专题02 三角形中的倒角模型-燕尾（飞镖）型、风筝模型、翻角模型（几何模型讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

专题02.三角形中的倒角模型-燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）、翻角模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）、翻角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.飞镖（燕尾）模型 6 模型2.鹰爪（风筝）模型 10 模型3.翻角模型 13 16 ‌ 燕尾模型（飞镖模型）‌因凹四边形的外轮廓酷似燕尾分叉或飞镖外形，教育工作者将其形象化命名以辅助记忆‌。凹四边形中，从顶点延伸的两条边如同燕尾分叉，而整体轮廓又像投掷的飞镖，这种具象化命名帮助学生快速联想图形特征。部分资料戏称其为“回旋镖模型”，强调角度关系循环往复的特点。‌ ‌鹰爪（‌风筝）模型‌强调图形末端的尖锐角如同鹰爪抓握状，更侧重动态联想。 翻角模型是‌动态几何思想‌与‌静态角度守恒‌的结合，通过操作发现不变量的过程，深化了对三角形刚性结构的理解。‌‌‌ 普及高峰期（‌2023–2025 年），这些倒角模型被纳入多地初中数学复习专题，配套口诀（如“见飞镖，找四角”、“内翻腋下和等上下和，外翻腋下差等折角倍”‌‌）广泛传播，这些模型将严谨的几何法则融入生活化的想象与口诀，让数学推理像解谜游戏一样充满乐趣！ （吉林长春·期末）【问题呈现】如图①，四边形形似“飞镖”，我们形象地称它为“飞镖图”．它实际上是凹四边形，通过探究发现：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和，即． 【探究推理】方法一：如图②，连结． ∵在中，，∴． 又∵在中，，∴， ∴，∴．即． 方法二：如图③，连结并延长至F．∵与分别为和的外角，… （1）“方法一”主要依据的数学定理是 ；（2）根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出余下的推理过程． 【迁移应用】（3）如图④， ；（4）如图⑤是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且的大小保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”）的大小为 度． （2024·贵州贵阳·二模）综合与实践 问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动． 独立思考：（1）如图①，将三角形纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置，则与之间的数量关系为 　 ，请说明理由； 深入探究：（2）如图②，若点落在四边形的边下方时，试猜想此时与，之间的数量关系，并说明理由； 结论运用：（3）如图③，在四边形中，，，分别是，边上的一点，沿将四边形折叠，点的对应点恰好落在边上，且，． ①的度数为 　　；②若，，求点到的距离． 1）飞镖模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。 即：，故。 图1 图2 图3 图4 图5 2）鹰爪模型：如图2，结论：∠A+∠O=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠CAO+∠COA； ∴∠1+∠2=∠BAO+∠BOA+∠CAO+∠COA=∠BAO+∠CAO+∠BOA+∠COA=∠BAC+∠BOC=∠A+∠O。 3）鹰爪模型（变形）：如图2，结论：∠A+∠O=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠DAO+∠DOA； ∴∠2-∠1=∠DAO+∠DOA-（∠BAO+∠BOA）=（∠DAO-∠BAO)+（∠DOA-∠BOA） =∠BAD+∠BOD=∠A+∠O。 4）角内翻模型 条件：如图4，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，结论：2∠C=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠1+∠2=∠ECC’+∠EC’C+∠FCC’+∠FC’C=∠ECC’+∠FCC’+∠EC’C+∠FC’C=∠EC’F+∠FCE=2∠C。 5）角外翻模型 条件：如图5，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，结论：2∠C=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠2-∠1=∠FCC’+∠FC’C-（∠ECC’+∠EC’C）=（FCC’-∠ECC’)+（∠FC’C--∠EC’C） =∠EC’F+∠FCE=2∠C。 图1 图2 飞镖模型拓展1：条件：如图1，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。 飞镖模型拓展2：条件：如图2，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD； 结论：∠O=（∠D-∠B）。 证明：根据飞镖模型：=++，∴∠DCB-∠DAB=∠D+∠B， ∵AO平分∠DAB，CO平分∠BCD，∴∠DCO=∠DCB，∠DAO=∠DAB， ∴∠DCO-∠DAO=（∠DCB-∠DAB）=（∠D+∠B）， ∵∠DEA=∠OEC，∴∠D+∠DAO=∠O+∠DCO，∴∠D-∠O=∠DCO-∠DAO， ∴∠D-∠O=（∠D+∠B）,即∠O=（∠D-∠B） 模型1.飞镖（燕尾）模型 例1（2025·浙江·模拟预测）如图，，，，则 ． 例2如图，，的角平分线交于点，若，，则的度数（    ） A． B． C． D． 例3材料阅读：如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”．解决问题： (1)观察“规形图”，试探究与之间的数量关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图②，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B，C，若，则______； ②如图③，平分，平分，若，求的度数； ③如图③，平分，平分，若，则______． 例4（2025·山东·中考模拟预测）箭头四角形,模型规律:如图1，延长CO交AB于点D，则．因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．模型应用: （1）直接应用：①如图2， ．②如图3，的2等分线（即角平分线）交于点F，已知，则 ③如图4，分别为的2019等分线．它们的交点从上到下依次为．已知，则 度 例5（2025·江苏连云港·模拟预测）（1）如图1，在中，已知． ①求证：；②若D是边的中点，连接，求证：． （2）如图2，在中，已知，且D是内的一点，，求证：． 模型2.‌鹰爪（‌风筝）模型 例1如图，在中，，点，分别是边，上的两个定点．若点在线段上运动，当时，则 ． 例2如图①，、是四边形的两个不相邻的外角．      (1)猜想并说明与、的数量关系；(2)如图②，在四边形中，与的平分线交于点．若，，求的度数；(3)如图③，、分别是四边形外角、的角平分线．请直接写出、与的数量关系 ． 例3（24-25八年级上·重庆·期末）在中，，点，分别是边，上的两个定点，点是平面内一动点．初探：（1）如图1，若点在线段上运动， ①当时，则 ；②，，之间的数量关系为： ． 再探：（2）若点运动到边的延长线上，交于，如图2，则，，之间有何关系？并说明理由． 拓展：（3）当点在的内部，且，，不共线时，记，，，探究，，之间的关系，并直接写出探究结论． 模型3.翻角模型 例1（2025·山东菏泽·三模）如图，取一张三角形纸片，记为，在边上各任取一点，将纸片沿折叠，使点落在的另一侧，落点为，若，则 （    ） A． B． C． D． 例2如图，在中，将沿直线翻折，点落在点的位置，则、、之间的关系为（   ）    A． B． C． D． 例3综合与实践 数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“折叠”为主题开展数学活动． (1)观察发现：如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置．则、、之间的数量关系为：______； (2)探究迁移：如图2，若将（1）中“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”，其他条件不变．请写出、、之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用：如图3，四边形纸片，，与不平行，将四边形纸片沿折叠成图3的形状，点落在点处，点落在点处，若，，请直接写出的度数 1．（2025·河北·模拟预测）如图，把等边纸片沿折叠，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2.如图，把沿折叠后，点的对应点为，且点落在四边形内部，则，，之间满足的数量关系是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西榆林·一模）如图，点，分别在线段，上，连接，交于点．若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·内蒙古·一模）如图，在中，，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·江苏·模拟预测）如图，将四边形纸片沿折叠，使点落在四边形外点的位置，点落在四边形内点的位置，若，，则等于（　　） A． B． C． D． 6．如图，平分，平分，与交于点，若，，则（    ） A．80° B．75° C．60° D．45° 7．如图，小军借助几何画板设计了“鱼形”图案，由四边形和组成．已知在中，，，，，则的度数是（　　） A．65° B．55° C．45° D．35° 8.如图是一个“燕尾形”，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，的平分线交于点，连接，平分，交于点，若的度数为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，将纸片折叠，使点落在边上的点处，折痕与边、分别交于点、．若是直角三角形，则的度数为 ． 11．（2025·山东青岛·二模）如图，在中，，，，分别在，上，将沿折叠得到，且，则的度数为 ． 12．（2025·河北保定·统考模拟预测）如图，用铁丝折成一个四边形ABCD（点C在直线BD的上方），且∠A=70°，∠BCD=120°，若使∠ABC、∠ADC平分线的夹角∠E的度数为100°，可保持∠A不变，将∠BCD （填“增大”或“减小”） °． 13．如图，、的角平分线相交于点P，若，，则的度数为 ． 14．如图，已知线段、的垂直平分线交于点，连接、、、，若，，那么的度数是 ． 15．【问题情境】 已知，在的两边上分别取点B、C，在的内部取一点O，连接、．设，，探索与、、之间的数量关系． 【初步感知】如图1，当点O在的边上时，，此时，则与、、之间的数量关系是． 【问题再探】（1）如图2，当点O在的内部时，请写出与、、之间的数量关系并说明理由；（2）如图3，当点O在的外部时，与、、之间的数量关系是________； 【拓展延伸】（1）如图4，、的外角平分线相交于点P． ①若，，则________°；②若且，则________°； ③直接写出与、之间的数量关系； （2）如图5，的平分线与的外角平分线相交于点Q，则________（用、表示）． 16．（2023·北京·一模）在课外活动中，我们要研究一种凹四边形——燕尾四边形的性质． 定义1：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形（如图1）． （1）根据凹四边形的定义，下列四边形是凹四边形的是（填写序号） ； ①②③ 定义2：两组邻边分别相等的凹四边形叫做燕尾四边形（如图2）． 特别地，有三边相等的凹四边形不属于燕尾四边形． 小洁根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对燕尾四边形的性质进行了探究. 下面是小洁的探究过程，请补充完整：（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对燕尾四边形性质的猜想，并选取其中的一条猜想加以证明；（3）如图2，在燕尾四边形ABCD中，AB=AD=6，BC=DC=4，∠BCD=120°，求燕尾四边形ABCD的面积（直接写出结果）． 17．（2025·山东泰安·一模）《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，把人们公认的一些事实列成定义，公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义，公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．初中教材中已经学习了“在一个三角形中，等边对等角；等角对等边”．小丽同学提出问题：一个三角形中，不相等的边和角有没有什么对应关系呢？学习了角平分线后，小丽进行了如下探究．请根据她的思路，完成以下作图与填空： 已知：如图，中，．求证：． (1)尺规作图：在图1中，作的角平分线，交于点D，在上截取，连接．（保留作图痕迹） (2)证明：平分线，∴___________． 在和中，．___________． ___________，． 通过探究可以得出结论：在同一个三角形中，_____________________． (3)如图2，在四边形中，．请猜想和的关系，并证明你的结论． 18.材料阅读：如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”．解决问题： (1)观察“规形图”，试探究与之间的数量关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图②，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B，C，若，则______； ②如图③，平分，平分，若，求的度数； ③如图③，平分，平分，若，则______． 19．请阅读下列材料，并完成相应的任务： 如图1，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”，在此图形中，可证．在探究之间的关系时，小明同学提供如下两种方法． 方法一∶如图2，连接，则在中，， 即， 又∵在中，， ∴，即． 方法二∶如图3，连接并延长至F， ∵和分别是和的一个外角，∴ ． ． ∵；∴ ；∴． 解答下列问题．(1)根据“方法二”中辅助线的添加方式，补全方法二的证明过程； (2)如图1，当时，直接写出 °． (3)应用：如图4，，直接写出 ． 20．如图所示的四边形． (1)写出之间的数量关系是_______； (2)若，平分，平分，利用（1）的结论证明：． 21.在四边形中，，点分别是边上的点，点是一动点，连接，令． 初探：(1)如图①，若点在线段上运动，试探究与之间的关系，并说明理由； 再探：(2)如图②，若点在线段的延长线上运动，试探究之间的关系，并说明理由； (3)若点运动到四边形的内部，在备用图中画出此时的图形，并直接写出此时间的关系______． 22.中，，点D、E分别是边，上的点，点P是一动点．令，，．    (1)若点P在线段上，如图①所示，且，则________； (2)若点P在斜边AB上运动，如图②所示，则，，之间有何关系？猜想并说明理由； (3)若点P在斜边BA的延长线上运动，如图3所示，则，，之间有何关系，并说明理由； (4)若点P运动到形外（只需研究④情形），请直接写出，，之间的关系． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 三角形中的倒角模型-燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）、翻角模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）、翻角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.飞镖（燕尾）模型 6 模型2.鹰爪（风筝）模型 10 模型3.翻角模型 13 16 ‌ 燕尾模型（飞镖模型）‌因凹四边形的外轮廓酷似燕尾分叉或飞镖外形，教育工作者将其形象化命名以辅助记忆‌。凹四边形中，从顶点延伸的两条边如同燕尾分叉，而整体轮廓又像投掷的飞镖，这种具象化命名帮助学生快速联想图形特征。部分资料戏称其为“回旋镖模型”，强调角度关系循环往复的特点。‌ ‌鹰爪（‌风筝）模型‌强调图形末端的尖锐角如同鹰爪抓握状，更侧重动态联想。 翻角模型是‌动态几何思想‌与‌静态角度守恒‌的结合，通过操作发现不变量的过程，深化了对三角形刚性结构的理解。‌‌‌ 普及高峰期（‌2023–2025 年），这些倒角模型被纳入多地初中数学复习专题，配套口诀（如“见飞镖，找四角”、“内翻腋下和等上下和，外翻腋下差等折角倍”‌‌）广泛传播，这些模型将严谨的几何法则融入生活化的想象与口诀，让数学推理像解谜游戏一样充满乐趣！ （吉林长春·期末）【问题呈现】如图①，四边形形似“飞镖”，我们形象地称它为“飞镖图”．它实际上是凹四边形，通过探究发现：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和，即． 【探究推理】方法一：如图②，连结． ∵在中，，∴． 又∵在中，，∴， ∴，∴．即． 方法二：如图③，连结并延长至F．∵与分别为和的外角，… （1）“方法一”主要依据的数学定理是 ；（2）根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出余下的推理过程． 【迁移应用】（3）如图④， ；（4）如图⑤是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且的大小保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”）的大小为 度． 【答案】（1）三角形的内角和等于 ；（2）推理过程见解析；（3）；（4）减少，10 【详解】解：（1）三角形的内角和等于 ，故答案为：三角形的内角和等于； （2）∵，∴， ∵，∴； （3）如图，延长交于点F，∵， ∴，故答案为：； （4）延长，交于点G，如图：∵，∴． ∵，∴． ∵，∴，∴． 而图中，∴应减少．故答案为：减少，10． （2024·贵州贵阳·二模）综合与实践 问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动． 独立思考：（1）如图①，将三角形纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置，则与之间的数量关系为 　 ，请说明理由； 深入探究：（2）如图②，若点落在四边形的边下方时，试猜想此时与，之间的数量关系，并说明理由； 结论运用：（3）如图③，在四边形中，，，分别是，边上的一点，沿将四边形折叠，点的对应点恰好落在边上，且，． ①的度数为 　　；②若，，求点到的距离． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）①；② 【详解】解：（1），理由如下：连接，如图①， 将三角形纸片沿折叠，点落在四边形内点的位置，． ，，， 即；故答案为：； （2），理由如下：设与交于点，如图②， ，，，； （3）①延长交的延长线于，由（2）中结论可知， 如图③，，． ，．故答案为：； ②过点作交于点，过点作交的延长线于点，如图， ，，，． ，，， ，．，， ，即点到的距离为． 1）飞镖模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。 即：，故。 图1 图2 图3 图4 图5 2）鹰爪模型：如图2，结论：∠A+∠O=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠CAO+∠COA； ∴∠1+∠2=∠BAO+∠BOA+∠CAO+∠COA=∠BAO+∠CAO+∠BOA+∠COA=∠BAC+∠BOC=∠A+∠O。 3）鹰爪模型（变形）：如图2，结论：∠A+∠O=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠DAO+∠DOA； ∴∠2-∠1=∠DAO+∠DOA-（∠BAO+∠BOA）=（∠DAO-∠BAO)+（∠DOA-∠BOA） =∠BAD+∠BOD=∠A+∠O。 4）角内翻模型 条件：如图4，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，结论：2∠C=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠1+∠2=∠ECC’+∠EC’C+∠FCC’+∠FC’C=∠ECC’+∠FCC’+∠EC’C+∠FC’C=∠EC’F+∠FCE=2∠C。 5）角外翻模型 条件：如图5，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，结论：2∠C=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠2-∠1=∠FCC’+∠FC’C-（∠ECC’+∠EC’C）=（FCC’-∠ECC’)+（∠FC’C--∠EC’C） =∠EC’F+∠FCE=2∠C。 图1 图2 飞镖模型拓展1：条件：如图1，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。 飞镖模型拓展2：条件：如图2，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD； 结论：∠O=（∠D-∠B）。 证明：根据飞镖模型：=++，∴∠DCB-∠DAB=∠D+∠B， ∵AO平分∠DAB，CO平分∠BCD，∴∠DCO=∠DCB，∠DAO=∠DAB， ∴∠DCO-∠DAO=（∠DCB-∠DAB）=（∠D+∠B）， ∵∠DEA=∠OEC，∴∠D+∠DAO=∠O+∠DCO，∴∠D-∠O=∠DCO-∠DAO， ∴∠D-∠O=（∠D+∠B）,即∠O=（∠D-∠B） 模型1.飞镖（燕尾）模型 例1（2025·浙江·模拟预测）如图，，，，则 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接并延长至点，∵，， ∴，∴， ∵，，∴，故答案为：． 例2如图，，的角平分线交于点，若，，则的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：法一：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F， ∵∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°，∵∠AFB＝∠PFC，∴∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF， ∵∠P＋∠PBE＝∠PED，∠PED＝∠PCD−∠D，∴∠P＋∠PBE＝∠PCD−∠D， ∴2∠P＋∠PCF＋∠PBE＝∠A−∠D＋∠ABF＋∠PCD， ∵PB、PC是角平分线；∴∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，∴2∠P＝∠A−∠D ∵∠A＝48°，∠D＝10°，∴∠P＝19°． 法二：延长DC，与AB交于点E．∵∠ACD是△ACE的外角，∠A＝48°， ∴∠ACD＝∠A＋∠AEC＝48°＋∠AEC．∵∠AEC是△BDE的外角，∴∠AEC＝∠ABD＋∠D＝∠ABD＋10°， ∴∠ACD＝48°＋∠AEC＝48°＋∠ABD＋10°，整理得∠ACD−∠ABD＝58°． 设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC， ∴∠P＋∠ACD＝∠A＋∠ABD，即∠P＝48°−（∠ACD−∠ABD）＝19°．故选A. 例3材料阅读：如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”．解决问题： (1)观察“规形图”，试探究与之间的数量关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图②，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B，C，若，则______； ②如图③，平分，平分，若，求的度数； ③如图③，平分，平分，若，则______． 【答案】(1)，理由见解析(2)①50；②85；③ 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，过点A，D作射线， 由三角形外角的性质得：， ∵，∴； （2）解：①由（1）得：， ∵，，∴；故答案为：50 ②由（1）得：， ∴， ∵平分，平分，∴， ∴，∴，∴，∵，∴； ③由（1）得：， ∴， ∵平分，平分，∴， ∴，∴， ∴，∵，∴．故答案为： 例4（2025·山东·中考模拟预测）箭头四角形,模型规律:如图1，延长CO交AB于点D，则．因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．模型应用: （1）直接应用：①如图2， ．②如图3，的2等分线（即角平分线）交于点F，已知，则 ③如图4，分别为的2019等分线．它们的交点从上到下依次为．已知，则 度 【答案】（1）①，②，③； 【详解】解：（1）①如图2，在凹四边形ABOC中，， 在凹四边形DOEF中，， ②如图3，，且 ，，； ③如图4，由题意知, 则 代入得 解得： ，； 故答案为①；②；③（）； 例5（2025·江苏连云港·模拟预测）（1）如图1，在中，已知． ①求证：；②若D是边的中点，连接，求证：． （2）如图2，在中，已知，且D是内的一点，，求证：． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析 【详解】证明：（1）①如图所示，作的平分线交于点D，在上截取，∴；又∵，∴，∴ ∵在中，∴； 证明：②延长到点，使，连接， 是边的中点，，又∵， ，，， ∵，，，； （2）证明：在右侧作，连接交于点O， ，，， ，， ，，． 模型2.‌鹰爪（‌风筝）模型 例1如图，在中，，点，分别是边，上的两个定点．若点在线段上运动，当时，则 ． 【答案】/125度 【详解】解：连接，∵是的一个外角，是的一个外角， ∴，∵， ∴， ∴．故答案为：． 例2如图①，、是四边形的两个不相邻的外角．      (1)猜想并说明与、的数量关系；(2)如图②，在四边形中，与的平分线交于点．若，，求的度数；(3)如图③，、分别是四边形外角、的角平分线．请直接写出、与的数量关系 ． 【答案】(1)；(2)；(3)． 【详解】（1）猜想：，理由如下： ∵，，∴， （2）∵，，， ∴， ∵、分别平分与，∴，， ∴，∴， （3）、与的数量关系为：，理由如下： ∵、分别是四边形外角、的角平分线， ∴，， 由(1)可知:，， ∴，∴，故答案为：． 例3在中，，点，分别是边，上的两个定点，点是平面内一动点．初探：（1）如图1，若点在线段上运动， ①当时，则 ；②，，之间的数量关系为： ． 再探：（2）若点运动到边的延长线上，交于，如图2，则，，之间有何关系？并说明理由． 拓展：（3）当点在的内部，且，，不共线时，记，，，探究，，之间的关系，并直接写出探究结论． 【答案】（1）①130度；②；（2）；（3）或 【详解】解：（1）①如图1中，连接．，， ， ，，．故答案为：； ②由①可知，，故答案为：． （2）结论：． 理由：如图2中，，，． （3）结论：． 理由：如图3中，当在 内部时，，， ，． 当在四边形内部时，同理得：． 模型3.翻角模型 例1（2025·山东菏泽·三模）如图，取一张三角形纸片，记为，在边上各任取一点，将纸片沿折叠，使点落在的另一侧，落点为，若，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，∵，∴，∴， ∵折叠，∴，∴， ∴ 故选：D． 例2（24-25八年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，将沿直线翻折，点落在点的位置，则、、之间的关系为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由折叠可得，，∴， ∴，∴，故选 ：．    例3综合与实践 数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“折叠”为主题开展数学活动． (1)观察发现：如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置．则、、之间的数量关系为：______； (2)探究迁移：如图2，若将（1）中“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”，其他条件不变．请写出、、之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用：如图3，四边形纸片，，与不平行，将四边形纸片沿折叠成图3的形状，点落在点处，点落在点处，若，，请直接写出的度数 【答案】(1)(2)，理由见解析(3) 【详解】（1）解：结论：，理由：连接， 沿折叠和重合，，，， ． （2），理由：连接， 沿折叠和重合，，，， ； （3）如图，延长，交于点，延长，交于点，则对折后与重合， 由（2）的结论可得：，而，， ，，，． 1．（2025·河北·模拟预测）如图，把等边纸片沿折叠，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由折叠可知， 又， 是等边三角形，，．故选：B． 2.如图，把沿折叠后，点的对应点为，且点落在四边形内部，则，，之间满足的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接，如图所示： ∵沿折叠后，点的对应点为，∴，，， 在中，，在中，， ∴，即，故选：B． 3．（2025·陕西榆林·一模）如图，点，分别在线段，上，连接，交于点．若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，，∴， ∵，∴．故选：A． 4．（2025·内蒙古·一模）如图，在中，，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，如图，设直线与分别交于点，点， 令与的交点为，且，沿直线翻折，点落在点上，， 在中，，在中，， ，， 即故选：C． 5．（2024·江苏·模拟预测）如图，将四边形纸片沿折叠，使点落在四边形外点的位置，点落在四边形内点的位置，若，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：延长交于点，设交于点，如图， 四边形的内角和为，， ，．由折叠的性质可得：． ，． 在和中，，， ，，． ，， ，，，， ，．故选：D． 6．如图，平分，平分，与交于点，若，，则（    ） A．80° B．75° C．60° D．45° 【答案】C 【详解】解：连接 平分，平分， 故选： 7．如图，小军借助几何画板设计了“鱼形”图案，由四边形和组成．已知在中，，，，，则的度数是（　　） A．65° B．55° C．45° D．35° 【答案】B 【详解】解：延长交于点H，如图所示： ∵，，∴， ∵，，∴，，∴．故选：B． 8.如图是一个“燕尾形”，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：延长交于点E，是的一个外角，， ，，是的一个外角，， ，，， ，解得：，故选：B． 9．如图，在中，，的平分线交于点，连接，平分，交于点，若的度数为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵中，，∴， ∵，分别平分和，∴，， ∴， 在中，， ∵，的平分线交于点，∴平分，∴， 又∵平分，∴，∴．故选：B． 10．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，将纸片折叠，使点落在边上的点处，折痕与边、分别交于点、．若是直角三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【详解】解：当时，则，根据翻折的性质得，； 当时，，， 根据翻折的性质得，；故答案为：或． 11．（2025·山东青岛·二模）如图，在中，，，，分别在，上，将沿折叠得到，且，则的度数为 ． 【答案】/74度 【详解】解：∵，，∴， 由折叠性质可知，，，∵，∴， ∵，∴， ∵，∴，故答案为：． 12．（2025·河北保定·统考模拟预测）如图，用铁丝折成一个四边形ABCD（点C在直线BD的上方），且∠A=70°，∠BCD=120°，若使∠ABC、∠ADC平分线的夹角∠E的度数为100°，可保持∠A不变，将∠BCD （填“增大”或“减小”） °． 【答案】 增大 10 【详解】解：如图，连接AE并延长，连接AC并延长， ∠BED=∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠BAD+∠ADE=100°， ∵∠BAD＝70°，∴∠ABE+∠ADE=30°，∵BE，DE分别是∠ABC、∠ADC平分线， ∴∠ABC+∠ADC=2（∠ABE+∠ADE）=60°， 同上可得，∠BCD=∠BAD+∠ABC+∠ADC=130°，130°-120°=10°， ∴∠BCD增大了10°．故答案为：增大，10． 13．如图，、的角平分线相交于点P，若，，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：延长交于点，设交于F， 设，平分，， ，， 平分，， ，，，，故答案为：． 14．如图，已知线段、的垂直平分线交于点，连接、、、，若，，那么的度数是 ． 【答案】/42度 【详解】解：如图，连接， ∵线段、的垂直平分线交于点，∴，∴， ∴，∴，即， ∵，∴， ∵，，，∴，∴，故答案为：． 15．【问题情境】 已知，在的两边上分别取点B、C，在的内部取一点O，连接、．设，，探索与、、之间的数量关系． 【初步感知】如图1，当点O在的边上时，，此时，则与、、之间的数量关系是． 【问题再探】（1）如图2，当点O在的内部时，请写出与、、之间的数量关系并说明理由；（2）如图3，当点O在的外部时，与、、之间的数量关系是________； 【拓展延伸】（1）如图4，、的外角平分线相交于点P． ①若，，则________°；②若且，则________°； ③直接写出与、之间的数量关系； （2）如图5，的平分线与的外角平分线相交于点Q，则________（用、表示）． 【答案】[问题再探]（1）结论：∠BOC=∠BAC+∠1+∠2．证明见解析；（2）∠BOC+∠BAC+∠1+∠2=360°；[拓展延伸]（1）①25；②20；③∠BOC=∠A+2∠P；（2） 【详解】解：[问题再探]（1）如图2中，结论：． 理由：连接，延长到． ，， ． （2）如图3中，结论：． 理由：连接．，， ，． [拓展延伸]①如图4中，，，， 、的外角平分线相交于点，， ，故答案为：25． ②，，，，故答案为：20． ③，． （2）如图5中，结论：．理由：设，． 则有．②①可得，， 即，故答案为：． 16．（2023·北京·一模）在课外活动中，我们要研究一种凹四边形——燕尾四边形的性质． 定义1：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形（如图1）． （1）根据凹四边形的定义，下列四边形是凹四边形的是（填写序号） ； ①②③ 定义2：两组邻边分别相等的凹四边形叫做燕尾四边形（如图2）． 特别地，有三边相等的凹四边形不属于燕尾四边形． 小洁根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对燕尾四边形的性质进行了探究. 下面是小洁的探究过程，请补充完整：（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对燕尾四边形性质的猜想，并选取其中的一条猜想加以证明；（3）如图2，在燕尾四边形ABCD中，AB=AD=6，BC=DC=4，∠BCD=120°，求燕尾四边形ABCD的面积（直接写出结果）． 【答案】（1）①；（2）证明见解析；（3）． 【详解】解：（1）由凹四边形的定义得出，图①是凹四边形．故答案是①； （2）①一组对角相等；②它是一个轴对称图形； ①已知：如图1， 在凹四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC．求证：∠B=∠D． 证明：连接AC．在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC．∴∠B=∠D． ②由①知，△ABC≌△ADC，∴AC所在的直线是燕尾四边形的对称轴； （3）如图2，连接AC，过点B作BE⊥AC交AC的延长线于E； 由（2）知，燕尾四边形ABCD是轴对称图形，∴∠BCE=∠BCD=60°，∴∠CBE=30°， 在Rt△BCE中，∠CBE=30°，BC=4，∴CE=BC=2，BE= CE=2， 在Rt△ABE中，AB=6，BE=2，根据勾股定理得，AE=， ∴S△ABC=S△ABE-S△CBE=BE•AE-BE•CE=BE（AE-CE）=×2×（2-2）=6-2 ∴燕尾四边形ABCD的面积为2S△ABC=12−4． 17．（2025·山东泰安·一模）《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，把人们公认的一些事实列成定义，公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义，公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．初中教材中已经学习了“在一个三角形中，等边对等角；等角对等边”．小丽同学提出问题：一个三角形中，不相等的边和角有没有什么对应关系呢？学习了角平分线后，小丽进行了如下探究．请根据她的思路，完成以下作图与填空： 已知：如图，中，． 求证：． (1)尺规作图：在图1中，作的角平分线，交于点D，在上截取，连接．（保留作图痕迹） (2)证明：平分线，∴___________． 在和中，．___________． ___________，． 通过探究可以得出结论：在同一个三角形中，_____________________． (3)如图2，在四边形中，．请猜想和的关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析(2)；；；；大边对大角(3) 【详解】（1）解：如图，即为所作： （2）证明：平分线，∴． 在和中，．， ，． 通过探究可以得出结论：在同一个三角形中，大边对大角． 故答案为：；；；；大边对大角； （3）解：连接， ∵，∵，∵，∴，∴，∴． 18.材料阅读：如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”．解决问题： (1)观察“规形图”，试探究与之间的数量关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图②，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B，C，若，则______； ②如图③，平分，平分，若，求的度数； ③如图③，平分，平分，若，则______． 【答案】(1)，理由见解析(2)①50；②85；③ 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，过点A，D作射线， 由三角形外角的性质得：， ∵，∴； （2）解：①由（1）得：， ∵，，∴；故答案为：50 ②由（1）得：， ∴， ∵平分，平分，∴， ∴，∴，∴，∵，∴； ③由（1）得：， ∴， ∵平分，平分，∴， ∴，∴， ∴，∵，∴．故答案为： 19．请阅读下列材料，并完成相应的任务： 如图1，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”，在此图形中，可证．在探究之间的关系时，小明同学提供如下两种方法． 方法一∶如图2，连接，则在中，， 即， 又∵在中，， ∴，即． 方法二∶如图3，连接并延长至F， ∵和分别是和的一个外角，∴ ． ． ∵；∴ ；∴． 解答下列问题．(1)根据“方法二”中辅助线的添加方式，补全方法二的证明过程； (2)如图1，当时，直接写出 °． (3)应用：如图4，，直接写出 ． 【答案】(1)见详解(2)50(3)230° 【详解】（1）解：如图3，连接并延长至F， ∵和分别是和的一个外角，∴， ∵∴ ∴ （2）解：∵∴把代入， 得 解得； （3）解：连接，如图所示： 由方法一，在四边形中，得；在四边形中，得； ∵ ∴ 即． 20．如图所示的四边形． (1)写出之间的数量关系是_______； (2)若，平分，平分，利用（1）的结论证明：． 【答案】(1)，理由见详解(2)见详解 【详解】（1）解：连接，如图，则，， ∵ ，∴； （2）证明：∵平分，平分，∴，， 由（1）知，则， 那么，，∵，∴， ∵，∴，则． 21.在四边形中，，点分别是边上的点，点是一动点，连接，令． 初探：(1)如图①，若点在线段上运动，试探究与之间的关系，并说明理由； 再探：(2)如图②，若点在线段的延长线上运动，试探究之间的关系，并说明理由； (3)若点运动到四边形的内部，在备用图中画出此时的图形，并直接写出此时间的关系______． 【答案】(1)，理由见解析(2)，理由见解析(3) 【详解】（1）解：，理由如下；由题意知，， ∵，∴； （2）解：，理由如下；如图②，记的交点为， 由题意知，，∵， ∴，即； （3）解：如图备用图，由题意知，， ∴，故答案为：． 22.中，，点D、E分别是边，上的点，点P是一动点．令，，．    (1)若点P在线段上，如图①所示，且，则________； (2)若点P在斜边AB上运动，如图②所示，则，，之间有何关系？猜想并说明理由； (3)若点P在斜边BA的延长线上运动，如图3所示，则，，之间有何关系，并说明理由； (4)若点P运动到形外（只需研究④情形），请直接写出，，之间的关系． 【答案】(1)(2)，理由见解析 (3)或或．(4) 【详解】（1）如图，连接，，， ，       ，，，故答案为：； （2）连接，，， ， ，，；故答案为：； （3）如图1，，； 如图2，，；如图3，，．       故答案为：；；． （4）如图所示，，， ，．故答案为：． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $