专题02 三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、翻角模型、“8”字模型、与三角板模型（几何模型讲义）（浙江专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学中考复习讲义聚焦三角形倒角模型，涵盖燕尾（飞镖）、翻角、“8”字及三角板模型，通过“模型提炼-拓展应用-真题解析”体系梳理角度计算规律，助力学生突破几何倒角难点，体现复习系统性与针对性。 特色是结合动态操作与静态推理，如翻角模型通过折叠探究角度守恒，培养几何直观与创新意识。真题现模型环节以浙江中考题为例，指导学生用数学思维构建模型关系，配合分层练习与即时反馈，帮助教师精准把控节奏，提升学生应考能力。

专题02 三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、翻角模型、“8”字模型、与三角板模型 近年来在浙江中考考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就燕尾（飞镖）型、翻角模型、“8”字模型、与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 2 模型趣事 2 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 5 模型1.飞镖（燕尾）模型. 5 模型2.翻角模型 13 模型3.“8”字模型. 13 模型4.三角板模型. 13 15 ‌ 燕尾模型（飞镖模型）‌因凹四边形的外轮廓酷似燕尾分叉或飞镖外形，教育工作者将其形象化命名以辅助记忆‌。凹四边形中，从顶点延伸的两条边如同燕尾分叉，而整体轮廓又像投掷的飞镖，这种具象化命名帮助学生快速联想图形特征。部分资料戏称其为“回旋镖模型”，强调角度关系循环往复的特点。 翻角模型是‌动态几何思想‌与‌静态角度守恒‌的结合，通过操作发现不变量的过程，深化了对三角形刚性结构的理解。‌‌‌ “8”字模型（又称“八字模型”）和“A”字模型是几何倒角中的经典结构，“8”字模型因其形状类似数字“8”而得名，“A”字模型因其形状类似大写字母“A”而得名。 该模型常用于初中几何题中，用于简化角度计算（如填空题或大题中的角度求和）‌；部分题目会结合平行线或角平分线条件，进一步复杂化模型。 （浙江衢州·期末）15．【问题情境】 已知，在的两边上分别取点B、C，在的内部取一点O，连接、．设，，探索与、、之间的数量关系． 【初步感知】如图1，当点O在的边上时，，此时，则与、、之间的数量关系是． 【问题再探】（1）如图2，当点O在的内部时，请写出与、、之间的数量关系并说明理由；（2）如图3，当点O在的外部时，与、、之间的数量关系是________； 【拓展延伸】（1）如图4，、的外角平分线相交于点P． ①若，，则________°；②若且，则________°； ③直接写出与、之间的数量关系； （2）如图5，的平分线与的外角平分线相交于点Q，则________（用、表示）． （2024·浙江金华·二模）综合与实践 问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动． 独立思考：（1）如图①，将三角形纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置，则与之间的数量关系为 　 ，请说明理由； 深入探究：（2）如图②，若点落在四边形的边下方时，试猜想此时与，之间的数量关系，并说明理由； 结论运用：（3）如图③，在四边形中，，，分别是，边上的一点，沿将四边形折叠，点的对应点恰好落在边上，且，． ①的度数为 　　；②若，，求点到的距离． （2025·湖北武汉·校考一模）阅读：基本图形通常是指能够反映一个或几个定理，或者能够反映图形基本规律的几何图形．这些图形以基本概念、基本事实、定理、常用的数学结论和基本规律为基础，图形简单又具有代表性．在几何问题中，熟练把握和灵活构造基本图形，能更好地帮助我们解决问题．我们将图1①所示的图形称为“8字形”．在这个“8字形”中，存在结论． 我们将图1②所示的凹四边形称为“飞镖形”．在这个“飞镖形”中，存在结论．    (1)直接利用上述基本图形中的任意一种，解决问题： 如图2，、分别平分、，说明：． (2)将图2看作基本图形，直接利用（1）中的结论解决下列问题： ①如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，，求的度数．②在图4中，平分的外角，平分的外角，猜想与、的关系（直接写出结果，无需说明理由）．③在图5中，平分，平分的外角，猜想与、的关系（直接写出结果，无需说明理由）．   　　　　     　　　　　   （2025·福建泉州·模拟检测）问题情景：如图1，在同一平面内，点B和点C分别位于一块直角三角板的两条直角边，点A与点P在直线的同侧，若点P在内部，与的大小是否满足某种确定的数量关系？    (1)特殊探究：若，则　 　度，　 　度，　 　度； (2)类比探索：请猜想与的关系，并说明理由； (3)类比延伸：改变点A的位置，使点P在外，其它条件都不变（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由，请直接写出与满足的数量关系式． 1）飞镖模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。 即：，故。 图1 图2 图3 2）角内翻模型 条件：如图2，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，结论：2∠C=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠1+∠2=∠ECC’+∠EC’C+∠FCC’+∠FC’C=∠ECC’+∠FCC’+∠EC’C+∠FC’C=∠EC’F+∠FCE=2∠C。 3）角外翻模型 条件：如图3，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，结论：2∠C=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠2-∠1=∠FCC’+∠FC’C-（∠ECC’+∠EC’C）=（FCC’-∠ECC’)+（∠FC’C--∠EC’C） =∠EC’F+∠FCE=2∠C。 4）8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。 证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°；在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； ∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D； 在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO； ∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。 图1 图2 5）8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD ∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D 图1 图2 飞镖模型拓展1：条件：如图1，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。 飞镖模型拓展2：条件：如图2，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD； 结论：∠O=（∠D-∠B）。 证明：根据飞镖模型：=++，∴∠DCB-∠DAB=∠D+∠B， ∵AO平分∠DAB，CO平分∠BCD，∴∠DCO=∠DCB，∠DAO=∠DAB， ∴∠DCO-∠DAO=（∠DCB-∠DAB）=（∠D+∠B）， ∵∠DEA=∠OEC，∴∠D+∠DAO=∠O+∠DCO，∴∠D-∠O=∠DCO-∠DAO， ∴∠D-∠O=（∠D+∠B）,即∠O=（∠D-∠B） 模型1.飞镖（燕尾）模型 例1（2024·浙江杭州·模拟预测）【模型建立】（1）如图①，凹四边形．因为酷似燕尾，所以称之为“燕尾型”求证：； 【模型应用】（2）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，，，，，求椅面和椅背的夹角的度数； 【模型迁移】（3）如图③，，，求的度数． 例2（2024·浙江湖州·模拟预测）凹四边形因形似“燕尾”，被称为燕尾四边形，请结合所学知识解决下列问题： (1)用图①证明：； (2)在图①中，若平分，平分，与交于E点，运用（1）的结论写出、和之间的关系，并说明理由； (3)如图②，若，，试探索，和三个角之间的关系为______（直接写出结果即可）． 例3（2024·江苏苏州·模拟预测）解读基础： （1）图1形似燕尾，我们称之为“燕尾形”，请写出、、、之间的关系，并说明理由； （2）图2形似8字，我们称之为“八字形”，请写出、、、之间的关系，并说明理由： 应用乐园：直接运用上述两个结论解答下列各题 （3）①如图3，在中，、分别平分和，请直接写出和的关系　　； ②如图4，　　． （4）如图5，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点，已知，，求和的度数． 例4相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年有成，是人类最早的风筝起源．下图所示的是一个燕尾风筝的平面示意图．已知横骨于点F，于点E，交于点D，中骨平分，求证：两翼． 例5（2024·浙江金华·模拟预测）在数学实践课上，珍珍将如图1所示的燕尾风筝抽象成如图2所示的图形，已知，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 模型2.翻角模型 例1（2024·四川广元·二模）如图，中，，E是边上的点，先将沿着翻折，得到 ，边交于点 D，再将沿着 翻折，得到，点恰好在上，此时 ，则∠A的度数是（     ） A． B． C． D． 例2（2024·山东济宁·三模）如图，中，，，D点在边上运动（D与A，B不重合），设，将沿翻折至处，与边相交于点E．若是等腰三角形，则的值为（   ） A．或 B． C．或 D． 例3（2024·浙江宁波·模拟预测）贝贝在学习三角形章节内容时，对于三角形中的角度计算问题进行了如下探究： 在中，已知，． (1)如图，若为上一点．连接，将沿着进行翻折后得到，若，求的大小； (2)如图，将沿翻折得到，探究，之间的数量关系并说明理由． (3)如图，若为直线上的动点，连接，将沿进行翻折后得到，连接．若中存在的内角，则的度数为______． 例4（2025·江苏常州·模拟预测）折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在中，（如图1），怎样证明呢？ 把沿的平分线翻折，因为，所以点落在上的点处（如图．于是，由，，可得． 【感知】 （1）如图2，在中，若，，则______． 【探究】 （2）若将图2中是角平分线的条件改成是高线，其他条件不变（图3），即在中，，，请探索线段、、之间的等量关系，并说明理由． 【拓展】 （3）如图4，在中，，，，点是边上的一个动点（不与、重合），将沿翻折，点的对应点是点．若以、、为顶点的三角形是直角三角形，直接写出的长度______． 例5（2024·贵州贵阳·二模）综合与实践 问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动． 独立思考： （1）如图①，将三角形纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置，则与之间的数量关系为 　，请说明理由； 深入探究： （2）如图②，若点落在四边形的边下方时，试猜想此时与，之间的数量关系，并说明理由； 结论运用： （3）如图③，在四边形中，，，分别是，边上的一点，沿将四边形折叠，点的对应点恰好落在边上，且，． ①的度数为 　　； ②若，，求点到的距离． 模型3.“8”字模型 例1（2025·江苏无锡·一模）如图1，已知线段、相交于点O，连接、，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．试解答下列问题： (1)在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：________________； (2)如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点P，并且与、分别相交于M、N．请直接利用（1）中的结论，完成下列各题： ①仔细观察，在图2中“8字形”的个数：___________个； ②若，试求的度数； ③若和为任意角，其他条件不变，试问与、之间是否存在一定的数量关系？若存在，请写出推理过程；若不存在，请说明理由； ④若和∠为任意角，，试问与、之间是否存在一定的数量关系？若存在，请直接写出结论；若不存在，请说明理由． 例2如图，与的角平分线交于点P． (1)若，求的度数； (2)探究 的数量关系并说明理由． 例3图1，线段、相交于点O，连接、，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点P，并且与、分别相交于M、N．试解答下列问题： (1)在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：____________________； (2)图2中，当，时，求的度数．（写出过程） 例4已知：如图，线段和相交于点，连接，，是上一点，是上一点，，且． (1)试判断和的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 例5（2024·浙江宁波·模拟预测）【问题背景】 活动课上，小明利用笔记本的平行格线画平行线进行角的探究，他先在笔记本上画了一条直线分别交两条粗一点的格线，于点，，点在格线上且在点的右侧，动点（不与点，重合）在直线上．直线与格线的一个夹角为，． 【小试牛刀】 （1）如图1，当点在线段上时，若，，求的度数． 【初露锋芒】 （2）如图2，当点在线段的延长线上时，求证：． 【尽显才华】 （3）如图3，分别作和的平分线，并相交于点，若，求的度数． 模型4.三角板模型 例1（2026·北京·一模）如图（1），将三角板与三角板摆放在一起，其中，，；如图（2），固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，记（）． 【操作发现】 （1）在旋转过程中，当α为 度时，； （2）当与的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角α的所有可能的度数； 【拓展应用】 （3）当时，连接，利用图（3）探究的值的大小是否变化，并说明理由． 例2（2024·湖南·二模）已知直角三角板中，，将该三角板绕点C旋转，得到，连接，． (1)如图1，将直角三角板逆时针旋转，，写出的度数（不需要说明理由）； (2)若将直角三角板顺时针旋转，请在图2中补全图形，并求出的度数； (3)若的平分线交于点G，交直线于点F，连接，试证明：． 例3（2025·山东·一模）如图1，已知直线，且和之间的距离为，小明同学制作了两块直角三角形硬纸片和，其中，，，，．小明利用这两块三角板进行了如下的操作探究： (1)如图1，点在上，边在上，边在直线上 ①将直角三角形沿射线的方向平移，当点在上时，如图2；求的度数 ②将直角三角形从图2的位置继续沿射线的方向平移，当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，求度数； (2)将直角三角形如图3放置，若点在直线上，点在和之间（不含，上），边和与直线分别交于点，．在绕着点旋转的过程中，设，，则的取值范围为 ． 例4（2024·山西·三模）综合与实践−−探究特殊三角形中的相关问题 问题情境： 某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如图1所示位置放置，且Rt△ABC的较短直角边AB为2，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转，如图2，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P． (1)初步探究： 勤思小组的同学提出：当旋转角α= 时，△AMC是等腰三角形； (2)深入探究： 敏学小组的同学提出在旋转过程中．如果连接AP，CE，那么AP所在的直线是线段CE的垂直平分线，请帮他们证明； (3)再探究： 在旋转过程中，当旋转角α=30°时，求△ABC与△AFE重叠的面积； (4)拓展延伸： 在旋转过程中，△CPN是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角α的度数；若不能，说明理由． 例5（2024·江苏泰州·三模）有一副直角三角板、，其中，，．如图，将三角板的顶点E放在上，移动三角板，当点E从点A沿向点B移动的过程中，点E、C、D始终保持在一条直线上．若直线与直线交于点M，当为等腰三角形时，则的度数为 ． 1．如图，把等边沿着折叠，使点恰好落在边上的点处，且，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 2．如图，小军借助几何画板设计了“鱼形”图案，由四边形和组成．已知在中，，，，，则的度数是（　　） A．65° B．55° C．45° D．35° 3.如图是一个“燕尾形”，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，为的直径，点，是直径两侧圆弧上的两点，连接交于点，连接，，．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏宿迁·三模）已知长方形纸条，点E，G在边上，点F，H在边上．将纸条分别沿着，折叠，如图，点A、B分别折叠至点，点分别折叠至点，且恰好落在上时，与的数量关系是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·河北保定·一模）如图，在中，，，点，分别在，上将沿折叠得到，当时，的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·青海西宁·模拟预测）如图，在平行四边形中，为边上一点，将沿折叠至处，与交于点，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 8．（2024·四川眉山·一模）如图， 平分，， 的延长线交于点E， 若， 则的度数为 ． 9．（2025·新疆·模拟预测）如图，在中，，，将三角形沿某条直线折叠，使点落在边上的点，折痕与边、分别交于点、．若折叠后的为等腰三角形，为直角三角形，则 ． 10．（2024·山东济宁·二模）如图，中，，，射线从射线开始绕点逆时针旋转角，与相交于点，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点．若是等腰三角形，则的度数为 ． 11．（2025·安徽合肥·二模）已知：中，，，点D为外一点，，平分交延长线于E，交斜边于F，． （1）的度数是 ； （2）的值为 ．    12．（2025·广东清远·二模）数学课上，老师将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上当时，的度数为 ． 13．（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，在中，，，分别为边，上的点，将沿着翻折，得到，与相交于点，连接．当为等腰直角三角形时，的度数为 ． 14．如图，在多边形中，，，则 ． 15．（2024·河北邯郸·二模）将分别含有角的一副三角板重叠，使直角顶点及两直角边重合，如图1．若保持含角的三角板固定不动，将含角的三角板绕直角顶点沿顺时针方向旋转，如图2，此时的度数 （填“增大”或“减小”）了 度． 16．（2024·江苏盐城·模拟预测）如图，是一块直角三角板，，，现将三角板叠放在一把直尺上，使得点落在直尺的一边上，与直尺的另一边交于点，与直尺的两边分别交于点，．若是三角形的角平分线，则的度数为 ． 17．（2025·浙江绍兴·三模）数学探究活动中，小聪同学为了验证：长条纸片上下边沿与是否平行，把纸片沿着折叠（如图1），并用量角器测出、的度数．    (1)若，则．你认为小聪同学的做法正确吗？请说明理由； (2)在（1）的条件下小聪同学在边上取点D（不与P，B重合）（如图2），连接并折叠纸片使得射线与射线重合，折痕交于点E，过E作于点F，设，． ①当点D在点C、B之间时，若，求α的度数； ②当点D在上运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？并说明理由． 18．（2024·广东韶关·二模）如图，将长方形沿对角线折叠，使点落在点处，交于，若． (1)求证：； (2)求的度数． 19．综合与实践：折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识.折一折：把边长为6的正三角形纸片，其沿直线折叠，使点A落在点处，分别得到图①、图②. 填一填，做一做： (1)图①中阴影部分的周长为 . (2)图①中， 若， 则 °. (3)图①中的相似三角形(包括全等三角形)共有 对； (4)如图②， 点落在边上， 若，则 20．（2024·广东江门·一模）【综合与实践】某数学学习小组在学习了多边形后对几何学习产生了浓厚的兴趣，他们在同一几何图形中进行了不同探究活动．如图1，直线，垂足为O，三角板的直角顶点C落在的内部，三角板的另两直角边分别与交于点D和点 (1)活动1：如图1，不添加辅助线，由四边形内角和知识容易结论：______． (2)活动2：如图2，连结，若平分，那么平分吗？请直接写出你的结论，不需写理由． (3)活动3：如图3，若平分，平分，他们发现与具有特殊位置关系．请判断DE与BF有怎样的位置关系并证明你的结论． 21．如图，有一副直角三角板如图1放置（其中），，与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点旋转． (1)在图1中，________； (2)①如图2，若三角板保持不动，三角板绕点逆时针旋转，旋转角度为（），当等于多少度时，两个三角形的边与边互相垂直．请画出图形并求解； ②如图3，在图1基础上，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，同时三角板的边从处开始绕点顺时针旋转，转速为秒，当转到与重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当时，请直接写出旋转的时间是多少秒． 22．综合与实践： 某数学兴趣小组将一副三角板的两个锐角顶点重合，研究其中一个三角板在旋转过程中所得到的一些角之间的数量关系． (1)如图1，当三角板中三个顶点，，在同一条直线上时（，）． ①请直接写出的度数为________； ②分别作和的角平分线和，求的度数． (2)如图2，数学兴趣小组将等腰直角三角板绕点逆时针旋转度（），，分别平分和，当边与三角板的边所在的直线重合时，求出的度数． 23．在综合与实践课上，同学们以“一个含角的直角三角板和两条平行线为背景开展数学活动．在三角板中，，，，，直线． (1)如图1，当三角板的顶点C在直线上，点A落在直线上时，若，求的度数； (2)如图2，当三角板的顶点C在直线上，点A在直线和之间时，求的度数； (3)如图3，当三角板的顶点C在直线上，点A在直线的上方时，若的延长线与的角平分线相交于点M，，求的度数． 24.在四边形中，，点分别是边上的点，点是一动点，连接，令． 初探：(1)如图①，若点在线段上运动，试探究与之间的关系，并说明理由； 再探：(2)如图②，若点在线段的延长线上运动，试探究之间的关系，并说明理由； (3)若点运动到四边形的内部，在备用图中画出此时的图形，并直接写出此时间的关系______． 25．如图1，已知线段相交于点O，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字型”． (1)求证：；(2)如图2，若和的平分线和相交于点P，且与分别相交于点．①若，求的度数； ②若角平分线中角的关系改为“”，试探究与之间的数量关系． 26．“8”字模型是初中数学中常见模型之一，掌握了这种模型，给同学们解答几何题带来很大的便捷． (1)初识模型：如图1，是我们常见的“8”字模型图，它的结论是，请你给予证明． (2)模型求解：如图2，线段在四边形内部，连接、，相交于点O，请借助“8”字模型的结论求：的度数． (3)构造模型：如图3，是我们常见的“五角星”，请你添加辅助线，借助于“8”字模型求出的度数． (4)模型应用：我们可以利用连接多边形的某些对角线画出类似于“五角星”的“六角星”、“七角星”、“八角星”等，如图4“七角星”的七个内角和：________；猜测“n角星”的n个内角的和为_________（用含n的式子表示）． 27.一副三角板按图1所示方式摆放，其中，，.固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角 (1)如图2，当时，的度数为__________；(2)当的一边与平行时，求的度数； (3)如图3，连结，当时，试判断的大小是否改变?并说明理由 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、翻角模型、“8”字模型、与三角板模型 近年来在浙江中考考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就燕尾（飞镖）型、翻角模型、“8”字模型、与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 2 模型趣事 2 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 5 模型1.飞镖（燕尾）模型. 5 模型2.翻角模型 13 模型3.“8”字模型. 13 模型4.三角板模型. 13 15 ‌ 燕尾模型（飞镖模型）‌因凹四边形的外轮廓酷似燕尾分叉或飞镖外形，教育工作者将其形象化命名以辅助记忆‌。凹四边形中，从顶点延伸的两条边如同燕尾分叉，而整体轮廓又像投掷的飞镖，这种具象化命名帮助学生快速联想图形特征。部分资料戏称其为“回旋镖模型”，强调角度关系循环往复的特点。 翻角模型是‌动态几何思想‌与‌静态角度守恒‌的结合，通过操作发现不变量的过程，深化了对三角形刚性结构的理解。‌‌‌ “8”字模型（又称“八字模型”）和“A”字模型是几何倒角中的经典结构，“8”字模型因其形状类似数字“8”而得名，“A”字模型因其形状类似大写字母“A”而得名。 该模型常用于初中几何题中，用于简化角度计算（如填空题或大题中的角度求和）‌；部分题目会结合平行线或角平分线条件，进一步复杂化模型。 （浙江衢州·期末）15．【问题情境】 已知，在的两边上分别取点B、C，在的内部取一点O，连接、．设，，探索与、、之间的数量关系． 【初步感知】如图1，当点O在的边上时，，此时，则与、、之间的数量关系是． 【问题再探】（1）如图2，当点O在的内部时，请写出与、、之间的数量关系并说明理由；（2）如图3，当点O在的外部时，与、、之间的数量关系是________； 【拓展延伸】（1）如图4，、的外角平分线相交于点P． ①若，，则________°；②若且，则________°； ③直接写出与、之间的数量关系； （2）如图5，的平分线与的外角平分线相交于点Q，则________（用、表示）． 【答案】[问题再探]（1）结论：∠BOC=∠BAC+∠1+∠2．证明见解析；（2）∠BOC+∠BAC+∠1+∠2=360°；[拓展延伸]（1）①25；②20；③∠BOC=∠A+2∠P；（2） 【详解】解：[问题再探]（1）如图2中，结论：． 理由：连接，延长到． ，， ． （2）如图3中，结论：． 理由：连接．，， ，． [拓展延伸]①如图4中，，，， 、的外角平分线相交于点，， ，故答案为：25． ②，，，，故答案为：20． ③，． （2）如图5中，结论：．理由：设，． 则有．②①可得，， 即，故答案为：． （2024·浙江金华·二模）综合与实践 问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动． 独立思考：（1）如图①，将三角形纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置，则与之间的数量关系为 　 ，请说明理由； 深入探究：（2）如图②，若点落在四边形的边下方时，试猜想此时与，之间的数量关系，并说明理由； 结论运用：（3）如图③，在四边形中，，，分别是，边上的一点，沿将四边形折叠，点的对应点恰好落在边上，且，． ①的度数为 　　；②若，，求点到的距离． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）①；② 【详解】解：（1），理由如下：连接，如图①， 将三角形纸片沿折叠，点落在四边形内点的位置，． ，，， 即；故答案为：； （2），理由如下：设与交于点，如图②， ，，，； （3）①延长交的延长线于，由（2）中结论可知， 如图③，，． ，．故答案为：； ②过点作交于点，过点作交的延长线于点，如图， ，，，． ，，， ，．，， ，即点到的距离为． （2025·湖北武汉·校考一模）阅读：基本图形通常是指能够反映一个或几个定理，或者能够反映图形基本规律的几何图形．这些图形以基本概念、基本事实、定理、常用的数学结论和基本规律为基础，图形简单又具有代表性．在几何问题中，熟练把握和灵活构造基本图形，能更好地帮助我们解决问题．我们将图1①所示的图形称为“8字形”．在这个“8字形”中，存在结论． 我们将图1②所示的凹四边形称为“飞镖形”．在这个“飞镖形”中，存在结论．    (1)直接利用上述基本图形中的任意一种，解决问题： 如图2，、分别平分、，说明：． (2)将图2看作基本图形，直接利用（1）中的结论解决下列问题： ①如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，，求的度数．②在图4中，平分的外角，平分的外角，猜想与、的关系（直接写出结果，无需说明理由）．③在图5中，平分，平分的外角，猜想与、的关系（直接写出结果，无需说明理由）．   　　　　     　　　　　   【答案】(1)见解析(2)①；②；③ 【详解】（1）解：∵分别平分，∴，∴， 由题干的结论得：，∠， ∴，∴， ∴，即； （2）解：①如图所示，分作的角平分线交于H，由（1）的结论可知， ∵分别平分，∴， ∵∴， ∴，同理可得，由题干的结论可得，∴；       ②如图所示，分作的角平分线交于H， 由（1）的结论可知，，同理可得，， ∴； ③由题干的结论可得， ∵平分，平分的外角，∴， ∵，∴， 由题干的结论可知，∴， ∴ ． （2025·福建泉州·模拟检测）问题情景：如图1，在同一平面内，点B和点C分别位于一块直角三角板的两条直角边，点A与点P在直线的同侧，若点P在内部，与的大小是否满足某种确定的数量关系？    (1)特殊探究：若，则　 　度，　 　度，　 　度； (2)类比探索：请猜想与的关系，并说明理由； (3)类比延伸：改变点A的位置，使点P在外，其它条件都不变（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由，请直接写出与满足的数量关系式． 【答案】(1)125，90，35 (2)，理由见解析 (3)（2）中的结论不成立，结论：或，理由见解析 【详解】（1）解：由题意：，， ．故答案为125，90，35． （2）猜想：．理由：在中，， ∵，∴， ∴， 又∵在中，，∴， ∴，∴． （3）判断：（2）中的结论不成立． ①如图3﹣1中，结论：． 理由：设交于O．        ∵，∴，∴． ②如图4﹣2中，结论： ③如图3﹣7中，结论：． 理由：∵， ∴，∴． 1）飞镖模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。 即：，故。 图1 图2 图3 2）角内翻模型 条件：如图2，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，结论：2∠C=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠1+∠2=∠ECC’+∠EC’C+∠FCC’+∠FC’C=∠ECC’+∠FCC’+∠EC’C+∠FC’C=∠EC’F+∠FCE=2∠C。 3）角外翻模型 条件：如图3，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，结论：2∠C=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠2-∠1=∠FCC’+∠FC’C-（∠ECC’+∠EC’C）=（FCC’-∠ECC’)+（∠FC’C--∠EC’C） =∠EC’F+∠FCE=2∠C。 4）8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。 证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°；在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； ∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D； 在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO； ∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。 图1 图2 5）8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD ∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D 图1 图2 飞镖模型拓展1：条件：如图1，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。 飞镖模型拓展2：条件：如图2，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD； 结论：∠O=（∠D-∠B）。 证明：根据飞镖模型：=++，∴∠DCB-∠DAB=∠D+∠B， ∵AO平分∠DAB，CO平分∠BCD，∴∠DCO=∠DCB，∠DAO=∠DAB， ∴∠DCO-∠DAO=（∠DCB-∠DAB）=（∠D+∠B）， ∵∠DEA=∠OEC，∴∠D+∠DAO=∠O+∠DCO，∴∠D-∠O=∠DCO-∠DAO， ∴∠D-∠O=（∠D+∠B）,即∠O=（∠D-∠B） 模型1.飞镖（燕尾）模型 例1（2024·浙江杭州·模拟预测）【模型建立】（1）如图①，凹四边形．因为酷似燕尾，所以称之为“燕尾型”求证：； 【模型应用】（2）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，，，，，求椅面和椅背的夹角的度数； 【模型迁移】（3）如图③，，，求的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查三角形的外角性质及三角形内角和定理， （1）连接，并延长，如图①所示：根据三角形外角的性质即可得到结论； （2）根据三角形内角和定理即可得到结论； （3）连接，如图③所示：根据三角形外角的性质和三角形内角和定理即可得到结论． 掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接，并延长，如图①所示： ∵是的外角， ∴①， ∵是的外角， ∴②， ①②，得：， 即； （2）解：如图，设交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵，， 由（1）知：， ∴椅面和椅背的夹角的度数为； （3）连接，如图③所示： ∵，， 由（1）知： ③， ④， ③+④，得：， ∴， 即的度数为． 例2（2024·浙江湖州·模拟预测）凹四边形因形似“燕尾”，被称为燕尾四边形，请结合所学知识解决下列问题： (1)用图①证明：； (2)在图①中，若平分，平分，与交于E点，运用（1）的结论写出、和之间的关系，并说明理由； (3)如图②，若，，试探索，和三个角之间的关系为______（直接写出结果即可）． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查三角形的内角和定理及角平分线的定义，解答的关键是熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键． （1）根据三角形内角和定理得，，即，即可求得，则容易得到； （2）用题中给出的结论表示出与，再把两式相减即可得出结论； （3）利用题中给出的结论解答即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 在中，， ； 在中， ， 即， 而， ， 即． （2），理由如下： 由题意得，①， ②， 平分，平分， ，， ①②得，， ； （3），理由： ，， ，， ①， ②， ②①得， ， ， ， ， ． 故答案为：． 例3（2024·江苏苏州·模拟预测）解读基础： （1）图1形似燕尾，我们称之为“燕尾形”，请写出、、、之间的关系，并说明理由； （2）图2形似8字，我们称之为“八字形”，请写出、、、之间的关系，并说明理由： 应用乐园：直接运用上述两个结论解答下列各题 （3）①如图3，在中，、分别平分和，请直接写出和的关系　　； ②如图4，　　． （4）如图5，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点，已知，，求和的度数． 【答案】（1），理由详见解析；（2），理由详见解析：（3）①；②360°；（4）； . 【分析】（1）根据三角形外角等于不相邻的两个内角之和即可得出结论； （2）根据三角形内角和定理及对顶角相等即可得出结论； （3）①根据角平分线的定义及三角形内角和定理即可得出结论； ②连结BE，由（2）的结论及四边形内角和为360°即可得出结论； （4）根据（1）的结论、角平分线的性质以及三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】（1）．理由如下： 如图1，，， ， ； （2）．理由如下： 在中，， 在中，， ， ； （3）①，， 、分别平分和， ， ． 故答案为． ②连结． ∵， ． 故答案为； （4）由（1）知，， ，， ， ， ，， ， ， ， ； ． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和；熟练掌握角平分线的性质，进行合理的等量代换是解题的关键． 例4相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年有成，是人类最早的风筝起源．下图所示的是一个燕尾风筝的平面示意图．已知横骨于点F，于点E，交于点D，中骨平分，求证：两翼． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，邻补角的含义，先证明，再利用邻补角的含义求解即可． 根据，，平分，证明，；一题多解法，证明   ，． 【详解】证明：， ． 平分， ． 在和中， ， ． 在和中， ， ． 一题多解：   ， ． 平分， ． 在和中， ， ． ， ． 在和中， ， ， ， 即． 例5（2024·浙江金华·模拟预测）在数学实践课上，珍珍将如图1所示的燕尾风筝抽象成如图2所示的图形，已知，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质． （1）利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质，得到，推出，再求出的度数即可． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴． 模型2.翻角模型 例1（2024·四川广元·二模）如图，中，，E是边上的点，先将沿着翻折，得到 ，边交于点 D，再将沿着 翻折，得到，点恰好在上，此时 ，则∠A的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用，能够根据折叠的性质发现角的倍数关系是解答此题的关键． 根据等腰三角形的性质，由折叠的性质可知，根据三角形内角和定理求出，即可得出答案 【详解】， ， 根据折叠的性质知：， 在中 ， ， ， 故选：C． 例2（2024·山东济宁·三模）如图，中，，，D点在边上运动（D与A，B不重合），设，将沿翻折至处，与边相交于点E．若是等腰三角形，则的值为（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，折叠的性质，由折叠的性质可求，，，分两种情况讨论，由等腰三角形的性质列出等式，即可求解，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：将沿翻折至处， ，，， ，， 当，则， ， ； 当，则， ， ， 当，则，这种情况不存在， 故选：A． 例3（2024·浙江宁波·模拟预测）贝贝在学习三角形章节内容时，对于三角形中的角度计算问题进行了如下探究： 在中，已知，． (1)如图，若为上一点．连接，将沿着进行翻折后得到，若，求的大小； (2)如图，将沿翻折得到，探究，之间的数量关系并说明理由． (3)如图，若为直线上的动点，连接，将沿进行翻折后得到，连接．若中存在的内角，则的度数为______． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 或 或 【分析】（），求出，根据折叠得出，求出，最后由平角的定义即可求解； （）根据折叠得出， ，，求出，根据得出即可； （）分情况讨论：当点在线段上，当点在线段延长线上时，当点在线段延长线上，分别画出图形求出结果即可； 本题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是数形结合，注意分类讨论． 【详解】（1）∵将沿着进行翻折后得到，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： ∵将沿翻折得到， ∴，，， ∴， ∴， ， ∴， 即； （3）将沿进行翻折后得到连接，根据折叠可知，，， ∴，，     若中存在的内角时，分以下几种情况讨论： 当点在线段上，时，如图所示： ∴， ∴， ∵， ∴； 当点在线段上，时，如图所示， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点在线段延长线上时，如图所示： ∵， ∴， 根据折叠可知，， ∴， ∴， ∴此时中的角不存在的角； 当点在线段延长线上，时，如图所示： 根据折叠可知，， ∴ ∴， 当点在线段延长线上，时，如图所示， ∴， ∴， 根据折叠可知，， ∴， ∴； 综上分析可知，的值为或 或 或 ． 故答案为：或 或 或 ． 例4（2025·江苏常州·模拟预测）折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在中，（如图1），怎样证明呢？ 把沿的平分线翻折，因为，所以点落在上的点处（如图．于是，由，，可得． 【感知】 （1）如图2，在中，若，，则______． 【探究】 （2）若将图2中是角平分线的条件改成是高线，其他条件不变（图3），即在中，，，请探索线段、、之间的等量关系，并说明理由． 【拓展】 （3）如图4，在中，，，，点是边上的一个动点（不与、重合），将沿翻折，点的对应点是点．若以、、为顶点的三角形是直角三角形，直接写出的长度______． 【答案】（1）35；（2），见解析；（3）或2 【分析】（1）根据折叠的性质可得，根据三角形外角的性质，可得，即可求解； （2）将沿折叠，根据折叠的性质与三角形外角的性质得出，根据等角对等边得出，进而根据等量代换可得结论 （3）根据折叠的性质，结合图形可知点不能为直角顶点，分两种情况讨论，①若，过点作于点，在中，，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解；②若，根据等腰三角形的性质与判定得出，即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， 故答案为： ，理由如下， （2）如图，将沿折叠， ∵， ∴点落在上的点处， ∴，，， ∵，， ∴ ∴， ∴， 即； （3）依题意，∵点在上，以为顶点的三角形若为直角三角形，则点不为直角顶点，分两种情况讨论， ①若，如图，过点作于点， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ， 解得， 即， ②若，如图， ∵， ∴ ∴，， ∴ ∴ ∴， 综上所述，或 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形外角的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，掌握折叠的性质是解题的关键． 例5（2024·贵州贵阳·二模）综合与实践 问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动． 独立思考： （1）如图①，将三角形纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置，则与之间的数量关系为 　，请说明理由； 深入探究： （2）如图②，若点落在四边形的边下方时，试猜想此时与，之间的数量关系，并说明理由； 结论运用： （3）如图③，在四边形中，，，分别是，边上的一点，沿将四边形折叠，点的对应点恰好落在边上，且，． ①的度数为 　　； ②若，，求点到的距离． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）①；② 【分析】（1）连接，由折叠的性质得出．由三角形外角的性质可得出结论； （2）由三角形外角的性质得出，，则可得出结论； （3）①延长交的延长线于，由（2）中结论可知，求出即可得出答案； ②过点作交于点，过点作交的延长线于点，求出，．求出，得出，则可得出答案． 【详解】解：（1）， 理由如下：连接，如图①， 将三角形纸片沿折叠，点落在四边形内点的位置， ． ，， ， 即； 故答案为：； （2）， 理由如下：设与交于点，如图②， ，， ， ； （3）①延长交的延长线于，由（2）中结论可知，如图③， ， ． ， ． 故答案为：； ②过点作交于点，过点作交的延长线于点，如图， ，， ，． ， ， ， ， ． ， ， ，即点到的距离为． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，勾股定理及直角三角形的相关性质等内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 模型3.“8”字模型 例1（2025·江苏无锡·一模）如图1，已知线段、相交于点O，连接、，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．试解答下列问题： (1)在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：________________； (2)如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点P，并且与、分别相交于M、N．请直接利用（1）中的结论，完成下列各题： ①仔细观察，在图2中“8字形”的个数：___________个； ②若，试求的度数； ③若和为任意角，其他条件不变，试问与、之间是否存在一定的数量关系？若存在，请写出推理过程；若不存在，请说明理由； ④若和∠为任意角，，试问与、之间是否存在一定的数量关系？若存在，请直接写出结论；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①6②③存在（理由见解析）④存在， 【分析】（1）根据三角形内角和定理以及对顶角相等可得出结论． （2）①分别找到以交点M、O、N为顶点的能构成“8字形”的三角形，避免漏数． ②利用“8字形”的数量关系并结合角平分线的定义，可求出的度数． ③和②同理 ④利用“8字形”的数量关系并结合“，”即可得出结论． 【详解】（1）解：在中， 在中， （对顶角相等） （2）①解：以M为交点的有1个，即为和 以O为交点的有4个，即为和，和，和，和 ②解：AP平分，CP平分 由（1）中的结论得： 整理得： ③解：理由如下： AP平分，CP平分 由（1）中的结论得： 整理得： ④解：理由如下： 由（1）中的结论得： 整理得： 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，熟练利用“8字形”模型是解决本题的关键． 例2如图，与的角平分线交于点P． (1)若，求的度数； (2)探究 的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2)；理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义可得，再由三角形内角和定理可得，再结合三角形外角的定义及性质计算即可得解； （2）由角平分线的定义可得，再由三角形内角和定理可得，再结合三角形外角的定义及性质计算即可得解． 【详解】（1）解：如图，令相交于点O， 与的角平分线交于点P， ， ，，， ， ， ， ，， ， ． （2）解：，理由如下， 与的角平分线交于点P， ， ，，， ， ， ，， ， ，即． 例3图1，线段、相交于点O，连接、，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点P，并且与、分别相交于M、N．试解答下列问题： (1)在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：____________________； (2)图2中，当，时，求的度数．（写出过程） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查三角形内角和及外角的知识，． （1）利用三角形外角可得； （2）由（1）可得，， ，结合，得到，再由角平分线得到，，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：由三角形外角性质可得， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）可得，， ， ∵，， ∴， ∴， ∵和的平分线和相交于点P， ∴，， ∵， ∴ ． 例4已知：如图，线段和相交于点，连接，，是上一点，是上一点，，且． (1)试判断和的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理，解决本题的关键是根据平行线的性质找角之间的关系． （1）根据，可得：，又因为，等量代换可得：，根据内错角相等，两直线平行，可证； （2）根据平行线的性质可知，，因为，根据三角形内角和定理可以求出，根据邻补角定义可以求出． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， 又， ， ； （2）解：，， ， ， ． 例5（2024·浙江宁波·模拟预测）【问题背景】 活动课上，小明利用笔记本的平行格线画平行线进行角的探究，他先在笔记本上画了一条直线分别交两条粗一点的格线，于点，，点在格线上且在点的右侧，动点（不与点，重合）在直线上．直线与格线的一个夹角为，． 【小试牛刀】 （1）如图1，当点在线段上时，若，，求的度数． 【初露锋芒】 （2）如图2，当点在线段的延长线上时，求证：． 【尽显才华】 （3）如图3，分别作和的平分线，并相交于点，若，求的度数． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）； 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，平行线的性质； （1）证明，再利用三角形的内角和定理可得答案； （2）证明，再利用三角形的内角和定理可得答案； （3）证明，求解，结合角平分线与三角形的外角的性质可得答案； 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵，， ∴ （3）∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴, ∵, ∴． 模型4.三角板模型 例1（2026·北京·一模）如图（1），将三角板与三角板摆放在一起，其中，，；如图（2），固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，记（）． 【操作发现】 （1）在旋转过程中，当α为 度时，； （2）当与的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角α的所有可能的度数； 【拓展应用】 （3）当时，连接，利用图（3）探究的值的大小是否变化，并说明理由． 【答案】（1）；（2）旋转角α的所有可能的度数是：，，；（3）当，，保持不变，理由见解析． 【分析】（1）如图1所示，记与的交点为F，根据三角形内角和定理得出，进而根据，即可求解； （2）分三种情况求解：①当时，②，③，再结合图形求解； （3）在中，根据三角形内角和定理，根据，，可得，即可得出． 【详解】解：（1）如图1所示，记与的交点为F， ， ， ， ， 即， 故答案为：； （2）①当时，如图2所示， 记与的交点为点F，与的交点为点G， ， ， ， ，即； ②当时，如图1所示， 结合（1）得，，， ∴； ③当时，如图3所示，， ， ，即， 综上所述：旋转角α的所有可能的度数是：，，； （3）拓展应用：当，，保持不变，理由如下： 如图4，设分别交、于点、， 在中，， ，， ， ，， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，垂直的定义，三角形内角和定理，三角形的外角的性质，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 例2（2024·湖南·二模）已知直角三角板中，，将该三角板绕点C旋转，得到，连接，． (1)如图1，将直角三角板逆时针旋转，，写出的度数（不需要说明理由）； (2)若将直角三角板顺时针旋转，请在图2中补全图形，并求出的度数； (3)若的平分线交于点G，交直线于点F，连接，试证明：． 【答案】(1) (2)补全图形见解析， (3)见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）由旋转的性质可知，，，，再根据等边对等角的性质和三角形内角和定理求解即可； （2）根据题意补全图形，再根据旋转的性质以及等边对等角的性质求解即可； （3）分两种情况讨论：①当将直角三角板逆时针旋转时；②当将直角三角板顺时针旋转时，过点作，证明是线段的垂直平分线，进而得出是等腰直角三角形，得到，再利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：由旋转的性质可知，，，， ， ， ，， ， ； （2）解：补全后的图形如图①所示． 由旋转的性质可知，． ． 在等腰三角形中，， ． （3）解：①当将直角三角板逆时针旋转时，如图②， 过点作，交的延长线于点． 由旋转的性质可知，， 是等腰三角形， 是的平分线， 垂直平分， ． 由（1）知， ． 是等腰直角三角形． ． ． 又， ， ． ． ， ， 即； ②当将直角三角板顺时针旋转时，如图③， 过点作，交的延长线于点． 同理可证，是线段的垂直平分线． ． 由（2）知， ． 是等腰直角三角形． ， ． 又， ， ． ， ． ， 即． 综上所述，． 例3（2025·山东·一模）如图1，已知直线，且和之间的距离为，小明同学制作了两块直角三角形硬纸片和，其中，，，，．小明利用这两块三角板进行了如下的操作探究： (1)如图1，点在上，边在上，边在直线上 ①将直角三角形沿射线的方向平移，当点在上时，如图2；求的度数 ②将直角三角形从图2的位置继续沿射线的方向平移，当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，求度数； (2)将直角三角形如图3放置，若点在直线上，点在和之间（不含，上），边和与直线分别交于点，．在绕着点旋转的过程中，设，，则的取值范围为 ． 【答案】(1)；的度数为或 (2) 【分析】（1）根据直角三角形的性质，则，；根据平行线的性质，则，再根据三角形的外角求解； 根据以，，为顶点的三角形是直角三角形，则当，分类讨论求解； （2）先根据四边形的内角和为，则，求出，根据旋转的性质，当点在直线上时，点，，重合，；当点在直线上时，点，，重合，则；点在直线和之间，，综合即可解答． 【详解】（1）∵三角形和三角形是直角三角形，，，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵以，，为顶点的三角形是直角三角形， 当时， ∵， ∴点A与点E重合， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴； 当时， ∴， ∵， ∴， 综上所述：的度数为或． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 当点在直线上时，点，，重合，； 当点在直线上时，点，，重合则； ∵点在直线和之间（不含，上），即， ∴， ∴， ∴的取值范围为：． 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，四边形内角和定理，掌握平行线的性质、等腰直角三角形的性质是解题的关键． 例4（2024·山西·三模）综合与实践−−探究特殊三角形中的相关问题 问题情境： 某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如图1所示位置放置，且Rt△ABC的较短直角边AB为2，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转，如图2，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P． (1)初步探究： 勤思小组的同学提出：当旋转角α= 时，△AMC是等腰三角形； (2)深入探究： 敏学小组的同学提出在旋转过程中．如果连接AP，CE，那么AP所在的直线是线段CE的垂直平分线，请帮他们证明； (3)再探究： 在旋转过程中，当旋转角α=30°时，求△ABC与△AFE重叠的面积； (4)拓展延伸： 在旋转过程中，△CPN是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角α的度数；若不能，说明理由． 【答案】(1)60°或15° (2)见解析 (3) (4)能，∠α=30°或60° 【分析】（1）根据等腰三角形的判定定理即可得到结论； （2）由题意可知，AB=AF，∠B=∠F，∠E=∠C，AE=AC，根据旋转的性质得到∠BAM=∠FAN，根据全等三角形的性质得到AM=AN，PE=PC，由线段垂直平分线的性质即可得到结论； （3）根据已知条件得到△ABM是直角三角形，求得EM=，根据全等三角形的性质和三角形的面积公式即可得到结论； （4）当∠CNP=90°时，依据对顶角相等可求得∠ANF=90°，然后依据∠F=60°可求得∠FAN的度数，由旋转的性质可求得∠α的度数；当∠CPN=90°时．由∠C=30°，∠CPN=90°，可求得∠CNP的度数，然后依据对顶角相等可得到∠ANF的度数，然后由∠F=60°，依据三角形的内角和定理可求得∠FAN的度数，于是可得到∠α的度数． 【详解】（1）当AM=CM，即∠CAM=∠C=30°时，△AMC是等腰三角形； ∵∠BAC=90°， ∴α=90°−30°=60°， 当AM=CM，即∠CAM=∠CMA时，△AMC是等腰三角形， ∵∠C=30°， ∴∠CAM=∠AMC=75°， ∵∠BAC=90°， ∴α=15°， 综上所述，当旋转角α=60°或15°时，△AMC是等腰三角形， 故答案为：60°或15°； （2）由题意可知，AB=AF，∠B=∠F，∠E=∠C，AE=AC， ∵现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°）， ∴∠BAM=∠FAN， 在△ABM与△AFN中， ， ∴， ∴AM=AN， ∵AE=AC， ∴EM=CN， 在和中 ， ∴， ∴PE=PC， ∴点P在CE的垂直平分线上， ∵AE=AC， ∴点A在CE的垂直平分线上， ∴AP所在的直线是线段CE的垂直平分线； （3）∵α=30°，∠B=60°， ∴∠AMB=90°， ∴△ABM是直角三角形， ∵AB=2， ∴BM=AB•sin30°=1，AM=AB•cos30°=， ∴=AM•MB=1×=， ∵AE=AC=AB•tan60°=2，AM=， ∴EM=， 在和中 ∴， 由（2）可知， ∴=， ∵AF•AE=×2×2=2， ∴△ABC与△AFE重叠的面积2−2×=； （4）如答题图1所示：当∠CNP=90°时． ∵∠CNP=90°， ∴∠ANF=90°． 又∵∠AFN=60°， ∴∠FAN=180°−60°−90°=30°． ∴∠α=30°． 如答题图2所示：当∠CPN=90°时． ∵∠C=30°，∠CPN=90°， ∴∠CNP=60°． ∴∠ANF=60°． 又∵∠F=60°， ∴∠FAN=60°． ∴∠α=60°． 综上所述，∠α=30°或60°． 【点睛】本题主要考查的是几何变换的综合应用，解答本题主要应用了旋转的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的性质、三角函数和全等三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键． 例5（2024·江苏泰州·三模）有一副直角三角板、，其中，，．如图，将三角板的顶点E放在上，移动三角板，当点E从点A沿向点B移动的过程中，点E、C、D始终保持在一条直线上．若直线与直线交于点M，当为等腰三角形时，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键．如图，当时，在的下方时，当在的上方时，如图，再结合等腰三角形的性质与三角形的外角的性质可得答案． 【详解】解：如图，当时，在的下方时， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时，则， ∴，不符合题意； 当，则， ∴不符合题意； 当在的上方时，如图， 此时：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或 【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键． 1．如图，把等边沿着折叠，使点恰好落在边上的点处，且，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握相关知识是关键． 由等边三角形的性质可得，由折叠的性质可得，因此．结合可计算出，最后利用三角形的内角和定理求出． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 2．如图，小军借助几何画板设计了“鱼形”图案，由四边形和组成．已知在中，，，，，则的度数是（　　） A．65° B．55° C．45° D．35° 【答案】B 【详解】解：延长交于点H，如图所示： ∵，，∴， ∵，，∴，，∴．故选：B． 3.如图是一个“燕尾形”，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：延长交于点E，是的一个外角，， ，，是的一个外角，， ，，， ，解得：，故选：B． 4．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，为的直径，点，是直径两侧圆弧上的两点，连接交于点，连接，，．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形锐角互余，三角形的外角性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 连接，则，，由直角三角形锐角互余求出，再由即可求解． 【详解】解：连接，如下图， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：A． 5．（2025·江苏宿迁·三模）已知长方形纸条，点E，G在边上，点F，H在边上．将纸条分别沿着，折叠，如图，点A、B分别折叠至点，点分别折叠至点，且恰好落在上时，与的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据折叠的性质可得，，根据三角形的外角定理可得，，即可得出，即可求解． 【详解】解：∵将纸条分别沿着，折叠，点A、B分别折叠至点，点分别折叠至点，且恰好落在上， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的外角定理，折叠的性质，解题的关键是掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；折叠前后对应角相等． 6．（2025·河北保定·一模）如图，在中，，，点，分别在，上将沿折叠得到，当时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质、三角形的内角和定理、直角三角形的性质．首先根据三角形内角和定理可以求出，根据折叠的性质可得：，根据直角三角形两个锐角互余，可得：，根据折叠的性质可以求出，再利用三角形内角和定理可以求出． 【详解】解：如下图所示， 在中，，， ， 根据折叠的性质可得：， ， ， ， 根据折叠的性质可得：， ． 故选：C． 7．（2025·青海西宁·模拟预测）如图，在平行四边形中，为边上一点，将沿折叠至处，与交于点，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形的内角和定理、平角定义、折叠性质，熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质是解答的关键．先根据平行四边形的性质求出的度数，再根据三角形的内角和定理和平角定义求出和的度数，再由折叠性质得，进一步计算即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ， 由折叠性质得：， ∴． 故选：C． 8．（2024·四川眉山·一模）如图， 平分，， 的延长线交于点E， 若， 则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，证明得，根据求出即可解答． 【详解】解：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（2025·新疆·模拟预测）如图，在中，，，将三角形沿某条直线折叠，使点落在边上的点，折痕与边、分别交于点、．若折叠后的为等腰三角形，为直角三角形，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、折叠的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键．连接，设，则，再根据为等腰三角形，可得，再根据折叠的性质可得，由此求出，最后分两种情况：①和，列方程求解即可． 【详解】解：设，则， ∵在中，， ∴，即， ∴， ∵在中，，为等腰三角形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， 则分以下两种情况： ①当时，为直角三角形， ， ∴即， 解得，符合题意， ∴； ②当时，为直角三角形， ∴， 解得，符合题意， ∴； 综上，或， 故答案为：或． 10．（2024·山东济宁·二模）如图，中，，，射线从射线开始绕点逆时针旋转角，与相交于点，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点．若是等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识，熟练掌握等腰三角形和折叠的性质是解题关键．先根据折叠的性质可得，，再分情况讨论：（1）当点在射线的下方时，①，②和③；（2）当点在射线的上方时，利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质求解即可得． 【详解】解：由折叠的性质得：，． （1）当点在射线的下方时， ①如图，当时，是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， 解得，不符合题意，舍去； ②如图，当时，是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， 解得，符合题意； ③如图，当时，是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，符合题意； （2）如图，当点在射线的上方时， ∴， ∴此时要使是等腰三角形，只能是， ∴， ∵， ∴， 解得，符合题意； 综上，的度数为或或， 故答案为：或或． 11．（2025·安徽合肥·二模）已知：中，，，点D为外一点，，平分交延长线于E，交斜边于F，． （1）的度数是 ； （2）的值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边对等角结合角平分线的定义可得，设，由三角形内角和定理可得，表示出，，得出，求出，最后由三角形内角和定理求解即可； （2）证明，由相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵中，，，点D为外一点，， ∴，， 由（1）可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（2025·广东清远·二模）数学课上，老师将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在的延长线上当时，的度数为 ． 【答案】/15度 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 由题意，得：，，利用平行线的性质求出，然后利用三角形外角的性质即可解答． 【详解】解由题意，得，， ， ， ． 故答案为：． 13．（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，在中，，，分别为边，上的点，将沿着翻折，得到，与相交于点，连接．当为等腰直角三角形时，的度数为 ． 【答案】/13度 【分析】本题考查图形的变化，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的性质与判定熟练掌握是解答本题的关键．根据折叠得，利用外角得，求出，再利用外角得，求出，即可求得． 【详解】解：将沿着翻折，得到， ， 为等腰直角三角形， ， 是的一个外角， ， ， 是的一个外角， ， ， ， 故答案为：． 14．如图，在多边形中，，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了多边形的内角和定理：边形的内角和为，掌握以上知识是解题的关键； 本题连接，根据多边形的内角和公式可得五边形的内角和，进而得出，由可得的度数，然后即可求解． 【详解】解：连接，如图： ， ∵五边形的内角和为：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（2024·河北邯郸·二模）将分别含有角的一副三角板重叠，使直角顶点及两直角边重合，如图1．若保持含角的三角板固定不动，将含角的三角板绕直角顶点沿顺时针方向旋转，如图2，此时的度数 （填“增大”或“减小”）了 度． 【答案】 减小 15 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，外角定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 运用三角形内角和定理和外角定理即可求解． 【详解】解：如图，∵， ∴， ∴旋转前， ∵， ∴， ∵旋转后， ∴旋转后， ∴， ∴度数减小了， 故答案为：减小，． 16．（2024·江苏盐城·模拟预测）如图，是一块直角三角板，，，现将三角板叠放在一把直尺上，使得点落在直尺的一边上，与直尺的另一边交于点，与直尺的两边分别交于点，．若是三角形的角平分线，则的度数为 ． 【答案】/105度 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质和三角形内角和定理，先根据角平分线的定义得，再依据，可得，最后由三角形的内角和定理即可求解，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是三角形的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 17．（2025·浙江绍兴·三模）数学探究活动中，小聪同学为了验证：长条纸片上下边沿与是否平行，把纸片沿着折叠（如图1），并用量角器测出、的度数．    (1)若，则．你认为小聪同学的做法正确吗？请说明理由； (2)在（1）的条件下小聪同学在边上取点D（不与P，B重合）（如图2），连接并折叠纸片使得射线与射线重合，折痕交于点E，过E作于点F，设，． ①当点D在点C、B之间时，若，求α的度数； ②当点D在上运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)正确，见解析 (2)①，②，见解析 【分析】（1）由翻折的性质可得，则，进而可得； （2）①由折叠的性质可得，，推出，，然后即可求出α的值； ②分D在B左侧时，当D在B右侧两种情况求解即可． 【详解】（1）正确，理由如下： 由翻折的性质可得， ∵， ∴， ∴； （2）①：由折叠的性质可得 ，，． ∵， ， ∴ ∵， ∴， 即， ∵， 得， ∵， ∴； ②：猜想；     证明：由题意知，分两种情况讨论， （Ⅰ）D在B左侧时，，证明过程同（1）； （Ⅱ）当D在B右侧，如下图，    由折叠的性质可得 ，，． ∵， ， ∴ ∵， ∴， 即， ∵， 得， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，折叠的性质等知识．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 18．（2024·广东韶关·二模）如图，将长方形沿对角线折叠，使点落在点处，交于，若． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了长方形的性质、折叠的性质以及等腰三角形的判定和三角形内角和定理，掌握折叠前后图形的对应角相等是解题的关键． （1）由折叠的性质得出，由矩形的性质得出，则，由等腰三角形的判定可得出答案； （2）由长方形的性质及直角三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）证明：由折叠，得， 四边形是长方形， ， ， ， ． （2）解：四边形是长方形， ， ∵， ∴． 19．综合与实践：折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识.折一折：把边长为6的正三角形纸片，其沿直线折叠，使点A落在点处，分别得到图①、图②. 填一填，做一做： (1)图①中阴影部分的周长为 . (2)图①中， 若， 则 °. (3)图①中的相似三角形(包括全等三角形)共有 对； (4)如图②， 点落在边上， 若，则 【答案】(1)18 (2)40 (3)4 (4) 【分析】（1）由折叠的性质得出，，得出图①中阴影部分的周长的周长； （2）由折叠的性质得出，，求出，得出，即可得出结果； （3）证明，，即可得出结论； （6）设，则，证明，得出，设，，则，，得出，解得，得出． 【详解】（1）将图①中的沿直线折叠，使点落在点处， ，， 图①中阴影部分的周长的周长； 故答案为：18； （2）解：将图①中的沿直线折叠，使点落在点处， ，， ， ， ， ； 故答案为：40； （3）解：如图， ∵将图①中的沿直线折叠，使点落在点处， ，，， ，， 图①中的相似三角形（包括全等三角形）共有4对， 故答案为：4； （4）解：， 设，则， ， ， ， ∴ ， 设，，则，， ， 解得：， ； 故答案为：． 【点睛】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、折叠变换的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似是解题的关键． 20．（2024·广东江门·一模）【综合与实践】某数学学习小组在学习了多边形后对几何学习产生了浓厚的兴趣，他们在同一几何图形中进行了不同探究活动．如图1，直线，垂足为O，三角板的直角顶点C落在的内部，三角板的另两直角边分别与交于点D和点 (1)活动1：如图1，不添加辅助线，由四边形内角和知识容易结论：______． (2)活动2：如图2，连结，若平分，那么平分吗？请直接写出你的结论，不需写理由． (3)活动3：如图3，若平分，平分，他们发现与具有特殊位置关系．请判断DE与BF有怎样的位置关系并证明你的结论． 【答案】(1) (2)平分 (3)，证明见解析 【分析】本题主要考查四边形内角和360度、三角形内角和180度、角平分线的性质、垂线的性质等知识点，掌握相关知识是解题关键． （1）根据四边形内角和360度即可解答； （2）根据角平分线性质可得，再根据、，然后根据同角的余角相等可得结论； （3）由（1）（2）结论，结合三角形内角和180度求解即可． 【详解】（1）解：，为直角， ， 根据四边形内角和等于得：， ， 故答案为： （2）解：平分，理由如下： 平分， ， ，为直角， ，， ， 平分； （3）解：与的位置关系是：，证明如下： 由（1）可知：， 又， ， 平分，平分， ∴，， ， 为直角， ， ， 又， ， ，即 21．如图，有一副直角三角板如图1放置（其中），，与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点旋转． (1)在图1中，________； (2)①如图2，若三角板保持不动，三角板绕点逆时针旋转，旋转角度为（），当等于多少度时，两个三角形的边与边互相垂直．请画出图形并求解； ②如图3，在图1基础上，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，同时三角板的边从处开始绕点顺时针旋转，转速为秒，当转到与重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当时，请直接写出旋转的时间是多少秒． 【答案】(1) (2)①图见解析，；②或25秒 【分析】（1）根据三角板的角度进行计算即可得到结论； （2）①如图，根据，求出结论即可； ②设旋转的时间为秒，由题知，，分两种情况：当转到与重合前和当转到与重合后，分别列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ， 故答案为：； （2）解：①如图，此时，， ， ∴当等于 165 度时，两个三角形的边与边互相垂直； ②设旋转的时间为秒，由题知，， 当转到与重合时，（秒）， 分两种情况： 当转到与重合前，时， ， 当，即， 解得：秒； 当转到与重合后，时， ， 当，即， 解得：秒； ∴当，旋转的时间是或 25 秒． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角板中的角度计算，三角形的内角和定理，识别图形是解题的关键． 22．综合与实践： 某数学兴趣小组将一副三角板的两个锐角顶点重合，研究其中一个三角板在旋转过程中所得到的一些角之间的数量关系． (1)如图1，当三角板中三个顶点，，在同一条直线上时（，）． ①请直接写出的度数为________； ②分别作和的角平分线和，求的度数． (2)如图2，数学兴趣小组将等腰直角三角板绕点逆时针旋转度（），，分别平分和，当边与三角板的边所在的直线重合时，求出的度数． 【答案】(1)①；② (2)或或 【分析】本题考查了三角形的旋转，角平分线的性质及角度的计算，掌握以上知识是解答本题的关键． （1）①由直接计算即可；②由角平分线得性质得，再根据计算即可； （2）分与重合，与重合，与延长线重合三种情况结合图形计算角度即可． 【详解】（1）①； 故答案为：； ②、分别为和的角平分线， ， ; （2）当与重合时，如图： ，分别平分和， ， ； 当与重合时， ； 当与延长线重合时，则， ； 综上，或或． 23．在综合与实践课上，同学们以“一个含角的直角三角板和两条平行线为背景开展数学活动．在三角板中，，，，，直线． (1)如图1，当三角板的顶点C在直线上，点A落在直线上时，若，求的度数； (2)如图2，当三角板的顶点C在直线上，点A在直线和之间时，求的度数； (3)如图3，当三角板的顶点C在直线上，点A在直线的上方时，若的延长线与的角平分线相交于点M，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查平行线的判定与性质，三角形外角的性质，对顶角性质．熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质求出，再利用三角形外角的性质即可求解； （2）延长交于点D，根据平行线的性质求出，再利用三角形外角的性质即可求解； （3）角平分线的定义求出，再利用三角形外角的性质即可求解． 【详解】（1）∵ ∴ ∴； （2）如图，延长交于点D ∵ ∴ ∴； （3）∵平分， ∴ ∴． 24.在四边形中，，点分别是边上的点，点是一动点，连接，令． 初探：(1)如图①，若点在线段上运动，试探究与之间的关系，并说明理由； 再探：(2)如图②，若点在线段的延长线上运动，试探究之间的关系，并说明理由； (3)若点运动到四边形的内部，在备用图中画出此时的图形，并直接写出此时间的关系______． 【答案】(1)，理由见解析(2)，理由见解析(3) 【详解】（1）解：，理由如下；由题意知，， ∵，∴； （2）解：，理由如下；如图②，记的交点为， 由题意知，，∵， ∴，即； （3）解：如图备用图，由题意知，， ∴，故答案为：． 25．如图1，已知线段相交于点O，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字型”． (1)求证：；(2)如图2，若和的平分线和相交于点P，且与分别相交于点．①若，求的度数； ②若角平分线中角的关系改为“”，试探究与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析(2)①；② 【详解】（1）证明：在中，， 在中，，∵，∴； （2）解：①∵和的平分线和相交于点P，∴， ∵①，②， 由，得：，即， ∵，∴； ②∵，∴，， ∵，， ∴，， ∴，∴），故答案为：． 26．“8”字模型是初中数学中常见模型之一，掌握了这种模型，给同学们解答几何题带来很大的便捷． (1)初识模型：如图1，是我们常见的“8”字模型图，它的结论是，请你给予证明． (2)模型求解：如图2，线段在四边形内部，连接、，相交于点O，请借助“8”字模型的结论求：的度数． (3)构造模型：如图3，是我们常见的“五角星”，请你添加辅助线，借助于“8”字模型求出的度数． (4)模型应用：我们可以利用连接多边形的某些对角线画出类似于“五角星”的“六角星”、“七角星”、“八角星”等，如图4“七角星”的七个内角和：________；猜测“n角星”的n个内角的和为_________（用含n的式子表示）． 【答案】(1)证明见解析(2)(3)(4)540； 【详解】（1）解：，，，∴； （2）解：由（1）可知，， ∴ ； （3）解：连接，由（1）得：， 在中，，即， 即五角星的五个内角之和为． （4）解：连接，如图所示，由（1）可得，， ∴； ∵五角星内角和，七角星内角和， ∴“n角星”的n个内角的和为，故答案为：540；． 27.一副三角板按图1所示方式摆放，其中，，.固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角 (1)如图2，当时，的度数为__________；(2)当的一边与平行时，求的度数； (3)如图3，连结，当时，试判断的大小是否改变?并说明理由 【答案】(1)(2)或或(3) 【详解】（1）解：∵，∴，∴； （2）①当时, 如图所示, ，，即 ， ②当时， 如图所示，过点作，∴， ∴， ∴，， ∴；∴； 当时， 如图所示，如图，则； 综上所述，的度数为或或； （3）当,, 保持不变，理由如下： 如图, 设分别交、于点,在中,, ∵,∴， ∵,∴. 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $