7.1.2两条直线垂直（1）学案2025-2026学年人教版七年级数学下册

该初中数学导学案聚焦“两条直线垂直”，核心知识点包括垂直定义、垂线画法及基本事实。课前预习通过相交线形成角的问题衔接旧知，新课学习以定义（含几何语言）、画法（“一贴二靠三画”步骤）、基本事实（存在性和唯一性）为支架构建知识体系。 特色在于注重几何语言规范与推理过程呈现，例题分层从基础计算到综合应用，巩固练习结合动手画图与问题解决。助力学生发展几何直观和推理意识，提升用数学语言表达逻辑关系的能力，培养严谨思维习惯。

　　 　　　　　　　　　　　 7.1.2 两条直线垂直 一、学习目标 1.了解垂直、垂线的定义，理解垂线的基本事实 2. 能过一点画一条直线的垂线； 二、课前预习 预习课本内容思考： 1.两条直线相交形成8个角,其中一个角的度数范围是. 2.如图直线l和线段AB相交于点C， （1） 若有一个角是90o，则其余三个角都是直角,直线l叫做线段AB的垂线,记作：l⊥AB， （2） 若有一个角是90o，且AC=BC,那么直线l叫做线段AB的垂直平分线。 3.如图，过点P能画1条直线垂直于已知直线AB.自己试着画一画. 三、新课学习 知识点1.垂直的定义 1.如图，当两条直线相交，夹角为90o时，这两条直线互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的垂线. 2.直线AB与直线CD互相垂直，垂足为，则记作:AB⊥CD，垂足为， 几何语言： ∵CD⊥AB 或者：∵∠COB=90o ∴∠COB=90o ∴CD⊥AB 例１如图1,OA⊥OC，OB⊥OD，O为垂足，若∠AOB=48°,求∠COD的度数。 解：∵OA⊥OC ∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90o ∵OB⊥OD ∴∠BOD=∠COD+∠BOC=90o ∴∠AOB=∠COD( _____________) ∵∠AOB=48o ∴∠COD=48o 【点睛】∠AOB=∠COD是一个常见的重要结论。 例2 如图,AO⊥BO,O为垂足,直线CD过点O,且∠BOC=2∠AOC,则求∠BOD度数。 （要用几何语言写完整过程） 解：∵AO⊥BO ∴∠AOB=∠AOC+∠COB=90o ∵∠BOC=2∠AOC ∴3∠AOC=90o ∴∠AOC=30o ,∠BOC=60o ∵∠BOC+∠BOD=180o ( ________________ ) ∴∠BOD=180o-∠BOC=120o 例3 如图,直线AB、CD相交于点O,若∠EOD=40°,∠BOC=130°,那么射线OE 与直线AB的位置关系是什么？为什么？ 答：垂直 ∵∠2+∠3=180°( ________________ ) ∴∠3=180°-∠BOC=50° ∵∠1=40° ∴∠11+∠3=∠BOE=90° ∴ OE⊥AB( __________________ ) 例4 如图，直线 ，， 相交于点 ， ． (1)若 ，求的度数； (2)若 ，求的度数． 【分析】本题考查了垂线的定义以及对顶角、邻补角，正确找出各个角之间的关系是解答本题的关键． （1）根据垂线的定义得，根据对顶角的定义得，再由计算即可； （2）根据，设，则，，再根据得关于x的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：设，则，， 据题意，得， ∴， 解得， 【点睛】用方程思想计算角的度数是常见的解题方法. 知识点2：垂线的画法 垂线的画法：利用直角三角板 “一贴”:一条直角边靠直线； “二靠”：另一直角边靠在该点； “三画”：沿直角边画垂线. 例5如图根据下列语句画图： (1)过点P画射线AM的垂线PE； (2)过点P画射线BN的垂线垂足为F，交射线BN反向延长线于Q点； 注：画一条射线或线段的垂线,，就是画它们所在直线的垂线. 解：由题意，画图如下： （1）PE为所求作的垂线； （2）PF为所求作的垂线，Q为所求作的点。 例6按照下列语句画图： ①画线段；     ②延长到C，使； ③经过的中点A画的垂线； ④在上截取； ⑤分别过点C，B画的垂线段； ⑥线段的关系是________． 解：由题意，画图如下： 经测量：． 知识点3：垂线的基本事实 基本事实：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 说明：垂线基本事实指明垂线的存在性和唯一性，是垂线作图的保证. 例7如图，在同一平面上，如果直线垂直于直线，直线垂直于直线，垂足为点，那么直线与直线重合的理由是（   ） A．垂线段相等 B．两点确定一条直线 C．在同一平面上，已知直线的垂线只有一条 D．在同一平面上，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 【答案】D 【分析】本题考查了垂线的定义，直接利用垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，进而判断得出答案，掌握垂线的定义是解题的关键． 【详解】解：在同一平面内，，，垂足为，则直线和直线重合的理由是：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：． 四、巩固练习 1．利用三角尺，过直线l外的点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂线的概念，熟练掌握垂线的作图是解题的关键，根据垂线的概念作图即可得到答案． 【详解】解：垂线的作图步骤：将三角尺的一条直角边与重合，另一条直角边过点后沿该直角边画直线，可得直线的垂线， ∴C选项的画法正确， 故选：C． 2．为直线上的一点，为外一点，下列说法不正确的是（    ） A．过点可画垂直于的直线 B．过点可画的垂线 C．连接，则 D．过点可画直线与平行 【答案】C 【分析】此题考查了平行线和垂线的性质，在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，据此进行判断即可． 【详解】解：由在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直知：A、B正确，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可知D正确； 连接，则不一定与垂直，故C错误． 故选：C 3．如图，直线，相交于点O，，垂足为O，，则的度数为 ． 【答案】/35度 【分析】本题考查了对顶角相等、垂线的定义，解题的关键是利用对顶角相等求出相关角的度数，结合垂线的性质计算目标角． 先根据对顶角相等求出的度数，再由垂直得出为直角，用减去即可得到的度数． 【详解】解：∵直线相交于点O， ∵， ∵， ∴(垂线的定义)， ∴， 故答案为：． 4．已知直线和相交于O点，射线于O，射线于O，且，则 _____ ． 【答案】 【分析】本题考查了垂线的性质、对顶角性质，掌握垂线性质、对顶角相等是解题的关键． 根据题意可知，， ，由垂线定义可得，进而得到，再根据对顶角定义可得，即可得出的度数，最后再计算即可得出答案． 【详解】解：， 即 故答案为：． 6. 过点作的垂线． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析； (4)见解析 【分析】本题主要考查过直线外一点作已知直线的垂线，熟练掌握作图方法是解题的关键． （1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法直接作图即可； （2）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法直接作图即可； （3）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法直接作图即可； （4）延长BA，然后根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法直接作图即可． 【详解】（1）解：作图如下： （2）解：作图如下： （3）解：作图如下： （4）解：作图如下： 7．如图，已知 ，根据下列要求作图并回答问题： (1)作边上的高； (2)过点作直线的垂线，垂足为； 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查了垂线的作法： （1）根据三角形高的定义，延长，过点向的延长线作垂线，垂足为，线段即为所求； （2）根据过一点作已知直线垂线的方法，过点作的垂线，垂足为，线段即为所求． 【详解】（1）如图，线段即为所求． （2）如图，线段即为所求．　 8．如图，直线和相交于点把分成两部分，且，平分． (1)如图1，如果，求的度数； (2)如图2，如果，则的度数为___________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义． （1）求解，，，结合角平分线的定义进一步求解即可． （2）设，可得，，，，进一步列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴． （2）解：设， ∵，平分， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 5、 拓展练习 1. 如图所示,王师傅为了检验门框AB是否垂直于地面,在门框AB的上端A处用细线悬挂一铅锤,看门框AB是否与铅锤线重合.若门框AB垂直于地面,则AB会重合于AE,否则AB与AE不重合.你能说出这里面的道理吗? .       【答案】过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 【详解】解：过A处用细线悬挂一铅锤，则AE过点A且垂直于地面BD，AB也经过点A，若AB垂直于地面BD，根据过一点有且只有一条直线垂直于已知直线可知AE与AB是同一条直线，即AB会重合于AE，反之，AB与AE不重合，因此这里面依据的道理是过一点有且只有一条直线垂直于已知直线． 故答案为：过一点有且只有一条直线垂直于已知直线． 2．如图，，不测量，比较和（    ） A．大 B．大 C．相等 D．大小不能确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂直的定义以及同角的余角相等，熟练掌握同角的余角相等是解题的关键． 利用垂直的定义得到角的和为，再通过同角的余角相等来比较和． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∴． 故答案为：C． 3．如图． ①过点画的垂线． ②过点分别画、的垂线． ③过点画的垂线． 【答案】见解析 【分析】本题考查了画垂线，根据垂线的定义，画出图形，即可求解． 【详解】解：如图所示， 4．如图，直线与相交于点． (1)过点在的上方画射线； (2)在（1）的条件下，若，求和的度数． 【答案】(1)见解析 (2)26，154 【分析】本题考查画垂线，邻补角，关键是掌握邻补角互补，垂线的概念． （1）由题意画图即可； （2）由邻补角的性质求出，由垂直的定义得到，即可求出，由邻补角的定义得求银即可． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； （2）解：如图， ， ， ， ， ， ． 5．作图：（使用铅笔作图，保留作图痕迹） 如图，外有一点，画出点到三角形三边的垂线分别交于点、、．    【答案】见解析 【分析】根据题意，过点分别作的垂线，垂足分别为， 【详解】解：如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，则即为所求        【点睛】本题考查了作垂线，熟练掌握基本作图是解题的关键． 6．如图，与相交于点，，，平分． (1)求的度数． (2)求钝角的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角度求解，解题的关键是掌握对顶角的性质，垂直的性质，以及角平分线的性质． （1）根据得出，即可求出的度数； （2）先根据对顶角相等求出的度数，再由角平分线的性质得到，即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， 又∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴． 7．如图，直线相交于点O，，平分． (1)求的度数． (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，判断两直线的位置关系，找准角度之间的数量关系，是解题的关键： （1）根据角度之间的数量关系，结合平角的定义，求出的度数，再根据对顶角相等，即可得出结果； （2）根据角平分线的定义，求出，即可得出结论． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵直线相交于点O，， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）可知：， ∵平分， ∴， ∴． 8．如图，已知直线与相交于点，，平分，若． (1)求的度数； (2)写出的余角和补角． 【答案】(1) (2)余角为、，补角为、、 【分析】本题考查了余角和补角的定义以及性质、角平分线的性质，熟练应用相关性质定理是解题的关键． （1）根据，得到，由角平分线的性质得出，根据等量关系可得，进而可得的度数； （2）根据余角和补角的定义，找出图中满足条件的角． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ，， ， ； （2）解：由（）可知，， 它的余角为，即：、； 它的补角为，即：、、． 9．如图所示，直线，相交于点O，，，，求的度数． 【答案】 【分析】此题主要考查了余角和补角、垂线的定义，利用同角的余角相等，可得，再利用补角的性质就可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴，， 即，， ∴， ∵与互补， ∴． 10．点O是直线上的一点，射线从出发绕点O顺时针方向旋转，旋转到停止，设，射线，作射线平分． (1)如图1，若，且在直线的上方，求的度数． (2)射线顺时针旋转一定的角度得到图2，当射线在直线的下方时，其他条件不变，请你用含的代数式表示的度数． (3)射线从出发绕点O顺时针方向旋转到，在旋转过程中你发现与（）之间有怎样的数量关系？请你直接用含的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2) (3)的度数是或或或 【分析】（1）根据，，求出，根据平分，即可得出结果； （2）先用表示出，再根据表示出，根据平分，即可得出结果； （3）分四种情况进行讨论，分别求出与的关系，用含的代数式表示的度数即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∵平分， ∴． （2）解：， ， ∵， ∴， ∴ ∵平分， ∴． （3）解：①当，在直线的上方时，如图所示： ， ∵平分， ∴， 即． ②当，在直线的下方时，如图所示： ∵， ∴， ∵平分， ∴， 即． ③当，在直线的上方时，如图所示： ， ， ∵平分， ∴， 即． ④当，在直线的下方时，如图所示： ∵， ， ∵平分， ∴， 即． 综上分析可知， 或或或． 学科网（北京）股份有限公司 $7.1.2两条直线垂直 一、学习目标 1.了解垂直、垂线的定义，理解垂线的基本事实 2.能过一点画一条直线的垂线； 二、课前预习 预习课本内容思考： 1.两条直线相交形成8个角，其中一个角α的度数范围是0°<《<180°. 2.如图直线1和线段AB相交于点C, (1)若有一个角是90°，则其余三个角都是直角，直线1叫做线段AB的垂线， (2)若有一个角是90°，且AC=BC,那么直线1叫做线段AB的垂直平分线。 90° 3.如图，过点P能画1条直线垂直于己知直线AB.自己试着画一画 B 三、新课学习 知识点1.垂直的定义 记作：1⊥AB, 1.如图，当两条直线相交，夹角为90°时，这两条直线互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的垂线. 90° D 2.直线AB与直线CD互相垂直，垂足为0，则记作：AB⊥CD,垂足为0， 几何语言： ,CD⊥AB 或者：，∠C0B=90 ∴.∠C0B=90° ∴.CD⊥AB 例1如图1,0A⊥0C,OB⊥0D,0为垂足，若∠A0B=48°，求∠C0D的度数。 的 A 例2如图，A0⊥B0,0为垂足，直线CD过点0，且∠B0C=2∠A0C,则求∠B0D度数。 (要用几何语言写完整过程) C B 例3如图，直线AB、CD相交于点0，若∠E0D=40°，∠B0C=130°，那么射线0E与直线AB的位置关系是什么？ 为什么？ 0 例4如图，直线AB,CD,EF相交于点O,AB⊥EF· B (1)若∠A0C=40°，求∠D0F的度数： (2)若∠C0E:∠A0D=1:4,求∠D0F的度数. 知识点2：垂线的画法 垂线的画法：利用直角三角板 “一贴”：一条直角边靠直线： “二靠”：另一直角边靠在该点； “三画”：沿直角边画垂线。 例5如图根据下列语句画图： (1)过点P画射线AM的垂线PE; (2)过点P画射线BN的垂线垂足为F,交射线BN反向延长线于Q点； A M 注：画一条射线或线段的垂线，，就是画它们所在直线的垂线， 例6按照下列语句画图： ①画线段AB=2cm; ②延长BA到C,使AC=AB; ③经过BC的中点A画BC的垂线MN; ④在AM上截取AP=1cm; ⑤分别过点C,B画BP,CP的垂线段CE,BF; ⑥线段PC,PB的关系是 知识点3：垂线的基本事实 基本事实：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 说明：垂线基本事实指明垂线的存在性和唯一性，是垂线作图的保证 例7如图，在同一平面上，如果直线OA垂直于直线l,直线OB垂直于直线1，垂足为点O,那么直线OA与 直线OB重合的理由是() 中A ◆B A.垂线段相等B.两点确定一条直线C.在同一平面上，已知直线的垂线只有一条 D.在同一平面上，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 四、巩固练习 1.利用三角尺，过直线1外的点P作直线1的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是() 2.M为直线1上的一点，N为外一点，下列说法不正确的是() A.过点M可画垂直于I的直线 B.过点N可画I的垂线 C.连接MN,则MN⊥I D.过点N可画直线与I平行 3.如图，直线AB,CD相交于点0，E0⊥AB,垂足为O,LA0D=125°，则∠E0C的度数为 B A D 4.己知直线AB和CD相交于0点，射线OE⊥AB于O,射线0F⊥CD于O,且LB0F=25°，则 ∠AOC-LEOD= 25 6.过点P作AB的垂线. A A B (1) (2) ·P ●P P (3) (4) B B A 7.如图，已知ABC,根据下列要求作图并回答问题： (1)作边AB上的高CD; (2)过点D作直线BC的垂线，垂足为E; B 8.如图，直线AB和CD相交于点O,OE把∠AOC分成两部分，且∠AOE:∠C0E=2:3,OF平分 ZBOE B 图1 图2 (1)如图1，如果AB⊥CD,求LBOF的度数； (2)如图2，如果∠B0F=LA0C+12°，则LB0F的度数为 五、拓展练习 1.如图所示，王师傅为了检验门框AB是否垂直于地面，在门框AB的上端A处用细线悬挂一铅锤，看门框AB 是否与铅锤线重合.若门框AB垂直于地面，则AB会重合于AE,否则AB与AE不重合.你能说出这里面的道 理吗？一 A GGGGD0D005050000000000000000000006000000000000005 2.如图0A10B,0C⊥0D,不测量，比较∠1和∠3() D 2 个3 A.∠1大 B.∠3大 C.相等 D.大小不能确定 3.如图. ①过P点画AB的垂线， ②过P点分别画OA、OB的垂线， ③过点A画BC的垂线 B A P P. B A A B ② ③ 4.如图，直线DE与BC相交于点0. C D B (1)过点O在BC的上方画射线OA⊥BC; (2)在(1)的条件下，若∠A0E=116°，求∠1和∠B0E的度数. 5.作图：（使用铅笔作图，保留作图痕迹） 如图，△ABC外有一点P,画出点P到三角形三边的垂线分别交于点D、E、F, 6.如图，AB与CD相交于点0，OC⊥OE,∠B0D=30°，OA平分∠F0C. E B D (1)求LE0B的度数， (2)求钝角∠FOE的度数. 7.知割，直线4B(D相交于点0，∠B0C-写40C,01平分∠E00, C (1)求∠AOD的度数. (2)判断OE与CD的位置关系，并说明理由. 8.如图，己知直线AB与CD相交于点O,OE⊥CD,OF平分∠BOE,若∠AOC=∠EOF. E D (1)求∠A0C的度数； (2)写出∠EOF的余角和补角. 9.如图所示，直线AB,CD相交于点O,OE⊥AB,OF⊥CD,LD0E=43°，求LAOF的度数. E B 10.点0是直线AB上的一点，射线0C从OA出发绕点0顺时针方向旋转，旋转到OB停止，设 ∠A0C=a(0°≤a≤180)，射线0D⊥0C,作射线OE平分∠BOD. B E B 图1 图2 (1)如图1，若a=40°，且0D在直线AB的上方，求∠D0E的度数， (2)射线0C顺时针旋转一定的角度得到图2，当射线0D在直线AB的下方时，其他条件不变，请你用含 的代数式表示LDOE的度数 (3)射线OC从OA出发绕点0顺时针方向旋转到OB,在旋转过程中你发现∠DOE与∠AOC (0°≤LA0C≤180°，0°≤∠D0B≤180°)之间有怎样的数量关系？请你直接用含α的代数式表示LD0E的度 数.