精品解析：湖南省郴州市桂阳县鹿峰中学2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

八年级秋季数学期中测试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若分式的值等于0，则x的值是（　　） A. 2 B. ﹣2 C. 3 D. ﹣3 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的值为0的条件：分子为0，分母不为0性质即可求解． 【详解】由题意可得：且，解得． 故选A． 【点睛】此题主要考查分式为零的条件，解题的关键是熟知分式的性质． 2. 因式分解的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的应用，直接使用公式 进行因式分解即可． 【详解】解：∵， ∴由平方差公式，得， 故选：A． 3. 下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解的定义，根据因式分解的定义，判断哪个等式是从多项式化为整式的乘积形式即可． 【详解】解：∵ 因式分解是将多项式化为几个整式的乘积的形式； A、左边是乘积，右边是多项式，是整式乘法，不是因式分解； B、左边是多项式，右边是乘积，符合因式分解； C、右边不是乘积形式，不是因式分解； D、右边有加0，不是纯粹的乘积形式，不是因式分解； 故选：B． 4. 下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：A.被开方数含开得尽方的因数，故A错误； B.被开方数含有分母，故B错误； C.被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，故C正确； D、被开方数含能开得尽方的因数，故D错误． 故选：C 【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 5. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同分母分式相加，根据两个分式分母相同，直接合并分子，分母保持不变，据此进行计算，即可作答． 【详解】解：， 故选：A 6. 在物理学中，分子的直径通常很小，某分子的直径约为，用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，同底数幂的除法，科学记数法表示形式为，其中，为整数，准确分析计算是解题的关键． 用水分子的直径除以植物表皮细胞的直径，得到倍数，再根据科学记数法的要求表示结果即可得解． 【详解】解：分子的直径为， 将小数点向右移动位至第一个非零数字后，得到，且， 科学记数法表示为； 故选． 7. 解分式方程＝3时，去分母后变形为( ) A. 2－(x＋2)＝3 B. 2+(x＋2)＝3 C. 2＋(x＋2)＝3(x－1) D. 2－(x＋2)＝3(x－1) 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查对一个分式确定最简公分母，去分母得能力．观察式子x-1和1-x互为相反数，可得1-x=-（x-1），所以可得最简公分母为x-1，因为去分母时式子不能漏乘，所以方程中式子每一项都要乘最简公分母． 【详解】方程两边都乘以x-1， 得：2-（x+2）=3（x-1）． 故答案选D． 【点睛】本题考查的知识点是解分式方程，解题的关键是熟练的掌握解分式方程. 8. 多项式的公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查公因式的确定：（1）数字部分：找最大公约数；（2）字母部分：找相同字母的最低次幂，准确分析判断是解题的关键． 公因式是多项式中各项都含有的因式，需提取系数的最大公因数和各字母的最低次幂即可得解． 【详解】解：系数和的最大公因数为，字母的最低次幂为，字母的最低次幂为， 公因式为； 故选． 9. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算性质，包括乘法、减法、乘方和算术平方根的定义，准确计算是解题的关键． 逐一验证各选项是否符合运算法则即可得解． 【详解】二次根式乘法法则：， ，故正确； ，故错误； ，故错误； ，故错误； 故选． 10. 多项式因式分解的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，掌握用十字相乘法进行因式分解是解题的关键． 用十字相乘法进行因式分解即可 【详解】解：． 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 因式分解______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用乘法公式分解因式得出答案． 【详解】解：（x﹣1）2． 故答案为：（x﹣1）2． 【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键． 12. 若分式有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由于分式的分母不能为0，因此x-5≠0，解得x． 【详解】解：∵分式有意义， ∴x-5≠0，即x≠5． 故答案为x≠5． 【点睛】本题主要考查分式有意义的条件：分式有意义，分母不能为0． 13. ____． 【答案】 5 【解析】 【详解】解：∵， ∴． 14. 计算＝______（结果化为最简）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法法则，准确计算是解题的关键． 根据根式的乘法法则即可得解． 【详解】（其中）， ． 故答案为2。 15. 化简：______（结果化为最简形式）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是分式的约分，分子利用平方差公式分解因式，然后与分母约分，得到最简结果即可． 【详解】解：分子是平方差形式，可分解为 ， 因此原式为， 约去公因式，得， 故答案为：． 16. 计算：______（用科学记数法表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则和科学记数法，先计算系数的乘积，再计算同底数幂的乘法，最后将结果化为标准科学记数法形式． 【详解】解： 由于科学记数法要求系数 满足 ， . 故答案为： ． 17. 若＋(y＋3) 2＝0，则x＋y＝__________. 【答案】-1 【解析】 【详解】试题解析： 解得： 故答案为 点睛：注意二次根式，平方根的非负性. 18. 一个长方形的面积为，其中一边长为，则另一边长为______（结果化为最简二次根式）． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的化简求值的方法是解题的关键． 根据长方形面积公式，另一边长等于面积除以已知边长，通过除法运算和分母有理化求解． 【详解】解：设另一边长为，由长方形面积公式得， ； 故答案为． 三、解答题（本大题共8小题，共66分，需写出必要解题步骤） 19. 计算：． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了零次幂，负整数指数幂，算术平方根，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先化简零次幂，负整数指数幂，算术平方根，以及绝对值，再运算加减法，即可作答． 【详解】解： 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，先通分括号内，再运算除法，化简，得，最后把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 把代入，得． 21. 已知二次根式，回答下列问题： （1）当为何值时，该二次根式有意义？ （2）当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值． 【答案】（1） （2）当时，值为；当值为时， 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件解答即可． （2）将代入即可求解，令时，求解即可 【小问1详解】 解：要使该二次根式有意义，需满足， 解得：， ∴当时，该二次根式有意义． 【小问2详解】 解：当时，则， 令时，则， 解得：． 22. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的根． ∴原方程的解为． 23. （列分式方程解答）甲、乙两个工程队共同完成一项铺设天然气管道的工程，已知甲队单独完成这项工程需要天．若甲、乙两队合作天后，乙队再单独做天可完成全部工程．求乙队单独完成这项工程需要多少天？ 【答案】天 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的工程问题，工程问题中三个量的关系为工作量工作效率工作时间，工作全部完成工作量是，理解题意列出方程是问题求解的关键． 先设乙队单独完成这项工程需要天，结合题目已知条件得甲队每天可完成工程的，乙队每天可完成工程的，列方程，求解方程得到，进而完成求解． 【详解】解：设乙队单独完成这项工程需要天， 根据题意列方程，， 解得：． 答：乙队单独完成这项工程需要天． 24. 项目主题：面积公式的实际应用 素材一：古希腊的几何学家海伦在《度量》一书中，给出了求面积的海伦公式（其中a，b，c为三角形的三边长，） 素材二：我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：（其中a，b，c为三角形的三边长） 任务一：若一个三角形三边长依次为7，8，9，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积，以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整． 解：∵一个三角形三边长依次为7，6，9，即，，， ∴＝______（填最终结果） 根据海伦公式可得＝______（结果化到最简） 任务二：请你用秦九韶公式解决问题：若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积． 【答案】任务一：11，；任务二： 【解析】 【分析】本题考查二次根式的应用，正确计算是关键． 任务一：把数值代入直接计算即可； 任务二：先求出，，，再代入秦九韶公式计算即可． 【详解】解：任务一：∵一个三角形三边长依次为7，6，9，即，，， ∴， 根据海伦公式可得 ， 故答案为：11，； 任务二：设三角形的三边长分别是，，， ，，， 秦九韶公式： ． 25. 先阅读材料，再回答问题： 分解因式：． 解：将“”看成整体，令，则原式，再将还原，得到：原式． 上述解题过程中用到了“整体思想”，它是数学中常用的一种思想．请你用整体思想解决下列问题： （1）因式分解：________； （2）因式分解：； （3）若为正整数，则的值为某一个正整数的平方．请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 令， 则原式， ， ， 原式． 为正整数， 也为正整数， 代数式的值一定是某一个正整数的平方． 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，从新定义中整理出进一步解题的有关知识． （1）将看作整体，由完全平方式的形式进行判断即可； （2）先将前三项看作完全平方式，再利用平方差公式进行分解即可； （3），则原式．将代入还原，可得原式．即可判断． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ， ； 【小问3详解】 略 26. 如果两个正数a，b，即，则有： ① 而② ③ 所以 当时，；当时，；即：当且仅当时取到等号． 我们把叫做正数a，b的算术平均数；把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具．下面举一例子： 例：已知，求的最小值． 解：因为，所以，所以，当，即时，的最小值为4． 利用这个结论解决下列适合八年级学生的问题： （1）上述材料中的运算步骤②，运用的公式为______； （2）已知x＞0，求的最小值，以及此时x的值； （3）用一段长为的篱笆围成一个长方形菜园，当这个矩形的长和宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）完全平方公式 （2）最小值为，此时 （3）当长和宽各为时，面积最大，最大面积为 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式、基本不等式的应用等知识点，解题两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数是解题的关键． （1）识别运算步骤②对应的公式即可； （2）利用基本不等式，结合正数条件求最小值及对应x的值即可； （3）设矩形的长为，则宽为，然后变形代数式、构造符合基本不等式的形式，进而求出最大值即可． 【小问1详解】 解：步骤②符合的形式，运用的公式为完全平方公式． 故答案为：完全平方公式． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 当，即时，的最小值为． 【小问3详解】 解：设矩形的长为，则宽为， ∴， 由， 当，即时，的最大值为5 ∴得最大值为25， ∴当长和宽各为时，面积最大，最大面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级秋季数学期中测试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若分式的值等于0，则x的值是（　　） A. 2 B. ﹣2 C. 3 D. ﹣3 2. 因式分解的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A. B. C. D. 5. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 6. 在物理学中，分子的直径通常很小，某分子的直径约为，用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 解分式方程＝3时，去分母后变形为( ) A. 2－(x＋2)＝3 B. 2+(x＋2)＝3 C. 2＋(x＋2)＝3(x－1) D. 2－(x＋2)＝3(x－1) 8. 多项式的公因式是（ ） A. B. C. D. 9. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 多项式因式分解的结果是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 因式分解______． 12. 若分式有意义，则实数x的取值范围是_______． 13. ____． 14. 计算＝______（结果化为最简）． 15. 化简：______（结果化为最简形式）． 16. 计算：______（用科学记数法表示）． 17. 若＋(y＋3) 2＝0，则x＋y＝__________. 18. 一个长方形的面积为，其中一边长为，则另一边长为______（结果化为最简二次根式）． 三、解答题（本大题共8小题，共66分，需写出必要解题步骤） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 已知二次根式，回答下列问题： （1）当为何值时，该二次根式有意义？ （2）当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值． 22. 解分式方程：． 23. （列分式方程解答）甲、乙两个工程队共同完成一项铺设天然气管道的工程，已知甲队单独完成这项工程需要天．若甲、乙两队合作天后，乙队再单独做天可完成全部工程．求乙队单独完成这项工程需要多少天？ 24. 项目主题：面积公式的实际应用 素材一：古希腊的几何学家海伦在《度量》一书中，给出了求面积的海伦公式（其中a，b，c为三角形的三边长，） 素材二：我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：（其中a，b，c为三角形的三边长） 任务一：若一个三角形三边长依次为7，8，9，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积，以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整． 解：∵一个三角形三边长依次为7，6，9，即，，， ∴＝______（填最终结果） 根据海伦公式可得＝______（结果化到最简） 任务二：请你用秦九韶公式解决问题：若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积． 25. 先阅读材料，再回答问题： 分解因式：． 解：将“”看成整体，令，则原式，再将还原，得到：原式． 上述解题过程中用到了“整体思想”，它是数学中常用的一种思想．请你用整体思想解决下列问题： （1）因式分解：________； （2）因式分解：； （3）若为正整数，则的值为某一个正整数的平方．请说明理由． 26. 如果两个正数a，b，即，则有： ① 而② ③ 所以 当时，；当时，；即：当且仅当时取到等号． 我们把叫做正数a，b的算术平均数；把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具．下面举一例子： 例：已知，求的最小值． 解：因为，所以，所以，当，即时，的最小值为4． 利用这个结论解决下列适合八年级学生的问题： （1）上述材料中的运算步骤②，运用的公式为______； （2）已知x＞0，求的最小值，以及此时x的值； （3）用一段长为的篱笆围成一个长方形菜园，当这个矩形的长和宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $