第19讲 等积变换与一半模型（知识梳理+例题讲解+考点练习）-六年级奥数培优讲义

第19讲 等积变换与一半模型 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解等积变换的概念及核心原理，掌握常见的等积变换方法 2.熟练运用等积变换解决图形面积计算问题 3.掌握一半模型的基本类型及其应用条件 4.能够识别复杂图形中的一半模型，并运用其解决面积问题 5.综合运用等积变换与一半模型解决奥数中的几何综合题 知识梳理 知识点一、等积变换的基本概念与原理 1.等积变换的定义： （1）概念：在保持图形面积不变的前提下，改变图形的形状或位置的变换； （2）核心特征：面积相等，形状或位置改变； （3）适用范围：平面几何中的三角形、平行四边形、梯形等直线图形。 2.等积变换的基本原理： （1）共边定理：如果两个三角形有一条公共边，且这条边上的高相等，则这两个三角形面积相等； （2）等底等高原理：等底等高的两个三角形面积相等； （3）全等图形面积相等：能够完全重合的两个图形面积相等。 3.等积变换的基本性质： （1）传递性：若图形A与图形B面积相等，图形B与图形C面积相等，则图形A与图形C面积相等； （2）可加性：若干个图形面积的和等于它们组合而成的图形面积； （3）可分性：一个图形的面积等于它分割成的若干个图形面积的和。 知识点二、常用等积变换方法 1.三角形的等积变换： （1）同底等高法：保持底边不变，改变顶点位置使高相等； （2）同高底等法：保持高不变，改变底边长度使底相等； （3）平移顶点法：平行移动顶点，保持到底边的距离不变； （4）旋转法：以某一点为中心旋转图形，保持面积不变。 2.平行四边形的等积变换： （1）同底等高的平行四边形面积相等； （2）矩形与平行四边形的等积变换：等底等高的矩形和平行四边形面积相等； （3）割补法：通过切割和拼接实现等积变换。 3.梯形的等积变换： （1）梯形的等积变形：保持上下底之和与高不变，面积不变； （2）梯形与三角形的转化：通过辅助线将梯形转化为等积的三角形。 知识点三、一半模型的基本类型 1.三角形中的一半模型： （1）中线平分三角形面积：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分； （2）中点连线模型：连接三角形两边中点的线段将三角形分成面积比为1:3的两部分； （3）重心性质：三角形的重心将中线分成2:1的两段，形成的两个三角形面积比为2:1。 2.平行四边形中的一半模型： （1）对角线平分平行四边形面积：平行四边形的对角线将其分成两个面积相等的三角形； （2）中点连线模型：连接平行四边形对边中点的线段将其分成面积相等的两部分； （3）定点动点模型：平行四边形一边上的定点与对边上任意一点的连线平分平行四边形面积。 3.长方形（正方形）中的一半模型： （1）中心对称模型：经过长方形中心的任意一条直线将长方形分成面积相等的两部分； （2）"L"形模型：长方形中去掉一个小长方形后形成的"L"形，可通过等积变换转化为规则图形； （3）交叉线模型：长方形中两条对角线相交，形成的四个三角形面积相等，各占长方形面积的1/4。 4.梯形中的一半模型： （1）中位线模型：梯形的中位线将梯形分成两个小梯形，面积比为(上底+中位线):(中位线+下底)； （2）对角线模型：梯形的两条对角线将其分成四个三角形，其中上下两个三角形面积之积等于左右两个三角形面积之积。 知识点四、等积变换的应用技巧 1.辅助线添加技巧： （1）添加平行线构造等积三角形； （2）连接中点构造中位线； （3）作高构造直角三角形； （4）延长线段构造全等三角形或相似三角形。 2.复杂图形的等积转化策略： （1）分割法：将复杂图形分割成若干个可进行等积变换的基本图形； （2）补形法：给复杂图形补上一部分，使其成为可进行等积变换的规则图形； （3）平移法：平移图形中的某一部分，使分散的条件集中； （4）旋转法：通过旋转图形，使不规则图形转化为规则图形。 3.等积变换中的比例关系： （1）等高三角形面积比等于底边长之比； （2）等底三角形面积比等于高之比； （3）相似三角形面积比等于相似比的平方。 知识点五、一半模型的应用技巧 1.一半模型的识别方法： （1）寻找中点或中线； （2）观察对角线； （3）识别对称中心； （4）寻找特殊角度和比例关系。 2.一半模型的组合应用： （1）多个一半模型的叠加使用； （2）一半模型与等积变换的结合； （3）一半模型与比例关系的综合应用。 3.复杂图形中一半模型的构造： （1）添加辅助线构造一半模型； （2）通过平移、旋转构造一半模型； （3）利用对称性质构造一半模型。 例题讲解 一、等积变换 【例题1】如图所示，大长方形被分割为两个小长方形甲和乙。已知小长方形乙的宽是甲宽的5倍。若小长方形乙的面积为120平方厘米，求小长方形甲的面积。 【答案】24平方厘米 【分析】乙的宽是甲宽的5倍。因为两个长方形的长相等，根据面积公式S＝ab，长相等时面积比就等于宽之比，所以乙的面积也为甲的5倍。 【详解】120÷5＝24（平方厘米） 【例题2】右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是厘米，求三角形的面积． 【答案】8 【详解】 这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系．连接(见右上图)，可以看出，三角形与三角形的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等．因为三角形是三角形与三角形的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形与三角形面积仍然相等．根据等量代换，求三角形的面积等于求三角形的面积，等于． 【例题3】如图，△ABC的面积是8，将AB、BC、CA分别延长一倍到D、E、F，两两连结D、E、F，得到一个新的△DEF，则△DEF的面积为多少？ 【答案】56 【分析】根据底边关系找对应公共顶点，连接AE、FB、DC，利用等高倍比分析∶ 1.因为AF＝AC，△FAB与△CAB等高，得，△EAF与△EAC等高，得 2.同理分析其他三角形 由AB＝BD，可得 由BC＝EC，可得 综上可得7个小三角形面积均相等 3.计算△DEF的总面积 △DEF由7个与△ABC面积相等的部分组成（原△ABC＋周围6个等面积三角形）。把△ABC的面积看做1份。 因此，。 【详解】 二、一半模型 【例题1】平行四边形中3个三角形的面积分别为25、7、5，阴影部分的面积是多少？（单位：平方厘米） 【答案】23平方厘米 【分析】①分析图形中的面积关系 设阴影部分的面积为S。 观察平行四边形可知，它可看作由两部分组成：一部分是面积为25平方厘米和5平方厘米的三角形以及它们之间的空白部分；另一部分是面积为7平方厘米的三角形和阴影部分。 根据一半模型原理，这两部分的面积是相等的，都等于平行四边形面积的一半。即面积为25平方厘米的三角形与面积为5平方厘米的三角形的面积之和，等于面积为7平方厘米的三角形与阴影部分的面积之和。 ②计算阴影部分面积 由上述面积关系可列出等式：25＋5＝7＋S。 先计算等式左边25＋5＝30平方厘米。 然后求解S，S＝30－7＝23平方厘米。 【详解】设阴影部分的面积为S 25＋5＝7＋S 25＋5＝30（平方厘米） S＝30－7＝23（平方厘米） 【例题2】平行四边形的面积是20平方厘米，求阴影部分的面积。 【答案】10 【分析】①观察图形可知，阴影部分是由几个三角形组成，这些三角形与平行四边形存在特定关系。 ②对于平行四边形内的三角形，我们可以发现，以平行四边形的一条边为底，这些阴影三角形的高之和恰好等于平行四边形这条底边对应的高。 ③根据三角形面积公式，这里阴影部分所有三角形面积之和就相当于以平行四边形的一边为底，以平行四边形的高为高的大三角形的面积。 ④而平行四边形的面积公式是，所以阴影部分面积是平行四边形面积的一半。 【详解】（平方厘米）。 【例题3】如图，长方形的面积是平方厘米，点、、分别是长方形边上的中点，为边上的任意一点，求阴影部分的面积． 【答案】28 【详解】 本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用． 连接、． ∵， ∴． 同理，，， ∴(平方厘米)． 考点练习 一、等积变换 1．如图的等腰梯形中，甲三角形的面积（    ）乙三角形的面积。 A．大于 B．等于 C．小于 D．无法判断 【答案】B 【分析】由图可知，等腰梯形的上底和下底是平行的，两条平行线之间的高度是不变的。两个阴影三角形分别加上顶部的空白三角形后组成两个新的三角形，由于这两个新三角形是等底等高的，面积相等，所以两个阴影三角形的面积是相等的。 【详解】两个阴影三角形分别加上顶部的空白三角形后组成两个新的三角形，这两个新三角形是等底等高，面积相等，空白部分是公共部分，所以甲三角形的面积＝乙三角形的面积。 故答案为：B 2．如图，三个大小相同的正方形重叠地放在一个大的正方形内，已知能看见的部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别是64平方厘米、38平方厘米、34平方厘米。那么正方形的边长是( )厘米。 【答案】12.5 【分析】由题意得每个小正方形的边长都为8厘米，则将图Ⅱ所在的小正方形向左移动到最左边，则图Ⅱ减少的面积等于图Ⅲ增加的面积，则移动后的图Ⅱ和图Ⅲ的面积和与移动前的面积和是相等的。因为大正方形ABCD的边长＝小正方形的边长＋a＝小正方形的边长＋b，则a＝b。所以将图Ⅱ所在的小正方形向左移动到最左边后，图Ⅱ的面积为8b＝图Ⅲ的面积8a，则求出a和b的值，大正方形的边长＝8＋a，带入计算即可。 【详解】8×8＝64（平方厘米） 38＋34＝72（平方厘米） 72÷2＝36（平方厘米） 如图图所示：设出其中两条边分别为a，b； 大正方形ABCD的边长＝小正方形的边长＋a＝小正方形的边长＋b，则a＝b。 将图Ⅱ所在的小正方形向左移动到最左边后，图Ⅱ的面积为8b＝图Ⅲ的面积8a＝36。 36÷8＝4.5（厘米） 8＋4.5＝12.5（厘米） 正方形ABCD的边长是12.5厘米。 【点睛】注意要移动小正方形，在移动的过程中，找出变化的以及不变的，再找出大正方形的边长和小正方形边长之间的关系。 3．如图，ABC的面积是1，将AB、BC、CA分别延长一倍到D、E、F，两两连结D、E、F，得到一个新的△DEF，则△DEF的面积为多少？ 【答案】7 【分析】根据底边关系找对应公共顶点，连接AE、FB、DC，利用等高倍比分析∶ 1.因为AF＝AC，△FAB与△CAB等高，得，△EAF与△EAC等高，得 2.同理分析其他三角形 由AB＝BD，可得 由BC＝EC，可得 综上可得7个小三角形面积均相等 3.计算△DEF的总面积 △DEF由7个与△ABC面积相等的部分组成（原△ABC＋周围6个等面积三角形）。把△ABC的面积看做1份。 因此，。 【详解】 4．如图，一个大长方形被分割成两个小长方形A和B。小长方形A的宽为大长方形长的。若小长方形B的面积为160平方分米，求小长方形A的面积。 【答案】40平方分米 【分析】小长方形A的长为大长方形宽的，那么把大长方形的宽看成5份，则小长方形A的宽为1份。那么长方形B的宽则为5－1＝4份，也就是A的宽的4倍，因为两个长方形的长相等，根据面积公式S＝ab，长相等时面积比就等于宽之比，所以B的面积也为A的4倍。 【详解】160÷（5－1）＝40（平方分米） 5．如图：ABCD是一个平行四边形，面积为100平方厘米，若AF＝4FE，三角形BEF的面积是多少平方厘米？ 【答案】10平方厘米 【分析】根据等底等高的三角形的面积是平行四边形的面积的一半，可得S△AEB＝100÷2＝50平方厘米；再由共角定理可推出三角形BEF的面积。 【详解】三角形AEB的面积：100÷2＝50（平方厘米） 由共角定理得： S△ABE∶S△BEF＝AE∶EF＝（AF＋EF）∶EF＝（4＋1）∶1＝5∶1； 所以S△BEF＝50÷5＝10（平方厘米） 答：三角形BEF的面积是10平方厘米。 6．如下图∶AD＝2BD，BE＝EF＝FC，已知阴影部分的面积是15平方厘米，那么三角形ABC的面积是多少？ 【答案】135平方厘米 【分析】根据底边关系找对应的公共顶点，所以连接DC 1.计算△BDC的面积 因为AD＝2BD，所以BD∶AB＝1∶3。 由于△BDC与△ABC等高，根据三角形面积公式，面积比等于底的比，可得。 2.分析△BDC内的面积关系 因为BF＝EF＝FC，所以△BDE、△DEF、△DFC等高，且底BF＝EF＝FC。 因此，这三个三角形面积相等， 即。 3.计算△ABC的面积 已知平方厘米，可得平方厘米。 又因为，所以平方厘米。 【详解】（平方厘米） （平方厘米） 7．三角形ABC的面积为36，D、E为AC边上的三等分点，F为BC的中点，G为FC的中点，求阴影部分的面积。 【答案】21 【分析】已知D、E为AC边上的三等分点，那么AD∶AC＝1∶3。 △ABD与△ABC有相同的高，在高相等的情况下，△ABD的面积与△ABC的面积比为1∶3，已知△ABC的面积为36平方厘米，则△ABD的面积为（平方厘米） △BDC的面积＝△ABC的面积－△ABD的面积 ＝36－12 ＝24 因为F为BC边的中点，那么BF∶BC＝1∶2。 △BDF与△BDC有相同的高，则△BDF的面积＝24÷2＝12 同理，可以求得：△DEF的面积＝6；△FEG的面积＝△EGC的面积＝3； 据此将三个阴影部分面积相加即为所求。 【详解】 8．如图，有三个正方形的顶点D、G、K恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB的边长为10厘米，求阴影部分的面积？ 【答案】100平方厘米 【分析】连接BD、EG和FK，如图，则BD∥EG∥FK，根据平行线之间的垂线段相等可知，三角形EGD与三角形BEG等底等高，则这两个三角形的面积相等，又因三角形GEQ是二者的公共部分，它们都去掉三角形GEQ，则剩余部分的面积仍然相等，即三角形QGD与三角形BEQ面积相等；同样的办法可以推出，三角形GFK与三角形EFK的面积相等，去掉公共部分三角形OKF，则三角形EKO与三角形GOF的面积相等，于是阴影部分就全部转化到了正方形BEFG中，即阴影部分的面积就等于正方形BEFG的面积，于是利用正方形的面积公式即可求解。 【详解】据分析可得：10×10＝100（平方厘米） 答：阴影部分的面积是100平方厘米。 【点睛】此题难度较大，推出阴影部分的面积就是等于正方形BEFG的面积，是解答本题的关键。 9．正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？ 【答案】50 【详解】 方法一：三角形BEF的面积，梯形EFDC的面积三角形BEF的面积，而四边形CEFH是它们的公共部分，所以，三角形DHF的面积三角形BCH的面积，进而可得，阴影面积三角形BDF的面积三角形BCD的面积(平方厘米)． 方法二：连接CF，那么CF平行BD ， 所以，阴影面积三角形BDF的面积三角形BCD的面积(平方厘米)． 10．如图，在等腰三角形ABC中，两腰AC，BC分别被5等分，底边AB被10等分。如果图中阴影部分的8个三角形的面积之和为100平方厘米，求大三角形ABC的面积。 【答案】250平方厘米 【分析】根据三角形的面积＝底×高÷2，可知等底等高的三角形面积相等；两个三角形的高相等，第一个三角形的底是第二个三角形的底的几倍，则第一个三角形的面积是第二个三角形面积的几倍。据此将三角形标数，然后从最小的三角形面积开始推断。 【详解】因为AB1＝B1B2 所以S1＝S2 又因为AC1＝C1C2 所以S3 ＝S1＋S2 ＝2S1 同理，B1B2＝B2B3 所以S4＝S3＝2S1 又因为 AC2＝2C2C3， 所以S5 ＝（S1＋S2＋S3＋S4）÷2 ＝（S1＋S1＋2S1＋2S1）÷2 ＝6S1÷2 ＝3S1 同理，S6＝S5＝3S1 所以S7 ＝（S1＋S2＋S3＋S4＋S5＋S6）÷3 ＝（S1＋S1＋2S1＋2S1＋3S1＋3S1）÷3 ＝12S1÷3 ＝4S1 S7＝S8＝4S1 所以S9 ＝（S1＋S2＋S3＋S4＋S5＋S6＋S7＋S8）÷4 ＝（S1＋S1＋2S1＋2S1＋3S1＋3S1＋4S1＋4S1）÷4 ＝20S1÷4 ＝5S1 （S2＋S4＋S6＋S8）×2 ＝（S1＋2S1＋3S1＋4S1）×2 ＝10S1×2 ＝20S1 ＝100（平方厘米） S1：100÷20＝5（平方厘米） 大三角形的面积： （S1＋S2＋S3＋S4＋S5＋S6＋S7＋S8＋S9）×2 ＝（S1＋S1＋2S1＋2S1＋3S1＋3S1＋4S1＋4S1＋5S1）×2 ＝25S1×2 ＝50S1 ＝50×5 ＝250（平方厘米） 答：大三角形ABC的面积是250平方厘米。 【点睛】解答本题的关键是掌握两个三角形等底等高时面积相同以及等高模型，要从最小的三角形开始假设。 二、一半模型 1．如图所示，四边形ABCD与CEDF均为平行四边形，E是AB边上靠近B点的四等分点，三角形BEC的面积为10cm2.那么，平行四边形CEDF的面积是（    ）cm2。 A．60 B．70 C．80 D．160 【答案】C 【分析】根据E是AB边上靠近B点的四等分点和已知三角形BEC的面积可求出平行四边形ABCD的面积，根据三角形CDE是平行四边形面积的一半，可求出三角形CDE的面积，而三角形CDE又是平行四边形CEDF面积的一半，据此即可求解平行四边形CEDF的面积。 【详解】因为E是AB边上靠近B点的四等分点且三角形BEC的面积为10cm2。 所以S平行四边形ABCD＝10×2×4＝80（cm2） 所以S△CDE＝80÷2＝40（cm2） 所以S平行四边形CEDF＝2S△CDE＝2×40＝80（cm2） 故答案选：C 2．四个边长为4的小正方形拼成一个大正方形，分别取每个小正方形的上下边的中点，进行如图所示的连接。则图中阴影部分的面积是（    ）。 A．32 B．30 C．28 D．24 【答案】A 【分析】分别取每个小正方形的上下边的中点，说明每个平行四边形的面积都等于所在正方形的面积的一半，所以阴影部分的面积就等于大正方形面积的一半，然后根据正方形的面积公式解答即可。 【详解】（4＋4）×（4＋4）÷2 ＝8×8÷2 ＝64÷2 ＝32 所以图中阴影部分的面积是32。 故答案选：A 3．一个奇怪的图形如图所示，已知ABFE和CDEF都是长方形，AB的长为5厘米，BC的长为4厘米。那么图中阴影部分的面积是（    ）平方厘米。 A．20 B．15 C．10 D．5 【答案】C 【分析】由于长方形ABFE里的四个阴影三角形是等高的，它们的底加起来是长方形ABFE的长，高是长方形ABFE的宽，所以上面4个阴影三角形的面积之和等于长方形ABFE面积的一半；同理，下面3个阴影三角形的面积之和也等于长方形EFCD面积的一半，故阴影部分面积是长方形ABCD的面积的一半。 【详解】5×4÷2 ＝20÷2 ＝10（平方厘米） 所以图中阴影部分的面积是10平方厘米。 故答案选：C 4．如图所示，直线DF与平行四边形ABCD的BC边交于E点，与直线AB交于F点，已知AB＝10厘米，EG＝4厘米。那么三角形CEF的面积是（    ）平方厘米。 A．10 B．18 C．20 D．24 【答案】C 【分析】根据同底同高的平行四边形是三角形面积的2倍，可知三角形ADE的面积是平行四边形ABCD面积的一半，进而可得三角形ABE和三角形CDE面积之和的一半也是平行四边形ABCD面积的一半；同理，三角形CDF是平行四边形ABCD的一半，即三角形CDE和三角形CEF面积之和是平行四边形面积的一半，进而可得三角形CEF和三角形ABE面积相等，而三角形ABEC的面积根据三角形面积公式和已知数据可求，进而求出三角形CEF的面积。 【详解】因为△ADE和平行四边形ABCD同底同高，所以S△ADE＝S平行四边形ABCD 又S△CDE＋S△ABE＋S△ADE＝S平行四边形ABCD 所以S△CDE＋S△ABE＝S平行四边形ABCD－S△ADE＝S平行四边形ABCD－S平行四边形ABCD＝S平行四边形ABCD 即S△CDE＋S△ABE＝S平行四边形ABCD 因为△CDF和平行四边形ABCD同底等高，所以S△CDF＝S平行四边形ABCD 又S△CDF＝S△CDE＋S△CEF 所以S△CDE＋S△CEF＝S平行四边形ABCD 所以S△CDE＋S△ABE＝S△CDE＋S△CEF＝S平行四边形ABCD 即S△ABE＝S△CEF 而S△ABE＝×AB×EG＝×10×4＝20（平方厘米） 即S△CEF＝20（平方厘米） 故答案为：C 5．如图所示，一个平行四边形被划分为很多部分，其中有四块黄色部分的面积已标出，则绿色部分的面积是（    ）。 A．64 B．70 C．72 D．84 【答案】B 【分析】根据等底等高的三角形和平行四边形的面积关系：三角形面积等于平行四边形面积的一半，利用图中的已知数据和标上的字母找出图中的数量关系即可解答本题。 【详解】如下图所示，对图形标上字母。设平行四边形面积为S 根据等底等高的三角形和平行四边形的面积关系可知： E＋F＋7＋B＋D＋G＝S平行四边形……① D＋E＋10＋61＋F＋G＋6＝S平行四边形……② ①﹣②可得：7＋B﹣10﹣61﹣6＝0 即B＝70 所以绿色部分的面积是70。 答：绿色部分的面积是70。故答案选：B 【点睛】本题考查了三角形和平行四边形等底等高的面积关系的应用。属于平面几何中的一半模型，熟悉并能运用好一半模型是解题的关键。 6．如图，过平行四边形ABCD内一点P画一条直线，将平行四边形分成面积相等的两部分（画图并说明方法）。 【答案】如图所示，分别连接AC、BD，且相交于点O，然后作直线PO，与平行四边形相交于E、F两点，则四边形ADEF和四边形BCEF面积相等。 【分析】平行四边形是中心对称图形，根据中心对称图形的性质，经过对称中心的任意一条直线都把它分成两个全等形，面积当然相等． 【详解】如图所示，分别连接AC、BD，且相交于点O，然后作直线PO，与平行四边形相交于E、F两点， 则四边形ADEF和四边形BCEF面积相等． 7．在平行四边形ABCD中，三角形ABP的面积为15，三角形PBC的面积为34，那么阴影部分的面积是多少？ 【答案】19平方厘米 【分析】①分析本题图形与一半模型的关系 设△ADP的面积为，的面积为，阴影部分即△ADP的面积为。 根据一半模型可知，，也就是。 同时，我们还知道△ABP、△BCP、△CDP、△ADP这四个三角形的面积之和等于平行四边形ABCD的面积。 从另一个角度看，△ABD和△BCD的面积也都等于平行四边形ABCD面积的一半。 对于△ABD，它由△ABP和△ADP组成；对于△BCD，它由△BCP和△CDP组成。 因为△ABD和△BCD面积相等（都为平行四边形面积的一半），所以。 ②计算阴影部分面积 将，代入，并变形可得： （平方厘米） 【详解】设△ADP的面积为，△CDP的面积为，阴影部分即△ADP的面积为 （平方厘米） 8．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E为AB中点，F为CD中点，连接EF。若梯形ABCD的高为8厘米，AB＋DC＝24厘米，求梯形AEFD与梯形EBCF的面积差。 【答案】0 【分析】梯形ABCD的面积＝（AB＋DC）h＝，点E，F分别为AB、DC的中点，所以AE＝AB，DF＝DC，所以梯形AEFD＝（AE＋DF）h＝＝梯形EBCF面积，所以梯形AEFD与梯形EBCF的面积差为48－48＝0平方厘米。 【详解】 48－48＝0 9．如图，在梯形ABCD中，BE＝CE，AF＝DF。图中阴影部分面积为18平方厘米，则梯形ABCD的面积是多少平方厘米？ 【答案】36平方厘米 【分析】①构建一半模型思路 连接AE、BF。因为BE＝CE，AF＝DF，所以EF平行于AB和CD（梯形中位线性质：梯形两腰中点的连线平行于两底）。 在梯形ABEF中，△ABF和△ABE等底（AB为公共底）等高（AB与EF平行，两平行线间距离处处相等），根据三角形面积公式，可得。 那么（为AE与BF交点），即。 ②分析阴影部分与梯形面积关系 此时可以发现，阴影部分面积。 由于，所以。 又因为EF是梯形ABCD的中位线，△ABF和△DFC的高之和等于梯形ABCD的高，且AF＝DF，BE＝CE。 那么刚好是梯形ABCD面积的一半。 【详解】18×2＝36（平方厘米） 10．如图，平行四边形ABCD的面积是96平方厘米，E是AB边上的中点，G是AD边上靠近A点的三等分点，连接CE、CG、EG，求三角形CEG的面积。 【答案】32平方厘米 【分析】的面积是平行四边形面积的，即平方厘米；△DCG的面积是平行四边形面积的，即平方厘米；△AEG的面积是平行四边形面积的，即平方厘米。所以△CEG的面积为平方厘米。 【详解】 （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 11．下图正方形ABCD的边长是15cm，求阴影部分面积。 【答案】112.5平方厘米 【分析】步骤一：连接CF 步骤二：利用等积变换 根据三角形面积公式，因为△BCF和△DCF等底等高，所以。 △BCF和△DCF都减去△CGF，可得。 步骤三：计算阴影部分面积 阴影部分面积（因为，进行等量代换后得到）。 根据正方形面积公式（为边长），正方形ABCD的边长是15cm，则其面积为。 而△BCD的面积是正方形ABCD面积的一半，所以，即。 【详解】 12．如图，ABCD是正方形，EDGF是长方形，CD＝8厘米，DG＝10厘米，宽ED＝？ 【答案】6.4厘米 【分析】①基于一半模型的面积分析 从正方形ABCD的角度看： 由于ABCD是正方形，厘米，△ADG以AD为底，CD为高（因为正方形的边互相垂直），根据三角形面积公式，此时△ADG的面积平方厘米。这里可以理解为△ADG的面积是正方形ABCD面积的一半（从以AD和CD构成的面积关系角度）。 从长方形EDGF的角度看： 因为EDGF是长方形，厘米，△ADG以DG为底，ED为高（长方形的边互相垂直），那么。这里的面积也与长方形EDGF的边DG和ED相关，类似于一半模型中三角形与四边形边的关系。 ②求解ED的长度 由于△ADG的面积是固定的，无论从正方形还是长方形的角度去计算，其值不变。 已经求得平方厘米，且，厘米，代入可得。 化简方程，解得厘米。 【详解】 （平方厘米） （厘米） 13．如图，在梯形ABCD中，BE＝CE，三角形ADE的面积是12平方厘米，则梯形ABCD的面积是多少平方厘米？ 【答案】24平方厘米 【分析】如图，延长AE与DC，相交于点F。 因为BE＝CE，且AB∥DF，所以可知△ABE与△FCE大小形状完全一样，由此可知：AE＝FE，S△ABE＝S△FCE。因为AE＝FE，所以S△ADE＝S△FDE（等底等高）。已知△ADE的面积是12平方厘米，所以△FDE的面积也是12平方厘米，即△ADF的面积为：12×2＝24（平方厘米）。因为S△ABE＝S△FCE，所以S梯形ABCD＝S△ADF。据此即可求出梯形ABCD的面积是多少平方厘米。 【详解】（平方厘米） 答：梯形ABCD的面积是24平方厘米。 14．如图，在面积为20的正方形ABCD内有一点P，使得、、和中有两个三角形的面积分别是2和7。这样的P点共有多少个？写出分析过程。 【答案】4个，分析见详解 【分析】三角形PAB的面积＋三角形PDC面积＝三角形PAD＋三角形PBC，即相对的面的两个三角形面积和是正方形的面积的一半。这四个三角形的面积和20，即相对面的两个三角形面积和是10。其中两个三角形的面积是2和7，和是9，则这两个三角形肯定是相邻的两个三角形的面积。其余三角形的面积是8和3。据此解答即可。 【详解】20÷2＝10 三角形PAB的面积＋三角形PDC面积＝三角形PAD＋三角形PBC＝10 设三角形PAD是2，则三角形PBC＝10－2＝8 设三角形PAD是7，则三角形PBC＝10－7＝3 设三角形PAD是8，则三角形PBC＝10－8＝2 设三角形PAD是3，则三角形PBC＝10－3＝7 三角形PAD的面积有四种。 答：这样的p点共有4个。 【点睛】相对的两个三角形的底是相等的，高连接在一起就是正方形的边长，则相对面的面积和就是整个正方形面积的一半。 第 1 页 共 26 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19讲 等积变换与一半模型 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解等积变换的概念及核心原理，掌握常见的等积变换方法 2.熟练运用等积变换解决图形面积计算问题 3.掌握一半模型的基本类型及其应用条件 4.能够识别复杂图形中的一半模型，并运用其解决面积问题 5.综合运用等积变换与一半模型解决奥数中的几何综合题 知识梳理 知识点一、等积变换的基本概念与原理 1.等积变换的定义： （1）概念：在保持图形面积不变的前提下，改变图形的形状或位置的变换； （2）核心特征：面积相等，形状或位置改变； （3）适用范围：平面几何中的三角形、平行四边形、梯形等直线图形。 2.等积变换的基本原理： （1）共边定理：如果两个三角形有一条公共边，且这条边上的高相等，则这两个三角形面积相等； （2）等底等高原理：等底等高的两个三角形面积相等； （3）全等图形面积相等：能够完全重合的两个图形面积相等。 3.等积变换的基本性质： （1）传递性：若图形A与图形B面积相等，图形B与图形C面积相等，则图形A与图形C面积相等； （2）可加性：若干个图形面积的和等于它们组合而成的图形面积； （3）可分性：一个图形的面积等于它分割成的若干个图形面积的和。 知识点二、常用等积变换方法 1.三角形的等积变换： （1）同底等高法：保持底边不变，改变顶点位置使高相等； （2）同高底等法：保持高不变，改变底边长度使底相等； （3）平移顶点法：平行移动顶点，保持到底边的距离不变； （4）旋转法：以某一点为中心旋转图形，保持面积不变。 2.平行四边形的等积变换： （1）同底等高的平行四边形面积相等； （2）矩形与平行四边形的等积变换：等底等高的矩形和平行四边形面积相等； （3）割补法：通过切割和拼接实现等积变换。 3.梯形的等积变换： （1）梯形的等积变形：保持上下底之和与高不变，面积不变； （2）梯形与三角形的转化：通过辅助线将梯形转化为等积的三角形。 知识点三、一半模型的基本类型 1.三角形中的一半模型： （1）中线平分三角形面积：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分； （2）中点连线模型：连接三角形两边中点的线段将三角形分成面积比为1:3的两部分； （3）重心性质：三角形的重心将中线分成2:1的两段，形成的两个三角形面积比为2:1。 2.平行四边形中的一半模型： （1）对角线平分平行四边形面积：平行四边形的对角线将其分成两个面积相等的三角形； （2）中点连线模型：连接平行四边形对边中点的线段将其分成面积相等的两部分； （3）定点动点模型：平行四边形一边上的定点与对边上任意一点的连线平分平行四边形面积。 3.长方形（正方形）中的一半模型： （1）中心对称模型：经过长方形中心的任意一条直线将长方形分成面积相等的两部分； （2）"L"形模型：长方形中去掉一个小长方形后形成的"L"形，可通过等积变换转化为规则图形； （3）交叉线模型：长方形中两条对角线相交，形成的四个三角形面积相等，各占长方形面积的1/4。 4.梯形中的一半模型： （1）中位线模型：梯形的中位线将梯形分成两个小梯形，面积比为(上底+中位线):(中位线+下底)； （2）对角线模型：梯形的两条对角线将其分成四个三角形，其中上下两个三角形面积之积等于左右两个三角形面积之积。 知识点四、等积变换的应用技巧 1.辅助线添加技巧： （1）添加平行线构造等积三角形； （2）连接中点构造中位线； （3）作高构造直角三角形； （4）延长线段构造全等三角形或相似三角形。 2.复杂图形的等积转化策略： （1）分割法：将复杂图形分割成若干个可进行等积变换的基本图形； （2）补形法：给复杂图形补上一部分，使其成为可进行等积变换的规则图形； （3）平移法：平移图形中的某一部分，使分散的条件集中； （4）旋转法：通过旋转图形，使不规则图形转化为规则图形。 3.等积变换中的比例关系： （1）等高三角形面积比等于底边长之比； （2）等底三角形面积比等于高之比； （3）相似三角形面积比等于相似比的平方。 知识点五、一半模型的应用技巧 1.一半模型的识别方法： （1）寻找中点或中线； （2）观察对角线； （3）识别对称中心； （4）寻找特殊角度和比例关系。 2.一半模型的组合应用： （1）多个一半模型的叠加使用； （2）一半模型与等积变换的结合； （3）一半模型与比例关系的综合应用。 3.复杂图形中一半模型的构造： （1）添加辅助线构造一半模型； （2）通过平移、旋转构造一半模型； （3）利用对称性质构造一半模型。 例题讲解 一、等积变换 【例题1】如图所示，大长方形被分割为两个小长方形甲和乙。已知小长方形乙的宽是甲宽的5倍。若小长方形乙的面积为120平方厘米，求小长方形甲的面积。 【例题2】右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是厘米，求三角形的面积． 【例题3】如图，△ABC的面积是8，将AB、BC、CA分别延长一倍到D、E、F，两两连结D、E、F，得到一个新的△DEF，则△DEF的面积为多少？ 二、一半模型 【例题1】平行四边形中3个三角形的面积分别为25、7、5，阴影部分的面积是多少？（单位：平方厘米） 【例题2】平行四边形的面积是20平方厘米，求阴影部分的面积。 【例题3】如图，长方形的面积是平方厘米，点、、分别是长方形边上的中点，为边上的任意一点，求阴影部分的面积． 考点练习 一、等积变换 1．如图的等腰梯形中，甲三角形的面积（    ）乙三角形的面积。 A．大于 B．等于 C．小于 D．无法判断 2．如图，三个大小相同的正方形重叠地放在一个大的正方形内，已知能看见的部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别是64平方厘米、38平方厘米、34平方厘米。那么正方形的边长是( )厘米。 3．如图，ABC的面积是1，将AB、BC、CA分别延长一倍到D、E、F，两两连结D、E、F，得到一个新的△DEF，则△DEF的面积为多少？ 4．如图，一个大长方形被分割成两个小长方形A和B。小长方形A的宽为大长方形长的。若小长方形B的面积为160平方分米，求小长方形A的面积。 5．如图：ABCD是一个平行四边形，面积为100平方厘米，若AF＝4FE，三角形BEF的面积是多少平方厘米？ 6．如下图∶AD＝2BD，BE＝EF＝FC，已知阴影部分的面积是15平方厘米，那么三角形ABC的面积是多少？ 7．三角形ABC的面积为36，D、E为AC边上的三等分点，F为BC的中点，G为FC的中点，求阴影部分的面积。 8．如图，有三个正方形的顶点D、G、K恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB的边长为10厘米，求阴影部分的面积？ 9．正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？ 10．如图，在等腰三角形ABC中，两腰AC，BC分别被5等分，底边AB被10等分。如果图中阴影部分的8个三角形的面积之和为100平方厘米，求大三角形ABC的面积。 二、一半模型 1．如图所示，四边形ABCD与CEDF均为平行四边形，E是AB边上靠近B点的四等分点，三角形BEC的面积为10cm2.那么，平行四边形CEDF的面积是（    ）cm2。 A．60 B．70 C．80 D．160 2．四个边长为4的小正方形拼成一个大正方形，分别取每个小正方形的上下边的中点，进行如图所示的连接。则图中阴影部分的面积是（    ）。 A．32 B．30 C．28 D．24 3．一个奇怪的图形如图所示，已知ABFE和CDEF都是长方形，AB的长为5厘米，BC的长为4厘米。那么图中阴影部分的面积是（    ）平方厘米。 A．20 B．15 C．10 D．5 4．如图所示，直线DF与平行四边形ABCD的BC边交于E点，与直线AB交于F点，已知AB＝10厘米，EG＝4厘米。那么三角形CEF的面积是（    ）平方厘米。 A．10 B．18 C．20 D．24 5．如图所示，一个平行四边形被划分为很多部分，其中有四块黄色部分的面积已标出，则绿色部分的面积是（    ）。 A．64 B．70 C．72 D．84 6．如图，过平行四边形ABCD内一点P画一条直线，将平行四边形分成面积相等的两部分（画图并说明方法）。 7．在平行四边形ABCD中，三角形ABP的面积为15，三角形PBC的面积为34，那么阴影部分的面积是多少？ 8．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E为AB中点，F为CD中点，连接EF。若梯形ABCD的高为8厘米，AB＋DC＝24厘米，求梯形AEFD与梯形EBCF的面积差。 9．如图，在梯形ABCD中，BE＝CE，AF＝DF。图中阴影部分面积为18平方厘米，则梯形ABCD的面积是多少平方厘米？ 10．如图，平行四边形ABCD的面积是96平方厘米，E是AB边上的中点，G是AD边上靠近A点的三等分点，连接CE、CG、EG，求三角形CEG的面积。 11．下图正方形ABCD的边长是15cm，求阴影部分面积。 12．如图，ABCD是正方形，EDGF是长方形，CD＝8厘米，DG＝10厘米，宽ED＝？ 13．如图，在梯形ABCD中，BE＝CE，三角形ADE的面积是12平方厘米，则梯形ABCD的面积是多少平方厘米？ 14．如图，在面积为20的正方形ABCD内有一点P，使得、、和中有两个三角形的面积分别是2和7。这样的P点共有多少个？写出分析过程。 第 1 页 共 26 页 学科网（北京）股份有限公司 $