第2章 直线与圆的位置关系（复习讲义）数学浙教版九年级下册

第2章 直线与圆的位置关系（复习讲义） 一、基础目标 1. 能复述直线与圆的三种位置关系（相离、相切、相交）的定义，并会根据公共点个数或圆心到直线的距离(d)与半径(r)的数量关系判断位置关系； 2. 能复述切线的概念，会识别圆的切线图形，并能根据切线定义判断一条直线是否为圆的切线（已知公共点时）； 3. 能记住切线的性质定理（圆的切线垂直于经过切点的半径），并会直接应用该定理进行简单推理（如已知切线和切点，直接得出垂直关系）； 4. 会用“圆心到直线的距离等于半径”的方法判断直线与圆相切（无已知公共点时），能写出具体计算步骤（如求圆心坐标、直线方程、计算距离并与半径比较）； 5. 能复述切线长的定义，会测量或计算简单图形中切线长的长度（如已知圆的半径和圆心到圆外一点的距离，求切线长）。 二、进阶目标 1. 会推导切线的判定定理（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线），并能结合几何图形写出规范的证明过程（明确已知、求证、证明步骤）； 2. 理解并应用切线长定理（从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角），能解决含切线长的角度计算（如求切线夹角）和线段相等证明问题； 3. 会综合运用切线的性质与判定定理解决几何证明题，例如：已知切线和切点，证明线段垂直或相等；已知线段垂直关系，证明直线是圆的切线； 4. 能根据直线与圆的位置关系求参数值或取值范围（如已知直线与圆相切，求(k)的值），并写出具体的方程求解过程； 5. 会解决与切线相关的实际应用问题（如计算圆形工件的切线长度、判断直线型物体与圆形区域是否相切等），能将实际问题转化为几何模型并求解。 三、拓展目标 1. 理解并应用三角形内切圆的概念，会推导三角形内切圆半径的计算公式（如，其中(S)为三角形面积，(a,b,c)为三边长），并能计算特殊三角形（如直角三角形、等边三角形）的内切圆半径； 2. 会解决含切线的动态几何问题，例如：直线或圆运动过程中，判断位置关系的变化情况，或求切线长度的最值； 3. 能结合圆的对称性、勾股定理、相似三角形等知识，解决较复杂的切线综合题（如证明切线长与其他线段的比例关系、求阴影部分面积等）； 4. 会用坐标法（解析几何）解决直线与圆的位置关系问题，包括：通过联立方程判断交点个数（判别式法）、计算圆心到直线的距离并与半径比较，能处理含参数的动直线与定圆位置关系问题； 5. 理解并应用圆的切线在中高考中的常见模型（如“切线+等腰三角形”“切线+直角三角形”“双切线模型”），能快速识别模型并调用对应定理解决问题。 类别 具体内容 完整分析 常见结论 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径。即若直线(l)是圆(O)的切线，切点为(P)。此定理揭示了切线与半径的核心位置关系，是解决切线相关计算与证明的基础。由该定理还可引申出：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。该定理强调了“半径外端”和“垂直于半径”两个缺一不可的条件，用于判断一条直线是否为圆的切线。在证明时，若已知直线与圆有公共点，则连接圆心与公共点，证明该半径与直线垂直；若未知公共点，则过圆心作直线的垂线，证明垂线段长等于半径。 易错点 运用切线判定定理时忽略“半径外端”条件 学生在证明一条直线是圆的切线时，若已知直线与圆有一个公共点，常仅证明直线垂直于过该点的直线，而未确认该直线是否为半径，即忽略“经过半径外端”这一关键条件。例如，误将圆的一条弦所在直线，且垂直于另一条非半径的线段，判定为切线。 认为“相切”只有一个公共点，忽略“有且只有一个公共点” 虽然“相切”的直观表现是只有一个公共点，但在数学定义中强调“有且只有一个”，即唯一性。学生在理解时可能仅记住“一个公共点”，但在某些复杂情境下，如讨论含参数的直线与圆的位置关系时，可能忽略对唯一性的严谨论证。不过更常见的错误是在应用时，如已知直线与圆相切求参数，忘记相切对应的是或这一充要条件。 使用切线性质定理时，找不到或错找“切点” 切线性质定理中“经过切点的半径”是关键，学生在复杂图形中，可能难以准确识别切线与圆的切点，从而无法正确应用定理构造直角三角形或进行垂直关系的转化。例如，在有多个圆或多条切线的图形中，误将非切点当作切点，导致半径找错。 题型一 直线与圆的位置关系 【例1】若的半径为5，点P到圆心O的距离也为5，则经过点P的直线与的位置关系是（   ） A．相切 B．相交 C．相切或相交 D．相切或相离 【答案】C 【分析】此题考查了直线与圆的位置．根据点到经过点P的直线的距离小于或等于半径5，则经过点P的直线与的位置关系是相切或相交． 【详解】解：∵的半径为5，点P到圆心O的距离也为5， ∴圆心到经过点P的直线的距离小于或等于半径5， ∴经过点P的直线与的位置关系是相切或相交， 故选：C． 【变式1-1】如图，在中，，，，是上一点（点与点不重合）．若在的直角边上存在4个不同的点分别和点、成为直角三角形的三个顶点，则长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查含角的直角三角形，直角三角形的存在性，数形结合思想，分类讨论思想等内容；设的直角边上存在点E，使以点A，点D，点E为顶点的三角形是直角三角形，需要分情况讨论，当点D是直角顶点时，过点D作的垂线；当点E是直角顶点时，点E是以长为直径的圆与直角边的交点，当此圆与直角边相切时，为临界状态，此时这样的点有2个，当此圆过点C时，也为临界状态，点D和点B重合，不符合题意． 【详解】解：在中，， ∴， 设的直角边上存在点E，使以点A，点D，点E为顶点的三角形是直角三角形， ①当点D是直角顶点时，过点D作的垂线；②当点E是直角顶点时，点E是以长为直径的圆与直角边的交点， 如图所示，当此圆与直角边有3个交点时，符合题意； 当以为直径的圆与相切时，如图所示， 设圆的半径为r，即， ∵，， ∴， ∴，解得； ∴； 综上，的长的取值范围为：． 故答案为：． 【变式1-2】如图1，在矩形中，边长，，其中a、b分别是方程的两个根，连接．点O从点C出发，沿向点B运动（到达点B停止运动），速度为每秒1个单位，设运动时间为t秒，在运动过程中，以O为圆心，的长为半径作半圆，交射线于点． (1)______； (2)如图2，当点O运动到的角平分线上时， ①判断此时半圆O与有怎样的位置关系，并说明理由； ②求此时t的值； (3)如图3，当半圆O与的边有两个交点时，请直接写出t的取值范围______． 【答案】(1)5 (2)①相切，见解析；② (3)或 【分析】（1）先求出的根，从而可得，的长，再根据矩形的性质，结合勾股定理求得； （2）①运用角平分线性质定理得，可得是圆O的切线； ②利用三角形面积公式，得到关于关于的方程求解，求出，从而可求此时t的值； （3）根据题意，分为当半圆O与有2个交点；当点半圆O与有1个交点，与有1个交点；当点半圆O与有1个交点，与有1个交点；三种情况讨论，分别求出半径的范围，即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：由，即， 解得：，， 边长，，其中a，分别是方程的两个根， ，， 四边形是矩形， ， 在中，，， ， 故答案为：5； （2）①与相切， 理由：如图，过点O作，垂足为点E， ∵在矩形中，， ， 是的平分线， ， 是的切线， 即与相切； ②， ， ， 即， ， ； （3）如图，当半圆O与相切时，此时半圆O与的边有1个交点，即为切点，设切点为H，连接， 由知， 如图，当点Q与点B重合时，此时半圆O与的边有2个交点， 此时，为半圆O的直径， ， 当时，半圆O与有2个交点， 即半圆O与的边有2个交点； 如图，此时，半圆O与有1个交点，与有1个交点， 如图，当半圆O与相切时，此时半圆O与的边有3个交点，设与半圆O的切点为M，连接， ， ， 当时，半圆O与有1个交点，与有1个交点， 即半圆O与的边有2个交点； 如图，当半圆O与经过点A时，此时半圆O与的边有3个交点； 连接， 设，由勾股定理得： ， 解得：， ， ， 如图，当点O与点B重合时，此时点O停止运动， ， ， 当时，半圆O与有1个交点，与有1个交点， 即半圆O与的边有2个交点； 综上，半圆O与的边有两个交点时，或 故答案为：或 【点睛】本题考查了解一元二次方程，直线与圆的位置关系，切线的判定，矩形的性质，勾股定理等知识，解题关键是画出图形，分类讨论． 题型二 切线的性质求解 【例2】如图，分别与相切于两点，点在优弧上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了切线的性质，四边形的内角和，以及圆周角定理，熟练运用性质及定理是解本题的关键． 连接，，根据切线的性质求出，根据四边形的内角和为求得，然后根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接，， ∵，分别与相切， ∴， ∵， ∴． ∴ 故选：B． 【变式2-1】如图，四边形是矩形，经过点的圆分别与边相切于两点． （1） 度； （2）若，，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，矩形的性质以及扇形面积的计算，解题的关键是掌握切线的性质并灵活运用． （1）求出，根据圆周角定理解答即可； （2）根据切线的性质证明四边形是矩形，求出，同理求出，再根据勾股定理求出，利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：（1）设点为圆心，连接、，如图所示： 四边形是矩形， ， ，与相切于， ， ， ， 故答案为：； （2）延长，交于点，连接，如图所示： 与相切于， ， 四边形是矩形， ， ， ， 四边形是矩形， ， 同理， 在中，由勾股定理可得， 阴影部分的面积是， 故答案为：． 【变式2-2】已知内接于，是的直径，过点B作的切线，与的延长线相交于点D，点E在上，与相交于点F． (1)如图①，若，求和的大小； (2)如图②，若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，弧、弦、圆心角的关系，等边三角形的性质和判定，余弦，正确理解题意是解题的关键． （1）根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，根据圆周角定理得到，再根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可； （2）根据圆周角、弧、弦的关系得到，根据等边三角形的性质得到，根据余弦的定义分别求出，进而求出． 【详解】（1）解：∵是的切线， ∴． ∵， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴， 由圆周角定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴． 题型三 切线长定理求解 【例3】如图，的周长为26，，与三边分别相切于点，，，若，则的长为（　　） A．4 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查的是切线的性质、切线长定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．连接，根据切线长定理得到，根据圆周角定理求出，根据切线的性质得到，再根据等边三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵的周长为26， ∴， ∵， ∴， ∵与三边分别相切于点D，E，F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵分别与相切于点E，F， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 故选：C． 【变式3-1】如图，在四边形中，，，，分别与扇形相切于点A与点E．当时，的长为 ． 【答案】9 【分析】连接，作于点H，根据题目所给条件可得：，，再由勾股定理求得的长，证明四边形是矩形；在中，根据勾股定理列式求解即可． 【详解】解：如图，连接，作于点H，则， 分别与扇形相切于点A，E，， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 在中，， ， 解得：． 故答案为：9． 【点睛】此题考查了切线的性质定理，切线长定理，勾股定理，矩形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用及正确作出辅助线是解题的关键． 【变式3-2】已知：如图，是的切线，B，C是切点，过上的任意一点P作的切线与分别交于点D，E． (1)连接和，若，则_______； (2)已知，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了切线长定理，切线的性质，全等三角形的性质与判定，熟知切线的性质和切线长定理是解题的关键． （1）由切线的性质得到，则由四边形内角和定理可求出的度数，证明，可推出； （2）由切线长定理得到，再根据三角形周长计算公式和线段的和差关系求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵都是的切线， ∴， ∵， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵都是的切线， ∴， ∴的周长 ． 题型四 三角形的周长、面积、内切圆半径关系 【例4】如图，已知是的内切圆，，与的切点分别为 D，E，F，若，，则的半径为（   ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】B 【分析】连接，，由，，，求得，由与，，的切点分别为，，，得，，，由，求得，则，再证明四边形是正方形，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，， ，，， ， 与的切点分别为 D，E，F， ，，，，， ， ， ， ，， 四边形是正方形， ， 的半径长为2， 故选：B． 【点睛】此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线长定理、勾股定理、正方形的判定与性质等知识，求得，并且证明四边形是正方形是解题的关键． 【变式4-1】如图，在中，，，，是的内切圆，切点分别为、、，则的半径为 ；连接、，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内切圆的性质及解直角三角形；通过设边长，表示其他边长关系再利用直角三角形求解等常规考查点，其中掌握三角形内切圆的性质是解题关键．连接，过点作于点，勾股定理求得，等面积法求得半径，过点作交的延长线于点，解，进而得出是等边三角形，进而及诶，得出的长，进而根据正切的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点， 依题意，是的内切圆，切点分别为、、， ∴， 设，则， 在中， 即 解得： ∴ 设的半径为， ∴ ∴ 如图所示，过点作交的延长线于点， ∵是的内切圆，切点分别为、、， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴ 在中， 故答案为：；． 【变式4-2】阅读与思考 阅读下列材料，完成下面的任务． 关于“三角形的内切圆”的研究报告 【研究内容】如图，在中，三边，，，是它的内切圆，切点分别为，，，如何求、、的长呢？ 【解法】是的内切圆，切点为，，，，，．设，，，则有，，如果设，那么有． 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______． (2)如图，这是一张三角形纸片，为它的内切圆，小悦沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，，，求三角形纸片的周长． (3)如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，，，，求． 【答案】(1)； (2)三角形纸片的周长是； (3)． 【分析】（1）由题意得出，则可得出答案； （2）由题意得，如图，设切点分别为，，，则，由三角形周长可得出答案； （3）设，依题意得，，根据勾股定理可得，解方程得出，则可得出答案． 【详解】（1）解：是的内切圆，切点为，，， ，，， 设，，，则有， 三式相加可得， ， 故答案为：； （2）解：的周长为， 由题意得， 如图，设切点分别为，，，则， ，， ， 三角形纸片的周长， ；， （3）解：设，依题意得，， ，， ， 根据勾股定理可得，整理得， 解得或不合题意，合去， ， ，， ． 【点睛】本题考查的知识点是三角形内切圆与内心、切线长定理、勾股定理解直角三角形、解一元二次方程，解题关键是熟练掌握三角形内切圆的性质、切线长定理． 题型五 三角形的内心与外心结合 【例5】如图，O是的外心，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，三角形的内角和，等腰三角形的性质，连接，根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：连接， ∵点O是的外心， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式5-1】如图，在矩形中，点E在边上，连接平分，点O是的内心，连接，，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】连接，设交于点，由矩形的性质得，则，因为，所以，则，由，得，则，因为点是的内心，所以，可证明，则，进而证明，得，推导出，再证明，得，则，作的内切圆与分别相切于点，则圆心为点，连接，可证明，且点为切点，推导出，再证明，则，所以，由，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，连接，设交于点， ∵四边形是矩形， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ， ∵点是的内心， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ∴， ∴， ， ， 如上图，作的内切圆与分别相切于点，则圆心为点，连接， ∵与相切，且于点， ∴，且点为切点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ， ∴四边形是正方形， ， ， ， ， ∴解得：或（不符合题意，舍去）， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内切圆与内心，切线的性质，正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 【变式5-2】是的内接三角形，是的内心，连接交于点，连接、，根据内心的定义，我们很容易证明，根据题设回答以下问题． (1)如图，若关于的对称点恰巧落在上，连接、，则的度数是________． (2)如图，若点、、在一条直线上，且，，求的内心和外心之间的距离． (3)如图，在（）的条件下，是弦弦长线上的一个动点，连接交于点，若，是否为定值，若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1)； (2)的内心和外心之间的距离； (3)为定值，，理由见解析． 【分析】（）根据题意得，又四边形是圆内接四边形，则，再通过即可求解； （）连接，过作于点，过作于点，设与交于点，则，再通过垂径定理得，设半径为，则，又是的内心，则，通过，求出，最后由线段和差即可求解； （）连接，，，，，设与交于点，证明是等边三角形，，在中，由勾股定理得，求出，，然后根据圆内接四边形和邻补角定义得出，然后证明，最后根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵关于的对称点恰巧落在圆上， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，连接，过作于点，过作于点，设与交于点， ∵点、、在一条直线上， ∴， ∴，， ∴由勾股定理得：， 设半径为， 由勾股定理定理：， ∴， ∴， ∴， ∵是的内心， ∴， ∴， ∴， ∴的内心和外心之间的距离； （3）解：为定值，，理由， 如图，连接，，，，，设与交于点， 由（）得：， ∵是的内心， ∴平分， ∴， ∴， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴，，， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为定值，． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆内接四边形的性质，三角形的内心和外心，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 题型六 圆中的最值问题 【例6】如图，在边长为4的等边中，的半径为1，点P是边上的动点，过点P作的一条切线，Q为切点，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形的性质、切线的性质、勾股定理、垂线段最短等知识，连接，作于点F，由等边三角形的性质得，则，所以，由切线的性质得，则，可知当的值最小时则的值最小，所以当时，，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，作于点F，则， ∵是边长为4的等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵与相切于点Q，， ∴， ∴， ∴， ∵，且当的值最小时则的值最小， ∴当时，， 故选：B． 【变式6-1】如图，在中，，，，经过点且与边相切的动圆与分别相交于点，则线段长度的最小值是 ． 【答案】 【分析】设圆心为点F，圆F与的切点为D，连接、、，则有，由勾股定理可得，再由直角三角形的性质可得，又由，为圆F的直径，可得点F在直角三角形的斜边的高上时，有最小值，即为圆F的直径，再利用的面积即可求解． 【详解】解：如图，设圆心为点F，圆F与的切点为D，连接、、， ∵圆F与相切，， ， ∴为直径，点F是中点， ，， 又， ， ，为圆的直径， ∴当点在直角三角形的斜边的高上时，有最小值，即为圆的直径， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查切线的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形的三边关系及三角形的面积公式，根据题意可知当点F在直角三角形的斜边的高上时，有最小值是解题的关键． 【变式6-2】【阅读理解】①如图1，已知点P为等边外接圆的上任意一点．求证：； ②定义：在所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为的费马点，此时的值为的费马距离． 【方法探究】根据①的结论，我们有如下探寻（其中均小于）的费马点和费马距离的方法． （1）如图2，在的外部以为边长作等边及其外接圆，在上任取一点，连接、、、．根据①的结论，易知______，______；根据两点间线段最短，我们可以得到线段______的长度为的费马距离． （2）在图3中，作出的费马点P（要求尺规作图）．如果，的费马距离是______； 【问题解决】已知正方形，P是正方形内部一点，且的最小值为，求正方形的边长． 【答案】（阅读理解）见解析；（方法探究）（1），，；（2）；（问题解决）正方形的边长为2 【分析】（阅读理解）在上取一点E，使，连接，首先证明是等边三角形，进而证明，由全等三角形的性质可得，即可证明结论； （方法探究）（1）根据阅读理解中的结论，结合费马点和费马距离的定义，即可获得答案； （2）分别以点为圆心，以的长度的半径作弧，交于点，易知为等边三角形，再分别作的垂直平分线交于点，以点为圆心，的长度为半径作圆，连接交于点，连接，则点P为的费马点；根据题意易得，然后由勾股定理确定的值，即可确定的费马距离； （问题解决）将沿点B逆时针旋转到，过作，交的延长线于H，连接，易得是等边三角形，进而可知，结合的最小值为，可得的最小值为，即，，P，C在同一直线上，确；设正方形的边长为，在中，可知，，进而可得，，然后在中，由勾股定理得求得的值，即可获得答案． 【详解】解：（阅读理解）①证明：在上取一点E，使，连接， ∵三角形是等边三角形， ， 又， 是等边三角形， ， ， ∵， ∴， 又∵， ， ， ∴； （方法探究）（1） 在的外部以为边长作等边及其外接圆，在上任取一点，连接、、、．根据①的结论，易知，；根据两点间线段最短，我们可以得到线段的长度为的费马距离． 故答案为：，，； （2）分别以点为圆心，以的长度的半径作弧，交于点，则，易知为等边三角形，再分别作的垂直平分线交于点，以点为圆心，的长度为半径作圆，连接交于点，连接，则点P为的费马点，如下图所示： （方法不唯一） ∵，且为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 即的费马距离是； 故答案为：； （问题解决）将沿点B逆时针旋转到， 过作，交的延长线于H，连接， 由旋转的性质可得，，，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵的最小值为， ∴的最小值为， ∴，，P，C在同一直线上，即， 设正方形的边长为， ∵，， ， 在中，，，得，， 在中，由勾股定理得：， 解得，（舍去）， ∴正方形的边长为2． 【点睛】本题主要考查了费马点和费马距离、三角形和圆的综合应用、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 题型七 圆与特殊三角形结合 【例7】如图，点Q是圆O直径上一点，，且，动点P从A出发，逆时针沿运动一周，记面积为y，P点的运动路程为x，则对应的函数图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查切线的性质、圆的基本性质、二次函数与一次函数的图象与性质，熟练掌握切线的性质、圆的基本性质、二次函数与一次函数的图象与性质是解题的关键；通过分析点P在圆上逆时针运动过程中面积的变化情况，结合面积的最值以及面积变化的特点来判断函数图象． 【详解】解：由图可知：， ∴， 随着点P在圆上逆时针运动，则当点P与点C重合时，所以，但此时不是面积的最大值； 向下平移直线，得到直线，当与圆O相切于点H时，停止平移， 所以当点P运动到与H重合时，面积达到最大，如图所示，此时排除A、B选项； ∵的面积变化不是随点P的运动成一定确定速度变化的， ∴选项C符合题意； 故选C． 【变式7-1】如图，内接于直径为的圆，将弦顺时针旋转得到弦，且，若，则 ．    【答案】 【分析】连接并延长，与圆交于点，连接、，连接与交于点，根据旋转的性质得出，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据勾股定理求出和的值，根据在同圆中，等弧所对的圆周角相等以及平行线的判定和性质得出，根据相似三角形的判定和性质得出，，，根据线段的和差关系，列出方程求出的值，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：连接并延长，与圆交于点，连接、，连接与交于点，如图：    ∵将弦顺时针旋转得到弦， 故， ∵是直径， ∴， 在中，， 在中，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∵，，，， ∴，， ∴，， 设， 故，， 即，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 故， 解得， 即，， 在中，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的综合应用，勾股定理，相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，旋转的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【变式7-2】一般地，经过三角形的两个顶点且与该三角形的一条边相切的圆叫作这个三角形的“准接圆”．特别地，当“准接圆”还与该三角形的另一条边相切时，该圆叫作该三角形的“强准接圆”． 【概念理解】 （1）以下四个图中，是的准接圆的是（   ） A．    B．    C．    D． 【深入思考】 （2）以下命题：①任意三角形都存在准接圆；②三角形准接圆的圆心一定在该三角形的外部；③三角形准接圆的直径大于或等于以其经过的两个顶点为端点的边．其中，是真命题的是 （填序号） （3）如果一个三角形存在强准接圆，那么它应满足什么条件？说明理由． 【计算求解】 （4）已知在中，． ①若存在强准接圆，则强准接圆的半径长随着的变化而变化，关于的函数表达式是 ； ②当时，直接写出的准接圆的半径长． 【答案】（1）C；（2）①③；（3）等腰三角形，理由见解析；（4）①；②半径长为或2或或或或． 【分析】此题考查“准接圆”的定义，全等三角形的判定和性质，切线的性质，勾股定理等， （1）根据“准接圆”的定义直接判断即可； （2）根据“准接圆”的定义判断各选项； （3）结合题意画出图形，证明，推出，由此得到如果一个三角形存在强准接圆，那么为等腰三角形； （4）①如图，由（3）结论可知，由此得到四边形是正方形，即可得到； ②根据“准接圆”的定义，分六种情况，理由勾股定理分别求解． 【详解】解：（1）选项A经过三个顶点，不与边相切，不符合题意； 选项B与三边相切，但不经过定点，不符合题意； 选项C经过两个顶点，且与边相切，符合题意； 选项D与两边相切，但只经过定点C，不符合题意； 故答案为: C; （2）①根据定义可知任意三角形都存在准接圆，故①为真命题; ②如图，当“准接圆”与边的切点恰好为顶点时，此时圆心在三角形的边上，故②为假命题; 当“准接圆”与边的切点恰好为顶点时，此时圆心在三角形的边上，其直径等于以其经过的两个顶点为端点的边， 如图，此时为直径，， ， 此时满足三角形准接圆的直径大于以其经过的两个顶点为端点的边，故③正确； 故答案为：①③； （3）如果一个三角形存在强准接圆，则这个三角形为等腰三角形，理由如下： 如图，为的“强准接圆”， 连接， 根据题意可知， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （4）①如图，由（3）结论可知， ∵， ∴四边形是正方形， ∴； ②第一种情况：圆经过顶点B，C，且与边相切，此时； 第二种情况：圆经过顶点A，C，且与边相切，此时； 第三种情况，圆经过顶点B，C，且与边相切， 过点O作，交于点M，交于点N， 则，， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴； 第四种情况，圆经过顶点A，C，且与边相切， 过点O作，交于点M，交于点N， 则，， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴； 第五种情况，圆经过顶点A，B，且与边相切， 过点O作，交于点M， 则， ∴ 在中，， ∴， 解得； 第六种情况，圆经过顶点A，B，且与边相切， 过点O作，交于点M， 此时， ∴ 在中，， ∴， 解得； 综上，半径长为或2或或或或． 题型八 圆与特殊四边形结合 【例8】如图，是平行四边形，是的直径，点在上，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆的性质、等边三角形的判定与性质，平行四边形的性质，角的正弦值等知识，连接，作于点，由图可知，阴影部分的面积的面积，根据题目的条件和图形，可以求得的面积，从而可以解答本题． 【详解】解：连接，作于点， ∵是的直径，点在上，， ， 是等边三角形， ， 是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴是四个全等的等边三角形，边长均为2， ∵， ∴， ∵ ∴弓形的面积弓形的面积， 图中阴影部分的面积为等边三角形的面积， 即图中阴影部分的面积为， 故选：A． 【变式8-1】如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则的周长的最小值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了圆的性质、点的对称性、平行四边形的性质等，确定点M、N的位置是本题解题的关键． 由正方形的性质，知点C是点A关于的对称点，过点C作，且使，连接交于点N，取，连接，则点M、N为所求点，进而求解． 【详解】解：连接， 的面积为，则圆的半径为，则， 由正方形的性质，知点C是点A关于的对称点，， 过点C作，且使， ∴， 连接交于点N，取，连接，则点M、N为所求点， ∵，且，则四边形为平行四边形， 则， 故的周长为最小， 则， 则的周长的最小值为5+1＝6， 故答案为：6． 【变式8-2】如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点P从点A出发，沿对角线向点C以每秒的速度移动；同时点Q从点B出发，沿线段向点A以每秒的速度移动．P，Q两点有一点到达终点时全部停止移动．连接，设点P移动时间为t秒，回答下列问题： (1)当t为何值时，? (2)当t为何值时，以O，P，Q，B为顶点的四边形的面积等于? (3)以点Q为圆心，的长为半径作．在运动过程中，是否存在与矩形的对角线有三个公共点，若存在，请直接写出t的值或取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或； (3)或或． 【分析】本题综合考查矩形性质、相似三角形判定、面积计算及圆与直线的位置关系，解题的关键在于利用几何性质建立方程或不等式，结合分类讨论思想分析不同情境下的数量关系． （1）根据相似三角形对应边成比例构建关于的方程求解即可； （2）根据构建关于的方程求解即可； （3）根据⊙Q与对角线的位置关系进行分类讨论，以此确定的范围． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，，， ∴， 解得：； （2）如图，连接， ∵， ∴根据矩形的性质可得：， ∵， ∴， ，则， 解得：或； （3）如图，，为垂足； 当时，⊙Q与相切，⊙Q与矩形的对角线有三个公共点； 当时，⊙Q与矩形的对角线有四个公共点； 当时，⊙Q与矩形的对角线有三个公共点； 当时，⊙Q经过点O，⊙Q与矩形的对角线有二个公共点； 当时，⊙Q与矩形的对角线有三个公共点； 故存在⊙Q与矩形的对角线有三个公共点， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：， 作，为垂足； 同理可得，， ∵点Q的运动速度为每秒1 ， 当时，⊙Q与相切，⊙Q与矩形的对角线有三个公共点； 当时，⊙Q与矩形的对角线有三个公共点； 当时，⊙Q与矩形的对角线有三个公共点； ∴或或． 题型九 切线的判定 【例9】如图1，在中，为直径，为圆上一动点（不与重合），于点G，为上的一动点，延长交的延长线于点，连结． (1)若．求的度数． (2)若，，求的长． (3)如图2，若，，，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角、圆内接四边形对角互补、相似三角形的性质与判定，熟练掌握是解答本题的关键． （1）根据直径所对的圆周角是直角得，再利用同角的余角相等得到；再根据圆内接四边形对角互补得，进而得出，由此即可得出结论； （2）根据等角的补角相等得到，可证明，再利用相似的性质即可求得； （3）连结，，可得，进而可得，设，，，即有，再由垂径定理，得出，根据得到，由此求出，再根据即可求解． 【详解】（1）为直径， ， ． ， ， ， 又∵，， ∴， ∴． （2）四边形为圆的内接四边形， ． ，且由（1）得，． ． 又， ． ∴， ∴，， 又∴， ∴， ． （3）连结，． ∵是直径， ∴， ，， ∴， 设，则，，， ，即， ∴， ∵是直径，， ∴，， ， ， ， ， ，即， 解得：． ，即， 解得． ． 【变式9-1】黄金分割被广泛应用在建筑、艺术等领域，我国早在战国时期就已知道并能应用黄金分割． 【阅读观察】 材料1：黄金分割点的定义 如图2，若线段上的点满足，则点称作线段的黄金分割点，其中的比值称作黄金分割比，而的比值为，与互为倒数． 材料2：黄金分割点的作法（借助尺规作图可以用不同方法确定图2中线段的黄金分割点） 方法1：如图3， ①过点作； ②在直线上截取，连接； ③在上截取； ④在上截取． 点即为所求． 方法2：如图4， ①以为边作正方形； ②取中点，连接； ③以点为圆心，为半径作圆弧，与的延长线交于点； ④以为边在一侧作正方形，交于点，可得． 点即为所求． 【思考探究】 （1）说明图3中； （2）说明图4中． 【迁移拓展】 如图5，作圆内接正五边形： ①作的两条互相垂直的半径和，取的中点，连接； ②作的平分线，交于点； ③过点作的垂线，交于点，连接； ④截取，，连接． 五边形即为所求． （3）若，根据以上作法，证明：． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）见解析； 【分析】设，则，利用勾股定理可得：，所以，从而可得； 设正方形的边长为，利用勾股定理可以求出，根据正方形的性质可以求出，可得：，从而可得； 过点作，连接，可证，根据全等三角形的性质可以求出，利用勾股定理可得：，设，根据勾股定理可列方程，解方程即可求出，，利用勾股定理即可求出、，即可证明结论成立． 【详解】（1）证明：设， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：设正方形的边长为， 则，， 点是的中点， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， ，， ； （3）证明：如下图所示，过点作，连接， 平分， ， 、是的半径， ， 点是的中点， ， 在和中，， ， ， ， ， 在中，， 设，则， ， 解得：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，正方形的性质，圆内接正五边形，黄金分割点等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 【变式9-2】如图，在边长为6的正方形中，点E是边上的动点，连接，交对角线于点M． 以为直径的圆交于点F， 连接、． (1)和数量上有什么关系？说明理由； (2)将以为轴翻折得到(点N与点M对应)，的延长线交于G． ①求的最大值； ②设，用x的代数式表示，并写出x的取值范围． 【答案】(1)，理由见详解 (2)①②（） 【分析】（1）连接，结合正方形的性质及圆的基本性质，由可判定，由全等三角形的性质，即可得证； （2）①结合正方形的性质和旋转的性质，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，设，则，由二次函数的性质即可求解； ②由①得，由勾股定理得，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，求出，由可求出，当与重合时，，可求出，由的延长线交于G得在正方形的内部，即可求解． 【详解】（1）解：， 理由如下：连接， 四边形是正方形， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ； （2）解：如图， ①四边形是正方形， ， ， ， ， 由旋转得： ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 解得： ， ，， 当时， 取得最大值为； ②由①得 ， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， 解得：， 由旋转得 ， ， 当与重合时，， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， 的延长线交于G 在正方形的内部， ， 故：（）． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，圆的基本性质，二次函数的性质等；掌握正方形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 题型十 圆与相似结合 【例10】如图，已知一次函数的图象分别交x轴、y轴于点N，M，抛物线经过M，N两点，在第一象限内的抛物线上有一动点G，过G作轴于E，交于点F． (1)求此抛物线的解析式． (2)设点G的横坐标为n，以M，N，G为顶点的三角形面积为S，求S关于n的函数关系式，并求出S的最大值． (3)若F为线段的中点，H为线段上一点，以H为圆心，为半径作圆，当与y轴相切时，求点G的坐标． 【答案】(1) (2)，当时，S有最大值，为2 (3) 【分析】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用圆与y轴相切得出关于m的方程是解题关键；利用面积的和差得出二次函数是解题关键，又利用了二次函数的性质． （1）根据一次函数表达式可得M、N点坐标，根据待定系数法可得函数解析式； （2）连接，得，根据割补法表示面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案． （3）设，得出及，由相切，可得关于m的方程，根据解方程，可得m，可得G点坐标； 【详解】（1）解：在中，当时，； 当时； ∴，， 把，代入中，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）如图，连接， ∵点G的坐标为， ∴ ， ∴S关于n的函数关系式为； ∵， ∴当时，S有最大值，为2； （3）设， 则， ∴， ∵F为线段的中点， ∴， ∵以为半径的与y轴相切， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴G点的坐标为． 【变式10-1】如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)直接写出点的坐标 ；点的坐标 ；点的坐标 ； 直线的解析式为 ； (2)如图，过作交抛物线于，以为直径作圆，圆心为，圆与直线：交于抛物线对称轴右侧的点，点到直线的距离为，过作，垂足为，再过作，垂足为，求的值； (3)如图，为抛物线上一点，过作交抛物线于另一点，连接，并延长交于点，若点总在直线上运动，求的值． 【答案】(1)，，，； (2)； (3)． 【分析】（）由二次函数的性质即可出，，，然后设直线解析式为即可求解； （）过作于点，则，由（）得直线解析式为，则直线解析式为，求出，又是中点，故有，由勾股定理得：，则，然后代入； （）设解 析 式 为：，联 立 ，则， 同理，设解析式为，联立和联立，可得，解出； 本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数与二次函数的综合，勾股定理，圆的有关性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）由得，当时，即， 解得：，， ∴，， 当时，， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 故答案为：，，，； （2）如图，过作于点，则， 由（）得直线解析式为， ∵，， ∴直线解析式为， 联立：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是中点， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴，则， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴； （3）设解 析 式 为：， 联 立 ， ∴， 设解析式为， 联立， ∴ ， 设解析式为， 联立， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 联立，可得， ∴． 【变式10-2】如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，的顶点为P． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，已知抛物线，与的一个交点为D． ①判断抛物线是否过点C，并说明理由； ②是否存在，使得以为直径的圆过点P，若存在求出t的值，若不存在说明理由； ③记的面积为S，若对任意的正实数t均成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)①抛物线过点C  ②存在，   ③ 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）①把 代入即可； ②求出的顶点的坐标，然后解和联立的方程组得到点D的坐标，根据勾股定理得到，列式计算即可求解； ③求出直线的解析式，过作轴，交于点，可得点的坐标，然后得到即可得到的取值范围. 【详解】（1）解：把，代入得： ，解得， ∴抛物线的解析式为， （2）①解：抛物线过点C，理由为： 当代入得：， ∴抛物线过点； ②∵， ∴点P的坐标为， 解方程组得，， ∴点D的坐标为， 假设以为直径的圆过点P， 则， ∴， ∴， 整理得， 解得(舍去)，， ∴当时，使得以为直径的圆过点P； ③设直线的解析式为，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， 过点作轴交于点Q，则Q点的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的最值，作辅助线是解题的关键． 题型十一 圆与二次函数结合 【例11】如图，平面直角坐标系中，，直线交y轴、x轴于A、B两点，P为直线上一动点． (1)求证：以为直径的圆过定点，并求定点坐标； (2)记（1）中的定点为D，把绕点Q顺时针旋转，得到射线交x轴于E，作于，求的最小值． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】（1）连接，先求出，，，，从而可得，，即，取的中点，连接，则，即可推出以为直径的圆过定点，再由中点坐标公式计算即可得解； （2）先求出，由旋转的性质可得，从而得出，即，过点作轴，交轴于，过作于，证明，得出，设，则，求出，即可得出，从而得出点在直线上，进而可得的最小值即是点到直线的距离，过点作轴于，解直角三角形得出，再求出的长即可得解． 【详解】（1）证明：如图，连接， 在直线中，当时，， 解得， ∴，， 当时，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 取的中点，连接，则， ∴以为直径的圆过定点， ∵，， ∴定点； （2）解：由（1）可得，，， ∴， ∴, ∴， ∵把绕点Q顺时针旋转，得到射线交x轴于E， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作轴，交轴于，过作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴点在直线上， ∴的最小值即是点到直线的距离，如图，过点作轴于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【变式11-1】如图①，已知是的直径，是圆上异于，的任一点，连接，，点是半径的中点，点是的中点，连接，． (1)求证：． (2)若，求的半径长． (3)如图②，连接，交于点，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，过点作于点，推出，得到，推出是的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质即可得证； （2）由点是的中点，，推出，得到为等边三角形，推出，再根据三角形的外角性质得到，进而得到，求出，，即可求出圆的半径； （3）取的中点，连接，作于点，根据三角形的中位线定理以及题意可证明，得到，，设，，，都为正数，则，，，，，，根据勾股定理得到，解得，则，最后根据即可求解． 【详解】（1）解：如图①，连接，过点作于点，                   是的直径， ，即， 点是的中点， ， ， 点是半径的中点， ， ， 是的垂直平分线， ； （2） ，点是的中点， ，， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ，， ∵点是半径的中点， ∴， ∴ 的半径长为； （3）如图②，取的中点，连接，作于点， 点是的中点，点是的中点，点是半径的中点， 是的中位线，， ，， ，， ， ，， 设，，，都为正数，则，，，，，， ， ， 解得， ， ． 【点睛】本题考查了圆与三角形的综合，三角函数，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，线段垂直平分线的性质，解直角三角形，掌握相关知识是解题的关键． 【变式11-2】如图1，在矩形中，． (1)用无刻度的直尺和圆规作图：在图1中，先在边上确定点E，连接使得．再在边上确定点F，使得以F为圆心的圆经过点E和点C； (2)在（1）的条件下，连接．若，且，则的半径为________； (3)在（1）的条件下，连接． ①延长，相交于点G．若点G恰好在上，求的值； ②取的中点M，连接，与相交于点N．当时，求的正弦值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；② 【分析】（1）以点B为圆心，为半径画弧，交于点E，连接，作线段的垂直平分线，交于点F，以F为圆心，为半径作圆即可； （2）根据题意，的半径为，则，结合，结合，解答即可； （3）①根据三角形全等性质，等腰三角形的性质，证明，设，则，，，根据解答即可； ②设，，根据题意，得，，根据勾股定理，得，确定，建立等式，解答即可． 本题考查了矩形的性质，圆的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：以点B为圆心，为半径画弧，交于点E，连接，作线段的垂直平分线，交于点F，以F为圆心，为半径作圆， 则点E，即为所求． （2）解：由矩形，， ∴，， 设的半径为，则， ∵， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴的半径为， 故答案为：． （3）①解：设，的交点为H， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∵矩形， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②解：设，， 根据题意，得，， 根据勾股定理，得， ∵的中点M， ∴， 设，的交点为H， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 根据勾股定理，得， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：． 题型十二 圆与三角函数结合 【例12】如图1，中，，，点从点出发沿边以的速度向点移动，移动过程中始终保持，（点分别在上）．设点移动的时间为秒． (1)的长为______________（用含的代数式表示）； (2)如图2，连接，点是的中点，连接，探究：的面积是否是定值？若是，求出这个值，若不是，说明理由； (3)如图3，移动过程中，以为直径作，当与的其中一条边相切时，直接写出所有符合条件的的值为___________． 【答案】(1) (2) (3)或3或4 【分析】（1）根据题意可得的长，进而得到的长，再证明，即可得到的长； （2）取的中点G，连接，证明四边形是平行四边形，得到点是的中点，则可证明为的中位线，得到，则点O到直线的距离等于线段的长，即为，据此可得答案； （3）分三种情况：当与边相切时，当与边相切时，当与边相切时，利用圆的切线的性质、相似三角形的判定与性质求解即可得． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，取的中点G，连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵点是的中点， ∴点是的中点， 又∵点G是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴点O到直线的距离等于线段的长，即为， ∴； （3）解：如图3-1所示，当与边相切时，设切点为M，连接交于G， 由切线的性质可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 如图3-1所示，过点O作于H，则四边形是矩形， ∴， 由（1）可得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（，此时点D与点B重合，舍去）， ∴， ∴； 如图3-2所示，当与边相切时，则点为切点， ∴， 又∵，即， ∴ ∴（点O到直线的距离为）， ∴， ∴； 如图3-3所示，当与边相切时，则点为切点， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， 综上，的值为或3或4． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、一元二次方程的应用、切线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的判定与性质等知识，较难的是题（3），正确分三种情况讨论是解题关键． 【变式12-1】在中，，动点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点Q从点A出发，沿方匀速运动，速度为，连接，将沿翻折，得．设运动时间为t（s）（）．解答下列问题： (1)当四边形为菱形时，求t的值； (2)连接，，设的面积为S（），求S与t的函数关系式； (3)是否存在某一时刻t，以E为圆心为半径作圆E，使得圆E与相切？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)不存在，理由见解析． 【分析】本题考查的是菱形的性质、解直角三角形、直线和圆的位置关系及列函数关系式， （1）根据菱形性质得出，根据列方程解出即可； （2）过E点作于F，先求出，根据求出，进而列出关系式； （3）假设存在，过点E做于点M，得出，求出，当圆E与相切时，，进而列方程解决． 【详解】（1）解：当四边形为菱形时，连接交于点O， 则， 在中，， ， 由题意得， ∴， ∴ ∴，即， 解得：； （2）解：过E点作于F，由轴对称得：垂直平分， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：假设存在，过点E做于点M，由题意得：四边形为矩形， ∴ 在中，， ∴， 当圆E与相切时，， ∴， 解得， ∵， ∴不存在以E为圆心为半径的圆E与相切． 【变式12-2】如图，在四边形中，，对角线平分．点P是边上一动点，它从点B出发，向点A移动，移动速度为；点Q是上一动点，它从点A出发，向点C移动，移动速度为．设点P，Q同时出发，移动时间为（）．连接，以为直径作． (1)求的长． (2)当t为何值时，与相切？ (3)当t为何值时，线段被截得的线段长恰好等于的半径？ (4)当t为_______时，圆心O到直线的距离最短，最短距离为_______．（直接写出结果） 【答案】(1) (2) (3)或 (4)， 【分析】（1）过点作于点，根据矩形的判定和性质，含角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解； （2）当与相切时，，求出、，用含的式子表示出，即可求解； （3）分两种情况画出图形，根据直角三角形的性质用含的式子表示出，即可求解； （4）过圆心作于点，则的长为到的距离，延长交于点，过点作于点，根据矩形的判定和性质，相似三角形判定和性质，得出用表示的式子，根据的取值范围以及一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：过点D作于点M，如图1， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ，解得（负值舍去）， 平分，， ， ； （2）当与相切时，，如图2， 由题意得：， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 时，与相切； （3）第一种情况：如图3，当时满足条件， 在中， ， ， ， 过作交于， 则， ， ， 即，解得； 第二种情况：如图4，当时满足条件， 在中，， 又， ， ， 即，解得； 综上，或； （4）如图5，过圆心O作于点H，则的长为O到的距离，延长交于点K，过点Q作于点R， 则四边形是矩形，， ， ∵， ， ， ， ， 点O是的中点， ， ， ， 当时，有最小值，最小值为． 故答案为：，． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质，勾股定理的逆定理，切线的判定，直角三角形的性质，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，解题时注意分类思想的运用． 题型十三 圆中的动点求t 【例13】如图，在中，，，D是边上一点，以为直径作，交边于点E，交边于点F，E是的中点． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆的切线的判定和性质，圆周角和弧的关系，平行线的判定和性质，扇形、直角三角形的性质、勾股定理的知识，解题的关键是熟练掌握切线、圆周角、直角三角形的性质、扇形面积公式，从而完成求解． （1）连接，根据弧和圆周角的关系得出相等的角，证明，得出即可得出结论； （2）作交于H，根据直角三角形的性质以及角所对的直角边等于斜边的一半，求出相关角的度数以及线段长度，利用勾股定理求出，然后利用三角形等面积和扇形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， 是的中点， ， ， ， ， ， ， 又是的半径 是的切线； （2）解：由（1）知，， 又， 中，， 如图所示，作交于H， ， 中，， ， ，， ， ． 【变式13-1】如图，在中，，平分交于点，点在上，且，以点为圆心，长为半径画． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的直径． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】此题主要考查了角平分定理、等边对等角、圆切线的判定及勾股定理等知识，正确把握切线的判定定理是解题关键． （1）由角平分线定理得，又，可得，结合即可证明即可证明； （2）在中，利用勾股定理求出半径，进而得到的直径． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ， ， ， ，且为的半径， 直线是的切线． （2）解：由（1）得，，为的半径， 在中，由勾股定理， 的直径为8． 【变式13-2】如图，已知是⊙的直径，射线交⊙于点，是劣弧上一点，且，过点作于点，延长交的延长线于点，连接． (1)求证：是⊙的切线； (2)若的面积为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查了圆周角定理、圆的切线的判定、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握圆周角定理和圆的切线的判定是解题关键． （1）先根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的性质可得，再证出，则可得，然后根据圆的切线的判定即可得证； （2）先根据三角形的面积公式可得的长，再在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）证明：， ． ， ， ， ∴． ∵， ∴． 又是的半径， ∴是的切线． （2）解：由（1）已得：， ∴， ∵的面积为，， ∴， ∴， ∴在中，． 题型十四 圆中的新定义问题——几何 【例14】【定义】数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”． 【理解】 （1）如图①，点A、B是上两点，请在圆上找出满足条件的点C，使为“智慧三角形”．（画出点C的位置，保留作图痕迹） （2）如图②，在正方形中，E是的中点，F是上一点，且，试判断是否为“智慧三角形”，并说明理由． 【运用】 （3）如图③，在平面直角坐标系中，的半径为1，Q是直线上的一点，若上存在一点P，使得为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点P的坐标． 【答案】（1）见解析；（2）是“智慧三角形”，理由见解析；（3）存在，点P的坐标为或 ． 【分析】（1）连结并且延长交圆于，连结并且延长交圆于，即可求解； （2）设正方形的边长为，表示出、以及、的长，然后根据勾股定理列式表示出、、，再根据勾股定理逆定理判定是直角三角形，由直角三角形的性质可得为“智慧三角形”； （3）根据“智慧三角形”的定义可得为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为，根据勾股定理可求另一条直角边，再根据三角形面积可求斜边的高，即点P的横坐标，再根据勾股定理可求点P的纵坐标，从而求解． 【详解】解：（1）如图1所示： ∵是直径， ∴，， ∴为“智慧三角形”， 同理为“智慧三角形”； （2）是“智慧三角形”， 理由如下：设正方形的边长为， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∴是直角三角形， ∵斜边上的中线等于的一半， ∴为“智慧三角形”； （3）如图3所示： 由“智慧三角形”的定义可得为直角三角形， 根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值， 由垂线段最短可得斜边最短为3， 由勾股定理可得， ∵，即， ∴， 由勾股定理可求得， 故点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了切线的性质，正方形的性质，勾股定理的应用，勾股定理逆定理的应用，用正方形的边长表示出的各边的平方，熟练掌握“智慧三角形”的定义是解题的关键． 【变式14-1】定义：若一个圆的内接三角形的内心关于这个三角形一条边的对称点恰好在该圆上，则称这个三角形为该圆的“梦之三角形”． (1)如图1，等边为的内接三角形，过点O做交于点D，交于点E，判断________（填“是”或“不是”） 的“梦之三角形”，请说明理由； (2)如图2，已知是的“梦之三角形”，其内心I关于的对称点F在上，若，求的半径； (3)如图3，已知的半径为，弦，点A在上，若为的“梦之三角形”，求的长度． 【答案】(1)是，见解析 (2) (3)或或 【分析】（1）连接，根据等边三角形的性质和圆周角定理求出，根据含角的直角三角形的性质得出，结合得出，然后根据“梦之三角形”的定义即可得证； （2）解：如图，连接，根据内心的性质得出，，根据轴对称得出，，则，，根据圆内接四边形的性质得出，则可求出 ，则，连接，过点作于点，由垂径定理得出，根据含角的直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，然后结合已知求解即可； （3）先判断，然后分和两种情况讨论，根据圆周角定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理等，并结合（2）中求解即可． 【详解】（1）解：是． 理由：如图，连接，， 为的内接等边三角形， ，点为的内心即外心， ， ，且， ， ， ， ， ， 等边的内心关于的对称点在上， 是的“梦之三角形”． （2）解：如图，连接， 设， 是的内心， 平分，平分， ， 点和点关于对称， ， ， ， 即， ， ， ； 连接，过点作于点， 则， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 即的半径为． （3）解：由（2）知若为的“梦之三角形”，则必有一个角为， 若，如图，连接，， 可知， ， 因此，． 分两种情况进行讨论： ①当时，当在优弧上时，如图，连接，， ， ， 过作于点， ， ， ， 在中，， ； 当在劣弧上时，过作，此时，， ； ②当时， 此时为对边， 如图，当在优弧上时，连接，， 可知， ， ； 当在劣弧上时，同理可求， 综上，可能的值为或或． 【点睛】本题考查了三角形的内心，圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论是解题的关键． 【变式14-2】定义：若四边形的一条对角线平分一个内角，我们将此对角线称为“唯美线”，这样的四边形称为“唯美四边形”，如图，四边形中，平分，则为四边形的“唯美线”．利用上述知识解答下列问题． [问题发现]（1）如图①，若，求的最小值； [深度探究]（2）如图②，连接对角线，若平分，且，求的度数； [拓展延伸]（3）若四边形为唯美四边形，，平分，与相交于点，则当为等腰三角形时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）4；（2）；（3）4或 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，角平分线的定义、性质与判定，四点共圆的判定，勾股定理等，熟练掌握相关知识点，能结合图形做出适当的辅助线，能推出四点共圆是解题的关键； （1）过点P作于D，交延长线于点E，先确定的最小值为，再利用矩形的判定与性质，勾股定理求解； （2）先利用角平分线的定义和三角形的外角知识推出，再利用角平分线的性质和判定，推出平分，再求解即可； （3）根据为等腰三角形时，分或或讨论，利用，，推出四点共圆，再利用圆周角定理，勾股定理求解，综合可得结果； 【详解】（1）如图①，过点P作于D，交延长线于点E， 则， ， 当A与E重合，C与D重合时，有最小值； ， ， 四边形是矩形， ， 平分， ， ， ， 由勾股定理得， ，解得， ， 的最小值为4． （2）平分， ， 平分， ， 又，， ， ， ， 如图2，过点P作于E，于F，交延长线于G， 平分， ， 同理可证， ， 平分， ，， ． （3）当为等腰三角形时，或或， 点O在上，， 当时，如图③， 平分，， ， 又， 四点共圆， ， ， ， ， ， ； 当时，如图④，过点A作于M， 同理可证四点共圆， ， ， ， ， ， ， 在中，设， ， ， 在中，， ， ， ， 由解得， ， 综上可知，线段的长为4或． 题型十五 圆中的新定义问题——函数 【例15】在平面直角坐标系中，对于点A和给出如下定义：若过点A可以作的两条切线，（切点分别为B，C），且，则称点A是的完美点． (1)如图，的半径为1． ①在点，，中，点________是的完美点； ②直线上存在的完美点，求m的取值范围； (2)已知点，，，经过原点，若线段上存在的完美点，直接写出t的取值． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】（1）①求出的长即可求解； ②先确定以O为圆心，为半径作圆，则该圆上的点都是的完美点，得出，将代入整理得：，令即可求解； （2）由的半径为t，设点T到的完美点的距离为d，得到，令点K的坐标为,,得到，即可求解． 【详解】（1）解：①如图，当时，则， 连接， 则， ∵， ∴， 故点是的完美点； ②以O为圆心，为半径作圆，则该圆上的点都是的完美点， ∴， 将代入得：， 整理得：， 令，得， 解得：， 所以直线上存在的完美点时，m的取值范围为； （2）由题意得，的半径为t， 设点T到的完美点的距离为d， 由①可得，， ∴， ∴， 令在线段上的完美点为点K，并设它的坐标为,, ∵，，， ∴， ∵, ∴或． 【点睛】本题考查了圆的切线有关的性质，涉及到了新定义问题，解题关键是理解题目意思，将其转化为数学问题，本题计算较麻烦，属于压轴题，考查了学生综合分析与计算的能力． 【变式15-1】在平面直角坐标系中，已知点，直线过点且垂直于轴，点关于直线的对称点为点．对于坐标平面内的点和图形做如下定义：若上存在点使是以为直角顶点的等腰直角三角形，则称点是关于和图形的“对垂点”． 已知正方形的顶点． (1)若，下列点中，_____（填序号）点是M关于和A的“对垂点” ①  ②  ③  ④ (2)若，以点为圆心，2为半径的圆上存在是关于和线段的“对垂点”，则的取值范围是_____ (3)直线上存在两个关于和正方形的“对垂点”，则的取值范围是_____    【答案】(1)①④ (2) (3) 【分析】（1）根据新定义直接画出符合条件的图象即可； （2）分析圆与点N轨迹的临界条件即可解决； （3）正确理解题目的存在性以及轨迹的动态问题即可找出两个临界从而解决问题． 【详解】（1）解：如图，以点为直角顶点作等腰直角三角形， 可得与， 此时点E坐标为， 点R坐标为， 故答案为：①④．    （2）解：如图，连接、，过点A作且， 连接，过点B作且， 连接、，过点作交于点J，过点F作交于点K，   ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ，，，， 与为等腰直角三角形， ，，， ， ， 为点N轨迹，当圆与线段相切时，存在等腰直角，此时 点N是M关于l和线段的“对垂点”， ，，过点F作，有， ， ， ， 当圆往下平移至圆心与M点重合时，      此时点N与点E重合，t为最小值，， 综上所述，， 故答案为：． （3）解：如图，连接、、、，过点A作且，过点B作且，过点C作且，过点D作且，过点H作交于点J，过点G作交直线于点Q，过点作交直线于点U，取与交点为点V，连接、、、，    容易证得，，，， 即点N轨迹为正方形， 又，， 正方形在直线上运动， 当正方形平移至点E在直线上时，只存在一个“对垂点”，如下图，    此时点N坐标为，，， 当正方形继续向下平移直到点G与点重合时，此时只存在一个“对垂点”，如下图，    此时，， 综上所述，， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形与相似三角形，动点与轨迹问题，勾股定理，圆的性质等知识点，准确找到主动点与从动点的几何关系并且构造相似从而找出从动点轨迹是解题的关键． 【变式15-2】综合与实践 在初中数学的学习过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有的经验，对下列问题进行研究． 【概念认识】 在平面直角坐标系中，图形上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为．对于点和图形给出如下定义：点是图形上任意一点，若，两点间的距离有最小值，且最小值恰好为，则称点为图形的“奇妙点”． 【概念理解】 （1）如图1，图形是矩形，其中点的坐标为，点的坐标为，则___________，在点 ，，，中，矩形的“奇妙点”是___________； 【灵活运用】 （2）如图2，图形是中心在原点的正方形，其中点的坐标为．若直线上存在点，使点为正方形的“奇妙点”．求的取值范围； （3）已知点，图形是以为圆心，1为半径的．若线段上存在点，使点为的“奇妙点”，直接写出的取值范围． 【答案】（1），；（2）；（3）或 【分析】本题考查了圆的综合应用，弄清定义，能够根据定义，结合矩形的性质，正方形的性质，圆的性质，数形结合是解题的关键． （1）根据所给的定义，对每一个点进行判断即可； （2）由题意可得，过点作垂直直线，交于点，当时，，则时，直线，上存在点，使点为正方形的“奇妙点”； （3）由题意可得，当点在轴负半轴上时，过点作交于点L，交圆于点K，当时，由相似三角形的性质求得，此时，则；当点在轴正半轴上时，当时，此时，则时，线段上存在点，使点为的“奇妙点”． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴， ∴任意两点的距离最值为或， ∴， ∴； 已知，， ∴，到的距离为：，，， ∴矩形的奇妙点是，； 故答案为：，，； （2）∵，四边形是正方形， ∴，， 过点作垂直直线，交于点， 当时，，， ∴， ∴时直线上存在点使为正方形的奇妙点； （3）∵的圆心为半径为， ∴； 当点在轴负半轴上时，过点作交于，交于，交轴于，如图，    当时，， ∵，， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∵，， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，此时， 当时，， ∴， ∴时，线段上存在点，使点为的“奇妙点”， 当点在轴正半轴上时，如图，    当时，点为的“奇妙点”，此时； 当时，， 解得：（负值舍去）， ∴时，线段上存在点，使点为的“奇妙点”， 综上，当或，线段上存在点，使点为的“奇妙点”． 题型十六 无刻度尺作图 【例16】图①、图②、图③均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，为的弦，点、、均在格点上．仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，并保留作图痕迹． (1)在图①中，以为边画的内接正方形； (2)在图②中，作，点在圆周上，且为格点； (3)在图③中，过点作的切线． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题考查了尺规作图、圆的基本性质、切线以及勾股定理： （1）先连接，连接，并延长交于点，连接，因为都是半径，所以，同理，连接并延长交于点，连接，连接，此时就是的内接正方形； （2）连接，连接，并延长交于点，根据直径所对的圆周角是直角，构造等腰直角三角形即可得到； （3）连接，作，则是的切线． 【详解】（1） （2） （3） 【变式16-1】如图所示的是由8×8个小正方形构成的网格图，每个小正方形的顶点称为格点，⊙P经过A，B，C三个格点．已知直径AC，请仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（保留画图痕迹，不写画法）． (1)在图①中，画出的切线； (2)在图②中，画出的弦，使A为的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用切线的性质即可作图； （2）利用垂径定理即可作图． 【详解】（1）解：如图①，过点作的垂线，直线即为所求． 理由是：经过半径的外端并且垂直于半径的直线为圆的切线． （2）解：如图②，过点作交于点，线段即为所求． 理由如下：为⊙P的直径，， 点为的中点． 【点睛】本题考查了圆的作图题，掌握切线的性质及垂径定理是解题的关键． 【变式16-2】如图，由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，且每个小正方形的边长为1．经过，，三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．（保留作图痕迹） (1)在图1中，作中的角平分线； (2)在图2中，找到一个点，使得到三条边、、的距离相等； (3)在图3中，作以为直径的的切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题考查等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、切线的判定等知识，准确作图是关键． （1）构造为腰的等腰三角形，利用等腰三角形三线合一作图即可； （2）按照（1）构造的角平分线，再利用网格构造的角平分线，交点即为所求； （3）构造，得到，则，则，根据切线的判定即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，点即为所求， （3）如图，即为所求， 基础巩固通关测 1．已知直线和相交，的半径为2，则圆心到的距离的值可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系；解决此类问题可通过比较圆心到直线距离与圆半径大小关系完成判定． 根据直线和圆相交，则圆心到直线的距离小于圆的半径，得． 【详解】解： 的半径 ，直线 l 与 相交， 圆心到直线的距离 ，即 ． 选项中只有 A．，故的值可以是1． 故选：A． 2．怀仁市，因晋王李克用与辽太祖耶律阿保机会盟于云州东城，易袍马约为兄弟，取怀想仁人及《论语》“怀德里仁”之意而命名．如图是以“仁”设计的艺术字，若将“仁”字每一笔画抽象为直线，背景抽象为圆，则图中直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，熟记直线与圆的位置关系是解决问题的关键 通过观察发现，“仁”字每一笔画所在直线与背景圆均有公共点，由直线与圆的位置关系直接判断即可得到答案． 【详解】解：通过观察发现，“仁”字每一笔画所在直线与背景圆均有公共点，则图中直线与圆的位置关系是相交， 故选：A． 3．如图，四边形内接于．过点作的切线，交的延长线于点，连接．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的切线性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及圆周角定理．连接、，根据切线的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据平行线的性质得到，根据圆周角定理即可得到结论． 【详解】如图，连接，， 是的切线，切点为C， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 4．如图1是一款雪人毛绒玩具，其头部的示意图如图2所示，点表示鼻子，帽子与雪人头部的交点分别为点，，连接，，，已知经过圆心，与相切于点，．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查切线的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理求出的度数，切线的性质，结合的角的和差关系求出的度数，等边对等角即可得到的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选D． 5．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，与x轴，y轴都相切，且经过矩形的顶点C，与相交于点D，若的半径为3，点B的坐标是，则点D的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了切线的性质，矩形的判定和性质，垂径定理等，连接，设与y轴的切点为F，与x轴的切点为E，连接并延长与交于点G，连接，可得四边形、四边形和四边形都是矩形，即得，进而得到，即得，即得到，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，设与y轴的切点为F，与x轴的切点为E，连接并延长，与交于点G，连接， 则， ， ， 四边形是矩形， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形和四边形是矩形， ， ， ， ， 半径为3， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 6．圆的半径是，如果圆心与直线上某一点的距离是，那么该直线和圆的位置关系是 ． 【答案】相交或相切 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系．设圆心到直线的距离为，圆的半径为．当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交．反之亦然．熟练掌握是解题的关键． 圆心到直线上某一点的距离为，表明圆心到直线的距离可能小于或等于，结合圆的半径，判断直线与圆的位置关系． 【详解】∵圆的半径，圆心到直线上某一点的距离为， ∴圆心到直线的距离d满足， ∴， ∴直线和圆的位置关系是相交或相切． 故答案为：相交或相切． 7．如图，是的直径，点在的延长线上，是的切线，为切点，连结，，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了切线的性质，等边对等角，三角形的外角性质，三角形内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 由是的切线，则有，根据等边对等角得，所以，最后通过三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．如图，中，，，，是的内切圆，切点分别为、、，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是勾股定理、切线长定理，解题关键是熟练掌握切线长定理． 由勾股定理求出，再由切线长定理得出，，，设，根据题意构建方程即可求解． 【详解】解：中，，，， ， 是的内切圆，切点分别为、、， ，，， 设， 则，， 又， ， 解得， 即． 故答案为：． 9．如图，P是外一点，分别和相切于点A、B，点C是弧上任意一点，过点C作的切线分别交于点D、E，若，则的周长为 ．    【答案】40 【分析】本题考查切长定理，根据题中所给的条件及切线长定理将的周长转化为与的和是解题的关键．由分别和⊙O相切于点A、B，得；因为过C作⊙O的切线分别交于点D、E，所以，，所以，即可求出的周长． 【详解】解：∵分别⊙O相切于点A、B，且， ∴， ∵过C作⊙O的切线分别交于点D、E， ∴，， ∴， ∴的周长为40． 故答案为：40． 10．如图，的内切圆（圆心为）与各边分别相切于点，连接．以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交于两点；分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线．有下列结论：①垂直平分；②；③．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①③ 【分析】本题主要考查了尺规作角平分线，内心的性质，切线长定理，正方形的判定与性质． 延长交于点H，连接，根据尺规作图的过程可知平分，再根据的内切圆（圆心为）与各边分别相切于点，可得，由等腰三角形三线合一可判断①③；由直角三角形的性质可得，结合可判断②． 【详解】解：延长交于点H，连接， 由作图过程可知平分，则， ∵的内切圆（圆心为）与各边分别相切于点， ∴，， ∴是等腰三角形， ∴垂直平分，即垂直平分，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴，故②错误； 则正确的结论有①③． 故答案为：①③． 11．在中，，以点为圆心，为半径画，根据下列条件，分别求出的取值范围． (1)边与相离； (2)边与相切； (3)边与相交． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定． （1）过作于，根据勾股定理得到，再根据三角形的面积公式得到的长，然后根据圆心到的距离与半径的关系即可得到结论； （2）解法同（1），边与相切时，； （3）解法同（1），边与相交时，． 【详解】（1）解：如图，过作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴直线与相离，则的取值范围是； （2）解：直线与相切，则的值是； （3）解：直线与相交，则的取值范围是． 12．如图，是的直径，是上一点，连接、，是的切线，切点为，，、的延长线相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，记的半径，求证：． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)证明过程见详解 【分析】（1）如图所示（见详解），连接，是的直径，是的切线，即，根据，，可证，则有，由此即可求证； （2）是的直径，可知，由（1）可知，由此可求出，从而证明，且，由此即可求证． 【详解】（1）证明：连接， 是的切线， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 是的半径， 是的切线． （2）证明：是圆的切线， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握圆的基本知识，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 13．如图，在坐标系中，、、． (1)经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为______； (2)这个圆的半径长为______； (3)直接判断点与的位置关系，点在______．（填内、外、上） (4)E是图中某一格点，连接，若是的切线，则E点有______个． 【答案】(1) (2) (3)外 (4)4 【分析】本题主要考查圆心的确定，垂直平分线的性质，勾股定理与网格等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据圆心到弧上各点距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，作线段的垂直平分线的交点即为圆心； （2）运用勾股定理与网格，结合图形求解即可； （3）运用勾股定理与网格得到，再与圆的半径比较即可； （4）根据切线的定义，作图判定即可． 【详解】（1）解：如图所示， ∴； （2）解：， ∴这个圆的半径长为； （3）解：， ∵， ∴点在外， 故答案为：外； （4）解：如图所示，连接，过点作的垂线， ∴点均为图中网格点，符合题意， ∴该图中有4个， 故答案为：4． 14．如图，中，为弦，半径，弦交于E． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质． （1）垂径定理得到，得到，再结合，即可得证； （2）根据，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵半径， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ， ∴， ， ∴． 15．如图，是的弦，点C为半径的中点，过点C作交弦于点E，连接，且． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的直径． 【答案】(1)与相切，理由见解析 (2)32 【分析】本题考查了圆的切线的判定，勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）连接，根据等腰三角形得到，再由得到，即可等量代换求证； （2）连接，由正切可设，根据勾股定理得，则，那么由中点可得，，再由勾股定理得到，即可建立方程求解． 【详解】（1）解：与相切，理由如下： 证明：连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）解：如图，连接． ∵， 设， 根据勾股定理得，， ∵， ∴， ∵点C为半径的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 解得或0（舍去）， ∴直径为． 能力提升进阶练 1．（24-25九年级上·江苏泰州·月考）如图，菱形的顶点，，在⊙O上，过点作⊙O的切线交的延长线于点．若⊙O的直径为4，则的长为（　　） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据切线的性质定理得到，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到为等边三角形，得到，根据直角三角形的性质、勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：如图，连接， 是⊙O的切线， ， 四边形为菱形， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 由勾股定理得，． 故选：D． 【点睛】本题考查的是切线的性质、菱形的性质、等边三角形的判定和性质，勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 2．（2010·湖北荆门·中考真题）如图，是的直径，，点A在上，，为的中点，是直径上一动点，则的最小值为（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】此题考查了最短路线问题，勾股定理，圆周角、圆心角之间的关系，找出的值最小时点所在的位置是解答本题的关键． 作点关于的对称点，连接交于点，此时的值最小，且等于的长，连接，得到，根据勾股定理求出的值即可得到答案． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，此时的值最小，且等于的长，连接， ∵ ， ∴． ∵为的中点， ∴ ． 又∵点与点关于对称， ∴ ， ∴． 又∵ ， 根据勾股定理得，即的最小值为． 故选：B. 3．（2025·山东滨州·中考真题）如图，E、F、G、H四点分别在正方形的四条边上，．若，，则的内切圆半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形内切圆的性质，掌握相关知识点是解题关键．根据正方形的性质证明全等，得到，设，利用勾股定理求出，，令的内切圆圆心为，连接、、，过点分别作、、的垂线，垂足分别为、、，根据内切圆的性质得到，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：正方形ABCD， ，， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ，， 令的内切圆圆心为，连接、、，过点分别作、、的垂线，垂足分别为、、， 内切于， ， ， ， ， 解得：，即的内切圆半径为2， 故选：B． 4．（2025·福建·中考真题）如图，与相切于点A，的延长线交于点C．，且交于点B．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查切线的性质，等边三角形的判定和性质，连接，，切线得到，求出，平行，得到，进而得到为等边三角形，推出为等边三角形，即可得出结果． 【详解】连接，，则：， ∵与相切于点A， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 故选C． 5．（2023·广东广州·中考真题）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，若的半径为r，，则的值和的大小分别为（    ） A．2r， B．0， C．2r， D．0， 【答案】D 【分析】如图，连接．利用切线长定理，圆周角定理，切线的性质解决问题即可． 【详解】解：如图，连接． ∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，圆周角定理，切线的性质等知识，解题的关键是掌握切线的性质，属于中考常考题型． 6．（19-20九年级上·江西赣州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，半径为1的的圆心从点（点在直线上）出发以每秒个单位长度的速度沿射线运动，设点运动的时间为秒，则当 时，与坐标轴相切． 【答案】1或3或5 【分析】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理．设与坐标轴的切点为，根据已知条件得到，，，求得，，，证明出是等腰直角三角形，，然后分三种情况进行讨论：①当与轴相切时，②如图，与轴和轴都相切时，③当点只与轴相切时． 【详解】解：设与坐标轴的切点为， 直线与轴、轴分别交于点、，点， 时，， 时，， 时，， ，，， 根据勾股定理：，，， 是等腰直角三角形，， ①当与轴相切时， 点是切点，的半径是1， 轴，， 是等腰直角三角形， ，， ， 点的速度为每秒个单位长度， ； ②如图，与轴和轴都相切时， ， ， 点的速度为每秒个单位长度， ； ③当点只与轴相切时， ， ， 点的速度为每秒个单位长度， ． 综上所述，则当或3或5秒时，与坐标轴相切， 故答案为：1或3或5． 7．（23-24九年级上·全国·期末）如图，在中，，是边上的中线若，，则的外接圆圆心与内切圆圆心之间的距离为 ． 【答案】 【分析】连接，，，，，作于M，作于N， 中根据三线合一得到，，平分，中根据勾股定理得到，根据三角形内心性质得到， Q在上， ，根据角平分线性质得到 ，根据判定，得到， ，中，根据勾股定理得到；根据三角形外心性质得到，得到垂直平分，A、D、P三点共线，中根据三线合一得到，根据，，推出，得到，得到，即可得到． 【详解】解：∵在中，，是边上的中线， ∴是的角平分线，垂直平分， ∴的内切圆圆心与外接圆的圆心都在射线上， 如图，连接，，，，，过P作于M，过Q作于N， ∵，是边上的中线， ∴，，平分， ∵， ∴， ∵Q是的内心， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即； ∵P为的外心， ∴， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形，三角形的内心与外心，线段垂直平分线，角平分线，全等三角形，相似三角形，勾股定理等．熟练掌握等腰三角形三线合一的性质，三角形的内心性质外心性质，线段垂直平分线判定和性质，角平分线判定和性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，勾股定理解直角三角形，是解决问题的关键． 8．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，与相切于点，连接，过点作的垂线，交于点，连接，交线段于点．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用平行线的判定与性质证明，再求得，再利用直角三角形的边角关系解答即可． 【详解】解：∵与相切于点B， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键． 9．（2025·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的和．当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接，，则阴影部分图形的面积和为 ．（结果保留） 【答案】/ 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点的问题，考查了切线的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，扇形的面积，解题的关键是求得，根据题意得到，则A点的纵坐标为1，代入解析式求得A的坐标，进而求得，再利用扇形的面积公式即可求得两个象限中扇形的面积，进一步求得阴影部分图形的面积之和． 【详解】解：当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D， ∴轴，轴， ∵半径为1， ∴， ∴A点的纵坐标为1， 把代入，求得， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴第一象限中阴影的面积， 同理，第三象限中阴影的面积， ∴． 故答案为：． 10．（2025·天津·中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点P，A均在格点上． （1）线段的长为 ； （2）直线与的外接圆相切于点．点在射线上，点在线段的延长线上，满足，且与射线垂直．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理的推论，等腰三角形的性质，正方形的性质，三角形中位线的判定和性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用勾股定理进行求解即可； （2）利用圆周角定理的推论，正方形的性质确定圆心，再根据全等三角形和等腰三角形的三线合一确定线段的中点，利用网格确定点为线段的中点，则为三角形的中位线，利用一组平行线确定点为线段的中点，证明和，得出，即，最后利用切线的性质和等腰三角形的性质，得出为等腰三角形，再利用等腰三角形的性质得出． 【详解】解：（1）由勾股定理得， 故答案为：； （2）如图所示，点即为所求， 作法：直线PA与射线BC的交点为；取圆与网格线的交点和，连接；取格点，连接，与相交于点；连接并延长，与相交于点，与直线相交于点；连接并延长，与网格线相交于点，连接，与网格线相交于点；连接，与线段的延长线相交于点，则点M，N即为所求． 理由：∵， ∴为圆的直径， ∵为正方形的对角线， ∴, ∴垂直平分线段， ∴点为圆的圆心， ∴， 又， ， ， 平分， ∴点为线段的中点， 由网格可知点为线段的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴点为线段的中点， ∵， ， ， ∴， 又， ∴， , 即， 延长交于点， ∵， ∴, ， ∴ ∵为圆的切线， ∴， ， , ∴， 即， ∵， ， ∴为等腰三角形， ∴， ∴点即为所求． 11．（22-23九年级上·江苏镇江·期末）如图，是的直径，，是的弦，，延长到D，连接，． (1)求证：是的切线； (2)以为边的圆内接正多边形的周长等于 ． 【答案】(1)见解析 (2)18 【分析】本题考查切线的判定，圆内接正六边形的性质，掌握切线的判定方法是正确解答的前提． （1）根据等腰三角形性质以及三角形内角和定理计算出即可； （2）得出以为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形，再求出的长即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 又∵是半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴以为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴以为边的圆内接正六边形的周长为． 故答案为：18． 12．（22-23九年级上·广东广州·期末）如图，已知是的直径，是的弦，延长到点C，使，过点D作，垂足为E．    (1)求证：； (2)求证：为的切线； (3)点F是与的交点，若，求． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据半圆（直径）所对的圆周角是直角，得到，再结合等腰三角形“三线合一”，即可证明； （2）连接，结合等腰三角形性质证明，进而推出，再结合切线判定定理，即可证明为的切线； （3）过点作于点，利用勾股定理与等面积法求出，再根据等腰三角形性质，角平分线性质得到，连接交于点，证明四边形为矩形，推出，结合垂径定理得到，利用勾股定理求出，最后根据求解，即可解题． 【详解】（1）证明：是的直径， ， ， ； （2）证明：连接，   ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 为的切线； （3）解：过点作于点，   ，， ，， ， 即， 解得， ，，， ， 连接交于点， 是的直径， ， ， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了半圆（直径）所对的圆周角是直角，等腰三角形性质，切线判定定理，勾股定理，角平分线性质，矩形的性质与判定，垂径定理，解题的关键在于灵活运用相关知识． 13．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，以为直径作，分别交，于点，，连接并延长，交于点，过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用等腰三角形的性质得出角相等，进而得到同位角相等，证明两直线平行； （2）先设圆的半径，结合切线性质和三角函数求出半径，再利用圆的直径所对圆周角为直角、三角函数以及勾股定理求出的长． 【详解】（1）证明：， ． ， ， ， ； （2）解：如图，设的半径为，连接， 切于点， ． 在中，， 解得， ， ， ． 为的直径， ． 在中，， ． ， ． 在中，． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、圆的切线性质、解直角三角形、勾股定理以及圆内接四边形的相关知识，熟练掌握圆的切线性质和三角函数的应用是解题的关键． 14．（2025·四川·中考真题）如图，为的直径，C为上的一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D．延长交的延长线于点E． (1)求证：平分； (2)若，，求的半径和的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的半径长为5，的长为 【分析】（1）连接，由等边对等角得到，由切线的性质得，而，则，再由平行线的性质以及等量代换即可证明平分． （2）作于点，因为，，所以，则，求得，可证明，得，求得，则，即可求解半径和． 【详解】（1）证明：连接，则， ， 与相切于点， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：作于点，， ，， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 的半径长为5，的长为． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 15．（2025·江苏镇江·中考真题）如图（1），过外一点引的两条切线、，切点是、，为锐角，连接并延长与交于点，点在的延长线上，过点作的垂线，与的延长线相交于点、垂足为． (1)求证：是等腰三角形； (2)在图（2）中作，满足（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (3)已知，在你所作的中，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)图见解析 (3) 【分析】（1）先根据切线长定理、切线的性质定理可得，，再证出，根据等腰三角形的判定可得，由此即可得证； （2）先在的延长线上作，再过点作的垂线，与的延长线相交于点、垂足为，由直角三角形的斜边中线的性质即可得； （3）过点作于点，过点作于点，先解直角三角形可得，再设，则，，，在中，利用勾股定理可得，则可得，，然后证出，根据相似三角形的性质可得的长，最后根据即可得． 【详解】（1）证明：∵是的两条切线，切点是， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：如图，满足的即为所作． （3）解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵是的两条切线，切点是， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴在中，，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴，， ∵在等腰中，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了切线长定理、切线的性质定理、作垂线、解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握切线长定理和解直角三角形的方法是解题关键． 2 / 154 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 直线与圆的位置关系（复习讲义） 一、基础目标 1. 能复述直线与圆的三种位置关系（相离、相切、相交）的定义，并会根据公共点个数或圆心到直线的距离(d)与半径(r)的数量关系判断位置关系； 2. 能复述切线的概念，会识别圆的切线图形，并能根据切线定义判断一条直线是否为圆的切线（已知公共点时）； 3. 能记住切线的性质定理（圆的切线垂直于经过切点的半径），并会直接应用该定理进行简单推理（如已知切线和切点，直接得出垂直关系）； 4. 会用“圆心到直线的距离等于半径”的方法判断直线与圆相切（无已知公共点时），能写出具体计算步骤（如求圆心坐标、直线方程、计算距离并与半径比较）； 5. 能复述切线长的定义，会测量或计算简单图形中切线长的长度（如已知圆的半径和圆心到圆外一点的距离，求切线长）。 二、进阶目标 1. 会推导切线的判定定理（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线），并能结合几何图形写出规范的证明过程（明确已知、求证、证明步骤）； 2. 理解并应用切线长定理（从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角），能解决含切线长的角度计算（如求切线夹角）和线段相等证明问题； 3. 会综合运用切线的性质与判定定理解决几何证明题，例如：已知切线和切点，证明线段垂直或相等；已知线段垂直关系，证明直线是圆的切线； 4. 能根据直线与圆的位置关系求参数值或取值范围（如已知直线与圆相切，求(k)的值），并写出具体的方程求解过程； 5. 会解决与切线相关的实际应用问题（如计算圆形工件的切线长度、判断直线型物体与圆形区域是否相切等），能将实际问题转化为几何模型并求解。 三、拓展目标 1. 理解并应用三角形内切圆的概念，会推导三角形内切圆半径的计算公式（如，其中(S)为三角形面积，(a,b,c)为三边长），并能计算特殊三角形（如直角三角形、等边三角形）的内切圆半径； 2. 会解决含切线的动态几何问题，例如：直线或圆运动过程中，判断位置关系的变化情况，或求切线长度的最值； 3. 能结合圆的对称性、勾股定理、相似三角形等知识，解决较复杂的切线综合题（如证明切线长与其他线段的比例关系、求阴影部分面积等）； 4. 会用坐标法（解析几何）解决直线与圆的位置关系问题，包括：通过联立方程判断交点个数（判别式法）、计算圆心到直线的距离并与半径比较，能处理含参数的动直线与定圆位置关系问题； 5. 理解并应用圆的切线在中高考中的常见模型（如“切线+等腰三角形”“切线+直角三角形”“双切线模型”），能快速识别模型并调用对应定理解决问题。 类别 具体内容 完整分析 常见结论 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径。即若直线(l)是圆(O)的切线，切点为(P)。此定理揭示了切线与半径的核心位置关系，是解决切线相关计算与证明的基础。由该定理还可引申出：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。该定理强调了“半径外端”和“垂直于半径”两个缺一不可的条件，用于判断一条直线是否为圆的切线。在证明时，若已知直线与圆有公共点，则连接圆心与公共点，证明该半径与直线垂直；若未知公共点，则过圆心作直线的垂线，证明垂线段长等于半径。 易错点 运用切线判定定理时忽略“半径外端”条件 学生在证明一条直线是圆的切线时，若已知直线与圆有一个公共点，常仅证明直线垂直于过该点的直线，而未确认该直线是否为半径，即忽略“经过半径外端”这一关键条件。例如，误将圆的一条弦所在直线，且垂直于另一条非半径的线段，判定为切线。 认为“相切”只有一个公共点，忽略“有且只有一个公共点” 虽然“相切”的直观表现是只有一个公共点，但在数学定义中强调“有且只有一个”，即唯一性。学生在理解时可能仅记住“一个公共点”，但在某些复杂情境下，如讨论含参数的直线与圆的位置关系时，可能忽略对唯一性的严谨论证。不过更常见的错误是在应用时，如已知直线与圆相切求参数，忘记相切对应的是或这一充要条件。 使用切线性质定理时，找不到或错找“切点” 切线性质定理中“经过切点的半径”是关键，学生在复杂图形中，可能难以准确识别切线与圆的切点，从而无法正确应用定理构造直角三角形或进行垂直关系的转化。例如，在有多个圆或多条切线的图形中，误将非切点当作切点，导致半径找错。 题型一 直线与圆的位置关系 【例1】若的半径为5，点P到圆心O的距离也为5，则经过点P的直线与的位置关系是（   ） A．相切 B．相交 C．相切或相交 D．相切或相离 【变式1-1】如图，在中，，，，是上一点（点与点不重合）．若在的直角边上存在4个不同的点分别和点、成为直角三角形的三个顶点，则长的取值范围是 ． 【变式1-2】如图1，在矩形中，边长，，其中a、b分别是方程的两个根，连接．点O从点C出发，沿向点B运动（到达点B停止运动），速度为每秒1个单位，设运动时间为t秒，在运动过程中，以O为圆心，的长为半径作半圆，交射线于点． (1)______； (2)如图2，当点O运动到的角平分线上时， ①判断此时半圆O与有怎样的位置关系，并说明理由； ②求此时t的值； (3)如图3，当半圆O与的边有两个交点时，请直接写出t的取值范围______． 题型二 切线的性质求解 【例2】如图，分别与相切于两点，点在优弧上，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，四边形是矩形，经过点的圆分别与边相切于两点． （1） 度； （2）若，，则图中阴影部分的面积是 ． 【变式2-2】已知内接于，是的直径，过点B作的切线，与的延长线相交于点D，点E在上，与相交于点F． (1)如图①，若，求和的大小； (2)如图②，若，求的长． 题型三 切线长定理求解 【例3】如图，的周长为26，，与三边分别相切于点，，，若，则的长为（　　） A．4 B． C．5 D． 【变式3-1】如图，在四边形中，，，，分别与扇形相切于点A与点E．当时，的长为 ． 【变式3-2】已知：如图，是的切线，B，C是切点，过上的任意一点P作的切线与分别交于点D，E． (1)连接和，若，则_______； (2)已知，求的周长． 题型四 三角形的周长、面积、内切圆半径关系 【例4】如图，已知是的内切圆，，与的切点分别为 D，E，F，若，，则的半径为（   ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【变式4-1】如图，在中，，，，是的内切圆，切点分别为、、，则的半径为 ；连接、，则的值为 ． 【变式4-2】阅读与思考 阅读下列材料，完成下面的任务． 关于“三角形的内切圆”的研究报告 【研究内容】如图，在中，三边，，，是它的内切圆，切点分别为，，，如何求、、的长呢？ 【解法】是的内切圆，切点为，，，，，．设，，，则有，，如果设，那么有． 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______． (2)如图，这是一张三角形纸片，为它的内切圆，小悦沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，，，求三角形纸片的周长． (3)如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，，，，求． 题型五 三角形的内心与外心结合 【例5】如图，O是的外心，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，在矩形中，点E在边上，连接平分，点O是的内心，连接，，若，则的长为 ． 【变式5-2】是的内接三角形，是的内心，连接交于点，连接、，根据内心的定义，我们很容易证明，根据题设回答以下问题． (1)如图，若关于的对称点恰巧落在上，连接、，则的度数是________． (2)如图，若点、、在一条直线上，且，，求的内心和外心之间的距离． (3)如图，在（）的条件下，是弦弦长线上的一个动点，连接交于点，若，是否为定值，若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由． 题型六 圆中的最值问题 【例6】如图，在边长为4的等边中，的半径为1，点P是边上的动点，过点P作的一条切线，Q为切点，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，在中，，，，经过点且与边相切的动圆与分别相交于点，则线段长度的最小值是 ． 【变式6-2】【阅读理解】①如图1，已知点P为等边外接圆的上任意一点．求证：； ②定义：在所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为的费马点，此时的值为的费马距离． 【方法探究】根据①的结论，我们有如下探寻（其中均小于）的费马点和费马距离的方法． （1）如图2，在的外部以为边长作等边及其外接圆，在上任取一点，连接、、、．根据①的结论，易知______，______；根据两点间线段最短，我们可以得到线段______的长度为的费马距离． （2）在图3中，作出的费马点P（要求尺规作图）．如果，的费马距离是______； 【问题解决】已知正方形，P是正方形内部一点，且的最小值为，求正方形的边长． 题型七 圆与特殊三角形结合 【例7】如图，点Q是圆O直径上一点，，且，动点P从A出发，逆时针沿运动一周，记面积为y，P点的运动路程为x，则对应的函数图象是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，内接于直径为的圆，将弦顺时针旋转得到弦，且，若，则 ．    【变式7-2】一般地，经过三角形的两个顶点且与该三角形的一条边相切的圆叫作这个三角形的“准接圆”．特别地，当“准接圆”还与该三角形的另一条边相切时，该圆叫作该三角形的“强准接圆”． 【概念理解】 （1）以下四个图中，是的准接圆的是（   ） A．    B．    C．    D． 【深入思考】 （2）以下命题：①任意三角形都存在准接圆；②三角形准接圆的圆心一定在该三角形的外部；③三角形准接圆的直径大于或等于以其经过的两个顶点为端点的边．其中，是真命题的是 （填序号） （3）如果一个三角形存在强准接圆，那么它应满足什么条件？说明理由． 【计算求解】 （4）已知在中，． ①若存在强准接圆，则强准接圆的半径长随着的变化而变化，关于的函数表达式是 ； ②当时，直接写出的准接圆的半径长． 题型八 圆与特殊四边形结合 【例8】如图，是平行四边形，是的直径，点在上，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则的周长的最小值是 ． 【变式8-2】如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点P从点A出发，沿对角线向点C以每秒的速度移动；同时点Q从点B出发，沿线段向点A以每秒的速度移动．P，Q两点有一点到达终点时全部停止移动．连接，设点P移动时间为t秒，回答下列问题： (1)当t为何值时，? (2)当t为何值时，以O，P，Q，B为顶点的四边形的面积等于? (3)以点Q为圆心，的长为半径作．在运动过程中，是否存在与矩形的对角线有三个公共点，若存在，请直接写出t的值或取值范围；若不存在，请说明理由． 题型九 切线的判定 【例9】如图1，在中，为直径，为圆上一动点（不与重合），于点G，为上的一动点，延长交的延长线于点，连结． (1)若．求的度数． (2)若，，求的长． (3)如图2，若，，，求的长． 【变式9-1】黄金分割被广泛应用在建筑、艺术等领域，我国早在战国时期就已知道并能应用黄金分割． 【阅读观察】 材料1：黄金分割点的定义 如图2，若线段上的点满足，则点称作线段的黄金分割点，其中的比值称作黄金分割比，而的比值为，与互为倒数． 材料2：黄金分割点的作法（借助尺规作图可以用不同方法确定图2中线段的黄金分割点） 方法1：如图3， ①过点作； ②在直线上截取，连接； ③在上截取； ④在上截取． 点即为所求． 方法2：如图4， ①以为边作正方形； ②取中点，连接； ③以点为圆心，为半径作圆弧，与的延长线交于点； ④以为边在一侧作正方形，交于点，可得． 点即为所求． 【思考探究】 （1）说明图3中； （2）说明图4中． 【迁移拓展】 如图5，作圆内接正五边形： ①作的两条互相垂直的半径和，取的中点，连接； ②作的平分线，交于点； ③过点作的垂线，交于点，连接； ④截取，，连接． 五边形即为所求． （3）若，根据以上作法，证明：． 【变式9-2】如图，在边长为6的正方形中，点E是边上的动点，连接，交对角线于点M． 以为直径的圆交于点F， 连接、． (1)和数量上有什么关系？说明理由； (2)将以为轴翻折得到(点N与点M对应)，的延长线交于G． ①求的最大值； ②设，用x的代数式表示，并写出x的取值范围． 题型十 圆与相似结合 【例10】如图，已知一次函数的图象分别交x轴、y轴于点N，M，抛物线经过M，N两点，在第一象限内的抛物线上有一动点G，过G作轴于E，交于点F． (1)求此抛物线的解析式． (2)设点G的横坐标为n，以M，N，G为顶点的三角形面积为S，求S关于n的函数关系式，并求出S的最大值． (3)若F为线段的中点，H为线段上一点，以H为圆心，为半径作圆，当与y轴相切时，求点G的坐标． 【变式10-1】如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)直接写出点的坐标 ；点的坐标 ；点的坐标 ； 直线的解析式为 ； (2)如图，过作交抛物线于，以为直径作圆，圆心为，圆与直线：交于抛物线对称轴右侧的点，点到直线的距离为，过作，垂足为，再过作，垂足为，求的值； (3)如图，为抛物线上一点，过作交抛物线于另一点，连接，并延长交于点，若点总在直线上运动，求的值． 【变式10-2】如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，的顶点为P． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，已知抛物线，与的一个交点为D． ①判断抛物线是否过点C，并说明理由； ②是否存在，使得以为直径的圆过点P，若存在求出t的值，若不存在说明理由； ③记的面积为S，若对任意的正实数t均成立，求实数m的取值范围． 题型十一 圆与二次函数结合 【例11】如图，平面直角坐标系中，，直线交y轴、x轴于A、B两点，P为直线上一动点． (1)求证：以为直径的圆过定点，并求定点坐标； (2)记（1）中的定点为D，把绕点Q顺时针旋转，得到射线交x轴于E，作于，求的最小值． 【变式11-1】如图①，已知是的直径，是圆上异于，的任一点，连接，，点是半径的中点，点是的中点，连接，． (1)求证：． (2)若，求的半径长． (3)如图②，连接，交于点，若，求的值． 【变式11-2】如图1，在矩形中，． (1)用无刻度的直尺和圆规作图：在图1中，先在边上确定点E，连接使得．再在边上确定点F，使得以F为圆心的圆经过点E和点C； (2)在（1）的条件下，连接．若，且，则的半径为________； (3)在（1）的条件下，连接． ①延长，相交于点G．若点G恰好在上，求的值； ②取的中点M，连接，与相交于点N．当时，求的正弦值． 题型十二 圆与三角函数结合 【例12】如图1，中，，，点从点出发沿边以的速度向点移动，移动过程中始终保持，（点分别在上）．设点移动的时间为秒． (1)的长为______________（用含的代数式表示）； (2)如图2，连接，点是的中点，连接，探究：的面积是否是定值？若是，求出这个值，若不是，说明理由； (3)如图3，移动过程中，以为直径作，当与的其中一条边相切时，直接写出所有符合条件的的值为___________． 【变式12-1】在中，，动点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点Q从点A出发，沿方匀速运动，速度为，连接，将沿翻折，得．设运动时间为t（s）（）．解答下列问题： (1)当四边形为菱形时，求t的值； (2)连接，，设的面积为S（），求S与t的函数关系式； (3)是否存在某一时刻t，以E为圆心为半径作圆E，使得圆E与相切？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说明理由． 【变式12-2】如图，在四边形中，，对角线平分．点P是边上一动点，它从点B出发，向点A移动，移动速度为；点Q是上一动点，它从点A出发，向点C移动，移动速度为．设点P，Q同时出发，移动时间为（）．连接，以为直径作． (1)求的长． (2)当t为何值时，与相切？ (3)当t为何值时，线段被截得的线段长恰好等于的半径？ (4)当t为_______时，圆心O到直线的距离最短，最短距离为_______．（直接写出结果） 题型十三 圆中的动点求t 【例13】如图，在中，，，D是边上一点，以为直径作，交边于点E，交边于点F，E是的中点． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【变式13-1】如图，在中，，平分交于点，点在上，且，以点为圆心，长为半径画． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的直径． 【变式13-2】如图，已知是⊙的直径，射线交⊙于点，是劣弧上一点，且，过点作于点，延长交的延长线于点，连接． (1)求证：是⊙的切线； (2)若的面积为，，求的长． 题型十四 圆中的新定义问题——几何 【例14】【定义】数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”． 【理解】 （1）如图①，点A、B是上两点，请在圆上找出满足条件的点C，使为“智慧三角形”．（画出点C的位置，保留作图痕迹） （2）如图②，在正方形中，E是的中点，F是上一点，且，试判断是否为“智慧三角形”，并说明理由． 【运用】 （3）如图③，在平面直角坐标系中，的半径为1，Q是直线上的一点，若上存在一点P，使得为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点P的坐标． 【变式14-1】定义：若一个圆的内接三角形的内心关于这个三角形一条边的对称点恰好在该圆上，则称这个三角形为该圆的“梦之三角形”． (1)如图1，等边为的内接三角形，过点O做交于点D，交于点E，判断________（填“是”或“不是”） 的“梦之三角形”，请说明理由； (2)如图2，已知是的“梦之三角形”，其内心I关于的对称点F在上，若，求的半径； (3)如图3，已知的半径为，弦，点A在上，若为的“梦之三角形”，求的长度． 【变式14-2】定义：若四边形的一条对角线平分一个内角，我们将此对角线称为“唯美线”，这样的四边形称为“唯美四边形”，如图，四边形中，平分，则为四边形的“唯美线”．利用上述知识解答下列问题． [问题发现]（1）如图①，若，求的最小值； [深度探究]（2）如图②，连接对角线，若平分，且，求的度数； [拓展延伸]（3）若四边形为唯美四边形，，平分，与相交于点，则当为等腰三角形时，请直接写出线段的长． 题型十五 圆中的新定义问题——函数 【例15】在平面直角坐标系中，对于点A和给出如下定义：若过点A可以作的两条切线，（切点分别为B，C），且，则称点A是的完美点． (1)如图，的半径为1． ①在点，，中，点________是的完美点； ②直线上存在的完美点，求m的取值范围； (2)已知点，，，经过原点，若线段上存在的完美点，直接写出t的取值． 【变式15-1】在平面直角坐标系中，已知点，直线过点且垂直于轴，点关于直线的对称点为点．对于坐标平面内的点和图形做如下定义：若上存在点使是以为直角顶点的等腰直角三角形，则称点是关于和图形的“对垂点”． 已知正方形的顶点． (1)若，下列点中，_____（填序号）点是M关于和A的“对垂点” ①  ②  ③  ④ (2)若，以点为圆心，2为半径的圆上存在是关于和线段的“对垂点”，则的取值范围是_____ (3)直线上存在两个关于和正方形的“对垂点”，则的取值范围是_____    【变式15-2】综合与实践 在初中数学的学习过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有的经验，对下列问题进行研究． 【概念认识】 在平面直角坐标系中，图形上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为．对于点和图形给出如下定义：点是图形上任意一点，若，两点间的距离有最小值，且最小值恰好为，则称点为图形的“奇妙点”． 【概念理解】 （1）如图1，图形是矩形，其中点的坐标为，点的坐标为，则___________，在点 ，，，中，矩形的“奇妙点”是___________； 【灵活运用】 （2）如图2，图形是中心在原点的正方形，其中点的坐标为．若直线上存在点，使点为正方形的“奇妙点”．求的取值范围； （3）已知点，图形是以为圆心，1为半径的．若线段上存在点，使点为的“奇妙点”，直接写出的取值范围． 题型十六 无刻度尺作图 【例16】图①、图②、图③均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，为的弦，点、、均在格点上．仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，并保留作图痕迹． (1)在图①中，以为边画的内接正方形； (2)在图②中，作，点在圆周上，且为格点； (3)在图③中，过点作的切线． 【变式16-1】如图所示的是由8×8个小正方形构成的网格图，每个小正方形的顶点称为格点，⊙P经过A，B，C三个格点．已知直径AC，请仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（保留画图痕迹，不写画法）． (1)在图①中，画出的切线； (2)在图②中，画出的弦，使A为的中点． 【变式16-2】如图，由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，且每个小正方形的边长为1．经过，，三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．（保留作图痕迹） (1)在图1中，作中的角平分线； (2)在图2中，找到一个点，使得到三条边、、的距离相等； (3)在图3中，作以为直径的的切线． 基础巩固通关测 1．已知直线和相交，的半径为2，则圆心到的距离的值可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．怀仁市，因晋王李克用与辽太祖耶律阿保机会盟于云州东城，易袍马约为兄弟，取怀想仁人及《论语》“怀德里仁”之意而命名．如图是以“仁”设计的艺术字，若将“仁”字每一笔画抽象为直线，背景抽象为圆，则图中直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 3．如图，四边形内接于．过点作的切线，交的延长线于点，连接．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图1是一款雪人毛绒玩具，其头部的示意图如图2所示，点表示鼻子，帽子与雪人头部的交点分别为点，，连接，，，已知经过圆心，与相切于点，．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，与x轴，y轴都相切，且经过矩形的顶点C，与相交于点D，若的半径为3，点B的坐标是，则点D的坐标是（    ） A． B． C． D． 6．圆的半径是，如果圆心与直线上某一点的距离是，那么该直线和圆的位置关系是 ． 7．如图，是的直径，点在的延长线上，是的切线，为切点，连结，，若，则的度数为 ． 8．如图，中，，，，是的内切圆，切点分别为、、，则 ． 9．如图，P是外一点，分别和相切于点A、B，点C是弧上任意一点，过点C作的切线分别交于点D、E，若，则的周长为 ．    10．如图，的内切圆（圆心为）与各边分别相切于点，连接．以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交于两点；分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线．有下列结论：①垂直平分；②；③．其中正确结论的序号是 ． 11．在中，，以点为圆心，为半径画，根据下列条件，分别求出的取值范围． (1)边与相离； (2)边与相切； (3)边与相交． 12．如图，是的直径，是上一点，连接、，是的切线，切点为，，、的延长线相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，记的半径，求证：． 13．如图，在坐标系中，、、． (1)经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为______； (2)这个圆的半径长为______； (3)直接判断点与的位置关系，点在______．（填内、外、上） (4)E是图中某一格点，连接，若是的切线，则E点有______个． 14．如图，中，为弦，半径，弦交于E． (1)求证：； (2)若，求的长． 15．如图，是的弦，点C为半径的中点，过点C作交弦于点E，连接，且． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的直径． 能力提升进阶练 1．（24-25九年级上·江苏泰州·月考）如图，菱形的顶点，，在⊙O上，过点作⊙O的切线交的延长线于点．若⊙O的直径为4，则的长为（　　） A．2 B．4 C． D． 2．（2010·湖北荆门·中考真题）如图，是的直径，，点A在上，，为的中点，是直径上一动点，则的最小值为（　　） A． B． C．1 D．2 3．（2025·山东滨州·中考真题）如图，E、F、G、H四点分别在正方形的四条边上，．若，，则的内切圆半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2025·福建·中考真题）如图，与相切于点A，的延长线交于点C．，且交于点B．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·广东广州·中考真题）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，若的半径为r，，则的值和的大小分别为（    ） A．2r， B．0， C．2r， D．0， 6．（19-20九年级上·江西赣州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，半径为1的的圆心从点（点在直线上）出发以每秒个单位长度的速度沿射线运动，设点运动的时间为秒，则当 时，与坐标轴相切． 7．（23-24九年级上·全国·期末）如图，在中，，是边上的中线若，，则的外接圆圆心与内切圆圆心之间的距离为 ． 8．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，与相切于点，连接，过点作的垂线，交于点，连接，交线段于点．若，则的值为 ． 9．（2025·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的和．当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接，，则阴影部分图形的面积和为 ．（结果保留） 10．（2025·天津·中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点P，A均在格点上． （1）线段的长为 ； （2）直线与的外接圆相切于点．点在射线上，点在线段的延长线上，满足，且与射线垂直．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明） ． 11．（22-23九年级上·江苏镇江·期末）如图，是的直径，，是的弦，，延长到D，连接，． (1)求证：是的切线； (2)以为边的圆内接正多边形的周长等于 ． 12．（22-23九年级上·广东广州·期末）如图，已知是的直径，是的弦，延长到点C，使，过点D作，垂足为E．    (1)求证：； (2)求证：为的切线； (3)点F是与的交点，若，求． 13．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，以为直径作，分别交，于点，，连接并延长，交于点，过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 14．（2025·四川·中考真题）如图，为的直径，C为上的一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D．延长交的延长线于点E． (1)求证：平分； (2)若，，求的半径和的长． 15．（2025·江苏镇江·中考真题）如图（1），过外一点引的两条切线、，切点是、，为锐角，连接并延长与交于点，点在的延长线上，过点作的垂线，与的延长线相交于点、垂足为． (1)求证：是等腰三角形； (2)在图（2）中作，满足（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (3)已知，在你所作的中，若，求的长． 2 / 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