精品解析：东北三省一区点石联考2025-2026学年高三上学期12月联合考试数学试卷

绝密★启用前（点石联考） 2025年点石联考东北“三省一区”高三年级12月份联合考试 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置．考试结束后，将答题卡交回． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．） 1. 椭圆的离心率为（ ）． A. B. C. D. 2. 已知向量若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. -1 B. C. 1 D. 3. 记集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. （ ）． A. B. C. 2 D. 4 5. 若圆与直线相切，则圆的面积为（ ）． A. B. C. D. 6. 设正数、满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数的图象关于直线对称，则（ ） A. B. C. -1 D. 8. 对于正数、，若，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知椭圆，则（ ） A. 椭圆的长轴长为 B. 当时，椭圆的焦点在轴上 C. 椭圆的焦距可能为6 D. 椭圆的短轴长与长轴长的平方和为定值 10. 记等差数列的公差为d，已知，，成等比数列，则（ ）． A. B. C. D. 11. 如图，在四面体中，为的中点，则（ ） A. 平面平面 B. 点到平面的距离为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 点到直线的距离为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设，则______． 13. 大数据语言的单次预训练过程大致遵循Chinchilla缩放定律：，其中是在经过单次训练后具有N个参数的模型的测试损失的期望，A，B，是常数，已知，，，则A的最小值为______． 14. 已知数列的通项为，数列的前项积，将与中的所有项从小到大依次排列构成一个新数列，记为数列的前项和，则使得成立的的最小值为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 设函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若为的导函数，求的极值． 16. 设的内角、、所对的边分别为、、，已知，． （1）求的值； （2）若，求的面积． 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为PB的中点． （1）证明：． （2）点F在棱BC上，且直线AF与平面PAB所成角的正弦值为． （ⅰ）求线段BF的长； （ⅱ）M为PD的中点，求点M到平面AEF的距离． 18. 已知椭圆的右焦点为，过F的直线与E交于两点．当A为E的上顶点时，． （1）求E的方程； （2）过点A作的垂线，垂足为M． （ⅰ）证明：直线过定点N； （ⅱ）记的中点为，的斜率为，NB的斜率为，证明：是定值． 19. 设为正整数，已知首项为2的正项数列满足． （1）若，求的值； （2）证明：与为常数列或等比数列； （3）记的前项积为．若时，，求的通项公式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网组卷网 绝密★启用前（点石联考） 2025年点石联考东北“三省一区”高三年级12月份联合考试 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴 在答题卡的指定位置.考试结束后，将答题卡交回. 2回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效， 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只 有一项是符合题目要求的.) 1.椭圆3r2+y2=9 离心率为(). 3 5 √6 A.3 B.3 C.3 D.3 【答案】D 【解析】 【分析】将椭圆方程化为标准方程，求出，C,根据椭圆的离心率公式求解即可. 第1页/共22页 6学科网命组卷网 y2 x2 【详解】椭圆方程可化为9+31，长半轴a=3,半焦距c=9-3=V6, 十 于是离心率e= a3· 故选：D 0 2.已知向量à=(，1)，b=(2,m)-若向量万在向量ā上的投影向量为2“，则m=() 1 A.-1 B.2 C.1 D.2 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的定义列式计算即得. 【详解】因为向量a=(,1),6=(2,m) 则向量云在向量。上的投影向量为：石2一2 2 m+23 故有22，解得m=1. 故选：C 3合4=-<.8=号≥小040B-) A.(2,3] B.(1,4) c[2,3] D.(1,4 【答案】A 【解析】 【分析】求出集合A、B,利用交集的定义可得集合A∩B 【详解1由K-3列<1可得1<x-3<1,可得x∈(2,4)， 第2页/共22页 6学科网命组卷网 2 ,-1≥03-x≥0 x-3≤0 由x-1 可得x-1,即x-1, (x-1)(x-3)≤0 得x≠1 ，解得x∈(1,3] 于是4=(2,4)，B=(,3],枚4nB=(2,3] 故选：A, 1og4V2026 4.1og2562026 =(). 1 A.4 B C.2 D.4 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数的运算法则及换底公式化简求值即可. ln(2026)2 n2026 2 【详解】 1og4√2026 In4 In4 =2 10g2562026 ln2026 n2026 In44 4ln4 故选：C 5,若圆(c-a'+(y+2=d与直线2x+ay-3a=0相切，则圆的面积为《）. A.π B.2n D.Sn 【答案】D 【解析】 【分析】由圆的标准方程得到圆心坐标及半径，利用点到直线的距离公式建立方程，求出圆的半径的具体 值，再利用圆的面积公式求解即可， 【详解】由题意可知圆的方程为(x-a+(y+2}=a2. 其圆心为(a,2）,半径为4， 第3页/共22页 6学科网 命组卷网 d= 2a-2a-3a_ 3a 故圆心到直线的距离 V4+a2 v4+a2 =l4,显然ld≠0， 3 =1 所以V4+d2,解得ad=5,于是圆的面积S=aπ=5元 故选：D 6设正数a、b满足+h=4,则0+6+B 的最小值为() 16 B.12 D10 【答案】B 【解析】 【分折】由茶本不等或得出o+少=+-≥+0-(， 即可得出 a+a2b+b2 的最小值 t0+-+-4-r-n a2+b=4 当且仅当a=b时，即当 时，等号成立， a>0,b>0 a=v2 b=2 放a'+ah+b 的最小值为12 故选：B 7.若函数f(r)=2cosx(V3sinr-cosx 的图象关于直线x=m对称，则tan2m=() 3 A.3 B. 3 c.-1 D.-V3 【答案】D 【解析】 第4页/共22页 6学科网6组卷网 【分析】利用辅助角公式化简得f(,=2sim 根据正弦型函数的对称性，求得m的表达式， 进而求得tan2m的值. 【f16f=25-2asix41-1=5sin2x-o2-1-2n2x-1 2wT-T+km(keZ2x=3+k(k∈2)则tan2m=tan 62 3 故选：D. A.e B.1 C.e D.e 【答案】B 【解析】 11 11 e*+Inx-=e+In 【分析】由已知等式变形得出 y,结合函数f(x)=e+nx-1的单调性可求 得结果 【详解】由 x y e'+lx-1-e+ .11 即 构造函数f()=e+nx-1 x, 第5页/共22页 6学科网6组卷网 因为函数y=e心、y=hx、y= y=x在(0，+0)上为增函数， 故函数f(=e+lnx x在(0，+0)上为增函数， e'+Inx-10 11 -=e'+ln 由 y I 所以x三v’即ys, 故选：B. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) y2 C: -=1 9.已知椭圆4m6-4m,则() 4m A.椭圆的长轴长为 B.当m=1时，椭圆的焦点在轴上 C.椭圆的焦距可能为6 D.椭圆的短轴长与长轴长的平方和为定值 【答案】BD 【解析】 【分析】根据椭圆标准方程的形式、性质及焦点所在的位置分情况讨论即可· 3 0<m< 【详解】对于A,若6-4m>4m>0,解得 4, 0<m<3 4时，方程表示焦点在y轴上的椭圆， 则02=6-4m,长轴长为2a=2V6-4m,故A错误： C:y2 十 =1 对于B,当m=1时，椭圆方程为·42表示焦点在x轴上的椭圆，故B正确： 第6页/共22页 6学科网命组卷网 3 0<m< 由A知，由 4可知方程表示焦点在y轴上的椭圆， 此时c2=6-4m-4m=6-8m,所以2c=2V6-8m 3 3 .0<m< 由2W6-8m=6,解得m=8,不符合0 4,故舍去， 3 3 若4m>6-4m>0,可得4<m< 一十 1 2·椭圆方程为C:4m64m表示焦点在上抽上的猫网 c=4m-6+4m=8m-6,所以2c=2v8m-6 、5 3 3 <m< 由2√8m-6=6,解得"8，不符合4 2,故舍去， 故不存在焦距为6的椭圆，故C错误： 由a+b2=6-4m+4m=6,(2a2+(2b2=4×6=24 故椭圆的短轴长与长轴长的平方和为定值，故D正确. 故选：BD 10.记等差数列{a}的公差为d,已知4，a4,d成等比数列，则(） A.d≠0 B.42026=2023d n(n-5)d 2 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据等比数列、等差数列的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A,由等比数列性质可知“ ≠0，于是d≠0， ,故A正确； 对于B,G=u,显然40，于是店=，而马=a+d*d,数4=-d, 第7页/共22页 6学科网6组卷网 于是0，=4+(n-2)d=(m-3)d,放4ms=2023d,故B正确g 对于C,n=5时， ∑la=2d+ld+0+d+2d=6d≠0，故c错误 对于u艺a动k2a++a+a+日4) 1=1 京，Dm 故选：ABD 1L如图，在四面体4BCD中，B=AC=D=CD=4BC1BD,BC=2,E为4C的中点，则C 中， A.平面ACD⊥平面BCD 2V15 B.点D到平面ABC的距离为3 2√5 C.直线DE与平面ABC所成角的正弦值为5 2W7 D.点E到直线BD的距离为3 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A直接用面面垂直的判定定理可得，对BCD则用空间向量分别计算点到面，点到线的距离 第8页/共22页 6学科网列组卷网 及线面角可得 【详解】设CD的中点为O,连接AO,BO.因AC=AD=CD,所以AO⊥DC 又因BC⊥BD,所以O为直角三角BCD的外心，且AB=AC=AD, 所以△AOD≌△AOB≈△AOC,∠AOD=∠AOB=90°，得AO⊥OB 因A0⊥DC,A0⊥OB,AoNBO=0,BO,AOC平面BCD, 所以AO⊥平面BCD,AOC平面ACD,所以平面ACD⊥平面BCD,故A正确： BD,BC 故以 所在直线为)轴，以过B点平行于10的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图： B 5.00).C20555.5) 设平面ABC的法向量n=(x少)，BA=(W5,125),BC=(0,20) nBA=0 5x+y+23z=0 由 iBC=0'得 2y=0 ， z=1’x=-2y=0'n=(-2,0,0) -2 与n=(-2,0,1)同方向的单位法向量 =50 4V15 所以BD=(2√3,0,0)在单位法向量上的投影向量的模 -px(3+0+0 5, 4V15 得点D到平面ABC的距离为5，故B错误； 第9页/共22页 命学科网命组卷网 再由DE=(〉 C),)N直线DE与平面4B℃所成角的正弦值为 33 -2× +0×+1×3 2 cos(DE.)- (-2}+0+1× 3V3 4V3 25'所以C正确： √5x235 再由BE=(,亏N3),取与D同向的单位向量m=亿，Q,0 39 /2 所以点E到直线BD的距离为VBE 2 +0+0=2 2, 故D错误： 故选：AC, 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12设i=1-i,则 【答案】V2 【解析】 【分折】利用子=-人、复数的四则运算即可求解复数的获 1-ii-￥_i-(0-1-i 【详解】由题意可2=1=平= 则=V(-)2+(-12=2 故答案为：V2 l3.大数据语言的单次预训练过程大致遵循Chinchilla缩放定律： ,其中w是在经过单次训 第10页/供22页 6学科网命组卷网 练后具有N个参数的模型的测试损失的期望，AB,口是宿数，已知高=2，B=-2,A>0,则A的 最小值为 【答案】2 【解析】 【分析】根据已知条件结合指数运算计算得出A≥2，再计算取等条件验证即可. A-2=2 A -2 A 2A 【详解】由条件可知9 3a 得到943a +2=0 设=3°>0，则2r-2+A=0, 由其有解可得（-2A-8A=41(1-2)20,解得A22, 当A=2时，2(-1旷=0,3”=1=1，a=0,有解. 于是A的最小值为2. 故答案为：2， 14已知数列{a,}的通项为a,=2n-1,数列{.}的前n项积工=2，将a}与{.}中的所有项从小 到大依次排列构成一个新数列c,记P.为数列c}的前n项和，则使得P,>10c+1成立的n的最小值 冷 【答案】22 【解析】 【分析1分别求出数列a}、数列，}的通项公式，分折出数列c,的构成，根据卫，>10c1求出n的 最小值 【详解】由数列b.}的前n项积为。=2，即b,人…h,=2乎 当”=1时，可得=2 第11页/共22页 6学科网 命组卷网 + 22 +n(n-l}+n-) =22 2 当 =2” n≥2 2 2 其中么=2满足上式。所以数列私，}的通项公式为”，=2” 数列{a}前几项：1,3,5,7,9,11,13,15,17,19，… 数列.}前几项：2,4,8,16,32，… 将数列a,}和么，}中的项按从小到大排列，得到新数列c,}。 可得数列c}的前几项为：1,2,3,4,5,7,8,9,1,13,15,16,17,1921,23,25,27,29， 31,32,33,35,37,… 其中数列}的项在数列c.}中，分别为第2,47,12,21，…项， 当n=1时，A=1.10c=20 不满足P,>10c 当1=2时，B=3.10c,=30,不满足D,>10c 当”3时，B=6,10e,=0,不满足A>10c 当n=21时.=318.10ca=330,不清足D.>10c., 当n=2时，Pm=351,10e=350,此时满足Pa≥10c,符合腰意 所以使得P,>10c+成立的n的最小值为2. 故答案为：22 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤.) 第12页/供22页 6学科网命组卷网 2-x 15设函数f()=e- 4)求曲线y=f()在点0，f(o》处的切线方程， （2)若f(x为（四的导函数，求f(四）的极值。 【答案】(1)y=1 (2)f()在x=0处取极小值0，无极大值 【解析】 【分析】(1)求导，根据导数的几何意义求解即可； 2)令8()=f"(x) 求导，根据导数计算即可求解 【小问1详解】 因为八(x)=e-x-1 所以/'(0)=0.f(0)=1 故切线方程为少=1 【小问2详解】 令8()=f'(x)=e*-x-1 求导得8'(x)=e-1 因为x>0时，g(x)>0,所以f'()在(0，+o)上单调递增， 因为x<0时，8（女0，所以(）在（0,0)上单调递减， 故f()2了'(o)=0,枚（✉在x=0处取极小值0，无极大值. 第13页/供22页 6学科网列组卷网 C=I c2=3ab 16.设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知3， 21 (l)求sinA+sinB的值： (2)若a-b=1,求△ABC的面积. 3 【答案】(1)2 √阝 (2)2 【解析】 【分折】（山）利用余孩定理结合已知条件得出a+h=C,结合正弦定理即可得出答案： (2)由正弦定理结合(l)中的结论可得出关于sinA、sinB的方程组，结合△ABC内角的取值范围可 得出A、B的值，可知△ABC为直角三角形，求出a、b、C的值，即可得出该三角形的面积 【小问1详解】 由余弦定理得c2=d+-2 abcosC=a2+b-ab=(a+b}-3ab 26 ,所以3ab=2c2, 则(a+b=c2+3ah=3c2,所以a+b=Vc, 由正弦定理， 得sinA+sinB=V3sinC=3 【小问2详解】 由正弦定理及 2 6,利n2c-sin Asin c-3ab 2 ,所以sin AsinB=I 2, 第14页/供22页 6学科网命组卷网 由(1)知 sin 4+sin B=3 2, 又a-b=1,即a>b,A>B,所以sinA=1, sin B=1 因为0<A<π，0<B<π， 所以2B需ABC为直角三形，则a正2b 所以a=2,b=1,c=V2-b2=4-i=√3 所以aC的面和ce= 2 17.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD,PA=AB=3,E为PB的 中点. (1)证明：BC⊥AE」 V10 (2)点F在棱BC上，且直线AF与平面PAB所成角的正弦值为10· (i)求线段BF的长： (i)M为PD的中点，求点M到平面AEF的距离. 【答案】(1) 因为PA⊥底面ABCD,且BCC底面ABCD,所以PA⊥BC 第15页/供22页 学科网命组卷网 因为底面ABCD为正方形，所以AB⊥BC, 又因为PA∩AB=A,且A,ABC平面AB,所以BC⊥平面PAB, 因为AEC平面PAB,所以BC⊥AE (2)(i)BF=1: 61而 (i) 11 【解析】 【分析】(I)由底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD,先证明BC⊥平面PAB,进而证明BC⊥AE, (2)(0建立空间直角坐标系，设BF=(>0) 由线面角的向量求法列方程解出'即可；(iⅱ)由点 到平面的距离的向量求法求解即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以A为坐标原点，直线AB,AD,AP分别为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系Az, ZA P 则40a0.BfRa0.Pon3,Da0.M02.o2引 ①)设BF=>0),则F(34,0),AF=(34,0) 易知平面PAB的一个法向量为m=(0,10) 第16页/共22页 6学科网6组卷网 in0= F.m_=0 设直线AF与平面PAB所成的角为8，则 AFm9+210,解得=1 即BF=1」 AF=(31,0),设平面AEF的法向量为i=(x,y,2), E=3x 3 + z=0, AF.n=3x+y=0, 取元=(-L30 AM·6 所以点M到平面AEF的距离为 11 1s已上若+芳=a6>0的布水在为FL0.过P的线与世实于么B两在.4为 x- 的上顶点时， AF=3 (1)求E的方程： (2)过点A作：x=9的垂线，垂足为M (i)证明：直线MB过定点N; kk2 (i)记AB的中点为S(s,s≠O),NA的斜率为k,B的斜率为k,证明：s是定值 x+y=-l 【答案】(1)98 (2)(i)证明如下： 不妨设1(，)，B() x=my+1 设1B:x=m+1,联立8x2+9y2-72=0: 第17页供22页 6学科网列组卷网 16m 64 有8m2+9)y+16my-64=0,可得%+=8m2+9,y%=8m+9, 即m%=4(y+) yi-y2 易知M(9,y),直线MB的斜率为9-x2, 故直线@的方程可表示为一男=为上(：-9)】 9-x2 当s0 时，显然片马 教*=9-9）.9%-9%-9%+侧+_侧+以-92 yi-y2 片-y2 y-y2 =四+%-92=4(%+%)+y-9业=5弘-54=5 y-y2 yi-y2 y-y2 所以直线MB过定点V(5,0) 而当1B斜率为0时，直线MB就是x轴，也过点(5,0)】 综上，直线过定点V(5,0) (ⅱ)证明如下： t=y+业=-8m 由(i)可得28m2+9,所以=1+1=。8M 9 、+1= 8m2+98m2+9, 则6上上 1y2 yiy2 x-5x2-5(my-4)(my2-4)m2yy2-4m(y+y2)+16 -64 =-64m2-4m-(16m）)+16(8m2+9 ）8m2+9, 第18页/供22页 6学科网命组卷网 k=-4 kkz 所以有S9,即s是定值. 【解析】 【分析】(1)利用椭圆参数的几何意义即可求解椭圆方程： (2)(1)利用直线与椭圆联立方程组，设交点坐标，利用假设的坐标来表示直线MB方程，根据椭圆 y=0 的对称性可知定点在轴上，所以令 ,借助韦达定理去求为定值即可：（ⅱ）利用坐标法去计算斜 率，通过韦达定理的应用即可证明定值 【小问1详解】 记B的半焦距为c,由右焦点为F(1,0)可得：c=1,而Af=VB+c=a=3, x2,y2 =1 故b=V√a-c2=2√2，于是E的方程为98 【小问2详解】 (i)略 (ⅱ)略 a+2=a 19.设n为正整数，已知首项为2的正项数列{an}满足√a+a1· (1)若4- 16,求的值： ②质：仙a4+2ha}与他a之ha为带版别攻等北数别： (3)记a.}的前m项积为.若n≥2时，T,≥2V2,求亿}的通项公式 第19页/共22页 6学科网 命组卷网 1 【答案】(1)4=256 (2) a2=a. 正费对之会丙N同时取以。为底前对装台ha加a=na-2血a Ina2+ ①则 3 nd-hnd.即nea2+20a号hew+2na） 2 1 当4气4时n0+2na=n+2h2=2+2-0.t时4u+2na是a为0的数 4 当%￥1 4时，{血a+2lhan}是以lha,+2lh2为首项，2为公比的等比数列： 当4，=V2时，ha,2 4=-a5-h2-h2-h2=0,eana是为0m 2 2 常数列： 当4≠V2时， na是以n%2h2为首项，)为公比的等比数列 综上，{lna+2na,}与 为常数列或等比数列。 (3)=22为 【解析】 【分析】利用数列的递推公式、对数运算、数列通项公式和前项积进行求解. 【小问1详解】 第20页/供22页 6学科网命组卷网 dn2dn 由√aldl可得，a+2=anan, 当n=1时，4，=aa,即l6=a.2,解得4=4， 3 1 令n=2,则0，=42a256. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由(2)可得血a+21血a,}是以血4，+2血2为首项，2为公比的等比数列， 有na+2na=2a4+2h2)」 则有 则6haha,=(-2rah2 两式拥减得如a一 引=a+2n2-(2r'nan2] 则h元=ha+na,t++lna,-专 2)4+2a2a 23 由m≥2时，,≥22，则血7，≥2h2 -ja4+2hyo小 第21页/供22页 6学科网列组卷网 1-(-2)” 又当增大时，(-2)”会震荡变化且绝对值增大，即3一会震荡变化，若使上式恒成立，需满足 n4-2n2-0, ,所以4=V2 当4，=V2时，{ha1+2na,}是以na+2ln2为首项，2为公比的等比数列， an-na}为 常数列，此时=44，=2V5,满足条件 有4-5sx-2刘+n5a-j 2)3h2]-22)h2=n2 所以7，=22为 第22页/供22页