7.1.2两条直线垂直（2）学案2025-2026学年人教版七年级数学下册

该初中数学导学案聚焦“两条直线垂直(2)”，核心知识点为垂线段的概念、垂线段最短的性质及点到直线的距离。课前通过画图操作引导学生过直线外点作垂线并度量比较线段长短，衔接垂直概念，帮助自主发现垂线段最短性质，搭建知识学习支架。 资料特色在于注重动手实践与分层训练，课前画图操作培养几何直观和空间观念，落实数学眼光，多样题型（画图、说理、辨识等）提升推理意识，结合跳远成绩、引水管路径等实际问题强化应用意识，助力学生从直观感知到抽象理解，有效落实核心素养。

　　 　　　　　　　　　　　 7.1.2两条直线垂直(2) 一、学习目标 1．了解垂线段的概念，了解垂线段最短的性质. 2．理解点到直线的距离的意义，并会度量点到直线的距离. 二、课前预习 1.画图操作： (1)已知直线l，在l外任意取一点P； (2)过P点出PO⊥l，垂足为O； (3)在l上任取几个点A1，A2，A3……，连接PA1、PA2、PA3……； (4)用度量法比较PO、PA1、PA2、PA3……长短. 3.结论： （1）联结直线外一点与直线上的点之间的所有线段中，__________________最短. （2）直线外一点到这条直线的_________________,叫做这个点到直线的距离. 特别地，如果一个点在直线上，那么就说这个点到这条直线的距离为___. 3、 新课学习 (一)知识点梳理 知识点1：垂线段的性质 垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短. 如图：PO<PA 理由是 ，点P到直线l的距离是 . 知识点2：点到直线的距离 直线外一点到这条直线垂线段的长度叫做这个点到这条直线的距离. 如图，MB⊥OA,MN ⊥OB,垂足分别是M、N. (1) 点M到OB的距离是_______ (2) 点M到OA的距离是_______ (3) 点M到点B的距离是________ (4) 点O到MB的距离是_________ (5) 点B到OM的距离是_________ (二)题型梳理 题型1：画图题 例1 如图，已知，根据下列要求作图并回答问题： (1)作边上的高； (2)过点作直线的垂线，垂足为； (3)点到直线的距离是线段_______的长度； (4)线段的长度表示点_____到直线_______的距离．（不要求写画法，只需写出结论即可） 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析； (3)； (4)，； 【分析】本题主要考查了三角形的高、点到直线的距离． 过点作线段垂足在的延长线上，线段即为边上的高； 过点作线段，垂足为点，线段即为所求； 点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度； 因为线段是点到线段的垂线段，所以线段是点到线段的距离． 【详解】（1）解：如下图所示， 线段即为边上的高； （2）解：如下图所示， （3）解：点到直线的距离是线段的长度， 故答案为：； （4）解：线段的长度表示点到直线的距离， 故答案为：，； 题型2：说理题 例2 如图运动会上，甲、乙、丙三名同学测得黎明的跳远成绩分别为米，米，米，则黎明的跳远成绩应该为 米． 解：跳远距离是测量后脚跟到起跳线的最短距离，根据垂线段最短的性质，应该是乙同学测得的成绩， 故答案为：． 题型3：垂线段的辨识题 例3 如图，计划把河中的水引到村庄C中，为了使所用水管最短，可以先引，垂足为M．然后沿铺设水管．这样做的依据是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段最短，利用了垂线段的性质：直线外的点与直线上任意一点的连线中垂线段最短．根据垂线段的性质，可得答案． 【详解】解：把河中的水引到村庄C中，可过点引于，然后沿铺设水管，这样做的依据是：垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 题型4：点到直线距离的理解题 例4如图，下列说法中不正确的是（   ） A．点到的垂线段是线段 B．点到的距离是线段的长度 C．线段是点到的垂线段 D．线段是点到的距离 【详解】解：A．点到的垂线段是线段，正确，故选项不符合题意； B．点到的距离是线段的长度，正确，故选项不符合题意； C．线段是点到的垂线段，正确，故选项不符合题意； D．点到的距离是线段的长度，不是线段，不正确，故选项符合题意； 故答案：D． 题型5：用面积法求直角三角形斜边上的高 例5如图，，于，，，，则点到的距离是 ，点到的距离是 ，的依据是 ． 【分析】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，由，求出，然后根据点到直线的距离，垂线段最短即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离是，点到的距离是， ∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短， ∴， 故答案为：，，垂线段最短． 四、巩固练习 1.在数学课上，同学们在练习过点B作线段所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】此题考查了垂线段的画法的判断，根据垂线段的画法依次判断即可． 【详解】解：四个图形中，只有第一个图形是过点B作线段所在直线的垂线段，其余均错误， 故选：C． 2.如图，直线表示某天然气的主管道，现在要从主管道引一条分管道到某村庄，则沿图中线段修建可使用料最省．理由是 ． 【分析】本题考查的知识点是直线外一点到这条直线中，垂线段最短，解题的关键是熟练的掌握直线外一点到这条直线连接的所有线段中，根据垂线段最短的性质可知，为了节省材料，应从村庄P向主管道作垂线． 【详解】解：根据从直线外一点到这条直线连接的所有线段中，垂线段最短， 所以沿图中线段修建可使用料最省． 故答案为：垂线段最短． 3.如图，在线段AB、AC、AD、AE、AF中AD最短.小明说垂线段最短, 因此线段AD的长是点A到BF的距离,对小明的说法，你认为________. 【分析】点A到直线 BF的最短距离应该是点A到BF垂线段的长度，图中AD不一定是垂线段，所以答案错误. 故答案：我认为错误． 4.如图,△ABC中,∠C=90o,CD⊥AB,D为垂足,已知AC=6， BC=8,AB=10，AD=3.6, （1）请计算CD的长度是______,（2）点C到AB的距离是______, （3）点A到BC的距离是______,（4）A到CD的距离是_________. （5）点B到CD 的距离是______,(6)点B到AC的距离是________. 【分析】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，由，求出CD=4.8，然后根据点到直线的距离，垂线段最短即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴CD=4.8 （2）点C到AB的距离是CD的长度为4.8; （3）点A到BC的距离是AC的长度为6; （4）点A到CD的距离是CD的长度为3.6; （5）点B到CD 的距离是BD的长度为6.4; （6）点B到AC的距离是BC的长度为8; 5.如图是一个直角三角形，它有三条边AB，AC，BC，其中最长的边是谁？为什么？ 【分析】本题考查了垂线段最短的性质 【详解】（1）解：∵AC<AB,BC<AB(垂线段最短) ∴最长的边是AB. 6.如图，点P是的边上的一点． (1)若每个小正方形的边长是1，则点O到的距离是＿＿＿＿． (2)过点P画的垂线，交于点C，画出三角形的边上的高． 【分析】题目主要考查利用网格画垂线和高线，结合图形求解是解题关键． （1）根据网格即可得出结果； （2）利用网格画垂线和高线即可． 【详解】（1）解：根据题意得，， ∴点O到的距离是5， 故答案为：5； （2）如图所示即为所求． 7．如图，平面上有两条直线、，点在直线上，按要求画图（不写结论）并填空： (1)过点画直线的垂线，垂足为点； (2)过点画直线交直线于点； (3)过点画直线．由图可知：点到直线距离为线段______的长度． 【分析】本题考查作图-复杂作图，垂线，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据垂线段的定义画出即可； （2）根据垂线的定义画出即可； （3）根据平行线的定义画出即可，根据点到直线间的距离求解即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：直线即为所求； （3）解：直线即为所求，由图可知：点到直线距离为线段的长度． 故答案为：． 8.．如图，，，请画出点A到的距离和和之间的距离． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作垂线，平行线的性质． 过A作的垂线，过A作的垂线即为和之间的距离． 【详解】如图，即为所求， ∵， ∴即为和之间的距离． 9．如图，在中，点D是边的中点，根据下面的要求画出图形并填空． (1)画出的边上的高； (2)过点D画，直线交边于点F； (3)点A到直线的距离是线段________的长度； (4)写出图形中面积相等的两个三角形：________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)和 【分析】本题主要考查了画垂线，画三角形的高，点到直线的距离等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）过点C作交延长线于点E，则即为所求； （2）根据垂线的画法画图即可； （3）根据点到直线的距离的定义求解即可； （4）根据线段中点的意义得到，在由三角形面积公式得到． 【详解】（1）解：如图，过点C作交延长线于点E，则即为所求： （2）解：如图，直线即为所求： （3）解：∵， ∴点A到直线的距离是线段的长度， 故答案为：； （4）解：∵点D是边的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∴图形中面积相等的两个三角形是：和， 故答案为：和． 五、拓展练习 1. 点是直线外一点，，，分别是直线上三点，已知，，，若点到直线的距离记为，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，垂线段最短，掌握相关知识是解决问题的关键．利用点到直线的距离定义求解即可． 【详解】解：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短， 点到直线的距离， 的取值范围为． 故答案为：． 2．观察图形，以下结论： ①线段的长必大于点A到直线l的距离； ②线段的长小于线段的长，根据是两点之间线段最短； ③图中共有两对角互为余角； ④线段的长是点D到直线的距离，正确的是 （填序号）． 【答案】①④/④① 【分析】本题考查了点到直线的距离、垂线段最短、余角的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据点到直线的距离、垂线段最短可判断①②④，根据余角的定义可判断③，即可得出结论． 【详解】解：线段的长必大于点A到直线l的距离，故①正确； 线段的长小于线段的长，根据是垂线段最短，故②错误； 图中共有8对角互为余角，故③错误； 线段的长是点D到直线的距离，故④正确； 综上所述，正确的是①④． 故答案为：①④． 3．如图，已知，，，，，则下列说法：点到直线的距离是；点到直线的距离是；点到直线的距离是；点到直线的距离是其中正确的序号有 ． 【答案】①②④ 【分析】根据面积法可得，然后再根据点到直线的距离的意义，逐一判断即可解答． 本题考查了三角形的面积，点到直线的距离，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：，， 的面积， ， ， 解得：， 点到直线的距离是， 故正确； 点到直线的距离是，故正确； 点到直线的距离是，故正确； 点到直线的距离是的长度，不是6，故不正确； 所以，上列说法，其中正确的序号有， 故答案为：． 4．如图，，，能表示点到直线的距离的是线段 的长．    【答案】 【分析】此题考查了点到直线的距离，正确把握相关定义是解题的关键．利用点到直线的距离的定义即可解答． 【详解】解：∵， ∴线段的长能表示点到直线的距离． 故答案为：． 5..如图所示,AD⊥BD,BC⊥CD，AB=5，BC= 3，则BD长的范围是 ( ) A.BD<3 B.3<BD<5 C.BD>5 D.无法确定 【分析】因为点直线的最短距离是垂线段的长度，所以BC<BD<BA 故答案：B． 6.到直线l的距离等于2cm的点有 ( ) A.0个 B.1个 C.无数个 D.无法确定 【分析】直线外有无数个点，与l平行且距离为2的直线上的所有点都符合要求. 故答案：C． 7. 如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上． (1)过点A画直线的垂线，并注明垂足为G；过点A画直线的垂线，交于点H（不写画法，保留画图痕迹）； (2)线段 的长度是点A到直线的距离； (3)线段、的大小关系为 （填“＞”“＜”或“＝”） (4)点P为图中一格点，且的面积与的面积相等，则满足要求的格点P有 个（点P不与点G重合）． 【分析】本题考查作平行线、垂线，点到直线距离的理解应用： （1）先根据格点画出，再根据三角形全等及直角三角形两锐角互余，在位置找与全等的三角形即可得到答案； （2）根据点到直线的距离是垂线段距离直接判断即可得到答案； （3）根据图形判断即可得到答案； （4）根据的面积与的面积相等，即可得到点到的高与点G到的高相等，作平行线即可得到答案； 【详解】（1）解：如图所示，， ∴， ∵， ∴， ； （2）解：由（1）得， ∵， ∴的长度是点A到直线的距离， 故答案为：； （3）解：由图像可得， ， 故答案为：； （4）解：∵的面积与的面积相等， ∴点到的高与点G到的高相等即可，如图所示， ， ， ∴的面积与的面积相等的点P，有5个． 8．如图 (1)点P是的边上的一点，请过点P画出、的垂线，分别交于点M、N，并指出哪条线段的长度表示点P到线段的距离？ (2)作出中边的垂直平分线，分别交、于点E、F，并写出直线与的位置关系． 【答案】(1)PM是点P到直线AB的距离 (2)尺规作图见详解， 【分析】（1）根据点到直线的距离的概念即可判断； （2）根据垂直平分线的尺规作图方法作出直线EF，EF、PN都垂直与BC，即可判断EF、PN的位置关系． 【详解】（1）如图， 根据点到直线的距离的定义，可知PM为点P到直线AB的距离； （2）尺规作图：分别以B、C两点为圆心，以相同的半径作圆，使得两圆有两个交点作直线经过这两个交点，直线交AB、BC于点E、点F，则直线EF就是线段BC的垂直平分线． 如图，EF是BC的垂直平分线，即EF⊥BC， 又∵PN⊥BC， ∴， 即PN与EF的位置关系是平行． 【点睛】本题考查了基本作图及点到直线的距离的定义，解题的关键是准确理解点到直线的距离的概念：从直线外一点到该直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $ 　　 　　　　　　　　　　　 7.1.2两条直线垂直(2) 一、学习目标 1．了解垂线段的概念，了解垂线段最短的性质. 2．理解点到直线的距离的意义，并会度量点到直线的距离. 二、课前预习 1.画图操作： (1)已知直线l，在l外任意取一点P； (2)过P点出PO⊥l，垂足为O； (3)在l上任取几个点A1，A2，A3……，连接PA1、PA2、PA3……； (4)用度量法比较PO、PA1、PA2、PA3……长短. 3.结论： （1）联结直线外一点与直线上的点之间的所有线段中，__________________最短. （2）直线外一点到这条直线的_________________,叫做这个点到直线的距离. 特别地，如果一个点在直线上，那么就说这个点到这条直线的距离为___. 3、 新课学习 (一)知识点梳理 知识点1：垂线段的性质 垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短. 如图：PO<PA 理由是 ，点P到直线l的距离是 . 知识点2：点到直线的距离 直线外一点到这条直线垂线段的长度叫做这个点到这条直线的距离. 如图，MB⊥OA,MN ⊥OB,垂足分别是M、N. (1) 点M到OB的距离是_______ (2) 点M到OA的距离是_______ (3) 点M到点B的距离是________ (4) 点O到MB的距离是_________ (5) 点B到OM的距离是_________ (二)题型梳理 题型1：画图题 例1 如图，已知，根据下列要求作图并回答问题： (1)作边上的高； (2)过点作直线的垂线，垂足为； (3)点到直线的距离是线段_______的长度； (4)线段的长度表示点_____到直线_______的距离．（不要求写画法，只需写出结论即可） 题型2：说理题 例2 如图运动会上，甲、乙、丙三名同学测得黎明的跳远成绩分别为米，米，米，则黎明的跳远成绩应该为 米． 题型3：垂线段的辨识题 例3 如图，计划把河中的水引到村庄C中，为了使所用水管最短，可以先引，垂足为M．然后沿铺设水管．这样做的依据是 ． 题型4：点到直线距离的理解题 例4如图，下列说法中不正确的是（   ） A．点到的垂线段是线段 B．点到的距离是线段的长度 C．线段是点到的垂线段 D．线段是点到的距离 题型5：用面积法求直角三角形斜边上的高 例5如图，，于，，，，则点到的距离是 ，点到的距离是 ，的依据是 ． 四、巩固练习 1.在数学课上，同学们在练习过点B作线段所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.如图，直线表示某天然气的主管道，现在要从主管道引一条分管道到某村庄，则沿图中线段修建可使用料最省．理由是 ． 3.如图，在线段AB、AC、AD、AE、AF中AD最短.小明说垂线段最短, 因此线段AD的长是点A到BF的距离,对小明的说法，你认为________. 4.如图,△ABC中,∠C=90o,CD⊥AB,D为垂足,已知AC=6， BC=8,AB=10，AD=3.6, （1）请计算CD的长度是______,（2）点C到AB的距离是______, （3）点A到BC的距离是______,（4）A到CD的距离是_________. （5）点B到CD 的距离是______,(6)点B到AC的距离是________. 5.如图是一个直角三角形，它有三条边AB，AC，BC，其中最长的边是谁？为什么？ 6.如图，点P是的边上的一点． (1)若每个小正方形的边长是1，则点O到的距离是＿＿＿＿． (2)过点P画的垂线，交于点C，画出三角形的边上的高． 7．如图，平面上有两条直线、，点在直线上，按要求画图（不写结论）并填空： (1)过点画直线的垂线，垂足为点； (2)过点画直线交直线于点； (3)过点画直线．由图可知：点到直线距离为线段______的长度． 8.．如图，，，请画出点A到的距离和和之间的距离． 9．如图，在中，点D是边的中点，根据下面的要求画出图形并填空． (1)画出的边上的高； (2)过点D画，直线交边于点F； (3)点A到直线的距离是线段________的长度； (4)写出图形中面积相等的两个三角形：________． 五、拓展练习 1. 点是直线外一点，，，分别是直线上三点，已知，，，若点到直线的距离记为，则的取值范围为 ． 2．观察图形，以下结论： ①线段的长必大于点A到直线l的距离； ②线段的长小于线段的长，根据是两点之间线段最短； ③图中共有两对角互为余角； ④线段的长是点D到直线的距离，正确的是 （填序号）． 3．如图，已知，，，，，则下列说法：点到直线的距离是；点到直线的距离是；点到直线的距离是；点到直线的距离是其中正确的序号有 ． 4．如图，，，能表示点到直线的距离的是线段 的长．    5.如图所示,AD⊥BD,BC⊥CD，AB=5，BC= 3，则BD长的范围是 ( ) A.BD<3 B.3<BD<5 C.BD>5 D.无法确定 6.到直线l的距离等于2cm的点有 ( ) A.0个 B.1个 C.无数个 D.无法确定 7. 如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上． (1)过点A画直线的垂线，并注明垂足为G；过点A画直线的垂线，交于点H（不写画法，保留画图痕迹）； (2)线段 的长度是点A到直线的距离； (3)线段、的大小关系为 （填“＞”“＜”或“＝”） (4)点P为图中一格点，且的面积与的面积相等，则满足要求的格点P有 个（点P不与点G重合）． 8．如图 (1)点P是的边上的一点，请过点P画出、的垂线，分别交于点M、N，并指出哪条线段的长度表示点P到线段的距离？ (2)作出中边的垂直平分线，分别交、于点E、F，并写出直线与的位置关系． 学科网（北京）股份有限公司 $