精品解析：四川省合江县白沙中学2025-2026学年上学期九年级数学期中考试题

白沙中学2025年秋期九年级数学期中考试题 一、选择题（36分） 1. 用配方法解方程，配方后的方程是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在菱形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（　　） A. ﹣7 B. 7 C. 3 D. ﹣3 4. 既是中心对称图形又是轴对称图形，且只有两条对称轴的四边形是（ ） A. 正方形 B. 平行四边形 C. 等腰梯形 D. 矩形或菱形 5. 如图，矩形中，在上，且，，，矩形的周长为，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 6. 下列对一元二次方程根的情况的判断，正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有且只有一个实数根 D. 没有实数根 7. 在一次同学聚会上，每人都向其他人赠送了一份小礼品，共互送110份小礼品，如果参加聚会的同学有x名．根据题意列出的方程是( )． A. x (x + 1) = 110 B. x (x －1) = 110 C. 2x ( x + 1) = 110 D. x (x－1) = 110×2 8. 已知一元二次方程的两根分别为m、n，则m+n的值为（ ） A. ﹣2 B. ﹣1 C. 1 D. 2 9. 有三张正面分别写有，，，从中任意抽取一张，卡片上的数为有理数的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 如果关于的不等式的解集为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，将矩形纸片按照如图所示的方式折叠，点A，点C恰好落在对角线上，得到菱形．若，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 12. 如图，矩形中，O为中点，过点O的直线分别与，交于点E，F，连接交于点M，连接，．若，，则下列结论： ①，； ②； ③四边形是菱形； 其中正确结论的个数是（    ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题（12分） 13. 用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的矩形．设矩形的一边长为xcm，则可列方程为_____________． 14. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是__________． 15. 已知，如图，菱形中，对角线相交于点O，交于点E，，则的长为______． 16. 如图，在矩形中，，，P是上不与A、D重合的一动点，，，E、F为垂足，则的值为_______． 三、解答题（52分） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为，，且，求m的值． 19. 一张长为30cm，宽20cm的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图1所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为264cm2，求剪掉的正方形纸片的边长． 20. 如图所示，在矩形中，为对角线，于点，，，求矩形的面积． 21. 如图，在中，，，，G是的中点，E是边上的动点，的延长线与的延长线相交于点F，连结，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）①当 时，四边形是菱形，请说明理由． ②当 时，四边形是矩形，请说明理由． 22. 为了倡导“节约用水，从我做起”，贵阳市直属机关200户家庭用水情况进行调查．市政府调查小组随机抽查了其中部分家庭一年的月平均用水量（单位：吨），调查中发现，每户家庭月平均用水量在吨范围内，并将调查结果制成了如下尚不完整的统计表： 月平均用水量吨 3 4 5 6 7 频数（户数） 4 a 9 10 7 频率 b c 请根据统计表中提供的信息解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）这些家庭中月平均用水量数据的平均数是______，众数是______，中位数是______； （3）根据样本数据，估计该市直属机关200户家庭中月平均用水量不超过5吨的有多少户？ （4）市政府决定从月平均用水量最省的甲、乙、丙、丁四户家庭中，选取两户进行“节水”经验分享．请用列表或画树状图的方法，求出恰好选到甲、丙两户的概率． 23. 【感知】如图①，四边形、均为正方形．可知（不需要证明）． 【拓展】如图②，四边形、均为菱形，且，求证：． 【应用】如图③，四边形、均为菱形，点E在边上，点G在延长线上，若，，的面积为8，求菱形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 白沙中学2025年秋期九年级数学期中考试题 一、选择题（36分） 1. 用配方法解方程，配方后的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程—配方法，熟练掌握完全平方公式是解决此题的关键． 先把方程变形为，再把等号两边加上，然后把方程左边写成完全平方的形式即可． 【详解】解：， ， ，  故选：C ． 2. 如图，在菱形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的对角线平分一组对角，菱形的邻角互补求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，熟知菱形的对角线平分一组对角，菱形的邻角互补是解题的关键． 3. 已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（　　） A. ﹣7 B. 7 C. 3 D. ﹣3 【答案】A 【解析】 【分析】根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：设另一个根为x，则 x+2＝﹣5， 解得x＝﹣7． 故选：A． 【点睛】此题主要考查一元二次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 4. 既是中心对称图形又是轴对称图形，且只有两条对称轴的四边形是（ ） A. 正方形 B. 平行四边形 C. 等腰梯形 D. 矩形或菱形 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，有4条对称轴，不符合题意； B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，没有对称轴，不符合题意； C、等腰梯形是轴对称图形，有一条对称轴，不是中心对称图形，不符合题意； D、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，有2条对称轴；菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，有2条对称轴，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合，还考查了特殊四边形的性质． 5. 如图，矩形中，在上，且，，，矩形的周长为，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，矩形性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是推出.设，根据矩形的性质得出，，，求出，证，推出，求出，得出方程，求出即可. 【详解】设， 四边形是矩形， ，，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 矩形的周长为， ， ， 即. 故选：A． 6. 下列对一元二次方程根的情况的判断，正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有且只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断． 【详解】解：， 所以方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 7. 在一次同学聚会上，每人都向其他人赠送了一份小礼品，共互送110份小礼品，如果参加聚会的同学有x名．根据题意列出的方程是( )． A. x (x + 1) = 110 B. x (x －1) = 110 C. 2x ( x + 1) = 110 D. x (x－1) = 110×2 【答案】B 【解析】 【分析】如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x-1）张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x（x-1）张，即可列出方程． 【详解】∵全班有x名同学， ∴每名同学要送出(x−1)张； 又∵是互送照片， ∴总共送的张数应该是x(x−1)=110. 故选B. 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是确定正确的等量关系. 8. 已知一元二次方程的两根分别为m、n，则m+n的值为（ ） A. ﹣2 B. ﹣1 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】∵方程的两根分别为m、n， ∴根据根与系数的关系得m+n=2． 故选D． 9. 有三张正面分别写有，，，从中任意抽取一张，卡片上的数为有理数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了随机事件的概率，有理数与无理数，概率的计算，解题的关键是准确判断有理数的个数．先正确判断有理数的个数，再用有理数的个数除以给定实数的个数即可． 【详解】解：，是有理数，共4个，总共有6个实数， 从中任意抽取一张，卡片上的数为有理数的概率， 故选：． 10. 如果关于的不等式的解集为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质，可得答案． 【详解】解：∵关于x的不等式的解集为， ∴， 解得， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质．不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，解题关键是熟记不等式的性质，正确应用． 11. 如图，将矩形纸片按照如图所示的方式折叠，点A，点C恰好落在对角线上，得到菱形．若，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设菱形的对角线交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，即折叠后，点落在点处，同理可得，即折叠后，点落在点处，再设，则，在中，利用勾股定理建立方程，解方程即可得． 【详解】解：如图，设菱形的对角线交于点， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠后，点恰好落在对角线上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即折叠后，点落在点处， 同理可得：，即折叠后，点落在点处， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 即， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的性质、勾股定理、三角形全等的判定与性质、一元二次方程的应用、折叠的性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 12. 如图，矩形中，O为中点，过点O的直线分别与，交于点E，F，连接交于点M，连接，．若，，则下列结论： ①，； ②； ③四边形是菱形； 其中正确结论的个数是（    ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质和菱形的判定是解题关键．连接，先根据矩形的性质可得点共线，，，，再根据等边三角形的判定可得是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，，则垂直平分，由此即可判断①正确；假设成立，根据全等三角形的性质可得，再根据在直角三角形中，斜边大于直角边可得，由此即可判断②错误；先证出，根据全等三角形的性质可得，则可证四边形是平行四边形，再证出，根据全等三角形的性质可得，根据菱形的判定即可得③正确． 【详解】解：如图，连接， ∵在矩形中，为对角线中点， ∴点共线，，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴垂直平分， ∴，，则结论①正确； 假设成立，则， 在中，，与矛盾， ∴假设不成立，则结论②错误； ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，则结论③正确； 综上，正确结论的个数是2个， 故选：B． 二、填空题（12分） 13. 用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的矩形．设矩形的一边长为xcm，则可列方程为_____________． 【答案】 【解析】 【详解】矩形的一边长为xcm，则另一边长为， 因为矩形的面积为64cm2， 所以，． 故答案为：． 14. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】因为关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，所以且，建立关于k的不等式组，解得k的取值范围即可． 【详解】解：由题可知：， 解得：且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件． 15. 已知，如图，菱形中，对角线相交于点O，交于点E，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了菱形的性质，以及三角形中位线性质，首先根据菱形的性质可得再根据平行线的性质和等角对等边，证明E为的中点再有直角三角形斜边上中线的性质，得到，进而得到答案． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ∴， 由菱形性质可知， ∴， ∴， ∴， ∴同理，， ∴， 为的中点， 是的中位线， ， ， 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，，，P是上不与A、D重合的一动点，，，E、F为垂足，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握各性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．连接，过点作，利用勾股定理求出，再利用三角形的面积求出，再根据面积求出． 【详解】解：连接，过点作， ，， ， ， 即， 解得， 在矩形中，， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（52分） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【分析】（1）直接利用提取公因式法分解因式，再利用因式分解法解方程即可； （2）求出的值，利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， 则或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ， 则此方程有两个不相等的实数根， ， 故，． 【点睛】此题主要考查了因式分解法以及公式法解方程，正确掌握解题方法是解题关键． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为，，且，求m的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． （2）或 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元一次方程根与系数的关系，掌握相关的知识是解题的关键． （1）证明即可； （2）根据根与系数的关系得到，，将变形为，代入相应的值，得到关于m的方程，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程的两实根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得或． 19. 一张长为30cm，宽20cm的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图1所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为264cm2，求剪掉的正方形纸片的边长． 【答案】4cm 【解析】 【详解】试题分析：设剪掉的正方形纸片的边长为x cm，则围成的长方体纸盒的底面长是（30-2x）cm, 宽是（30-2x）cm,根据底面积等于264 cm2列方程求解. 解：设剪掉的正方形纸片的边长为x cm． 由题意，得 (30-2x)(20-2x)=264． 整理，得 x2 -25x + 84=0． 解方程，得，（不符合题意，舍去）． 答：剪掉的正方形的边长为4cm． 20. 如图所示，在矩形中，为对角线，于点，，，求矩形的面积． 【答案】． 【解析】 【分析】利用三角形的外角性质得出，再利用直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一边求出OA=10,最后利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】解：由矩形的性质，得． ∵， ∴． ∴． ∵，， ∴，∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考场了矩形的性质，三角形外角的性质及直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一边，关键是熟练掌握这些性质. 21. 如图，在中，，，，G是的中点，E是边上的动点，的延长线与的延长线相交于点F，连结，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）①当 时，四边形是菱形，请说明理由． ②当 时，四边形是矩形，请说明理由． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵G是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2） 解：①当时，四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形， 故答案为：4； ②当cm时，平行四边形是矩形，理由如下： 如图，过A作于M， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和△中， ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形， 故答案为：7． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质先证明，进而证明，得到，再由，即可证明四边形是平行四边形； （2）①根据平行四边形的性质可得，因此只需要保证是等边三角形，即可证明，从而证明平行四边形是菱形，据此求解即可； ②当cm时，平行四边形是矩形，过A作于M，可证明，得到，即可证明平行四边形是矩形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②略 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，菱形的判定，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，灵活运用相关知识是解题的关键． 22. 为了倡导“节约用水，从我做起”，贵阳市直属机关200户家庭用水情况进行调查．市政府调查小组随机抽查了其中部分家庭一年的月平均用水量（单位：吨），调查中发现，每户家庭月平均用水量在吨范围内，并将调查结果制成了如下尚不完整的统计表： 月平均用水量吨 3 4 5 6 7 频数（户数） 4 a 9 10 7 频率 b c 请根据统计表中提供的信息解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）这些家庭中月平均用水量数据的平均数是______，众数是______，中位数是______； （3）根据样本数据，估计该市直属机关200户家庭中月平均用水量不超过5吨的有多少户？ （4）市政府决定从月平均用水量最省的甲、乙、丙、丁四户家庭中，选取两户进行“节水”经验分享．请用列表或画树状图的方法，求出恰好选到甲、丙两户的概率． 【答案】（1）20，， （2），4，5 （3）该市直属机关200户家庭中月平均用水量不超过5吨的大约有132户 （4） 【解析】 【分析】本题考查频数分布表，平均数、中位数、众数，样本估计总体以及列表法和树状图法，掌握频率=频数总数，用树状图法列举等可能出现的结果以及平均数、中位数、众数的计算方法是正确解答的关键． （1）从频数、频率统计表中可得，被抽查的户数中，月用水量为3吨的有4户，占被调查户数的，根据频率=频数总数即可求出被调查的户数，进而确定a、b、c的值； （2）根据平均数、中位数、众数的定义和计算方法进行计算即可； （3）样本估计总体，求出样本中月平均用水量不超过5吨的家庭数所占的百分比，估计总体中月平均用水量不超过5吨的家庭数所占的百分比，由频率=频数总数进行计算即可； （4）用树状图列举从甲、乙、丙、丁四户家庭中任意选取两户，所有等可能出现的结果，再根据概率的大约进行计算即可． 【小问1详解】 解：（户），（户），，， 故答案为：20，，； 【小问2详解】 解：， 被调查的50户的月平均用水量频数最多的是，共出现20次，因此被调查的50户的月平均用水量的众数是， 将被调查的50户的月平均用水量从小到大排列，处在之间位置的两个数的平均数为，因此被调查的50户的月平均用水量的中位数是， 故答案为：，，； 【小问3详解】 解：（户）， 答：该市直属机关200户家庭中月平均用水量不超过5吨的大约有132户； 【小问4详解】 解：从甲、乙、丙、丁四户家庭中任意选取两户，所有等可能出现的结果如下： 共有12种等可能出现的结果，其中恰好选到甲、丙两户的有2种， 所以从甲、乙、丙、丁四户家庭中任意选取两户，恰好选到甲、丙两户的概率为． 23. 【感知】如图①，四边形、均为正方形．可知（不需要证明）． 【拓展】如图②，四边形、均为菱形，且，求证：． 【应用】如图③，四边形、均为菱形，点E在边上，点G在延长线上，若，，的面积为8，求菱形的面积． 【答案】 拓展：证明：∵四边形、均为菱形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 应用： 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 拓展：先根据菱形的性质可得，，，，从而可得，再证出，然后证出，根据全等三角形的性质即可得证； 应用：先证出，根据三角形的面积公式可得，再根据全等三角形的性质可得，从而可得，然后根据菱形的性质求解即可得． 【详解】拓展：略 应用：解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴的边上的高与的边上的高相等， ∴，即， ∵的面积为8， ∴， 同理可证：， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴菱形的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $