2026年中考数学一轮复习 分类训练18 图形的相似

分类训练18图形的相似热考考点基础练 考点 1 比例线段 考向1 平行线分线段成比例 1.(2025乐山)如图,,I₁∥l₂∥l₃,AB=2,DE=3,BC=4,则EF的长为 ( ) A.4 B.6 C.8 D.10 2.(2025青海)如图,在△ABC中,DE∥BC,且AD=3,DB=2,则 的值是 . 考向2 黄金分割 3.(2024 德阳)宽与长的比是 的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感.已知四边形ABCD 是黄金矩形(AB<BC),点 P 是边AD 上一点,则满足PB⊥PC的点 P 的个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.0 4.(2024泸州)如图,把黄金矩形ABCD 沿对角线AC 翻折,点 B 落在点 B'处,AB'交 CD 于点 E,则 sin∠DAE 的值为 ( ) B. C.3/5 5.(2024 山西)黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点A,B 分别在习字格的边MN,PQ 上,且AB∥NP, “晋”字的笔画“、”的位置在AB 的黄金分割点 C 处，且 若NP=2cm ,则BC的长为 cm(结果保留根号). 学科网（北京）股份有限公司 考点2 相似图形 6.(2025 广东)如图,把△AOB 放大后得到△COD,则△AOB 与△COD 的相似比是 . 7.(2025甘肃)“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢.”风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录.为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线AC⊥BD.已知大、小风筝的对应边之比为3：1.如果小风筝两条对角线的长分别为30cm和35 cm，那么大风筝两条对角线长的和为 cm. 考点 3 相似三角形的判定与性质 考向1“A”字型 8.(2025云南)如图,在△ABC中,已知D,E分别是AB,AC边上的点,且DE∥BC.若 则 ( ) A. B. C. D. 9.(2025 河北)如图,在五边形ABCDE中,AE∥BC,延长BA,BC,分别交直线 DE 于点 M，N.若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN,则这个条件是 ( ) A.∠B+∠4=180° B. CD∥AB C.∠1=∠4 D.∠2=∠3 10. 新课标|开放性试题(2024 滨州)如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB，AC上.添加一个条件使△ADE∽△ACB，则这个条件可以是 .(写出一种情况即可) 考向2“8”字型 11.新课标跨学科试题(2025 内江)阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球.”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物.这一原理在生活中随处可见.如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头.如图乙所示，动力臂OA =150 cm,阻力臂OB=50cm,BD=20cm,则AC的长度是( ) A.80 cm B.60 cm C.50cm D.40 cm 12.(2025威海)如图,△ABC的中线BE,CD 交于点 F,连接DE.下列结论错误的是 ( ) 四边形BCED 考向3 “一线三等角”型 13.(2025陕西)如图,正方形ABCD 的边长为4,点 E为AB 的中点,点F在AD上,EF⊥EC,则△CEF 的面积为 ( ) A.10 B.8 C.5 D.4 14.(2025苏州)如图,在△ABC中,AC=3,BC=2,∠C=60°,D 是线段BC上一点(不与端点B，C重合)，连接AD，以AD为边，在AD 的右侧作等边三角形ADE，线段 DE 与线段AC交于点 F，则线段CF 长度的最大值为 . 考向4 其他类型 15.(2025贵州)如图,已知△ABC∽△DEF,AB:DE=2:1,若DF=2，则AC的长为 ( ) A.1 B.2 C.4 D.8 16.(2024连云港)下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为 ( ) A.甲和乙 B.乙和丁 C.甲和丙 D.甲和丁 17.(2025连云港)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,AD平分∠CAB,BE⊥AD,E为垂足,则 的值为 ( ) A.2 考点4相似三角形的实际应用 18.新课标跨学科试题(2024 扬州)物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法.如图，燃烧的蜡烛(竖直放置)AB 经小孔O 在屏幕(竖直放置)上成像A’ B’.设AB=36cm,A'B'=24cm,小孔O 到AB 的距离为30 cm,则小孔O到A'B'的距离为 cm. 19.新课标项目式学习(2025 河南)焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心.某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下. 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，太阳光下，其顶端A 的影子落在点 D 处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点 F 处，位于点 M处的观测者眼睛所在位置为点N，点N，E，A在一条直线上，纪念碑底部点 B在观测者的水平视线上. 测量数据 DE=2.1m,DF=2.1m, DM=1m,MN=1.2m . 备注 点F，M，D，C在同一水平线上. 根据以上信息，解决下列问题. (1)由标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，可得CD =CA，请说明理由. (2)求纪念碑AB 的高度. (3)小红通过间接测量得到 CD 的长，进而求出纪念碑AB 的高度约为 18.5m.查阅资料得知，纪念碑的实际高度为19.64 m.请判断小红的结果和(2)中的结果哪个误差较大?并分析误差较大的可能原因(写出一条即可). 综合能力强化练 20.(2024泰安)综合与实践 为了研究折纸过程蕴含的数学知识，某校九年级数学兴趣小组的同学进行了数学折纸探究活动. 【探究发现】 (1)同学们对一张矩形纸片进行折叠，如图(1)，把矩形纸片ABCD 翻折，使矩形顶点 B 的对应点 G恰好落在矩形的一边CD上,折痕为 EF,将纸片展平,连接BG. EF 与BG相交于点 H.同学们发现图形中四条线段成比例，即 请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由. 【拓展延伸】 (2)同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研究，如图(2)，BD 是平行四边形纸片ABCD的一条对角线，同学们将该平行四边形纸片翻折，使点A 的对应点 G.点C 的对应点H都落在对角线 BD 上，折痕分别是 BE 和 DF.将纸片展平,连接EG,FH,FG.同学们探究后发现,若FG∥CD,则点G恰好是对角线 BD 的一个“黄金分割点”，即 GD.请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由. 21.(2024 江西)综合与实践 如图,在Rt△ABC中,点D 是斜边AB上的动点(点D 与点A 不重合)，连接CD，以CD 为直角边在 CD 的右侧构造 连接BE, 【特例感知】 (1)如图(1),当 m =1 时,BE 与 AD 之间的位置关系是 ，数量关系是 . 【类比迁移】 (2)如图(2),当m≠1时，猜想BE与AD之间的位置关系和数量关系，并证明猜想. 【拓展应用】 (3)在(1)的条件下,点F 与点C 关于DE对称,连接DF,EF,BF,如图(3).已知AC=6,设AD=x,,四边形CDFE 的面积为y. ①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值； ②当BF=2时，请直接写出AD 的长度. 创新考法提升练 22.新考法结合6等分点(2025 广安)已知 的面积是1. (1)如图(1),若D,E分别是边 BC 和AC 的中点,AD 与BE 相交于点 F，则四边形CDFE 的面积为 ； (2)如图(2),若M,N分别是边BC和AC上距离C 点最近的6等分点,AM 与 BN 相交于点 G,则四边形 CMGN 的面积为 . 23.(2025连云港)一块直角三角形木板，它的一条直角边 BC长2m，面积为 (1)甲、乙两人分别按图(1)、图(2)用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大. (2)丙、丁两人分别按图(3)、图(4)用它设计一个长方形桌面.请分别求出图(3)、图(4)中长方形的面积 与DE的长x(m)之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值. 1.B 2. 3 D 4 A 5.( -1) 【解析】在正方形MNPQ 中,AN∥BP.又∵AB∥NP,∴四边形ABPN 是平行四边形，∴ -1. 6 1:3 7195 【解析】大风筝两条对角线长的和是(30+35)×3=195(cm). 8 A ∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC(点放:“A”字型相似), 故选 A. 9 D 若△MAE∽△DCN,则∠CDN=∠AME,∴CD∥BM(点放: 逆推找条件).当CD∥BM 时,结合AE∥BC,可得△DCN∽△MBN∽△MAE(点拨: 验证“当 CD∥BM 时,△MAE∽△DCN”).可知选项A,C均可推出CD∥BM,选项B中的CD∥AB 即为CD∥BM,故添加选项A,B,C中的一个条件后,均能判定△MAE∽△DCN.故选 D. 10 ∠ADE =∠C(答案不唯一) 11 B 易证/△AOC∽△BOD,∴△C/BD=OA/OB,H ∴AC的长度为60 cm. 12 B 13 C ∵E为AB的中点,∴ ∵∠A=∠FEC=90°,∴∠AFE+∠AEF=∠AEF+∠BEC=90°,∴∠AFE=∠BEC.又∠A=∠B=90°,∴△AEF∽△BCE|(点拨：“一线三直角”相似模型)， 即 5.故选C. 14.34 如图,延长CB至点M,使CM=AC=3,连接AM,则△ACM是等边三角形,∴∠M=60°,AM=AC=3.设CD=x,则MD=|3-x.∵△ADE是等边三角形,∴∠ADE=60°,∴∠1+∠2=120°.∵∠C=60°,∴∠3+∠2=120°,∴∠1=∠3.又∠M=∠C,∴ △MAD∽△CDF (模型:“一线三等角”模型), ∴当 时,CF 最大,为- ∵CF=CA-AF=3-AF,∴求 CF的最大值即为求AF 的最小值.∵ △ADE 是等边三角形, 又∵∠DAC=∠FAD,∴ △ADF∽ △ACD,∴ ∠D=40. AD 最小时,AF 最小.易知当AD⊥BC时,AD 最小(点拨: 垂线段最短) ,此时AD =AC· sin C= 15. 16D 17 A 如图,延长BE交AC 的延长线于点F.∵AD平分∠CAB,∴∠FAE=∠BAE.又∵AE⊥BF,∴∠ABF=∠F,∴AF=AB,∴BE=EF(点拨：见角平分线+垂直，考虑“三线合一”).易证 2 .故选A. 18.20 【解析】由题意得,AB∥ A'B',∴△AOB∽△A'OB'(点拨:“8”字型相似),过点O 作 AB 的垂线,交AB 于点 C,交A'B'于点 C',则 OC'⊥A'B'.易得 即 ∴OC'=20,故小孔O到A'B'的距离为20cm. 19(1)∵太阳光线是平行光线,∴∠EFD=∠ADC.又∠EDF=∠ACD=90°,∴△EFD∽△ADC, ∵DF=DE,.. CD=CA. (2)记NB与DE的交点为P. 由题意知PN=DM=1,DP=BC=MN=1.2,BN=CM, PE=DE-DP=2.1-1.2=0.9. 设AB=x,则CD=CA=AB+BC=x+1.2, ∴BN=CM=CD+DM=x+1.2+1=x+2.2. 在 Rt△PNE中, 在Rt△BNA中,: ∴AB=0.9BN,∴x=0.9(x+2.2), 解得x=19.8. 答:纪念碑AB的高度约为19.8 m. (3)小红的结果误差较大.原因可能是平台底部点C不可直接到达，间接测量时产生了较大误差.(注：答案不唯一，合理即可) 20 (1)正确. 理由:如图,过点E作EM⊥BC于点 M. ∵EF⊥BG,∴∠BHF=90°, ∴∠FBH+∠BFH=90°. ∵∠EMF=90°,∴∠MEF+∠BFH=90°, ∴∠FBH=∠MEF. 又∵∠EMF=∠C=90°, ∴△EMF∽△BCG, ∵∠A=∠ABM=∠BME=90°, ∴四边形ABME 是矩形,∴AB=EM, (2)正确. 理由:∵CD∥FG, ∴△BCD∽△BFG,∠CDF=∠DFG, 由折叠知∠CDF=∠BDF,∴∠DFG=∠BDF, 又∵BG=AB=CD, ，点G为BD的一个“黄金分割点”. 21 (1)BE⊥AD BE=AD(或填“垂直”“相等”) (2)BE⊥AD,BE=mAD. 证明:∵∠ACB=90°,∠DCE=90°, ∴∠ACD=∠BCE. 又∵ ..△BCE∽△ACD, ∴BE=mAD. ∵∠BAC+∠ABC=90°, ∴∠EBC+∠ABC=90°, 即∠ABE=90°, ∴BE⊥AD. (3)①方法一:由(1)知,当m=1时,BE=AD=x,BE⊥AD,CB=CA=6,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°, ∵点C与点F关于DE对称， ∴CD=CE=EF=DF, ∴四边形 CDFE 是正方形, ∴当 时，y的最小值为18. 方法二:如图(1),过点 D 作 DG⊥AC 于点G, ∴∠DGA =90°. ∵在Rt△ABC和Rt△CDE中, ∴CD=CE,CB=CA, ∴∠A=45°, ∵点C 与点 F关于DE对称, ∴CD=CE=EF=DF, ∴ 四边形CDFE 是正方形. 在Rt△CDG中, ∴当 时，y的最小值为18. 方法三:如图(2),过点C作CG⊥AB于点G. ∵在Rt△ABC和Rt△CDE中, ∴CD=CE,CB=CA, ∴∠A=45°, 或 ∵点C与点 F关于DE对称， ∴CD=CE=EF=DF, ∴四边形CDFE 是正方形. 在Rt△CGD中,( ∴当 时，y的最小值为18. ②2 或4 解法提示： 方法一:如图(3),过点C作CG⊥AB于点G,连接CF,则△CBG和△CFD 都是等腰直角三角形， ∴∠FCB=∠DCG, ∴△CFB∽△CDG, 如图(4)，同理可得 综上， 或4 方法二:如图(5),连接CF交DE于点O,连接OB. ∵△CDE是等腰直角三角形，点C与点 F关于DE对称， ∴CD=CE=FE=FD, ∴四边形CDFE 是正方形， ∴OF=OC=OD. ∵∠CBE=∠CAD=45°,∠CBA=45°, ∴∠EBA=90°. ∵点O是DE的中点， ∴OB=OD, ∴OB=OC=OD=OF, ∴点B，C，D，F在以O为圆心，OB的长为半径的圆上， ∴∠CBF+∠CDF=180°. ∵∠CDF=90°, ∴∠CBF=90°. ∵BC=AC=6,BF=2, 即AD=2 或4 方法三:如图(6),过点 C作CG⊥AB于点G,连接CF交 DE于点O,连接OB. ∵△CDE是等腰直角三角形，点 C 与点 F关于DE 对称， ∴CD=CE=FE=FD, ∴四边形CDFE 是正方形， ∴OF=OC=OD. ∵∠CBE=∠CAD=45°,∠CBA=45°, ∴∠EBA=90°. ∵点O是DE的中点， ∴OB=OD, ∴OB=OC=OD=OF, ∴点B，C，D，F在以O为圆心，OB的长为半径的圆上， ∴∠CBF+∠CDF=180°. ∵∠CDF=90°, ∴∠CBF=90°. ∵BC=AC=6,BF=2, ∵AC=6, 如图(7)，同理可得 综上， 或4 22(1) (2) 【解析】(1)连接DE,如图(1),∵D,E分别是边 BC 和AC的中点,∴DE 是△ABC 的中位线, 的面积是 D是BC 的中点， (2)如图(2),连接MN.∵M，N分别是边BC和AC上距离C点最近的6等分点， 又∵∠C=∠C, ∠CMN=∠CBA,∴MN∥AB.∵△ABC的面积是1 .∵M是BC上靠近点C的6等分点， 23 由BC=2m,面积为1.5m²,得AC=1.5m,AB=2.5m. (1)设正方形的边长为 xm， 由题图(1)知,Rt△ADE∽Rt△ACB, 得 即 解得 由题图(2)知,Rt△DEC∽Rt△ABC, 得 即 所以 所以 由Rt△ADG∽Rt△ABC,得 得 所以 因为 所以题图(1)中正方形面积较大. (2)在题图(3)中,由 Rt△ADE∽Rt△ACB,得 所以 所以 所以 当x=1时，长方形的面积有最大值，为 在题图(4)中,由 Rt△DEC∽Rt△ABC,得 所以 所以 由 Rt△ADG∽Rt△ABC,得 所以 所以 当 时，长方形的面积有最大值，为 学科网（北京）股份有限公司 $