专题05 三角形中的倒角模型之双角平分线模型（三角形）（几何模型讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学讲义聚焦中考几何核心考点“三角形双角平分线模型”，系统梳理双内角、一内角一外角、双外角三类模型，通过“条件-结论-证明”架构建立知识联系。教案设计考点梳理（模型分类及结论推导）、方法指导（口诀记忆与推理思路）、真题训练（2025年多地模拟题）等环节，帮助学生突破角度计算难点，体现复习的系统性和针对性。 亮点在于“口诀化总结+分层探究”教学策略，如用“内内90°加一半”口诀强化模型结论记忆，结合动态旋转问题培养几何直观与空间观念。设置基础例题、拓展探究、中考真题三级练习，通过2024年四川达州中考题实例，引导学生用数学思维推导角度关系，提升推理意识和模型意识。教师可借助此资料精准把控复习节奏，学生能在短时间内掌握解题通法，有效提升应考能力。

专题05 三角形中的倒角模型之双角平分线模型（三角形） 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就三类双角平分线模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1双角平分线模型（双内角） 5 模型2.双角平分线模型（一内角一外角） 9 模型3.双角平分线模型（双外角） 12 17 古希腊数学家毕达哥拉斯提出角平分线基本概念，欧几里得《几何原本》完善了单角平分线定理（平分角且对边成比例），但未涉及双角组合模型；直到20-21世纪双角平分线按位置关系提炼为三类标准模型。三类模型均通过角平分线性质将复杂角度关系转化为∠A的线性函数，体现“集中条件”的核心思想。该模型本质是角平分线研究的现代结晶，通过教育实践完成从理论到工具的转化。 口诀化总结：“内内90°加一半，外外90°减一半，内外直接取一半”。 （2025·陕西榆林·模拟预测）（1）问题解决：如图，中，、分别是和的平分线，为、交点，若，求的度数；（写出求解过程） （2）拓展与探究：①如图1，中，、分别是和的平分线，为、交点，则与的关系是______；（请直接写出你的结论） ②如图2，、分别是和的两个外角和的平分线，为、交点，则与的关系是______；（请直接写出你的结论） ③如图3，、分别是的一个内角和一个外角的平分线，为、交点，则与的关系是______．（请直接写出你的结论） 1）两内角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：。 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。 图1 图2 图3 2）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P； 结论：． 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。 3）两外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：． 证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，。 ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A） =180°-（180°+∠A）=90°+∠A。 4）凸多边形双内角平分线的夹角模型1 条件：如图1，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。 图1 图2 图3 图4 5）凸多边形双内角平分线的夹角模型2 条件：如图2，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：。 证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°-（∠BCD+∠CDE）=180°-（540°-∠A-∠D-∠E）=∠A+∠D+∠E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。 6）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图3，，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是． 证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn= 7）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图4，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD。 证明：如图4，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角， ∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。, 模型1双角平分线模型（双内角） 例1（2025·陕西西安·二模）三角形的一个外角是100°，则与它不相邻的两内角平分线夹角（钝角）是 ． 例2如图，在四边形中，，点为与的角平分线的交点，则的度数是（    ）．    A． B． C． D． 例3（2025·浙江丽水·二模）如图，在中，是的平分线，点D在上（不与点A，B重合），连接CD交于点O．(1)若是边上的中线，，的周长为，求的周长．(2)若于点D，，求的度数． 例4（2025·陕西西安·模拟预测）已知，是平面内任意一点． (1)如图1，若，，，为角平分线．①________度； ②将条件“，”改为“”，求的度数（用含的式子表示）； (2)如图2，若点位于的外部且在的内部，连接，，用，，表示； (3)如图3，若，，平分交于点，为射线上一点（不与点，重合）．①当为钝角三角形时，请直接写出度数的取值范围； ②当时，将绕点逆时针旋转，旋转过程中当与的一边平行时，请直接写出旋转的度数． 模型2.双角平分线模型（一内角一外角） 例1（2025·辽宁丹东·二模）如图，在中，为的外角，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交射线于点，则的度数为 ． 例2（24-25九年级下·陕西汉中·期中）如图，在中，为延长线上一点，与的平分线相交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例3（2024·四川达州·中考真题）如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则 度． 模型3.双角平分线模型（双外角） 例1小雯做作业时遇到这样一个题目：如图， ，点A，B分别是射线，上的动点，平分，平分．当点A，B在，上运动时，的大小是否变化？请说明理由． 小雯想了许久，对于求的度数没有思路，就去请教好朋友小溪，小溪给了她下面的提示． (1)填空：以上提示中① ；② ．(2)请参考提示，帮助小雯写出完整的解答过程． 例2（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在中，，，点，分别在，的延长线上，平分，平分，连接，若，则的长度为（   ） A．4 B．3 C．5 D． 例3如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点，若，则的度数是 ． 例4（2025·山东青岛·校考一模）【阅读理解】三角形内角和定理告诉我们：如图①，三角形三个内角的和等于．如图②，在中，有，点D是延长线上一点．由平角的定义可得，所以．从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【初步应用】如图③，点D，E分别是的边延长线上一点，（1）若，则______；（2）若，则______；（3）若，则______． 【拓展延伸】如图④，点D，E分别是的边延长线上一点， （4）若，分别作和的平分线交于点O，则______； （5）若，分别作和的三等分线交于点O，且，，则______； （6）若，分别作和的n等分线交于点O，且，，则______． 1．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知，点A、B分别在射线上移动，平分，交于点E，平分，的反向延长线与交于点C．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：若，则； 结论Ⅱ：无论点A、B在射线，射线（均不与点O重合）上怎样移动，的度数都不变 A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 2.（2022·辽宁·中考真题）如图，OG平分∠MON，点A，B是射线OM，ON上的点，连接AB．按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点C，交BN于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线BE，交OG于点P．若∠ABN＝140°，∠MON＝50°，则∠OPB的度数为（　　）      A．35° B．45° C．55° D．65° 3．（2025·黑龙江·中考模拟预测）如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠BEC=30°，则∠A是（    ） A．30° B．60° C．90° D．70° 4．（2025·甘肃武威·一模）如图，是的外角，平分，平分，且，相交于点．若，则等于（   ） A． B． C． D． 5．（2025·山东淄博·校考一模）如图，点是的内心，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·云南昆明·模拟预测）如图，△ABC的两条内角平分线BD与CD交于点D，设∠A的度数为x，∠BDC的度数为y，则y关于x的函数图象是（　　） A．B．C．D． 7．如图，在中，，D是延长线上一点，是的平分线，分别作，的平分线，交于点E，F，则 °， °． 8．（2025·陕西西安·模拟预测）已知中，，是的角平分线，是的外角角平分线，交点为D，则 ．    9．（2025·四川乐山·模拟预测）如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠An﹣1BC的平分线与∠An﹣1CD的平分线交于点An．设∠A=．则：（1）∠A1= ；（2）∠An= ． 10．如图，，分别平分的内角、外角、外角．以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有 ．（填序号） 11.（2025·山东济南·校考模拟预测）如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．(1)求证：∠AOC＝90°＋∠ABC；(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明． 12．（2025·山西临汾·模拟预测）阅读下面内容，并解答问题． 探索三角形的内（外）角平分线形成的角的规律 在三角形中，由三角形的内角平分线、外角平分线所形成的角存在一定的规律，如果能理解并掌握其中的规律，对解决相关的问题会起到事半功倍的效果． 规律1：三角形的两个内角的角平分线形成的角等于90加上第三个内角度数的一半． 规律2：三角形的两个外角的角平分线形成的角等于90°减去与这两个外角不相邻的内角度数的一半． 如图，已知点是的内角平分线与的交点，点是的外角平分线与的交点．则，． 证明：规律1，∵，是的角平分线， ∴，．∴． ∴．∴． 规律2，∵，， ∴． ∴． 请解决以下问题：（1）写出上述证明过程中依据的一个定理：______； （2）如图，已知点是的内角平分线与的外角平分线的交点，试探究和的数量关系？并说明理由． 13．（24-25九年级下·山东青岛·月考）我们曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题；聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： (1)问题再现：如图，在中，、的角平分线交于点，若，则 ______． (2)问题推广：①如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，则 ______． ②如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，，则 ______． 14．（2025·甘肃陇南·统考一模）在中，，．点M在的延长线上，的平分线交于点D．的平分线与射线交于点E．    (1)依题意补全图形；用尺规作图法作的平分线；(2)求的度数． 15．（2025·江西赣州·模拟预测）综合实践：某数学小组在实践课上进行了课题研究，制定学习表如下： 研究课题 角平分线的性质与判定 配图 材料收集 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛认为是历史上最成功的教科书．《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．” 任务1：课本再现 （1）同学们都知道角平分线的性质是指角平分线上的点到角的两边的距离相等．即：如图1，是的平分线，P是上的一点，于点D，于点E，则_____（填“＞”、“＝”或“＜”）． 任务2：类比迁移 （2）如图，在中，和的平分线相交于点D，过D作于点E，连接，若，，求的面积． 任务3：拓展探究 （3）如图3，在中，，，的平分线与外角的平分线相交于点D，与交于点F． ①证明：；②试探究与之间的数量关系． 16．【问题】（1）如图①，在中，平分，平分，若，则的度数为______； 【探究】（2）如图②，在中，，三等分，，三等分，若，则的度数为________；（用含的式子表示） （3）如图（3），是与外角的平分线和的交点，若，则的度数为_______； （4）如图（4），是外角与外角的平分线和的交点，则与有怎样的数量关系？请说明理由． 17．已知，点，分别在，上． (1)如图1，连接，，，的平分线与的平分线交于点，则__________°，__________°； (2)如图2，点是线段延长线上一点，过点作，垂足为点，与的平分线交于点，求与的数量关系； (3)如图3，若点在内部（点不在线段上），，连接与，与的平分线交于点，求的度数． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 三角形中的倒角模型之双角平分线模型（三角形） 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就三类双角平分线模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1双角平分线模型（双内角） 5 模型2.双角平分线模型（一内角一外角） 9 模型3.双角平分线模型（双外角） 12 17 古希腊数学家毕达哥拉斯提出角平分线基本概念，欧几里得《几何原本》完善了单角平分线定理（平分角且对边成比例），但未涉及双角组合模型；直到20-21世纪双角平分线按位置关系提炼为三类标准模型。三类模型均通过角平分线性质将复杂角度关系转化为∠A的线性函数，体现“集中条件”的核心思想。该模型本质是角平分线研究的现代结晶，通过教育实践完成从理论到工具的转化。 口诀化总结：“内内90°加一半，外外90°减一半，内外直接取一半”。 （2025·陕西榆林·模拟预测）（1）问题解决：如图，中，、分别是和的平分线，为、交点，若，求的度数；（写出求解过程） （2）拓展与探究：①如图1，中，、分别是和的平分线，为、交点，则与的关系是______；（请直接写出你的结论） ②如图2，、分别是和的两个外角和的平分线，为、交点，则与的关系是______；（请直接写出你的结论） ③如图3，、分别是的一个内角和一个外角的平分线，为、交点，则与的关系是______．（请直接写出你的结论） 【答案】（1）；（2）①，理由见解析；②理由见解析；③，理由见解析 【详解】解（1）∵，∴， ∵、分别是和的平分线，∴， ∴，∴； （2）①，理由如下： ∵，∴， ∵、分别是和的平分线，∴， ∴， ∴，故答案为：； ②，理由如下： ∵，∴， ∵分别是两个外角和的平分线， ∴，∴， ∴，故答案为：； ③，理由如下：∵、分别是的一个内角和一个外角的平分线，， ∴， 又∵是的一外角，∴，∴， ∵是的一外角，∴， 故答案为：． 1）两内角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：。 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。 图1 图2 图3 2）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P； 结论：． 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。 3）两外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：． 证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，。 ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A） =180°-（180°+∠A）=90°+∠A。 4）凸多边形双内角平分线的夹角模型1 条件：如图1，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。 图1 图2 图3 图4 5）凸多边形双内角平分线的夹角模型2 条件：如图2，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：。 证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°-（∠BCD+∠CDE）=180°-（540°-∠A-∠D-∠E）=∠A+∠D+∠E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。 6）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图3，，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是． 证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn= 7）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图4，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD。 证明：如图4，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角， ∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。, 模型1双角平分线模型（双内角） 例1（2025·陕西西安·二模）三角形的一个外角是100°，则与它不相邻的两内角平分线夹角（钝角）是 ． 【答案】130° 【详解】解：∵∠ACQ是△ABC的外角，且∠ACQ＝100°，∴∠BAC+∠ABC＝100°， ∵AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，∴∠1∠BAC，∠3∠ABC， ∴∠1+∠3（∠BAC+∠ABC）＝50°，∴∠D＝180°﹣（∠1+∠3）＝130°．故答案为：130°． 例2如图，在四边形中，，点为与的角平分线的交点，则的度数是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴， ∵为角平分线，∴ ∴即：．故答案为：C． 例3（2025·浙江丽水·二模）如图，在中，是的平分线，点D在上（不与点A，B重合），连接CD交于点O． (1)若是边上的中线，，的周长为，求的周长． (2)若于点D，，求的度数． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：是的中线，， ∵的周长为，的周长，∴， ∵，∴，∴的周长； （2）解：，， 是的角平分线，，， ． 例4（2025·陕西西安·模拟预测）已知，是平面内任意一点． (1)如图1，若，，，为角平分线．①________度； ②将条件“，”改为“”，求的度数（用含的式子表示）； (2)如图2，若点位于的外部且在的内部，连接，，用，，表示； (3)如图3，若，，平分交于点，为射线上一点（不与点，重合）．①当为钝角三角形时，请直接写出度数的取值范围； ②当时，将绕点逆时针旋转，旋转过程中当与的一边平行时，请直接写出旋转的度数． 【答案】(1)①；②(2) (3)①或；②或 【详解】（1）解：①∵，，，为角平分线． ∴，， ∴，故答案为：； ②∵在中，，∴， ∵，为角平分线．∴，， ∴， ∴，∴的度数为； （2）∵，，在四边形中，， ∴， 即； （3）①∵在中，，， ∴， ∵平分，∴， 当时，则，∵为钝角三角形， 当时，则，∴，∴； 当时，则， ∵为钝角三角形，当时，则； 综上所述，为钝角三角形时，度数的取值范围为或； ②∵，，∴，∴， 设绕点逆时针旋转后得到，其中点是点的对应点，点是点的对应点， ∴，，，+ 若，如图，∴， ∴，此时旋转的度数为； 若，如图，∴， ∴，此时旋转的度数为； 若，如图，延长交于点， ∴，∴， ∴， ∴，此时旋转的度数为； 综上所述，旋转过程中当与的一边平行时，旋转的度数为或． 模型2.双角平分线模型（一内角一外角） 例1（2025·辽宁丹东·二模）如图，在中，为的外角，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交射线于点，则的度数为 ． 【答案】/度 【详解】解：∵，∴， 由作图方法可知，分别平分， ∴， ∴，故答案为：． 例2（24-25九年级下·陕西汉中·期中）如图，在中，为延长线上一点，与的平分线相交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是的一个外角，∴， ∵与的平分线相交于点，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，故选：C． 例3（2024·四川达州·中考真题）如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则 度． 【答案】 【详解】解：如图：∵，， ∴设，，则，， 由三角形的外角的性质得：，，∴， 如图：同理可求：，∴，……， ∴，即，故答案为：． 模型3.双角平分线模型（双外角） 例1小雯做作业时遇到这样一个题目：如图， ，点A，B分别是射线，上的动点，平分，平分．当点A，B在，上运动时，的大小是否变化？请说明理由． 小雯想了许久，对于求的度数没有思路，就去请教好朋友小溪，小溪给了她下面的提示． (1)填空：以上提示中① ；② ．(2)请参考提示，帮助小雯写出完整的解答过程． 【答案】(1)①；②(2)的大小不变化，见解析 【详解】（1）解：，， ，，， ．故答案为：①；② （2）解：的大小不变化.理由：，， ，，， ， 平分，平分，， ， ， 在中，，的大小不变化． 例2（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在中，，，点，分别在，的延长线上，平分，平分，连接，若，则的长度为（   ） A．4 B．3 C．5 D． 【答案】B 【详解】解：∵在中，，，∴． ．．平分，平分， ，． ∵，． ，．故选： ． 例3如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点，若，则的度数是 ． 【答案】 【详解】解：延长，过点作于点，作于点，作于点， ， 的外角的平分线与内角平分线交于点， ，，，是的平分线， ∵，∴，∴， 平分，平分，，， ，， ，；故答案为：． 例4（2025·山东青岛·校考一模）【阅读理解】三角形内角和定理告诉我们：如图①，三角形三个内角的和等于．如图②，在中，有，点D是延长线上一点．由平角的定义可得，所以．从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【初步应用】如图③，点D，E分别是的边延长线上一点，（1）若，则______；（2）若，则______；（3）若，则______． 【拓展延伸】如图④，点D，E分别是的边延长线上一点， （4）若，分别作和的平分线交于点O，则______； （5）若，分别作和的三等分线交于点O，且，，则______； （6）若，分别作和的n等分线交于点O，且，，则______． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）60；（5）100；（6）． 【详解】（1）由三角形外角的性质可得出．故答案为：； （2）∵，，∴． ∵，，∴．故答案为：； （3）由（2）同理可得． ∵，，∴ 故答案为：； （4）∵和的平分线交于点O，∴，， ∴． 由（2）可知，∴， ∴．故答案为：； （5）∵，，∴． 由（2）可知，∴， ∴．故答案为：100； （6）∵，，∴． 由（3）可知，∴， ∴．故答案为：． 1．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知，点A、B分别在射线上移动，平分，交于点E，平分，的反向延长线与交于点C．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：若，则； 结论Ⅱ：无论点A、B在射线，射线（均不与点O重合）上怎样移动，的度数都不变 A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 【答案】C 【详解】解：，为 的平分线，， ， 为 的平分线，,故结论Ⅰ正确； ， 又 为 的平分线，， 为 的平分线，， ，故结论Ⅱ正确；故选：C． 2.（2022·辽宁·中考真题）如图，OG平分∠MON，点A，B是射线OM，ON上的点，连接AB．按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点C，交BN于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线BE，交OG于点P．若∠ABN＝140°，∠MON＝50°，则∠OPB的度数为（　　）      A．35° B．45° C．55° D．65° 【答案】B 【详解】解：由作法得BP平分 , ∵OG平分,， ，．故选：B． 3．（2025·黑龙江·中考模拟预测）如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠BEC=30°，则∠A是（    ） A．30° B．60° C．90° D．70° 【答案】B 【详解】解：∵BE是∠ABC的平分线，∴∠EBM=∠ABC， ∵CE是外角∠ACM的平分线，∴∠ECM=∠ACM， 则∠BEC=∠ECM-∠EBM=×（∠ACM-∠ABC）=∠A， ∵∠BEC=30°，∴∠A=60°，故选B． 4．（2025·甘肃武威·一模）如图，是的外角，平分，平分，且，相交于点．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵平分，平分，∴． ∵是的外角，是的外角， ∴， ∴，∴， ∵，∴．故选：B． 5．（2025·山东淄博·校考一模）如图，点是的内心，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵点是的内心，∴分别是的角平分线， ∴，, ∵，∴， ∴，∴， ∴，故选：． 6．（2025·云南昆明·模拟预测）如图，△ABC的两条内角平分线BD与CD交于点D，设∠A的度数为x，∠BDC的度数为y，则y关于x的函数图象是（　　） A．B．C．D． 【答案】B 【详解】∵△ABC的两条内角平分线BD与CD交于点D ∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB ∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣＝180°﹣＝90°+， ∵∠A＞0°且180°＞90°+＞0°∴解得0°＜∠A＜180°，即：y＝90+，0＜x＜180，故选B． 7．如图，在中，，D是延长线上一点，是的平分线，分别作，的平分线，交于点E，F，则 °， °． 【答案】 【详解】解：∵在中，，∴， ∵，的平分线，∴，， ∴， ∵是的平分线，∴， ， ∵，∴，解得：， 又，，，解得：，故答案为：，． 8．（2025·陕西西安·模拟预测）已知中，，是的角平分线，是的外角角平分线，交点为D，则 ．    【答案】 【详解】解：∵是的角平分线，是的外角角平分线， ∴，， ∵是的外角，是的外角， ∴，， ∴．故答案为：． 9．（2025·四川乐山·模拟预测）如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠An﹣1BC的平分线与∠An﹣1CD的平分线交于点An．设∠A=．则：（1）∠A1= ；（2）∠An= ． 【答案】（1）；（2）． 【详解】解：（1）∵A1B是∠ABC的平分线，A2B是∠A1BC的平分线， ∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD．又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1， ∴（∠A+∠ABC）=∠ABC+∠A1．∴∠A1=∠A．∵∠A=，∴∠A1=． （2）同理可得∠A2=∠A1=，∠A3=∠A2=，···，∴∠An=． 10．如图，，分别平分的内角、外角、外角．以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有 ．（填序号） 【答案】①②③④ 【详解】解：①平分，，，， ，，，故①正确， ②，，平分，， ，故②正确； ③，，， ，，， ，，，故③正确； ④平分，，，，， 平分，，，， ，， ，，故④正确； ⑤由④得，，，， ，故⑤不正确．故答案为：①②③④． 11.（2025·山东济南·校考模拟预测）如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．(1)求证：∠AOC＝90°＋∠ABC；(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)见解析(2)AE+CD=AC，证明见解析 【详解】（1）证明：∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC， ∵∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．∴∠OAC=∠BAC，∠OCA=∠BCA， ∴∠OAC+∠OCA=（∠BAC+∠BCA）=（180°-∠ABC）=90°-∠ABC， ∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-（90°-∠ABC），即∠AOC=90°+∠ABC； （2）解：AE+CD=AC，证明：如图2，∵∠AOC=90°+∠ABC=135°，∴∠EOA=45°， 在AC上分别截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，连接OM，ON， 则在△AEO和△AMO中，，∴△AEO≌△AMO， 同理△DCO≌△NCO，∴∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON， ∴∠EOA=∠MOA=∠CON=∠COD=45°，∴∠MON=∠MOA=45°，过M作MK⊥AD于K，ML⊥ON于L， ∴MK=ML，S△AOM=AO×MK，S△MON=ON×ML，∴， ∵，∴，∵AO=3OD，∴，∴，∴AN=AM=AE， ∵AN+NC=AC，∴AE+CD=AC． 12．（2025·山西临汾·模拟预测）阅读下面内容，并解答问题． 探索三角形的内（外）角平分线形成的角的规律 在三角形中，由三角形的内角平分线、外角平分线所形成的角存在一定的规律，如果能理解并掌握其中的规律，对解决相关的问题会起到事半功倍的效果． 规律1：三角形的两个内角的角平分线形成的角等于90加上第三个内角度数的一半． 规律2：三角形的两个外角的角平分线形成的角等于90°减去与这两个外角不相邻的内角度数的一半． 如图，已知点是的内角平分线与的交点，点是的外角平分线与的交点．则，． 证明：规律1，∵，是的角平分线， ∴，．∴． ∴．∴． 规律2，∵，， ∴． ∴． 请解决以下问题：（1）写出上述证明过程中依据的一个定理：______； （2）如图，已知点是的内角平分线与的外角平分线的交点，试探究和的数量关系？并说明理由． 【答案】（1）三角形内角和定理；（2），见解析 【详解】解：（1）答案不唯一，如三角形内角和定理或者三角形的内角和等于180°或者三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． （2）．理由如下：∵，平分和，∴，， ∵是的外角，∴， ∵是的外角，∴，∴， ∴，∴，∴． 13．（24-25九年级下·山东青岛·月考）我们曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题；聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： (1)问题再现：如图，在中，、的角平分线交于点，若，则 ______． (2)问题推广：①如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，则 ______． ②如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，，则 ______． 【答案】(1)(2)① ；② 【详解】（1）解：、的角平分线交于点， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：①如图所示： ，，， 由折叠可知：，，，， ，， 、的角平分线交于点，， ， ， ，故答案为：； ②，，， ，， 由折叠可知：，，，， ，， 、的角平分线交于点，、的角平分线交于点， ， ， ， ，故答案为：． 14．（2025·甘肃陇南·统考一模）在中，，．点M在的延长线上，的平分线交于点D．的平分线与射线交于点E．    (1)依题意补全图形；用尺规作图法作的平分线；(2)求的度数． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）解：如图，即为所求；    （2）解：∵，，∴， ∵是的平分线，∴， ∵，是的平分线， ∴，∴． 15．（2025·江西赣州·模拟预测）综合实践：某数学小组在实践课上进行了课题研究，制定学习表如下： 研究课题 角平分线的性质与判定 配图 材料收集 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛认为是历史上最成功的教科书．《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．” 任务1：课本再现 （1）同学们都知道角平分线的性质是指角平分线上的点到角的两边的距离相等．即：如图1，是的平分线，P是上的一点，于点D，于点E，则_____（填“＞”、“＝”或“＜”）． 任务2：类比迁移 （2）如图，在中，和的平分线相交于点D，过D作于点E，连接，若，，求的面积． 任务3：拓展探究 （3）如图3，在中，，，的平分线与外角的平分线相交于点D，与交于点F． ①证明：；②试探究与之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）8；（3）①见解析；② 【详解】解：（1）解：∵是的平分线，，，∴，故答案为：； （2）过点D作于点F， ∵和的平分线相交于点D，于点E，， ∴，∴的面积为：． （3）①如图，在中，，， ∴．∴． ∵的平分线与外角的平分线相交于点D， ∴，，． ∵，∴．∴． ②过点F，D分别作于G，于H． ∵平分，∴．∴． ∵，，∴． ∴．即． 16．【问题】（1）如图①，在中，平分，平分，若，则的度数为______； 【探究】（2）如图②，在中，，三等分，，三等分，若，则的度数为________；（用含的式子表示） （3）如图（3），是与外角的平分线和的交点，若，则的度数为_______； （4）如图（4），是外角与外角的平分线和的交点，则与有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4），理由见解析 【详解】解：（1）若，则， ∵平分，平分，∴，， ∴， ∴，故答案为：； （2）∵，∴， ∵、三等分，、三等分， ∴，， ∴， ∴，故答案为：； （3）由三角形的外角性质得，，， ∵O是与外角的平分线和的交点，∴，， ∴， ∴，∴，故答案为：； （4）．理由如下：∵是外角与外角的平分线和的交点， ，， 在中， ，， ∵，． 17．已知，点，分别在，上． (1)如图1，连接，，，的平分线与的平分线交于点，则__________°，__________°； (2)如图2，点是线段延长线上一点，过点作，垂足为点，与的平分线交于点，求与的数量关系； (3)如图3，若点在内部（点不在线段上），，连接与，与的平分线交于点，求的度数． 【答案】(1)，(2)(3)或 【详解】（1）解：，，，； 的平分线与的平分线交于点， ，， ，故答案为：，； （2）解：如图，连接并延长于点P，，， 是的外角，，， 与的平分线交于点，，， 是的外角，是的外角， ，， ，； （3）解：分两种情况，点G在外时，如图，连接， 在四边形中，，，， ，，，， 与的平分线交于点，， ，在中，， ， ； 点G在内时，如图，连接，由知，， 在中，，， ， ，，， 与的平分线交于点，， ， 在四边形中，， ， 综上可知，的度数为或． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $