2026年中考数学一轮复习 分类训练21 特殊四边形的判定与性质

分类训练21特殊四边形的判定与性质热考考点基础练 考点1 矩形的判定与性质 1.(2025 德阳)如图，要使平行四边形ABCD 是矩形，需要增加的一个条件可以是 ( ) A. AB∥CD B. AB=BC C.∠B=∠D D. AC=BD 2.(2025 内蒙古)如图,四边形ABCD 是一个矩形草坪,对角线AC,BD 相交于点O,H是BC边的中点,连接OH,且OH=20 m,AD=30 m，则该草坪的面积为 ( ) 3.(2025 辽宁)如图,在矩形ABCD 中,点E在边AD 上,BE=BC,连接CE,若AB=3,AE=4,则CE的长为 ( ) A.1 B.5 C.2 4.(2025 绥化)一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个夹角为60°，则这个矩形的面积是 ( ) A.25 5.(2025 兰州)如图,四边形ABCD 是矩形,对角线AC,BD 相交于点O,点E,F分别在边AB,BC上,连接EF 交对角线BD 于点 P.若P 为EF的中点,∠ADB=35°,则∠DPE= ( ) A.95° B.100° C.110° D.145° 6.(2025 广东)如图,在矩形ABCD中,E,F是BC边上的三等分点,连接 DE,AF 相交于点 G,连接 CG. 若 AB =8,BC =12,则tan∠GCF的值是 ( ) B. D. 7.(2025 内江)如图,在矩形ABCD 中,AB=8,AD=6,点E,F 分别是边AD,CD上的动点,连接BE,EF,点G为BE的中点,点 H为EF 的中点,连接GH,则GH 的最大值是 . 8.(2025 青海)如图,在 中,点O,D分别是边AB,BC的中点,过点A作 交DO 的延长线于点 E,连接AD,BE. (1)求证：四边形AEBD 是平行四边形； (2)若AB=AC,试判断四边形AEBD 的形状，并证明. 9.(2025云南)如图,在 中， O是AC的中点.延长BO至点D,使OD=OB..连接AD,CD.记. 的周长为l₁ 的周长为 ，四边形ABCD的周长为 (1)求证:四边形ABCD 是矩形; (2)若 求AC的长. 10.(2025 北京)如图,在 中,D,E分别为AB,AC的中点,DF ，垂足为F，点G在DE的延长线上，DG=FC. (1)求证:四边形 DFCG是矩形; (2)若 求BC和AC的长. 11.(2024长沙)如图,在 中,对角线AC,BD 相交于点O. (1)求证:AC=BD; (2)点E在BC边上,满足 若AB=6,BC=8,求CE的长及 的值. 考点2 菱形的判定与性质 12.(2025 泸州)矩形具有而菱形不具有的性质是 ( ) A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.对角线互相垂直 D.对角相等 13.(2025云南)如图,四边形ABCD 是菱形,对角线AC,BD 相交于点O.若AC=6,BD=5,,则菱形ABCD 的面积是 . 14.(2025青海)如图,在菱形ABCD 中,BD=6,E,F分别为AB,BC的中点，且EF=2,,则菱形ABCD 的面积为 . 15.(2025福建)如图,菱形ABCD 的对角线相交于点O,EF 过点O且与边AB,CD分别相交于点 E,F.若(OA=2,OD=1,则 与 的面积之和为 . 16.(2025 兰州)如图,在菱形ABCD 中, 垂足为E,交 BD于点 F,BE=CE.若 则 17.(2025 辽宁)如图,在菱形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O,AC=8,BD=12,点 E 在线段 OA 上,AE=2,点F 在线段OC上，OF=1,,连接BE,点 G为BE 的中点,连接FG,则 FG 的长为 18.(2025 内蒙古)如图,在菱形ABCD 中, ,对角线 BD 的长为16,E是AD的中点,F是BD 上一点,连接EF.若BF=3,则EF 的长为 . 19.(2025 长春)如图, 的对角线AC，BD相交于点O，AB=5:OA=4,OB=3,求证： 是菱形. 20.新课标开放性试题(2025 青岛)如图，在 中,E为AB的中点，F为ED延长线上一点，连接AF，BF，过点 B作 交FE的延长线于点 G，连接AG. (1)求证: (2)已知 (从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号)，请判断四边形AGBF 的形状，并证明你的结论. 条件①： 条件②： 21.(2025 贵州)如图,在 中，E为对角线AC上的中点，连接BE,且. ,垂足为 E.延长BC 至 F,使(CF=CE,连接EF,FD,且EF交CD 于点 G. (1)求证: 是菱形； (2)若BE=EF,EC=4,求 的面积. 22.(2025 扬州)如图,在 中，对角线AC 的垂直平分线与边AD,BC分别相交于点E,F. (1)求证:四边形AFCE 是菱形; (2)若AB=3,BC=5,,CE平分 ,求DE的长. 考点3 正方形的判定与性质 23.(2024陕西)如图,正方形 CEFG的顶点G在正方形ABCD 的边CD上,AF与DC交于点H,若AB=6,CE=2,则DH的长为( ) A.2 B.3 24.(2025湖北)如图,折叠正方形 ABCD 的一边 BC,使点 C 落在BD 上的点 F 处,折痕BE 交AC 于点 G.若 则 CG的长是 ( ) B.2 25.新课标开放性试题(2024龙东地区)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，请添加一个条件： ，使得菱形ABCD 为正方形. 26.(2025 北京)如图,在正方形ABCD 中,点E在边 CD 上,( BE,垂足为 F. 若 AB = 1,∠EBC =30°,则△ABF 的面积为 . 27.(2025 浙江)【问题背景】 如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD 上剪下机翼状纸板(阴影部分)，点E 在对角线 BD 上. 【数学理解】 (1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成的，请写出△ABE≌△CBE 的证明过程. (2)若裁剪过程中满足 DE=DA,求“机翼角”∠BAE 的度数. 28.(2025长沙)如图,正方形ABCD中,点E,F分别在AB,CD上,且BE=DF. (1)求证：四边形AECF 是平行四边形； (2)连接EF,若.BC=12,BE=5,求EF的长. 29.(2025 广安)如图,E,F是正方形ABCD 的对角线 BD 上的两点，BD=10,DE=BF,连接AE,AF,CE,CF. (1)求证: (2)若四边形AECF的周长为 求EF 的长. 综合能力强化练 30.(2025 烟台)如图,在菱形ABCD中, 对角线AC=6cm.点M从点A 出发,沿AC方向以1 cm/s的速度向点 C运动，同时，点N从点 C 出发，沿CD 方向以 的速度向点D 运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接AN，DM交于点 P.在此过程中，点P 的运动路径长为 cm. 31.(2025 南充)如图,AC 为正方形 ABCD 的对角线,CE 平分 交AB于点E，把 绕点 B 沿逆时针方向旋转 得到 ,延长CE交AF 于点 M,连接DM,交AC 于点 N.给出下列结论:①CM⊥AF;②CF=AF;③∠CMD=45°; 1.以上结论正确的是 .(填写序号) 32.(2025青岛)如图,在正方形ABCD中,E,F分别为CD,AD的中点.连接BF 并延长交AE于点 G，交 CD 的延长线于点 M，H为BE的中点,连接GH,CH,CG.下列结论:①CH∥AE;②∠M=30°;③S△con= S正方形ABco;④AG·MF =CD·AF.其中正确的是 (填写序号). 33.(2025 兰州)如图，在正方形ABCD中，AB=2cm,,对角线AC,BD 相交于点O,动点 P 从点 O 出发沿0→A→B 方向以 的速度运动，同时点 Q 从点 C 出发沿C→D 方向以1 cm/s的速度运动,当点 Q 到达点 D 时,P,Q同时停止运动.若运动时间为x(s)，△CPQ 的面积为 则点P 分别在OA，AB上运动时，y与x的函数关系分别是() A.均为一次函数 B.一次函数，二次函数 C.均为二次函数 D.二次函数，一次函数 34(2025 威海)把一张矩形纸片按照如图(1)所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图(2)或图(3)所示的正方形.若矩形纸片的长为m，宽为n，四边形 EFGH的面积等于四边形ABCD 面积的2倍，则 1 D 2 C 由题意知点O 是AC 的中点.又∵H是 BC边的中点,∴OH是△ABC的中位线,∴AB=2OH=40 m(依据: 三角形的中位线定理),∴S细BABCD =AB·AD =40×30=1200(m²). 3 D ∵四边形ABCD 是矩形,∴CD=AB=3,AD =BC,∠A= , 4 B 如图,矩形ABCD中,AC,BD 交于点O,AC=10,∠AOB=60°,∴ BO = AO =5,∴ △AOB 是等边三角形,∴AB =5, 5 C ∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠ABC =90°,AD∥BC,∴∠DBC=∠ADB=35°.∵ P 为 EF 的中点,∠ABC =90°,∴EP=PF = BP,∴∠PFB =∠PBF =35°,∴∠EPB =70°,∴∠DPE=110°. 6 B ∵E,F分别是BC边的三等分点,∴BE=EF =FC=4,∴ EC=8.∵AD∥EF,∴△ADG∽△FEG(相似模型:“8”字型相似)， 如图,过点 G作 GH⊥BC 于点 H,则GH∥DC,∴△EGH∽△EDC(相似模型:“A”字型相似), ∴ EH = GH = 2,∴ CH = 6, 75 【解析】如图,连接 BD,BF.∵ AB =8,AD =6,∴ BD = ∵点G为BE 的中点,点 H 为 EF 的中点,∴BF=2GH,∴当BF有最大值时,GH有最大值.∵点F 是边CD上的点,∴ 当点 F 与点 D 重合时,BF 有最大值,为10,∴GH的最大值为5. 8 (1)证明:∵点O为AB的中点, ∴OA=OB. ∵AE∥BC, ∴∠EAO=∠OBD,∠AEO=∠BDO. 在△AEO 和△BDO中, ∴△AEO≌△BDO(AAS), ∴AE=BD. ∵AE∥BD, ∴四边形AEBD 是平行四边形. (2)当AB=AC时,四边形AEBD 是矩形. 证明如下； ∵AB=AC,点D 是BC边上的中点, ∴AD⊥BC 即∠ADB=90°. 由(1)得四边形AEBD 是平行四边形， ∴四边形AEBD 是矩形. 9.10 (1)证明:∵O是AC的中点,∴OA=OC. 又∵OB=OD, ∴四边形ABCD 是平行四边形(依据：对自线互相平分的四边形是平行四边形). 又∵∠ABC=90°, ∴平行四边形ABCD 是矩形(依据：有一个角是直角的平行四边形是矩形). ∴l₂-l₁ = BC - AB = b - a =2,l₃ = 2(AB + BC) =2(a+b)=28, 10 (1)证明:∵D,E分别是AB,AC的中点,∴DG∥FC. 又DG=FC,∴四边形DFCG是平行四边形. ∵DF⊥BC,∴∠DFC=90°, ∴四边形 DFCG是矩形(依据：有一个角是直角的平行四边形是矩形). (2)∵∠B=45°,∠DFB=90°,DF=3, ∴BF=3,∴BC=BF+FC=BF+DG=3+5=8. ∵D,E分别是AB,AC的中点, ∴EG=DG-DE=5-4=1. ∵四边形DFCG是矩形,∴CG=DF=3, (1)证明:因为四边形ABCD 是平行四边形,且∠ABC=90°,所以四边形ABCD 是矩形， 所以AC=BD. (2)在)Rt△ABC中, 所以 因为∠CEO=∠COE, 所以CE=CO=5. 如图,过点O作OF⊥BC于点 F. 因为四边形ABCD 是矩形,所以OB=OC, 所以 所以EF=CE-CF=5-4=1. 在Rt△COF中, 所以 12 A 13. 15 14. 12 【解析】∵ E,F 分别为 AB,BC 的中点,且 EF=2,∴AC= 15. 1 思维导引 菱形ABCD — →AB∥CD,OA=OC—→△COE≌△AOE→ 【解析】∵在菱形ABCD中,AB∥CD,AC⊥BD,OC=OA=2,∴∠OCF=∠OAE.又∵∠COF=∠AOE,∴△COF≌△AOE, 16.4 【解析】∵四边形ABCD 是菱形,∴ 如图，连接AC,∵AE⊥BC,BE =CE,∴AE 垂直平分 BC,BE =2 ∴AC=AB = BC,∴ △ABC 是等边三角形,∴ ∠ABE =60°,∴∠FBE=∠ABF=∠BAF=30°,∴AF=BF=-BE30°=4. 17. 【解析】∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴AC⊥BD,OA =OC = ²+4²=2 .∵AE=2,OF=1,∴OE=4-2=2,FC=4-1=3,∴EF=2+1=3,∴EF=FC.又∵ 点G为BE的中点,∴GF 是△EBC的中位线,∴ 一题多解 利用坐标求解.如图，以点O 为原点，直线BD 为x轴；建立平面直角坐标系,易知E(0,2),F(0,-1),B(-6,0).∵点G为BE的中点,.;. 学科网（北京）股份有限公司 18 【解析】如图,连接AC交BD 于点O,则AC⊥BD.过点E作EG⊥OD 于点G,则EG∥AC,∴△DEG∽△DAO,∴EGAO=BG/OD= 四边形ABCD 是菱形,∴AD =AB =4 ,BO= ∴EG=2,DG=4,∴FG=BD-BF-DG =16-3-4=9, 19 证明:∵ (依据：勾股定理的逆定理)， ∴AC⊥BD. 又∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴四边形ABCD 是菱形(依据：对角线互相垂直的平行四边形是菱形). 20(1)证明:∵BG∥AF,∴∠AFE=∠BGE,∠FAE=∠GBE. ∵E是AB的中点,∴AE=BE, ∴△AEF≌△BEG(AAS). (2)答案一:① 四边形AGBF 是矩形. 证明:由(1)知△AEF≌△BEG,∴AF=BG. 又∵AF∥BG, ∴四边形AGBF 是平行四边形(依据：有一组对边平行业相等的四边形是平行四边形)， ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD. ∴四边形AGBF 是矩形(依据：对自线相等的平行四边形是矩形). 答案二：② 四边形AGBF为菱形. 证明:由(1)知△AEF≌△BEG,∴EF=EG. 又∵EA=EB, ∴四边形AGBF为平行四边形(依据：对自线互相平分的四边形是平行四边形). ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB∥CD. 又∵EF⊥CD,∴EF⊥AB, ∴四边形AGBF 为菱形(依据：对角线互相垂直的平行四边形是益形). 21 (1)方法一(利用线段的垂直平分线)； ∵E是对角线AC的中点,BE⊥AC, ∴BE是AC的垂直平分线， ∴AB=CB, ∴平行四边形ABCD 是菱形. 方法二(利用全等三角形)： ∵E是对角线AC的中点,∴AE=EC. ∵BE⊥AC,∴∠AEB=∠CEB=90°. 又∵BE=BE,∴△ABE≌△CBE(SAS), ∴AB=CB, ∴平行四边形ABCD 是菱形. 方法三(利用对角线互相垂直且平分判定菱形)： 如图，连接ED， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC,AD=BC,∴∠DAC=∠ACB. ∵E是对角线AC的中点,∴AE=EC, ∴△AED≌△CEB(SAS), ∴∠AED=∠BEC=∠AEB=90°,ED=EB, ∴B,E,D三点共线(注意:连接ED 后不能直接得出B,E,D三点兴线，需要合理证明). ∵BE⊥AC, ∴BD⊥AC, ∴平行四边形ABCD 是菱形. (2)如图,∵BE=EF,∴∠1=∠4. ∵CF=CE,∴∠3=∠4,∴∠1=∠4=∠3. ∵∠2是△CEF 的外角, ∴∠2=∠3+∠4=2∠4. 设∠1=x,则∠2=2x. ∵BE⊥AC,∴∠1+∠2=90°,∴x+2x=90°,解得x=30°,即∠1=∠4=∠3=30°,∠2=60°. 在Rt△BEC中,BC=2EC=8. ∵四边形ABCD 是菱形, ∴∠5=∠2=60°,CD=BC=8, ∴∠2=∠5=∠6=60°. ∵CF=CE,∴CG⊥EF, ∴在Rt△CGF中, 22 (1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD∥BC,∴∠DAC=∠BCA. 又∵AO=CO,∠AOE=∠COF, ∴△AOE≌△COF, ∴AE=CF. 又∵AE∥CF, ∴四边形AFCE 是平行四边形. ∵直线EF 是对角线AC的垂直平分线， ∴AE=CE(依据：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)， ∴四边形AFCE 是菱形(依据：一组邻边相等的平行四边形是盖形). (2)由(1)知AE=CE,∴∠EAC=∠ECA. ∵CE平分∠ACD,∴∠ECD=∠ECA, ∴∠ECD=∠EAC. 又∵∠CDE=∠ADC, ..△CDE∽△ADC, 即 23 B 由题意可得AD=CD=AB=6,GF=CG=CE=2,∴DG=4.∵AD∥BE∥GF,∴△ADH∽△FGH,.. YF==08,1即 24 B 如图,设AC,BD 交于点 O.∵四边形ABCD 是正方形,∴∠BOC=∠BCD=90°,∴∠1+∠3=90°,∠2+∠4=90°.由折叠,得∠BFE = ∠BCD =90°,EF = EC,∠1 = ∠2,∴∠3=∠4.又∠3 =∠5,∴∠4=∠5,∴CG=CE,∴CG=EF.∵∠DFE= 90°,∠BDC =45°,DE =2 ,∴ EF =2,∴CG=2. 一题多解 方法一思路如下：易得CE=EF=2,∴AB =CD=2+2 方法二思路如下：如图，设AC，BD 交于点 O.易得 CE= .过点G作GH⊥BC于点H.易证OG=GH.在 Rt△CGH中,∠GCH=45°,∴CG= ,∴CG=2. 25 AC=BD(答案不唯一)AC=BD 26 【解析】如图，过点 F 作. 于点 G，则 由题意知BC =AB =1,∴ BF = 27(1)证明:在正方形ABCD中, BA=BC,∠ABD=∠CBD =45°. 在△ABE 和△CBE中, 所以△ABE≌△CBE(SAS). (2)在正方形ABCD中,∠BAD=90°,∠ADB=45°. 因为DE=DA,所以∠DAE=∠DEA=67.5°, 所以 28(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形, ∴AB∥CD且AB=CD. 又∵BE=DF, ∴AB-BE=CD-DF, ∴AE=CF. 又∵AE∥CF, ∴四边形AECF 是平行四边形(依据：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形). (2)如图,过点E作EH⊥CD于点H. ∵四边形ABCD是正方形,BC=12, . CD=BC=12,∠B=∠BCD=90°. 又∵∠EHC=90°, ∴四边形EBCH 是矩形, ∴HC=EB=5,EH=BC=12. 又∵DF=BE=5, ∴HF=CD-DF-CH=12-5-5=2. 在Rt△EHF 中,由勾股定理,得 29(1)证明:∵四边形ABCD为正方形, ∴AD=BC,∠ADE=∠CBF=45°. 在△ADE和△CBF 中, ∴△ADE≌△CBF(SAS). (2)如图,连接AC交 BD 于点 O. ∵四边形ABCD 为正方形,BD=10, ∴BD⊥AC,OA =OC =OB =OD = ∴AF=CF,AE=CE. 由(1)知△ADE≌△CBF, ∴AE=CF,∴AF=CF=AE=CE, ∴四边形AECF 是菱形,∴ EF=2OF. ∵四边形AECF的周长为 ∴EF=6. 30 【解析】由题意可知 如图,过点 D 作DE⊥AC 于点E,则 (依据：等腰三角形“三线合 又∵∠DAM =∠ACN=30°,∴△DAM∽△ACN,∴∠NAC =∠MDA.∵ ∠APM =∠PAD +∠MDA =∠PAD +∠NAC=∠DAM=30°,∴∠APD =150°,∴ 点 P 在△APD 的外接圆上，设其圆心为点 O，如图所示，在优弧AD 上任取点Q,连接AQ,DQ,OA,OD,则∠Q=180°-∠APD=30°(依据:圆内接四边形对角互补),OA =OD,∴∠AOD=2∠Q=60°(依据:圆周自定理),∴ △OAD 是等边三角形,∴ OA = AD=2 cm，由题意知 点N从点 C 运动到点D所需时间为 ，点M从点A 运动到点 C 所需时间为6÷1=6(s)，∴点N到达点D时，两点同时停止运动，此时点P 与点 D 重合,∴点 P 的运动路径是AD,∴ 点 P 的运动路径长为 31①③④ 【解析】由旋转可得BE=BF.如图,过点 E作EG⊥AC 于点G,又 CE 平分∠BCA,∴EG = EB.∵ EC = EC,∴ Rt△ECG≌Rt△ECB,∴CB=CG.又∠BAC=45°,∴AG=EG,∴EB=AG,∴BF=AG,∴CF=AC.若CF=AF,则△ACF 是等边三角形,则∠ACF=60°,不符合题意,故②中结论错误.又 CM 平分∠ACF,∴CM⊥AF,故①中结论正确.连接BM,则AM=BM,∴∠MAB= ∠MBA,∴ ∠MAD = ∠MBC. 又 AD= BC,∴△MAD≌△MBC,∴ ∠ADM =∠BCM = ∠ACM. 又∠AND =∠MNC,∴∠CMN=∠DAN=45°,故③中结论正确.设 MD,AB交于点 P,∵ ∠ADM=∠ACM =∠BCM =22.5°,∴∠APN=67.5°,∠ANP = ∠DAC +∠ADM =45°+22.5°= 67.5°,∴∠APN=∠ANP,∴ AP =AN.同理可得CD=CN.设 CN=CD=a,则 故④中结论正确. 32①④ 33 D ∵四边形ABCD 是正方形, 45°.由题意得 CQ =x.当点 P 在 OA 上时,PC =PO +OC= 如图,过点 P 作 PH⊥CD 于点 H,则 PH=x+1, 当点 P 在 AB 上时，易知点P到CD 的距离为2,∴ 故选D. 34 【解析】根据题意得，四边形 EFGH 的面积为 四边形 ABCD 的面积为 ∵四边形 EFGH 的面积等于四边形 ABCD 面积的 2 倍, 整理得 设 解得 舍去)， $