2一4y一4=0，显然 >0,设A,B为，则货抓，则A81=V十元·V十四=V. √16m+16=4(m2+1),点0到直线l:x-my-1=0的距离为d=1 ,则△OAB的面积为S△aAB= 1+m 号X4+1D×园=2y个什示，所以当=0时，即1的方程为x=1时，。取得最小值2，放B 1 正确 对于C,设直线的领斜角为。，则AFBF到-12则十品1一+1中-1，故 2 C正确； 对于D由B选项可得0成).0市=()，侧O.0市=马十g-+欢=1-4=-30，枚 OA与OB夹角为钝角，故D错误.故选BC. 12.28【解析】因为等差数列{a,的前n项和为S,a=7,4=1,故S=7a十a》_7a,a）_7X(?+1)=28. 2 2 2 13.(0,4)U(6,十∞)【解析】圆C的圆心坐标为C(一2，一3)，半径为r(r>0);圆C2的圆心坐标为 C2(1,1),半径为1，则|C1C2|=√(-2-1)2+(-3-1)2=5，因为两圆没有公共点，所以两圆的位置关系 为外离减内含若外商5,0若内含。>>6综上e@,0U6,十o)。 【高二数学参考答案第2页（共5页）】 14.9【解析】由双曲线的方程可得a=3,b=√3，焦点F1(-2√3,0)，右焦点F2(2√3,0)，可得|AF|=|AF2|十 2a=|AF2|+6,所以|AB|+|AF|=|AB|+|AF2+6,当A,F2,B三点共线时，|AB|+|AF1|最小，联立直 2-1 线4,4的方程-y十t-2=0 x=- t+1 x十y+21-1=0可得 ,消去参数t可得x2+(y十2)2=1，可得直线l1与l2 2t y+2=2+1 的交点B的轨迹为圆心在M(0,一2)，半径为1的圆（除去点（一1，一2）)，所以|AB|+|AF1|=|AB|十 |AF2|+6≥|BF2|+6≥|MF2|一1+6=√(2√3)+2+5=9，当过F2与圆心M的直线与圆的交点B在 F2和圆心M之间时最小.所以|AB|+|AF|的最小值为9. 15.(1)解：由题意等差数列{an}中，a3=6,S。=42,设公差为d, a1+2d=6 可得a+资=g廊得侣-子 (4分) 故an=2+2(n-1)=2n.…………… (6分) (2)证明：由(1)可得6，=1 a.a12m2nf2万-专(7n…. (8分) 故=(1-+号+…+)=1-)-+ 11 …(12分) 因为士>0，所以一身<得证.…………………………(3分》 释：(1)由题意，b=2且e=-5,Q28+2,得c=1,a=,… 因此椭圆C的方程为号+学=1. 44440。”5…4…4”…04…00404444440*4”4…0”444g (6分) (2)设椭圆左焦点为F(-1,0),直线l的方程为y=2x十2，M(x1,y),N(x2y2),…(7分) 联立直线方程与猫因方程化子520-。可得3+5一-0， (10分) 5 解得：江1=一3，江2=0，……（12分） 1MN1=1牛E-=5:-吾-0-5×号-5 (15分) 17.解：(1)由圆心C在直线3x-y-1=0上，设圆心C(m,3m-1), 由AC1=|BC,得√(m-1)2+(3m-6)7=√(m+2)2+(3m-3)2,解得m=1,… (2分) 因此圆心C(1,2),半径r=|AC引=√(1-1)2+(2-5)2=3，… (3分) 所以圆C的标准方程为(x一1)2十(y一2)2=9.………(4分) (2)当直线1斜率不存在时，圆心C到直线x=4的距离为半径3， 所以直线x=4符合题意；………………（6分) 当直线1斜率存在时，设直线l的方程为y一1=k(x一4)，即x一y十1一4k=0,…(7分) 圆心C到直线L的距离为6-21二-3，解得表=号直线方程为4红一3y-18=0, √2+1 综上所述，直线1的方程为x=4或4x一3y一13=0.……(9分) (3)由(1)知，圆C的圆心为C(1,2),半径r=3, 由∠ECF=60,得圆心C到直线x十5y+Q=0的距离d=cos30°=3y3, 2，…(11分) 则d=25t兴-1+25+a-39,即25a+1-8, ……………（13分) √/12+(5)2 2 2 2 【高二数学参考答案第3页（共5页）】 解得a=√3-1或a=-5√5-1， 所以实数a的值为W3一1或-5√3-1.…… (15分) 18.(1)证明：由已知AD=AE=1,DE=√2，可知DE=AE2+AD2,则AD⊥AE, 又矩形ABCD中有AD⊥AB,且AE⊥AB, AE∩AB=A,AE、ABC平面ABPE,所以AD⊥平面ABPE, 又BC∥AD,则BC⊥平面ABPE,所以BA,BP,BC两两垂直， 故以B为坐标原点，BA,BP,B心所在直线分别为x轴，y轴，之轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则P(0,2,0),D(20,1),M(1,1,2)E(2,1,0),C(0,0,1),所以E=(-1,0,2） …(2分》 易知平面ABCD的一个法向量为n=(0,1,0), 所以E应.n=-1X0+0X1+名×0=0，所以E脑Lm,… (3分) 又因为EM中平面ABCD,所以EM∥平面ABCD, (4分) (2)解：因为Pb=(2,-2,1),CD=(2,0,0), 设平面PCD的一个法向量为n1=(x,y,之1)， 由/m·P市=0 2·C市=0，得2二2十=0] 2x1=0 取y1=1,则x1=0,1=2,所以平面PCD的一个法向量为n1=(0,1,2),…(6分) 因为Pi=(2,-2,1),P克=(2，-1,0)， 设平面PED的一个法向量为n2=(x2,y2,z2), 由·P市=0，得2-2%+-0 n·P吃=0得 2x2-y2=0 取x2=1,则y2=2,2=2,所以平面PED的一个法向量为n2=(1,2,2),…(8分) 设二面角C-PD-E为0， 则oa-aa一05.放n0- 5· ……(10分) 2 (3)解：存在，当点N与点D重合时，直线BN与平面PCD所成的角的正弦值为亏， 理由如下： 假设线段PD上存在一点N,使得直线BN与平面PCD所成的角a的正弦值等于号.设P=XP市(0<A<1), 由上知Bd=(0,2,0), 则P衣=λ(2，-2,1)=(2x,-2λ，)，B衣-B泸+Pi=(2λ，2-2x,). (12分) 1B衣·1 2 所以sinm=os(B,m)川=B·m5X√20+(2-2a)2+(aV5X√9-8以+4 2 2 5 (14分) 所以92-8十4=5，解得A=1或入=-号（舍去），… (16分) 因此，线段PD上存在一点N,当N点与D点重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于号 …(17分) 【高二数学参考答案第4页（共5页）】 19.(1)解：由题意可知A(一a,0),B(a,0),因为|AB|=2a=4,所以a=2.…(1分) 设P(m,m）,则0-1，所以=(m2一4)，…… (2分) m+2”m2m2=4m2-46 又kk2=”。 。n n2 =4=4,所以6=16. (4分) 所以双曲线C的方程为号-苦=1. … (5分) (2)(i)解：由题意知直线L的方程为x=my十4，设D(x1,y),E(x2,y2). 联立4161，化简得（4m2-1)十32my十48=0，……（72 (7分) x=my+4 因为直线1与双曲线左右两支相交，所以y少y2>0, 4m2-1≠0 即m满足： 32m》-1924n-1D>0,解得m<-2或m>号 48 2· ……………(10分) h业=4m->0 -32m 48 (i)证明：由(iD知为+%=4m-1,y%=4m2-1' (11分) 直线AD的方程为)一千2+2》。 直线BB的方程为y=写护2红-2. (12分) 联立直线AD与BE的方程，得牛2红十2)=产2一2， …………………………… (13分) 所以(2千6)上-36+214分 所以(6y2-2y)x=4myy2+4y+12y2, 所以x=2my+2y+6业_2m2+2(y+2)+42 3y2-y1 -(y1+y2)+4y2 48 2m· 32m ·4十24m)+4y 4m21+4 =1. /-32m 4m2-1+42 + 所以点Q的横坐标始终为1，故点Q在定直线x=1上.……(17分) 【高二数学参考答案第5页（共5页）】