专题06 三角形中的倒角模型之平行线+拐点模型（猪蹄(M)、铅笔头、牛角、羊角、蛇形）（几何模型讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学中考复习讲义聚焦平行线中的拐点模型，覆盖猪蹄（M型）、铅笔头、牛角等中考高频几何倒角模型，通过“模型来源-真题提炼-结论证明-例题运用”系统架构，帮助学生建立从具体图形到抽象模型的认知，结合作辅助线等方法指导，突破角度计算难点。 亮点在于“生活情境建模”和“真题溯源教学”，如从哪吒动作抽象出羊角模型，通过作平行线证明角度关系培养推理能力，设置“模型识别-结论应用-变式拓展”三级例题，配合25道中考真题分层训练，帮助学生快速识别模型，提升解题效率，教师可据此精准把握中考命题规律，优化复习节奏。

专题06 三角形中的倒角模型之平行线+拐点模型 （猪蹄(M)、铅笔头、牛角、羊角、蛇形） 近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。平行线+拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线+拐点模型（猪蹄模型(M型)、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、“5”字模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 2 模型来源 2 真题现模型 2 提炼模型 5 模型运用 8 模型1.猪蹄模型（M型与锯齿型） 8 模型2.铅笔头模型 10 模型3.牛角模型 12 模型4.羊角模型 13 模型5.蛇形模型（“5”字模型） 15 18 平行线中的拐点模型名称均源于生活观察，因图形类似生活中的实物形状而得名。拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 （2025·四川甘孜州·中考真题）如图，一束平行于主光轴的光线经过凹透镜后，其折射光线的反向延长线交于主光轴的焦点F．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，根据题意可得，∴， ∵，∴；故选：A． （2025·江苏扬州·中考真题）如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴， ∵，，∴， ∴；故选C （2025·陕西·模拟预测）如图，，，，则的度数为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，延长交于点， ∵，，∴， ∵，∴，故选：B． （2025·山东淄博·中考真题）已知：如图，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设和交于点F， ∵，∴，∴，故选：D． （24-25广元·七年级校考期中）如图，，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，延长交于点，    ，， ，，故选：． （2025·山西·模拟预测）电影《哪吒之魔童闹海》是亚洲首部票房过百亿的影片，从如图①所示的哪吒动作抽象出如图②的示意图，已知，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图所示，过点E作， ∵，∴，∴，∴， 如图所示，过点F作，∴， ∵，∴，∴， ∴，故选：A． 1）猪蹄模型（M型与锯齿型） 图1 图2 图3 模型1）：如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B； ②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN； 模型2）：如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2； 模型3）：如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.。 证明：（1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM， ∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ， ∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B． （2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， 故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， （3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 2）铅笔头模型 图1 图2 图3 模型1）：如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°； ②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN. 模型2）：如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 模型3）：如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°. 【证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ， ∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°； 在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D， ∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN， ∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°； 在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线， 根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°． 3）牛角模型：如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3 ；如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180° 图1 图2 证明：在图1中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° 图1 图2 ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3. 在图2中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°. 4）羊角模型：如图1，已知：AB∥DE，结论：；如图2，已知：AB∥DE，结论：。 图1图2 【证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB 图1 图2 ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD-∠FCB，∴∠=∠-∠. 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠FCD=∠+∠FCB，∴∠+∠+∠-∠=180°. 5）蛇形模型（“5”字模型） 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 图1 图2 【证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB. ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠+∠FCB=180°， ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 模型1.猪蹄模型（M型与锯齿型） 例1（2025·河北·一模）老师在黑板上出了一道题目，让学生解答．如图1，，，，求的度数．以下是两位同学提供的作辅助线的方案．方案Ⅰ：如图2，过点C作．方案Ⅱ：如图3，延长交于点F．对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（　　） A．方案Ⅰ可行，方案Ⅱ不可行 B．方案Ⅰ不可行，方案Ⅱ可行 C．方案Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．方案Ⅰ、Ⅱ都可行 【答案】D 【详解】解：方案Ⅰ：如图2，过点C作， ∵，∴，， ，∴； 方案Ⅱ：如图3，延长交于点F，∵，， ，∴，∴方案Ⅰ、Ⅱ都可行．故选D． 例2（2024·海南·中考真题）如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点B在直线n上，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，过点C作直线平行于直线m， ∵直线，∴，∴，， 由题意可得，∴，∴，故选：D． 例3（2025·陕西汉中·模拟预测）如图，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，过点作，∵，∴， ∴，，， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，故选：． 模型2.铅笔头模型 例1（2025·广东校考二模）如图所示，已知，那么（    ）    A．180° B．270° C．360° D．540° 【答案】C 【详解】过点C作，    ，，∴ 由得，， 即．故选：C． 例2（2025·四川自贡·二模）如图，，，则 ． 【答案】/130度 【详解】解：如图，过点E作，∵，∴， ∴，∴， ∵，，∴，∴．故答案为： 例3（2025·四川达州·二模）如图，两直线，平行，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：分别过E点，F点，G点，H点作，如图所示， ∵，∴， ∴，，， ∴ ，．故选：D． 模型3.牛角模型 例1（2025·江苏·校联考二模）如图，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图所示，过点E作， ∵，∴，∴， ∴， ∴，∴，故选A． 例2（2025·湖北武汉·三模）抖空竹这个运动项目被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”．年月日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．我们可以从如图运动员某一时刻的姿势中抽象出如图的数学问题：，若测得，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，延长交于点， ∵，∴，∴， ∴，故选：． 例3（2025·陕西西安·校考模拟预测）如图，，，平分，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵，∴．∵平分，∴． ∵，∴，∴．故选：C． 模型4.羊角模型 例1（2025·山东青岛·模拟预测）如图，，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，∴， ∵，∴，故选：B． 例2（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，从位于焦点处的光源发出两束光线，光线经反光镜反射后平行于地面射出，已知，，则的度数为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意可得，如图，∴， ∵，∴，故选：C． 例3（2025·四川眉山·模拟预测）如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，延长交于点， ∵，∴， ∴，∴，故选：． 模型5.蛇形模型 例1（2025·河南·模拟预测）如图，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过点E作的平行线， ∵，∴，∵，∴，∴， ，∴，∴，解得：， ∴，解得：，故选：C． 例2（2025·陕西·模拟预测）如图，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，， ，， ，， ，，故选：C． 例3（2025·四川广元·校考一模）珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点，拐弯后与原来方向相同，如图，若，则等于（    ） A．50° B．40° C．30° D．20° 【答案】D 【详解】解：过点C作，∴， ∵∴； ∵，∴； 由题意，∴，∴．故选：D 例4（2025·湖北武汉·三模）已知是一条折线段，且，为平行线间的一点． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，作的平分线交直线于点F，若，，求证：； (3)如图3，作的平分线交直线于点F，射线交直线于点M，且为射线上一动点，连接的平分线交直线于点Q．设，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)(2)见解析(3)或 【详解】（1）解：如图，过点作的平行线， ，，，， ，； （2）解：，， 是的平分线，， ，，，； （3）解：当点在点左边时，如图， ， ，平分，， 平分，，，， 平分，， ，即； 当点在点右边时，如图，， 平分，，， ，即，综上，或． 1．（2025·辽宁·模拟预测）在现代电气化铁路飞速发展的今天，列车飞驰的背后离不开一套关键设备——受电弓如图1．正是它为列车提供着源源不断的动力，保证了高铁高速顺畅的运行，其示意图如图2，若在某一时刻，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，过点作，∵，∴， ∵，，∴，∴， ∴，∴．故选：C． 2．（2025·山西临汾·三模）如图，仿生机器狗平稳站立时，，，，此时的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过E作，∵，∴， ∴，∴， ∴，∵，∴．故选：A． 3.（2025·重庆·模拟预测）如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，已知入射波与法线的夹角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过点作，为法线，如图： ∵，∴，∴，∴为法线，∴， ∵为法线，，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，故选：A． 4．（2025·陕西西安·二模）如图，，点M、D分别在、上，于点N，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为，，所以，又因为，所以， 又因为为的外角，所以．故选：D ． 5.（2025·山西吕梁·校考模拟预测）如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行若，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，过点作工作篮底部，，    工作篮底部与支撑平台平行，工作篮底部支撑平台，， ，，，，故选：． 6.（2025·江西·模拟预测）如图，已知，若的外角为，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：过点作，如图： 则， ，，，， ．故答案为：D． 7．（2025·广东深圳·模拟预测）“绿水青山，就是金山银山”在两个景区之间建立的一段观光索道如图所示，索道支撑架均为互相平行，且每两个支撑架之间的索道均是直的，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过点B作，∵，∴， ∴，∴．故选：C． 8.（2025·山东淄博·二模）如图，，点在上，连接、，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴， ∵，∴， 已知，，，， ∵，∴．故答案为：C． 9．（2025·河南周口·模拟预测）如图，直线，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，，，，，， ，，故选：B． 10．（2025·山西忻州·校考模拟预测）如图，，点E，F分别在上，G是上方一点，连接，与交于点H，若，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴． ∵，∴， ∴．故选：C． 11．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知，点E是下方一点，连接，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， 根据三角形外角定理，， ∵，∴，故选：D． 12．（2025·河南驻马店·统考三模）如图，已知，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，，， ，，故选：C． 13．（2025·陕西西安·校考模拟预测）如图，在中，，，．若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵中，，，∴， ∵，∴， ∴，故选：A． 14．（2025·山西·模拟预测）将直尺和圆规按如图方式摆放在水平桌面上，圆规的两脚恰好接触直尺的一组对边．已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图所示，∴， ∵，∴，故选：D ． 15．（2024·四川攀枝花·中考真题）将一把直尺与一块含有角的直角三角板按如图方式放置，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示，∵，∴ ∴∴．故选：B． 16．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，，于点，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如下图所示，过点作， ，，， ，，， ． 故选：D ． 17．（2025·广东·校考二模）北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，谷爱凌的励志故事也激励着我们青少年，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，如果不想体验人仰马翻的感觉，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，，当人脚与地面的夹角时，求出此时上身与水平线的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：延长交直线于点，    ，，根据题意得，，故选：A． 18．（2024·陕西·中考真题）如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，， ，，，．故选B． 19.如图，如果，那么（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过点C作，过点D作．    ∵，∴， ∴，，, ∴ 故选：C． 20．（2025·新疆·校考二模）如图，若，则 ． 【答案】/75度 【详解】解：过点作，如图所示： ∵，，∴， ∴， ∴，即，故答案为：． 21．（2025·河南·校考二模）如图，，，，则的度数为 ．    【答案】/100度 【详解】解：过点做平行于，如图所示：    ∵∴∵，∴ ∵∴故答案为： 22．已知：如图，，的平分线与的平分线交于点M，，，，则 ． 【答案】/88度 【详解】过点、、分别作， ∵，， 平分，平分 ，， ，， ，， ，故答案为：． 23.学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小组提出如下问题：已知：如图，． 【初步感知】(1)如图1，若，求的度数； 【拓展延伸】(2)如图2，当点、在两平行线之间，且在位于异侧时，求证：； 【类比探究】(3)如图3，若，，若，，直接写出的度数． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【详解】（1）解：，， ，，； （2）证明：过点作交于点，如图所示： ，，，，， ，，， ，，； （3）解：设和的交点为，如图所示： 由（2）可知，， ，，， ，，， ，，， ，，． 24.【探究】（1）如图①，若，点在，外部，则满足的数量关系是______； 【应用】（2）如图②为北斗七星的位置图，如图③，将北斗七星分别标为A，B，C，D，E，F，G．其中B，C，D三点在一条直线上，，则满足的数量关系是______； （3）如图④，在（1）问的条件下，延长到点，延长到点，过点和点分别作射线和交于点，使得平分,平分，若，求出的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】解：过点作，如图①所示：，， ，， ，，故答案为：． 【应用】（2）过点作，如图3所示：，， ，， ，， ，故答案为：． （3），理由如下：过点作，如图④所示： 平分，， 平分，设，则， 在（1）的条件下：， ，， ，，， ，， ． 25．（2025·北京·模拟预测）如图1，，在、内有一条折线．    (1)求证：． (2)如图2，已知的平分线与的平分线相交于点，试探索与之间的关系． (3)已知，，有与有什么关系．（直接写结论） 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）证明：如图1，过点P作，       ∵，∴，∴，， 又∵，∴． （2）如图2，由（1），可得，， ∵的平分线与的平分线相交于点Q， ∴，，∴， 又∵，，∴， ∴，即∶，∴． （3）由（1），可得，，∵，， ∴，∴． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 三角形中的倒角模型之平行线+拐点模型 （猪蹄(M)、铅笔头、牛角、羊角、蛇形） 近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。平行线+拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线+拐点模型（猪蹄模型(M型)、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、“5”字模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 2 模型来源 2 真题现模型 2 提炼模型 5 模型运用 8 模型1.猪蹄模型（M型与锯齿型） 8 模型2.铅笔头模型 10 模型3.牛角模型 12 模型4.羊角模型 13 模型5.蛇形模型（“5”字模型） 15 18 平行线中的拐点模型名称均源于生活观察，因图形类似生活中的实物形状而得名。拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 （2025·四川甘孜州·中考真题）如图，一束平行于主光轴的光线经过凹透镜后，其折射光线的反向延长线交于主光轴的焦点F．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． （2025·江苏扬州·中考真题）如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． （2025·陕西·模拟预测）如图，，，，则的度数为（      ） A． B． C． D． （2025·山东淄博·中考真题）已知：如图，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． （24-25广元·七年级校考期中）如图，，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． （2025·山西·模拟预测）电影《哪吒之魔童闹海》是亚洲首部票房过百亿的影片，从如图①所示的哪吒动作抽象出如图②的示意图，已知，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 1）猪蹄模型（M型与锯齿型） 图1 图2 图3 模型1）：如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B； ②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN； 模型2）：如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2； 模型3）：如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.。 证明：（1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM， ∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ， ∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B． （2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， 故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， （3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 2）铅笔头模型 图1 图2 图3 模型1）：如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°； ②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN. 模型2）：如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 模型3）：如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°. 【证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ， ∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°； 在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D， ∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN， ∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°； 在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线， 根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°． 3）牛角模型：如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3 ；如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180° 图1 图2 证明：在图1中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° 图1 图2 ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3. 在图2中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°. 4）羊角模型：如图1，已知：AB∥DE，结论：；如图2，已知：AB∥DE，结论：。 图1图2 【证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB 图1 图2 ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD-∠FCB，∴∠=∠-∠. 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠FCD=∠+∠FCB，∴∠+∠+∠-∠=180°. 5）蛇形模型（“5”字模型） 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 图1 图2 【证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB. ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠+∠FCB=180°， ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 模型1.猪蹄模型（M型与锯齿型） 例1（2025·河北·一模）老师在黑板上出了一道题目，让学生解答．如图1，，，，求的度数．以下是两位同学提供的作辅助线的方案．方案Ⅰ：如图2，过点C作．方案Ⅱ：如图3，延长交于点F．对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（　　） A．方案Ⅰ可行，方案Ⅱ不可行 B．方案Ⅰ不可行，方案Ⅱ可行 C．方案Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．方案Ⅰ、Ⅱ都可行 例2（2024·海南·中考真题）如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点B在直线n上，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 例3（2025·陕西汉中·模拟预测）如图，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 模型2.铅笔头模型 例1（2025·广东校考二模）如图所示，已知，那么（    ）    A．180° B．270° C．360° D．540° 例2（2025·四川自贡·二模）如图，，，则 ． 例3（2025·四川达州·二模）如图，两直线，平行，则（   ） A． B． C． D． 模型3.牛角模型 例1（2025·江苏·校联考二模）如图，若，则（   ） A． B． C． D． 例2（2025·湖北武汉·三模）抖空竹这个运动项目被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”．年月日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．我们可以从如图运动员某一时刻的姿势中抽象出如图的数学问题：，若测得，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 例3（2025·陕西西安·校考模拟预测）如图，，，平分，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 模型4.羊角模型 例1（2025·山东青岛·模拟预测）如图，，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 例2（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，从位于焦点处的光源发出两束光线，光线经反光镜反射后平行于地面射出，已知，，则的度数为(    ) A． B． C． D． 例3（2025·四川眉山·模拟预测）如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 模型5.蛇形模型 例1（2025·河南·模拟预测）如图，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例2（2025·陕西·模拟预测）如图，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例3（2025·四川广元·校考一模）珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点，拐弯后与原来方向相同，如图，若，则等于（    ） A．50° B．40° C．30° D．20° 例4（2025·湖北武汉·三模）已知是一条折线段，且，为平行线间的一点． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，作的平分线交直线于点F，若，，求证：； (3)如图3，作的平分线交直线于点F，射线交直线于点M，且为射线上一动点，连接的平分线交直线于点Q．设，请直接写出与的数量关系． 1．（2025·辽宁·模拟预测）在现代电气化铁路飞速发展的今天，列车飞驰的背后离不开一套关键设备——受电弓如图1．正是它为列车提供着源源不断的动力，保证了高铁高速顺畅的运行，其示意图如图2，若在某一时刻，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山西临汾·三模）如图，仿生机器狗平稳站立时，，，，此时的度数为（   ） A． B． C． D． 3.（2025·重庆·模拟预测）如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，已知入射波与法线的夹角，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·陕西西安·二模）如图，，点M、D分别在、上，于点N，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5.（2025·山西吕梁·校考模拟预测）如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行若，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 6.（2025·江西·模拟预测）如图，已知，若的外角为，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·广东深圳·模拟预测）“绿水青山，就是金山银山”在两个景区之间建立的一段观光索道如图所示，索道支撑架均为互相平行，且每两个支撑架之间的索道均是直的，若，，则（    ） A． B． C． D． 8.（2025·山东淄博·二模）如图，，点在上，连接、，若，，则（    ） A． B． C． D． 9．（2025·河南周口·模拟预测）如图，直线，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 10．（2025·山西忻州·校考模拟预测）如图，，点E，F分别在上，G是上方一点，连接，与交于点H，若，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 11．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知，点E是下方一点，连接，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 12．（2025·河南驻马店·统考三模）如图，已知，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 13．（2025·陕西西安·校考模拟预测）如图，在中，，，．若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 14．（2025·山西·模拟预测）将直尺和圆规按如图方式摆放在水平桌面上，圆规的两脚恰好接触直尺的一组对边．已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 15．（2024·四川攀枝花·中考真题）将一把直尺与一块含有角的直角三角板按如图方式放置，若，则为（   ） A． B． C． D． 16．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，，于点，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 17．（2025·广东·校考二模）北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，谷爱凌的励志故事也激励着我们青少年，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，如果不想体验人仰马翻的感觉，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，，当人脚与地面的夹角时，求出此时上身与水平线的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 18．（2024·陕西·中考真题）如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 19.如图，如果，那么（　　）    A． B． C． D． 20．（2025·新疆·校考二模）如图，若，则 ． 21．（2025·河南·校考二模）如图，，，，则的度数为 ．    22．已知：如图，，的平分线与的平分线交于点M，，，，则 ． 23.学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小组提出如下问题：已知：如图，． 【初步感知】(1)如图1，若，求的度数； 【拓展延伸】(2)如图2，当点、在两平行线之间，且在位于异侧时，求证：； 【类比探究】(3)如图3，若，，若，，直接写出的度数． 24.【探究】（1）如图①，若，点在，外部，则满足的数量关系是______； 【应用】（2）如图②为北斗七星的位置图，如图③，将北斗七星分别标为A，B，C，D，E，F，G．其中B，C，D三点在一条直线上，，则满足的数量关系是______； （3）如图④，在（1）问的条件下，延长到点，延长到点，过点和点分别作射线和交于点，使得平分,平分，若，求出的度数． 25．（2025·北京·模拟预测）如图1，，在、内有一条折线．    (1)求证：． (2)如图2，已知的平分线与的平分线相交于点，试探索与之间的关系． (3)已知，，有与有什么关系．（直接写结论） 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $