2026年中考数学一轮复习 分类训练22 圆的基本性质

分类训练22圆的基本性质热考考点基础练 考点1 圆周角定理及其推论 1.(2025重庆)如图,点A,B,C在⊙O 上,∠AOB =100°,∠C 的度数是 ( ) A.40° B.50° C.80° D.100° 2.(2025 新疆)如图,CD 是⊙O 的直径,AB 是弦,AB⊥CD,∠ADC=30°,则∠BOC= ( ) A.30° B.45° C.60° D.75° 3.(2025 长沙)如图,AC,BC 为⊙O 的弦,连接OA,OB,OC.若∠AOB=40°,∠OCA =30°,则∠BCO 的度数为 ( ) A.40° B.45° C.50° D.55° 4.(2025 青海)如图,AB 是⊙O 的直径,∠CAB =40°,则∠ADC 的度数是 ( ) A.80° B.50° C.40° D.25° 5.(2025 山西)如图,AB为⊙O 的直径,点C,D是⊙O 上位于AB异侧的两点，连接AD，CD.若 则∠D的度数为 ( ) A.30° B.45° C.60° D.75° 6.(2025 广元)如图,CD 是⊙O 的弦,过圆心O作OA⊥CD 于点H,交⊙O 于点A,OH:HA=3:2,点M 是 上异于C，D的一点，连接CM,DM,则sin∠CMD 的值是 ( ) A. B. C. D. 7.(2025泸州)如图,四边形ABCD 内接于⊙O,BD 为⊙O 的直径.若 则 ( ) 8.(2025 扬州)如图,点A,B,C在⊙O上, 则 °. 9.(2024 南充)如图,AB 是⊙O 的直径,位于AB 两侧的点 C,D 均在⊙O上,∠BOC=30°,则 10.(2025 陕西)如图,AB为⊙O 的直径, 则 的度数为 . 11.(2024连云港)如图,AB 是圆的直径,∠1,∠2,∠3,∠4的顶点均在AB 上方的圆弧上，∠1，∠4 的一边分别经过点A，B，则∠1+∠2+∠3+∠4= °. 12.(2024眉山)如图,△ABC 内接于⊙O,点O 在AB 上,AD 平分 交⊙O于点D,连接BD.若 则BC的长为 . 13.(2025 浙江)如图,矩形ABCD 内接于⊙O,E是 上一点，连接EB,EC分别交AD 于点F,G.若AF=1,EG=FG=3,则⊙O 的直径为 . 考点 2 垂径定理及其推论 考向1 垂径定理及其推论有关的计算 14.(2025 宜宾)如图,AB 是⊙O 的弦,半径 OC⊥AB 于点 D.若AB=8,OC=5,则OD的长是 ( ) A.3 B.2 C.6 D. 15.(2024广州)如图,⊙O 中,弦AB 的长为4 ,点 C 在⊙O 上,OC⊥AB,∠ABC=30°.⊙O 所在的平面内有一点 P,若OP=5,则点P 与⊙O的位置关系是 ( ) A.点P在⊙O上 B.点P在⊙O内 C.点P在⊙O外 D.无法确定 16.(2025武汉)如图,四边形ABCD 内接于⊙O, 若AB= 则⊙O的半径是 ( ) A. B. C. D.5 17.(2025 长沙)如图,AB为⊙O 的弦,OC⊥AB 于点 C,连接OA,OB.若AB=OA,AC=3,则OA 的长为 考向2 垂径定理的实际应用 18.(2024通辽)如图，圆形拱门最下端AB 在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD 经过拱门所在圆的圆心O.若AB=1m,CD=2.5m,则拱门所在圆的半径为( ) A.1.25m B.1.3m C.1.4m D.1.45m 19.(2024 凉山州)数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A,B,连接AB,作AB 的垂直平分线CD 交AB 于点D,交. 于点C,测出AB=40 cm,CD=10cm,则圆形工件的半径为 ( ) A.50cm B.35 cm C.25 cm D.20cm 考点 3 圆内接四边形的性质 20.