专题02 平行问题之“三线八角”模型，“猪蹄”模型，“铅笔头”模型，“锯齿”模型（几何模型讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习几何模

该初中数学中考复习讲义聚焦平行线中的三线八角、猪蹄、铅笔头、锯齿四大核心模型，对应中考几何角度计算与位置关系判断高频考点。通过“模型来源-真题提炼-结论证明-应用训练”架构，梳理模型条件与结论，指导辅助线作法，结合中考真题与模拟题训练，帮助学生系统突破几何难点。 亮点在于“模型化思维”与“分层训练”设计，如猪蹄模型通过过拐点作平行线培养几何直观，锯齿模型多拐点推导训练推理能力。设置“模型识别-证明推导-真题应用”三步教学活动，配合基础、提升、挑战三级练习，确保学生快速掌握解题通法，教师可据此精准把控复习节奏，提升学生中考应考能力。

专题02平行问题之三线八角模型、猪蹄模型、铅笔头模型、锯齿模型 近年来各地考试中常出现一些平行线中相关模型，该模型主要涉及角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就三线八角模型、猪蹄模型、铅笔头模型、锯齿模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 2 真题现模型 3 提炼模型 5 模型运用 7 模型1三线八角模型 9 模型2.猪蹄模型 13 模型3铅笔头模型…………………………………………………………………………………………………15 模型4锯齿模型……………………………………………………………………………………………………16 17 三线八角模型来源于平面几何中对两条直线被第三条直线所截形成的角的分类研究，是为了清晰描述这些角的位置关系而总结出的几何模型。具体来说，当两条直线（被截线）被第三条直线（截线）所截时，会形成八个角，人们根据这些角的相对位置，划分出同位角、内错角、同旁内角等类型，进而形成了三线八角模型。 猪蹄模型是初中数学中平行线“拐点模型”的形象化命名，因图形形似猪蹄（也像大写M、燕尾）而得名，无权威典籍记载的单一发明者，是一线教学中为简化理解、快速解题总结出的几何模型。 铅笔头模型同样是初中数学平行线拐点问题的形象化教学模型，因图形形状类似削尖的铅笔头而得名，是一线教师为方便学生理解记忆总结的解题工具。它属于平行线间的凸形拐点模型：两条平行线被带有向外拐点的线段连接，形成类似铅笔头的凸起形状。核心结论是拐点处的角与两侧角的和为360°，通用解法也是过拐点作平行线，借助平行线的同旁内角互补性质推导。 锯齿模型是初中数学平行线拐点问题的拓展性形象化模型，由猪蹄模型、铅笔头模型延伸而来，因图形呈现连续的锯齿状凸起或凹陷而得名，是一线教学中为解决多拐点平行线角度问题总结的解题工具。它的核心是多拐点的平行线角度推导：当两条平行线之间存在多个连续的内凹或外凸拐点时，角的数量关系会呈现规律性的累加或抵消，通用解法仍是过每个拐点作平行线，结合平行线的内错角相等、同旁内角互补性质推导结论。 （2025·河北保定·模拟预测）如图，直线与的边相交． 写出图中的同位角、内错角和同旁内角． 如果，那么与相等吗？与互补吗？为什么？ （2025·江苏南京·中考真题）已知直线 如图，直接写出，和之间的数量关系． 如图，，分别平分，，那么和有怎样的数量关系？请说明理由． （2025·浙江·中考模拟真题）如图，已知，，则、与的关系是______． 1） 三线八角模型： 1、.两条被截线互相不平行 如图，同位角有：∠1和∠5，∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8； 内错角有：∠3和∠5，∠4和∠6； 同旁内角：∠3和∠6，∠4和∠5 . 2、两条被截线互相平行 条件：如图，a∥b 结论：（1）同位角相等：∠1=∠5，∠2=∠6，∠3=∠7，∠4=∠8； （2）内错角相等：∠3=∠5，∠4=∠6； （3）同旁内角互补：∠3+∠6=180°，∠4+∠5= 180°. 2）猪蹄模型 ( A B C D O )条件：如图，AB∥CD，O是平行线间的内凹拐点 结论：∠O=∠B+∠D . ( E F 1 2 图 1 )证明：法1） 过拐点作平行线 如图1，过点O作EF∥AB ∵ AB∥CD ∴ EF∥CD ∴ ∠B=∠1，∠D=∠2 ∴ ∠1+∠2=∠B+∠D，即∠BOD=∠B+∠D ( A B C D O G 图 2 )法2） 作延长线 如图2，延长BO交CD于点G ∵ AB∥CD ∴ ∠B=∠BGD ∵ ∠BOD=∠D+∠BGD ∴ ∠BOD=∠B+∠D 也可以延长DO，证明方法同上 . 3）铅笔头模型 ( A A B B C C D D O O )条件：如图，AB∥CD 结论：∠B+∠O+∠C=360° 证明：法1） 过拐点作平行线 如图，过点O作EF∥AB ( A B C D O E F )∵AB∥CD ∴ EF∥AB∥CD ∴ ∠B+∠BOE=180°，∠C+∠COE=180° ∴ ∠B+∠BOE+∠C+∠COE=360° ∴ ∠B+∠BOC+∠C=360° ( A B C D O E )法2） 作延长线 如图，延长AB，CO相交于点E ∵AB∥CD ∴ ∠E+∠C=180° ∵ ∠ABO+∠EBO=180° ∴ ∠ABO+∠EBO+∠E+∠C=360° ∵ ∠E+∠EBO=∠BOC ∴ ∠ABO+∠EBO+∠E+∠C=∠ABO+∠BOC+∠C=360° 4）锯齿模型 ( A B C D E F )条件：如图，AB∥EF 结论：∠B+∠D=∠C+∠E 证明：如图，过点C作MN∥AB，过点D作PQ∥AB ∵AB∥EF ( A B C D E F M N P 1 Q 3 2 4 )∴ AB∥MN∥PQ∥EF ∴ ∠B=∠1，∠3=∠2，∠4=∠E ∴ ∠B+∠3+∠4=∠1+∠2+∠E ∴ ∠B+∠CDE=∠BCD+∠E 2） 模型1.三线八角模型 例1（24-25九年级下·甘肃·课后作业）如图，直线，OG是的平分线，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 例2（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，下列条件：①；②；③；④；⑤．其中能判定直线的有（   ） A．③④ B．①③⑤ C．②④⑤ D．②④ 例3（22-23七年级下·陕西安康·期末）如图，在下列给出的条件中：①；②；③；④，可以判定的有．（填序号） 例4（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）在判断两直线是否平行时，我们可以从“三线八角”的位置进行分析，如图，点在的延长线上，给出下列条件：①；②；③；④；⑤；⑥一定能判定的条件是填所有正确条件的序号 例5（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，已知AC平分，BD平分，，，试说明：，． 例6（20-21七年级下·河北沧州·期中）如图，台球运动中1号球击中桌边的点，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点，再次反弹经过点（提示：）． (1)若，求的度数； (2)已知，1号球经过的路线与一定平行吗？请说明理由． 例7（21-22七年级上·四川乐山·期末）填空(理由或数学式) 如图，已知，，，，则与平行吗？ 与平行吗？ 解：，已知， 等量代换，        ． 又       ， ， 等式的性质． 同理可得． 等量代换， (       ) 例8（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，AB与CD相交于点O，OA平分，．判断CB与EO的位置关系，并说明理由． 模型2.猪蹄模型 例1（2025·山东东营·中考真题）2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 例2（25-26八年级上·广西防城港·月考）如图，处在处的北偏东方向，处在处的北偏东方向，处在处的北偏西方向，则的度数是（    ） A．° B． C． D． 例3（2026·新疆阿克苏·模拟预测）如图，，，，则的度数为. 例4（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在两个景区之间建立一段观光索道，索道支撑架互相平行（），且索道AB，BC均是直的．若，，则． 例5（24-25七年级下·全国·周测）在一次数学活动课上，老师让同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a，b，且，直角三角尺ABC中，，． 【操作发现】（1）如图①，当三角尺的顶点B在直线b上时，若，则____________． 【探索证明】（2）如图②，当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出与的数量关系，并说明理由． 例6（25-26八年级上·全国·期末）综合应用 在学习了平行线的性质后，老师请同学们证明命题“两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直”是真命题． (1)小明同学画出了相对应的图形（图①），请补全“已知”和“求证”，并写出证明过程． 已知：如图①，____________，直线分别交，于点E，F，的平分线与的平分线交于点 求证：________________． (2) 如图②，在图①的基础上，分别作与的平分线，交点为，求的度数． 模型3.铅笔头模型 例1（2025·辽宁·模拟预测）在现代电气化铁路飞速发展的今天，列车飞驰的背后离不开一套关键设备——受电弓如图1．正是它为列车提供着源源不断的动力，保证了高铁高速顺畅的运行，其示意图如图2，若在某一时刻，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 例2（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 例3（24-25七年级下·四川泸州·月考）如图，，，分别是直线，之间的点，连接，，，，已知，，当时，的度数为． 例4（24-25七年级下·山东枣庄·月考）如图，是赛车跑道的一段示意图，其中，测得，，则的度数为． 例5（24-25七年级下·甘肃定西·期中）在一次数学课上，李老师让同学们独立完成课本第23页第7题选择题（2）如图 1，如果，那么（    ） A．        B．        C．        D． (1)请写出这道题的正确选项； (2)在同学们都正确解答这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图2，，请写出之间的数量关系．并说明理由． 例6（24-25七年级下·河北·期末）【发现】如图1，平分，平分． 当时，与的位置关系是　　　； 当时，与的位置关系是　　　； 当时，请判断与的位置关系，并说明理由； 【探究】如图2，，是上一点，保持不变，移动顶点，使平分，与存在怎样的数量关系？并说明理由． 【拓展】如图3，，为线段上一定点，为直线上一动点，且点不与点重合．直接写出与的数量关系． 模型4：锯齿模型 例1（24-25七年级下·福建厦门·月考）如图，已知，，、分别为的角平分线，则下列说法正确的是（   ） ①；②；③平分；④． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 例2（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图，直线，当x，y的值变化时，下列各式的数值不变的是（   ） A． B． C． D． 例3（24-25七年级下·全国·月考）如图，已知直线，则、、之间的关系是． 例4（24-25六年级下·山东烟台·期末）已知，，，则之间的关系式为． 例5（25-26七年级上·云南红河·期中）【阅读思考】辅助线是在解决几何问题时，为了帮助我们更好地理解和解决问题，而在原图上添加的一些线．这些线不是题目中原本就有的，是我们根据解题的需要自己画上去的． (1)如图一，已知，，请说明． 解：分别过点C，D作，． 因为 ① ，所以． 由两直线平行，内错角相等，可知，，． 由题知，所以 ② ． 则，即 ③ ． 由 ④ ，可得． 请根据自己的理解，将上述推理过程补充完整． (2)【迁移应用】如图二，已知，，的交点为E．判断，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】在第（2）题的条件下，现对图二作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…，第n次操作，分别作和的平分线，交点为，如图三．若，直接写出的大小． 例6（24-25七年级下·广东汕头·月考）如图1，已知，． (1)设，，直接写出、之间的数量关系； (2)如图2，已知、的平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，E为射线BN上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接，已知，求的度数． 一、单选题 1．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）如图，下列四个条件中，能判定 的有（  ） ①；②；③；④°． A．①④ B．②③ C．①②③ D．③④ 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，这是一款自行车的平面示意图，其中，那么下列结论错误的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，，那么 D．如果，，，那么 3．（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，已知，，，则①，②，③，④．结论不正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）探照灯、卫星天线、汽车灯等都是利用凹面镜的原理，由它的焦点处发出的光线反射后将会平行射出，如图：由焦点O处发出的光线经反射后沿着与平行的方向射出，已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·河北廊坊·月考）“抖空竹”可以让人快乐，数学也可以让人快乐，如图①是依宸同学“抖空竹”的一个瞬间，我们把图①抽象成数学问题：如图②，已知，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26八年级上·全国·期末）图①是某运动员在参加男子竞技体操双杠（两杠平行）项目时的一个静止动作，图②是其俯视示意图．若与的夹角为，，则的度数为． 7．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）如图，，平分，平分，，那么的度数为． 8．（24-25七年级上·河南周口·期末）如图，直线，直线交于点．交于点，过点的直线交于点，若，，则的度数是． 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）如图①，已知，，，则的度数为°． （2）如图②，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角，第二次拐角．第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则°． 10．（24-25七年级下·内蒙古通辽·期末）如图，，点和点分别在和上，点在和之间，连接和．，过点作射线，过点作射线．且，，点和点分别在和上，连接，，则的值是． 三、解答题 11．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，，，试说明．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据． 在下列解题过程的空白处填上恰当的内容（推理的理由或数学表达式） 在下列解题过程的空白处填上恰当的内容（推理的理由或数学表达式） 解：，（已知） ，（                        ） ． ．（                            ） ．（                            ） ，（已知） ，（等式的性质） 即， ．（                          ） 12．（25-26七年级上·吉林长春·期末）阅读下列文字，并完成证明． 如图，直线上有两点，直线上有一点，点三点共线，点在直线和直线之间，连接、，，，求证：． 证明：∵（已知）， ∴________（____________________）， ∴________（____________________）， ∴（已知）， ∴________（____________________）， ∴（__________）． 13．（2025七年级上·福建泉州·专题练习）如图，直线，直线交于点，交于点，，是直线上的动点（不与重合），以为直角顶点作直角三角形，且，点在直线右侧，记． (1)当点在点右侧时，若，求的度数； (2)在点运动过程中，若射线、、满足其中一条射线平分另外两条射线所构成的角时，求的度数． 14．（24-25七年级下·吉林·期末）已知直线，点，分别在直线，上，点是与之间任意一点，连接，．直线，分别交，于点，． (1)如图1，求证：； 若，，则______（用含，的式子表示）； (2)如图2，在直线上取一点，连接交直线于点；设，若；求的度数（用含的式子表示）； (3)如图3，在（2）的条件下，作平分，平分．若，，直接写出的度数． 15．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·月考）如图，已知，探究、，三者之间有怎样的数量关系？并说明理由． 16．（24-25七年级下·山东青岛·月考）已知直线，E为平面内一点，点P，Q分别在直线，上，连接，． (1)如图1，若点E在直线，之间，试探究之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若点E在直线，之间，平分，平分，当时，求的度数． (3)如图3，若点E在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点F，当时，求的度数． 2 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $