东北三省一区点石联考2025-2026学年高三上学期12月联合考试数学试卷

绝密★启用前（点石联考） 2025年点石联考东北“三省一区”高三年级12月份联合考试 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置．考试结束后，将答题卡交回． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．） 1. 椭圆的离心率为（ ）． A. B. C. D. 2. 已知向量若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. -1 B. C. 1 D. 3. 记集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. （ ）． A. B. C. 2 D. 4 5. 若圆与直线相切，则圆的面积为（ ）． A. B. C. D. 6. 设正数、满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数的图象关于直线对称，则（ ） A. B. C. -1 D. 8. 对于正数、，若，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知椭圆，则（ ） A. 椭圆的长轴长为 B. 当时，椭圆的焦点在轴上 C. 椭圆的焦距可能为6 D. 椭圆的短轴长与长轴长的平方和为定值 10. 记等差数列的公差为d，已知，，成等比数列，则（ ）． A. B. C. D. 11. 如图，在四面体中，为的中点，则（ ） A. 平面平面 B. 点到平面的距离为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 点到直线的距离为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设，则______． 13. 大数据语言的单次预训练过程大致遵循Chinchilla缩放定律：，其中是在经过单次训练后具有N个参数的模型的测试损失的期望，A，B，是常数，已知，，，则A的最小值为______． 14. 已知数列的通项为，数列的前项积，将与中的所有项从小到大依次排列构成一个新数列，记为数列的前项和，则使得成立的的最小值为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 设函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若为的导函数，求的极值． 16. 设的内角、、所对的边分别为、、，已知，． （1）求的值； （2）若，求的面积． 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为PB的中点． （1）证明：． （2）点F在棱BC上，且直线AF与平面PAB所成角的正弦值为． （ⅰ）求线段BF的长； （ⅱ）M为PD的中点，求点M到平面AEF的距离． 18. 已知椭圆的右焦点为，过F的直线与E交于两点．当A为E的上顶点时，． （1）求E的方程； （2）过点A作的垂线，垂足为M． （ⅰ）证明：直线过定点N； （ⅱ）记的中点为，的斜率为，NB的斜率为，证明：是定值． 19. 设为正整数，已知首项为2的正项数列满足． （1）若，求的值； （2）证明：与为常数列或等比数列； （3）记的前项积为．若时，，求的通项公式． 绝密★启用前（点石联考） 2025年点石联考东北“三省一区”高三年级12月份联合考试 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置．考试结束后，将答题卡交回． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】AC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】2 【14题答案】 【答案】22 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 【15题答案】 【答案】（1） （2）在处取极小值0，无极大值 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） 因为底面ABCD，且底面ABCD，所以． 因为底面ABCD为正方形，所以， 又因为，且PA，平面PAB，所以平面PAB， 因为平面PAB，所以． （2）（ⅰ）； （ⅱ） 【18题答案】 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明如下： 不妨设，， 设，联立， 有，可得，， 即， 易知，直线MB的斜率为， 故直线MB的方程可表示为， 当时，显然， 故 ， 所以直线过定点． 而当AB斜率为0时，直线就是轴，也过点． 综上，直线MB过定点． （ⅱ）证明如下： 由（ⅰ）可得，所以， 则， 所以有，即是定值． 【19题答案】 【答案】（1） （2） 证明：对两侧同时取以为底的对数有， ①则，即． 当时，，此时是恒为0的常数列； 当时，是以为首项，为公比的等比数列； ②也可化为． 当时，，此时是恒为0的常数列； 当时，是以为首项，为公比的等比数列． 综上，与为常数列或等比数列． （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $