第18讲 重叠问题（知识梳理+例题讲解+考点练习）-四年级奥数培优讲义

第18讲 重叠问题 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解重叠问题的基本概念和特点 2.掌握解决重叠问题的基本方法和策略 3.能够运用画图法（特别是韦恩图）直观表示重叠关系 4.熟练解决生活中的重叠问题，提高逻辑思维能力 5.学会分析问题中的数量关系，培养解决实际问题的能力 知识梳理 知识点一、重叠问题的基本概念 重叠问题是指当两个或多个集合存在公共部分时，需要考虑如何计算总数的问题。在计数时，如果直接将几个部分的数量相加，会导致重叠部分被重复计算，因此需要减去重复计算的部分。 知识点二、重叠问题的基本原理 1.两部分重叠：总数 = 第一部分数量 + 第二部分数量 - 重叠部分数量 2.三部分重叠：总数 = 第一部分数量 + 第二部分数量 + 第三部分数量 - 两两重叠部分数量 + 三部分重叠数量 知识点三、解决重叠问题的关键步骤 1.明确问题中的各个集合及其元素 2.确定哪些部分存在重叠关系 3.选择合适的方法表示重叠关系（如画图法） 4.根据重叠原理进行计算 5.检验结果是否合理 知识点四、解题策略与方法 1. 画图法（韦恩图法） 这是解决重叠问题最直观有效的方法，步骤如下： （1）用圆圈表示不同的集合 （2）圆圈重叠部分表示集合的公共元素 （3）在图中标明各部分的数量 （4）根据图形进行计算 2. 公式法： 根据重叠问题的基本原理，直接套用公式进行计算： （1）两集合公式：A∪B = A + B - A∩B （其中A∪B表示A和B的并集，即总数；A∩B表示A和B的交集，即重叠部分） 3. 列表法：对于较复杂的重叠问题，可以通过列表整理数据，清晰呈现各个部分之间的关系。 例题讲解 一、两部分重叠基础计算 【例题1】四年级(1)班参加作文比赛28人，数学竞赛32人，两项都参加15人，求参加比赛的总人数。 【例题2】订阅《数学报》32人，《语文报》28人，两种都订阅15人，求订阅报纸的总人数。 二、两部分重叠进阶应用 【例题1】四年级(2)班45人，美术小组30人，音乐小组25人，每人至少参加一个小组，求两个小组都参加的人数。 【例题2】春游带面包38人，带饮料32人，总人数55人（每人至少带一样），求既带面包又带饮料的人数。 三、三部分重叠综合问题 【例题1】三科竞赛：语文25人，数学30人，英语28人，语文+数学10人，语文+英语8人，数学+英语12人，三科都参加5人，求总人数。 【例题2】某班有50名学生参加了语文、数学、英语三科考试，其中语文及格的有38人，数学及格的有35人，英语及格的有30人，语文和数学都及格的有25人，数学和英语都及格的有20人，语文和英语都及格的有18人。求三科都及格的人数。 【例题3】学校组织活动，参加游泳的有45人，爬山的有40人，露营的有35人，参加游泳和爬山的有20人，爬山和露营的有15人，游泳和露营的有18人，总共有70人参加活动。求只参加两项活动的人数。 四、逆向思维与生活应用 【例题1】兴趣小组中，只参加语文15人，只参加数学12人，两项都参加8人，求总人数。 【例题2】在一次考试中，语文及格的人数是数学及格人数的1.5倍，两门都及格的有20人，两门都不及格的有5人，总人数有60人。求数学及格的人数。 考点练习 一、两部分重叠基础计算 1.动物园游客喜欢熊猫45人，喜欢猴子50人，两种都喜欢20人，求至少喜欢一种动物的人数。 2.语文兴趣小组30人，数学兴趣小组25人，两项都参加10人，求只参加语文小组的人数。 3.运动会跳远20人，跳高15人，两项都参加5人，求只参加跳远的人数。 4.喜欢苹果32人，喜欢香蕉28人，两种都喜欢10人，求只喜欢苹果的人数。 二、两部分重叠进阶应用 1.班级42人，喜欢篮球25人，足球20人，每人至少喜欢一种，求两种球都喜欢的人数。 2.四年级(3)班50人，语文小组30人，数学小组25人，两个小组都没参加5人，求两个小组都参加的人数。 3.学校60人，戴眼镜28人，戴红领巾42人，两样都不戴5人，求既戴眼镜又戴红领巾的人数。 4.图书馆50名读者，看小说30人，看杂志25人，两种都不看8人，求两种都看的人数。 三、三部分重叠综合问题 1.借书统计：故事书30人，科技书25人，漫画书20人，故事书+科技书12人，科技书+漫画书8人，故事书+漫画书10人，三种都借5人，求总人数。 2.兴趣小组：音乐20人，美术18人，体育22人，音乐+美术10人，美术+体育8人，音乐+体育7人，三科都参加3人，求总人数。 3.四年级有60名学生参加兴趣小组，参加音乐小组的有32人，美术小组的有35人，体育小组的有30人，同时参加音乐和美术小组的有15人，同时参加美术和体育小组的有12人，同时参加音乐和体育小组的有10人。求三个小组都参加的人数。 4.某学校图书馆有100名读者借阅图书，借阅故事书的有55人，科技书的有45人，漫画书的有40人，同时借阅故事书和科技书的有20人，同时借阅科技书和漫画书的有15人，同时借阅故事书和漫画书的有18人。求三种书都借阅的人数。 5.某班有55名学生，喜欢篮球的有30人，足球的有28人，排球的有25人，同时喜欢篮球和足球的有12人，同时喜欢足球和排球的有10人，同时喜欢篮球和排球的有8人。求只喜欢一种球的人数。 四、逆向思维与生活应用 1.班级45人，只喜欢语文10人，只喜欢数学12人，两样都喜欢8人，求两样都不喜欢的人数。 2.夏令营游泳30人、爬山25人、露营20人，游泳+爬山10人，爬山+露营5人，游泳+露营8人，三项都参加3人，求总人数。 3.某班学生参加兴趣活动，参加音乐小组的人数比参加体育小组的人数少5人，同时参加两个小组的有10人，两个小组都不参加的有8人，全班共有45人。求参加音乐小组的人数。 4.学校组织活动，参加跑步的人数是参加跳远人数的2倍，同时参加两项的有15人，只参加一项的有45人。求参加活动的总人数。 5.某班有50名学生，喜欢吃苹果的人数比喜欢吃香蕉的人数多10人，两种水果都喜欢的有15人，两种都不喜欢的有5人。求喜欢吃苹果的人数。 6.四年级有70名学生参加考试，数学及格的人数比语文及格的人数多5人，英语及格的人数比语文及格的人数少5人，数学和语文都及格的有25人，语文和英语都及格的有20人，数学和英语都及格的有15人，三科都及格的有10人，三科都不及格的有5人。求语文及格的人数。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18讲 重叠问题 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解重叠问题的基本概念和特点 2.掌握解决重叠问题的基本方法和策略 3.能够运用画图法（特别是韦恩图）直观表示重叠关系 4.熟练解决生活中的重叠问题，提高逻辑思维能力 5.学会分析问题中的数量关系，培养解决实际问题的能力 知识梳理 知识点一、重叠问题的基本概念 重叠问题是指当两个或多个集合存在公共部分时，需要考虑如何计算总数的问题。在计数时，如果直接将几个部分的数量相加，会导致重叠部分被重复计算，因此需要减去重复计算的部分。 知识点二、重叠问题的基本原理 1.两部分重叠：总数 = 第一部分数量 + 第二部分数量 - 重叠部分数量 2.三部分重叠：总数 = 第一部分数量 + 第二部分数量 + 第三部分数量 - 两两重叠部分数量 + 三部分重叠数量 知识点三、解决重叠问题的关键步骤 1.明确问题中的各个集合及其元素 2.确定哪些部分存在重叠关系 3.选择合适的方法表示重叠关系（如画图法） 4.根据重叠原理进行计算 5.检验结果是否合理 知识点四、解题策略与方法 1. 画图法（韦恩图法） 这是解决重叠问题最直观有效的方法，步骤如下： （1）用圆圈表示不同的集合 （2）圆圈重叠部分表示集合的公共元素 （3）在图中标明各部分的数量 （4）根据图形进行计算 2. 公式法： 根据重叠问题的基本原理，直接套用公式进行计算： （1）两集合公式：A∪B = A + B - A∩B （其中A∪B表示A和B的并集，即总数；A∩B表示A和B的交集，即重叠部分） 3. 列表法：对于较复杂的重叠问题，可以通过列表整理数据，清晰呈现各个部分之间的关系。 例题讲解 一、两部分重叠基础计算 【例题1】四年级(1)班参加作文比赛28人，数学竞赛32人，两项都参加15人，求参加比赛的总人数。 【答案】45人 【详解】根据“总人数=作文人数+数学人数-两项都参加人数”，可得：28+32-15=45（人）。重叠的15人被重复计算，需减去一次。 【例题2】订阅《数学报》32人，《语文报》28人，两种都订阅15人，求订阅报纸的总人数。 【答案】45人 【详解】总人数=数学报人数+语文报人数-两种都订阅人数：32+28-15=45（人）。 二、两部分重叠进阶应用 【例题1】四年级(2)班45人，美术小组30人，音乐小组25人，每人至少参加一个小组，求两个小组都参加的人数。 【答案】10人 【详解】设重叠人数为x，根据“总人数=美术人数+音乐人数-x”，可得：45=30+25-x，解得x=10（人）。 【例题2】春游带面包38人，带饮料32人，总人数55人（每人至少带一样），求既带面包又带饮料的人数。 【答案】15人 【详解】重叠人数=带面包人数+带饮料人数-总人数：38+32-55=15（人）。 三、三部分重叠综合问题 【例题1】三科竞赛：语文25人，数学30人，英语28人，语文+数学10人，语文+英语8人，数学+英语12人，三科都参加5人，求总人数。 【答案】58人 【详解】根据三部分容斥原理：总人数=25+30+28-10-8-12+5=58（人）。 【例题2】某班有50名学生参加了语文、数学、英语三科考试，其中语文及格的有38人，数学及格的有35人，英语及格的有30人，语文和数学都及格的有25人，数学和英语都及格的有20人，语文和英语都及格的有18人。求三科都及格的人数。 【答案】16人 【详解】设三科都及格的有x人，根据公式：50=38+35+30-25-20-18+x，解得x=50-(38+35+30-25-20-18)=50-44=6（人）。 【例题3】学校组织活动，参加游泳的有45人，爬山的有40人，露营的有35人，参加游泳和爬山的有20人，爬山和露营的有15人，游泳和露营的有18人，总共有70人参加活动。求只参加两项活动的人数。 【答案】35人 【详解】设三项都参加的有x人，根据公式：70=45+40+35-20-15-18+x，解得x=70-67=3（人）。只参加游泳和爬山=20-3=17（人），只参加爬山和露营=15-3=12（人），只参加游泳和露营=18-3=15（人），只参加两项活动=17+12+15=44（人）。 四、逆向思维与生活应用 【例题1】兴趣小组中，只参加语文15人，只参加数学12人，两项都参加8人，求总人数。 【答案】35人 【详解】总人数=只语文+只数学+两项都参加=15+12+8=35（人）。 【例题2】在一次考试中，语文及格的人数是数学及格人数的1.5倍，两门都及格的有20人，两门都不及格的有5人，总人数有60人。求数学及格的人数。 【答案】26人 【详解】设数学及格的有x人，则语文及格的有1.5x人。至少有一门及格的人数=60-5=55（人），根据公式：55=x+1.5x-20，解得x=30（人）。 考点练习 一、两部分重叠基础计算 1.动物园游客喜欢熊猫45人，喜欢猴子50人，两种都喜欢20人，求至少喜欢一种动物的人数。 【答案】75人 【详解】“至少喜欢一种”即总人数：45+50-20=75（人）。 2.语文兴趣小组30人，数学兴趣小组25人，两项都参加10人，求只参加语文小组的人数。 【答案】20人 【详解】只参加语文小组=语文小组总人数-两项都参加人数：30-10=20（人）。 3.运动会跳远20人，跳高15人，两项都参加5人，求只参加跳远的人数。 【答案】15人 【详解】只参加跳远=跳远总人数-两项都参加人数：20-5=15（人）。 4.喜欢苹果32人，喜欢香蕉28人，两种都喜欢10人，求只喜欢苹果的人数。 【答案】22人 【详解】只喜欢苹果=喜欢苹果总人数-两种都喜欢人数：32-10=22（人）。 二、两部分重叠进阶应用 1.班级42人，喜欢篮球25人，足球20人，每人至少喜欢一种，求两种球都喜欢的人数。 【答案】3人 【详解】重叠人数=25+20-42=3（人）。 2.四年级(3)班50人，语文小组30人，数学小组25人，两个小组都没参加5人，求两个小组都参加的人数。 【答案】10人 【详解】至少参加一个小组的人数=50-5=45（人），重叠人数=30+25-45=10（人）。 3.学校60人，戴眼镜28人，戴红领巾42人，两样都不戴5人，求既戴眼镜又戴红领巾的人数。 【答案】15人 【详解】至少戴一样的人数=60-5=55（人），重叠人数=28+42-55=15（人）。 4.图书馆50名读者，看小说30人，看杂志25人，两种都不看8人，求两种都看的人数。 【答案】13人 【详解】至少看一种的人数=50-8=42（人），重叠人数=30+25-42=13（人）。 三、三部分重叠综合问题 1.借书统计：故事书30人，科技书25人，漫画书20人，故事书+科技书12人，科技书+漫画书8人，故事书+漫画书10人，三种都借5人，求总人数。 【答案】40人 【详解】总人数=30+25+20-12-8-10+5=40（人）。 2.兴趣小组：音乐20人，美术18人，体育22人，音乐+美术10人，美术+体育8人，音乐+体育7人，三科都参加3人，求总人数。 【答案】38人 【详解】总人数=20+18+22-10-8-7+3=38（人）。 3.四年级有60名学生参加兴趣小组，参加音乐小组的有32人，美术小组的有35人，体育小组的有30人，同时参加音乐和美术小组的有15人，同时参加美术和体育小组的有12人，同时参加音乐和体育小组的有10人。求三个小组都参加的人数。 【答案】0人 【详解】设三个小组都参加的有x人，根据公式：60=32+35+30-15-12-10+x，解得x=60-(32+35+30-15-12-10)=60-50=10（人）。 4.某学校图书馆有100名读者借阅图书，借阅故事书的有55人，科技书的有45人，漫画书的有40人，同时借阅故事书和科技书的有20人，同时借阅科技书和漫画书的有15人，同时借阅故事书和漫画书的有18人。求三种书都借阅的人数。 【答案】13人 【详解】设三种书都借阅的有x人，根据公式：100=55+45+40-20-15-18+x，解得x=100-(55+45+40-20-15-18)=100-87=13（人）。 5.某班有55名学生，喜欢篮球的有30人，足球的有28人，排球的有25人，同时喜欢篮球和足球的有12人，同时喜欢足球和排球的有10人，同时喜欢篮球和排球的有8人。求只喜欢一种球的人数。 【答案】35人 【详解】设三种球都喜欢的有x人，根据公式：55=30+28+25-12-10-8+x，解得x=55-53=2（人）。只喜欢篮球=30-12-8+2=12（人），只喜欢足球=28-12-10+2=8（人），只喜欢排球=25-10-8+2=9（人），只喜欢一种球=12+8+9=29（人）。 四、逆向思维与生活应用 1.班级45人，只喜欢语文10人，只喜欢数学12人，两样都喜欢8人，求两样都不喜欢的人数。 【答案】15人 【详解】至少喜欢一样的人数=10+12+8=30（人），两样都不喜欢=45-30=15（人）。 2.夏令营游泳30人、爬山25人、露营20人，游泳+爬山10人，爬山+露营5人，游泳+露营8人，三项都参加3人，求总人数。 【答案】55人 【详解】总人数=30+25+20-10-5-8+3=55（人）。 3.某班学生参加兴趣活动，参加音乐小组的人数比参加体育小组的人数少5人，同时参加两个小组的有10人，两个小组都不参加的有8人，全班共有45人。求参加音乐小组的人数。 【答案】16人 【详解】设参加音乐小组的有x人，则参加体育小组的有x+5人。至少参加一个小组的人数=45-8=37（人），根据公式：37=x+(x+5)-10，解得x=21（人）。 4.学校组织活动，参加跑步的人数是参加跳远人数的2倍，同时参加两项的有15人，只参加一项的有45人。求参加活动的总人数。 【答案】60人 【详解】设参加跳远的有x人，则参加跑步的有2x人。只参加跳远=x-15，只参加跑步=2x-15，只参加一项=(x-15)+(2x-15)=3x-30=45，解得x=25（人）。总人数=45+15=60（人）。 5.某班有50名学生，喜欢吃苹果的人数比喜欢吃香蕉的人数多10人，两种水果都喜欢的有15人，两种都不喜欢的有5人。求喜欢吃苹果的人数。 【答案】30人 【详解】设喜欢吃香蕉的有x人，则喜欢吃苹果的有x+10人。至少喜欢一种水果的人数=50-5=45（人），根据公式：45=x+(x+10)-15，解得x=25（人），喜欢吃苹果的人数=25+10=35（人）。 6.四年级有70名学生参加考试，数学及格的人数比语文及格的人数多5人，英语及格的人数比语文及格的人数少5人，数学和语文都及格的有25人，语文和英语都及格的有20人，数学和英语都及格的有15人，三科都及格的有10人，三科都不及格的有5人。求语文及格的人数。 【答案】35人 【详解】设语文及格的有x人，则数学及格的有x+5人，英语及格的有x-5人。至少有一门及格的人数=70-5=65（人），根据公式：65=(x+5)+x+(x-5)-25-20-15+10，解得x=35（人）。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $