第2章 直线与圆的位置关系（单元测试·提升卷）数学浙教版九年级下册

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第一章直线与圆的位置关系·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 个 8 10 c A D B A C D D A c 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.相交 12.68 13.√29 14.16 15.2-5或好 16.5-1/-1+√3 三、解答题（共8小题，共72分） 17.(8分) 【详解】(1)解：半径0A=2,A01B0, 1 1 45卷0s=4不x2=元，5.0w=2x2×2=2, 4 ∴.阴影部分的面积为：π-2.（4分) (2)解：如图所示， B 图2 连接A0并延长交OO于点E,连接ED,OC并延长交于点F,作直线BF,则BF为所求作的切线 (8分) 1/13 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 18.(8分) 【详解】(1)解：如图，⊙0即为所求， (4分) (2)解：设⊙0的半径为r, 在Rt△ABC中，∠ACB=90°.AC=3,BC=4, .AB=VAC2+BC2=V32+42=5, OD⊥AB,∠ACB=90°.∠ABC角平分线交AC于点O, .0D=0C=r, ∴sx=Sm+So4B-0D+8c-0c=4B+8c- 2 1 S.ABC=S.4B0+S.BCO=AC.BC=6. 2 6 解得一号 即00的半径为(8分) 4 19.(8分) 【详解】(1)证明：连接OB并延长交AD于点F,连接OD, E C O BD=BA,OA=OD, ∴.BF为线段AD的垂直平分线 AC为00的直径， .∠ADC=90° BE⊥DC, 2/13 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 ∴.四边形BEDF为矩形， .∠EBF=90°， .BE是O0的切线；(4分) (2)解：，点O,F分别为AC,AD的中点， 4.OF-cD3 .BF=DE=1+3=4, 0B=0D=4-3=5 22 AO=DO,BF⊥AD, ∴.∠A0D=2∠D0F. .ZAOD =2ZABD, .∠DOF=LDBA, 3 cos∠DBA=cos∠DOF= OF_ .(8分) OD 5 2 20.(8分) 【详解】(I)解：过点A作AF⊥BC于F,连接AD,AE, A E :B(-4,0),C(0,2), B O(A) AB=4,AC=2, :AB⊥AC,AD=AE :EF=DF,BC=AB2+AC2=25, .S.ac=1AC.AB-1BC.AF, 2 AC·AB=BC·AF, 4F=2×44V5 25-51 3/13 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 ∴DF=OD2-AF网 35 5 DE的长度为 5(4分) (2)解：设OA与直线BC相切于点H,连接AH, 设点A的坐标为m,0), 则AH⊥BC, .∠BOC=∠BHA=90°， y E H D :∠OBC=∠HBA, B “△BOC∽△BHA, OC BC HA BA' 225 万m+4' m+4=5, m=-9或1， :点A的坐标为-9,0)或1,0.(8分) 21.(8分) 【详解】(1)证明：连接0D, D ,直线BC与O0相切， ∴.0D⊥BC. .∠0DB=90°， 4/13 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 又∠C=90°， ∴.∠0DB=∠C, .0D∥AC, ∴.∠CAD=∠ODA, 0A=0D, .∠OAD=∠ODA, .∠CAD=∠OAD, .AD平分∠BAC;(4分) (2)①解：设0A=OD=r,在Rt△BD0中，∠B=30°， 0B=2r, .AB=0A+0B=3r, 在Rt△ACB中，∠B=30°， ∴.AB=2AC=6, .3r=6, 解得r=2;(6分) ②解：在Rt△ACB中，∠B=30°， ∴.∠B0D=60°. ∴.S扇形oDE 60π×222 360 3交. ,0B=2r=4,0D=2, ∴.BD=V0B2-0D2=2V5, S.m-xODxBD-2 二阴影总分的面积为So0-50E=25-名：.(8分) 22.(10分) 【详解】(1)解：如图，连接OA,OB, B CO D .AC⊥MN,BD⊥MN, ∴.∠AC0=∠BD0=90°， 5/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .CM=DN OM=ON, ∴.0M-CM=0N-DN,即OC=OD, 又0A=0B, .∴R1aOAC≌RtAOBD(HL, ∴.∠AOC=∠B0D, AM=BN·(2分) (2)①解：如图，连接OA,OB, B 由题意，得∠A0B=90°， ∴.∠A0C+∠B0D=90°， :AC⊥MN,BD⊥MN, .LAC0=∠BD0=90°， .LA0C+∠0AC=90°， ∴.∠0AC=∠B0D, 又0A=0B, ∴.△OAC≌△B0DAAS）, ..AC=OD,OC=BD, 由图可知，AM+BN=N-iB-=180x100r_90x10m=25x(cml, 360 360 CM+AC+BD+DN CM +OD+OC+DN MN=100(cm), ∴.裁出的两块木料的周长之和为100+25πcm;(4分) ②由①可知，MN=AC+CM+BD+DN=48+32=80(cm), ÷OM=0N=MN=40(cm, 2 ..OM-(BD+DN)=OD+DN -BD-DN=OD-BD=40-32=8(cm), ..OD=(BD+8 cm, 又0B=0N=40cm, 6/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .在Rt△0BD中，OB2=OD2+BD2,402=(BD+8+BD2, 解得BD=24cm, .0D=BD+8=32cm, Som-)0DBD=×32×24=384cm, 2 2 由①可知，△0AC≌△B0D, .S04c=S08D=384cm2, 由图可知，阴影部分的面积=半圆M0N的面积-扇形AOB的面积-S.o4c-SoBD, 180mx402_90m×402-384-384=(400m-768)cm2, 360 360 故答案为：400π-768.(6分) (3)如图，连接OE,OB, F 由(1)，得OC=OD,BD=AC=n, ..0D=DF+0F,CF=0C+0F=0D+0F=DF+0F+0F=DF+20F, OE=OB,EF⊥MN,BD⊥MN, .OE2=0F2+EF2=0B2=OD2+BD2, .OF2+EF2=OD2+BD2,，即OF2+EF2=(DF+OF)2+n2, 整理，得 EF2=(DF+OF2-OF2+n2=(DF+OF-OF)(DF+OF+OF)+n2=DF(DF+20F)+n2=DFCF+n2=m+n2 .EF=√m+n2.(10分) 23.(10分) 【详解】(1)解：连接BO,如图 7113 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 M(P)A B 图1 BM切半圆O于点M,PQ=8, ∴.∠BM0=90°，OM=OP=÷PQ=4. .B0=VBM2+0M2=V(6V5)2+42=2V31. 故答案为：231.(4分) (2)①，AB∥CD,AD⊥CD,连接OB、OT,如图 M 图2 .LDAB=∠ADC=90°， ∴.∠ABD=90°-∠ADB=60°， ,BP切圆O于点P,BD切圆O于点T, .PB=B7,∠PB0=∠TBO=∠PBD=30,BP1PO, ∴.∠BP0=90°， .∴.0B=2P0=8, .BP=V0B2-0P2=V82-42=4V5, .BT=4V5.(6分) ②过点O作ON⊥BD于N,连接OE、OF,如图 M A(P) B D 图3 有0D=AD-0P=9-4=5,∠OND=90°，EN=FN=EF,OE=OP=4, 8/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠ADB=30°， .ON=22、J 2 ·EN=OE-oN2=4-= 2,即EF=2EN=V59.(8分) 2 ③如图所示 M A(P) B H G D H' ,0H=0A=4,点H是P0的中点， ∠Q0H=∠P0H=x180°=90°， .DH=V0D2+0H2=V52+42=√41， ,点H是PQ的中点，半圆O绕D顺时针旋转90°，PQ长度为8， ∴点H的轨迹是以D为中心、半径为√41的圆弧， 即点H的轨迹为×2πxV④=4r, 4 2 ,C为定点，G是CH的中点， ∴点G的轨迹是H轨迹的)缩放， 即点G的运动路径长为片×④π-④ 22 π.(10分) 24.(12分) 【详解】(I)解：过C作CD垂直旋转后的直线于D,设OC交y轴与点E,连接DE,如图， C(0,-4),⊙C的半径为2， ∴.0C=4,CD=CE=2, ∴.0E=0C-CE=2, ∴.OE=CE, 9/13 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .DE=0C=2, ∴.aCDE是等边三角形， ∴.∠0CD=60°， .LC0D=90°-∠0CD=30°， ∴.∠D0H=∠C0H-∠C0D=60°， .线段0H与⊙C的“关联角”为60°， 故答案为：60； 0 E (3分) D H (2)解：设直线A'B与⊙C相切于点F,连接CF,OA,过C作CG⊥OA于点G, 则∠F=∠AGC=90°， A-3,0,B-3,-2, .AB⊥x轴，AB=2,0A=3, .∠0AB=90°， 由旋转知，∠OAB=∠OAB=90°， .四边形AFCG是矩形， ∴.AF=CG,AG=CF=2, .∴.OG=OA-AG=1, .CG=V0C2-0G2=5, 当点B在点A上方时，点F不在线段AB上： .AB不是⊙C的“关联线段”， 当点B在点A下方时， 10/13………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第一章 直线与圆的位置关系·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是（    ） A．无法确定 B．相切 C．相交 D．相离 2．已知的半径是5，直线与相交，则圆心到直线的距离可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．下列说法中，正确的是（    ） A．长度相等的弧是等弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．相等的圆心角所对的弦相等 D．三角形的内心到三角形三条边的距离相等 4．如图，，，分别与相切于，，三点，，，则的长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 5．如图，，，是的切线，切点分别为，，.若，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 6．如图，在中，，点O为的内心．若的面积为25，则的面积为（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 7．如图，是的直径，点，在上，连接，，，，过点作的切线，交的延长线于点，若的直径为4，，则的长为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，，是的内切圆，连接，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过，，的半径为2，（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（   ） A． B．2 C．3 D． 10．如图，已知半径分别等于和的，外切于点．两圆的一条外公切线切于点，切于点，过作的垂线与的中垂线交于点，是的中点．则的面积等于（   ）． A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．的直径为8，圆心到直线的距离为3，则直线与的位置关系是 ． 12．如图，是的弦，点在过点的切线上，，交于点；若，则的度数为 ． 13．如图，与相切于点，连接，过点作的垂线，交于点，连接．若，，则的长为 ． 14．如图，、分别切于、，，是劣弧上的点（不与点、重合），过点的切线分别交、于点、．则的周长为 ． 15．如图，正方形的边长为，F是的中点，E点从点B出发沿以的速度向点C移动，一直到达点C为止，连接，以点E为圆心，长为半径作．当与正方形的边相切时，则点E的运动时间t为 ． 16．如图，是半径为的的弦，将弧沿将翻折后，恰好经过圆心，点是翻折的弧上的一动点；连接并延长交于C，点为的中点，连接，则的最小值为 ． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）已知，为的弦，且． (1)如图1，若，求阴影部分的面积； (2)如图2，若点为的中点，点为的中点．请仅用无刻度的直尺过点作的切线． 18．（8分）如图，在中，． (1)尺规作图：作，使得经过点C，并且与边都相切；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，则的半径为 ． 19．（8分）如图，是的外接圆，为直径，交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求． 20．（8分）如图，在平面直角坐标系内，直线分别交x轴、y轴于点B、点C，，，点A是x轴上一点，的半径为 (1)当点A与坐标原点O重合时，与直线交于点D、E，求的长度； (2)若点A在x轴上移动，当与直线相切时，求点A的坐标． 21．（8分）如图，在中，，O是上一点，以为半径的与相切，切点为D，连接，与相交于点E． (1)求证：是的角平分线； (2)若，． ①求的半径； ②设与边的另一个交点为E，求线段、与劣弧所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π） 22．（10分）有若干块半圆形木板，木匠李师傅在直径上取两点、，作，与半圆交于点，作，与半圆交于点 (1)如图1，李师傅通过测量，使得，此时与的长相等，请说明理由； (2)如图2，李师傅从这块木板中裁出了两块阴影部分的木料，使得为90°， ①若，求裁出的两块木料的周长之和； ②若，，则裁出的两块木料的面积之和为 ； (3)如图3，李师傅在直径上取点，作，与半圆相交于点若，，，求的长．(用含、的代数式表示) 23．（10分）如图1，在四边形中，，，，连接，，点M在射线上，且，以为直径的半圆O与射线相切于点M，． (1)的长为______； (2)将半圆O先沿方向向右平移，当点P到达点A后，半圆O立刻绕点D顺时针旋转． ①如图2，在平移过程中，当半圆O与相切于点T时，求的长； ②如图3，当点P到达点A时，交于点E，F，求的长； ③若点H平分，连接，G为的中点，在半圆O的旋转过程中，直接写出点G的运动路径长． 24．（12分）在平面直角坐标系中，点的半径为2．如果将线段绕原点逆时针旋转后的对应线段所在的直线与相切，且切点在线段上，那么线段就是的“关联线段”．其中满足题意的最小就是线段与的“关联角”． (1)如图1，如果点，线段OH是的“关联线段”，那么它的“关联角”为__________； (2)如图2，点，线段AB__________的“关联线段”（填“是”或“不是”）； (3)点，若线段DE是的“关联线段”，则的取值范围是__________； (4)点为平面内一点，若存在以为端点，长度为4的线段是的“关联线段”，则点M的横坐标的取值范围是__________． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第二章 直线与圆的位置关系·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是（    ） A．无法确定 B．相切 C．相交 D．相离 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是直线和圆的位置关系，解题关键是熟练掌握判断直线和圆的位置关系的方法． 按照判断直线和圆的位置关系的方法进行判断即可． 【详解】解：的半径为，圆心到直线的距离为， 且， 直线与的位置关系是相交． 故选：． 2．已知的半径是5，直线与相交，则圆心到直线的距离可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据直线和相交即，即可判断． 【详解】解：∵直线与相交， ∴圆心到直线的距离小于， 符合要求的为4， 故选：A． 3．下列说法中，正确的是（    ） A．长度相等的弧是等弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．相等的圆心角所对的弦相等 D．三角形的内心到三角形三条边的距离相等 【答案】D 【分析】本题考查了圆的基本性质和三角形的内心，根据等弧的定义、垂径定理的推论、圆心角弧弦的关系及三角形的内心的性质逐一判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、等弧需完全重合，仅长度相等不一定重合，该选项说法错误； 、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，该选项说法错误； 、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，该选项说法错误； 、三角形的内心到三角形三条边的距离相等，该选项说法正确； 故选：． 4．如图，，，分别与相切于，，三点，，，则的长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】本题主要考查了切线长定理，根据切线长定理可求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：∵，，分别与相切于，，三点， ∴， ∴， 故选：B． 5．如图，，，是的切线，切点分别为，，.若，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键． 由于、、是的切线，则，，求出的长即可求出的长． 【详解】解：、为的切线， ， 、为的切线， ， ． 故选：A． 6．如图，在中，，点O为的内心．若的面积为25，则的面积为（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】C 【分析】此题主要考查三角形的内心的性质，掌握“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”是解本题的关键． 由角平分线的性质可得，点O到，，的距离相等，则、、面积的比实际为，，三边的比． 【详解】解：∵O为的内心， ∴点O是三条角平分线的交点， ∴点O到，的距离相等， ∴、面积的比． ∵的面积为25， ∴的面积为15． 故选：C． 7．如图，是的直径，点，在上，连接，，，，过点作的切线，交的延长线于点，若的直径为4，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，圆周角定理和相似三角形的判定与性质及勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 连接，如图，先根据切线的性质得到，利用勾股定理可计算出，再根据圆周角定理得到，然后证明，于是利用相似比可求出的长． 【详解】解：连接，如图， 为的切线， ， ， 的直径为4， ，， 在中，，， ， 是的直径， ， ∵， ∴， ∵ ， 而， ， ，即， 解得． 故选：D． 8．如图，在中，，，，是的内切圆，连接，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设与分别相切于E、F、H，连接，可证明四边形是正方形，由，，，求得，，由，，求得，则，则，由，，求得，则，所以阴影部分扇形的圆心角为，再根据扇形的面积公式求解，即可解题． 【详解】解：设与分别相切于E、F、H，连接， ，， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ，，， ，， ，， ， ， ， ∵是的内切圆， 平分，平分， ，， ， ， 阴影部分扇形的圆心角为， ， 故选：D． 【点睛】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、勾股定理、三角形的内切圆与内心、切线的性质、切线长定理、正方形的判定与性质、扇形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 9．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过，，的半径为2，（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】此题考查切线的性质定理，勾股定理的应用，解题关键在于掌握切线的性质定理和勾股定理运算． 连接，根据勾股定理知，当时，线段最短，即线段最短，利用直角三角形的面积公式即可求得的值，进而得到的值． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， 根据勾股定理， ∴最短时，取得最小值， ∵当时，线段最短， 又∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10．如图，已知半径分别等于和的，外切于点．两圆的一条外公切线切于点，切于点，过作的垂线与的中垂线交于点，是的中点．则的面积等于（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，连接，，过作于，交于，由切线的性质推出，，判定四边形是矩形，得到，，由勾股定理求出，求出的面积，判定，推出，即可求出的面积． 关键是判定，推出． 【详解】解：连接，，过作于交于，如图： 两圆的外公切线切于点，切于点， ，， 四边形是矩形， ，， 和的半径分别是和， ，， ，， ， 的面积， 是的中点， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积． 故选：C． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．的直径为8，圆心到直线的距离为3，则直线与的位置关系是 ． 【答案】相交 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，若圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，直线与圆的位置关系：①当时，直线与圆相离；②当时，直线与圆相切；③当时，直线与圆相交． 求出的半径，进而根据直线与圆的位置关系作答即可． 【详解】∵的直径为8， ∴的半径为4， ∵圆心到直线的距离为3，， ∴直线与的位置关系是相交． 故答案为：相交． 12．如图，是的弦，点在过点的切线上，，交于点；若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查切线的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质及等腰三角形的性质是解题的关键；连接，则有，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：连接， 为切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 13．如图，与相切于点，连接，过点作的垂线，交于点，连接．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键．根据题意可推出，证明得到，即，，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：与相切于点， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 故答案为：． 14．如图，、分别切于、，，是劣弧上的点（不与点、重合），过点的切线分别交、于点、．则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题重点考查切线的性质，圆的切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角，熟练掌握定理是解题的关键． 根据切线长定理得到，即可求出的周长，即可完成求解． 【详解】解：∵、分别切于、， ∴， ∵过点的切线分别交、于点、， ∴， ∴的周长 ． 故答案为：16． 15．如图，正方形的边长为，F是的中点，E点从点B出发沿以的速度向点C移动，一直到达点C为止，连接，以点E为圆心，长为半径作．当与正方形的边相切时，则点E的运动时间t为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，分当与直线相切时，与直线相切时两种情况讨论，在中利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵正方形的边长为4， ∴，， ∵F是的中点， ∴， 当与直线相切时，如图，设切点为，连接，则， ∴四边形是矩形． ， 在中，， ， 点E的运动时间t为 当与直线相切时，如图， ∵， ∴切点为， 此时，， 在中，， ∴， 解得 点E的运动时间t为， 综上，点E的运动时间t为或， 故答案为：或． 16．如图，是半径为的的弦，将弧沿将翻折后，恰好经过圆心，点是翻折的弧上的一动点；连接并延长交于C，点为的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】连接、，，，作于点，求出，然后在中利用三角形的三边关系可得，从而求的最小值． 【详解】解：如图，连接、，，，作于点， 由翻折可知：， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形，连接， ∵为中点， ∴由三线合一性质可得：， ∵， ∴由垂径定理可得：为中点， 在中，为斜边上的中线， ∴， ∵， ∴当、、三点共线时取等号，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠的性质，圆的性质，圆周角定理，特殊角的三角函数，等边三角形的判定与性质，等腰三角形“三线合一”的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，关键是辅助线的作法． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）已知，为的弦，且． (1)如图1，若，求阴影部分的面积； (2)如图2，若点为的中点，点为的中点．请仅用无刻度的直尺过点作的切线． 【答案】(1) (2)作图见详解 【分析】（1）阴影部分的面积是圆的面积减去三角形的面积，由此即可求解； （2），点在圆上，连接并延长交于点，连接，并延长交于点，由此即可求解． 【详解】（1）解：半径，， ∴，， ∴阴影部分的面积为：． （2）解：如图所示， 连接并延长交于点，连接，并延长交于点，作直线，则为所求作的切线． 【点睛】本题主要考查圆的几何变换，切线的尺规作图，掌握圆的基本知识，切线的性质是解题的关键． 18．（8分）如图，在中，． (1)尺规作图：作，使得经过点C，并且与边都相切；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，则的半径为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了切线的判定、勾股定理、角平分线的作图和性质等知识，准确作图是关键． （1）作角平分线交于点，过点作于点D，根据角平分线的性质得到，以点为圆心，为半径画圆，即为所求； （2）设的半径为，根据求出，证明，根据等积法进行解答即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：设的半径为， ∵在中，．，， ∴， ∵，．角平分线交于点， ∴， ∴ , ∴， 解得 即的半径为． 19．（8分）如图，是的外接圆，为直径，交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定，矩形的性质和判定，中位线的定义和性质，求余弦，等腰三角形的性质，圆周角定理， 对于（1），连接并延长交于点F，连接，先说明为线段的垂直平分线，再说明，可得四边形为矩形，进而得，则此题可证； 对于（2），先根据中位线的性质得，再求出，然后说明，最后根据可得答案. 【详解】（1）证明：连接并延长交于点F，连接， ∵， ∴为线段的垂直平分线. ∵为的直径， ∴. ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵点O，F分别为的中点， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴. 20．（8分）如图，在平面直角坐标系内，直线分别交x轴、y轴于点B、点C，，，点A是x轴上一点，的半径为 (1)当点A与坐标原点O重合时，与直线交于点D、E，求的长度； (2)若点A在x轴上移动，当与直线相切时，求点A的坐标． 【答案】(1)DE的长度为 (2)点A的坐标为或 【分析】（1）过点A作于F，连接，，由三线合一的性质得出，由等面积法得出，再根据勾股定理求出，进而可求出． （2）设与直线相切于点H，连接，设点A的坐标为，则， 证明，由相似三角形的性质得出，代数数值计算即可得出答案． 【详解】（1）解：过点A作于F，连接，， ，， ，， ， ，， ， ， ， ∴， 的长度为； （2）解：设与直线相切于点H，连接， 设点A的坐标为， 则， ， ， ∽， ， ， ， 或1， 点A的坐标为或 【点睛】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，圆切线的性质，相似三角形的判定和性质等，勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键． 21．（8分）如图，在中，，O是上一点，以为半径的与相切，切点为D，连接，与相交于点E． (1)求证：是的角平分线； (2)若，． ①求的半径； ②设与边的另一个交点为E，求线段、与劣弧所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π） 【答案】(1)见解析 (2)①；②阴影部分的图形面积为． 【分析】本题考查了切线的性质，等边对等角，度角的性质，扇形面积公式，勾股定理． （1）连接，根据切线的性质得到，进而证明，得到，根据等边对等角得到，进而得到，即可证明是的角平分线； （2）①设，根据度角的性质得到，，可得，求解即可； ②根据扇形面积公式求出，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求出，即可得到阴影部分的图形面积． 【详解】（1）证明：连接， ∵直线与相切， ∴． ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）①解：设，在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得； ②解：在中，， ∴． ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴阴影总分的面积为． 22．（10分）有若干块半圆形木板，木匠李师傅在直径上取两点、，作，与半圆交于点，作，与半圆交于点 (1)如图1，李师傅通过测量，使得，此时与的长相等，请说明理由； (2)如图2，李师傅从这块木板中裁出了两块阴影部分的木料，使得为90°， ①若，求裁出的两块木料的周长之和； ②若，，则裁出的两块木料的面积之和为 ； (3)如图3，李师傅在直径上取点，作，与半圆相交于点若，，，求的长．(用含、的代数式表示) 【答案】(1)证明过程见解析 (2)①；② (3) 【分析】（1）连接半径，通过线段的等量代换，得到，通过圆的半径相等，证明，即可通过圆心角相等推出两个弧的长相等； （2）①连接半径，通过半径相等和90°角，借助一线三等角全等模型，通过证明三角形全等，得到线段的数量关系，再通过等量代换将阴影部分的线段之和转化为的长，即可计算得到周长； ②借助①中的关系，求出的长，从而得到半径的长，再通过等量代换，得到和的关系，借助勾股定理列方程求出线段的长，再通过作差法求面积即可； （3）通过半径相等，和两个以半径为斜边的直角三角形（两个直角三角形，分别包含和或），从而借助勾股定理建立联系，再通过等量代换得到与m，n的关系即可． 【详解】（1）解：如图，连接，， ∵，， ∴， ∵，， ∴，即， 又， ∴， ∴， ∴． （2）①解：如图，连接，， 由题意，得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， 由图可知，， ， ∴裁出的两块木料的周长之和为； ②由①可知，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴在中，，， 解得， ∴， ∴， 由①可知，， ∴， 由图可知，阴影部分的面积半圆的面积扇形的面积， ， 故答案为：． （3）如图，连接，， 由（1），得，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，即， 整理，得， ∴． 【点睛】本题综合考查了“全等三角形的判定与性质”“圆的基本概念”“圆的相关计算”“勾股定理”等知识点，借助圆的概念，通过等量代换的方式，找到全等三角形，再通过全等三角形的性质和勾股定理，建立问题所求值与已知值的关系是解题关键． 23．（10分）如图1，在四边形中，，，，连接，，点M在射线上，且，以为直径的半圆O与射线相切于点M，． (1)的长为______； (2)将半圆O先沿方向向右平移，当点P到达点A后，半圆O立刻绕点D顺时针旋转． ①如图2，在平移过程中，当半圆O与相切于点T时，求的长； ②如图3，当点P到达点A时，交于点E，F，求的长； ③若点H平分，连接，G为的中点，在半圆O的旋转过程中，直接写出点G的运动路径长． 【答案】(1) (2)①；②；③. 【分析】本题考查切线的性质，切线长定理，勾股定理，含角的直角三角形，弧长公式，垂径定理，掌握知识点是解题的关键． （1）连接，求出，再根据勾股定理，得到，即可解答； 故答案为． （2）①，连接，求出，，推导出，则，得到，即可解答． ②过点O作于N，连接，求出，则，即，即可解答； ③先求出，确定点H的轨迹是以D为中心、半径为的圆弧，即点H的轨迹为，推导出点G的轨迹是H轨迹的缩放，即点G的运动路径长为，即可解答． 【详解】（1）解：连接，如图 ∵切半圆O于点M，， ∴． ∴． 故答案为：． （2）①∵，连接，如图 ∴， ∴， ∵切圆O于点P，切圆O于点T， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ②过点O作于N，连接，如图 有，， ∵， ∴， ∴，即． ③如图所示 ∵，点H是的中点， ∴， ∴， ∵点H是的中点，半圆O绕D顺时针旋转，长度为8， ∴点H的轨迹是以D为中心、半径为的圆弧， 即点H的轨迹为， ∵C为定点，G是的中点， ∴点G的轨迹是H轨迹的缩放， 即点G的运动路径长为． 24．（12分）在平面直角坐标系中，点的半径为2．如果将线段绕原点逆时针旋转后的对应线段所在的直线与相切，且切点在线段上，那么线段就是的“关联线段”．其中满足题意的最小就是线段与的“关联角”． (1)如图1，如果点，线段OH是的“关联线段”，那么它的“关联角”为__________； (2)如图2，点，线段AB__________的“关联线段”（填“是”或“不是”）； (3)点，若线段DE是的“关联线段”，则的取值范围是__________； (4)点为平面内一点，若存在以为端点，长度为4的线段是的“关联线段”，则点M的横坐标的取值范围是__________． 【答案】(1)60 (2)不是 (3) (4) 【分析】（1）过C作垂直旋转后的直线于D，设交y轴与点E，连接， 证明是等边三角形，得，得，即得，线段与的“关联角”为； （2）设直线与相切于点F，连接，过C作于点G，证明四边形是矩形，得，得，得,当点在点上方时， 当点在点下方时，可判定F不在线段上，线段不是的“关联线段”； （3）由题意可知点O、D、E点三点共线，根据线段是的“关联线段”，得出直线是相切，设切点为F，利用切线的性质和勾股定理求出，若点E应在点D的左侧，；若点E应在点D的右侧，点F不在线段上， 线段不是的“关联线段”．得； （4）连接，当点为切点，点落在y轴上， 取得最大值，，得，当时，在x轴上，点M横坐标取得最小值，当轴时，点的横坐标取得最小值，当时，点M的横坐标取得最大值，，即得点M的横坐标的取值范围为．． 【详解】（1）解：过C作垂直旋转后的直线于D，设交y轴与点E，连接，如图， ∵，的半径为2， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴线段与的“关联角”为， 故答案为：60； （2）解：设直线与相切于点F，连接，过C作于点G， 则， ∵， ∴轴，， ∴， 由旋转知，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 当点在点上方时，点F不在线段上； ∴不是的“关联线段”， 当点在点下方时， ∵， ∴点F也不在线段上， ∴不是的“关联线段”， 综上，线段不是的“关联线段”； 故答案为：不是；      （3）解：∵，， ∴O、D、E点三点共线， ∵线段是的“关联线段”， ∴线段绕原点O逆时针旋转后的对应线段所在的直线与相切，且切点在线段上，设切点为F， ∴直线与相切， ∴，， ∵， ∴， ∵点F在线段上， ∴， 即， ∴， 结合图象可知，点E应在点D的左侧或右侧， 若点E在点D的左侧， t的取值范围是或； 若点E在点D的右侧，此时点在点的上方，点F不在线段上，线段不是的“关联线段”． 故答案为：或；      （4）解：设长度为4的线段为是的“关联线段”， 连接， 当点为切点，点落在y轴上，, 取得最大值， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，在x轴上，点M横坐标取得最小值，为， 当轴时，点的横坐标取得最小值， 当时，点、M关于原点成中心对称， 点M的横坐标取得最大值，， ∵，切点在上， ∴点M的横坐标的取值范围为． 故答案为：．       【点睛】本题考查了新定义——“关联线段”，“关联角”．熟练掌握新定义，直线与圆的位置关系，切线的性质，勾股定理，两点之间的距离，图形的旋转，是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司2 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第一章 直线与圆的位置关系·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是（    ） A．无法确定 B．相切 C．相交 D．相离 2．已知的半径是5，直线与相交，则圆心到直线的距离可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．下列说法中，正确的是（    ） A．长度相等的弧是等弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．相等的圆心角所对的弦相等 D．三角形的内心到三角形三条边的距离相等 4．如图，，，分别与相切于，，三点，，，则的长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 5．如图，，，是的切线，切点分别为，，.若，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 6．如图，在中，，点O为的内心．若的面积为25，则的面积为（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 7．如图，是的直径，点，在上，连接，，，，过点作的切线，交的延长线于点，若的直径为4，，则的长为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，，是的内切圆，连接，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过，，的半径为2，（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（   ） A． B．2 C．3 D． 10．如图，已知半径分别等于和的，外切于点．两圆的一条外公切线切于点，切于点，过作的垂线与的中垂线交于点，是的中点．则的面积等于（   ）． A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．的直径为8，圆心到直线的距离为3，则直线与的位置关系是 ． 12．如图，是的弦，点在过点的切线上，，交于点；若，则的度数为 ． 13．如图，与相切于点，连接，过点作的垂线，交于点，连接．若，，则的长为 ． 14．如图，、分别切于、，，是劣弧上的点（不与点、重合），过点的切线分别交、于点、．则的周长为 ． 15．如图，正方形的边长为，F是的中点，E点从点B出发沿以的速度向点C移动，一直到达点C为止，连接，以点E为圆心，长为半径作．当与正方形的边相切时，则点E的运动时间t为 ． 16．如图，是半径为的的弦，将弧沿将翻折后，恰好经过圆心，点是翻折的弧上的一动点；连接并延长交于C，点为的中点，连接，则的最小值为 ． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）已知，为的弦，且． (1)如图1，若，求阴影部分的面积； (2)如图2，若点为的中点，点为的中点．请仅用无刻度的直尺过点作的切线． 18．（8分）如图，在中，． (1)尺规作图：作，使得经过点C，并且与边都相切；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，则的半径为 ． 19．（8分）如图，是的外接圆，为直径，交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求． 20．（8分）如图，在平面直角坐标系内，直线分别交x轴、y轴于点B、点C，，，点A是x轴上一点，的半径为 (1)当点A与坐标原点O重合时，与直线交于点D、E，求的长度； (2)若点A在x轴上移动，当与直线相切时，求点A的坐标． 21．（8分）如图，在中，，O是上一点，以为半径的与相切，切点为D，连接，与相交于点E． (1)求证：是的角平分线； (2)若，． ①求的半径； ②设与边的另一个交点为E，求线段、与劣弧所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π） 22．（10分）有若干块半圆形木板，木匠李师傅在直径上取两点、，作，与半圆交于点，作，与半圆交于点 (1)如图1，李师傅通过测量，使得，此时与的长相等，请说明理由； (2)如图2，李师傅从这块木板中裁出了两块阴影部分的木料，使得为90°， ①若，求裁出的两块木料的周长之和； ②若，，则裁出的两块木料的面积之和为 ； (3)如图3，李师傅在直径上取点，作，与半圆相交于点若，，，求的长．(用含、的代数式表示) 23．（10分）如图1，在四边形中，，，，连接，，点M在射线上，且，以为直径的半圆O与射线相切于点M，． (1)的长为______； (2)将半圆O先沿方向向右平移，当点P到达点A后，半圆O立刻绕点D顺时针旋转． ①如图2，在平移过程中，当半圆O与相切于点T时，求的长； ②如图3，当点P到达点A时，交于点E，F，求的长； ③若点H平分，连接，G为的中点，在半圆O的旋转过程中，直接写出点G的运动路径长． 24．（12分）在平面直角坐标系中，点的半径为2．如果将线段绕原点逆时针旋转后的对应线段所在的直线与相切，且切点在线段上，那么线段就是的“关联线段”．其中满足题意的最小就是线段与的“关联角”． (1)如图1，如果点，线段OH是的“关联线段”，那么它的“关联角”为__________； (2)如图2，点，线段AB__________的“关联线段”（填“是”或“不是”）； (3)点，若线段DE是的“关联线段”，则的取值范围是__________； (4)点为平面内一点，若存在以为端点，长度为4的线段是的“关联线段”，则点M的横坐标的取值范围是__________． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $