专题02 圆的综合证明问题解答题专练（期末复习专项训练）九年级数学上学期浙教版

专题02 圆的综合证明问题解答题专练 题型1 圆心角、弧、弦的关系 题型6 正多边形和圆（难点） 题型2 垂径定理的应用（重点） 题型7 弧长的计算 题型3 圆周角定理（重点）（常考点） 题型8 扇形面积的计算 题型4 圆内接四边形的性质（常考点） 题型9 圆的综合压轴题（重点）（难点）（常考点） 题型5 切线的性质与判定（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 圆心角、弧、弦的关系（共1小题） 1．（2024秋•鄞州区期末）如图，AB是⊙O的弦，分别以点A，B为圆心，同样长度为半径画圆弧交圆内于点C，连结OC并延长交⊙O于点D，连结OA，OB． （1）求证：∠AOD＝∠BOD； （2）若∠AOD：∠AOB＝3：2，AB＝4，CD＝OC，求CD的长． 【分析】（1）连接AC、BC，由圆的相关知识可得AC＝BC，再证明△AOC≌△BOC即可证明结论； （2）先根据角的比例以及（1）的结论可得△AOB为等腰直角三角形，再结合可得AO＝4，最后结合CD＝OC即可解答． 【解答】解：（1）如图，连接AC、BC， 由条件可知AC＝BC， 又∵AO＝BO，OC＝OC， ∴△AOC≌△BOC（SSS） ∴∠AOD＝∠BOD． （2）由条件可知， ∵∠AOB+∠AOD+∠BOD＝360°， ∴，解得：∠AOB＝90°， ∵AO＝BO， ∴△AOB为等腰直角三角形． ∴AO2+BO2＝AB2＝32， ∴AO＝BO＝4， ∵CD＝OC， ∴． 【点评】本题主要考查了弦和弧的关系、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． 题型二 垂径定理的应用（共2小题） 1．（2024秋•柯桥区期末）在古今中外许多著名建筑中，有很多应用圆弧设计的元素． 如图1，哥特式尖拱是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形，叫做两心尖拱． 图2是两心尖拱的示意图，其中，点A，B称为起拱处，点C称为拱尖，C到AB的距离CD称为拱高，，与关于直线CD成轴对称，和的圆心分别是点M、N，且M、N恰好落在直线AB上． （1）如图3，当点M恰好与B重合，点N恰好与A重合，若CD＝9m，求所在圆的半径长； （2）若图2中，CD＝10m，AB＝12m，求两心尖拱的两个圆心M、N之间的距离． 【分析】（1）由题易得AD＝MDABR，在Rt△MCD中建立勾股方程求解即可； （2）先定出圆心的位置，再根据勾股定理求出AC的长，然后利用垂径定理和勾股定理即可求出AM＝BN，进而求解即可． 【解答】解：（1）连接MC， 设MC＝MA＝R， 由题可知AD＝MDABR， 在Rt△MCD中，MD2+CD2＝MC2， ∴R2+81＝R2， 解得R＝6m， 答：所在圆的半径长为6m； （2）如图，在图中作出圆心M、圆心N，过M作MH⊥AC于点H， ∵CD＝10m，AB＝12m， ∴AD＝BD6m， 在Rt△ADC中，AC2， 由垂径定理可知MH垂直平分AC， ∴AH＝CH， ∵∠CAD＝∠HAM，∠AHM＝∠ADC＝90°， ∴△CAD∽△MAH， ∴， ∴， 解得AMAB， ∴点M和点N在线段AB上， ∵，，与关于直线CD成轴对称， ∴AM＝BN， ∵AM+BN﹣MN＝AB， 即MN＝12， ∴MNm， 答：两心尖拱的两个圆心M、N之间的距离为m． 【点评】本题主要查了垂径定理的应用、轴对称的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 2．（2024秋•浙江期中）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB＝52cm，MN为水面截线，MN＝48cm，GH为桌面截线，MN∥GH． （1）作OC⊥MN于点C，求OC的长； （2）将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了14cm，求此时水面截线减少了多少． 【分析】（1）连接OM，利用垂径定理得出MCMN＝24cm，由勾股定理计算即可得出答案； （2）过O作 OD⊥EF，连接OE，利用勾股定理求出ED，再利用垂径定理得出EF＝2ED＝20cm，MN与EF相减即可得出答案． 【解答】解：（1）连接OM， ∵O为圆心，OC⊥MN，MN＝48cm， ∴， ∵AB＝52cm， ∴， 在 Rt△OMC 中，， ∴OC的长为10cm； （2）过O作 OD⊥EF，连接OE， 由题得，OD＝10+14＝24cm， 在 Rt△OED 中，ED10cm， ∴EF＝2ED＝20cm， ∴48﹣20＝28cm ∴水面截线减少了28cm． 【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握圆的有关性质定理是解题的关键． 题型三 圆周角定理（共5小题） 1．（2024秋•北仑区期末）如图，AB，CD是⊙O的两条弦，，作OE⊥AB，交⊙O于点E，延长EO交CD于点F，连结BD． （1）求证：AB∥CD． （2）若EF＝CD＝8，求⊙O的半径． 【分析】（1）根据圆周角定理和平行线的判定即可得结论； （2）连接OC，设⊙O的半径为r，由勾股定理和垂径定理即可解答． 【解答】（1）证明：∵， ∴∠B＝∠D， ∴AB∥CD； （2）解：如图，连接OC， ∵OE⊥AB，AB∥CD， ∴EF⊥CD， ∴DF＝CFCD＝4， 设⊙O的半径为r， ∵EF＝8， ∴OF＝8﹣r， 由勾股定理得：OF2+CF2＝OC2， ∴（8﹣r）2+42＝r2， ∴r＝5， 则⊙O的半径为5． 【点评】本题考查了垂径定理，平行线的判定，勾股定理，圆周角定理等知识，正确添加辅助线，构建直角三角形是解决本题的关键． 2．（2024秋•江山市期末）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，记顶角∠BAC为α，以腰AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E． （1）若α＝50°，求的度数． （2）若sinα，BC＝2，求直径AB的长． 【分析】（1）连接OE，先根据直径所对的圆周角是直角得到AD⊥BC，根据圆周角定理求得∠BOE＝2∠BAC＝2α＝100°，进而求得∠AOE＝80°，即可求解； （2）设AB＝5x，则BE＝4x，根据勾股定理可得AE＝3x，则CE＝2x，在Rt△BCE中，利用勾股定理求出x的值，即可求解． 【解答】解：（1）连接AD，OE， ∵以腰AB为直径作半圆， ∴AD⊥BC， ∵∠BAC为α，α＝50°， ∴∠BOE＝2∠BAC＝2α＝100°， ∴∠AOE＝80°， ∴的度数为80°； （2）∵sinα， ∴设AB＝AC＝5x，则BE＝4x， 在Rt△ABE中，AE3x， ∴CE＝AC﹣AE＝2x， 在Rt△BCE中，BE2+CE2＝BC2， ∴16x2+4x2＝4，解得x（负值舍去）， ∴AB＝5x， ∴直径AB的长为． 【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，主要考查了学生的推理能力和计算能力，注意：在同圆或等圆中，圆周角的度数等于它所夹弧所对的圆心角度数的一半． 3．（2024秋•滨江区期末）如图，在⊙O中，直径BD与弦AC交于点E，且AB＝AC． （1）求证：∠BAC＝2∠ABD． （2）若△ADE是以AD为腰的等腰三角形，求∠ABD． （3）若AB＝5，BC＝6，求AE． 【分析】（1）连接OA并延长交BC于H点，如图，利用垂径定理的推论得到AH垂直平分BC，则根据等腰三角形的性质得到AH平分∠BAC，即∠BAC＝2∠BAH，然后利用∠ABD＝∠BAH得到结论； （2）设∠ABD＝α，则∠BAC＝2α，∠AED＝3α，根据圆周角定理得到∠BAD＝90°，当AD＝AE时，∠ADB＝∠AED＝3α，所以α+3α＝90°；当DA＝DE时，∠DAE＝∠AED＝3α，则2α+3α＝90°，然后分别据解方程求出α即可； （3）利用垂径定理得到BH＝CH＝3，则利用勾股定理可计算出AH＝4，设⊙O的半径为r，则OA＝OB＝r，OH＝4﹣r，在Rt△OBH中利用勾股定理得到32+（4﹣r）2＝r2，解得r，所以BD，接着在Rt△ABD中计算出AD，在Rt△BCD中计算出C，然后证明△AEO∽△CED，利用相似三角形的性质得到，然后利用比例的性质可计算出AE的长． 【解答】（1）证明：连接OA并延长交BC于H点，如图， ∵AB＝AC， ∴， ∴AH垂直平分BC， ∴AH平分∠BAC， 即∠BAC＝2∠BAH， ∵OA＝OB， ∴∠ABD＝∠BAH， ∴∠BAC＝2∠ABD； （2）解：设∠ABD＝α，则∠BAC＝2α， ∴∠AED＝∠ABD+∠BAC＝α+2α＝3α， ∵AB为直径， ∴∠BAD＝90°， 当AD＝AE时，∠ADB＝∠AED＝3α， ∴α+3α＝90°， 解得α＝22.5°； 当DA＝DE时，∠DAE＝∠AED＝3α， ∴2α+3α＝90°， 解得α＝18°， 综上所述，∠ABD的度数为18°或22.5°； （3）解：∵AH⊥BC， ∴BH＝CHBC＝3， 在Rt△ABH中，AH4， 设⊙O的半径为r，则OA＝OB＝r，OH＝4﹣r， 在Rt△OBH中，32+（4﹣r）2＝r2， 解得r， ∴BD＝2r， 在Rt△ABD中，AD， 在Rt△BCD中，CD， ∵AH∥CD， ∴△AEO∽△CED， ∴， ∴， ∴AE5． 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等腰三角形的判定与性质． 4．（2024秋•东西湖区期末）如图，AB是⊙O的直径，CD＝CB，CE⊥AB于点E，连接BD交CE于点F． （1）求证：CF＝BF． （2）若CD＝4，AC＝8，求弦BD的长． 【分析】（1）要证明CF＝BF，可以证明∠ECB＝∠DBC；AB是⊙O的直径，则∠ACB＝90°，又知CE⊥AB，则∠CEB＝90°，则∠DBC＝90°﹣∠ACE＝∠A，∠ECB＝∠A，则∠ECB＝∠DBC； （2）连接OC，交BD于点G，先求出圆的半径，再利用勾股定理列方程求出OG的长，进而求得BG的长和BD的长． 【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠A＝90°﹣∠ABC． ∵CE⊥AB， ∴∠CEB＝90°， ∴∠ECB＝90°﹣∠ABC， ∴∠ECB＝∠A． 又∵CD＝CB， ∴， ∴∠DBC＝∠A， ∴∠ECB＝∠DBC， ∴CF＝BF； （2）解：连接OC，交BD于点G， ∵BC＝CD， ∴OC⊥BD，BD＝2BG， ∵∠ACB＝90°，BC＝CD，AC， ∴AB20， ∴⊙O的半径为10， 设OG＝x，则CG＝10﹣x， 由勾股定理，得BG2＝OB2﹣OG2＝BC2﹣CG2， 即102﹣x2＝（）2﹣（10﹣x）2， 解得x＝6， ∴BG8， ∴BD＝16． 【点评】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理．注意数形结合思想与方程思想的应用． 5．（2025春•西湖区校级月考）如图，AB为⊙O的直径，D是弧BC的中点，BC与AD、OD分别交于点E、F． （1）求证：DO∥AC； （2）若， ①求的值； ②求sin∠CDA的值． 【分析】（1）根据垂径定理可得OD⊥BC，进而由圆周角定理可得∠BFO＝∠ACB＝90°，即可求证； （2）①证明△CDE∽△ADC，得，据此即可求解；②由△AEC∽△DEF得，即得CE＝3EF，得到，又由AC＝2CE得，最后根据正弦的定义及圆周角定理即可求解； 【解答】（1）证明：∵D为弧BC的中点，OD为⊙O的半径， ∴OD⊥BC， 即∠BFO＝90°， 又∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BFO＝∠ACB， ∴DO∥AC； （2）解：①∵D为弧BC的中点， ∴， ∴∠DCB＝∠DAC， ∵∠CDE＝∠ADC， ∴△CDE∽△ADC， ∴， ∵，∠ACE＝90°， ∴， ∴， 设CD＝2a，则AD＝4a，DE＝a， ∴； ②∵DO∥AC， ∴△AEC∽△DEF， ∴， ∴CE＝3EF， ∴， ∵OD⊥BC， ∴BC＝2CF， ∴， ∵AC＝2CE， ∴， ∴． 【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 题型四 圆内接四边形的性质（共2小题） 1．（2024秋•上虞区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB＝∠CDB． （1）判断△ABC的形状，并给出证明． （2）若，，求弦BD和弦CD的长． 【分析】（1）根据圆周角定理，等腰直角三角形的判定定理解答即可； （2）根据等腰直角三角形的性质得到AC＝2，根据勾股定理得到CD4，过A作AE⊥BD于E，过C作CF⊥BD于F，根据等腰直角三角形的性质和三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：（1）证明过程如下： ∵AC为⊙O的直径， ∴∠ADC＝∠ABC＝90°， ∵∠ADB＝∠CDB， ∴， ∴AB＝BC， 又∵∠ABC＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形； （2）在Rt△ABC中，AB＝BC＝2， ∴ACAB＝2， 在Rt△ADC中，AD＝2， ∴CD4， 过A作AE⊥BD于E，过C作CF⊥BD于F， 则△ADE和△CDF是等腰直角三角形， ∴AEAD＝2，CFCD＝4， ∵S四边形ABCD＝S△ACD+S△ABC＝S△ABD+S△BCD， ∴24222BD4BD， ∴BD＝6． 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 2．（2025春•西湖区校级月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，BD，点E在BA的延长线上，且． （1）若AC＝CD，求∠ABD的度数； （2）若AB＝a，DC＝b， ①请用含a，b的代数式表示∠ACD的余弦值； ②请用含a，b的代数式表示AC． 【分析】（1）根据设∠ABD＝∠ADB＝α，则∠CAD＝2α，根据AC＝CD得∠CAD＝∠CDA＝2α，进而得∠CAB＝∠CDB＝α，则∠BAD＝3α，在△ABC中根据三角形内角和定理求出α＝36°，继而可得∠ABD的度数； （2）①过点A作AP⊥BD于点P，证明得BD＝DC＝b，根据AB＝AD得BPBD，在Rt△ABP中，由余弦函数的定义得cos∠ABD，再根据圆周角定理得∠ACD＝∠ABD，由此可得出答案； ②过点D作DH⊥AC于点H，依题意AB＝AD＝a，CD＝b，根据得a＜b，在Rt△CDH中，由cos∠ACD得CH，由勾股定理得DH2，在Rt△ADH中，由勾股定理得AH，再根据AC＝CH+AH即可得出答案． 【解答】解：（1）∵且， ∴设∠ABD＝∠ADB＝α，则∠CAD＝2α， ∵AC＝CD， ∴∠CAD＝∠CDA＝2α， ∴∠CDB＝∠CDA﹣∠ADB＝α， ∴∠CAB＝∠CDB＝α， ∴∠BAD＝∠CAB+∠CAD＝3α， 在△ABC中，∠ABD+∠ADB+∠BAD＝180°， ∴α+α+3α＝180°， 解得：α＝36°， ∴∠ABD＝α＝36°； （2）①过点A作AP⊥BD于点P，如图1所示： ∵且， ∴AB＝AD，， ∴， ∴， ∴BD＝DC＝b， ∵AB＝AD， ∴△ABD是等腰三角形， ∵AP⊥BD于点P， ∴BP＝DPBD， 在Rt△ABP中，AB＝a，cos∠ABD， 根据圆周角定理得：∠ACD＝∠ABD， ∴cos∠ACD＝cos∠ABD； ②过点D作DH⊥AC于点H，如图2所示： ∴AB＝AD＝a，CD＝b，， ∴a＜b， 在Rt△CDH中，CD＝b，cos∠ACD， ∴CH， 由勾股定理得：DH2＝CD2﹣CH2， 在Rt△ADH中，AD＝AB＝a， 由勾股定理得：AH2＝AD2﹣DH2， ∵a＜b， ∴AH， ∴AC＝CH+AH． 【点评】此题主要考查了圆周角定理，弧、弦之间的关系，解直角三角形，熟练掌握圆周角定理，弧、弦之间的关系，锐角三角函数的定义及勾股定理是解决问题的关键． 题型五 切线的性质与判定（共4小题） 1．（2024秋•义乌市校级期末）如图，AB为⊙O的直径，点F在⊙O上，OF⊥AB，点P在AB的延长线上，PC与⊙O相切于点C，与OF的延长线相交于点D，AC与OF相交于点E． （1）求证：DC＝DE； （2）若OA＝2OE，DF＝3，求⊙O的半径． 【分析】（1）连接OC，可得∠OCD＝∠OCP＝90°，由OA＝OC，可得∠OAC＝∠OCA，又∠OCA+∠DCA＝90°，∠OAC+∠AEO＝90°，可得∠DCA＝∠AEO．再由∠AEO＝∠DEC，则可得∠DCA＝∠DEC，即可证明结论； （2）设OE＝x，OA＝2x，则EF＝OF﹣OE＝2x﹣x＝x，DE＝3+x＝DC，DO＝3+2x，在Rt△DOC中，由勾股定理可得方程（2x）2+（3+x）2＝（3+2x）2，解得x＝6．即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接OC，如图所示， ∵PC与⊙O相切于点C， ∴∠OCD＝∠OCP＝90°， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， 又∵∠OCA+∠DCA＝90°，∠OAC+∠AEO＝90°， ∴∠DCA＝∠AEO， 又∵∠AEO＝∠DEC， ∴∠DCA＝∠DEC， ∴DC＝DE． （2）解：∵OA＝2OE， 设OE＝x，OA＝2x， 则EF＝OF﹣OE＝2x﹣x＝x， ∴DE＝DF+EF＝3+x， 又∵DC＝DE， ∴DC＝3+x，DO＝3+2x， 在Rt△DOC中，由勾股定理可得： （2x）2+（3+x）2＝（3+2x）2， 解得：x1＝6或x2＝0（舍去）． ∴OC＝2×6＝12， ∴⊙O的半径为12． 【点评】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，圆周角定理，以及方程思想，掌握以上知识点是解题的关键． 2．（2024秋•新昌县期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，点D是⊙O上的一个点，且BD＝BC． （1）求证：∠A＝∠BCD． （2）E是DB延长线上的一点，连接CE，若CB恰好平分∠DCE．求证：CE为⊙O的切线． 【分析】（1）根据等边对等角可得∠D＝∠BCD，再根据同弧所对的圆周角相等可得结论； （2）根据直径所对圆周角是直角可以得到∠A+∠ACB＝90°，CB平分∠DCE得到∠A＝∠BCE，可得∠BCE+∠ACB＝90°，进而可得结果． 【解答】证明：（1）∵BD＝BC， ∴∠D＝∠BCD（等边对等角）， ∵∠A＝∠D（在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等）， ∴∠A＝∠BCD； （2）∵⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径， ∴∠ABC＝90°（直径所对的圆周角是直角）， ∴∠A+∠ACB＝90°， ∵CB平分∠DCE， ∴∠BCD＝∠BCE， ∵∠A＝∠BCD， ∴∠A＝∠BCE， ∴∠BCE+∠ACB＝90°， 即∠ACE＝90°， 又∵OC是半径， ∴CE为⊙O的切线． 【点评】本题考查的是切线的判定定理，圆周角定理，掌握切线的判定定理是解题的关键． 3．（2024秋•玉环市期末）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是的中点，CD与AB交于点E．F是AB延长线上的一点，且CF＝EF． （1）求证：CF为⊙O的切线； （2）若CF＝4，BF＝2，求⊙O的半径． 【分析】（1）连接OC、OD，则OC＝OD，所以∠OCD＝∠ODC，由CF＝EF，得∠FCE＝∠FEC＝∠OED，由AB是⊙O的直径，，求得∠AOD＝∠BOD＝90°，则∠OCF＝∠OCD+∠FCE＝∠ODC+∠OED＝90°，即可证明CF为⊙O的切线； （2）由BF＝2，OB＝OC，得OF＝OC+2，由勾股定理得OC2+42＝（OC+2）2，求得OC＝3，则⊙O的半径长为3． 【解答】（1）证明：连接OC、OD，则OC＝OD， ∴∠OCD＝∠ODC， ∵CF＝EF， ∴∠FCE＝∠FEC＝∠OED， ∵AB是⊙O的直径，D是的中点， ∴， ∴∠AOD＝∠BOD180°＝90°， ∴∠OCF＝∠OCD+∠FCE＝∠ODC+∠OED＝90°， ∵OC是⊙O的半径，且CF⊥OC， ∴CF为⊙O的切线． （2）解：∵CF＝4，BF＝2，OB＝OC， ∴OF＝OB+BF＝OC+2， ∵∠OCF＝90°， ∴OC2+CF2＝OF2， ∴OC2+42＝（OC+2）2， 解得OC＝3， ∴⊙O的半径长为3． 【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、切线的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 4．（2024秋•江北区期末）如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，点E在斜边AC边上，以AE为直径的⊙O经过点D． （1）求证：直线BC为⊙O的切线． （2）如图2，连结BE．若，AB＝2，求BE的长． 【分析】（1）连接OD，由OA＝OD，得到∠OAD＝∠ODA，由角平分线定义得到∠OAD＝∠BAD，因此∠ODA＝∠BAD推出OD∥AB，得到半径OD⊥BC，即可证明问题； （2）连接 OD，根据三角函数的定义求出AC，设OA＝OD＝OE＝R，根据三角函数的定义求得CE＝2R，得到AE＝CE，由直角三角形斜边中线的性质即可求得答案． 【解答】（1）证明：连接OD， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∵AD平分∠BAC， ∴∠OAD＝∠BAD， ∴∠ODA＝∠BAD， ∴OD∥AB， ∴∠ODC＝∠B＝90°， ∴半径OD⊥BC于点D， ∴BC是⊙O的切线； （2）解：连接 OD， ∵OD∥AB， ∴∠DOC＝∠BAC， ∵cos∠BAC，∠ODC＝90°，AB＝2， ∴cos∠DOC，cosBAC， ∴AC＝6， 设OA＝OD＝OE＝R， ∴OC＝3R，AE＝2R， ∴CE＝2R， ∴AE＝CE， ∵∠ABC＝90°， ∴BEAC＝3． 【点评】本题主要考查了切线的性质和判定，解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． 题型六 正多边形和圆（共3小题） 1．（2024秋•东阳市期末）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器，早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖（如图1）．司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20cm，根据八个方位将圆形八等分（图2中的点A～H），连结DG，BH并延长交于点P． （1）点P位于点D的北偏东 　 　 的方向上． （2）求PH的长． （3）连结BG，比较线段BG与PH大小（写出你作出判断的理由）． 【分析】（1）先根据正八边形每条边所对的弧都是45°，再利用圆周角是圆心角得一半即可得解； （2）连接DH，易证PH＝DH＝20cm； （3）构造直角三角形求出BG，连接OG、BF，过G作GM⊥BF交BF于点M，易得GM＝OGcm，再利用勾股定理求出BG，这里因为BG2是含有根号，开不出来，所以我们直接求BG2进行比较即可． 【解答】解：（1）如图，连接OB、OG、BD， ∵八个方位将圆形八等分， ∴， ∴∠BOG＝45°×3＝135°， ∴∠BDP， 即点P位于点D的北偏东67.5°， 故答案为：67.5°； （2）连接DH，则DH为直径， ∴∠B＝90°，DH＝20cm， 由（1）知∠BDP＝67.5°， ∴∠P＝90°﹣67.5°＝22.5°， ∵， ∴， ∴PH＝DH＝20cm； （3）PH＞BG，理由如下： 如图，连接OG、BF，过G作GM⊥BF交BF于点M， ∵∠GOM＝45°，OG＝10cm， ∴GM＝OGcm， ∴BM＝OB+OM＝（10+5）cm， 在Rt△BGM中，BG2＝BM2+GM2＝200+100400， ∵PH2＝400， ∴PH2＞BG2， 故PH＞BG． 【点评】本题主要正多边形和圆、勾股定理、圆周角定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 2．（2024秋•丽水期末）已知：如图，连结正五边形ABCDE各条对角线，就得到一个五角星图案．（1）求五角星顶角∠ADB的度数； （2）当正五边形ABCDE的边长DE＝2时，求五角星图案内部正五边形MNLHK的边HL的长． 【分析】（1）先求得正五边形的内角和，从而得出每一个内角的度数； （2）先求得正五边形的每个内角都等于108°，再根据等腰三角形的性质求得∠EDA＝∠DEC＝36°，∠DHL＝∠DLH＝72°，则DH＝DL＝EH，EL＝ED＝2，设DH＝DL＝EH＝x，则HL＝2﹣x，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠ABC＝（5﹣2）×180°108°， ∴∠ADB＝108°（180°﹣108°）×2＝36°； （2）∵五边形ABCDE是正五边形， ∴AE＝DE＝DC＝BC，∠AED＝∠EDC＝∠DCB＝180°108°， ∴∠EDA＝∠EAD＝∠DEC＝∠DCE＝∠CDB＝∠CBD＝36°， ∴∠HDL＝36°，∠DHL＝∠DEC+∠EDA＝72°，∠DLH＝∠DCE+∠CDB＝72°， ∴∠DHL＝∠DLH，∠EDL＝∠ELD＝72°， ∴DH＝DL＝EH，EL＝ED＝2， 设DH＝DL＝EH＝x，则HL＝2﹣x， ∵∠HDL＝∠DEL，∠HLD＝∠DLE， ∴△HDL∽△DEL， ∴， ∴EL•HL＝DL2＝x2＝2×（2﹣x）， 解得x11，x21（不符合题意，舍去）， ∴五角星图案内部正五边形MNLHK的边HL的长为3． 【点评】此题重点考查正多边形的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的解法等知识与方法，证明△HDL∽△DEL是解题的关键． 3．（2025春•萧山区月考）窗花是我们节日装饰的元素之一．如图是一个花瓣造型的窗花示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是△ABO的内心，AB＝2． （1）求证：△ABO为等边三角形． （2）求窗花的周长（图中实线部分的长度）．（结果保留π） 【分析】根据正六边形的性质，三角形内心的性质以及直角三角形的边角关系求出所对应的圆心角的度数及半径，由弧长公式求出弧的长，再计算长的6倍即可． 【解答】解：（1）如图，过点C作CM⊥AB于点M，则AM＝BMAB， ∵六条等弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O， ∴∠AOB60°， ∵OA＝OB， ∴△AOB是等边三角形， （2）∵点O是△AOB的内心， ∴∠CAB＝∠CBA60°＝30°，∠ACB＝2∠AOB＝120°， 在Rt△ACM中，AM，∠CAM＝30°， ∴AC2， ∴的长为， ∴花窗的周长为π×6＝8π． 【点评】本题考查正多边形和圆，弧长的计算，掌握正六边形的性质，三角形的内心的性质以及直角三角形的边角关系，弧长的计算方法是正确解答的关键． 题型七 弧长的计算（共3小题） 1．（2024秋•义乌市校级期末）如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，点O为坐标原点．（网格中小正方形的边长为1）（1）该圆弧所在圆的圆心P的坐标为 　 　 ； （2）求的长（结果保留π）． 【分析】（1）连接BC，分别作AB、BC的垂直平分线，两条直线交于点P，根据图形求出圆心P的坐标； （2）根据勾股定理的逆定理得到∠APC＝90°，再根据弧长公式计算，得到答案． 【解答】解：（1）如图，连接BC，分别作AB、BC的垂直平分线，两条直线交于点P， 由图可知：圆心P的坐标为（2，﹣1）， 故答案为：（2，﹣1）； （2）如图，连接AP、CP， 由勾股定理得：AP2＝22+42＝20，PC2＝22+42＝20，AC2＝22+62＝40， ∴AP2+PC2＝AC2，AP＝2， ∴∠APC＝90°， ∴的长为：π． 【点评】本题考查的是弧长的计算、垂径定理，熟记弧长公式是解题的关键． 2．（2024秋•滨江区期末）小滨和小江在研究与圆有关的问题时发现：“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等．”进一步思考后，两位同学提出了这样的想法：这四对量中，如果有一对量存在倍数关系，其余三对量是否也会相应的存在倍数关系？因此，在如图所示的⊙O中，他们提出了如下猜想： 小滨：若∠AOB＝2∠BOC，则． 小江：若AB＝2BC，则． 请判断小滨、小江所提的猜想是否正确，并说明理由． 【分析】根据垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系以及三角形三边关系进行解答即可． 【解答】证明：小滨的猜想是正确的，小江的猜想是错误的；理由： 小滨：如图1，作∠AOB的平分线OD， ∵OD是∠AOBd的平分线， ∴∠AOB＝2∠AOD＝2∠BOD， 又∵∠AOB＝2∠BOC， ∴∠AOD＝∠BOD＝∠BOC， ∴， 即 ＝2； 小江：如图2，取AB的中点E，连接OE并延长交⊙O于点D，由垂径定理可知，， ∴AD＝BD， ∵AD+BD＞AB，即2AD＞AB，而AB＝2BC， ∴AD＞BC， ∴， ∴2． 【点评】本题考查垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，掌握垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系以及三角形三边关系是正确解答的关键． 3．（2024秋•拱墅区期末）如图，已知⊙O的半径为2，弦CD⊥直径AB，垂足为点E，点F在上（不与点A，点C重合），连接AF，AC，AD，FC． （1）求证：AC＝AD． （2）若． ①求∠ACD的度数． ②当FC∥AD时，求的长． 【分析】（1）根据垂径定理及圆心角定理证明； （2）①根据圆内接四边形的性质求解； ②根据“平行弦所夹的弧相等”，及弧长公式求解． 【解答】（1）证明：∵弦CD⊥直径AB， ∴A平分，即， ∴AC＝AD； （2）①∵四边形AFCD内接于⊙O， ∴∠AFC+∠ADC＝180°①， ∵AC＝AD， ∴∠ACD＝∠ADC， ∴∠ADC②， 由①②得：∠ADC＝67.5°，∠AFC＝112.5°， ∴∠ACD＝67.5°； ②连接OC，OD， ∵∠ADC＝∠ACD＝67.5°， ∴∠CAD＝180°﹣2×67.5°＝45°， ∴∠COD＝90°， ∵FC∥AD， ∴， ∵的长为：π， ∴的长为π． 【点评】本题考查了弧长公式及垂径定理，掌握弧长公式和垂径定理是解题的关键． 题型八 扇形面积的计算（共2小题） 1．（2024秋•慈溪市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°．以AC为直径的⊙O交BC于点D，交BA的延长线于点E，连结CE，DE． （1）求∠DEC的度数． （2）若DE＝6，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）先求出∠COD的度数，再得出∠DEC的度数； （2）求出扇形COD的面积和△COD的面积，即可得到阴影部分的面积． 【解答】解：（1）连接OD， ∵AB＝AC，∠B＝30°， ∴∠ACB＝30°， ∵OC＝OD， ∴∠OCD＝∠ODC＝30°， ∴∠COD＝180°﹣2×30°＝120°， ∴∠DEC； （2）连接AD，过O作OH⊥CD于点H， ∵∠AED＝∠ACD＝30°， ∴∠AED＝∠B＝30°， ∴BD＝DE＝6， ∵AC是直径， ∴AD⊥CD， ∴D为BC中点， ∴CD＝BD＝6， ∴DH＝3，OH，OD， ∴S． 【点评】本题考查了扇形面积的计算，圆周角定理等，掌握扇形面积计算是解题的关键． 2．（2024秋•余姚市期末）如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O交BC边于点D，交CA的延长线于点E，且∠C＝∠E． （1）求证：BD＝CD． （2）若AC＝4，，求阴影部分的面积． 【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可； （2）连接OD、OE，根据题意求得∠B＝30°，即可求得∠B＝∠C＝30°，得到∠OAE＝60°，证得△AOE是等边三角形，然后利用S阴影＝S扇形OAE﹣S△OAE求得即可． 【解答】（1）证明：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴AD⊥BD， 又∵∠E＝∠B，∠C＝∠E， ∴∠B＝∠C， ∴AB＝AC， ∴BD＝CD； （2）解：连接OD、OE， ∵， ∴∠BOD＝2∠AOD＝120°， ∴∠AOD＝60°， ∴∠B＝30°， ∵∠B＝∠C＝30°， ∴∠OAE＝60°， ∵OA＝OE， ∴△AOE是等边三角形， ∵AB＝AC＝4， ∴OA＝OE＝AE＝2， ∴S阴影＝S扇形OAE﹣S△OAEπ． 【点评】此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，扇形的面积，熟记同圆中同弧所对的圆周角相等是解题的关键． 题型九 圆的综合压轴题（共5小题） 1．（2024秋•江山市期末）⊙O是等腰△ABC的外接圆，AB＝AC，⊙O的直径为10，点D是弧ACB上的一点，连结BD，AD，过点A作AE⊥BD于点E． （1）如图1，若点D在上，∠EAD＝α，求∠BAC的度数（用含α的代数式表示）． （2）在（1）的条件下，若tanα，求S△ABC． （3）若弦BD经过圆心O，连结CD，且，求DE的长． 【分析】（1）连接AO并延长，交BC于点H，利用等腰三角形的性质，圆周角定理和相似三角形的判定与性质解答即可； （2）连接AO并延长，交BC于点H，交⊙O于点F，连接FC，利用（1）的结论和直角三角形的边角关系定理得到tan∠CAF，设FC＝a，则AC＝2a，利用勾股定理求得a值；利用三角形的面积公式求得CH，利用勾股定理求得AH，最后利用三角形的面积公式解答即可得出结论； （3）分类讨论，点D在弧AC或者优弧BC上，连接AO并延长交BC于点G，设AC＝2k，则CD＝3k，AB＝AC＝2k，利用圆周角定理，直角三角形的性质，三角形的中位线定理和勾股定理列出关于k的方程，解方程求得k值，再利用三角形的面积公式和勾股定理解答即可得出结论． 【解答】解：（1）连接AO并延长，交BC于点H，如图， ∵AB＝AC， ∴， ∴AH⊥BC， ∴∠BAH＝∠CAHBAC． ∵∠ADB＝∠ACB，∠AED＝∠AHC＝90°， ∴△ADE∽△ACH， ∴∠DAE＝∠CAH＝α， ∴∠BAC＝2∠CAH＝2α； （2）连接AO并延长，交BC于点H，交⊙O于点F，连接FC，如图， 由（1）知：∠DAE＝∠CAH＝α， ∵tanα， ∴tan∠CAF， ∵AF为⊙O的直径， ∴∠AFC＝90°， ∴tan∠CAF， 设FC＝a，则AC＝2a， ∵FC2+AC2＝AF2， ∴a2+（2a）2＝102， ∵a＞0， ∴a＝2， ∴AC＝4，FC＝2， ∵， ∴CH4， ∴BC＝2CH＝8，AH8， ∴S△ABC32； （3）①当点D在上时， 连接AO并延长交BC于点G，如图， ∵， ∴设AC＝2k，则CD＝3k，AB＝AC＝2k， ∵AB＝AC， ∴， ∴AG⊥BC， ∴BG＝GCBC． ∵弦BD经过圆心O， ∴BD为⊙O的直径， ∴∠BCD＝∠BAD＝90°， ∴DC⊥BC， ∴OG∥DC， ∵OB＝OD， ∴OGCDk， ∵⊙O的直径为10， ∴BD＝10，OA＝5，BC， ∴AG＝5，BG， ∵BG2+AG2＝AB2， ∴， ∴k＝2或k． 经检验，它们都是原方程的根，但负数不合题意，舍去， ∴k＝2， ∴AB＝4， ∴AD2， ∵， ∴AE4， ∴DE2． ②当点D在上时， 同理可得AG＝5k，BG，AC＝2k， 在Rt△ABG中，AG2+BG2＝AB2， ∴（5k）2+（）2＝（2k）2， 整理得4k2+3k﹣10＝0， 解得k或﹣2（负值舍去）； ∴AB， ∴AD， ∴cos∠ADE， ∴DE． 综上，DE的长为2或． 【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，三角形的面积公式，相似三角形的判定与性质，三角形的中位线，平行线的判定与性质，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 2．（2024秋•婺城区校级期末）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，连结AC，BD交于点E，过点C作CF∥BD交AD的延长线于点F． 【认识图形】 （1）求证：∠BCA＝∠F． （2）求证：△ABC∽△CDF． 【探索关系】 （3）当点B，F关于AC对称时． ①若BC＝3，AF＝5，求DE的长． ②记，，直接写出y关于x的函数表达式． 【分析】（1）由平行线的性质可得∠F＝∠ADB，由圆周角的性质可得∠ACB＝∠ADB，即可求解； （2）由平行线的性质可得∠DCF＝∠BDC，由圆周角的性质可得∠BAC＝∠DCF，即可求解； （3）①由相似三角形的性质可得DF，通过证明△ADE∽△AFC，可求DE的长； ②由①可得AB＝AC＝AF，得出AE＝AD，则CE＝DF，设BC＝x，则AB＝AC＝AF＝1，证明△BCE∽△ACB，得出CE＝x2，则AE＝AC﹣CE＝1﹣x2，根据△ADE∽△AFC，得出y1﹣x2． 【解答】（1）证明：∵CF∥BD， ∴∠F＝∠ADB， ∵∠ACB＝∠ADB， ∴∠ACB＝∠F； （2）证明：∵CF∥BD， ∴∠DCF＝∠BDC， ∵∠BAC＝∠BDC， ∴∠BAC＝∠DCF， 又∵∠ACB＝∠F， ∴△ABC∽△CDF； （3）解：①∵点B，F关于AC对称， ∴AB＝AF＝5，BC＝CF＝3，∠ACB＝∠ACF，∠BAC＝∠CAF， ∴∠ACB＝∠F＝∠ACF， ∴AC＝AF＝5， ∵△ABC∽△CDF， ∴， ∴， ∴DF， ∴AD＝5， ∵DB∥CF， ∴△ADE∽△AFC， ∴， ∴DE3； ②由①可得AB＝AC＝AF，BC＝CF， ∵CF∥BD， ∴AE＝AD， ∴CE＝DF， ∴∠AED＝∠ADE， ∵∠ADE＝∠BCE，∠AED＝∠BEC， ∴∠BCE＝∠BEC， ∴BE＝BC， ∴BE＝CF， ∵， 设BC＝x，则AB＝AC＝AF＝1， ∴BE＝BC＝x， ∵∠BEC＝∠BCE＝∠ABC，∠BCE＝∠ACB， ∴△BCE∽△ACB， ∴，即， ∴CE＝x2， ∴AE＝AC﹣CE＝1﹣x2， ∵CF∥BD， ∴△ADE∽△AFC， ∴， ∴y1﹣x2． ∴y＝1﹣x2． 【点评】本题考查了圆周角相等，圆内接四边形对角互补，相似三角形的性质与判定，熟练运用相似三角形的性质是解题关键． 3．（2024秋•义乌市期末）如图，等腰△ABD内接于⊙O，BA＝BD．点C是劣弧BD上的动点，连接AC，AC与BD相交于点E． （1）如图1，若∠ABD＝α°，BE＝BC． ①求∠DBC的度数；（用含α的代数式表示） ②若，求的值． （2）如图2，当AC刚好过圆心O，且AB＝4BC，时，求CD的长． 【分析】（1）①求出∠BAD、∠BDA的度数，由，求出∠BCA，根据三角形的内角和即可求出结果； ②由，设AB＝BD＝3x，AD＝2x，证明△DAE∽△DBA，求出DE，进而得到BE，证明△BCE∽△BDA，根据相似三角形的性质得到CE，即可求出结果； （2）设BC＝k，AB＝BD＝4k，在Rt△ABC中，运用勾股定理求出AC，证明△BEC∽△AED，求出AE、DE，证明△BEA∽△CED，求出CD，根据AC2＝AD2+CD2，列方程求出x，即可得到结果． 【解答】解：（1）①∵∠ABD＝α°，BA＝BD， ∴∠BAD＝∠BDA90°α°， ∵， ∴∠BCA＝∠BDA＝90°α°， ∵BE＝BC， ∴∠BCA＝∠BEC＝90°α°， ∴∠DBC＝180°﹣∠BCA﹣∠BEC＝α°； ②由，设AB＝BD＝3x，AD＝2x， ∵， ∴∠DBC＝∠DAE＝α°， ∵∠DAE＝∠DBA＝α°，∠ADE＝∠BDA＝90°α°， ∴△DAE∽△DBA， ∴，即， ∴DEx， ∴BE＝BD﹣DEx， ∵∠CBE＝∠DBA，∠BCE＝∠BDA， ∴△BCE∽△BDA， ∴， ∴， ∴CEx， ∴； （2）过点A作AM⊥BD， ∵∠ACB＝∠ADM，∠ABC＝∠AMD＝90°， ∴△ABC∽△AMD， ∵AB＝4BC， ∴AM＝4DM， 在Rt△AMD中， ∵AM2+DM2＝AD2， ∴DM＝1，AM＝4， 设AB＝BD＝x，则BM＝x﹣1， 在Rt△ABM中， ∵AM2+BM2＝AB2， ∴42+（x﹣1）2＝x2， ∴x， ∴AB＝BD， ∴BC， ∴AC， ∴CD． 【点评】本题是圆的综合题，考查圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的相似与判定，勾股定理，本题的关键是灵活运用相似三角形的性质与判定，寻找线段的数量关系解题． 4．（2024秋•仙居县期末）如图1，在⊙O的内接四边形ABCD中，BC＝DC，连接AC，BD．过点C作BD的平行线，分别与AB，AD的延长线交于点E，F． （1）求证：EF是⊙O的切线． （2）如图2，若AB是⊙O的直径，AB＝10，AC＝BD，求CE的长． 【分析】（1）连接OC，由BC＝DC，得到，根据平行线的性质得到OC⊥EF，根据切线的判定定理得到EF是⊙O的切线． （2）连接OC，由AC＝BD，得到，求得，根据圆周角定理得到∠ADB＝∠ACB＝90°，根据平行线的性质得到∠E＝∠ABD，求得∠E＝∠CAE，根据全等三角形的性质得到OC＝AD，OE＝AB＝10，根据勾股定理得到CE5． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵BC＝DC， ∴， ∴OC⊥BD， ∵BD∥EF， ∴OC⊥EF， ∵OC是⊙O的半径， ∴EF是⊙O的切线． （2）解：连接OC， ∵AC＝BD， ∴， ∴， ∴， ∴∠ABD＝∠BAC，AD＝BC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝∠ACB＝90°， ∵BD∥EF， ∴∠E＝∠ABD， ∴∠E＝∠CAE， ∴AC＝CE， ∴BD＝CE， ∵∠ADB＝∠OCE＝90°， ∴△ADB≌△OCE（ASA）， ∴OC＝AD，OE＝AB＝10， ∴CE5． 【点评】本题是圆的综合题，考查了切线的判定和性质，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 5．（2024秋•杭州期末）如图1，已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，延长AO交BC于E点，交⊙O于点F，D是劣弧上一点，连接AD并延长交BC的延长线于点M，连接CD． （1）求证：∠ACB＝∠CDM； （2）若BM＝5，AE＝CM＝3，求CD的长； （3）如图2，连接BD分别交AF和AC于点G和点H，若∠DAG＝∠DGA，且GH＝n，请用含n的值表示的值（不需要写出过程）． 【分析】（1）根据等边对等角可得：∠B＝∠ACB，由圆内接四边形的性质得：∠CDM＝∠B，由此可得结论； （2）先根据垂径定理得：AF⊥BC，BE＝CE，由勾股定理得：AM5，AC，证明△ACD∽△AMC，即可解答； （3）如图3，连接CG，过点G作GK⊥AC于K，设∠ADB＝∠ACB＝∠ABC＝2x，先证明CG平分∠ACB，由三角形的面积的比可得：，，化简等量代换后即可解答． 【解答】（1）证明：如图1，∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠B+∠ADC＝180°， ∵∠CDM+∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠CDM， ∴∠ACB＝∠CDM； （2）解：∵AB＝AC， ∴， ∴AF⊥BC， ∴BE＝CE， ∵BM＝5，CM＝3， ∴BC＝5﹣3＝2， ∴BE＝CE＝1， ∴EM＝3+1＝4， 由勾股定理得：AM5，AC， ∵∠ACB＝∠CDM， ∴∠ADC＝∠ACM， ∵∠CAD＝∠CAM， ∴△ACD∽△AMC， ∴，即， ∴CD； （3）解：如图3，连接CG，过点G作GK⊥AC于K， 设∠ADB＝∠ACB＝∠ABC＝2x， ∵∠DAG＝∠DGA， ∴AD＝DG，∠DAG＝∠DGA90°﹣x，∠CAE＝90°﹣2x， ∴∠CAD＝∠DAG﹣∠CAE＝（90°﹣x）﹣（90°﹣2x）＝x， ∴∠CAD＝∠CBD＝∠GCB＝x， ∴∠GCH＝∠BCG＝x， ∴CG平分∠ACB， 设△BCH中BH边上的高为h， ∵EG⊥BC，GK⊥AC，CG平分∠ACB， ∴GK＝EG， ∴， ∴， ∵∠ABD＝∠ACD＝∠CAD＝∠ACG＝x， ∴AD＝CD＝DG，AC平分∠DCG， 同理得：， ∵AD＝CD，BG＝CG， ∴， ∴， ∵AD＝DG， ∴1， ∴， ∵GH＝n， ∴． 【点评】本题是圆的综合题，考查了垂径定理，等腰三角形的判定和性质，圆周角的相关定理，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，勾股定理等知识．作出辅助线，熟练掌握三角形有关的性质定理是解题的关键． $专题02 圆的综合证明问题解答题专练 题型1 圆心角、弧、弦的关系 题型6 正多边形和圆（难点） 题型2 垂径定理的应用（重点） 题型7 弧长的计算 题型3 圆周角定理（重点）（常考点） 题型8 扇形面积的计算 题型4 圆内接四边形的性质（常考点） 题型9 圆的综合压轴题（重点）（难点）（常考点） 题型5 切线的性质与判定（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 圆心角、弧、弦的关系（共1小题） 1．（2024秋•鄞州区期末）如图，AB是⊙O的弦，分别以点A，B为圆心，同样长度为半径画圆弧交圆内于点C，连结OC并延长交⊙O于点D，连结OA，OB． （1）求证：∠AOD＝∠BOD； （2）若∠AOD：∠AOB＝3：2，AB＝4，CD＝OC，求CD的长． 题型二 垂径定理的应用（共2小题） 1．（2024秋•柯桥区期末）在古今中外许多著名建筑中，有很多应用圆弧设计的元素． 如图1，哥特式尖拱是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形，叫做两心尖拱． 图2是两心尖拱的示意图，其中，点A，B称为起拱处，点C称为拱尖，C到AB的距离CD称为拱高，，与关于直线CD成轴对称，和的圆心分别是点M、N，且M、N恰好落在直线AB上． （1）如图3，当点M恰好与B重合，点N恰好与A重合，若CD＝9m，求所在圆的半径长； （2）若图2中，CD＝10m，AB＝12m，求两心尖拱的两个圆心M、N之间的距离． 2．（2024秋•浙江期中）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB＝52cm，MN为水面截线，MN＝48cm，GH为桌面截线，MN∥GH． （1）作OC⊥MN于点C，求OC的长； （2）将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了14cm，求此时水面截线减少了多少． 题型三 圆周角定理（共5小题） 1．（2024秋•北仑区期末）如图，AB，CD是⊙O的两条弦，，作OE⊥AB，交⊙O于点E，延长EO交CD于点F，连结BD． （1）求证：AB∥CD． （2）若EF＝CD＝8，求⊙O的半径． 2．（2024秋•江山市期末）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，记顶角∠BAC为α，以腰AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E． （1）若α＝50°，求的度数． （2）若sinα，BC＝2，求直径AB的长． 3．（2024秋•滨江区期末）如图，在⊙O中，直径BD与弦AC交于点E，且AB＝AC． （1）求证：∠BAC＝2∠ABD． （2）若△ADE是以AD为腰的等腰三角形，求∠ABD． （3）若AB＝5，BC＝6，求AE． 4．（2024秋•东西湖区期末）如图，AB是⊙O的直径，CD＝CB，CE⊥AB于点E，连接BD交CE于点F． （1）求证：CF＝BF． （2）若CD＝4，AC＝8，求弦BD的长． 5．（2025春•西湖区校级月考）如图，AB为⊙O的直径，D是弧BC的中点，BC与AD、OD分别交于点E、F． （1）求证：DO∥AC； （2）若， ①求的值； ②求sin∠CDA的值． 题型四 圆内接四边形的性质（共2小题） 1．（2024秋•上虞区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB＝∠CDB． （1）判断△ABC的形状，并给出证明． （2）若，，求弦BD和弦CD的长． 2．（2025春•西湖区校级月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，BD，点E在BA的延长线上，且． （1）若AC＝CD，求∠ABD的度数； （2）若AB＝a，DC＝b， ①请用含a，b的代数式表示∠ACD的余弦值； ②请用含a，b的代数式表示AC． 题型五 切线的性质与判定（共4小题） 1．（2024秋•义乌市校级期末）如图，AB为⊙O的直径，点F在⊙O上，OF⊥AB，点P在AB的延长线上，PC与⊙O相切于点C，与OF的延长线相交于点D，AC与OF相交于点E． （1）求证：DC＝DE； （2）若OA＝2OE，DF＝3，求⊙O的半径． 2．（2024秋•新昌县期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，点D是⊙O上的一个点，且BD＝BC． （1）求证：∠A＝∠BCD． （2）E是DB延长线上的一点，连接CE，若CB恰好平分∠DCE．求证：CE为⊙O的切线． 3．（2024秋•玉环市期末）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是的中点，CD与AB交于点E．F是AB延长线上的一点，且CF＝EF． （1）求证：CF为⊙O的切线； （2）若CF＝4，BF＝2，求⊙O的半径． 4．（2024秋•江北区期末）如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，点E在斜边AC边上，以AE为直径的⊙O经过点D． （1）求证：直线BC为⊙O的切线． （2）如图2，连结BE．若，AB＝2，求BE的长． 题型六 正多边形和圆（共3小题） 1．（2024秋•东阳市期末）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器，早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖（如图1）．司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20cm，根据八个方位将圆形八等分（图2中的点A～H），连结DG，BH并延长交于点P． （1）点P位于点D的北偏东 　 　 的方向上． （2）求PH的长． （3）连结BG，比较线段BG与PH大小（写出你作出判断的理由）． 2．（2024秋•丽水期末）已知：如图，连结正五边形ABCDE各条对角线，就得到一个五角星图案．（1）求五角星顶角∠ADB的度数； （2）当正五边形ABCDE的边长DE＝2时，求五角星图案内部正五边形MNLHK的边HL的长． 3．（2025春•萧山区月考）窗花是我们节日装饰的元素之一．如图是一个花瓣造型的窗花示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是△ABO的内心，AB＝2． （1）求证：△ABO为等边三角形． （2）求窗花的周长（图中实线部分的长度）．（结果保留π） 题型七 弧长的计算（共3小题） 1．（2024秋•义乌市校级期末）如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，点O为坐标原点．（网格中小正方形的边长为1）（1）该圆弧所在圆的圆心P的坐标为 　 　 ； （2）求的长（结果保留π）． 2．（2024秋•滨江区期末）小滨和小江在研究与圆有关的问题时发现：“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等．”进一步思考后，两位同学提出了这样的想法：这四对量中，如果有一对量存在倍数关系，其余三对量是否也会相应的存在倍数关系？因此，在如图所示的⊙O中，他们提出了如下猜想： 小滨：若∠AOB＝2∠BOC，则． 小江：若AB＝2BC，则． 请判断小滨、小江所提的猜想是否正确，并说明理由． 3．（2024秋•拱墅区期末）如图，已知⊙O的半径为2，弦CD⊥直径AB，垂足为点E，点F在上（不与点A，点C重合），连接AF，AC，AD，FC． （1）求证：AC＝AD． （2）若． ①求∠ACD的度数． ②当FC∥AD时，求的长． 题型八 扇形面积的计算（共2小题） 1．（2024秋•慈溪市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°．以AC为直径的⊙O交BC于点D，交BA的延长线于点E，连结CE，DE． （1）求∠DEC的度数． （2）若DE＝6，求图中阴影部分的面积． 2．（2024秋•余姚市期末）如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O交BC边于点D，交CA的延长线于点E，且∠C＝∠E． （1）求证：BD＝CD． （2）若AC＝4，，求阴影部分的面积． 题型九 圆的综合压轴题（共5小题） 1．（2024秋•江山市期末）⊙O是等腰△ABC的外接圆，AB＝AC，⊙O的直径为10，点D是弧ACB上的一点，连结BD，AD，过点A作AE⊥BD于点E． （1）如图1，若点D在上，∠EAD＝α，求∠BAC的度数（用含α的代数式表示）． （2）在（1）的条件下，若tanα，求S△ABC． （3）若弦BD经过圆心O，连结CD，且，求DE的长． 2．（2024秋•婺城区校级期末）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，连结AC，BD交于点E，过点C作CF∥BD交AD的延长线于点F． 【认识图形】 （1）求证：∠BCA＝∠F． （2）求证：△ABC∽△CDF． 【探索关系】 （3）当点B，F关于AC对称时． ①若BC＝3，AF＝5，求DE的长． ②记，，直接写出y关于x的函数表达式． 3．（2024秋•义乌市期末）如图，等腰△ABD内接于⊙O，BA＝BD．点C是劣弧BD上的动点，连接AC，AC与BD相交于点E． （1）如图1，若∠ABD＝α°，BE＝BC． ①求∠DBC的度数；（用含α的代数式表示） ②若，求的值． （2）如图2，当AC刚好过圆心O，且AB＝4BC，时，求CD的长． 4．（2024秋•仙居县期末）如图1，在⊙O的内接四边形ABCD中，BC＝DC，连接AC，BD．过点C作BD的平行线，分别与AB，AD的延长线交于点E，F． （1）求证：EF是⊙O的切线． （2）如图2，若AB是⊙O的直径，AB＝10，AC＝BD，求CE的长． 5．（2024秋•杭州期末）如图1，已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，延长AO交BC于E点，交⊙O于点F，D是劣弧上一点，连接AD并延长交BC的延长线于点M，连接CD． （1）求证：∠ACB＝∠CDM； （2）若BM＝5，AE＝CM＝3，求CD的长； （3）如图2，连接BD分别交AF和AC于点G和点H，若∠DAG＝∠DGA，且GH＝n，请用含n的值表示的值（不需要写出过程）． $