山东省威海市荣成市2025-2026学年上学期九年级 数学12月月考测试题

试卷答案 1-5 ABDDB 6-10 CBCCA 11．【答案】y=x2+x+3，答案不唯一 【解析】开口向上，只要二次项系数为正数即可，经过点（0，3），说明常数项c=3． 解：依题意，满足题意的抛物线解析式为 y=x2+x+3，答案不唯一． 故本题答案为：y=x2+x+3，答案不唯一． 12．【答案】 【解析】连结AB，取AB的中点C，连结OC、CQ、AP，如图，先解方程-x2+4=0得B（3，0），再确定A（0，4），则利用勾股定理计算出AB=5，接着根据直角三角形斜边上的中线性质和三角形中位线性质得到OC=，CQ=1，然后根据三角形三边的关系得到OQ≥OC-CQ（当且仅当点O、C、Q共线时取等号），从而确定OQ的最小值为OC-CQ． 解：连结AB，取AB的中点C，连结OC、CQ、AP，如图， 当y=0时，-x2+4=0， 解得x1=-3，x2=-3， ∴B（3，0）， 当x=0时，y=-x2+4=4， ∴A（0，4）， ∴AB==5， ∵OC为斜边AB上的中线， ∴OC=AB=， ∵Q点为PB的中点， ∴CQ为△ABP的中位线， ∴CQ=AP=×2=1， ∵OQ≥OC-CQ（当且仅当点O、C、Q共线时取等号）， ∴OQ的最小值为OC-CQ=-1=． 故答案为：． 13．【答案】（0，11） 【解析】解：过点 分别作 轴于点 、 轴于点 ，连接 ，如图， 轴， 轴， 四边形 为矩形， ， ， 与 轴相切， 为 的半径， 点 坐标为 ， ， ， 是切线， ， ， ， 在 中，根据勾股定理得， ， ， 点 在 轴上， 点 坐标为 故答案为： 连接 ，过点 分别作 轴、 轴，利用根据圆的切线性质可知 、 为直角三角形， ，利用直角三角形中 角的性质和勾股定理分别求出 、 、 的长度，进而求出 、 的长度即可求得答案． 本题考查了圆的切线的性质、矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题关键是把所求的线段放在直角三角形中利用勾股定理求解和已知圆的切线作半径． 14．【答案】 【解析】过点D作DN⊥AD，使，连接AN，CN，可推出△ABC∽△ADN，，得到，即，可证得△ACN∽△ABD，得到，从而得到，结合CN≤CD+DN，即可得到答案． 解：在四边形ABCD中，∠ABC=90°，tan∠CAB=，若AD=6，CD=3，如图，过点D作DN⊥ADD，使，连接AN，CN， 由勾股定理得：，， ∴， ∵， ∴∠CAB=∠NAD， ∵∠ABC=∠ADN=90°， ∴△ABC∽△ADN， ∴，∠NAD=∠CAB， ∴， ∵∠NAD+∠DAC=∠DAC+∠CAB，即∠NAC=∠BAD， ∴△ACN∽△ABD， ∴， ∴， ∵CN≤CD+DN，CD=3， ∴CN≤3+2=5， ∴， 即BD的最大值为． 故答案为：． 15．【答案】R2 【解析】根据阴影部分的面积=外切正六边形的面积-内接正六边形的面积，求解即可． 解：如图：连接OA，OB，OG，OH． ∵△AOB为等边三角形， ∴T1的半径为R， 在Rt△OAG和Rt△OBG中， ， Rt△OGB≌Rt△OGA（HL）， ∴∠OGB=∠OGA=60°， ∴BG=OG， 设BG为x,由勾股定理有：x2+R2=（2x）2， 解得：x=R， 外切正六边形的边长为R， ∵阴影部分的面积=外切正六边形的面积-内接正六边形的面积， 又∵内接正六边形的面积为S△AOB的六倍，S△AOB=R2， ∴内接正六边形的面积为：S内=6×R2=R2， ∵外切正六边形的面积为S△OGH的六倍，S△OHG=•（R）2=R2， ∴外切正六边形的面积为：S外=6×R2=2R2， ∴S阴=S外′-S内=2R2-R2=R2． 16．【答案】 【解析】连接CG，延长CA交EG于H．设AF=a,想办法证明∠CHG=90°，求出GH，CH即可解决问题； 解：连接CG，延长CA交EG于H． ∵四边形ADBF是正方形， ∴AF=BF=BD=AD， ∵CF=BF， ∴AF=FB=FC， ∵AF⊥BC， ∴△ABC，△DEF都是等腰直角三角形， ∴∠HCE=∠E=45°， ∴∠CHE=∠CHG=90°， 设AF=a,则EC=3a,CH=EH=a,FG=EF=2a,EG=2a, ∴GH=2a-=a, ∴CG==a, ∴sin∠ACG===． 故答案为． 17．【解析】（1）作BF⊥AD于F，在Rt△ABF中，即可得BF=AB⋅sin39°≈1.6； （2）根据矩形判定和性质求出DE=CD-CE=1，再在Rt△ADE中，根据在Rt△ADE中，求出，可求出AD的长度，在Rt△ABF中，根据AF=AB•cos∠BAF可求出AF的长度，从而可求出AD与AF的长度差． 解：（1）过B作BF⊥AD于F， ∴∠AFB=90°， 在Rt△ABF中，， ∵AB=2.5米，∠BAF=39°， ∴BF=AB⋅sin39°≈2.5×0.629=1.5725≈1.6米． 答：水平横管BC到水平线AD的距离约为1.6米； （2）∵∠FBC=∠BCD=∠D=90°， ∴四边形BCDF为矩形， ∴BC=DF，CD=BF=1.6米， ∵CE=0.6米， ∴DE=CD-CE=1.6-0.6=1（米）， 在Rt△ADE中，， ∵∠DAE=22°， ∴（米）， 又∵在Rt△ABF中，， ∵AB=2.5米，∠BAF=39°， ∴AF=AB⋅cos39°≈2.5×0.777=1.9425≈1.94（米）． ∴DF=AD-AF=2.48-1.94=0.54≈0.5（米）． ∴BC=DF=0.5米， 答：水平横管BC的长度约为0.5米． 18．【解析】（1）把点P（2，n）代入中得n==4，把P（2，4）代入y=kx+3得4=2k+3，求得k=；于是得到直线l的表达式为y=x+3； （2）解方程得到A（-6，0），B（0，3），求得OA=6，OB=3，如图，过C作CD⊥y轴于D，设C（m,），得到CD=m,OD=，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 解：（1）把点P（2，n）代入中得n==4， ∴P（2，4）， 把P（2，4）代入y=kx+3得4=2k+3， ∴k=； ∴直线l的表达式为y=x+3； （2）在y=x+3中，令x=0，则y=3，令y=0，则x=-6， ∴A（-6，0），B（0，3）， ∴OA=6，OB=3， 如图，过C作CD⊥y轴于D， 设C（m,）， ∴CD=m,OD=， ∴∠CDO=∠AOB=90°， ∵∠BOC=∠ABO， ∴△ABO∽△COD， ∴， ∴=， 解得m=4（负值舍去）， ∴C（4，2）． 19．【解析】（1）连接OB，根据平行四边形的性质得∠ABC=∠D=60°，再根据切线的性质得∠ABO=30°，进而得出∠BAO=30°，然后根据三角形外角的性质得∠E=30°，即可得出答案； （2）根据平行四边形的性质得AD=3，再根据含30°直角三角形的性质得AB=6，根据勾股定理求得AC，最后根据含30°直角三角形的性质求得AE； （3）连接BM，OM，先说明△AOM是等边三角形，再根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”得出答案．再求出BO，可知MO，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半得出答案． （1）证明：连接OB， ∵四边形ABCD是平行四边形，∠D=60°， ∴∠ABC=∠D=60°． ∴⊙O与射线CE切于点B， ∴OB⊥CE， ∴∠OBC=90°． ∴∠ABO=90°-∠ABC=30°． ∵OA=OB， ∴∠BAO=∠ABO=30°． ∵∠ABC是△ABE的外角， ∴∠E=∠ABC-∠BAO=30°． ∴∠E=∠BAO， ∴AB=BE； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD=3， ∴BC=AD=3， ∵AC⊥BC， ∴∠ACB=90°． 在Rt△ACB中，∠ABC=60°， ∴∠CAB=90°-∠ABC=30°， ∴AB=2BC=6， 由勾股定理，得， 在Rt△ACE中，∠ACE=90°，∠E=30°， ∴； （3）连接BM，OM， 在Rt△ACE中，∠ACE=90°，∠E=30°， ∴∠OAC=60°． ∵AO=MO， ∴△AOM是等边三角形， ∴AM=OM=AO=BO， ∵∠OBE=∠ACE=90°， ∴AC∥BO， ∵AM=BO， ∴四边形AMBO是平行四边形， ∵AM=AO， ∴四边形AMBO是菱形， 在Rt△ACE中，∠ACE=90°，∠E=30°，BE=AB=6，， ∴， ∴， ∴． 20．【答案】详情见解析 【解析】 根据二次函数 的图象交 轴于点 ， ，可以求得该函数的函数解析式； 根据 中的函数解析式可以求得点 的坐标，从而可以求得直线 的解析式，再根据点 的坐标，即可写出点 和点 的坐标，然后即可表示出线段 ，再根据二次函数的性质，即可得到段 长度的最大值． 本题考查抛物线与 轴的交点，待定系数法求函数解析式、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于点A（-3，0），B（1，0）， ∴ ， 解得 ， 即这个二次函数的表达式是y=x2+2x-3； （2）∵y=x2+2x-3， ∴当x=0时，y=-3， 即点C的坐标为（0，-3）， 设直线AC的函数表达式为y=kx+a， ， 解得 ， 即直线AC的函数表达式为y=-x-3， ∵点P的坐标为（m，0）， ∴点M的坐标为（m，-m-3），点N的坐标为（m，m2+2m-3）， ∴MN=（-m-3）-（m2+2m-3）=-（m+ ）2+ ， ∴当m=- 时，MN取得最大值，此时MN= ， 即线段MN长度的最大值是 ． 21．【解析】（1）利用待定系数法即可求出a,b的值； （2）先根据（1）的结论得出y与x之间的函数关系，从而可得出A，B两城生产这批产品的总成本的和，再根据二次函数的性质即可得出答案； （3）设从A城运往C地的产品数量为n件，A，B两城总运费的和为P，则从A城运往D地的产品数量为（20-n）件，从B城运往C地的产品数量为（90-n）件，从B城运往D地的产品数量为（10-20+n）件，从而可得关于n的不等式组，解得n的范围，然后根据运费信息可得P关于n的一次函数，最后根据一次函数的性质可得答案． 解：（1）由题意得：， 解得：． ∴a=1，b=30； （2）由（1）得：y=x2+30x, 设A，B两城生产这批产品的总成本为w, 则w=x2+30x+70（100-x） =x2-40x+7000， =（x-20）2+6600， ∵a=1＞0， 由二次函数的性质可知，当x=20时，w取得最小值，最小值为6600万元，此时100-20=80． 答：A城生产20件，B城生产80件； （3）设从A城运往C地的产品数量为n件，A，B两城总运费的和为P， 则从A城运往D地的产品数量为（20-n）件，从B城运往C地的产品数量为（90-n）件，从B城运往D地的产品数量为（10-20+n）件， 由题意得：， 解得10≤n≤20， ∴P=mn+3（20-n）+（90-n）+2（10-20+n）， 整理得：P=（m-2）n+130， 根据一次函数的性质分以下两种情况： ①当0＜m≤2，10≤n≤20时，P随n的增大而减小， 则n=20时，P取最小值，最小值为20（m-2）+130=20m+90； ②当m＞2，10≤n≤20时，P随n的增大而增大， 则n=10时，P取最小值，最小值为10（m-2）+130=10m+110． 答：0＜m≤2时，A，B两城总运费的和为（20m+90）万元；当m＞2时，A，B两城总运费的和为（10m+110）万元． 22．【答案】(1)3;(2)6;(3)0＜k＜2; 【解析】（1）将x=1，y=0；x=3，y=2分别代入函数y=ax-3和y=得关于a和b的二元一次方程组，解方程组得a和b的值； （2）①根据解析式的特点画出函数的图象即可； （②由①中函数图象可直接得出的取值范围． ③由①中函数图象可直接得出的取值范围． 解：（1）把x=1，y=0代入y=ax-3得，a-3=0， ∴a=3， 把x=3，y=2代入y=得，b=3×2=6； 故答案为：3，6； （2）①∵y=， 故可作图如下： ②∵B（4，y2）是函数图象上的点， ∴y2=1.5， ∵y1＜y2， ∴y1＜1.5， 由函数图象知，当y＜1.5时，x＜1.5， ∵A（m,y1）在函数图象上， ∴m＜1.5或m＞4， 故m的取值范围为：m＜1.5或m＞4； ③直线y=k与该分段函数的图象有2个交点，则k的取值范围是0＜k＜3， 故答案为：0＜k＜3； 23．【解析】（1）PN与AD交于点E，设PQ=x,则AE=AD-ED=8-x,再证明△APN∽△ABC，利用相似比可求出正方形边长； （2）设长方形的PQ=y则PN=2y,由△APN∽△ABC，利用相似比列方程即可得到结果． （3）设AE=x,矩形PQMN的面积为S，利用△APN∽△ABC得相似比，用相似比可得出用含x的式子表示S，从而得出二次函数解析式，根据解析式及自变量取值范围求S的最大值． 解：（1）设正方形的边长为x, ∵四边形PQMN为正方形， ∴PN∥QM， ∴△APN∽△ABC， ∴=，即=， 解得x=4.8， ∴正方形的边长是4.8； （2）设PQ=y则PN=2y,由（1）得△APN∽△ABC， ∴=，即 =， 解得y=， ∴PQ=，PN=， （3）∵四边形PQMN是矩形， ∴PN∥BC，∠PQM=90°，∠QPN=90°， ∴△PAN∽△ABC， ∵AD是高， ∴∠ADB=90°， ∴四边形PQDE是矩形，∠AEN=90°， ∴=，PQ=DE， 设AE=x,矩形PQMN的面积为S， 则=，DE=8-x, ∴PN=x,PQ=8-x, ∴S=x（8-x）=-（x-4）2+24， ∴当x=4时，S的最大值为24， ∴当AE=4时，矩形PQMN的面积最大，最大面积是24，此时PQ=4，PN=6． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期九年级上册初中数学12月月考测试题 考试范围：九年级 考试时间：120分钟 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项： 1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2. 请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题(共10题，共30分) 1．(3分)反比例函数的图象经过（　　） A. 第二、四象限 B. 第一、三象限 C. 第一、二象限 D. 第三、四象限 2．(3分)一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长50m,测得圆周角∠ACB=45°，则这个人工湖的直径AD为（　　） A. 25m B. 50m C. 25m D. 100m 3．(3分)已知二次函数y=-x2+bx+3，当x＞1时，y随x的增大而减小，则b的取值范围是（　　） A. b≥-1 B. b≤-1 C. b≥1 D. b≤1 4．(3分)如图，△ABC内接于⊙O，∠A=45°，则∠BOC的度数为（　　） A. 45° B. 60° C. 75° D. 90° 5．(3分)某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻R1=10Ω，R2是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积S为0.01m2，压敏电阻R2的阻值随所受液体压力F的变化关系如图2所示（水深h越深，压力F越大），电源电压保持6V不变，当电路中的电流为0.3A时，报警器（电阻不计）开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示（参考公式，F=pS，1000Pa=1kPa），则下列说法中不正确的是（　　） A. 当水箱未装水（h=0m）时，压强p为0kPa B. 当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力F为40N C. 当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度h是0.8m D. 若想使水深1m时报警，应使定值电阻R1的阻值为12Ω 6．(3分)如图，小明同学把一块等腰直角三角板的顶点A放在半径为2的圆形铁丝上，三角板的斜边及一条直角边分别与圆交于点B，C，则图中的长为（　　） A. B. C. π D. 2π 7．(3分)已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x=1，有下列4个结论：①abc＞0；②a+c＞b；③4a+2b+c＞0；④a+b≥am2+bm（m是任意实数）．其中正确结论的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8．(3分)如图， 是半圆 的直径，点 在半圆上， ， ， 是 上的一个动点，连接 过点 作 于 ，连接 ，则 的最小值是 A. B. C. D. 9．(3分)如图，将边长为10的正三角形OAB放置于平面直角坐标系xOy中，C是AB边上的动点（不与端点A，B重合），作CD⊥OB于点D，若点C，D都在双曲线y=上（k＞0，x＞0），则k的值为（　　） A. 25 B. 18 C. 9 D. 9 10．(3分)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，若AC=6，BC=8，则的值为（　　） A. B. 1 C. D. 分卷II 二、填空题(共6题，共18分) 11．(3分)请写出一个开口向上且经过（0，3）的抛物线的解析式 _____． 12．(3分)已知：如图，二次函数的图象与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，点P在以A点为圆心，2个单位长度为半径的圆上，Q点是BP的中点，连接OQ，则OQ的最小值为 _____． 13．(3分)如图，平面直角坐标系 中，点 的坐标为 ， 与 轴相切，点 在 轴正半轴上， 与 相切于点 若 ，则点 的坐标为 ______ . 14．(3分)如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，tan∠CAB=，若AD=6，CD=3，则BD的最大值是_____． 15．(3分)如图，有一个⊙O和两个正六边形T1，T2．T1的六个顶点都在圆周上，T2的六条边都和⊙O相切（我们称T1、T2分别为⊙O的内接正六边形和外切正六边形）．设⊙O的半径为R，则图中阴影部分的面积_____（用含R的式子表示）． 16．(3分)如图，有两个全等的△ABC和△DEF，固定△ABC，对△DEF进行如下操作：①将△DEF沿射线CB向右平移，连接AF、AD、BD，当点F平移到线段BC的中点时停止平移，已知此时的四边形AFBD恰好为正方形：②将△DEF沿DF折叠，得到△DGF（点E的对应点为点G），连接CG，请你结合题意自行画出符合题意的图形，写出此时sin∠ACG的值为_____． 三、解答题(共7题，共72分) 17．(8分)图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角∠EAD=22°，真空管AB与水平线AD的夹角∠BAD=39°，真空管AB的长度为2.5米，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.6米．（参考数据：sin39°≈0.629，cos39°≈0.777，tan39°≈0.810，sin22°≈0.375，cos22°≈0.927，tan22°≈0.404） （1）求水平横管BC到水平线AD的距离（结果精确到0.1米）； （2）求水平横管BC的长度（结果精确到0.1米）． 18．(9分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y=kx+3（k≠0）与x轴、y轴交于A、B两点，反比例函数的图象经过直线l上的点P（2，n）． （1）求直线l的表达式； （2）已知点C在反比例函数的图象上，且∠BOC=∠ABO，求点C的坐标． 19．(10分)如图，在平行四边形ABCD中，∠D=60°，AD=3，对角线AC⊥BC，点E在射线CB的延长线上，连接AE，在AE上取点O，以点O为圆心，OA长为半径作⊙O与射线CE切于点B，交AE于点F，交AC于点M． （1）求证：AB=BE； （2）求AE的长； （3）连接BM，OB，直接写出四边形AMBO的形状和面积． 20．(10分)如图，二次函数 的图象交 轴于点 ， ，交 轴于点 点 是 轴上的一动点， 轴，交直线 于点 ，交抛物线于点 求这个二次函数的表达式； 若点 仅在线段 上运动，如图，求线段 长度的最大值. 21．(11分)某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产产品的总成本y（万元）与产品数量x（件）之间具有函数关系y=ax2+bx.当x=10时，y=400；当x=20时，y=1000．B城生产产品的每件成本为70万元． （1）求a,b的值； （2）当A，B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A，B两城各生产多少件？ （3）从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C地需要90件，D地需要10件，在（2）的条件下，直接写出A，B两城总运费的和的最小值（用含有m的式子表示）． 22．(12分)在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点连线或平移的方法画出函数图象．结合上面经历的学习过程，我们来解决下面的问题：分段函数y= （1）当x=1时，y=0；当x=3时，y=2；则a=_____，b=_____． （2）在（1）的条件下， ①在给出的平面直角坐标系中画出该分段函数图象； ②若该分段函数图象上有两点A（m,y1），B（4，y2），且y1＜y2，则m的取值范围； ③直线y=k与该分段函数的图象有2个交点，则k的取值范围是 _____． 23．(12分)如图三角形ABC，BC=12，AD是BC边上的高AD=8．P，N分别是AB，AC边上的点，Q，M是BC上的点，连接PQMN，PN交AD与E．求 （1）若四边形PQMN是正方形，求PQ的长（图一）； （2）若四边形PQMN是矩形，且PQ：PN=1：2．求PQ、PN的长（图二） （3）若四边形PQMN是矩形，求当矩形PQMN面积最大时，求最大面积和PQ、PN的长 、 学科网（北京）股份有限公司 $