(2025甘肃)如图,四边形ABCD 内接于(⊙O, 连接BD.若 则 的度数为 ( ) A.20° B.35° 21.(2024 吉林)如图,四边形ABCD 内接于⊙O,过点B 作. AD,交CD 于点 E.若 ,则∠ABC 的度数是 ( ) B.100° 22.(2024滨州)如图,四边形ABCD 内接于⊙O,若四边形OABC是菱形，则 23.(2025 广安)如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形, ⊙O 的半径为6,则 BD 的长为 . 考点4 圆的基本性质的综合 24.(2025广西)如图,已知AB是⊙O 的直径,点 C,D 在⊙O 上, (1)求证: (2)求∠ABD 的度数. 25.(2024安徽)如图,⊙O 是 的外接圆，D是直径AB 上一点， 的平分线交AB于点 E，交⊙O于另一点F，FA=FE. (1)求证:( (2)设 垂足为M，若OM=OE=1,求AC的长. 26.(2024 苏州)如图, 中， D 为 AB 的中点, ⊙O 是 的外接圆. (1)求BC的长; (2)求⊙O的半径. 27.(2025福建)如图,四边形ABCD 内接于⊙O,AD,BC的延长线相交于点E,AC,BD 相交于点 F. G是AB 上一点,GD 交AC于点H，且AB=AC,BG=DG. (1)求证: (2)求证: (3)若 求 的周长. 创新考法提升练 28.新素材眼肌运动训练图(2025 河北)2025 年3 月是第 10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”.如图是一幅眼肌运动训练图，其中数字1~12对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心.图中以数字0~12对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等.若该圆的半径为1，则这条线段的长为 (参考数据： 眼肌运动训练图 使用方法: 以0, 1, 2,3，…的顺序沿着箭头方向移动眼球.移动一圈后再回到原点，反复进行. 1 B 2 C 如图,连接OA,则∠AOC=2∠ADC=60°(依据:圆周自定理).∵OA=OB,AB⊥CD,∴∠BOC=∠AOC=60°(依据;等腰三角形“三线合一”).故选C. 3 又∵∠OCA=30°,∴∠BCO=∠ACB+∠OCA=20°+30°=50°. 4 B ∵AB 是⊙O 的直径,∴ ∠ACB=90°,∴ ∠ADC=∠ABC= 5 B 如图,连接AC,BC.∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB=90°(依据: 直径所对的圆周自是直角).∵AC=BC,∴∠CAB = (依据：同弧所对的圆周角相等).故选 B. 一题多解 如图，连接 故选B. 6 B 连接OC,OD,如图,∵OC=OD,OA⊥CD,∴∠COA= 又∠CMD= ∠COD,∴∠CMD=∠COA.设OH=3x,则AH=2x,∴OC=5x,∴OC=4x,∴sin∠COA=CHC= 故选 B. 7 B ∵AB=AC,∴ ∠ABC =∠ACB =70°,∴ ∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=40°,∴∠CDB =∠BAC=40°.∵ BD 是⊙O的直径,∴∠BCD =90°,∴ ∠CBD =90°-∠CDB =50°.故选B. 8 .40 【解析】∵∠BAC=50°,∴∠BOC=2∠BAC=100°.∵ OB = 9.75 【解析】∵ ∠BOC = 30°,∴ ∠AOC = 180° - ∠BOC = 一题多解 连接BD,∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ADB =90°.∵ ∠BOC=30°,∴∠BDC= ∠BOC=15°,∴∠ADC=∠ADB-∠BDC=75°. 10.66° 【解析】∵AB为⊙O 的直径,BC=BD,∴AB⊥CD,∴∠A+∠ACD = 90°. 又 ∠A = ∠CDB = 24°,∴ ∠ACD = 90°-∠A=66°. 11.90 【解析】如图,连接FD,FE,FB,则∠AFB =90°,∠CFD =∠2,∠DFE =∠3,∠EFB =∠4,∴ ∠1 +∠2+∠3 +∠4=∠1+∠CFD+∠DFE+∠EFB=∠AFB=90°. 【解析】如图,延长AC,BD 交于点 E.∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ADB=∠ADE=∠ACB=∠BCE=90°.∵AD 平分∠BAC,∴∠BAD =∠DAE.又∵AD =AD,∴△ABD≌△AED(ASA), ∴∠BAD =∠CBD,∴△ABD∽△BEC,∴BEAB=BCD,∴4510= 13.2 【解析】如图,连接AE.∵AF=1,FG=3,∴AG=AF+FG=4.∵AC是⊙O的直径,∴ ²-3²= .∵EG=FG,∴∠GEF=∠GFE.∵AD∥BC,∴∠GFE= ∠CBE,∴∠CBE= ∠GEF,∴ CE = CB = AD.又∵AC=CA,∴Rt△ADC≌Rt△CEA(HL),∴ CD =AE = 又∵∠AEG =∠D =90°,∠AGE =∠CGD,∴ △AEG≌△CDG(AAS),∴GD =EG=3,∴AD=AG+GD =4+3 =7,∴ AC= ，即⊙O的直径为： 14 A ∵OC⊥AB,AB=8,∴AD =BD=4(依据:垂径定理).在Rt△AOD中,OA=5,由勾股定理可得 故选A. 15 C 连接AO.∵∠ABC=30°,∴∠AOC=60°.设OC 与AB 交于点1 4.∵OP=5>4,∴点P在⊙O外. 16 A 17.6 【解析】∵OC⊥AB,∴BC=AC=3,∴AB=6.又∵OA=AB,∴OA=6. 18 B 19 C 20 C ∵四边形ABCD 内接于⊙O,∴∠ADC+∠ABC=180°(依据:圆内接四边形对角互补),∴∠ADC=180°-∠ABC=110°. 21 C ∵ BE∥AD,∴ ∠D =∠BEC =50°,∴ ∠ABC =180°-∠D=130°. 22.60 【解析】∵ 四边形 ABCD 内接于⊙O,∴∠B +∠D =180°.∵四边形OABC 是菱形,∴ ∠B =∠AOC,∴∠AOC +∠D=180°.又∠AOC=2∠D,∴3∠D=180°,∴∠D=60°. 一题多解 如图,连接OB,∵四边形OABC是菱形,∴△OAB 是等边三角形,∴∠OAB =60°,∴∠OAB +∠AOC =180°,∴∠AOC= 23.6 【解析】如图，连接DO 并延长交⊙O 于点 E，连接BE，则DE=12,∠A =∠E,∠EBD =90°.∵ 四边形 ABCD 内接于⊙O,∴∠A+∠BCD=180°.又∵∠BCD=120°,∴∠A=60°, 学科网（北京）股份有限公司 24 (1)证明:∵ 又∵BO=DO,OC=OC, ∴△BOC≌△DOC. (2)∵OB=OC,∠ABC=65°, ∴∠OCB=∠OBC=65°, 由(1)知△BOC≌△DOC, ∴∠DOC=∠BOC=50°, 一题多解 对于本题第(2)问还有如下解法； ∵OB=OC,∠ABC=65°, ∴∠OCB=∠OBC=65°, ∵OB=OD,BC=DC, ∴OC⊥BD(依据：到线段两焰点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)， 25 (1)证明:因为 FA=FE,所以∠FAE=∠AEF. 又∠FAE 与∠BCE 都是BF所对的圆周角,所以∠FAE=∠BCE. 由于∠AEF=∠CEB,所以∠CEB=∠BCE. 因为CE平分∠ACD,所以∠ACE=∠DCE. 又AB是直径,所以∠ACB=90°. 于是∠CEB+∠DCE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=90°. 故∠CDE=90°,即CD⊥AB. (2)由(1)知,∠BEC=∠BCE,所以BE=BC. 又AF=EF,FM⊥AB,所以MA=ME=2,AE=4, 从而圆的半径OA=OB=AE-OE=3, 于是BC=BE=OB-OE=2. 在△ABC中,AB=6,BC=2,∠ACB=90°, 所以 即AC的长为4 26(1)∵∠BAC=∠BCD,∠B=∠B,∴△BAC∽△BCD, D为AB的中点,∴BD=AD=2 (2)如图,过点A 作AE⊥CD,垂足为 E,连接CO,并延长交⊙O于F,连接AF. 在Rt△AED中, ∵△BAC∽△BCD,∴∠CD=48/6= 设CD=x,则AC= x,CE=x-1. ∵在Rt△ACE中, 即 解得 (舍去). ∵∠AFC与∠ADC 都是AC所对的圆周角, ∴∠AFC=∠ADC. ∵CF为⊙O 的直径, ∴∠CAF=90°, ⊙O的半径为 27 (1)证明;∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB. ∵AB=AB,∴∠ACB=∠ADB,∴∠ABC=∠ADB. ∵∠ADB=∠DBE+∠E, ∴∠ABC=∠DBE+∠E. (2)证明:∵ ∴∠ABD=∠ACD. ∵BG=DG, ∴∠BDG=∠ABD=∠ACD. 又∵∠DHF=∠CHD,∴△HDF∽△BCD, 由(1)知,∠ABC=∠DBE+∠E. 又∵∠ABC=∠DBE+∠ABD, ∴∠ABD=∠E,∴∠BDG=∠E. ∵∠ADB=∠ADG+∠BDG=∠DBC+∠E, ∴∠ADG=∠DBC. ∴∠ADG=∠DAC, .. AH=DH, (3)由(2)知,AH=DH, ∴△AGH 的周长为AG+GH +AH =AG +GH +DH =AG+DG=AG+BG=AB. 设DE=m,则AD=2DE=2m,AE=AD+DE=3m. 由(2)可知,∠ACD=∠E. 又∵∠CAD=∠EAC,∴△ACD∽△AEC, 又∵ 如图,过点C作CP⊥AE,垂足为P,则∠CPD=∠CPE=90°. ∵四边形ABCD 是圆内接四边形， ∴∠ADC+∠ABC=180°. 又∵∠ADC+∠CDP=180°, ∴∠CDP =∠ABC, ∴在 Rt△DCP中, 即 ∴PE=DE-DP=m-1,PC= 在 Rt△CPE中, 解得m=3或m=-1(舍去), ∴△AGH的周长为3 28. 【解析】题图中以数字0-12对应的点为端点的所有线段中，以数字6，7对应的点为端点的线段的长与其他的都不想等(关键点：找出待求线段).如图，设数字0，6，7，11 对应的点分别为O,A,B,C,连接OA,OB,OC,BC,AC.∵数字1-12对应的点均匀分布在一个圆上,360°÷ 12=30°,∴∠AOC=3×30°=90°,∠BOC =2×30°=60°,∴△OBC 是等边三角形(点拨：结合OB=OC可得此结论)， (依据: 固周自定理),∴BC=OB=1.过点 C 作 CD⊥AB 于点 D,则 即以数字6，7对应的点为端点的线段的长为为 点拨: 先构造AB所在的△ABC, 易求∠ABC=45°,∠BAC=30°,故作△ABC的高CD、分别求出BD,AD的长即可 一题多解 本题还可用如下方法求以数字6，7对应的点为端点的线段的长：如图,设数字0,6,7,12 对应的点分别为O,A,B,C,连接OA,OB,易知 ,B,O,C三点共线.过点A 作AD⊥BC 于点 在 Rt△ABD中,根据勾股定理，得 设 (m,n为有理数)，则 即 即4mn=3.∵m+n=2,∴n=2-m,∴4m(2-m)=3,解得 或 .由此易得m，n中一个数为- ，另一个数为 学科网（北京）股份有限公司 $