第19讲 公倍数与最小公倍数（知识梳理+例题讲解+考点练习）-五年级奥数培优讲义

第19讲 公倍数与最小公倍数 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解公倍数和最小公倍数的基本概念，能准确判断两个或多个数的公倍数 2.掌握求最小公倍数的三种常用方法（列举法、分解质因数法、短除法） 3.能够运用最小公倍数解决日期推算、周期性问题等实际应用 4.学会用最小公倍数解决奥数中的复杂应用题和综合问题 知识梳理 知识点一、基础概念 1. 倍数与公倍数： （1）倍数：如果整数a能被整数b整除（b≠0），那么a就是b的倍数 （2）公倍数：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数 （3）特点：一个数的倍数有无限多个，因此几个数的公倍数也有无限多个 2. 最小公倍数（LCM）： （1）定义：几个数的公倍数中最小的那个数叫做这几个数的最小公倍数 （2）表示方法：用符号[a,b]表示a和b的最小公倍数，如[12,18]=36 （3）注意：两个数的公倍数一定是它们最小公倍数的倍数 知识点二、求最小公倍数的方法 1. 列举法： （1）步骤： ① 分别列出各数的若干个倍数 ② 找出公有的倍数 ③ 确定最小的公倍数 （2）例：求12和18的最小公倍数 12的倍数：12,24,36,48,60,72... 18的倍数：18,36,54,72,90... 公倍数：36,72... 最小公倍数：36 2. 分解质因数法： （1）步骤： ① 将各数分解成质因数相乘的形式 ② 取各数所有质因数的最高次幂相乘 （2）例：求36和48的最小公倍数 36=2×2×3×3=2²×3² 48=2×2×2×2×3=2⁴×3¹ 最小公倍数=2⁴×3²=16×9=144 3. 短除法（最常用）： （1）步骤： ① 用这几个数公有的质因数连续去除 ② 直到所得的商两两互质为止 ③ 把所有的除数和最后的商相乘就是最小公倍数 知识点三、特殊数的最小公倍数 1. 倍数关系：如果两个数成倍数关系，较大数就是它们的最小公倍数 例：[8,24]=24，[15,45]=45 2. 互质关系：公因数只有1的两个数，最小公倍数是它们的乘积 （1）常见互质情况： 相邻自然数：[5,6]=30 质数与合数（不包含倍数关系）：[7,12]=84 两个不同质数：[3,7]=21 1和任何非0自然数：[1,100]=100 3. 最大公因数与最小公倍数的关系： （1）对任意两个正整数a、b，有：a×b=(a,b)×[a,b] （2）即：两个数的乘积等于它们最大公因数与最小公倍数的乘积 知识点四、最小公倍数的应用 1. 日期与周期问题： 例：小明每3天去一次图书馆，小红每4天去一次图书馆，他们3月1日同时去了图书馆，下一次同时去图书馆是几月几日？ 解：[3,4]=12，1+12=13，所以下一次同时去是3月13日 2. 物品分配问题： 例：有一些糖果，平均分给4个小朋友多3颗，平均分给5个小朋友多4颗，这些糖果至少有多少颗？ 解：糖果数量+1是4和5的公倍数，[4,5]=20，20-1=19颗 3. 工程问题： 例：一项工程，甲单独做6天完成，乙单独做8天完成，两人合作完成这项工程需要多少天？ 解：[6,8]=24（设工程总量为24），甲效率=24÷6=4，乙效率=24÷8=3，合作时间=24÷(4+3)=24/7天 知识点五、奥数拓展应用 1. 最小公倍数性质应用： （1）性质1：若a=b×q+r（0<r<b），则[a,b]=[b,r]×q+a/r（当r整除a时） （2）性质2：[a,b,c]=[[a,b],c] 2. 复杂应用题： 例：有一个自然数，被3除余1，被4除余2，被5除余3，这个数最小是多少？ 解：这个数+2是3、4、5的公倍数，[3,4,5]=60，60-2=58 例：某公共汽车站有三条不同线路，1路车每6分钟发一辆，2路车每10分钟发一辆，3路车每12分钟发一辆，三路车在早上8点同时发车后，至少再到什么时候又可以同时发车？ 解：[6,10,12]=60分钟，8点+60分钟=9点 例题讲解 一、公倍数与最小公倍数 【例题1】两个数的最大公因数是15，最小公倍数是300，已知其中一个数是75，求另一个数是多少？ 【例题2】有两个数，一个有9个因数，一个有10个因数，它们的最小公倍数是2800，求这两个数分别是多少？ 二、用最小公倍数解决实际问题 【例题1】学生在操场上做操，已知人数在90~110人之间。如果排成2人一列不多也不少，如果排成3人一列则少1人，如果排成5人一列则少3人。在操场上做操的学生共有多少人？ 【例题2】学校图书馆购进一批新书，总数在100本到150本之间。如果把这些书平均分给6个班，正好分完；如果平均分给8个班，也正好分完。这批新书最少有多少本？最多有多少本？ 【例题3】用长15厘米，宽12厘米的长方形木板拼成一个正方形，正方形的边长至少是多少厘米？需要几块这样的木板？ 考点练习 一、公倍数与最小公倍数 1．两个数的最大公约数是15，最小公倍数是180，这两个数可能是多少？ 2．甲、乙两数的最小公倍数是108，最大公约数是18，如果甲数是54，求乙数。 3．甲、乙两数的最小公倍数除以它们的最大公约数，商是12，如果甲－乙＝18，求此二数。 4．甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少？ 二、用最小公倍数解决实际问题 1．幸福小学五一班同学参加社会实践——我为老人献爱心活动，按5人一组，9人一组、15人一组分都恰好剩1人，参加社会实践的学生至少有多少名同学？ 2．学校舞蹈队去参加表演，去时每12人坐一辆车刚好，返回时每8人坐一辆车也刚好。舞蹈队的人数在30至50人之间，这个舞蹈队有多少人？请说明理由。 3．从某公共汽车始发站了解到，1路车每4分发车一次，2路车每6分发车一次。早晨6：00这两路车同时发车，到上午11：00，这两路车同时从始发站发车多少次？ 4．一年一度的秋季运动会要开始啦，五年级同学准备一个入场式表演。为了使队形显得整齐，只能排成方形。编排老师要求，所参加的人数无论排成3行、4行或5行，都还需有一名同学在队伍正前方举牌。请问：至少选多少人参加入场式表演？ 5．五年级要进行课间操表演，前面有2名学生领操，其余学生每12人排成一行或者每18人排成一行都能正好排成整行。已知五年级总人数超过50人但不超过100人，那么五年级共有学生多少人？ 6．先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之。”围棋起源于中国，相传为尧帝发明，至今已有4000多年的历史。现代围棋棋盘由19条横线和19条竖线组成，共有361个交叉点，每个交叉点可以放置一个棋子。棋子分为黑、白两色，一副围棋中黑子数量大于170，小于200，且无论6枚6枚数，还是10枚10枚数，都多1枚，一副围棋中有多少枚黑子？ 7．甲、乙两人到图书馆去借书，甲每8天去一次，乙每12天去一次，如果4月25日他们两人在图书馆相遇，那么下一次都到图书馆是几月几日？ 8．打包一个特制的糖果礼包时，工作人员发现，如果3个3个地数，最后会余下2颗糖果；如果5个5个地数，最后同样会余下2颗糖果；如果6个6个地数，还是会余下2颗糖果。并且该糖果礼包里的糖果总数在160到200之间，问该糖果礼包里有多少颗糖果？ 9．下图所示为一种长方形拼板，该拼板长是18厘米，宽是12厘米，你能用若干块这样的拼板拼出正方形吗？如果能，最少需要多少块？请你画出拼成的正方形的草图。 10．学校举办了以“绿色发展，低碳创新”为主题的环保宣传活动，老师打算将报名的同学分成若干小组，结果发现无论是按6人一组，还是按8人一组，都恰好能分完。如果参加活动的同学人数在40到50人之间，那么报名参加此次活动的同学有多少人？ 11．一个儿童用品公司生产一种正方形的布料，既可以裁成若干条边长为20厘米的方巾，也可以裁成若干条边长为35厘米的方巾，且都没有剩余。这种正方形的布料边长至少是多少厘米？ 12．阳光小学五年级学生不超过150人，他们在操场上做游戏，不论是6人一组还是8人一组，都正好分完且没有剩余，这个年级最多有学生多少人？ 13．有一箱鸭蛋（数量不超过100个），2个2个地数，3个3个地数，5个5个地数，都能正好数完（没有剩余）。这箱鸭蛋至少有多少个？最多有多少个？ 14．五年级一班学生分组进行实践活动，每组5人或每组9人都正好，五年级一班最少有多少名学生？五年级二班学生去郊游，刘老师带了100袋小面包和44瓶矿泉水，平均分给这些学生，结果面包分完还剩4袋，矿泉水却少4瓶，五年级二班最多有多少名学生去郊游？ 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19讲 公倍数与最小公倍数 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解公倍数和最小公倍数的基本概念，能准确判断两个或多个数的公倍数 2.掌握求最小公倍数的三种常用方法（列举法、分解质因数法、短除法） 3.能够运用最小公倍数解决日期推算、周期性问题等实际应用 4.学会用最小公倍数解决奥数中的复杂应用题和综合问题 知识梳理 知识点一、基础概念 1. 倍数与公倍数： （1）倍数：如果整数a能被整数b整除（b≠0），那么a就是b的倍数 （2）公倍数：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数 （3）特点：一个数的倍数有无限多个，因此几个数的公倍数也有无限多个 2. 最小公倍数（LCM）： （1）定义：几个数的公倍数中最小的那个数叫做这几个数的最小公倍数 （2）表示方法：用符号[a,b]表示a和b的最小公倍数，如[12,18]=36 （3）注意：两个数的公倍数一定是它们最小公倍数的倍数 知识点二、求最小公倍数的方法 1. 列举法： （1）步骤： ① 分别列出各数的若干个倍数 ② 找出公有的倍数 ③ 确定最小的公倍数 （2）例：求12和18的最小公倍数 12的倍数：12,24,36,48,60,72... 18的倍数：18,36,54,72,90... 公倍数：36,72... 最小公倍数：36 2. 分解质因数法： （1）步骤： ① 将各数分解成质因数相乘的形式 ② 取各数所有质因数的最高次幂相乘 （2）例：求36和48的最小公倍数 36=2×2×3×3=2²×3² 48=2×2×2×2×3=2⁴×3¹ 最小公倍数=2⁴×3²=16×9=144 3. 短除法（最常用）： （1）步骤： ① 用这几个数公有的质因数连续去除 ② 直到所得的商两两互质为止 ③ 把所有的除数和最后的商相乘就是最小公倍数 知识点三、特殊数的最小公倍数 1. 倍数关系：如果两个数成倍数关系，较大数就是它们的最小公倍数 例：[8,24]=24，[15,45]=45 2. 互质关系：公因数只有1的两个数，最小公倍数是它们的乘积 （1）常见互质情况： 相邻自然数：[5,6]=30 质数与合数（不包含倍数关系）：[7,12]=84 两个不同质数：[3,7]=21 1和任何非0自然数：[1,100]=100 3. 最大公因数与最小公倍数的关系： （1）对任意两个正整数a、b，有：a×b=(a,b)×[a,b] （2）即：两个数的乘积等于它们最大公因数与最小公倍数的乘积 知识点四、最小公倍数的应用 1. 日期与周期问题： 例：小明每3天去一次图书馆，小红每4天去一次图书馆，他们3月1日同时去了图书馆，下一次同时去图书馆是几月几日？ 解：[3,4]=12，1+12=13，所以下一次同时去是3月13日 2. 物品分配问题： 例：有一些糖果，平均分给4个小朋友多3颗，平均分给5个小朋友多4颗，这些糖果至少有多少颗？ 解：糖果数量+1是4和5的公倍数，[4,5]=20，20-1=19颗 3. 工程问题： 例：一项工程，甲单独做6天完成，乙单独做8天完成，两人合作完成这项工程需要多少天？ 解：[6,8]=24（设工程总量为24），甲效率=24÷6=4，乙效率=24÷8=3，合作时间=24÷(4+3)=24/7天 知识点五、奥数拓展应用 1. 最小公倍数性质应用： （1）性质1：若a=b×q+r（0<r<b），则[a,b]=[b,r]×q+a/r（当r整除a时） （2）性质2：[a,b,c]=[[a,b],c] 2. 复杂应用题： 例：有一个自然数，被3除余1，被4除余2，被5除余3，这个数最小是多少？ 解：这个数+2是3、4、5的公倍数，[3,4,5]=60，60-2=58 例：某公共汽车站有三条不同线路，1路车每6分钟发一辆，2路车每10分钟发一辆，3路车每12分钟发一辆，三路车在早上8点同时发车后，至少再到什么时候又可以同时发车？ 解：[6,10,12]=60分钟，8点+60分钟=9点 例题讲解 一、公倍数与最小公倍数 【例题1】两个数的最大公因数是15，最小公倍数是300，已知其中一个数是75，求另一个数是多少？ 【答案】60 【分析】两个数的最大公因数与最小公倍数的积等于两个数的积，两个数的积除以已知数即等于另一个未知数，据此即可解答。 【详解】15×300÷75 ＝4500÷75 ＝60 答：另一个数是60。 【例题2】有两个数，一个有9个因数，一个有10个因数，它们的最小公倍数是2800，求这两个数分别是多少？ 【答案】100；112 【详解】2800=2×2×2×2×5×5×7 一个数有9个因数说明这个数是完全平方数 由上面组合可以得到这个数是100 2800去掉100后还有因数2，2，7所以另一个数是28的倍数且只能再含有因数2，7根据因数个数计算公式10=2×5 7指数为1，需要另一个因数的指数为4，所以另一个数就是24×7=112 二、用最小公倍数解决实际问题 【例题1】学生在操场上做操，已知人数在90~110人之间。如果排成2人一列不多也不少，如果排成3人一列则少1人，如果排成5人一列则少3人。在操场上做操的学生共有多少人？ 【答案】92人 【分析】结合实际情况考虑：“如果排成2人一列不多也不少”，也可理解成：排成2人一列多2人；“如果排成3人一列则少1人”，也可理解为：排成3人一列多2人；“如果排成5人一列则少3人”，也可理解为“排成5人一列多2人”。所以做操的学生人数一定是2、3、5的倍数多2人，且在90~110之间的数。 2、3、5互质，则它们的最小公倍数＝2×3×5＝30。几个数的公倍数一定是它们最小公倍数的倍数，据此将2、3、5的公倍数列举出来即可解决本题。 【详解】2、3、5的公倍数有：30、60、90、120、… 已知人数在90~110人之间，90＋2＝92（人） 答：在操场上做操的学生共有92人。 【点睛】解决此类问题时，根据倍数的特点，注意对题中的条件进行转换。如：32＝3×11－1也可以写成32＝3×10＋2。 【例题2】学校图书馆购进一批新书，总数在100本到150本之间。如果把这些书平均分给6个班，正好分完；如果平均分给8个班，也正好分完。这批新书最少有多少本？最多有多少本？ 【答案】120本；144本 【分析】因为书平均分给6个班或8个班都正好分完，所以书的总数是6和8的公倍数。先找出6和8的最小公倍数：对6和8分解质因数，6和8的最小公倍数就是它们公有的质因数和各自独有的质因数的乘积。然后用6和8的最小公倍数从乘1开始找6和8的公倍数，找出6和8在100到150之间的公倍数，从而确定这批新书最少和最多的本数。 【详解】6＝2×3 8＝2×2×2 2×2×2×3＝24 [6，8]＝24 24×1＝24 24×２＝48 24×3＝72 24×4＝96 24×5＝120 24×6＝144 24×7＝168 100＜120＜144＜150 答：这批新书最少有120本，最多有144本。 【例题3】用长15厘米，宽12厘米的长方形木板拼成一个正方形，正方形的边长至少是多少厘米？需要几块这样的木板？ 【答案】60厘米；20块 【分析】拼成的正方形边长最小是15和12的最小公倍数，通过分解质因数把它们公有的质因数和各自独有的质因数相乘，计算出这两个数的最小公倍数为2×2×3×5＝60，即正方形的最小边长； 正方形的边长为60厘米，长方形木板长15厘米，则长需要的块数为60÷15＝4块；宽12厘米，则宽需要的块数为60÷12＝5块；所以总共需要的木板数量为4×5＝20块。 【详解】15＝3×5 12＝2×2×3 所以15和12的最小公倍数是2×2×3×5＝60 （60÷15）×（60÷12） ＝4×5 ＝20（块） 答：正方形的边长至少是60厘米，需要20块这样的木板。 考点练习 一、公倍数与最小公倍数 1．两个数的最大公约数是15，最小公倍数是180，这两个数可能是多少？ 【答案】45和60或15和180 【分析】首先要知道最大公约数和最小公倍数是如何求得的，最大公约数是两个数的公有质因数的积，最小公倍数是两个数的公有质因数和独有因数的积，所以用最小公倍数除以最大公约数就得到了两个数的独有因数的积，并且两个数的独有因数应该是互质的。 【详解】因为180÷15＝12，12分解成两个互质的数有两种情况即1和12、3与4， 所以这两个数有几种情况： 15×3×2＝90、15×2＝30（不符合题意） 15×3＝45、15×4＝60， 15×1＝15，15×12＝180， 所以这两个数可能是45和60或15和180。 答：这两个数可能是45和60或15和180。 【点睛】本题考查了最大公因数和最小公倍数，解题关键是：最小公倍数除以最大公因数就得到了两个数的独有因数的积，并且两个数的独有因数应该是互质的。 2．甲、乙两数的最小公倍数是108，最大公约数是18，如果甲数是54，求乙数。 【答案】36 【分析】首先根据两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数，用54除以18，求出甲数独有的质因数是3；然后用甲、乙两数的最小公倍数除以它们的最大公约数，再除以甲数独有的质因数，求出乙数独有的质因数；最后用甲、乙两数的最大公约数乘乙数独有的质因数，求出乙数是多少即可。 【详解】54÷18＝3 108÷18÷3 ＝6÷3 ＝2 18×2＝36 答：乙数是36。 3．甲、乙两数的最小公倍数除以它们的最大公约数，商是12，如果甲－乙＝18，求此二数。 【答案】甲＝72；乙＝54 【分析】设两数的最大公约数为m利用短除模型，表示出甲乙两数，再结合它们的最小公倍数除以它们的最大公约数，商是12，且甲－乙＝18进行分类讨论即可求解。 【详解】设两数的最大公约数为m，a＞b，根据短除模型          a与b互质，甲＝ma，乙＝mb 甲乙最小公倍数为mab，已知mab÷m＝ab＝12，且ma－mb＝m（a－b）＝18 由ab＝12和a与b互质可知； 若a＝12、b＝1，则m＝，不合题意； 若a＝4、b＝3，则m＝18符合题意。 故甲＝4×18＝72，乙＝3×18＝54 【点睛】熟练掌握最小公倍数、最大公因数之间的关系是解答本题的关键。 4．甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少？ 【答案】18 【分析】两个数的最小公倍数含有两数的所有质因子，并且这些质因数的个数为两数中此质因数的个数的最大值，如，，则、的最小公倍数含有质因子2，3，5，7，11，并且它们的个数为、中含有此质因子较多的那个数的个数.即依次含有3个，3个，2个，1个，1个，故。 【详解】对90分解质因数： ，因为126是甲的倍数，又126不是5的倍数，所以甲中不含因数5，如果乙也不含因数5，那么甲、乙的最小公倍数也不含因数5，但90是5的倍数，所以乙含有因数5，因为105不是2的倍数，所以乙也不是2的倍数，即乙中不含因数2，于是甲必含有因数2，因为105不是9的倍数，所以乙也不是9的倍数，即乙最多含有1个因数3，由于甲、乙两数的最小公倍数是90，90中含有2个因数3，所以甲必含有2个因数3，那么甲。 二、用最小公倍数解决实际问题 1．幸福小学五一班同学参加社会实践——我为老人献爱心活动，按5人一组，9人一组、15人一组分都恰好剩1人，参加社会实践的学生至少有多少名同学？ 【答案】46名 【分析】由题可知，按5人一组，9人一组、15人一组分都恰好剩1人，则先将剩余的1人取出，则剩余的人数，刚好是5，9，15的倍数，即是这三个数的公倍数，由于题目找至少有多少名，即找最小公倍数。 【详解】[5，9，15]＝45（名） 45＋1＝46（名） 答：参加社会实践的学生至少有46名同学。 2．学校舞蹈队去参加表演，去时每12人坐一辆车刚好，返回时每8人坐一辆车也刚好。舞蹈队的人数在30至50人之间，这个舞蹈队有多少人？请说明理由。 【答案】 见详解 【分析】依据公倍数的概念（两个自然数的公倍数能同时被这两个数整除）：舞蹈队人数需同时被12和8整除，因此是12和8的公倍数，先通过分解质因数求出12（2×2×3）和8（2×2×2）的最小公倍数为24，再找出30至50之间的公倍数，即24的倍数48，验证可知48÷12＝4（辆）、48÷8＝6（辆）均能刚好坐满，所以这个舞蹈队有48人。 【详解】舞蹈队人数是12和8在30至50之间的公倍数，通过分解质因数求出12（2×2×3）和8（2×2×2）的最小公倍数为24，其倍数中符合条件的是48，故舞蹈队有48人。 3．从某公共汽车始发站了解到，1路车每4分发车一次，2路车每6分发车一次。早晨6：00这两路车同时发车，到上午11：00，这两路车同时从始发站发车多少次？ 【答案】26次 【分析】要解决该问题需先求1路车（4分钟一班）和2路车（6分钟一班）发车间隔的最小公倍数，分解质因数得4＝2×2、6＝2×3，最小公倍数为12，即每12分钟两路车同时发车一次；从早晨6：00到上午11：00共5小时（300分钟），用300÷12＋1＝26（次）（“＋1”包含6：00初始发车），因此到上午11：00，这两路车同时从始发站发车26次。 【详解】4＝2×2，6＝2×3，最小公倍数为 2×2×3＝12。 11：006：00 ＝5小时 ＝ 5×60 ＝300 分钟。 300÷12＋1 ＝25＋1 ＝26（次） 答：到上午11：00，这两路车同时从始发站发车26次。 4．一年一度的秋季运动会要开始啦，五年级同学准备一个入场式表演。为了使队形显得整齐，只能排成方形。编排老师要求，所参加的人数无论排成3行、4行或5行，都还需有一名同学在队伍正前方举牌。请问：至少选多少人参加入场式表演？ 【答案】121人 【分析】由题意可知：要排成方形队形，即人数为完全平方数；总人数减1是3、4、5的公倍数。先求3、4、5的最小公倍数，进而求出它们的公倍数，再结合题意求出符合条件的人数，最后再加1即可求解。 【详解】3×4×5＝60（人） 60×2＋1 ＝120＋1 ＝121（人） 因为，是完全平方数。 答：至少选121人参加入场式表演。 5．五年级要进行课间操表演，前面有2名学生领操，其余学生每12人排成一行或者每18人排成一行都能正好排成整行。已知五年级总人数超过50人但不超过100人，那么五年级共有学生多少人？ 【答案】74人 【分析】根据题意可知，总人数包括领操的2人，剩余人数需同时是12和18的公倍数。先求出12和18的最小公倍数，再找出这个最小公倍数在50～100之间的倍数，最后加上2，就是五年级学生的总人数。 【详解】12＝2×2×3 18＝2×3×3 12和18的最小公倍数是：2×2×3×3＝36 36×2＝72 72＋2＝74（人） 50＜74＜100，符合条件。 答：五年级共有学生74人。 6．先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之。”围棋起源于中国，相传为尧帝发明，至今已有4000多年的历史。现代围棋棋盘由19条横线和19条竖线组成，共有361个交叉点，每个交叉点可以放置一个棋子。棋子分为黑、白两色，一副围棋中黑子数量大于170，小于200，且无论6枚6枚数，还是10枚10枚数，都多1枚，一副围棋中有多少枚黑子？ 【答案】181枚 【分析】无论6枚6枚数，还是10枚10枚数，都多1枚，说明黑子的数量比6和10的公倍数多1，先求出6和10的最小公倍数，再通过最小公倍数找到170至200之间的公倍数，加1即可。全部公有的质因数和各自独有的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 【详解】6＝2×3、10＝2×5 2×3×5＝30 200÷30＝6……20 30×6＝180 180＋1＝181（枚） 答：一副围棋中有181枚黑棋子。 7．甲、乙两人到图书馆去借书，甲每8天去一次，乙每12天去一次，如果4月25日他们两人在图书馆相遇，那么下一次都到图书馆是几月几日？ 【答案】5月19日 【分析】由题意可知，从这次相遇到下次相遇经过的天数既是8的倍数，也是12的倍数，求下一次相遇的日期，先求出下一次两人相遇经过的天数，即这两个数的最小公倍数，再根据开始日期和经过天数推算出两人下一次相遇的日期，据此解答。 【详解】8＝2×2×2 12＝2×2×3 8和12的最小公倍数是2×2×2×3＝24。 4月有30天。 4月剩余天数：30－25＝5（天） 5月天数：24－5＝19（天） 所以，下一次相遇日期是5月19日。 答：下一次都到图书馆是5月19日。 8．打包一个特制的糖果礼包时，工作人员发现，如果3个3个地数，最后会余下2颗糖果；如果5个5个地数，最后同样会余下2颗糖果；如果6个6个地数，还是会余下2颗糖果。并且该糖果礼包里的糖果总数在160到200之间，问该糖果礼包里有多少颗糖果？ 【答案】182颗 【分析】通过观察可知，糖果的总数量＝3、5、6的公倍数＋2颗；最小公倍数是三个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积，先求出3、5、6的最小公倍数，再翻倍找到在160到200之间的3、5、6的公倍数，最后加上2求出糖果的总数量。 【详解】6＝2×3 2×3×5＝30 3、5、6的最小公倍数是30。 30×6＝180（颗） 180＋2＝182（颗） 答：该糖果礼包里有182颗糖果。 9．下图所示为一种长方形拼板，该拼板长是18厘米，宽是12厘米，你能用若干块这样的拼板拼出正方形吗？如果能，最少需要多少块？请你画出拼成的正方形的草图。 【答案】能；6块；图见详解 【分析】求最少需要的块数，则正方形的边长就是18和12的最小公倍数；先把这两个数分解质因数，用独有质因数和共有质因数的乘积就是最小公倍数，再根据长方形的面积＝长×宽，正方形面积＝边长×边长，之后用正方形面积除以长方形面积即可求出需要多少块。然后用正方形的边长除以长方形的长，正方形的边长除以长方形的宽，即可求出长有几个，宽有几个。再画图。 【详解】18＝2×3×3 12＝2×2×3 18和12的最小公倍数2×2×3×3＝36；正方形的边长是36厘米。 36÷18＝2（块） 36÷12＝3（块） （36×36）÷（18×12） ＝1296÷216 ＝6（块） 如图： 答：能拼成正方形，至少需要6块。 10．学校举办了以“绿色发展，低碳创新”为主题的环保宣传活动，老师打算将报名的同学分成若干小组，结果发现无论是按6人一组，还是按8人一组，都恰好能分完。如果参加活动的同学人数在40到50人之间，那么报名参加此次活动的同学有多少人？ 【答案】48人 【分析】“按6人或8人一组都恰好分完”，说明同学人数能同时被6和8整除，即这个数是6和8的公倍数。通过分解质因数找它们的最小公倍数，再据此找符合范围的公倍数。 分解6和8的质因数：6＝2×3；8＝2×2×2，最小公倍数是：2×2×2×3＝24。在40到50之间的只有：24×2＝48，符合条件且在人数范围内。 【详解】6＝2×3 8＝2×2×2 2×2×2×3＝24（人） 24×2＝48（人） 答：报名参加此次活动的同学有48人。 11．一个儿童用品公司生产一种正方形的布料，既可以裁成若干条边长为20厘米的方巾，也可以裁成若干条边长为35厘米的方巾，且都没有剩余。这种正方形的布料边长至少是多少厘米？ 【答案】140厘米 【分析】要确定能同时裁成边长为20厘米和35厘米方巾且无剩余的正方形布料的最小边长，需先明确这是求20和35的最小公倍数，因为该边长必须是20和35的公倍数，其中最小的就是最小公倍数。 【详解】对20和35分解质因数：20＝2×2×5，35＝5×7 将公有的质因数和各自独有的质因数相乘，可得20和35的最小公倍数为： 2×2×5×7＝140 答：这种正方形的布料边长至少是140厘米。 12．阳光小学五年级学生不超过150人，他们在操场上做游戏，不论是6人一组还是8人一组，都正好分完且没有剩余，这个年级最多有学生多少人？ 【答案】144人 【分析】6人一组、8人一组都无剩余，说明学生总人数能同时被6和8整除，即总人数是6和8的公倍数。题目要求“最多有多少人”，因此需要找6和8在150以内的最大公倍数。用分解质因数法求最小公倍数：6＝2×3，8＝2×2×2，2×2×2×3＝24。因此，6和8的最小公倍数是24。 学生不超过150人，所以需要计算150以内24的最大倍数，判断是否≤150。24×6＝144（144＜150，符合条件），24×7＝168（168＞150，超出限制，舍去）。所以，150以内6和8的最大公倍数是144。即这个年级最多有学生144人。 【详解】6＝2×3 8＝2×2×2 2×2×2×3＝24 24×6＝144（人） 144＜150 答：这个年级最多有学生144人。 13．有一箱鸭蛋（数量不超过100个），2个2个地数，3个3个地数，5个5个地数，都能正好数完（没有剩余）。这箱鸭蛋至少有多少个？最多有多少个？ 【答案】至少：30个；最多：90个 【分析】根据题意可知，这箱鸭蛋的个数是2、3、5的倍数，先根据求最小公倍数的方法，求出2、3、5的最小公倍数，也就是这箱鸭蛋至少有多少个；再求出100以内最大公倍数，即可解答。 【详解】2、3、5是互质数，2、3、5的最小公倍数是2×3×5＝30；最少有30个。 30×2＝60；30×3＝90；30×4＝120…… 最多有90个。 答：这箱鸭蛋至少有30个，最多有90个。 14．五年级一班学生分组进行实践活动，每组5人或每组9人都正好，五年级一班最少有多少名学生？五年级二班学生去郊游，刘老师带了100袋小面包和44瓶矿泉水，平均分给这些学生，结果面包分完还剩4袋，矿泉水却少4瓶，五年级二班最多有多少名学生去郊游？ 【答案】五年级一班：45人；五年级二班：48人 【分析】五年级一班：学生分组时，每组5人或每组9人都正好分完，说明学生人数是5和9的公倍数。要求最少的学生人数，即求5和9的最小公倍数；根据求最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每一个数的独有质因数的连乘积，就是两个数的最小公倍数；如果两个数为倍数关系，最小公倍数为较大的那个数；如果两个数为互质数，最小公倍数就是两个数的乘积；据此解答。 五年级二班：面包分完剩4袋，实际分了100－4＝96袋；矿泉水少了4瓶，实际需要44＋4＝48瓶；学生人数实际是96和48的最大公因数，根据求最大公因数的方法：两个数的公有质因数的连乘积就是这两个数的最大公因数；如果两个数为倍数关系，最大公因数为较小的那个数；如果两个数为互质数，最大公因数是1；据此解答。 【详解】五年级一班： 5和9是互质数，5和9的最小公倍数是5×9＝45；五年一班有45人。 五年级二班： 100－4＝96（袋） 44＋4＝48（瓶） 96和48为倍数关系，96和48的最大公因数是48；五年二班最多有48人。 答：五年级一班有45人，五年级二班有48人。 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $