第18讲 圆柱与圆锥（知识梳理+例题讲解+考点练习）-六年级奥数培优讲义

该小学数学讲义通过知识框架图系统梳理圆柱与圆锥单元知识体系，从基本特征、表面积与体积公式到圆柱圆锥关系、等积变形及实际应用，层层递进呈现知识脉络，清晰标注重难点如圆柱侧面积计算、等底等高体积关系等内在联系。 讲义亮点在于“生活情境化”练习设计，如灯笼制作算表面积、沙漏计时算体积等题型，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力。通过基础计算、等积变形、排水法测体积等分层例题，兼顾不同学生，助力教师实施精准教学，提升运算能力与空间观念。

第18讲 圆柱与圆锥 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.掌握圆柱和圆锥的基本特征及各部分名称 2.熟练运用公式计算圆柱的表面积和体积 3.理解并应用圆锥体积计算公式 4.掌握圆柱与圆锥之间的关系及等积变形规律 5.能够运用圆柱和圆锥的知识解决实际问题 知识梳理 知识点一、圆柱与圆锥的认识 1.圆柱的基本特征： （1）圆柱有两个底面和一个侧面： ①底面：两个完全相同的圆； ②侧面：一个曲面； ③高：两个底面之间的距离，有无数条且长度相等。 （2）圆柱的侧面展开图： ①沿高展开：长方形（或正方形），长方形的长=圆柱底面的周长，长方形的宽=圆柱的高； ②不沿高展开：平行四边形。 2.圆锥的基本特征： （1）圆锥有一个底面和一个侧面： ①底面：一个圆； ②侧面：一个曲面； ③高：从顶点到底面圆心的距离，只有1条。 （2）圆锥的侧面展开图：扇形 ①扇形的半径=圆锥的母线长； ②扇形的弧长=圆锥底面的周长。 知识点二、圆柱的表面积 1.表面积的意义： 圆柱的表面积是指圆柱的侧面积与两个底面积的总和。 2.计算公式： （1）圆柱的侧面积=底面周长×高 字母公式：S侧=Ch=2πrh=πdh； （2）圆柱的底面积=πr²； （3）圆柱的表面积=侧面积+底面积×2 字母公式：S表=S侧+2S底=2πrh+2πr²=2πr(r+h)。 3.特殊情况的表面积计算： （1）无盖圆柱（如：水桶）：S表=侧面积+1个底面积； （2）圆柱形通风管（如：烟囱）：S表=侧面积（只有侧面）。 知识点三、圆柱的体积 1.体积的意义： 物体所占空间的大小叫做物体的体积。 2.常用体积单位： 立方米(m³)、立方分米(dm³)、立方厘米(cm³) 单位换算：1m³=1000dm³，1dm³=1000cm³。 3.圆柱体积计算公式： （1）圆柱的体积=底面积×高 字母公式：V=Sh=πr²h； （2）公式推导： 将圆柱等分成若干份，拼成一个近似的长方体，长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高，长方体的体积等于圆柱的体积。 知识点四、圆锥的体积 1.圆锥体积计算公式： （1）圆锥的体积=×底面积×高 字母公式：V=Sh=πr²h； （2）公式推导： 通过实验可知，等底等高的圆锥体积是圆柱体积的，即圆锥体积=×等底等高圆柱体积。 2.体积单位：与圆柱体积单位相同。 知识点五、圆柱与圆锥的关系 1.等底等高的圆柱与圆锥： （1）圆柱体积是圆锥体积的3倍； （2）圆锥体积是圆柱体积的； （3）圆柱体积比圆锥体积多2倍； （4）圆锥体积比圆柱体积少。 2.等体积等高的圆柱与圆锥： （1）圆锥底面积是圆柱底面积的3倍； （2）圆柱底面积是圆锥底面积的。 3.等体积等底面积的圆柱与圆锥： （1）圆锥高是圆柱高的3倍； （2）圆柱高是圆锥高的。 知识点六、等积变形问题 1.基本概念： 物体的形状发生变化，但体积保持不变。 2.常见类型： （1）圆柱与圆柱之间的等积变形； （2）圆柱与圆锥之间的等积变形； （3）圆柱/圆锥与长方体/正方体之间的等积变形。 3.解题关键： 抓住体积不变，根据体积相等建立等量关系。 知识点七、解决实际问题 1.圆柱表面积的实际应用： （1）计算圆柱形物体的表面积时，要根据实际情况确定需要计算的面的数量； （2）例如：计算水桶的表面积要算一个底面和侧面，计算通风管只需算侧面。 2.圆柱和圆锥体积的实际应用： （1）计算不规则物体体积：排水法； （2）计算容器容积：注意单位换算（1L=1dm³，1mL=1cm³）； （3）等积变形问题：如把圆柱形钢材熔铸成圆锥等。 3.综合应用： （1）结合生活实际，灵活运用圆柱和圆锥的表面积、体积公式； （2）解决与圆柱、圆锥相关的复杂问题，如：组合图形的表面积和体积计算。 例题讲解 一、圆柱的表面积 【例题1】计算下面图形的表面积。（单位：厘米）（π取3.14） 【答案】188.4平方厘米 【分析】圆柱的表面积＝底面积×2＋侧面积，本题中的立体图形中，可将上面小圆柱的上底面放在下底面重合处，这样，整个立体图形的表面积＝大圆柱的表面积＋小圆柱的侧面积。 【详解】3.14×32×2＋3.14×3×2×5＋3.14×2×2×3 ＝3.14×9×2＋9.42×10＋6.28×6 ＝56.52＋94.2＋37.68 ＝188.4（平方厘米） 所以这个图形的表面积是188.4平方厘米。 【例题2】灯笼厂接到一批订单，需要制作如图这种圆柱形灯笼，上、下底面的中间分别留出了78.5平方厘米的圆孔，做一个灯笼至少需要准备多少平方厘米的彩纸？ 【答案】2355平方厘米 【分析】已知圆柱形灯笼的底面直径是20厘米，高是30厘米，先计算出底面半径是20÷2＝10厘米，然后根据圆柱的表面积公式S＝πdh＋2πr2计算出圆柱的表面积； 已知上、下底面的中间分别留出了78.5平方厘米的圆孔，用一个圆孔的面积乘2计算出两个圆孔的面积； 最后用圆柱的表面积减去两个圆孔的面积即可。 【详解】20÷2＝10（厘米） 3.14×20×30＋2×3.14×102 ＝3.14×20×30＋2×3.14×100 ＝62.8×30＋6.28×100 ＝1884＋628 ＝2512（平方厘米） 78.5×2＝157（平方厘米） 2512－157＝2355（平方厘米） 答：做一个灯笼至少需要准备2355平方厘米的彩纸。 二、圆柱的体积 【例题1】计算图形的体积。 【答案】1542.24cm2 【分析】根据圆柱体积＝底面积×高，长方体体积＝底面积×高，先求出这个组合体的底面积，这个组合体的底面积＝圆的面积＋长方形面积－圆的面积÷4，据此列式计算。 【详解】（3.14×42＋12×4－3.14×42÷4）×18 ＝（50.24＋48－12.56）×18 ＝85.68×18 ＝1542.24（cm2） 【例题2】世间万物千姿百态，下图就是一个不规则的立体图形。你能计算它的体积（单位：厘米）吗？ 【答案】62.8立方厘米 【分析】如下图，给不规则的立体图形补上一个完全一样的图形，转化成一个底面直径是4厘米，高（4＋6）厘米的圆柱；然后根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出这个圆柱的体积，再除以2，就是不规则立体图形的体积。 【详解】3.14×（4÷2）2×（4＋6） ＝3.14×4×10 ＝3.14×40 ＝125.6（立方厘米） 125.6÷2＝62.8（立方厘米） 答：它的体积是62.8立方厘米。 【点睛】本题考查圆柱的体积计算公式的运用，把不规则立体图形转化成圆柱体是解题的关键。 三、圆锥的体积（圆柱与圆锥的关系） 【例题1】计算下面图形的体积。 【答案】5024cm3 【分析】先分别计算圆柱的体积和圆锥的体积，再用圆柱体积减去圆锥体积得到该图形的体积。由图可知圆柱和圆锥的底面直径都是20cm，则半径为20÷2＝10cm，圆锥的高为12cm，圆柱的高为12＋8＝20cm。圆柱的体积公式为：V＝πr2h（r为底面半径，h为高，π取3.14），圆锥的体积公式为：V＝πr2h（r为底面半径，h为圆锥的高），把数据分别代入计算后，再用圆柱的体积减圆锥的体积即可。 【详解】20÷2＝10（cm） 12＋8＝20（cm） 3.14×102×20 ＝3.14×100×20 ＝314×20 ＝6280（cm3） ×3.14×102×12 ＝×3.14×100×12 ＝1256（cm3） 6280－1256＝5024（cm3） 该图形的体积是5024cm3。 【例题2】如图所示，直角三角形三条边分别长为3、4、5，求绕斜边旋转一周后所形成的物体体积。 【答案】30.144立方厘米 【分析】首先根据三角形的面积公式：，求出这个三角形的面积，进而求出斜边上的高，绕斜边旋转一周所形成的几何体是两个底面半径为斜边上的高，两个圆锥高的和是5厘米，根据圆锥的体积公式：，把数据代入公式解答． 【详解】 （厘米） （立方厘米） 答：绕斜边旋转一周后所形成的物体体积是30.144立方厘米。 【例题3】如图，将直角梯形ABCD以高AB所在直线为轴旋转一周，形成一个圆台，你能算出这个圆台的体积吗？ 【答案】197.82立方厘米 【分析】如下图：分别将CD和AB两条边延长，延长线交于点E，形成三角形EBC，将三角形EBC以EB所在的直线为轴旋转一周，可以形成一个大圆锥，这个圆锥比题中要求的圆台多了一个小圆锥（圆台上虚线部分）。 因为∠B＝90°，∠C＝45°，所以三角形EBC为等腰直角三角形，则EB＝BC＝6厘米，EA为6－3＝3（厘米），直角梯形ABCD中，∠BAD＝90°，则∠EAD＝90°，在三角形EAD中，∠EAD＝90°，∠E＝45°，所以三角形EAD也是等腰直角三角形，AD＝EA＝3厘米，根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，将数据代入分别求出大圆锥和小圆锥的体积，最后相减即可得到圆台的体积。 【详解】由分析可得： 分别将CD和AB两条边延长，延长线交于点E，形成三角形EBC， 在三角形BCE中，∠B＝90°，∠C＝45°，所以∠E＝90°－45°＝45°，则三角形BCE是等腰直角三角形，EB＝BC＝6厘米； 大圆锥体积：×3.14×62×6 ＝×3.14×36×6 ＝（×36）×3.14×6 ＝12×3.14×6 ＝37.68×6 ＝226.08（立方厘米） 6－3＝3（厘米） ×3.14×32×3 ＝×3.14×9×3 ＝（×9）×3.14×3 ＝3×3.14×3 ＝9.42×3 ＝28.26（立方厘米） 226.08－28.26＝197.82（立方厘米） 答：这个圆台的体积是197.82立方厘米。 【点睛】本题考查了巧妙的将未知立体图形的体积求法转化到已知立体图形的体积求法上来，熟悉的掌握圆锥体是通过什么图形的旋转得来是解题的关键。 四、体积的等积变形（圆柱、圆锥） 【例题1】把一个底面半径是2厘米，高是10厘米的圆柱形铁块，熔铸成一个高是20厘米的圆锥形铁块，这个圆锥形铁块的底面积是多少平方厘米？ 【答案】 18.84平方厘米 【分析】圆锥的体积等于圆柱的体积，利用求出圆柱的体积。圆锥，所以，据此解答。 【详解】 （平方厘米） 答：这个圆锥形铁块的底面积是18.84平方厘米。 【例题2】工人师傅要把一个长8厘米，宽7厘米，高6.28厘米的长方体铁块铸造成一个底面直径是20厘米的圆锥形零件，这个圆锥形零件的高是多少？ 【答案】3.36 厘米 【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，求出铁块的体积，即圆锥的体积，圆锥底面积＝圆周率×半径的平方，据此求出圆锥底面积，再根据圆锥的高＝体积×3÷底面积，列式解答即可。 【详解】8×7×6.28＝351.68（立方厘米） 3.14×（20÷2）2 ＝3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 351.68×3÷314＝3.36（厘米） 答：这个圆锥形零件的高是3.36 厘米。 五、不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 【例题1】一个底面半径是6厘米的圆柱体玻璃器皿里装有一部分水，水中浸没了一个高9厘米的圆锥体铅锤。当铅锤从水中取出后，水面下降了0.5厘米。这个圆锥体铅锤的底面积是多少平方厘米？ 【答案】18.84平方厘米 【分析】已知圆柱体玻璃器皿的底面半径是6厘米，当把圆锥体铅锤浸没在水中，水面下降了0.5厘米，水面下降部分水的体积等于圆锥的体积，根据圆柱体积公式即可计算出圆锥体铅锤的体积； 已知圆锥体铅锤的高为9厘米，根据“圆锥体积＝×底面积×高”，用圆锥体铅锤的体积乘3除以高可得到圆锥体铅锤的底面积。据此解答。 【详解】3.14×62×0.5 ＝3.14×36×0.5 ＝113.04×0.5 ＝56.52（立方厘米） 56.52×3÷9 ＝169.56÷9 ＝18.84（平方厘米） 答：这个圆锥体铅锤的底面积是18.84平方厘米。 【例题2】在一个底面半径是10厘米的圆柱形容器中装有水，正好能完全浸没一个底面半径是4厘米，高是6厘米的圆锥形铁块（如图）。现将铁块从容器中取出后，水面会下降多少厘米？ 【答案】0.32厘米 【分析】从题意可知：下降水的体积＝圆锥的体积。圆锥的体积； V＝πr2h，代入数据计算，求出圆锥的体积。根据圆的面积：S＝πr2，代入数据计算，求出圆柱形容器底面积。下降水的体积＝圆柱形容器底面积×下降的高度，用下降水的体积（圆锥的体积）÷圆柱形容器底面积即可求出下降的高度。 【详解】×42×3.14×6 ＝×16×3.14×6 ＝100.48（立方厘米） 100.48÷（102×3.14） ＝100.48÷（100×3.14） ＝100.48÷314 ＝0.32（厘米） 答：水面会下降0.32厘米。 考点练习 一、圆柱的表面积 1．求组合图形的表面积。（单位：厘米） 【答案】245.6平方厘米 【分析】通过观察图形可知，由于圆柱与长方体粘合在一起，所以圆柱只求它的侧面积，长方体求出表面积，然后合并起来就是这个组合图形的表面积。已知圆柱的底面直径为4厘米，高为10厘米；长方体的长和宽都是6厘米，高为2厘米。根据圆柱侧面积公式：S＝πdh（π取3.14，d为直径，h为高），长方体表面积公式：S＝2×（ab＋ah＋bh）（a为长，b为宽，h为高），把数据分别代入公式计算后再相加即可解答。 【详解】3.14×4×10＝125.6（平方厘米） 2×（6×6＋6×2＋6×2） ＝2×（36＋12＋12） ＝2×60 ＝120（平方厘米） 125.6＋120＝245.6（平方厘米） 这个组合图形的表面积是245.6平方厘米。 2．计算下面图形的表面积。 【答案】270.72cm2 【分析】由图可知，该图形有5个面，包括两个相同的圆，半径为6cm；两个相同的长方形，长10cm，宽6cm；一个圆柱的侧面，底面半径是6cm，高是10厘米。 根据圆的面积公式计算出圆的面积，再除以4乘2计算出两个圆的面积； 根据“长方形面积＝长×宽”计算出长方形的面积，再乘2计算出两个长方形的面积； 根据圆柱的侧面积S侧＝2πrh计算出圆柱的侧面积，再除以4计算出圆柱的侧面积； 最后将三部分相加即可。 【详解】3.14×62÷4×2 ＝3.14×36÷4×2 ＝113.04÷4×2 ＝28.26×2 ＝56.52（cm2） 10×6×2 ＝60×2 ＝120（cm2） 2×3.14×6×10÷4 ＝6.28×6×10÷4 ＝37.68×10÷4 ＝376.8÷4 ＝94.2（cm2） 56.52＋120＋94.2 ＝176.52＋94.2 ＝270.72（cm2） 所以该图形的表面积是270.72cm2。 3．计算下面图形的表面积。 【答案】1336.52cm2 【分析】这个图形是一个长方体中间挖去了一个圆柱，所以实际表面积为长方体表面积减去两个圆柱底面积，再加上圆柱侧面积。 已知长方体长20cm、宽6cm、高20cm，根据“长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”计算出长方体的表面积； 已知圆柱的底面直径是6cm，计算出底面半径为6÷2＝3cm，根据圆的面积公式计算出圆柱的底面积，再乘2计算出两个圆柱底面积； 已知圆柱的底面直径是6cm，高是长方体的宽6cm，根据圆柱的侧面积公式S＝πdh计算出圆柱的侧面积； 最后用长方体表面积减去两个圆柱底面积，再加上圆柱侧面积即为该图形的表面积。 【详解】（20×6＋20×20＋6×20）×2 ＝（120＋400＋120）×2 ＝（520＋120）×2 ＝640×2 ＝1280（cm2） 2×3.14×（6÷2）2 ＝2×3.14×32 ＝2×3.14×9 ＝6.28×9 ＝56.52（cm2） 3.14×6×6 ＝18.84×6 ＝113.04（cm2） 1280－56.52＋113.04 ＝1223.48＋113.04 ＝1336.52（cm2） 所以该图形的表面积是1336.52cm2。 4．木工师傅把一根高1米的圆柱形木料，沿着底面直径平均分成两部分（如下图），表面积增加了0.8平方米，计算原来木料的表面积。 【答案】1.5072平方米 【分析】把圆柱沿底面直径平均分成两部分后，增加的表面积是两个长方形的面积，长方形的长是圆柱的高，宽是圆柱的底面直径。 已知高为1米，增加的表面积是0.8平方米，增加的是两个长方形的面积，一个长方形面积为0.8÷2＝0.4平方米。长方形面积＝长×宽，这里长是圆柱的高1米，宽是底面直径，所以底面直径为0.4÷1＝0.4（米），则底面半径为0.4÷2＝0.2米。根据圆柱的表面积公式：S＝2πr2＋2πrh（其中r是底面半径，h是圆柱的高，π取3.14）。把数据代入公式计算即可。 【详解】0.8÷2＝0.4（平方米） 0.4÷1＝0.4（米） 0.4÷2＝0.2（米） 2×3.14×0.22＋2×3.14×0.2×1 ＝2×3.14×0.04＋2×3.14×0.2×1 ＝0.2512＋1.256 ＝1.5072（平方米） 答：原来木料的表面积是1.5072平方米。 5．旅居云南已经成为一种时尚，奇奇和妈妈在云南游玩时买了一款长檐帽（如图），帽顶部分是圆柱形，帽沿部分是一个圆环，帽顶的底面半径是10厘米，高是8厘米，帽沿的宽度是6厘米。如果要自制一个这样的帽子，至少需要多少平方厘米编织材料？（不计花边） 【答案】1306.24平方厘米 【分析】看图可知，帽顶底面半径＋帽沿宽＝圆环大圆半径，帽顶底面半径＝圆环小圆半径，编织材料的面积＝圆柱底面积＋圆柱侧面积＋圆环的面积，圆柱侧面积＝底面周长×高，圆环的面积＝圆周率×（大圆半径的平方－小圆半径的平方），据此列式解答。 【详解】10＋6＝16（厘米） 3.14×102＋2×3.14×10×8＋3.14×（162－102） ＝3.14×100＋502.4＋3.14×（256－100） ＝314＋502.4＋3.14×156 ＝314＋502.4＋489.84 ＝1306.24（平方厘米） 答：至少需要1306.24平方厘米编织材料。 6．如图所示，一个半径为4厘米，高为4厘米的圆柱，在它的中间依次向下挖去半径分别为3厘米、2厘米，高分别为2厘米、1厘米的圆柱，最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？ 【答案】251.2平方厘米 【分析】要求最后得到的立体图形表面积是多少，认真观察，不难发现即求圆柱原来的表面积和挖出的3个小圆柱的侧面积的和（那一圈一圈的表面面积计算可以把它看成是从下往上一压缩，就是原来圆柱体的上底的面积）；根据“圆柱的表面积＝侧面积＋底面积×2”和“圆柱的侧面积＝底面周长×高＝2πrh”解答即可。 【详解】大圆柱表面积：2×3.14×4×4＋3.14×42×2 ＝100.48＋100.48 ＝200.96（平方厘米） 200.96＋2×3.14×3×2＋2×3.14×2×1 ＝200.96＋37.68＋12.56 ＝251.2（平方厘米） 答：最后得到的立体图形表面积是251.2平方厘米。 7．如图，一块三层蛋糕，由三个高都为1分米，底面半径分别为1.5分米、1分米和0.5分米的圆柱体组成。请问： （1）这个蛋糕的表面积是多少平方分米？（л取3.14） （2）如果沿经过中轴线AB的平面切一刀，将该蛋糕分成完全相同的两部分，那表面积之和又是多少？ 【答案】（1）32.97平方分米。（2）44.97平方分米。 【分析】由题意可知：这个物体的表面积是大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积，根据公式计算即可。如果沿经过中轴线AB的平面切一刀，将该蛋糕分成完全相同的两部分，那表面积之和等于圆柱的表面积加上3个长方形的面积乘2即可。 【详解】（1）大圆柱的表面积：3.14×1.52×2＋2×3.14×1.5×1 ＝14.13＋9.42 ＝23.55（平方分米） 中圆柱侧面积：2×3.14×1×1＝6.28（平方分米） 小圆柱侧面积：2×3.14×0.5×1＝3.14（平方分米） 这个物体的表面积：23.55＋6.28＋3.14＝32.97（平方分米） 答：这个物体的表面积是32.97平方分米。 （2）（1×0.5×2＋1×1×2＋1×1.5×2）×2＋32.97 ＝12＋32.97 ＝44.97（平方分米） 答：将该蛋糕分成完全相同的两部分，那表面积之和是44.97平方分米。 【点睛】此题主要考查圆柱的侧面积、表面积公式及其计算。 二、圆柱的体积 1．求下面图形的体积。（单位：cm） 【答案】7822.5cm3 【分析】该图形可看作一个长方体挖去一个半圆柱得到的，因此体积＝长方体体积－圆柱体积÷2。长方体的长为30cm，宽为20cm，高为15cm，长方体体积公式为：体积＝长×宽×高，把数据代入计算得出长方体的体积。 圆柱的底面直径为10cm，则半径为10÷2＝5cm，高就是长方体的长30cm。圆柱体积公式为：V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），把数据代入计算后再除以2得出半圆柱体积。然后用长方体体积减半圆柱体积即可。 【详解】30×20×15＝9000（cm3） 10÷2＝5（cm） 3.14×52×30÷2 ＝3.14×25×30÷2 ＝78.5×30÷2 ＝2355÷2 ＝1177.5（cm3） 9000－1177.5＝7822.5（cm3） 该图形的体积是7822.5cm3。 2．下面几何体是用铁制作的，中间有一个圆柱形孔，求它所用的铁的体积。 【答案】632.88cm3 【分析】由图可知，这个几何体的体积＝长方体的体积－圆柱的体积，根据长方体体积公式V＝abc，圆柱体积公式V＝πr2h，代入数据计算求解。 【详解】12×9×9＝972（cm3） 6÷2＝3（cm） 3.14×32×12 ＝3.14×9×12 ＝28.26×12 ＝339.12（cm3） 972－339.12＝632.88（cm3） 这个几何体所用的铁的体积是632.88cm3。 3．如图，求空心圆柱的体积。 【答案】1413cm3 【分析】根据圆柱的体积＝底面积×高，先计算出底面直径是10cm，高是50cm的圆柱的体积，再计算出底面直径是8cm，高是50cm的圆柱的体积，再用直径10cm圆柱的体积－底面直径8cm的圆柱的体积，即可求出空心圆柱的体积。 【详解】3.14×（10÷2）2×50－3.14×（8÷2）2×50 ＝3.14×52×50－3.14×42×50 ＝3.14×25×50－3.14×16×50 ＝78.5×50－50.24×50 ＝3925－2512 ＝1413（cm3） 空心圆柱的体积是1413cm3。 4．如下图：用一张长82.8厘米、宽10厘米的铁皮，剪下一个最大的圆做圆柱的底面，剩下的部分围在底面上做成一个无盖的铁皮水桶，算一算这个铁皮水桶的容积是多少？（铁皮厚度不计）． 【答案】1570立方厘米 【分析】由题意可知：在长方形上剪一个最大的圆，圆的直径应该是10厘米，把剩下的铁皮分成两块，把两块上下对接，围成的圆柱的高是20厘米．根据圆的面积计算公式S=πr2，算出圆的底面积，再根据圆柱的体积V=sh，算出圆柱的体积即可． 【详解】解：3.14×（10÷2）2×10×2 =3.14×25×20 =78.5×20 =1570（立方厘米） 答：这个铁皮水桶的容积是1570立方厘米． 5．小东测量瓶子的容积（如下图），测得瓶子的底面直径是10厘米，然后给瓶子内盛入一些水，正放时水高15厘米，倒放时水高25厘米，瓶子深30厘米。这个瓶子的容积是多少毫升？（π取3.14）（单位：厘米） 【答案】1570毫升 【分析】瓶子的容积等于瓶子正放时的水的体积加上瓶子倒放时上面空的部分的体积，这两部分都是圆柱，根据圆柱的体积公式V＝πr2h解决。1立方厘米＝1毫升。 【详解】10÷2＝5（厘米） 3.14×52×15＋3.14×52×（30－25） ＝3.14×25×15＋3.14×25×（30－25） ＝3.14×25×15＋3.14×25×5 ＝1177.5＋392.5 ＝1570（立方厘米） 1570立方厘米＝1570毫升 答：这个瓶子的容积是1570毫升。 【点睛】瓶子的容积等于水的体积加上空的部分的体积，把瓶子倒放时，空的部分正好是圆柱，根据圆柱体积公式。算出水的体积和空的部分的体积之和就是瓶子的容积。 6．一个底面周长为9.42厘米的圆柱体，从正中间斜着截去一段后，剩下的立体图形如图所示。请问，截后的体积是多少？ 【答案】49.455立方厘米 【分析】观察图形可知，先求出这个图形的底面半径是9.42÷3.14÷2＝1.5（厘米）；则这个图形的体积是底面半径为1.5厘米、高为6厘米的圆柱的体积与高为6－4＝2（厘米）的圆柱的体积的一半之和，由此利用圆柱的体积公式即可解答。 【详解】9.42÷3.14÷2＝1.5（厘米） 3.14×1.52×6＋3.14×1.52×（8－6）÷2 ＝42.39＋7.065 ＝49.455（立方厘米） 答：截后的体积是49.455立方厘米。 7．一根圆柱形木块平均切成三块（如图1）表面积增加了50.24平方厘米，平均切成四块（如图2），表面积增加了192平方厘米，这根木块体积是多少立方厘米？ 【答案】150.72立方厘米 【分析】如图1，把一根圆柱形木块平均切成三块，那么增加的表面积是4个底面积，用增加的表面积除以4，即可求出圆柱的底面积；然后根据S底＝πr2，得出圆柱的底面半径； 如图2，把一根圆柱形木块平均切成四块，那么增加的表面积是8个以底面半径和高分别为长、宽的长方形，用增加的表面积除以8，求出一个切面的面积，再除以底面半径，即可求出圆柱的高； 最后根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，即可求出这根木块的体积。 【详解】圆柱的底面积：50.24÷4＝12.56（平方厘米） 底面半径的平方：12.56÷3.14＝4（平方厘米） 因为4＝2×2，所以圆柱的底面半径是2厘米。 圆柱的高： 192÷8÷2 ＝24÷2 ＝12（厘米） 圆柱的体积： 12.56×12＝150.72（立方厘米） 答：这根木块体积是150.72立方厘米。 【点睛】掌握圆柱切割的特点，明确不同的切割方式，增加的表面积不相同，找出表面积增加的是哪些面的面积，以此为突破口，利用公式列式计算。 三、圆锥的体积（圆柱与圆锥的关系） 1．求下面图形的体积。 【答案】125.6 cm3 【分析】结合图示可知，图形的体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积，利用圆柱的体积V＝πr2h，圆锥的体积V＝πr2h，结合图中数据计算即可。 【详解】3.14×22×8＋×3.14×22×6 ＝3.14×4×8＋×3.14×4×6 ＝100.48＋25.12 ＝125.6（cm3） 故图形的体积是125.6 cm3。 2．从一个正方体中挖去一个最大的圆锥，请计算剩余部分的体积（单位：分米，π取3.14） 【答案】159.48立方分米 【分析】正方体的体积公式为V＝a×a×a（a为正方体的棱长），已知正方体的棱长为6分米，所以正方体的体积为：6×6×6＝216（立方分米）。要在正方体中挖去一个最大的圆锥，这个圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长，即圆锥的底面直径为6分米，高为6分米。圆锥的底面半径为6÷2＝3分米。圆锥的体积公式为V＝πr2h（r为底面半径，h为高，π取3.14），所以圆锥的体积为：×3.14×32×6＝56.52（立方分米）。剩余部分的体积等于正方体的体积减去圆锥的体积，用216减56.52计算即可。 【详解】6×6×6＝216（立方分米） ×3.14×32×6 ＝×3.14×9×6 ＝3.14×3×6 ＝9.42×6 ＝56.52（立方分米） 216－56.52＝159.48（立方分米） 剩余部分的体积是159.48立方分米。 3．蚁狮主要以蚂蚁为食，会挖出圆锥形的洞穴作为陷阱，捕猎时的稳准狠堪比狮子，故而得名蚁狮。如果蚁狮挖一个深9厘米、口部宽8厘米的陷阱，那么至少需要挖出多少立方厘米的土？ 【答案】150.72立方厘米 【分析】求需要挖土多少立方厘米，就是求一个底面直径是8厘米，高是9厘米的圆锥的体积，根据圆锥的体积＝底面积×高×，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×（8÷2）2×9× ＝3.14×42×9× ＝3.14×16×9× ＝50.24×9× ＝452.16× ＝150.72（立方厘米） 答：至少需要挖150.72立方厘米的土。 4．如图，等腰梯形上底为6cm，下底为12cm，高为3cm，现在沿上下底中点线旋转一周得到一个立体图形，求立体图形的体积。 【答案】63立方厘米 【分析】根据题意，观察图形可知旋转体为一个圆柱台子，无法直接求出其体积。根据等腰梯形45度角，可考虑将两腰延长形成等腰三角形，经过旋转可知原图形旋转体的体积可由大圆锥体积－延长圆锥的体积。根据体积公式计算即可。 【详解】（立方厘米） （立方厘米） （立方厘米） 5．如图，把扇形的两条半径无缝拼接（不重叠），可以卷成一个空心圆锥。如果再配一个底面，圆锥的高就是8厘米，圆锥的容积是多少？（厚度不计） 【答案】301.44立方厘米 【分析】根据题意可知，扇形的弧长12π厘米就是圆锥的底面周长，根据圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，由此求出圆锥的底面半径；再根据圆锥的体积（容积）公式V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），圆锥的高是8厘米，把求出的半径和高代入即可求出圆锥的容积。 【详解】圆锥的底面半径：12π÷π÷2＝6（厘米） ×3.14×62×8 ＝×3.14×36×8 ＝12×3.14×8 ＝37.68×8 ＝301.44（立方厘米） 答：圆锥的容积是301.44立方厘米。 6．一根圆柱形木料按（图甲）的方式切成大小、形状相同的四块，表面积增加96平方厘米；按（图乙），表面积增加50.24平方厘米，若把它削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是多少立方厘米？ 【答案】12.56立方厘米 【分析】按乙的切法增加了4个底面面积，用增加的面积除以4就是底面面积，根据底面积可求出圆柱底面半径；按甲的切法，增加了8个长为圆柱高，宽为圆柱底面直径的长方形，据此可求出圆柱的高，切成的最大圆锥与圆柱底面积相等、高相等；根据圆锥体积的计算公式V＝Sh计算出圆锥的体积即可。 【详解】50.24÷4＝12.56（平方厘米） 12.56÷3.14＝4（厘米） 圆柱体的高：96÷8÷4＝3（厘米） ×12.56×3 ＝1×12.56 ＝12.56（立方厘米） 答：这个圆锥的体积是12.56立方厘米。 【点睛】关键是先根据乙的切法求出圆柱的底面积，进而求出底面半径，再根据甲的切法求出圆柱的高。最后计算出圆锥的体积。 7．如图三角形ABC是一个直角三角形，分别以三条边所在的直线为轴旋转得到三个不同的立体形体，这三个立体图形的体积分别是多少立方厘米？ 【答案】37680立方厘米；50240立方厘米；30144立方厘米 【分析】将直角三角形以AB为轴为轴旋转，得到一个高为40厘米，底面半径为30厘米的圆锥，再利用圆锥的体积公式代入数据解答； 以BC为轴旋转，得到一个高为30厘米，底面半径为40厘米的圆锥，再利用圆锥的体积公式代入数据解答； 以AC为轴旋转，得到两个圆锥，借助三角形的面积公式，列式30×40÷2，求出三角形的面积是600平方厘米，再用600×2÷50求出斜边上的高为24厘米，即底面半径为24厘米，两个圆锥的高之和是50厘米，先求出底面积，进而求出两个圆锥的体积即可。 【详解】以AB为轴旋转的圆锥： ×3.14×302×40 ＝×3.14×900×40 ＝942×40 ＝37680（立方厘米） 以BC为轴旋转的圆锥： ×3.14×402×30 ＝×30×3.14×1600 ＝31.4×1600 ＝50240（立方厘米） 以AC为轴旋转的立体图形，两个圆锥半径： 30×40÷2＝600（平方厘米） 600×2÷50＝24（厘米） 体积：×3.14×242×50 ＝×3.14×576×50 ＝602.88×50 ＝30144（立方厘米） 答：以AB为轴旋转的圆锥体积37680立方厘米；以BC为轴旋转的圆锥体积50240立方厘米；以AC为轴旋转的立体图形体积是30144立方厘米。 【点睛】掌握圆锥的特征和圆锥的体积计算公式是解答题目的关键。 8．左边正方形的边长为4，右边正方形对角线长度为6．如果按照图中的方式旋转，那么得到的两个旋转体的体积之比是多少？ 【答案】8：9． 【详解】试题分析：左边正方形旋转后交得到一个底面半径为，高为4的圆柱，根据圆柱的体积公式V=πr2h即可求出这个圆柱的体积； 右边正方形旋后可得到两个底面半径为，高也为且底面重合的圆锥，根据圆锥的体积公式V=πr2h即可求出这两个圆柱的体积；再根据比的意义求出两个旋转体的体积之比即可（要化成最简整数比）． 解：3.14×（）2×4 =3.14×4×4 =50.24， ×3.14×（）2××2 =×3.14×9×3×2 =56.52， 50.24：56.52=8：9． 答：两个旋转体的体积之比是8：9． 点评：此题主要是考查圆柱、圆锥的计算，比的意义等．圆柱、圆锥体积的计算关系记住公式． 9．沙漏又称沙钟，是我国古代一种计量时间的仪器，它是根据流沙从一个容器漏到另一个容器的数量来计量时间的。如图，如果再过1分钟沙漏上部的沙子就可以全部漏到下部，那么现在已经计量了多少分钟？    【答案】56分钟 【分析】根据题意，如果再过1分钟沙漏上部的沙子就可以全部漏到下部，这部分的沙子是一个底面直径为2厘米，高为3厘米的圆锥，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，即可求出1分钟漏沙子的体积； 已经漏到下面的沙子的体积＝底面直径为8厘米、高为12厘米的圆锥的体积－底面直径为4cm、高为（12－6）厘米的圆锥的体积，根据圆锥的体积公式求解； 然后用已经漏到下面的沙子的体积除以每分钟漏沙子的体积，即可求出已经计量的时间。 【详解】×3.14×（2÷2）2×3 ＝×3.14×1×3 ＝3.14（立方厘米）       ×3.14×（8÷2）2×12 ＝×3.14×16×12 ＝200.96（立方厘米） ×3.14×（4÷2）2×（12－6） ＝×3.14×4×6 ＝25.12（立方厘米） 200.96—25.12＝175.84（立方厘米） 175.84÷3.14＝56（分钟） 答：现在已经计量了56分钟。 【点睛】本题考查圆锥体积公式的运用，分析出1分钟漏沙子的体积和已经漏到下面的沙子的体积是解题的关键。 10．一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱体和一个圆锥体组成，圆柱体的底面直径和高都是12厘米。其内有一些水，正放时水面离容器顶厘米，倒放时水面离顶部5厘米，那么这个容器的容积是多少立方厘米？（） 【答案】1620立方厘米 【分析】根据题意，设圆锥的高为h厘米，水体积是v立方厘米。根据正放时和倒放时的体积不变，可得关于h的方程，求得圆锥体的高，再根据容器的容积＝圆柱体的容积＋圆锥体的容积列式计算即可求解。 【详解】解：设圆锥的高为h厘米，水体积是v立方厘米。 正放时水体积： 倒放时水体积： 则： 容器的容积为： ＝ ＝1296＋324 ＝1620（立方厘米） 答：这个容器的容积是1620立方厘米。 【点睛】此题主要考查圆柱和圆锥的体积的计算方法，关键是明白：容器的容积＝圆柱体的容积＋圆锥体的容积。 四、体积的等积变形（圆柱、圆锥） 1．为迎接中国共产党建党一百周年，某公园园艺处准备将一个圆柱形（底面积是3.5平方米，高是1.8米）造型的沙雕重新塑成高是1.8米的圆锥形沙雕，那么圆锥形沙雕的占地面积是多少平方米？ 【答案】10.5平方米 【分析】先求圆柱的体积＝底面积×高，圆柱的体积就是圆锥形沙雕的体积，圆锥的体积＝×底面积×高，代入数值，求出圆锥形沙雕的占地面积，据此解答。 【详解】3.5×1.8＝6.3（立方米） 6.3×3÷1.8 ＝18.9÷1.8 ＝10.5（平方米） 答：圆锥形沙雕的占地面积是10.5平方米。 2．小东家去年秋季收获的稻谷堆成了圆锥形，底面周长是9.42米，高是2米。如果把这堆稻谷装进底面半径为1米的圆柱形粮仓中，仓内稻谷高多少米？（π取3.14） 【答案】1.5米 【分析】稻谷堆成了圆锥形，已知圆锥底面周长为9.42米，根据圆的周长公式C＝2πr（π取3.14，r为半径），可得底面半径：r＝C÷（2π），即9.42÷（2×3.14）＝9.42÷6.28＝1.5米。根据圆锥体积公式V＝πr2h（r为底面半径，h为圆锥的高），高是2米，把数据代入计算出圆锥体积后再根据：h＝V÷π÷r2（r为圆柱半径，h为圆柱高，π取3.14），把圆柱底面半径1米和圆锥体积代入计算即可解答。 【详解】9.42÷（2×3.14） ＝9.42÷6.28 ＝1.5（米） ×3.14×1.52×2 ＝×3.14×2.25×2 ＝×14.13 ＝4.71（立方米） 4.71÷3.14÷12 ＝4.71÷3.14÷1 ＝1.5÷1 ＝1.5（米） 答：仓内稻谷高1.5米。 3．一个圆锥形谷堆，底面周长12.56米，高1.5米，把它放在一个底面积为6.28平方米的圆柱形粮囤里，可以堆多高？ 【答案】1米 【分析】由题意可知，这里谷堆的体积不变，根据圆的周长公式的逆运算，可求出圆锥的底面半径，再根据圆锥的体积公式，求出谷堆的体积，再根据的逆运算，用圆柱体积除以圆柱底面积即可得解。 【详解】12.56÷3.14÷2＝2（米） （3.14×22×1.5×）÷6.28 ＝（3.14×4×1.5×）÷6.28 ＝6.28÷6.28 ＝1（米） 答：可以堆1米高。 4．农场晒谷场上堆了一堆晒好的小麦（如图）。要将这堆小麦收储到一个空的圆柱形粮仓里，粮仓的底面直径为4米，收储后，粮仓里的小麦高多少？（计算提示：314×128＝40192；40192÷1256＝32） 【答案】3.2米 【分析】根据圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据求出圆锥的体积，也是圆柱形粮仓里小麦的体积；再根据圆柱的体积V＝Sh，可知圆柱的高h＝V÷S，求出粮仓里的小麦的高。 【详解】8÷2＝4（米） 4÷2＝2（米） ×3.14×42×2.4 ＝×3.14×16×2.4 ＝40.192（立方米） 40.192÷（3.14×22） ＝40.192÷（3.14×4） ＝40.192÷12.56 ＝3.2（米） 答：粮仓里的小麦高3.2米。 5．一个杯子最上面部分是圆柱，中间部分是圆锥，下面是实心的杯挺和底座（如图）。一个底部内直径是10厘米的瓶子里，水的高度是7厘米，把这些水全部倒入图中的杯子里，圆锥顶点到水面的高度是多少厘米？（π取3） 【答案】13厘米 【分析】根据圆柱的体积＝底面积×高，代入数据，求出瓶子里水的体积；根据圆锥的体积＝底面积×高×，代入数据，求出杯子圆锥部分的体积，再用水的体积－杯子圆锥部分的体积，求出剩下的体积，再根据高＝剩下的体积÷杯子最上面部分的圆柱的底面积，求出它的高度，再加上圆锥部分的高度，即可解答。 【详解】3×（10÷2）2×7 ＝3×52×7 ＝3×25×7 ＝75×7 ＝525（立方厘米） 3×（10÷2）2×9× ＝3×52×9× ＝3×25×9× ＝75×9× ＝675× ＝225（立方厘米） （525－225）÷[3×（10÷2）2] ＝300÷[3×52] ＝300÷[3×25] ＝300÷75 ＝4（厘米） 4＋9＝13（厘米） 答：圆锥顶点到水面的高度是13厘米。 五、不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 1．一个圆柱形容器内盛有一定量的水，现把一段底面半径为2厘米的圆柱形钢材全部浸入水中，水面上升了5厘米且没有溢出；把钢材竖着拉出水面6厘米后，水面下降了2厘米。这段钢材的体积是多少立方厘米？ 【答案】188.4立方厘米 【分析】当把钢材竖着拉出水面6厘米时，拉出部分的体积等于容器中水面下降部分的水的体积，拉出钢材的部分是一个圆柱，根据圆柱的体积公式：（其中是底面半径，是高），可得拉出钢材部分的体积，因为拉出部分的体积等于容器中水面下降部分的水的体积，用拉出钢材部分的体积除以水面下降的高度，即可求出容器的底面积，已知当钢材全部浸入水中时，水面上升5厘米，钢材的总体积等于水面上升5厘米水的体积，再根据圆柱的体积公式：（其中是底面积，是高），即可求出钢材的体积。 【详解】拉出钢材部分的体积： （立方厘米） 容器的底面积：（平方厘米） 钢材的体积：（立方厘米） 答：这段钢材的体积是188.4立方厘米。 2．一个底面半径为10厘米的圆柱形容器内装有水，水里面完全浸没了一块底面积为62.8平方厘米的圆锥形铁块，取出铁块后，水面下降了2厘米。这块圆锥形铁块高多少厘米？ 【答案】30厘米 【分析】铁块原来是完全浸没的状态，取出铁块后，水面下降了2厘米，那么下降的2厘米深的水的体积就是铁块的体积。根据圆柱体积公式V＝πr2h，代入r＝10，h＝2求出下降部分水的体积也就是圆锥形铁块的体积。圆锥体积公式V＝Sh，变形得到h＝3V÷S，代入S＝62.8计算出铁块的高，据此解答。 【详解】3×（3.14×102×2）÷62.8 ＝3×（3.14×100×2）÷62.8 ＝3×628÷62.8 ＝30（厘米） 答：这块圆锥形铁块高30厘米。 3．一个圆柱形的水桶，底面直径是40厘米，里面装有80厘米深的水。现将一个底面周长为62.8厘米的圆锥形铁块沉浸在水桶之中（水未溢出），水面升高了，圆锥形铁块的高是多少厘米？ 【答案】60厘米 【分析】已知圆柱形水桶的底面直径是40厘米，则底面半径是40÷2＝20厘米；水桶里装有80厘米深的水，将圆锥形铁块沉浸在水桶之中，水面升高了，即水面上升了80×＝5厘米；根据圆柱体积公式计算出上升的水的体积，即为圆锥形铁块的体积。 已知圆锥形铁块底面周长是62.8厘米，根据圆的周长公式C＝2πr得r＝C÷π÷2，据此可计算出圆锥形铁块的底面半径；根据圆的面积公式计算出圆锥形铁块的底面积；最后根据“圆锥的体积＝×底面积×高”，用圆锥形铁块的体积乘3除以底面积即可计算出圆锥形铁块的高。据此解答。 【详解】3.14×（40÷2）2×（80×） ＝3.14×202×5 ＝3.14×400×5 ＝1256×5 ＝6280（立方厘米） 62.8÷3.14÷2 ＝20÷2 ＝10（厘米） 3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 6280×3÷314 ＝18840÷314 ＝60（厘米） 答：圆锥形铁块的高是60厘米。 4．如图，在一个底面面积是78.5平方厘米的圆柱形容器中，放入一个底面半径4厘米的圆锥形物体（完全浸没），水面上升了4厘米（没有溢出），求圆锥形物体的体积和高。 【答案】314立方厘米；18.75厘米 【分析】已知圆柱形容器的底面积是78.5平方厘米，当圆锥形物体完全浸没在圆柱形容器的水中时，水面上升了4厘米，此时水面上升的体积就是圆锥形物体的体积，根据“圆柱体积＝底面积×高”计算出上升的水的体积，即该圆锥形物体的体积。 已知圆锥形物体的底面半径是4厘米，根据圆的面积公式计算出该圆锥形物体的底面积，然后根据“圆锥体积＝×底面积×高”，用圆锥的体积乘3再除以圆锥的底面积即可计算出该圆锥形物体的高。 【详解】78.5×4＝314（立方厘米） 314×3÷（3.14×42） ＝314×3÷（3.14×16） ＝314×3÷50.24 ＝942÷50.24 ＝18.75（厘米） 答：圆锥形物体的体积是314立方厘米，高是18.75厘米。 5．一个长为12.56厘米、宽8厘米、高15厘米的长方体容器内，放入一个底面直径为8厘米的圆锥形铁块后（完全浸没），水面上升了0.3厘米（水未溢出），圆锥形铁块的高是多少厘米？ 【答案】1.8厘米 【分析】在长方体容器放入一个底面直径为8厘米的圆锥形铁块后，水面上升的体积就是圆锥形铁块的体积。已知长方体容器长12.56厘米、宽8厘米，水面上升0.3厘米，根据长方体体积公式：V＝a×b×h（a为长，b为宽，h为高），把数据代入公式即可知道圆锥形铁块的体积。 圆锥体积公式为V＝πr2h（π取3.14，r为底面半径，h为圆锥的高），那么h＝V÷（πr2）×3，已知圆锥的底面直径是8厘米，那么半径为8÷2＝4厘米，把圆锥的体积和半径代入公式即可解答。 【详解】12.56×8×0.3 ＝100.48×0.3 ＝30.144（立方厘米） 8÷2＝4（厘米） 30.144÷（3.14×42）×3 ＝30.144÷（3.14×16）×3 ＝30.144÷50.24×3 ＝0.6×3 ＝1.8（厘米） 答：圆锥形铁块的高是1.8厘米。 6．一个底面半径是8厘米的圆柱形玻璃器皿装有一部分水，水中浸没一个高6厘米的圆锥形铅锤。当铅锤从水中取出后，水面下降了0.5厘米，这个铅锤的底面积是多少平方厘米？ 【答案】50.24平方厘米 【分析】下降的水的形状为圆柱，圆柱体积公式为V＝πr2h（其中r为底面半径，h为高）。已知圆柱玻璃器皿底面半径r＝8厘米，水面下降高度h＝0.5厘米，π取3.14，把数据代入公式计算可得下降的水的体积（也就是圆锥的体积）。 圆锥体积公式为V＝Sh（其中S为底面积，h为高）。那么S＝V÷（h），已知圆锥高h＝6厘米，把已求出的圆锥的体积和高代入公式即可得到圆锥的底面积。 【详解】3.14×82×0.5 ＝3.14×64×0.5 ＝3.14×32 ＝100.48（立方厘米） 100.48÷（×6） ＝100.48÷2 ＝50.24（平方厘米） 答：这个铅锤的底面积是50.24平方厘米。 7．一个圆柱形的玻璃缸装有一些水，底面内直径为6厘米，高为12厘米。把一个圆锥形铅锤放入玻璃缸中（全部浸没），水面上升了0.5厘米，铅锤的高为2厘米，这个铅锤的底面积是多少平方厘米？ 【答案】21.195平方厘米 【分析】根据题意可知，把圆锥形铅锤放入圆柱形玻璃缸中（完全浸没，水未溢出），上升部分水的体积就等于这个铅锤的体积，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，圆锥的体积公式：V＝Sh那么S＝3V÷h，把数据代入公式解答。 【详解】3.14×（6÷2）2×0.5÷÷2 ＝3.14×32×0.5×3÷2 ＝3.14×9×0.5×3÷2 ＝14.13×3÷2 ＝42.39÷2 ＝21.195（平方厘米） 答：这个铅锤的底面积是21.195平方厘米。 8．为测得一个圆锥形零件的体积，元元将零件投入一个盛有水的圆柱形玻璃容器中，水面上升（如图）。（数据由容器内部测得） （1）圆锥形零件的体积是多少立方厘米？ （2）如果圆锥形零件的高为10厘米，这个零件的底面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）628立方厘米 （2）188.4平方厘米 【分析】（1）圆锥形零件投入圆柱容器中使水面上升，则上升水的体积等于圆锥形零件的体积。已知圆柱容器底面直径20厘米，用直径长度除以2计算出半径长度，水面上升高度为12－10＝2厘米；然后根据圆柱的体积（容积）公式计算出上升水的体积，即为圆锥形零件的体积。 （2）由（1）可知圆锥形零件的体积，又已知圆锥形零件的高为10厘米，根据“圆锥的体积＝×底面积×高”可得“圆锥的底面积＝体积×3÷高”，用该圆锥形零件的体积乘3除以高即为它的底面积。 【详解】（1）20÷2＝10（厘米） 3.14×102×（12－10） ＝3.14×100×2 ＝314×2 ＝628（立方厘米） 答：圆锥形零件的体积是628立方厘米。 （2）628×3÷10 ＝1884÷10 ＝188.4（平方厘米） 答：这个零件的底面积是188.4平方厘米。 第 1 页 共 40 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18讲 圆柱与圆锥 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.掌握圆柱和圆锥的基本特征及各部分名称 2.熟练运用公式计算圆柱的表面积和体积 3.理解并应用圆锥体积计算公式 4.掌握圆柱与圆锥之间的关系及等积变形规律 5.能够运用圆柱和圆锥的知识解决实际问题 知识梳理 知识点一、圆柱与圆锥的认识 1.圆柱的基本特征： （1）圆柱有两个底面和一个侧面： ①底面：两个完全相同的圆； ②侧面：一个曲面； ③高：两个底面之间的距离，有无数条且长度相等。 （2）圆柱的侧面展开图： ①沿高展开：长方形（或正方形），长方形的长=圆柱底面的周长，长方形的宽=圆柱的高； ②不沿高展开：平行四边形。 2.圆锥的基本特征： （1）圆锥有一个底面和一个侧面： ①底面：一个圆； ②侧面：一个曲面； ③高：从顶点到底面圆心的距离，只有1条。 （2）圆锥的侧面展开图：扇形 ①扇形的半径=圆锥的母线长； ②扇形的弧长=圆锥底面的周长。 知识点二、圆柱的表面积 1.表面积的意义： 圆柱的表面积是指圆柱的侧面积与两个底面积的总和。 2.计算公式： （1）圆柱的侧面积=底面周长×高 字母公式：S侧=Ch=2πrh=πdh； （2）圆柱的底面积=πr²； （3）圆柱的表面积=侧面积+底面积×2 字母公式：S表=S侧+2S底=2πrh+2πr²=2πr(r+h)。 3.特殊情况的表面积计算： （1）无盖圆柱（如：水桶）：S表=侧面积+1个底面积； （2）圆柱形通风管（如：烟囱）：S表=侧面积（只有侧面）。 知识点三、圆柱的体积 1.体积的意义： 物体所占空间的大小叫做物体的体积。 2.常用体积单位： 立方米(m³)、立方分米(dm³)、立方厘米(cm³) 单位换算：1m³=1000dm³，1dm³=1000cm³。 3.圆柱体积计算公式： （1）圆柱的体积=底面积×高 字母公式：V=Sh=πr²h； （2）公式推导： 将圆柱等分成若干份，拼成一个近似的长方体，长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高，长方体的体积等于圆柱的体积。 知识点四、圆锥的体积 1.圆锥体积计算公式： （1）圆锥的体积=×底面积×高 字母公式：V=Sh=πr²h； （2）公式推导： 通过实验可知，等底等高的圆锥体积是圆柱体积的，即圆锥体积=×等底等高圆柱体积。 2.体积单位：与圆柱体积单位相同。 知识点五、圆柱与圆锥的关系 1.等底等高的圆柱与圆锥： （1）圆柱体积是圆锥体积的3倍； （2）圆锥体积是圆柱体积的； （3）圆柱体积比圆锥体积多2倍； （4）圆锥体积比圆柱体积少。 2.等体积等高的圆柱与圆锥： （1）圆锥底面积是圆柱底面积的3倍； （2）圆柱底面积是圆锥底面积的。 3.等体积等底面积的圆柱与圆锥： （1）圆锥高是圆柱高的3倍； （2）圆柱高是圆锥高的。 知识点六、等积变形问题 1.基本概念： 物体的形状发生变化，但体积保持不变。 2.常见类型： （1）圆柱与圆柱之间的等积变形； （2）圆柱与圆锥之间的等积变形； （3）圆柱/圆锥与长方体/正方体之间的等积变形。 3.解题关键： 抓住体积不变，根据体积相等建立等量关系。 知识点七、解决实际问题 1.圆柱表面积的实际应用： （1）计算圆柱形物体的表面积时，要根据实际情况确定需要计算的面的数量； （2）例如：计算水桶的表面积要算一个底面和侧面，计算通风管只需算侧面。 2.圆柱和圆锥体积的实际应用： （1）计算不规则物体体积：排水法； （2）计算容器容积：注意单位换算（1L=1dm³，1mL=1cm³）； （3）等积变形问题：如把圆柱形钢材熔铸成圆锥等。 3.综合应用： （1）结合生活实际，灵活运用圆柱和圆锥的表面积、体积公式； （2）解决与圆柱、圆锥相关的复杂问题，如：组合图形的表面积和体积计算。 例题讲解 一、圆柱的表面积 【例题1】计算下面图形的表面积。（单位：厘米）（π取3.14） 【例题2】灯笼厂接到一批订单，需要制作如图这种圆柱形灯笼，上、下底面的中间分别留出了78.5平方厘米的圆孔，做一个灯笼至少需要准备多少平方厘米的彩纸？ 二、圆柱的体积 【例题1】计算图形的体积。 【例题2】世间万物千姿百态，下图就是一个不规则的立体图形。你能计算它的体积（单位：厘米）吗？ 三、圆锥的体积（圆柱与圆锥的关系） 【例题1】计算下面图形的体积。 【例题2】如图所示，直角三角形三条边分别长为3、4、5，求绕斜边旋转一周后所形成的物体体积。 【例题3】如图，将直角梯形ABCD以高AB所在直线为轴旋转一周，形成一个圆台，你能算出这个圆台的体积吗？ 四、体积的等积变形（圆柱、圆锥） 【例题1】把一个底面半径是2厘米，高是10厘米的圆柱形铁块，熔铸成一个高是20厘米的圆锥形铁块，这个圆锥形铁块的底面积是多少平方厘米？ 【例题2】工人师傅要把一个长8厘米，宽7厘米，高6.28厘米的长方体铁块铸造成一个底面直径是20厘米的圆锥形零件，这个圆锥形零件的高是多少？ 五、不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 【例题1】一个底面半径是6厘米的圆柱体玻璃器皿里装有一部分水，水中浸没了一个高9厘米的圆锥体铅锤。当铅锤从水中取出后，水面下降了0.5厘米。这个圆锥体铅锤的底面积是多少平方厘米？ 【例题2】在一个底面半径是10厘米的圆柱形容器中装有水，正好能完全浸没一个底面半径是4厘米，高是6厘米的圆锥形铁块（如图）。现将铁块从容器中取出后，水面会下降多少厘米？ 考点练习 一、圆柱的表面积 1．求组合图形的表面积。（单位：厘米） 2．计算下面图形的表面积。 3．计算下面图形的表面积。 4．木工师傅把一根高1米的圆柱形木料，沿着底面直径平均分成两部分（如下图），表面积增加了0.8平方米，计算原来木料的表面积。 5．旅居云南已经成为一种时尚，奇奇和妈妈在云南游玩时买了一款长檐帽（如图），帽顶部分是圆柱形，帽沿部分是一个圆环，帽顶的底面半径是10厘米，高是8厘米，帽沿的宽度是6厘米。如果要自制一个这样的帽子，至少需要多少平方厘米编织材料？（不计花边） 6．如图所示，一个半径为4厘米，高为4厘米的圆柱，在它的中间依次向下挖去半径分别为3厘米、2厘米，高分别为2厘米、1厘米的圆柱，最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？ 7．如图，一块三层蛋糕，由三个高都为1分米，底面半径分别为1.5分米、1分米和0.5分米的圆柱体组成。请问： （1）这个蛋糕的表面积是多少平方分米？（л取3.14） （2）如果沿经过中轴线AB的平面切一刀，将该蛋糕分成完全相同的两部分，那表面积之和又是多少？ 二、圆柱的体积 1．求下面图形的体积。（单位：cm） 2．下面几何体是用铁制作的，中间有一个圆柱形孔，求它所用的铁的体积。 3．如图，求空心圆柱的体积。 4．如下图：用一张长82.8厘米、宽10厘米的铁皮，剪下一个最大的圆做圆柱的底面，剩下的部分围在底面上做成一个无盖的铁皮水桶，算一算这个铁皮水桶的容积是多少？（铁皮厚度不计）． 5．小东测量瓶子的容积（如下图），测得瓶子的底面直径是10厘米，然后给瓶子内盛入一些水，正放时水高15厘米，倒放时水高25厘米，瓶子深30厘米。这个瓶子的容积是多少毫升？（π取3.14）（单位：厘米） 6．一个底面周长为9.42厘米的圆柱体，从正中间斜着截去一段后，剩下的立体图形如图所示。请问，截后的体积是多少？ 7．一根圆柱形木块平均切成三块（如图1）表面积增加了50.24平方厘米，平均切成四块（如图2），表面积增加了192平方厘米，这根木块体积是多少立方厘米？ 三、圆锥的体积（圆柱与圆锥的关系） 1．求下面图形的体积。 2．从一个正方体中挖去一个最大的圆锥，请计算剩余部分的体积（单位：分米，π取3.14） 3．蚁狮主要以蚂蚁为食，会挖出圆锥形的洞穴作为陷阱，捕猎时的稳准狠堪比狮子，故而得名蚁狮。如果蚁狮挖一个深9厘米、口部宽8厘米的陷阱，那么至少需要挖出多少立方厘米的土？ 4．如图，等腰梯形上底为6cm，下底为12cm，高为3cm，现在沿上下底中点线旋转一周得到一个立体图形，求立体图形的体积。 5．如图，把扇形的两条半径无缝拼接（不重叠），可以卷成一个空心圆锥。如果再配一个底面，圆锥的高就是8厘米，圆锥的容积是多少？（厚度不计） 6．一根圆柱形木料按（图甲）的方式切成大小、形状相同的四块，表面积增加96平方厘米；按（图乙），表面积增加50.24平方厘米，若把它削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是多少立方厘米？ 7．如图三角形ABC是一个直角三角形，分别以三条边所在的直线为轴旋转得到三个不同的立体形体，这三个立体图形的体积分别是多少立方厘米？ 8．左边正方形的边长为4，右边正方形对角线长度为6．如果按照图中的方式旋转，那么得到的两个旋转体的体积之比是多少？ 9．沙漏又称沙钟，是我国古代一种计量时间的仪器，它是根据流沙从一个容器漏到另一个容器的数量来计量时间的。如图，如果再过1分钟沙漏上部的沙子就可以全部漏到下部，那么现在已经计量了多少分钟？    10．一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱体和一个圆锥体组成，圆柱体的底面直径和高都是12厘米。其内有一些水，正放时水面离容器顶厘米，倒放时水面离顶部5厘米，那么这个容器的容积是多少立方厘米？（） 四、体积的等积变形（圆柱、圆锥） 1．为迎接中国共产党建党一百周年，某公园园艺处准备将一个圆柱形（底面积是3.5平方米，高是1.8米）造型的沙雕重新塑成高是1.8米的圆锥形沙雕，那么圆锥形沙雕的占地面积是多少平方米？ 2．小东家去年秋季收获的稻谷堆成了圆锥形，底面周长是9.42米，高是2米。如果把这堆稻谷装进底面半径为1米的圆柱形粮仓中，仓内稻谷高多少米？（π取3.14） 3．一个圆锥形谷堆，底面周长12.56米，高1.5米，把它放在一个底面积为6.28平方米的圆柱形粮囤里，可以堆多高？ 4．农场晒谷场上堆了一堆晒好的小麦（如图）。要将这堆小麦收储到一个空的圆柱形粮仓里，粮仓的底面直径为4米，收储后，粮仓里的小麦高多少？（计算提示：314×128＝40192；40192÷1256＝32） 5．一个杯子最上面部分是圆柱，中间部分是圆锥，下面是实心的杯挺和底座（如图）。一个底部内直径是10厘米的瓶子里，水的高度是7厘米，把这些水全部倒入图中的杯子里，圆锥顶点到水面的高度是多少厘米？（π取3） 五、不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 1．一个圆柱形容器内盛有一定量的水，现把一段底面半径为2厘米的圆柱形钢材全部浸入水中，水面上升了5厘米且没有溢出；把钢材竖着拉出水面6厘米后，水面下降了2厘米。这段钢材的体积是多少立方厘米？ 2．一个底面半径为10厘米的圆柱形容器内装有水，水里面完全浸没了一块底面积为62.8平方厘米的圆锥形铁块，取出铁块后，水面下降了2厘米。这块圆锥形铁块高多少厘米？ 3．一个圆柱形的水桶，底面直径是40厘米，里面装有80厘米深的水。现将一个底面周长为62.8厘米的圆锥形铁块沉浸在水桶之中（水未溢出），水面升高了，圆锥形铁块的高是多少厘米？ 4．如图，在一个底面面积是78.5平方厘米的圆柱形容器中，放入一个底面半径4厘米的圆锥形物体（完全浸没），水面上升了4厘米（没有溢出），求圆锥形物体的体积和高。 5．一个长为12.56厘米、宽8厘米、高15厘米的长方体容器内，放入一个底面直径为8厘米的圆锥形铁块后（完全浸没），水面上升了0.3厘米（水未溢出），圆锥形铁块的高是多少厘米？ 6．一个底面半径是8厘米的圆柱形玻璃器皿装有一部分水，水中浸没一个高6厘米的圆锥形铅锤。当铅锤从水中取出后，水面下降了0.5厘米，这个铅锤的底面积是多少平方厘米？ 7．一个圆柱形的玻璃缸装有一些水，底面内直径为6厘米，高为12厘米。把一个圆锥形铅锤放入玻璃缸中（全部浸没），水面上升了0.5厘米，铅锤的高为2厘米，这个铅锤的底面积是多少平方厘米？ 8．为测得一个圆锥形零件的体积，元元将零件投入一个盛有水的圆柱形玻璃容器中，水面上升（如图）。（数据由容器内部测得） （1）圆锥形零件的体积是多少立方厘米？ （2）如果圆锥形零件的高为10厘米，这个零件的底面积是多少平方厘米？ 第 1 页 共 40 页 学科网（北京）股份有限公司 $