吉林省长春市高新区慧仁学校2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年吉林省长春市高新区慧仁学校九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.计算的结果为(    ) A. B. C. 2 D. 8 2.如图所示的几何体，其俯视图为(    ) A. B. C. D. 3.如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角(    ) A. B. C. D. 4.下列运算中，结果正确的是(    ) A. B. C. D. 5.西周时期，丞相周公旦设计过一种通过测定日影长度来确定节气的仪器，称为圭表，如图是一个根据某市的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC根部与圭表的冬至线之间的距离即BC的长为已知，冬至时该市的正午日光入射角约为，则立柱AC高约为(    ) A. B. C. D. 6.不等式的解集在数轴上表示正确的是(    ) A. B. C. D. 7.如图，AB是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点M，交BC于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点D，画射线BD，连接若，则的度数是(    ) A. B. C. D. 8.如图，双曲线经过A、B两点，连接OA、AB，过点B作轴，垂足为D，BD交OA于点E，且E为AO的中点，则的面积是(    ) A. B. C. 3 D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 9.因式分解：______. 10.已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为        . 11.若二次函数的图象与x轴有交点，则m的取值范围是      . 12.已知一次函数为常数，且的函数值y随自变量x的增大而减小，则该一次函数的图象不经过第      象限. 13.如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连接AC、DE交于点若，则           . 14.如图，点E在正方形ABCD的边BC上，，，将沿AE折叠得到，延长EF交DC于点G，连接现给出以下结论： ①； ②； ③； ④ 其中正确的结论是______写出所有正确结论的序号 三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题6分 先化简，再求值：，其中 16.本小题6分 计算： 17.本小题6分 每当秋冬季节交替的时间，感冒药品的销量就会大幅增长，药店利润也有所提高，某药店九月份的销售利润是5000元，而十一月份的销售利润为11250元，求该药店利润平均每月的增长率. 18.本小题7分 如图，在四边形ABCD中，，，CE平分交边 AB于点E，连结 求证：四边形BCDE是菱形． 连结BD，若，，则CE的长为______. 19.本小题7分 某校初一年级有600名男生，为增强体质，拟在初一男生中开展引体向上达标测试活动．为制定合格标准，开展如下调查统计活动． 调查组从初一体育社团中随机抽取20名男生进行引体向上测试，B调查组从初一所有男生中随机抽取20名男生进行引体向上测试，其中______填“A”或“B”调查组收集的测试成绩数据能较好地反映该校初一男生引体向上的水平状况； 根据合理的调查方式收集到的测试成绩数据记录如下： 成绩/个 2 3 4 5 7 13 14 15 人数/人 1 1 1 8 5 1 2 1 这组测试成绩的平均数为______个，中位数为______个； 若以中测试成绩的中位数作为该校初一男生引体向上的合格标准，请估计该校初一有多少名男生不能达到合格标准． 20.本小题7分 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法. 在图①中的线段AB上找一点D，连结CD，使； 在图②中的线段BC上找一点E，连结AE，使； 在图③中的内部找一点F，连结BF、CF，使 21.本小题8分 长春神鹿峰玻璃栈道已成为吉林省旅游度假新景点.甲、乙两人在笔直的栈道上从相距m米的栈道两端A、B分别出发，匀速相向而行，甲、乙两人先后到达栈道的另一端驻足观景，甲的速度比乙大.在此过程中，若两人各自行走的路程米与乙出发的时间分之间的函数关系如图所示. ______. 求出甲行走的距离y与x之间的函数解析式. 在两人驻足观景前，当两人行走的距离相同时，直接写出此时甲距栈道B端的距离. 22.本小题9分 【问题呈现】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题： 如图①，在与中，，，求证： 【方法探究】以下是小强的方法： 证明：如图②，延长AC到点G，使，连结 ， ， 接下来只需证明，进而就能得出 请你补全余下的证明过程． 【方法总结】从上面的方法可以看出，通过“化折为直”，不仅可以构造等腰三角形，还可以得到角的倍、半关系，可谓一举两得． 【方法应用】如图③，在中，，，延长BC到点D，使，点E在边AC上，连结DE，当时，的大小为______ 【拓展延伸】如图④，在中，，若，求边AC的长．精确到 [参考数据：，， 23.本小题10分 如图，在矩形ABCD中，，点E是边AD的三等分点，且点P是边AB上的动点不与点A重合，PE绕点E逆时针旋转得到线段EQ，连结 过点Q作边AD的垂线段AH，交AD于H，求证：≌； 当A，Q，C三点共线时，求线段PQ的长； 线段CQ的长度的最小值是______； 四边形BCQP面积的最大值是______；此时线段BP的长度是______. 24.本小题12分 在平面直角坐标系中，抛物线为常数的对称轴为直线，且经过点点P在该抛物线上，其横坐标为 求此抛物线对应的函数表达式； 当，y的取值范围是______； 将此抛物线上P，A两点之间的部分包括P，A两点记为图象G，当图象G与直线只有一个公共点时，求m的取值范围； 设点Q的坐标为，当PQ不与坐标轴平行时，以PQ为对角线构造矩形PMQN，且轴.当抛物线在矩形PMQN内部的点的纵坐标y随x的增大而增大或y随x的增大而减小，直接写出m的取值范围. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解： 故选： 根据有理数的乘法的运算方法，求出的结果即可． 此题主要考查了有理数的乘法的运算方法，解答此题的关键是要明确有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． 2.【答案】C  【解析】解：该几何体的主视图是： . 故选： 根据俯视图是从物体的上面看得到的图形，可得答案． 本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提． 3.【答案】A  【解析】解：正八边形的外角和为， 每一个外角为 故选： 由多边形的外角和定理直接可求出结论． 本题考查了多边形外角和定理，掌握外角和定理是解题的关键． 4.【答案】A  【解析】解：，故此选项符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选： 根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解． 本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． 5.【答案】D  【解析】解：在中，，，， ， ， 故选： 根据的正切函数求解即可． 此题考查了三角函数的应用，正切掌握所求边长与角的三角函数关系及三角函数的计算公式是解题的关键． 6.【答案】A  【解析】解：， ， ， 则， 将解集表示在数轴上如下： 故选： 根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得． 本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 7.【答案】C  【解析】解：是半圆O的直径， ， ， ， 由题意得，BD为的平分线， 故选： 由圆周角定理得到，由直角三角形的性质得到，根据角平分线的定义即可求得答案． 本题主要考查尺规作图，圆周角定理，熟练掌握角平分线的作图步骤以及圆周角定理是解答本题的关键． 8.【答案】A  【解析】解：如图，过点A作轴，垂足为M，连接OB，则， 是OA的中点，即，而， ，， ， 即， ， ， ， ， ， ， 故选： 根据反比例函数系数k的几何意义以及三角形中位线定理、相似三角形的性质进行计算即可． 本题考查反比例函数系数k的几何意义，掌握反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的性质是正确解答的关键． 9.【答案】  【解析】解： 故答案为： 用提取公因式法分解因式即可． 本题考查了分解因式，能选择适当的方法分解因式是解此题的关键，注意：因式分解的方法有：提取公因式法，公式法，十字相乘法等． 10.【答案】  【解析】解：， 由题意得：， 解得：， 故答案为： 根据二次根式的性质把化简，再根据同类二次根式的概念列出方程，解方程得到答案． 本题考查的是同类二次根式、最简二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 11.【答案】  【解析】解：二次函数的图象与x轴有交点， ， 解得， 即m的取值范围为 故答案为： 利用根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；决定抛物线与x轴的交点个数． 12.【答案】一  【解析】解：函数值y随自变量x的增大而减小， ， 一次函数图象经过第二、三、四，不经过第一象限， 故答案为：一． 根据一次函数的性质解答即可． 本题考查了一次函数的性质，熟知一次函数为常数，，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：四边形ABCD是平行四边形， ，， ， 设，则， ， ， ∽， ， ， 故答案为： 通过证明∽，可得，即可求解． 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，证明三角形相似是解题的关键． 14.【答案】①②③  【解析】解：如图，连接DF， 四边形ABCD是正方形， ， ， 由翻折可知：， ，，， ，，， ， ，， ，故①正确； 由翻折可知：， 由①得，， ， ，故②正确； 设，则，， 在中， ， 即， 解得：， ， ，故③正确； ，， ， ，故④错误； 故答案为：①②③． 连接DF，先得出，再利用得出，①正确；由翻折的性质得出，，得出②正确；可以证明，，可得③正确；得出，求出的面积可得④错误． 本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理及三角形的面积计算等知识，灵活运用性质解决问题是解题的关键． 15.【答案】解：原式 ， 当时，原式  【解析】先根据完全平方公式和去括号法则化简，然后合并同类项，最后把x的值代入计算即可． 本题考查了整式的运算，二次根式的运算，解题的关键是掌握整式的混合运算顺序和运算法则． 16.【答案】  【解析】解： 先根据零指数幂、算术平方根、特殊角的三角函数值、绝对值的定义计算，再合并即可． 本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 17.【答案】解：设该药店利润平均每月的增长率为x， 依题意得：， 整理得：， 解得：，不合题意，舍去 答：该药店利润平均每月的增长率为  【解析】设该药店利润平均每月的增长率为x，根据某药店九月份的销售利润是5000元，而十一月份的销售利润为11250元，列出一元二次方程，解之取其正值即可． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 18.【答案】证明：平分， ， ， ， ， ， ， ， 四边形BCDE是平行四边形， 又， 平行四边形BCDE是菱形；   【解析】证明：平分， ， ， ， ， ， ， ， 四边形BCDE是平行四边形， 又， 平行四边形BCDE是菱形． 解：如图，连接BD交CE于O， ， ， 由可知，四边形BCDE是菱形， ，，， 在中，， ， ， 故答案为： 证，得，则，再证四边形BCDE是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论； 连接BD交CE于O，由等腰三角形的性质得，再由菱形的性质得，，，然后由锐角三角函数定义得，即可得出结论． 本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数定义等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 19.【答案】解：  ； ，5； 人， 答：校初一有90名男生不能达到合格标准．  【解析】【分析】 本题主要考查统计相关知识，熟练掌握加权平均数的计算，中位数的定义，用样本估计总体的思想是解决本题的关键． 根据抽样调查的特点解答即可； 根据平均数计算公式和中位数的定义解答即可； 用样本估计总体的思想解答即可． 【解答】 解：从初一所有男生中随机抽取20名男生进行引体向上测试，收集的测试成绩数据能较好地反映该校初一男生引体向上的水平状况， 故答案为：B； 这组测试成绩的平均数为：个， 中位数为：个， 故答案为：7，5； 见答案. 20.【答案】解：如图①，取格点F、G，连接FG交AB于点D，连接CD， 点D及就是所求的图形． 理由：连接AF，则，， ， 在和中， ， ≌， ， ， 点D及就是所求的图形． 如图②，取格点H、L，连接HL交BC于点E，连接AE， 点E及就是所求的图形． 理由：连接BH、CL，则，，， ∽， ， ， ， 点E及就是所求的图形． 解法一：如图③，取AB的中点D及格点K，连接CD、AK交于点F，连接BF， 点F及就是所求的图形． 理由：如图①，≌， ， 点D为格点， 取格点I，连接DI，则， ∽， ，，， ， ， ， 点F及就是所求的图形． 解法二：如图④，取格点P、Q、M、N，连接PQ、MN交于点F，连接BF、CF， 点F及就是所求的图形． 理由：连接AN、PM，则，， ∽， ，， ， ， ， 点F及就是所求的图形．  【解析】取格点F、G，连接FG交AB于点D，连接CD，可证明≌，得，则； 取格点H、L，连接HL交BC于点E，连接AE，可证明∽，得，则，所以； 解法一是取AB的中点D及格点K，连接CD、AK交于点F，连接BF，再取格点I，连接DI，则，所以∽，则，所以，则；解法二是取格点P、Q、M、N，连接PQ、MN交于点F，连接BF、CF，再连接AN、PM，则，所以∽，得，则，所以 此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 21.【答案】180  【解析】解：由图象可知，m的值为180， 故答案为：180； 设直线解析式为，把，代入得：， 解得， 直线解析式为； 由图象可知，乙行走的速度为米/分， 根据题意得：， 解得， 此时甲距栈道B端的距离为米 由图象直接得出结论； 用待定系数法求出函数解析式； 根据甲、乙路程相等求出x的值，再求出距栈道B端的距离． 本题考查一次函数的应用，关键是求出函数解析式． 22.【答案】70  【解析】解：【方法探究】 ， ， 即 ，， ≌ 【方法应用】 连接BE， ，， ， ， ，， ， 又， ， ， ， ， 故答案为： 【拓展延伸】 如图，延长CB至点D，使，连结 ， ， ， 在中，， ，， 的长约为 【方法探究】证明≌由全等三角形的性质可得出则可得出结论； 【方法应用】连接BE，证出，由等腰三角形的性质得出，则可得出； 【拓展延伸】 延长CB至点D，使，连结证出，解直角三角形可得出答案． 本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键． 23.【答案】见解析过程；   ；   2；  ，  【解析】证明：如图，过点Q作边AD的垂线段AH，交AD于H， 绕点E逆时针旋转得到线段EQ， ，， ， ， 又， ≌； 解：如图， ≌， ， ，， ， 又， ∽， ， ， ， ， ，， ； 解：， 点Q在平行于AD，且与AD的距离为2的直线上运动， ， 当时，CQ有最小值，最小值为， 故答案为：2； 解：如图，连接CQ，BQ，过点Q作于H， 设，则， ≌， ，， 点Q到BC的距离为2，， 四边形BCQP面积， 时，四边形BCQP面积的最大值为， 故答案为：， 由AAS可证≌； 通过证明∽，可得，可求，由勾股定理可求解； 由全等三角形的性质可得，点Q在平行于AD，且与AD的距离为2的直线上运动，则当时，CQ有最小值，即可求解； 由全等三角形的性质可得，，由面积的和差关系和二次函数的性质可求解． 本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线是解题的关键． 24.【答案】    ，  ，，  【解析】对于抛物线，其对称轴公式为 已知抛物线的对称轴为直线，其中，代入对称轴公式， 解得 所以抛物线的表达式为 因为抛物线经过点，将点代入可得： ， ， 解得因此，此抛物线对应的函数表达式为； 将抛物线进行配方化为顶点式： ， 所以抛物线的顶点坐标为因为，所以抛物线开口向下． 当时，当时，当时， 故答案为：； 联立抛物线与直线可得方程：，其判别式 当时，方程有且仅有一个解，即图象G与直线只有一个公共点，此时，解得当P点在A点左侧时，要使图象G与直线只有一个公共点，则当P点在A点右侧时，要使图象G与直线只有一个公共点，则； 因为P点横坐标为m，代入抛物线可得已知，且轴，以PQ为对角线构造矩形设，， 矩形对角线互相平分，PQ中点与MN中点重合． ， ， 化简得： ，， 轴， ，， 则， 抛物线的对称轴为， 当，抛物线在此区间随x增大而增大．当，抛物线在此区间随x增大而减小．①当时，，满足条件，故；②当时，，满足条件，故；③当时，满足条件，故所以m的取值范围是或或 根据对称轴公式求出b的值，再代入已知点求出c的值，从而得到函数表达式； 将函数化为顶点式，根据二次函数的性质及给定区间求出最值； 结合函数图象与直线的位置关系确定m的取值范围； 根据矩形的性质和二次函数的单调性确定m的取值范围． 本题结合平面直角坐标系，考查了二次函数的基本性质，函数图象的交点问题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $