2026年中考数学复习分类训练19锐角三角函数及其应用

分类训练19锐角三角函数及其应用 考点1 直角三角形的边角关系 1.(2025 云南)如图,在 中， 若AB=13,BC=5,则 sin A= ( ) A. 2.(2025 威海)问题提出 已知∠α，∠β都是锐角， 求∠α+∠β的度数. 问题解决 (1)如图，小亮同学在由边长为1 的正方形组成的网格中画出∠BAD 和∠CAD,请你按照这个思路求∠α+∠β的度数.(点A,B,C,D都在格点上) 策略迁移 (2)已知∠α,∠β都是锐角, 则∠α+∠β= °. (3)已知∠α,∠β,∠θ都是锐角, ∠β=∠θ,求 tanθ的值. (提示：在正方形网格中画出求解过程的图形，并直接写出答案) 考点 2 锐角三角函数的实际应用 考向1 坡度、坡角问题 3.(2025绥化)如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的斜面坡度i= (斜面坡度是指坡面的铅直高度 BC 与水平宽度AC的比)，堤坝高BC=15m,，则迎水坡面AB的长度是 m. 4.(2025 扬州)如图(1)，棱长为9 cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度BM=7cm.将此正方体放在坡角为α的斜坡上，此时水面MN恰好与点A 齐平，其主视图如图(2)所示，则 考向2 仰角、俯角问题 5.(2025 成都)在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门A 与东门B之间的距离.如图，无人机从西门A 处垂直上升至C处，在C处测得东门B的俯角为 然后沿AB方向飞行60米到达D处，在D 处测得西门A 的俯角为( .求校园西门A与东门 B 之间的距离.(结果精确到 0.1米；参考数据： 6.(2025 安徽)某公司为庆祝新产品上市，在甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气氛.如图所示，甲楼和乙楼分别用与水平地面垂直的线段AB 和 CD 表示，彩带用线段AD 表示.工作人员在点A 处测得点C 的俯角为 测得点D 的仰角为36.9°.已知AB=13.20m,求AD 的长(精确到0.1m). 参考数据：si , s 7.(2025 青岛)学校综合实践小组测量博学楼的高度.如图，点A，B，C，D，E在同一平面内，点B，C，D在同一水平线上.一组成员从19米高的厚德楼顶部A 测得博学楼的顶部E 的俯角为 另一组成员沿BD 方向从厚德楼底部B点向博学楼走15 米到达C点，在C 点测得博学楼顶部 E 的仰角为 求博学楼 DE 的高度. (参考数据： 8.(2025 陕西)小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度.在征得家长同意后，他们带着工具前往测量，测量示意图如图所示，他们在坡面FB上的点D 处安装测角仪DE，测得信号杆顶端A的仰角α为 DE 与坡面的夹角β为 又测得点 D与信号杆底端B 之间的距离 DB 为22 m.已知DE=1.7m,点 A,B，C在同一条直线上，AB，DE均与水平线 FC 垂直.试求信号杆AB的高.(参考数据： 考向3 方向角问题 9.(2025长沙)如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上.为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点 D.经测得景点C位于景点 B的北偏东 方向上，位于景点A 的北偏东： 方向上，景点 B 位于景点D 的南偏西 方向上.已知.AB=800m. (1)求 的度数； (2)求景点C 与景点 D 之间的距离.(结果保留根号) 10.新情境无人机巡视林场(2025重庆)为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况.如图，A，B，C，D在同一平面内. A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A 的正东方向10千米的B处，乙无人机位于A 的南偏西 方向20千米的D 处.两无人机同时飞往C处巡视，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西 方向上. (参考数据： (1)求BD 的长度(结果保留小数点后一位). (2)甲、乙两无人机同时分别从B，D 出发沿BC，DC往C处进行巡视，乙无人机的速度为甲无人机速度的2倍.当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号.请问甲无人机飞离B处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号(结果保留小数点后一位)? 考向4 实物问题 11.(2025甘肃)如图(1)，位于嘉峪关的长城第一墩，又称天下第一墩，是明代万里长城最西端的一座墩台，始建于明嘉靖十八年(1539年).该墩台雄踞于讨赖河峡谷的悬崖之上，扼守丝绸之路咽喉要道，与嘉峪关关城、悬壁长城共同构成河西走廊的军事防御体系.随着岁月的变迁和自然的风化，长城第一墩的高度在慢慢降低.为了解长城第一墩的现存高度，某校同学们开展了“测量长城第一墩高度”的综合实践活动.如图(2)是他们测量长城第一墩高度AB 的示意图，点A 为最高点，点B，F，D是地面同一直线上的三个点(点D，F都在保护栅栏外)，在D，F处分别用测角仪测得∠ACG=16.7°,∠AEG=22°,其中 CD =EF =1.7m(测角仪的高度),DF=CE=5.5m ,求长城第一墩的高度AB(结果精确到0.1m .参考数据: sin 22°≈0.37, cos 22°≈0.93, tan 22°≈0.40, sin 16.7°≈0.29, cos 16.7°≈0.96,tan 16.7°≈0.30). 12.新素材靠墙玻璃淋浴房(2025 江西)图(1)是一种靠墙玻璃淋浴房,其俯视示意图如图(2)所示,AE 与 DE 两处是墙,AB 与CD两处是固定的玻璃隔板，BC处是门框，测得AB=BC=CD=60 cm, ，MN处是一扇推拉门，推动推拉门时，两端点M，N分别在BC，CD 对应的轨道上滑动.当点N与点C 重合时，推拉门与门框完全闭合；当点 N 滑动到限位点P处时，推拉门推至最大，此时测得. (1)在推拉门从闭合到推至最大的过程中， 的最小值为 度，最大值为 度； 面积的变化情况是 ( ) A.越来越大 B.越来越小 C.先增大后减小 (2)当 时，求 的面积. 考向5 项目式学习型 13.(2025 新疆)某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下： 实验主题 测量校徽的高度 工具准备 测角仪、卷尺等 实验过程 1.站在与教学楼底部A同一水平地面的B处，由于大树CD的遮挡，视线恰能看到悬挂的校微顶部E处(此时F，C，E三点在同一直线上); 2.测量A，D 两点和B，D 两点间的距离； 3.用测角仪测得从眼睛 F 处看校微顶部E 处的仰角∠EFG； 4.向后退至点H处时，视线恰能看到校徽底部M处(此时N，C，M三点在同一直线上)，测量 B，H两点间的距离； 5.用测角仪测得从眼睛N处看校微底部M处的仰角∠MNG. 实验图示 浏量数据 1. AD=4m 备注 1.图上所有点均在同一平面内；2. AE，CD，FB，NH均与地面垂直.参考数据：s 请你根据以上实验过程和测量的数据，计算校徽的高度 EM 的值. 14.(2025 山西)项目学习 项目背景：如图(1)，“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底.从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形.综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告. 项目主题 景物的测量与计算 驱动问题 如何测量内栏墙围成泉池的直径 活动内容 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算 活动过程 方案说明 图(2)为该景点俯视图的示意图，点A，D是正八边形中一组平行边的中点，BC 为圆的直径，图中点A，B，C，D在同一条直线上. 图(3)为测量方案示意图，直径BC所在水平直线与外栏墙分别交于点E，F，外栏墙AE 与DF均与水平地面垂直,且 AE =DF. BE,CF 均表示步道的宽,BE=CF.图中各点都在同一竖直平面内. 数据测量 计算 在点 A 处测得点 B 和点 C 的俯角分别为∠DAB =37°,∠DAC=8.5°,AD =26 米.图中墙的厚度均忽略不计 … 交流展示 … 请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径BC的长(结果精确到 1 米.参考数据： 学科网（北京）股份有限公司 考向6 其他问题 15.新考法结合双动点问题(2025 苏州)两个智能机器人在如图所示的 区域工作， 直线BD为生产流水线，且BD平分. 的面积(即 D 为AC中点).机器人甲从点A 出发，沿A→B 的方向以 的速度匀速运动，其所在位置用点 P 表示，机器人乙从点 B 出发，沿B→C→D 的方向以 的速度匀速运动，其所在位置用点Q 表示.两个机器人同时出发，设机器人运动的时间为t(min),记点 P 到 BD 的距离(即垂线段PP'的长)为 点Q到BD 的距离(即垂线段(QQ'的长)为 .当机器人乙到达终点时，两个机器人立即同时停止运动，此时 与t的部分对应数值如下表 t(min) 0 5.5 0 16 16 0 (1)机器人乙运动的路线长为 m； (2)求 的值； (3)当机器人甲、乙到生产流水线 BD 的距离相等(即 时，求t的值. 1 D 2(1)如图(1),连接BC. 观察可知， ∴∠α=∠BAD,∠β=∠CAD. ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠BAC=45°, ∴∠α+∠β=45°. (2)90 解法提示:如图(2),取格点A,B,C,D,使 连接BC. 人) ∠α=∠BAD,∠β=∠CAD. ∴△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠BAC=90°, ∴∠α+∠β=∠BAD+∠CAD=∠BAC=90°. (3)如图(3). 解法 提示: 取 格点 D,F, G, H,使 ∴∠α=∠GDH,∠β=∠HDF. ∵∠α+∠β=∠θ, ∴∠θ=∠GDH+∠HDF=∠GDF. = ∴∠DGF=90°, 315 44/9 【解析】在题图(2)中,易知∠DAN=α,设DN= xcm.结合题意，根据容器里水的体积不变可列方程为9×9×7=9×9× 整理得 解得x=4,即DN=4cm, 5 由题意,得∠CAB=∠ACD=90°,∠ABC=∠BCD=30°,CD=60米. 在 Rt△ACD中,AC=CD·tan63.4°≈60×2.00=120(米), ∴在 Rt△ABC中, (米). 答：校园西门A 与东门B之间的距离约为207.6米. 6如图,过点A作AE⊥CD,垂足为E. 由题意知,四边形ABCE 为矩形,所以CE=AB=13.20. 在 Rt△ACE中, 所以 在 Rt△ADE中, 所以 因此,AD的长约为37.5m. 7如图,过点E作EF⊥AB于点 F,则四边形BDEF 是矩形, ∴EF=BD,BF=DE. 由题意知,AB=19米,BC=15米,∠AEF=22°. 设CD=x米,则EF=BD=BC+CD=(x+15)米. 在Rt△DCE中,∠ECD=42°,tan∠ECD=DED, 米， 米. 在 Rt△AEF中,∠AEF=22°,tan∠AEF=AFF, 米. ∵AF+BF=AB, 解得x=10, 米). 故博学楼DE的高度约为9米. 8 如图，分别过点 D，E作AC的垂线，垂足分别为G，H，则四边形DEHG是矩形. 由题意可得∠DBG=β=72.5°. 在Rt△BDG中,DG=BDsin72.5°≈22×0.95=20.9(m),BG=BDcos72.5°≈22×0.30=6.6(m), ∴EH=DG=20.9m. 在Rt△AEH中,∠AEH=45°,∴AH=EH=20.9 m. ∵HG=DE=1.7m, ∴AB=AG-BG=AH+HG-BG=20.9+1.7-6.6=16(m). 答:信号杆AB 的高约为16 m. 9(1)如图,由题意可得∠CBE=60°,∠CAF =30°,∠BDM =45°,BM⊥DM,BE∥AF∥DM, ∴∠BCM =∠CBE=60°,∠ACM=∠CAF=30°, ∴∠ACB=∠BCM-∠ACM=60°-30°=30°. (2)∵∠CBE=60°, ∴∠CBM =90°-∠CBE=90°-60°=30°. 由(1)得∠ACB=30°, ∴∠ABC=∠ACB=30°. 又∵AB=800, ∴AC=AB=800. 在 Rt△ACM中, ∴BM=BA+AM=800+400=1200. ∵∠BDM=45°,BM⊥DM, ∴DM=BM=1200, ∴DC=DM-CM=1200-400 ∴景点 C 与景点 D 之间的距离为(1200-400 )m. 10 (1)如图,过点A 作AE⊥CD 于点 E,过点B 作 BF⊥CD 于点F. 在Rt△ADE中,∠DAE=30°,AD=20, ∴AE =AD·cos∠DAE =20·c os30°=10 ,DE = AD·sin∠DAE=20· sin 30°=10. ∵甲无人机位于A.的正东方向10千米的B处，D位于C的正西方向上， ∴AB∥CD,AB=10,∴AE⊥AB,BF⊥AB, ∴四边形AEFB 是矩形, ∴EF=AB=10,BF=AE=10 ∴DF=DE+EF=20, 5(千米)、 答：BD的长度约为26.5千米. (2)在 Rt△FBC中, ∴CD=DF+CF=30. 如图，假设当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，满足MN=20.过点M作MT⊥CD于点 T. 设BM=x,则DN=2x,CM=(20-x). 在Rt△CMT中,CT=CM·cos∠MCT=(20-x)· cos 60°= 在 Rt△MNT中,由勾股定理,得 (舍去), (千米). 答：甲无人机飞离B处约3.8千米时，两无人机可以开始相互接收到信号. 11 设AG的长为 xm,由题意得, 在Rt△AGE 中, 在 Rt△AGC 中, ∵GC-GE=EC=5.5m, 解得x=6.6,即AG=6.6m. 由已知得GB=CD=EF=1.7m, ∴AB=AG+GB=6.6+1.7=8.3(m). 答：长城第一墩的高度AB约为8.3m . 12 (1)①0 39 ②C (2)如图,过点N作NH⊥BC交BC的延长线于点 H.依题意可知:MN=BC=60 cm. ∵ ∠CMN=30°, ∵∠BCD=135°,∴∠NCH=∠CNH=45°, ∴CH=NH=30cm,∴MC=(30 -30) cm, 答:当∠CMN=30°时,△CMN的面积为( 13 易得四边形 FBAG,四边形NHAG为矩形, ∴FG=AB=AD+BD=4+10=14(m),NG=AH=AD+DB+BH=4+10+13.5=27.5(m). ∵在 Rt△EFG中, 在Rt△MNG中, ∴ MG = NG ·tan∠MNG = 27. 5 ×tan 21. 8°≈27. 5× 0.40=11(m), ∴EM=EG-MG=13.02-11=2.02(m). 答:校徽的高度 EM约为2.02m. 14 由题意得,∠AEF=90°,四边形AEFD 为矩形, ∴EF=AD=26米,AD∥EF, ∴∠ABE=∠DAB=37°,∠ACE=∠DAC=8.5°. 设BE=CF=x米,则CE=(26-x)米,BC=(26-2x)米. 在 Rt△ABE中,∠AEB=90°,tan∠ABE=AEB, ∴AE=BE·tan∠ABE=x·tan37°. 在 Rt△ACE中,∠AEC=90°,tan∠ACE=AEE, ∴AE=CE·tan∠ACE=(26-x)·tan8.5°, ∴x·t an37°=(26-x)·tan8.5°, 解得 (米). 答：内栏墙围成泉池的直径BC的长约为17米 15(1)55 (2)方法一：根据题意，得 ∵△ABC中,∠ABC=90°,AB=40,BC=30,∴AC=50. ∵△ABC中,∠ABC=90°,D为AC 中点, ∴BD=CD=AD=25, ∴∠ABD=∠BAC,∠DBC=∠C, 当点Q 在 BC上时, 解得 当点Q在CD上时,如图(1),过点A作AH⊥BD,垂足为H, 则 ∵∠CDB =∠ADH,∴ sin∠CDB=sin∠ADH= 解得 方法二:如图(2),由方法一,得v₂=10. 当点Q₁在BC上时，由( 得 ∵当 时,d₂=16,∴Q₁Q₂∥BD, (3)∵当t=5,5时,d₁=7.5. 此时， ∴AP=AB-BP=40-12.5=27.5, 当点Q在BC上时，由 得24-3t=8t,解得 当点Q 在 CD 上时,由( 得 解得 或 学科网（北京）股份有限公司 $