第18讲 公因数与最大公因数（知识梳理+例题讲解+考点练习）-五年级奥数培优讲义

第18讲 公因数与最大公因数 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解公因数和最大公因数的基本概念，能准确判断两个或多个数的公因数 2.掌握求最大公因数的三种常用方法（列举法、分解质因数法、短除法） 3.能够运用最大公因数解决约分、实际分配等数学问题 4.学会用最大公因数解决奥数中的复杂应用题 知识梳理 知识点一、基础概念 1. 因数与公因数： （1）因数：如果整数a能被整数b整除（b≠0），那么b就是a的因数 （2）公因数：几个数公有的因数叫做这几个数的公因数 （3）互质数：公因数只有1的两个数叫做互质数（如3和5、8和9） 2. 最大公因数（GCD）： （1）定义：几个数的公因数中最大的那个数叫做这几个数的最大公因数 （2）表示方法：用符号（a,b）表示a和b的最大公因数，如（12,18）=6 知识点二、求最大公因数的方法 1. 列举法： （1）步骤： ① 分别列出各数的所有因数 ② 找出公有的因数 ③ 确定最大的公因数 （2）例：求18和24的最大公因数 18的因数：1,2,3,6,9,18 24的因数：1,2,3,4,6,8,12,24 公因数：1,2,3,6 最大公因数：6 2. 分解质因数法： （1）步骤： ① 将各数分解成质因数相乘的形式 ② 找出公有的质因数 ③ 将公有质因数相乘得到最大公因数 （2）例：求36和48的最大公因数 36=2×2×3×3 48=2×2×2×2×3 公有质因数：2×2×3=12，所以（36,48）=12 3. 短除法（最常用）： （1）步骤： ① 用这几个数公有的质因数连续去除 ② 直到所得的商只有公因数1为止 ③ 把所有的除数相乘就是最大公因数 知识点三、特殊数的最大公因数 1.倍数关系：如果两个数成倍数关系，较小数就是它们的最大公因数 例：（8,24）=8，（15,45）=15 2.互质关系：公因数只有1的两个数，最大公因数是1 常见互质情况： （1）相邻自然数：（5,6）=1 （2）质数与合数（不包含倍数关系）：（7,12）=1 （3）两个不同质数：（3,7）=1 （4）1和任何非0自然数：（1,100）=1 知识点四、最大公因数的应用 1. 实际分配问题： 例：把长48cm、宽36cm的长方形纸剪成大小相等的正方形，且没有剩余，正方形的边长最大是多少？ 解：（48,36）=12，所以最大边长是12cm 2. 分组问题： 例：有男生48人，女生36人，要使每组男女生人数分别相等，最多可以分成多少组？ 解：（48,36）=12，最多可以分成12组，每组4男3女 知识点五、奥数拓展应用 1. 最大公因数性质应用： （1）性质1：（a,b）=（a-b,b）（a>b） （2）性质2：若a=b×q+r（0<r<b），则（a,b）=（b,r） 2. 复杂应用题： 例：有三根铁丝，长度分别是120cm、180cm、300cm，现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长是多少厘米？一共可以截成多少段？ 解：（120,180,300）=60，120÷60=2，180÷60=3，300÷60=5，共2+3+5=10段 例题讲解 一、公因数与最大公因数 【例题1】252、140、308三个数共有多少个不同的公因数？ 【答案】6个 【分析】找出252、140、308这三个数的最大公因数，最大公因数的因数就是这三个数的因数。 【详解】 最大公因数： 28d的因数有1，2，4，7，14，28，共6个； 所以252、140、308三个数共有6个不同的公因数； 答：252、140、308三个数共有6个不同的公因数。 【点睛】本题也可以分别找出252、140、308三个数各自的所有因数，然后找出所有的公因数。 【例题2】已知两数的最大公因数是31，两数的积是5766。两个数分别是多少？ 【答案】62和93或31和186 【分析】首先把5766分解质因数，然后根据这两个数的最大公因数是31，分别写出这两个数即可。 【详解】5766＝2×3×31×31 因为这两个数的最大公因数是31，所以这两个数可以是2×31和3×31；也可以是31和2×3×31； 2×31＝62；3×31＝93； 2×3×31＝186 答：这两个数分别是62和93或者31和186。 【点睛】注意此题有两种情况，不要遗漏。 二、用最大公因数解决实际问题 【例题1】现在语文书42本，数学书126本，外语书98本，平均分成若干堆，每堆中三种课本的数量分别相等。最多可以分成几堆？ 【答案】14堆 【分析】对于语文书有：每堆本数×堆数＝42本，即堆数是42的因数，同样的道理，堆数也是126和98的因数，即是这三者的公因数，又要求最多可以分成几堆，即找这三个数的最大公因数即可。 【详解】42＝2×3×7 126＝2×3×3×7 98＝2×7×7 所以42，126和98的最大公因数是：2×7＝14 即最多可以分成14堆。 答：最多可以分成14堆。 【例题2】把36支笔和40本练习本平均奖给几个三好学生，结果多出一支笔，练习本还缺两本。共有几个三好学生？ 【答案】7个 【分析】根据题意，分配之后多出一支笔，练习本还缺2本，即可从36支笔中扣除1支，再给40本练习本补足2本，这样就都刚刚好，即人数既是35的因数，也是42的因数，即这两个数的公因数，找出这两个数的公因数，结合实际进行判断即可。 【详解】36－1＝35（支） 40＋2＝42（支） 35＝5×7 42＝2×3×7 因此，35和42的公因数有1和7 又因为人数大于1，所以共有7个三好学生。 答：共有7个三好学生。 【例题3】用一张长60厘米，宽45厘米的长方形纸剪成同样大小的等腰直角三角形，如果希望纸正好用完，那么至少能剪出多少个这样的等腰直角三角形？ 【答案】24个 【解析】同样大小的两个等腰直角三角形可以拼成一个正方形，所以求出这个长方形能够至少能剪出多少个大小相同的正方形，乘2即可求出对应的等腰直角三角形的个数。 【详解】将长60厘米，宽45厘米的长方形纸剪成同样大小的正方形，那么正方形的边长是长和宽的公因数； 60和45的最大公因数是15； （个） （个） （个） （个） 答：至少能剪出24个这样的等腰直角三角形。 【点睛】本题考查的是最大公因数的问题，解题的关键在于转化。 【例题4】把一张长24厘米、宽18厘米的长方形纸（如下图）裁成同样大的正方形（边长是整厘米数）。如果要求纸没有剩余，裁出的正方形边长最大是多少厘米？一共可以裁出多少个这样的正方形？（可以先画一画，再算一算） 【答案】6厘米；12个 【分析】把一张长24厘米、宽18厘米的长方形纸裁成同样大的正方形，要求纸没有剩余，那么所裁成的小正方形的边长为24和18的最大公因数，利用分解质因数法进行计算。 对24和18分解质因数：24＝2×2×2×3；18＝2×3×3。它们公有的质因数是2和3，所以最大公因数为2×3＝6，即裁出的正方形边长最大是6厘米。长方形纸的长是24厘米，沿着长能裁出的正方形个数为24÷6＝4（个）；长方形纸的宽是18厘米，沿着宽能裁出的正方形个数为18÷6＝3（个）。所以用4乘3计算即可得出一共能裁出的正方形个数。 可在长方形内纵向画3条与宽平行、间距6厘米的线段，横向画2条与长平行、间距6厘米的线段，把长方形分成12个边长为6厘米的正方形 【详解】 画一画： 24＝2×2×2×3 18＝2×3×3 2×3＝6（厘米） 24÷6＝4（个） 18÷6＝3（个） 4×3＝12（个） 答：裁出的正方形边长最大是6厘米，一共可以裁出12个这样的正方形。 考点练习 一、公因数与最大公因数 1．用这九个数码可以组成362880个没有重复数字的九位数，求这些数的最大公约数。 【答案】9 【分析】根据能被9整除的数的特征，即各个数位上的数字之和能被9整除，这个数就能被9整除，用1～9这九个数码组成的没有重复数字的九位数，它们各个数位上的数字之和能被9整除，进一步得出答案。 【详解】由题意可得，组成的所有九位数，每一个数上的数字相加的和都是：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45，45是9的倍数，能被9整除，根据各个数位上的数字之和能被9整除，这个数就能被9整除，所以这九个数字组成的所有九位数都能被9整除；987654321－987654312＝9，所以最大公约数不可能超过9；综上所述，组成的所有九位数的最大公约数是9。 【点睛】解决此题关键是掌握能被9整除的数的特征，即各个数位上的数字之和能被9整除，这个数就能被9整除。 2．两个数的积是5766，它们的最大公约数是31，这两个数是几？ 【答案】31和186或62和93 【分析】已知两数的乘积，故采用分解质因数法，先将5766分解质因数，再将各质因数合理搭配，写成都有因数31的两个数的乘积，据此即可解答。 【详解】5766＝2×3×31×31＝31×（2×3×31）＝（31×2）×（3×31） 31×（2×3×31）＝31×186 （31×2）×（3×31）＝62×93 答：这两个数分别是31和186或62和93。 3．100个非0自然数的和等于2006，那么它们的最大公因数最大可能值是( )。 【答案】17 【分析】2006＝2×17×59，现在要求最大公因数最大，则让整个一百个数的和除以因数后的商尽可能的小，且还应该为2006的一个因数，100个非0自然数的和最小且符合是2006的一个因数的为2×59＝118。所以，最大公因数的最大可能值为17。 【详解】2006＝2×17 ×59＝2×（17 ×59） ＝2 ×1003 或2006＝2×17 ×59＝17 ×（2 ×59） ＝17 ×118 所以，100个非0自然数的和等于2006，那么它们的最大公因数最大可能值是17。 【点睛】将2006写成两个数的乘积，一个数大于或等于100，另一个因数尽可能大。 4．所有形如 abcabc 的六位数中（其中a，b，c均为从0到9的整数，a≠0）它们的最大公约数是( )。 【答案】1001 【详解】试题分析：首先表示出这个六位数，100000a+10000b+1000c+100a+10b+c，再进行分解因数，得出它们的最大公约数． 解：因为100000a+10000b+1000c+100a+10b+c =100100a+10010b+1001c =1001（100a+10b+c） 1001是四位数，比100a+10b+c大， 所以最大公约数一定是1001． 故答案为1001． 点评：此题主要考查了最大公约数，以及正确表示一个六位数，将这个六位数正确分解成两个因数是解决问题的关键． 5．有三个小于20的自然数，它们的最大公因数是1，且两两均不互质，写出所有满足条件的数组。 【答案】（6， 10， 15）、（10， 12， 15）、（10， 15， 18） 【分析】利用质因数（如2、3、5等）构造数，使每两个数有公共质因数，但三个数无公共质因数，再结合数小于20的限制筛选数组。 【详解】因为要两两均不互质，每两个数需有公共质因数，且三个数无公共质因数，考虑质因数2、3、5的组合： 用2和3构造6（2×3），2和5构造10（2×5），3和5构造15（3×5）； 用2和5构造10（2×5），2和3构造12（2×2×3），3和5构造15（3×5）； 用2和5构造10（2×5），3和5构造15（3×5），2和3构造18（2×3×3）。 【点睛】通过分析质因数的组合来构造满足条件的数，同时注意数的范围限制，验证时需逐一检查每个条件是否满足。 6．两个自然数只含有质因数2、5，它们的最大公约数是50，且其中一个数有12个约数，另外一个数有10个约数，那么这两个数的差是多少？ 【答案】1050 【分析】50＝2×5×5，又因为A有12个约数，B有10个约数，所以B只能是，也只能是，所以B－A＝2×5×5× （5×5－2×2） ，据此解答即可。 【详解】 因为有12个约数，B有10个约数，所以B只能是，也只能是。 所以B－ ＝50×（25－4） ＝1250－200 ＝1050 答：这两个数的差是1050。 【点睛】此题主要考查公因数问题，根据两个数的最大公因数和约数的个数确定两个数是多少。 二、用最大公因数解决实际问题 1．有50个梨、75个橘子和175个苹果，要把它们平均分成几堆，要求每堆中三种水果的个数分别相等。最多能分成几堆？ 【答案】25堆 【分析】由于每种水果都是平均分，因此，每堆梨的个数×堆数＝50，即堆数是50的因数，同样的道理，堆数也是75和175的因数，即是这三者的公因数，又要求分的堆数最多，即找这三个数的最大公因数，即可得出答案。 【详解】50＝2×5×5 75＝3×5×5 175＝5×5×7 50，75，175的最大公因数是：5×5＝25 所以最多能分成25堆。 答：最多能分成25堆。 2．有一个长方形（如图），长是80厘米，宽是48厘米。如果把它分割成同样大小的正方形，这些正方形的边长最长是多少厘米？可以分割成多少个这样的正方形？ 【答案】16厘米；15个 【分析】根据题意可知，求出长方形长和宽的最大公因数就是分割成的最大正方形的边长，全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数； 长方形的面积÷正方形的面积＝分割成的正方形的个数，长方形的面积＝长×宽，正方形的面积＝边长×边长，据此列式解答。 【详解】80＝2×2×2×2×5 48＝2×2×2×2×3 80和48的最大公因数是：2×2×2×2＝16 所以这个正方形边长最长是16厘米。 80×48＝3840（平方厘米） 16×16＝256（平方厘米） 3840÷256＝15（个） 答：这些正方形的边长最长是16厘米；可以分割成15个这样的正方形。 3．某茶厂生产小罐茶，1200元钱准备卖大红袍茶叶144克，或卖铁观音茶叶180克，或卖茉莉花茶240克。现将这三种茶叶分别按整克数装小罐，要求每小罐的价格都相等，那么每小罐的价格最低是多少元钱？ 【答案】100元 【分析】同样卖1200元，要求每小罐的价格都相等，那么三种茶叶装的罐数也相等。要求每小罐的最低价格，那么三种茶叶可以装的罐数应是最多的。根据题意，求每种茶叶最多可以装几罐，就是求144、180和240的最大公因数，用短除法即可解答。最后用1200除以所得的罐数，即可求出每小罐的价格最低是多少元。 用短除法求三个数的最大公因数，先把三个数公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这几个数，当得到的三个商没有公有的质因数时，把所有的除数相乘，得到三个数的最大公因数。 【详解】 144、180和240的最大公因数是2×2×3＝12。则每种茶叶最多可以装12罐。 1200÷12＝100（元） 答：每小罐的价格最低是100元。 【点睛】读懂题意，明确“三种茶装的罐数相等”和“每种茶叶最多装的罐数就是求144、180和240的最大公因数”是解题的关键。 4．花店把72枝康乃馨和54枝百合花扎成花束出售。如果要使每束花中的康乃馨、百合花同样的，最多可以分成多少束？每束花有多少枝？ 【答案】18束，7枝 【解析】要使每束花中的康乃馨、百合花同样的花束数量必须是72和54的公因数，求最多可以分成多少束，也就是求72和54的最大公因数，求出花束数量后，可以分别计算每束花中的康乃馨和百合花的数量，相加得到每束花有多少枝。 【详解】 （束） （枝） （枝） （枝） 答：最多可以分成18束，每束花有7枝。 【点睛】本题考查的是最大公因数的问题，一般遇到最大、最多、至多的词眼，大多考查的是最大公因数。 5．小红第一次去李阿姨的食品加工厂参观，就被李阿姨的问题给难住了。 你能帮小红想想办法，算出答案吗？ 【答案】最多能配出42包；每包甲种原料有9克，乙种原料有7克，丙种原料有4克，丁种原料有3克 【分析】根据题意可知，每种原料的总千克数＝每包每种原料的千克数×调味包的数量，可知调味包的数量是各种原料总千克数的公因数，也就是378、294、168、126的公因数，要求最多能配多少包，就是求378、294、168、126的最大公因数，先把几个数分别分解质因数，这几个数的最大公因数是几个数的公有的质因数的乘积；再分别用每种原料的总千克数除以调味包的数量，即可求出每包各种原料的千克数。 【详解】378＝2×3×3×3×7 294＝2×3×7×7 168＝2×2×2×3×7 126＝2×3×3×7 2×3×7＝42 （378，294，168，126）＝42 最多有42包， 甲种：378÷42＝9（克） 乙种：294÷42＝7（克） 丙种：168÷42＝4（克） 丁种：126÷42＝3（克） 答：最多能配出42包，每包甲种原料有9克，乙种原料有7克，丙种原料有4克，丁种原料有3克。 【点睛】本题考查了最大公因数的灵活应用，掌握相应的计算方法是解答本题的关键。 6．一块长方形地，长是100米，宽是80米，计划在这块地的边上种植一些杉树，要求在四个顶点处各植一棵，并且每相邻两棵树的间距相等，每两棵树间的距离最多是多少米？最少需要多少棵杉树？ 【答案】20米；18棵 【分析】由题意可知：每两棵树间的距离最大值就是100和80的最大公因数；求出长方形的周长，用周长÷每两棵树间的距离即可求得最少需要多少棵杉树；据此解答。 【详解】100＝2×2×5×5 80＝2×2×2×2×5 所以100和80的最大公因数是2×2×5＝20，即每两棵树间的距离最多是20米。 （100＋80）×2÷20 ＝360÷20 ＝18（棵） 答：每两棵树间的距离最多是20米，最少需要18棵杉树。 【点睛】本题主要考查最大公因数的实际应用，明确每两棵树间的距离最大值就是100和80的最大公因数是解题的关键。 7．长江小学五年级学生用正方体木块做体操表演道具。学校现有长18dm、宽15dm、高12dm的长方体木料，要锯成尽可能大的同样的正方体而没有剩余，每个正方体的体积是多少？一共可以锯成多少个？ 【答案】27dm3；120个 【分析】根据题意，把长方体木料锯成尽可能大的同样的正方体而没有剩余，那么正方体的棱长是长方体的长、宽、高的最大公因数；用分解质因数的方法求出18、15、12的最大公因数，即正方体的最大棱长，再根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出每个正方体的体积；看长方体的长、宽、高各能锯几个，再相乘，就是一共能锯成的正方体的个数。 【详解】18＝2×3×3 15＝3×5 12＝2×2×3 18、15、12的最大公因数是3； 所以每个正方体的棱长最大是3dm。 3×3×3 ＝9×3 ＝27（dm3） 18÷3＝6（个） 15÷3＝5（个） 12÷3＝4（个） 一共可以锯： 6×5×4 ＝30×4 ＝120（个） 答：每个正方体的体积是27dm3，一共可以锯成120个。 【点睛】掌握求三个数的最大公因数的方法解决实际问题。 8．小明有39颗糖果和40块巧克力，要把糖果和巧克力分给若干个小朋友，每人分的糖果和巧克力一样多。结果糖果多了3颗，巧克力少了2块。最多可以分给几个小朋友？每个小朋友分得几颗糖果，几块巧克力？ 【答案】6个；6颗；6块 【分析】根据题意可知，把多的3颗糖减去，把少的2块巧力加上就可以完全分完，并且每个人分的糖和巧克力一样多。恰巧分完就表示小朋友的人数是糖块颗数和巧克力块数的公因数，求最多，再找出最大公因数即可。 【详解】39－3＝36（颗） 40＋2＝42（块） 36＝2×3×2×3 42＝2×3×7 则36和42的最大公因数是：2×3＝6 所以最多可以分给6个小朋友 39÷6＝6（颗）……3（颗） 40÷6＝6（块）……4（块） 答：最多可以分给6个小朋友，每个小朋友分得6颗糖果，6块巧克力。 【点睛】此题重点考查最大公因数，灵活利用最大公因数解决实际问题。 9．一张长方形纸长96厘米，宽60厘米。如果把它截成同样大小且边长都为整厘米的最大正方形，且保持纸张没有剩余，每个正方形的边长最大是几厘米？每个正方形的面积最大是多少？可以截多少个这样的正方形？ 【答案】12厘米；144平方厘米；40个 【分析】由题意可知，要求正方形边长最大是几厘米，就是求96和60的最大公因数是多少。再根据正方形面积公式即可求最大面积。分别用96和60除以最大边长，得到的商相乘即是截成的正方形的个数。 【详解】96＝2×2×2×2×2×3 60＝2×2×3×5 96和60的最大公因数是2×2×3＝12，即正方形的边长最大是12厘米 12×12＝144（平方厘米） （96÷12）×（60÷12） ＝8×5 ＝40（个） 答：每个正方形的边长最大是12厘米，每个正方形的面积最大是144平方厘米；可以截40个这样的正方形。 【点睛】根据题意，理解正方形的最大边长即是96和60的最大公因数是解题关键。求两个数的最大公因数，就是求他们公有质因数的连乘积。 10．学校运动会筹备组采购了60瓶矿泉水和48块巧克力，准备分装成若干份“能量包”分给志愿者。每个“能量包”里的矿泉水瓶数和巧克力块数分别相同，并且没有剩余。这些物资最多可以装成多少份“能量包”？每份“能量包”里各有多少瓶矿泉水和多少块巧克力？ 【答案】12份；5瓶；4块 【分析】求出矿泉水和巧克力数量的最大公因数（将60和48分解为质因数相乘的形式，取所有公有质因数的乘积，即为最大公因数），就是可以装成的“能量包”数量；分别用矿泉水和巧克力数量除以“能量包”数量就是每份“能量包”相应物品的数量。据此解答。 【详解】60＝2×2×3×5 48＝2×2×2×2×3 公有质因数相乘：2×2×3＝12 所以60和48的最大公因数是12，即最多能装成12份。 矿泉水：60÷12＝5（瓶） 巧克力：48÷12＝4（块） 答：这些物资最多可以装成12份“能量包”。每份“能量包”里有5瓶矿泉水，4块巧克力。 11．有两根长28厘米和35厘米的铁丝，现在要把它们截成长度相同的小段，并且两根都不能有剩余，问每小段最长是几厘米？两根铁丝一共可以截几段？ 【答案】7厘米；9段 【分析】因每小段最长长度是28和35的最大公因数，先分解质因数得28＝2×2×7、35＝5×7，二者共同质因数为7，故每小段最长7厘米；再分别计算28÷7＝4段、35÷7＝5段，总段数为4＋5＝9段，因此每小段最长是7厘米，两根铁丝一共可以截9段。 【详解】28＝2×2×7，35＝5×7，最大公因数是7。 28厘米铁丝：28÷7＝4（段） 35厘米铁丝：35÷7＝5（段） 总段数：4＋5＝9（段） 答：每小段最长是7厘米，两根铁丝一共可以截9段。 12．用96朵红花和72朵黄花扎成花束没有剩余。如果每个花束里红花和黄花的朵数分别相同，那么每个花束里至少有多少朵花？ 【答案】7朵 【分析】要使每个花束里红花和黄花的朵数分别相同且无剩余，花束的数量必须是96（红花总数）和72（黄花总数）的公因数。要让“每个花束里的花最少”，需先找到最大公因数，用“分解质因数法”求最大公因数：96＝2×2×2×2×2×3，72＝2×2×2×3×3。找出96和72公有的质因数，并将这些公有的质因数相乘，得到最大公因数。公有的质因数为2、2、2、3，所以最大公因数为2×2×2×3＝24，即最多能扎成24个花束。那么每束花中红花的朵数为：96÷24＝4（朵）；每束花中黄花的朵数为：72÷24＝3（朵）。将每束中的红花和黄花数量相加即可解答。 【详解】96＝2×2×2×2×2×3 72＝2×2×2×3×3 2×2×2×3＝24，即最多能扎成24个花束。 96÷24＝4（朵） 72÷24＝3（朵） 4＋3＝7（朵） 答：每个花束里至少有7朵花。 13．学校买来两根长绳，一根长42米，另外一根长63米，由于需要，要把这两根长绳剪成同样长的整米数短绳，不能有剩余，每根短绳最长是多少米？此时两根长绳一共可以剪成多少根短绳？ 【答案】21米；5根 【分析】要把这两根长绳剪成同样长的整米数短绳，不能有剩余，由此可知每根短绳的长度是42与63的公因数，要使每根绳子最长，即绳子的长度是42与63的最大公因数，据此可以用列举法，分别列举出42、63所有的因数，再从中找到最大的公因数，即为绳子的长度，由此找到最大的公因数是21，即每根短绳最长是21米，42除以21得2，即42米长的绳子能做这样的2根短绳，63除以21得3，即63米长的绳子能做这样的3根短绳，最后把2与3相加，即可求出能剪成短绳的总数量。 【详解】42的因数有：1、42、2、21、3、14、6、7。 63的因数有：1、63、3、21、7、9。 42与63的最大公因数是21。 42÷21＝2（根） 63÷21＝3（根） 2＋3＝5（根） 答：每根短绳最长是21米，此时两根长绳一共可以剪成5根短绳。 14．工人加工三批零件，每加工一批零件，除了王师傅比其他工人多加工若干个外，其他工人加工的个数都相等。已知他们第一批共加工2100个，其中王师傅比其他工人多加工7个，第二批加工1800个，其中王师傅比每个工人多加工6个；第三批加工1600个，其中王师傅比每个工人多加工13个。这批工人最多有多少个？ 【答案】23人 【分析】第一批共2100个，王师傅比其他工人多加工7个，扣除这7个，则王师傅和其他工人加工的个数相同，即每人加工的个数×人数＝2100－7＝2093，即总人数是2093的因数，同样的道理，根据第二批和第三批，分别可知，总人数是1794和1587的因数，也就是这三个数的公因数，现要求人数最多，即找最大公因数，即可得出答案。 【详解】2100－7＝2093 1800－6＝1794 1600－13＝1587 2093＝7×13×23 1794＝2×3×13×23 1587＝3×23×23 所以2093，1794，1587的最大公因数是23 因此总人数为23个。 答：这批工人最多有23个。 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18讲 公因数与最大公因数 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解公因数和最大公因数的基本概念，能准确判断两个或多个数的公因数 2.掌握求最大公因数的三种常用方法（列举法、分解质因数法、短除法） 3.能够运用最大公因数解决约分、实际分配等数学问题 4.学会用最大公因数解决奥数中的复杂应用题 知识梳理 知识点一、基础概念 1. 因数与公因数： （1）因数：如果整数a能被整数b整除（b≠0），那么b就是a的因数 （2）公因数：几个数公有的因数叫做这几个数的公因数 （3）互质数：公因数只有1的两个数叫做互质数（如3和5、8和9） 2. 最大公因数（GCD）： （1）定义：几个数的公因数中最大的那个数叫做这几个数的最大公因数 （2）表示方法：用符号（a,b）表示a和b的最大公因数，如（12,18）=6 知识点二、求最大公因数的方法 1. 列举法： （1）步骤： ① 分别列出各数的所有因数 ② 找出公有的因数 ③ 确定最大的公因数 （2）例：求18和24的最大公因数 18的因数：1,2,3,6,9,18 24的因数：1,2,3,4,6,8,12,24 公因数：1,2,3,6 最大公因数：6 2. 分解质因数法： （1）步骤： ① 将各数分解成质因数相乘的形式 ② 找出公有的质因数 ③ 将公有质因数相乘得到最大公因数 （2）例：求36和48的最大公因数 36=2×2×3×3 48=2×2×2×2×3 公有质因数：2×2×3=12，所以（36,48）=12 3. 短除法（最常用）： （1）步骤： ① 用这几个数公有的质因数连续去除 ② 直到所得的商只有公因数1为止 ③ 把所有的除数相乘就是最大公因数 知识点三、特殊数的最大公因数 1.倍数关系：如果两个数成倍数关系，较小数就是它们的最大公因数 例：（8,24）=8，（15,45）=15 2.互质关系：公因数只有1的两个数，最大公因数是1 常见互质情况： （1）相邻自然数：（5,6）=1 （2）质数与合数（不包含倍数关系）：（7,12）=1 （3）两个不同质数：（3,7）=1 （4）1和任何非0自然数：（1,100）=1 知识点四、最大公因数的应用 1. 实际分配问题： 例：把长48cm、宽36cm的长方形纸剪成大小相等的正方形，且没有剩余，正方形的边长最大是多少？ 解：（48,36）=12，所以最大边长是12cm 2. 分组问题： 例：有男生48人，女生36人，要使每组男女生人数分别相等，最多可以分成多少组？ 解：（48,36）=12，最多可以分成12组，每组4男3女 知识点五、奥数拓展应用 1. 最大公因数性质应用： （1）性质1：（a,b）=（a-b,b）（a>b） （2）性质2：若a=b×q+r（0<r<b），则（a,b）=（b,r） 2. 复杂应用题： 例：有三根铁丝，长度分别是120cm、180cm、300cm，现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长是多少厘米？一共可以截成多少段？ 解：（120,180,300）=60，120÷60=2，180÷60=3，300÷60=5，共2+3+5=10段 例题讲解 一、公因数与最大公因数 【例题1】252、140、308三个数共有多少个不同的公因数？ 【例题2】已知两数的最大公因数是31，两数的积是5766。两个数分别是多少？ 二、用最大公因数解决实际问题 【例题1】现在语文书42本，数学书126本，外语书98本，平均分成若干堆，每堆中三种课本的数量分别相等。最多可以分成几堆？ 【例题2】把36支笔和40本练习本平均奖给几个三好学生，结果多出一支笔，练习本还缺两本。共有几个三好学生？ 【例题3】用一张长60厘米，宽45厘米的长方形纸剪成同样大小的等腰直角三角形，如果希望纸正好用完，那么至少能剪出多少个这样的等腰直角三角形？ 【例题4】把一张长24厘米、宽18厘米的长方形纸（如下图）裁成同样大的正方形（边长是整厘米数）。如果要求纸没有剩余，裁出的正方形边长最大是多少厘米？一共可以裁出多少个这样的正方形？（可以先画一画，再算一算） 考点练习 一、公因数与最大公因数 1．用这九个数码可以组成362880个没有重复数字的九位数，求这些数的最大公约数。 2．两个数的积是5766，它们的最大公约数是31，这两个数是几？ 3．100个非0自然数的和等于2006，那么它们的最大公因数最大可能值是( )。 4．所有形如 abcabc 的六位数中（其中a，b，c均为从0到9的整数，a≠0）它们的最大公约数是( )。 5．有三个小于20的自然数，它们的最大公因数是1，且两两均不互质，写出所有满足条件的数组。 6．两个自然数只含有质因数2、5，它们的最大公约数是50，且其中一个数有12个约数，另外一个数有10个约数，那么这两个数的差是多少？ 二、用最大公因数解决实际问题 1．有50个梨、75个橘子和175个苹果，要把它们平均分成几堆，要求每堆中三种水果的个数分别相等。最多能分成几堆？ 2．有一个长方形（如图），长是80厘米，宽是48厘米。如果把它分割成同样大小的正方形，这些正方形的边长最长是多少厘米？可以分割成多少个这样的正方形？ 3．某茶厂生产小罐茶，1200元钱准备卖大红袍茶叶144克，或卖铁观音茶叶180克，或卖茉莉花茶240克。现将这三种茶叶分别按整克数装小罐，要求每小罐的价格都相等，那么每小罐的价格最低是多少元钱？ 4．花店把72枝康乃馨和54枝百合花扎成花束出售。如果要使每束花中的康乃馨、百合花同样的，最多可以分成多少束？每束花有多少枝？ 5．小红第一次去李阿姨的食品加工厂参观，就被李阿姨的问题给难住了。 你能帮小红想想办法，算出答案吗？ 6．一块长方形地，长是100米，宽是80米，计划在这块地的边上种植一些杉树，要求在四个顶点处各植一棵，并且每相邻两棵树的间距相等，每两棵树间的距离最多是多少米？最少需要多少棵杉树？ 7．长江小学五年级学生用正方体木块做体操表演道具。学校现有长18dm、宽15dm、高12dm的长方体木料，要锯成尽可能大的同样的正方体而没有剩余，每个正方体的体积是多少？一共可以锯成多少个？ 8．小明有39颗糖果和40块巧克力，要把糖果和巧克力分给若干个小朋友，每人分的糖果和巧克力一样多。结果糖果多了3颗，巧克力少了2块。最多可以分给几个小朋友？每个小朋友分得几颗糖果，几块巧克力？ 9．一张长方形纸长96厘米，宽60厘米。如果把它截成同样大小且边长都为整厘米的最大正方形，且保持纸张没有剩余，每个正方形的边长最大是几厘米？每个正方形的面积最大是多少？可以截多少个这样的正方形？ 10．学校运动会筹备组采购了60瓶矿泉水和48块巧克力，准备分装成若干份“能量包”分给志愿者。每个“能量包”里的矿泉水瓶数和巧克力块数分别相同，并且没有剩余。这些物资最多可以装成多少份“能量包”？每份“能量包”里各有多少瓶矿泉水和多少块巧克力？ 11．有两根长28厘米和35厘米的铁丝，现在要把它们截成长度相同的小段，并且两根都不能有剩余，问每小段最长是几厘米？两根铁丝一共可以截几段？ 12．用96朵红花和72朵黄花扎成花束没有剩余。如果每个花束里红花和黄花的朵数分别相同，那么每个花束里至少有多少朵花？ 13．学校买来两根长绳，一根长42米，另外一根长63米，由于需要，要把这两根长绳剪成同样长的整米数短绳，不能有剩余，每根短绳最长是多少米？此时两根长绳一共可以剪成多少根短绳？ 14．工人加工三批零件，每加工一批零件，除了王师傅比其他工人多加工若干个外，其他工人加工的个数都相等。已知他们第一批共加工2100个，其中王师傅比其他工人多加工7个，第二批加工1800个，其中王师傅比每个工人多加工6个；第三批加工1600个，其中王师傅比每个工人多加工13个。这批工人最多有多少个？ 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $