7.3平行线的证明（题型专练）数学北师大版2024八年级上册

7.3平行线的证明 题型一 平行线的性质 1．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，直线，直线，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，太阳光线与是平行的，同一时刻垂直于地面的两根木杆在太阳光照射下的影子一样长，那么这两根木杆高度相同，这利用了全等的性质，其中判断的依据是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·甘肃·课后作业）如图，直线，OG是的平分线，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·甘肃临夏·期中）如图，已知且，，则判定的依据是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·重庆·期中）如图，在四边形中，，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）如图，已知，，则 度， 度． 7．（14-15七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，平分，，，则 °， °． 8．（25-26七年级上·山东东营·期中）如图，四边形中，点是上一点，过点作，，若，则 ． 9．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，四边形中，，点E是上一点，且，，若，，则的长度为 ． 10．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，相交于点，．若，则的度数是 ． 11．（25-26八年级上·吉林延边·期中）如图，点A，C，F，B在同一条直线上，，，．求证：． 12．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，点、、、在一条直线上，，，．求证：． 13．（25-26八年级上·山东滨州·期中）如图，中，，，求证：平分． 14．（25-26八年级上·重庆渝北·期中）已知：如图，，，．求证：． 15．（25-26八年级上·山东德州·期中）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)请判断和的关系，并说明理由． 16．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图，在中，，延长至点使得． (1)请在图中连接，求证：； (2)分别是上的点，且，延长至点使得，求证：三点共线． 题型二 平行线的判定 1．（23-24七年级下·广西南宁·期中）如图，直线被直线所截，下列说法正确的是（　　） A．和是内错角 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（25-26七年级上·北京·期中）如图，木条与被木条所截若使木条与平行，木条过点逆时针旋转的度数是 ．（旋转度数在与之间） 3．（22-23七年级下·陕西铜川·期末）如图，若要使，则可以添加的一个条件是 ．（只填一个） 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，（1）若，则，理由是 ．（2）若，则，理由是 ． 5．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，（1）因为，所以 ；（2）因为 ，所以；（3）因为，所以 ． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：如图，直线，被直线所截，与互补．求证：． 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，点、、、在同一条直线上，，，．求证：． 8．（25-26八年级上·山东聊城·期中）如图，已知：在中，，，点、分别为边、上的点，且．求证：． 证明：∵， ∴（______）， ∴． 又∵， ∴（______）， ∵， ∴______． ∴（______）． 9．（23-24七年级下·甘肃酒泉·期中）如图，已知：，． 求证：． 证明：∵（已知）， ∴_________（__________）， ∴（________）， ∵（已知）， ∴__________________（________）， ∴（_______）． 10．（25-26八年级上·北京·期中）已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，，求证：． 11．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，若，求证：． 12．（25-26八年级上·河南开封·期中）如图，，，，求证：． 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）完成下面的证明：已知：如图．平分，平分，且．判断与是否平行，并说明理由． 题型三 同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 1．（13-14七年级下·山东泰安·月考）在同一平面内，若，，则与的关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．以上都不对 2．（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河南信阳·期中）将一副三角尺如图放置，，，，当所在的直线与AC垂直时，∠CBE的度数是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）若，则A，B，C三点共线，理由是 ． 5．（20-21七年级下·辽宁大连·阶段练习）如图，，那么三点在同一条直线上．根据 ． 6．（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，，，．求证：． 题型一 平行公理的应用 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在平面内过点O作已知直线a的平行线和垂线，可作的条数分别是m条和n条，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．无数条 2．（25-26七年级上·全国·单元测试）下列说法中不正确的是（　　） A．过任意一点可作已知直线的一条平行线 B．同一平面内两条不相交的直线是平行线 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）为直线上的一点，为外一点，下列说法不正确的是（    ） A．过点可画垂直于的直线 B．过点可画的垂线 C．连接，则 D．过点可画直线与平行 题型二 平行公理推论的应用 1．（2025·陕西·模拟预测）如图是某工程车的工作示意图，已知工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，直线，等腰直角三角形的直角顶点在直线上，点在直线上，，则的度数为（    ） A． B．20° C． D．40° 3．（17-18七年级下·湖北·期中）如图，，，，，则为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）a，b，c是直线，且，则，理由是 5．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知直线，若，则的度数是 ． 6．（16-17七年级下·河北·期末）如图，张萌的手中有一张正方形纸片（），点，分别在和上，且，此时张萌判断出，则张萌判断出该结论的理由是 ． 7．（2025八年级上·全国·专题练习）若两根平行木条与钉子E的位置如图所示，求证：． 8．（9-10七年级下·云南曲靖·期末）如图，，．试说明与之间的关系，并说明理由． 9．（11-12七年级下·天津·阶段练习）如图，按虚线剪去长方形纸片的相邻两个角，并使，，试求的度数． 10．（20-21七年级下·河北保定·期末）（1）发现： 平行线是平面几何中最基本，也是最重要的图形．在解决某些平面几何问题时，若能依据问题的需要，添加适当的平行线，往往能使问题得以顺利解决． 请你根据上述思想解决下列问题： 如图，，点在内部时，则 （用“”、“”或“”填空） （2）探究： 如果（）中命题的题设和结论互换，写出互换后的命题，判断其真假，并说明理由． （3）拓展： 如图，已知，若点在直线外部时，，，满足怎样的数量关系？说明理由． 11．（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，点为直线、所确定的平面内一点． (1)如图，，．求的度数 (2)如图，直接写出， 和的数量关系（不用写具体证明过程） (3)如图，点在直线上，若，，，过点作，求的度数． 题型三 平行线的性质与判定综合 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：如图，，，．求证： 2．（25-26八年级上·河南南阳·期中）如图，点、在线段上，，，．求证：． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，四边形中，过点作于点，，连接、交于点，若点是的中点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 4．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图，在光学实验室中，两束平行激光和分别沿水平方向发射．一束斜向光线照射到上，经过折射后与相交于点F，并继续折射至上的点D处，从点D引出一条新的折射光线，且． (1)求证：． (2)若命题“已知______，则”是真命题，请填空，并说明理由． 5．（25-26八年级上·河北沧州·月考）如图，有下列三个条件：①，②，③． (1)从这三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论组成命题．在保证该命题为真命题的情况下，你选择的条件是　　　，结论是　　　； (2)请写出（1）中你组成的命题的证明过程． 6．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知：如图所示，，，求证：． 7．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知A、D、B、E在一条直线上，且，，，求证：． 8．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的高，点G在上，，垂足是点F，点E在上，连接，若．求证：． 题型一 平行线的实际应用 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知，P是射线AM上一动点（不与点A重合），BC，BD分别平分和，交射线AM于点C，D． (1)求的度数． (2)当点P运动时，与的度数比是否随之发生变化？若不变，请求出这个比；若变化，请找出变化规律． (3)当点P运动到使的位置时，求的度数． 2．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．此方法在解决几何问题中有着广泛的应用． 【解决问题】某数学学习小组拟采用上述方法解决以下问题： (1)如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，连接，可以判定，从而得到．这样就能把线段，，集中在中，再利用三角形的三边关系，即可求出中线的取值范围． 请你直接写出的取值范围：______； (2)如图2，，点D为的中点，，，求； (3)如图3，在和中，，，．连接，，点F是的中点，连接并延长，与相交于点G．请猜想和的数量关系并说明理由． 3．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）长江汛期来临之前，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，在笔直且平行的长江两岸河堤，上安装了两盏激光探照灯如图所示．光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转；光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转． (1)若两灯同时旋转，灯发出的光线顺时针旋转到，然后回转到时，两灯同时停止旋转． ① 当两灯旋转秒时，判断光线所在直线与光线所在直线的位置关系，并说明理由； ② 除①中情况之外，两灯发出光线所在直线还能否形成与①相同的位置关系？若能，请求出此时灯的旋转时间；若不能，请说明理由． (2)如果灯先旋转秒，灯才开始旋转．在灯发出的光束第一次到达之前，请直接写出灯旋转多少秒时，光线所在直线与光线所在直线平行． 4．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）在综合实践课上，数学兴趣小组在老师的指导下进行探究活动． 活动主题 关于三角板的数学思考 工具 三角板、量角器、直尺等 活动过程 第一小组 第二小组 模型抽象 相关信息 三位同学各测量的度数一次，求得的平均值为，然后又各测量的度数一次，求出其平均值． 将一个三角板，）放在互相平行的直尺和之间，并使直角顶点在直尺上，顶点在直尺上． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： (1)第一小组选择三位同学各测量一次，再以三次测量计算的角的平均数作为研究结论，这样做的目的是___________；图1中___________度； (2)请你帮第一小组想一想，当摆成___________度时，才能确保； (3)在图2中，当改变直尺的位置时（始终保持直角顶点在上），点在上保持不动，同学们发现点的位置会随着直角顶点的位置的变化而变化．请你猜想：的值是否会发生改变？如果不变，它们的和是多少度？请说明理由． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3平行线的证明 题型一 平行线的性质 1．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，直线，直线，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，两直线平行同位角相等，垂直的性质，对顶角相等，解题的关键在于准确识别图中熟练掌握平行线的性质，准确识别同位角，利用平行线的性质算出，用补角、余角、对顶角推算出的度数． 【详解】如下图 ∵ ∴ ∴ ∵直线 ∴ ∴ 故选：B． 2．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，太阳光线与是平行的，同一时刻垂直于地面的两根木杆在太阳光照射下的影子一样长，那么这两根木杆高度相同，这利用了全等的性质，其中判断的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据平行线的性质可得，根据题意可得，，然后利用判定． 【详解】解：， ， 两根木杆的影子一样长， ， 又， 在和中， ， ， 故选：B． 3．（24-25九年级下·甘肃·课后作业）如图，直线，OG是的平分线，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，掌握平行线的同位角相等以及角平分线平分角是解题的关键． 结合条件，根据平行线的性质及平角定义可得的度数，再由角平分线的定义即可算出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴． 故选：C． 4．（25-26八年级上·甘肃临夏·期中）如图，已知且，，则判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定方法．由平行线的性质，得到，再证明，利用证明即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴； 故选：C． 5．（25-26九年级上·重庆·期中）如图，在四边形中，，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，根据两直线平行，同旁内角互补，可以求出，根据角平分线的定义可得，再利用两直线平行，同旁内角互补求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， 平分， ， ， ， ． 故选：C． 6．（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）如图，已知，，则 度， 度． 【答案】 120 60 【分析】本题主要考查平行线的性质及邻补角，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；因此此题可根据平行线的性质得到的度数，然后根据邻补角可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故答案为120；60． 7．（14-15七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，平分，，，则 °， °． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．先利用邻补角求出的度数，再由角平分线的定义求出和的度数，最后利用平行线的性质即可求解． 【详解】， ， 平分， ， ， ，， 故答案为：；． 8．（25-26七年级上·山东东营·期中）如图，四边形中，点是上一点，过点作，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质和三角形内角和是解题的关键． 根据两直线平行，同位角相等，得，，结合和三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵，， ∴． 故答案为：． 9．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，四边形中，，点E是上一点，且，，若，，则的长度为 ． 【答案】13 【分析】本题主要考查了平行线的性质和勾股定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质得出，据此得出三角形是直角三角形，结合和的长进行计算即可． 【详解】解：， 、 在中， 故答案为：13． 10．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，相交于点，．若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，证明得到，再由，得到，即可推出． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 11．（25-26八年级上·吉林延边·期中）如图，点A，C，F，B在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．由得，结合，即可证明． 【详解】证明： ， （两直线平行，同位角相等）， 在和中， ． 12．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，点、、、在一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，由可得，由可得，结合可证，即可证明． 【详解】证明：， ， ， ，即， 在和中， ， ． 13．（25-26八年级上·山东滨州·期中）如图，中，，，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握相关性质和定义是解题的关键，利用等边对等角得，利用平行线的性质得，，则，即可求证． 【详解】证明：在中，， ， ， ，， ， 平分． 14．（25-26八年级上·重庆渝北·期中）已知：如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的几种判定方法． 先由线段和得到，再由平行线的性质得到，再结合已知条件即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 15．（25-26八年级上·山东德州·期中）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)请判断和的关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质、平行线的判定、全等三角形的判定与性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明、，再运用即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，，再根据内错角相等、两直线平行即可解答． 【详解】（1）证明：， ， ， ，即， 在和中， ， ． （2）解：，，理由如下： ， ， ∴． 16．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图，在中，，延长至点使得． (1)请在图中连接，求证：； (2)分别是上的点，且，延长至点使得，求证：三点共线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． （1）根据“”证明即可； （2）证明，得出，根据，得出，从而得出，说明射线和重合，即可证明结论． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴射线和重合， ∴三点共线． 题型二 平行线的判定 1．（23-24七年级下·广西南宁·期中）如图，直线被直线所截，下列说法正确的是（　　） A．和是内错角 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定，内错角的定义等知识，根据内错角的定义可判断选项A，根据平行线的判定定理可判断选项B，C，D． 【详解】解：．和不是内错角，故该选项不符合题意； ．若，则，推不出，故该选项不符合题意； ．若，则，推不出，故该选项不符合题意； ．若，则，故该选项符合题意； 故选：D． 2．（25-26七年级上·北京·期中）如图，木条与被木条所截若使木条与平行，木条过点逆时针旋转的度数是 ．（旋转度数在与之间） 【答案】/30度 【分析】本题考查了平行线的判定（同位角相等，两直线平行），解题的关键是明确平行线所需的角的关系． 先确定时应满足的度数，再计算当前与该度数的差值，得到木条逆时针旋转的度数． 【详解】解：要使木条与平行，需满足同位角（或内错角）相等． 已知，当时，对应的同位角应为． 当前，因此木条逆时针旋转的度数为． 故答案为： 3．（22-23七年级下·陕西铜川·期末）如图，若要使，则可以添加的一个条件是 ．（只填一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查平行线的判定，熟悉平行线判定是解题关键. 【详解】解：当，则（同位角相等，两直线平行）； 当，则（同旁内角互补，两直线平行）； 当，则（同位角相等，两直线平行）； 当，则（内错角相等，两直线平行）； 当，则（同旁内角互补，两直线平行）； 故答案为：或或或或 （答案不唯一）. 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，（1）若，则，理由是 ．（2）若，则，理由是 ． 【答案】 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定． （1）根据两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行； （2）根据两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 【详解】解：（1）若，则，理由是内错角相等，两直线平行． （2）若，则，理由是同旁内角互补，两直线平行． 故答案为：内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 5．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，（1）因为，所以 ；（2）因为 ，所以；（3）因为，所以 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定． （1）根据内错角相等，两直线平行即可解答； （2）根据同位角相等，两直线平行即可解答； （3）根据同旁内角互补，两直线平行即可解答； 【详解】解：（1）因为，所以； （2）因为，所以； （3）因为，所以； 故答案为：；；． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：如图，直线，被直线所截，与互补．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】此题考查平行线的判定，关键是根据同位角相等，两直线平行解答． 根据邻补角互补和同位角相等，两直线平行解答即可． 【详解】证明：如图， 与互补， ． ， ． ． 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，点、、、在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，根据，得出，利用全等三角形的判定得，进而得出，根据“同位角相等，两直线平行”即可得出． 【详解】证明：， ∴，即， 又，， ， 则， ． 8．（25-26八年级上·山东聊城·期中）如图，已知：在中，，，点、分别为边、上的点，且．求证：． 证明：∵， ∴（______）， ∴． 又∵， ∴（______）， ∵， ∴______． ∴（______）． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是直角三角形的性质及平行线的判定定理，根据题意得出是解答此题的关键．先根据得出，再根据，进而可得出，由，可知，进而可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴（垂直的定义）， ∴， 又∵， ∴，（同角的余角相等） ∵， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）． 9．（23-24七年级下·甘肃酒泉·期中）如图，已知：，． 求证：． 证明：∵（已知）， ∴_________（__________）， ∴（________）， ∵（已知）， ∴__________________（________）， ∴（_______）． 【答案】；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键； 根据平行线的性质与判定直接求解即可得到证明． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 10．（25-26八年级上·北京·期中）已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据“”可得，即得，由邻补角的定义得到，然后根据内错角相等，两直线平行即可得到结论． 【详解】证明：在和中，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 11．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，若，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，先证明，根据证明，得，从而可判断． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 12．（25-26八年级上·河南开封·期中）如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形的全等的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是掌握三角形全等的判定与性质．由可得，证明得到，进而得到，即可得证． 【详解】证明：，即， ， 又，， ， ， ，即， ． 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）完成下面的证明：已知：如图．平分，平分，且．判断与是否平行，并说明理由． 【答案】；理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．根据题中思路解答即可． 【详解】解：．理由如下： 因为平分（已知）， 所以（角平分线的定义）． 因为平分（已知）， 所以（角的平分线的定义）， 所以（等式的性质）． 因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以（同旁内角互补两直线平行）． 题型三 同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 1．（13-14七年级下·山东泰安·月考）在同一平面内，若，，则与的关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．以上都不对 【答案】D 【分析】本题考查了平面内的两直线的位置关系，熟练掌握垂直和平行线的判定是解题关键．根据垂直的定义、平行线的判定即可得． 【详解】解：在同一平面内，若，则； 在同一平面内，若与相交但不垂直，则与相交但不垂直； 在同一平面内，若，则； 综上，在同一平面内，与的关系可能平行，也可能相交，还可能垂直， 故选：D． 2．（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键；因此此题可根据轴对称的性质进行排除选项即可． 【详解】解：连接，如图所示： 根据轴对称的性质可知：，，， ∴， ∴不一定成立的是； 故选A． 3．（25-26八年级上·河南信阳·期中）将一副三角尺如图放置，，，，当所在的直线与AC垂直时，∠CBE的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定和性质．先根据平行线的判定得出，再根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵所在的直线与AC垂直，， ∴， ∴， 故． 故选：C． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）若，则A，B，C三点共线，理由是 ． 【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】本题考查了垂线的性质，根据在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直即可解答． 【详解】解：理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原因如下： ， 这是过同一个点作同一条直线的垂线． 、一定重合． 则、、三点共线． 故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ． 5．（20-21七年级下·辽宁大连·阶段练习）如图，，那么三点在同一条直线上．根据 ． 【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】本题主要考查了垂直的性质，熟练掌握“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”是解题的关键．根据垂直的性质，判断三点共线的依据． 【详解】解：因为 ，，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 所以 ，， 三点在同一条直线上． 故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 6．（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，根据，得出，根据，，可得，进而得出，根据两直线平行同旁内角互补，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 题型一 平行公理的应用 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在平面内过点O作已知直线a的平行线和垂线，可作的条数分别是m条和n条，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．无数条 【答案】B 【分析】本题考查垂线的性质，平行公理，根据垂线的性质，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，平行公理，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，进行求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴； 故选B． 2．（25-26七年级上·全国·单元测试）下列说法中不正确的是（　　） A．过任意一点可作已知直线的一条平行线 B．同一平面内两条不相交的直线是平行线 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的定义，掌握平行线的定义是解决本题的关键． 根据平行线的定义进行逐一判定即可． 【详解】解：A、若点在已知直线上，无法作出已知直线的平行线（因此过直线上一点的直线与已知直线重合，不满足“平行”的不重合条件），该说法不正确，符合题意； B、同一平面内，不相交的两条直线是平行线，这是平行线的定义，该说法正确，不符合题意； C、平行于同一条直线的两条直线互相平行，这是平行公理的推论，该说法正确，不符合题意； D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，这是平行公理，该说法正确，不符合题意； 故选A． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）为直线上的一点，为外一点，下列说法不正确的是（    ） A．过点可画垂直于的直线 B．过点可画的垂线 C．连接，则 D．过点可画直线与平行 【答案】C 【分析】此题考查了平行线和垂线的性质，在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，据此进行判断即可． 【详解】解：由在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直知：A、B正确，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可知D正确； 连接，则不一定与垂直，故C错误． 故选：C 题型二 平行公理推论的应用 1．（2025·陕西·模拟预测）如图是某工程车的工作示意图，已知工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，平行于同一直线的两直线平行，掌握相关知识是解决问题的关键．作，则可证，则，，则题目可解． 【详解】解：作， ∵， ∴， ， ， ∴． 故选：A． 2．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，直线，等腰直角三角形的直角顶点在直线上，点在直线上，，则的度数为（    ） A． B．20° C． D．40° 【答案】C 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，平行线的性质，平行公理推论等知识，过点作，则，得到，，由等腰直角三角形的性质得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，则， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．（17-18七年级下·湖北·期中）如图，，，，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质是解题关键．设，，则，，，，过点作，过点作，根据平行线的性质可得，，再根据平行公理推论可得，，根据平行线的性质可得，，然后根据角的和差可得，由此即可得． 【详解】解：设，，则，， ∴，， 如图，过点作，过点作， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）a，b，c是直线，且，则，理由是 【答案】平行于同一直线的两条直线平行 【分析】本题主要考查了平行公理的推论，掌握如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行成为解题的关键． 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，据此即可解答． 【详解】解：∵（已知）， ∴（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 故答案为：平行于同一直线的两条直线平行． 5．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知直线，若，则的度数是 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查平行线的判定与性质，根据平行于同一条直线的两条直线平行，可得，根据两直线平行，同位角相等，可得． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 6．（16-17七年级下·河北·期末）如图，张萌的手中有一张正方形纸片（），点，分别在和上，且，此时张萌判断出，则张萌判断出该结论的理由是 ． 【答案】平行于同一条直线的两条直线互相平行 【分析】本题主要考查了平行公理的推论，熟练掌握平行于同一条直线的两条直线互相平行是解题的关键．根据已知的平行关系，利用平行公理的推论来判断直线间的平行关系． 【详解】解：∵ ，， ∴ （平行于同一条直线的两条直线互相平行）， 故答案为：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 7．（2025八年级上·全国·专题练习）若两根平行木条与钉子E的位置如图所示，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质是解题关键．过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理的推论可得，然后根据平行线的性质可得，由此即可得证． 【详解】证明：如图，过点作． ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（9-10七年级下·云南曲靖·期末）如图，，．试说明与之间的关系，并说明理由． 【答案】互余，理由见详解 【分析】本题考查了平行公理的推论，平行线的性质、垂直的定义等知识，根据题意正确添加辅助线是解题关键．作,即可证明，从而得到，根据即可证明与互余． 【详解】解：与互余，理由如下： 如图，作, ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即与互余． 9．（11-12七年级下·天津·阶段练习）如图，按虚线剪去长方形纸片的相邻两个角，并使，，试求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、垂直，熟练掌握平行线的性质是解题关键．过点作，先根据平行线的性质可得，再根据垂直的定义可得，则可得，然后根据平行公理推论可得，最后根据平行线的性质求解即可得． 【详解】解：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 10．（20-21七年级下·河北保定·期末）（1）发现： 平行线是平面几何中最基本，也是最重要的图形．在解决某些平面几何问题时，若能依据问题的需要，添加适当的平行线，往往能使问题得以顺利解决． 请你根据上述思想解决下列问题： 如图，，点在内部时，则 （用“”、“”或“”填空） （2）探究： 如果（）中命题的题设和结论互换，写出互换后的命题，判断其真假，并说明理由． （3）拓展： 如图，已知，若点在直线外部时，，，满足怎样的数量关系？说明理由． 【答案】（）；（）点在内部时，，则；是真命题；证明见解析；（），理由见解析． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，判断命题真假，平行公理推论，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过作，则有，所以，，然后利用角度和差即可求证； （）过作，证明即可； （）设交于，过作，则有，所以，，，，然后利用角度和差即可求解． 【详解】解：（）过作，如图： ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； 故答案为：； （）（）中命题的题设和结论互换后的命题是：点在内部时，，则； 互换后的命题是真命题，理由如下： 过作，如图： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （），理由如下： 设交于，过作，如图： ∵， ∴， ∴，，，， ∴， ∴， ∴． 11．（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，点为直线、所确定的平面内一点． (1)如图，，．求的度数 (2)如图，直接写出， 和的数量关系（不用写具体证明过程） (3)如图，点在直线上，若，，，过点作，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的推论， （1）如图，过点作，根据平行线的性质及平行公理的推论得，，继而得到，再由可得结论； （2）如图，过点作，根据平行线的性质及平行公理的推论得，，继而得到，可得结论； （3）如图，设交于点，由（2）知得，根据平行线的性质得，，，再代入计算即可． 解题的关键是掌握：平行线的性质，平行公理的推论（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 和的数量关系为； （3）如图，设交于点， ∵，，， 由（2）知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即的度数为． 题型三 平行线的性质与判定综合 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：如图，，，．求证： 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、平行线的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．先证出，根据平行线的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，最后根据平行线的判定即可得证． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·河南南阳·期中）如图，点、在线段上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，证明，得到，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴． ，， ， ， 在和中， ， ，          ∴，   ∴． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，四边形中，过点作于点，，连接、交于点，若点是的中点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形面积计算，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定． （1）先证明，根据平行线的性质得出，，再根据“”证明； （2）根据三角形全等的性质得出，，根据，求出，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图，在光学实验室中，两束平行激光和分别沿水平方向发射．一束斜向光线照射到上，经过折射后与相交于点F，并继续折射至上的点D处，从点D引出一条新的折射光线，且． (1)求证：． (2)若命题“已知______，则”是真命题，请填空，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟记同位角相等，两直线平行、两直线平行；同位角相等；两直线平行，同旁内角互补是解决问题的关键． （1）由对顶角定义得到，结合题意，等量代换即可得到，最后由同位角相等两直线平行即可得证； （2）由，求得的度数，再由，即可求得的度数． 【详解】（1）证明：和是对顶角， ， ， ， ∴； （2）解：已知，则， 理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·河北沧州·月考）如图，有下列三个条件：①，②，③． (1)从这三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论组成命题．在保证该命题为真命题的情况下，你选择的条件是　　　，结论是　　　； (2)请写出（1）中你组成的命题的证明过程． 【答案】(1)①②，③；或①③，②；或②③，① (2)证明过程见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质．应用平行线的判定和性质定理时，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．解题时一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （1）三个命题分别是：已知①②，求证：③；已知①③，求证：②；已知②③，求证：①； （2）命题一证明：根据得到，接着得到即可证明；命题二证明：根据得到，接着由得到即可证明；命题三证明：根据得到，接着得到即可证明． 【详解】（1）解：命题一：已知①②，求证：③； 命题二：已知①③，求证：②； 命题三：已知②③，求证：①； （2）命题一：已知①②，求证：③ 证明：， ， ． ， ， ， ； 命题二：已知①③，求证：② 证明：， ， ． ， ， ， ； 命题三：已知②③，求证：① 证明：， ， ． ， ， ， ． 6．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知：如图所示，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，对顶角，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据同角的补角相等，得到，推出，得到，进而得到，推出，得到，对顶角相等，等量代换，即可得出结果． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 7．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知A、D、B、E在一条直线上，且，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的判定和性质，证明是解题的关键； 根据线段的和差可得，根据平行线的性质可得，进而可证，推出，即可得到结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的高，点G在上，，垂足是点F，点E在上，连接，若．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了根据平行线的判定与性质的证明，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用高的意义得出，再证明，然后利用平行线的性质得出，结合，可得，从而可得出结论成立． 【详解】证明：∵是的高， ∴， ∵点G在上，，垂足是点F， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． 题型一 平行线的实际应用 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知，P是射线AM上一动点（不与点A重合），BC，BD分别平分和，交射线AM于点C，D． (1)求的度数． (2)当点P运动时，与的度数比是否随之发生变化？若不变，请求出这个比；若变化，请找出变化规律． (3)当点P运动到使的位置时，求的度数． 【答案】(1) (2)不变， (3) 【分析】（1）利用平行线的性质得出的度数，再结合角平分线的定义求出； （2）根据平行线的性质和角平分线的定义，分析与的关系； （3）通过角的等量关系和已知条件，求出的度数． 【详解】（1）解：， ， ， ． 平分，平分， ， ， ． （2）不变，． 证明：， ， 平分， ， ． （3）解：， ， 当时，， ， ． 由（1）可知，， ． 【点睛】本题考查平行线与角平分线的综合应用，掌握利用平行线的性质得出角的关系，结合角平分线的定义进行角的计算与推导是解题的关键． 2．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．此方法在解决几何问题中有着广泛的应用． 【解决问题】某数学学习小组拟采用上述方法解决以下问题： (1)如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，连接，可以判定，从而得到．这样就能把线段，，集中在中，再利用三角形的三边关系，即可求出中线的取值范围． 请你直接写出的取值范围：______； (2)如图2，，点D为的中点，，，求； (3)如图3，在和中，，，．连接，，点F是的中点，连接并延长，与相交于点G．请猜想和的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，平行线的判定和性质，三角形三边关系，同角的补角相等，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）根据三角形三边关系进行作答，即可求解； （2）如图2，延长交的延长线于H，根据中点得，证得，求得，证得为线段的垂直平分线，然后即可求解； （3）延长至点H，使，连接，先证得，得，，再根据平行线的性质证得，再证，然后即可求解； 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：如图2，延长交的延长线于H， ， ∵， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为线段的垂直平分线， ∴； （3）解：； 理由如下：延长至点H，使，连接，如图： ， ∵F是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 3．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）长江汛期来临之前，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，在笔直且平行的长江两岸河堤，上安装了两盏激光探照灯如图所示．光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转；光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转． (1)若两灯同时旋转，灯发出的光线顺时针旋转到，然后回转到时，两灯同时停止旋转． ① 当两灯旋转秒时，判断光线所在直线与光线所在直线的位置关系，并说明理由； ② 除①中情况之外，两灯发出光线所在直线还能否形成与①相同的位置关系？若能，请求出此时灯的旋转时间；若不能，请说明理由． (2)如果灯先旋转秒，灯才开始旋转．在灯发出的光束第一次到达之前，请直接写出灯旋转多少秒时，光线所在直线与光线所在直线平行． 【答案】(1)①，理由见解析；②能，秒或秒 (2)秒或秒或秒或秒 【分析】（）①设与相交于点，过点作，可得，利用平行线的性质可得，即可求解；②设灯的旋转时间为秒，分回转时和回到时两种情况解答即可求解； （）设灯旋转秒，光线所在直线与光线所在直线平行，分四种情况，利用平行线的性质列出方程解答即可； 本题考查了平行线的判定和性质，一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①，理由如下： 如图，设与相交于点，过点作， ∵， ∴， 两灯旋转秒时，，， ∵， ∴，， ∴， ∴； ②能．设灯的旋转时间为秒， 如图，当回转时，，设与相交于点，过点作， ∵， ∴， 由题意可得，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得； 当回到时，如图， ， ∴，此时； 综上，除①中情况之外，当灯的旋转秒或秒时，两灯发出光线所在直线还能垂直； （2）解：设灯旋转秒，光线所在直线与光线所在直线平行， 如图，当到达前与平行，设与相交于点， 由题意得，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 解得； 如图，当到达后回转时与平行，设与相交于点， 则，， 同理上可得，， 即， 解得； 如图，当回转到后再次往旋转与平行，设与相交于点， 则，， 同理可得，， 即， 解得； 如图，当再次到达后回转与平行，设与相交于点， 则，， 同理可得，， 即， 解得； 综上，灯旋转秒或秒或秒或秒时，光线所在直线与光线所在直线平行． 4．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）在综合实践课上，数学兴趣小组在老师的指导下进行探究活动． 活动主题 关于三角板的数学思考 工具 三角板、量角器、直尺等 活动过程 第一小组 第二小组 模型抽象 相关信息 三位同学各测量的度数一次，求得的平均值为，然后又各测量的度数一次，求出其平均值． 将一个三角板，）放在互相平行的直尺和之间，并使直角顶点在直尺上，顶点在直尺上． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： (1)第一小组选择三位同学各测量一次，再以三次测量计算的角的平均数作为研究结论，这样做的目的是___________；图1中___________度； (2)请你帮第一小组想一想，当摆成___________度时，才能确保； (3)在图2中，当改变直尺的位置时（始终保持直角顶点在上），点在上保持不动，同学们发现点的位置会随着直角顶点的位置的变化而变化．请你猜想：的值是否会发生改变？如果不变，它们的和是多少度？请说明理由． 【答案】(1)减少误差； (2) (3)不变， 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理，垂直的定义，角度的和差，误差； （1）多次测量计算的角的平均数作为研究结论，这样做的目的是减少误差；根据图1可得，据此求解即可； （2）根据列方程求解即可； （3）在右边作，则，，， 再根据得到固定不变． 【详解】（1）解：多次测量计算的角的平均数作为研究结论，这样做的目的是减少误差； 图1中， 故答案为：减少误差；154； （2）解：由图可得， ∵， ∴， 解得， 故答案为：； （3）解：在右边作， ∴， ∵互相平行的直尺和， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴固定不变． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $